（微电子学与固体电子学专业论文）混沌电路的理论与设计.pdf

重庆邮电学院硕十论文 摘要 混沌电路设计是混沌通信和混沌加密等应用的先决条件，因此混沌电路的 理论研究和设计具有 分重要的意义。本文提出混沌电路的一种新的设计的方 法，可以在空问中简单灵活的设计构造出一类混沌系统【挎。2 5 l 。设计方法的最人 特点就是，我们可以根据自己需要来设计混沌吸引子的形状和复杂程度。同时， 此方法不但给出了一种令吸引子全局吸引的控制思路，也对如何在混沌系统中 寻找马蹄映射很有启发f 2 ”9 1 。本设计方法的基本思想是：利用混沌理论和摔制 技术，从空间几何的角度去思考，在空间中建立若干集合( 位于切换面上) 间 的混沌映射，然后分别设计出动力系统s 。、s ，和切换控制c 。，综合这二种模 块就得到混沌动力系统。运用这种方法设计的混沌动力系统，易于借助计算机 利用拓扑马蹄理论证明其混沌性2 引。最后，对整个系统合理的修改简化，以适 应电子元器件和元件的参数要求，并最终将其电路( 或集成电路) 实现。文中 列举了大量的设计范例。 关键词：混沌，混沌吸引子，混沌产生器、混沌电路，符号动力学，拓扑马蹄， 线性系统，随机信号，w i e n 桥式振荡器，双螺旋。 重庆邮电学院硼上论立 a b s t r a c t t h ec h a o t i cc i r c u i td e s i g ni sap r e r e q u i s i t et oc h a o t i cc o m m u n i c a t i o n ，t h e c h a o t i ce n c r y p t i o ne t c t h e r e f o r et h ef u n d a m e n t a lr e s e a r c ha n dd e s i g no fc h a o t i c c i r c u i t sa l ee x t r e m e l ys i g n i f i c a n t i nt h i sp a p e r , an e wm e t h o dt od e s i g nc h a o t i c c i r c u i t si sp r o p o s e d , t h r o u g hw h i c hi tb e c o m ev e r ys i m p l ea n df l e x i b l et od e s i g n c h a o t i cd y n a m i cs y s t e m s0 1 1t h es t a t es p a c eo fd i m e n s i o n sn o tl e s st h a n2 1 1 蚍5 lt h e r e m a r k a b l ec h a r a c t e ro ft h i sd e s i g nm e t h o di st h a tw ec a l lc h o o s ec o m p l e x i t yo ft h e c h a o t i ca t t r a c t o ra sw en e e d , a tt h es a m et i m et h i sm e t h o dn o to n l ym a k e sac h a o t i c a t t r a c t o rg l o b a l l ya t t r a c t i v e ，b u ta l s om a k e si te a s yt of i n dt o p o l o g i c a lh o r s e s h o e so f ac h a o t i ca t t r a c t o r 【2 岳删mc o r eo ft h i sm e t h o di s ：u s i n gt h ec h a o st h e o r ya n dt h e c o n t r o lt e c h n i q u e ，w ec a nc o n s t r u c tam a pb e t w e e ns e v e r a ls e t so nt h es w i t c hs e c t i o n ， a n dd e s i g nd y n a m i cs y s t e ms b ，s ea n ds w i t c h i n gc o n t r o lc 8r e s p e c t i v e 晦，t h e n s y n t h e s i z et h et h r e em o d u l e st oo b t a i nac h a o t i cd y n a m i cs y s t e m t h ec h a o sc a l lb e e a s i l yp r o v e db yt h et o p o l o g i c a lh o r s e s h o e st h e o r yf o rt h ep i e c e w i s ec o n t i n u o u s m a p sb yc o m p u t e r sa i d 2 8 1f i n e l y , t h ew h o l es y s t e mi sm o d i t j i e da n ds i m p l i f i e dt o m e e tt h er e q u i r e m e n t so f t h ee l e c t r o n i cd e v i c e sa n di t sp a r a m e t e r s ，a n di m p l e m e n t e d w i t hac i r c u i to rai n t e g r a t ec i r c u i t al o to fe x a m p l e sr r ep r e s e n t e di nt h i sp a p e rt o i l l u s t r a t et h ei d e ab e h j n dt h em e t h o d k e yw o r d s ：c h a o s , c h a o t i ca t t r a c t o r , c h a o sg e n e r a t o r , c h a o t i cc i r c u i t s ，s y m b o l i c d y n a m i c s ，t o p o l o g i c a lh o r s e s h o e s ，l i n e s y s t e m ，r a n d o ms i g n a l s ，w i e n - b r i d g e o s c i l l a t o r , d o u b l e s c r o l l 重庆邮电学院硕士论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得重废邮电堂院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 鸯诗者 签字日期：2 0 0 4 年5 月1 4 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重废鲣电堂院有关保留、使 用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权重鏖邮电堂陡 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：鸯清却导师签名：棚嘣眵孝 签字日期：2 0 0 4 年5 月工耳日签字日期：2 0 0 4 年5 月1 5 臼 重庆邮电学院硕十论文 第一章引言 混沌理论是近几十年才发展起来的活跃的前沿领域，与量子物理和相对论 一起被称为二十世纪三项重要科学发现。是有序决定的无序从而类似于随机的 现象。从哲学、科学和工程上来说，对它的研究都具有重大意义。 由于混沌具有长期不可预测性和随机性，所以它可以作为随机信号源，在 通信、保密等领域有很强的应用价值。从而掀起了对混沌信号产生器的设计的 研究热潮。研究发现有许多系统是混沌的，比如神经网络( 包括人的火腑) 、电 力系统、大气系统、天体系统、生态系统、电路系统、分子运动系统等等。电 路设计理论的发展丑趋完善。原则上，只要已经建立起来模型，我们都可以设 计合适的电路来实现它，作为混沌信号产生器。 经过几十年艰苦不断地研究，人们在混沌电路制作上，已经取得可喜的成 就”“。从以前研究较多的l o r e n z ，c h u a ，r o s e l e r 吸引子到它们千变万化的变 形和改进，再到许多其它新的奇怪吸引予。从目前的研究来看，人们主要通过 时间延迟，扰动输入，复杂系统等方法产生混沌信号，每一种方法都有自己的 优点和不足之处，实际上常常因为系统复杂( 比如神经网络) 难以操作、电路 本身的缺陷、非线性器件太多( l o r e n z ) 、精确度难以把握、稳定性不商( c h u a 电路) 、同步难度大、频带范围小、制作成本高等原因，所以大部分混沌系统设 计成混沌信号产生器是不现实的。目前混沌电路设计还具有很大的挑战性。 当前在利用某些开环或闭环控制使系统混沌化已经有些可喜的工作”1 “， 如利用动念控制器、小控制器使系统混沌化等；但是这些方法尚不够实用，也 缺乏普遍指导意义，而全面系统的研究尚未见到。运用控制思想设计简单的i f = 关线性控制使系统产生混沌行为，作者与其导师已有若干工作“”1 在总结过去的工作的基础上，通过学习拓扑马蹄理论的最新成果，考虑混 沌现象产生的机理，从几何和映射的角度去思索，最终把混沌系统分为三种模 块，每种模块完成一种功能，然后综合在一起得到混沌系统，这就是本文将要 论述的一类混沌系统的设计方法。这三个模块分别为动力系统s 。，动力系统s 。 和切换控制g 。对于一个介于两个切换面只和见之间的微分动力系统，只上 的一个集合在动力系统的作用下殃射成以上的玑，针对输入集合u ，和输出 集合乩的关系，建立s 。和s 。的概念。s 。作用是将u 映射( 分裂) 成多个不相 交的子集合，这些子集合被拉伸去覆盖以另外个集台u ，这样u 为一系 列互不连通的子集的并，这个系统就是混沌系统初值敏感依赖性的根of l 源u ；s e 是 将( ，演化成一个可以分裂的集合”，它保证了系统的有界性；切换控制就是s 。 和s ；之问的切换方式，它确保了系统的正常工作。在这种设计方法中，著名c h u a 电路将成为一个特例。同样，也可设计出与其它的著名吸引子形状相似的奇怪 吸引子比如r o s e l e r 吸引子。 重庆邮电学院硕士论文 图1 1 左髑为r o s c l e r 吸引子，右图为本设计方法设计的吸n 弓l 子( 单切换面平滑过渡) 两者形状报相似。 利用本设计方法，可以设计出完全利用线性器件( 电阻、电容、运放) 来 实现的混沌电路。这种设计方式最大优点是理论与实践结合紧密，准确性高， 容易工程实现，成本低，便于集成化。系统设计的灵活性决定了混沌电路具有 参数自主性高，系统稳定性和鲁棒性好，容易满足各种不同的实际需求等优点。 本文分三章：第一章为引言，讲述混沌现象的历史，选题的背景和意义； 第二章为混沌系统的理论与设计，着重从数学的角度去介绍混沌动力系统设计 方法的理论依据、具体步骤，本章中列举了大量的例子；第三章为混沌电路的 设计与实现，本章不仅介绍了从混沌动力系统到混沌电路的实现方法，而且还 介绍了将非混沌电路变混沌的方法；第四章为本文总结。 重庆邮电学院硕士论文 第二章混沌系统理论与设计 从符号动力系统入手，分析混沌现象产生的机制，然后提出一种设计混沌 系统的方法。 2 1 分段映射的拓扑马蹄理论 拓扑马蹄理论是研究混沌现象的一一种有力工具，本节将介绍该理论的一些 基本结论【3 0 川】，尤其是关于分段映射的拓扑马蹄理论l ，它们大都是建立在截 面映射的基础上的。 首先，我们大体回顾一下符号动力系统的有关知识。 令s ，= 0 , i ，m 一1 ) 为一个非负连续整数从0 到州一1 集合。存在双边无限序 列 占= ，s 一一，s 小j o ，j l ，s 一， ，j 。s ， 令，为所有5 的集合，考虑另外一个序列i 。 i = ，瓦，t 。，瓦，墨，瓦，) ，i s 。 那么s 和i 的距离定义为： 撕，2 萎击端， 眨， 有了( 1 ) 的距离定义，。就成了个度量空间，于是得到下面的结论【3 0 j 定理l 空间。是 i 1紧致的 i i ) 完全不连通的 i i 订完备的 同时满足上面命题三个条件的集合通常被称为c o n t o r 集。而c o n t o r 集通常 可以展现出混沌动力系统的不变集的结构复杂性。 定义m 移位映射( m s h i f t m a p ) 盯：，寸。如下 盯( s ) ，= s i + i 即：a ( s ) 令s 的每个元素左移一位。 例：f ( ，s t ；，) 则仃0 ) = ( ，s _ l ，s o 渑，) 。 重庆邮电学院硕士论文 于是我们又得到了如下定理； 定理2 a ) o - ( x 。) = z 。，并且盯连续。 b ) 定义在。上的动力系统的移位映射盯有一下性质： i )盯有可数、无限多个、含有所有周期的周期轨； i i )盯有不可数且无限多个菲周期孰； i i i ) 仃有1 条轨道在。中稠密。 本定理的证明请参考d o 。由定理2b ) 可以推出由移位映射盯产生的动力 系统对初值具有敏感依赖性，所以是混沌的1 3 0 i 。 现在回顾一下拓扑马蹄理论的一些基本结论 3 2 - 3 4 i ， 令j 是一个可分的度量空间，q 是的紧子集，f ：q x 是映射，做出 以下假设3 。 假设3 ：f 3 4 l 存在q 的埘个互不相交的子集q 1 ，q ，且对于每个q 确f f l q , 连续。 定义4 ：m 】令f 是q 的紧子集，对于任意l s f 蔓晰，f ，= r n q 非空且紧致，我 们称f 为对应j 二q l ，绒的连接。令f 为一簇对应于q 1 ，绋的连接，如果 f f 可推出f ( f ，) f ，则f 称为对应于q 1 ，绒的，连接簇。 定理5 i ( x s y a n g y t a n g ，2 0 0 4 ) 如果存在上面的连接簇f ，那么将存在 一个紧不变集q q ，并且厂i q 半共轭与一个m 移位映射。 h 半共轭一般定义：若存在连续映射h ：9 呻。满足h 。f = 仃。h ，于是与盯 半共轭。关于半共轭，有以下重要结论。 定理6 1 3 2 ( x i o n g , 1 9 8 8 ) 对于两个动力系统( x ，) 和( y ，g ) ，如果( ，) 半共轭 于( 1 ，g ) ，那么，_ 厂的拓手卜熵不小于g ，即 e n t ( f ) e n t ( g ) 。 证明请参考【3 2 j 。又因为p h r p ) = l o g m l 3 3 1 ，这里g = 盯，所以p 耐( ，) l o g m ， 所以当m 1 时，动力系统，是混沌的。下文暂且称，代表的映射为混沌映射。 重庆邮电学院硕上论文 2 2 系统设计方法 混沌现象的本质实际上就是对初始值的敏感依赖性。如何构造这种性质 呢? 从上面的讨论可知，在拓扑学上，简单的来说混沌映射就是一个不断拉伸 折叠的过程，我们的目的就是为了构造一个含有混沌映射的系统。 在一维的情况下混沌现象，大多是通过映射来实现的，比如帐篷映射： 矗+ l = , - l r n ( 1 一k ) ( 2 1 ) 称之为人 j ( 或虫口) 方程，即著名的l o g i s t i c 模型。所以一维的混沌现象实 现起来比较简单，通过计算机或者数字器件都可以。 二维以上的混沌系统，大都是非离散的，常常表现为微分动力系统。这样 的系统，如果用计算机来实现的话则需要大量的运算，对计算机的速度要求很 高。然而微分动力系统在现实生活中无处不在，所以我们可以用客观实际系统 来实现混沌模型，首先抽取现实生活中的若干事物作为状态变量( 比如：行星 的速度、位移，脑神经元的电脉冲幅度，电容两端的电压，电感上的电流等等) ， 然后我们就可以借助于社会的或物理的运动规律来实现所建立的混沌模型。本 文则论述的是如何借助于电路系统来实现混沌现象的。 下面从简单到复杂，按顺序介绍如何二维、三维上利用切换的方法来构造 混沌。 2 2 1 二维混沌系统设计 先考虑二维平面上一个简单的系统s 。： 它的解为： = ( 二搬 ( 羔) f 。- s i n n r t 蝴s i n m 啾1 1 x o ：1 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 从几何的角度，五决定向量( 五，屯) 的伸缩速度，珂决定向量“，) 7 的 旋转速度。若五，盯 0 ，任取一较小的初始值，则系统相图如下( 图2 1 ) 所示： 5 - 重庆邮电学院硕士论文 现在考虑如何在上面建立切换控翎以将它变为混沌系统。 利用控制的方法，当系统状态遇到曲线a b 的时候( a b 为轨道上的点) ，我 们把a b 通过某一映射p 映射为另一曲线b 。b 与轨道有交点 c ，d ，f ，f 。，然而，c i d ，d f ，f 尸，在系统经过某时问都将变成a b ， 设这个映射为h ，a b 又通过映射p 成为a b ，。这样下去，a b 相当于不 断的被截为许多小断，然后每断又被拉长覆盖到a b 上。对于任意相邻的两点 任何时刻他们都是趋于分开的，且又有界，所以这个映射也是混沌的。 现在开始利用符号动力系统，来证明这种方法设计出的系统是混沌的。 证：在a b 上取点c 、d 、e 、f 、，使得e ( c ) = c ，p ( d ) = d ，p ( e ) = e ， p ( f ) = f ，。 令q 为a b 在两端各移除一个任意小的开集后剩下的集合，则q 紧致。 令，( ) = h ( p ( ) ) ，则f ( c d ) = a b ，( 嬲) = a b ，f ( e f ) = a b ，所以 我们可以在c d ，d e ，e f ，上找到q 的脚个互不相交的集合q i ，q ，且对于 每个q 有，l q 连续，其中q l c c d ，q 2 匕d e ，姨c e f ，。所以很容易找 到定义4 中的对应于q 1 ，q 的f 连接簇f 。 由定理5 可知存在一个紧不变集易9 ，并且厂娩半共轭与一个m 移位映 射。由定理6 可知系统的拓扑熵l o g m ，所以当m l 时系统是混沌的。 证毕。 从上面的证明可知，系统s 。只要是螺旋h 发散，a b 和爿b 任意选取或名 - 6 l 皇垦堂皇兰堕堡主堕塞 扭曲，若仍能保证上面描述的性质，那么就可从上面的证明得出整个系统是混 沌的结论，所以这种方式设计出的混沌的鲁棒性很强，也就是说映射尸只需要 近似的实现即可。 从原理上讲，由于系统s 。的作用，曲线管f 的进行了分裂，分裂成若干部 分，然后每部分不断的变长，最后叠放到a b 上。如果把爿f 看成一1 个细胞的 话，这个过程与细胞的分裂生长有点相似。映射p 的作用是将a b 演化为a b ， 不仅为了保证系统状态变量的有界性，还为了a b 的下一次分裂拉伸做准备， 具有映射p 的作用的系统，我们用& 表示。为了使各系统发挥出它应有的映射 作用，使系统出现混沌，我们就需要通过一定的切换控制c 。来实现，在不同系 统问的不断切换，从而a b 就得到了不断的分裂和演化，于是产生了混沌。 动力系统& 、动力系统s 。和切换控制c 。就构成了本设计思想的基本模块。 例2 1 、平面单螺旋混沌系统 s 。的设计： s 。的设计： 1 7 x f 2 4 a ) 主= ：? ( 善一( ：) c z 。b ， c 。的设计： 在系统s 。下，当x 。正向穿过 = 1 时启用动力系统s 。；在系统s 。当x 。负向 穿过x 。= 0 时启用系统s 。 计算机仿真结果： 重庆邮电学院硕士论文 5l 一1 5 l 一 15005 1 8 图2 2 平面单螺旋混沌系统，初始值为= 【o 1 ，o 1 】7 ，初始系统为s b 。 因为只要能够保证在有界的情况下存在不断的分裂，系统就能产生混沌。 所以，我们可以略去动力系统，而直接采用多个动力系统。下面例2 2 则为双 动力系统产生混沌的一个例子。 例2 2 、平面双螺旋混沌系统 s 。：的设计： 量= ( 一：。：) x 。1 * ( ： ( 2 5 a ) c 。的设计： 在系统& 。下，当x 。正向穿过而= l 时启用动力系统s 。：；在系统& ：下，当x 负向穿过_ = 0 时启用系统s 。 计算机仿真结果： 8 - 重庆邮电学院顿十论文 图2 3 平面单螺旋混沌系统，初始值为x o = 【0 1 ，0 1 】7 ，初始系统为s 口l 。 从例2 1 和例2 2 可以看出，要在二维平面上设计混沌系统，首先需要在平 面上设计出各个曲线之问的映射关系图。然后根据关系图，设计动力系统s 。和 动力系统& ，最后设计备系统之间的切换方式g 。用这种方法可以在平面上设 计出各种复杂的混沌系统。参考文献【1 2 1 将是本设计方法的一个特例，它采用滞 迪电路来进行系统切换。 图2 4 参考文献【1 2 1 中的混沌电路示波器图像 2 2 2 多维混沌系统设计 基于二维情况的思想，我们可以借助二维以外的空间中来实现上面的映射 首先，考虑一个方程( 2 2 ) 在三维的扩展： 重庆邮电学院硕士论文 y 矧 ( 2 6 ) 由于如与工l 和x 2 没有耦合，其解为： 屯= e - c x 。3 。若， 0 ，且足够人，刚空 间中的任意点都会以极快的速度被吸收到五o x ：平面附近。 图2 5 二维空间中的设计混沌映射原理闰 在动力系统( 2 6 ) 下，集合r 由外到内被切割成许多段墨、马、墨r ， 经过某时间撞到r 所在切换面后，都被在毛方向压缩和x ：方向拉伸且两头正好 到达五的边界，设这个映射为何。由于k i 随时间减小，时间越长被压缩的就 越很，位置就越靠近x l o x ：平面。当r 高度足够小时， 日( 胄。) 、( 胄2 ) 、 h ( r 3 ) 将按从上到下的顺序堆叠在丑上。如果存在映射p ，r = p ( 只) 。若h 和p 交替执行，则这种拉伸堆放将会不断地进行，这就使整个系统产生了对初 始值的敏感依赖性，所以系统是混沌的。 万五 z 玎 。r = 、lj五而b，l 重庆邮电学院硕士论文 ，隅) ，( 玛) ，岱) 隆| 2 6 三维空间中的设计混沌映射关系 现在开始利用符号动力系统，来证明这种方法设计出的系统是混沌的。 证明： 令q 为r 两端各移除一个任意窄的开集所剩下的集合，则q 为紧集。 令厂( ) = h ( p ( ) ) ，如图( 2 6 ) 所示，则因为厂( 置) 、，( 马) 、，( 马) 、 都横穿r 。、r ：、r ，、，并且正好到达r 的两端，所以我们可以分别在 月。，恐，墨，心找到满足假设3 的q l ，q 2 ，q 3 ，巴，以及对应于q l ，绒的，连接 簇f 。 由定理5 可知存在一个紧不变集q ，f 2 ，并h f i q x 半共轭与一个脚移位映 射。由定理6 可知系统的拓扑熵l o g m ，所以当m 1 时系统是混沌的。 证毕。 与二维的时候一样，动力系统品只要是螺旋且发散，区域月能够在系统s 。 下分裂成多个块，然后拉伸覆盖到f 上；动力系统& 只要能够将r 演化为足， 那么就可从上面的证明得出整个系统是混沌的结论，所以这种方式设计出的混 沌的鲁棒性很强，也就是说映射p 只需要近似的实现即可。 同样，本质上，只要系统存在循环分裂且有界的映射就可以造出混沌，所 以& 和s ，可以根据需要任意组合，有时也可以略去动力系统& 。不同子系统 之间就通过切换控制来实现g 。 如果系统存在吸引子，验证这个吸引子是否是混沌吸引子：方法一、可以 通过判断第二章第一节中满足假设3 的映射是否存在，如果存在，这个吸引子 就是混沌吸引子，那么对应得系统就是混沌的；方法二、用数值的计算方法， 重庆邮电学院硕士论文 计算最大l i a p u n o v 指数，如果为正那么系统就是混沌的。如果系统不混沌，就 需要返回检查系统结构是否有问题，如果结构正确。就需要调节参数，最终找 到一个满足需求混沌系统。 例2 3 ：单蜒旋结构c 2 2 】。 如下图所示，利用截面进行切换，截面的下边启用系统动力系统& ，截 两的上面启用动力系统s 。如下图所示： 分别设计出写出，动力系统& 、动力系统& 和切换控制g 。 动力系统研： 膏：f _ 0 。? 。0 ， l 0 0 1 0 j 书描1 0 荆0 x-5， f 2 7 a ) ( 2 7 b ) 设平面p ；x 2 + x 3 = 5 为切换面，p 的下边启用系统动力系统& ，p 的一 ：面 承庆邮电学院硕士论文 启用动力系统& 。 膏= 4 x + 5 c y ) ( 毋+ t ) ( 2 ，8 ) 其中爿= 。：一；。 ，口= 一i 。 ，七= 。4 。，y ；c r 算，c = 习，s c ，= z 三； 图2 8 利用截面进行切换的单螺旋澍沌原理图 经过计算机仿真计算出来的三个l i a p u n o v 指数分别为0 0 7 3 ，0 0 0 和9 3 。 经验证，这个吸引子是全局吸引的。这个系统为什么会吸引，可以这样理 解，动力系统的系统矩阵特征值为【0 5 9 9 8 7 5 i ，0 5 + 9 9 8 7 5 i ，1 0 】，而动力系统 的特征值为【- 4 5 0 0 0 - 1 3 4 0 7 1 i ，一4 5 + 1 3 4 0 7 1 i ，- l o ，可见动力系统品的随时问的 收敛速度远远大于动力系统& 随时间的发散速度，所以最终表现得结果为整个 系统有界。动力系统的平衡点在系统中真实存在，且是一个不稳定的平衡点， 而动力系统的平衡点为稳定的，但是出于切换面下，所以它在整个系统中不存 在。整个系统只有一个不稳定的平衡点和一个混沌吸引子，所以这个混沌吸引 子是全局吸引的。这个模型是一个输出为标量的状态反馈模型，这就意味着利 用这种设计方式，我们不但可以设计出全局吸引的混沌吸引子，而且还能够将 现有的非全局吸引的吸引子用状态反馈法让它全局吸引。 重庆邮电学院硕上论文 例2 4 ：双螺旋和多螺旋结构暖2 1 。 如下图2 9 ( a ) 所示，利用截面进行切换的双螺旋结构，截面的上下均采 用动力系统。下图2 9 ( b ) 为多个螺旋的情况，是图2 9 ( a ) 的情况的推广。 ( a ) ( b ) 图2 9 ( a ) 为两个系统( 4 ) 对接形成混沌原理图，( b ) 多漩涡的混沌系统原理图。 设计如下： 动力系统& 。： 动力系统& ： 切换控制c s ： 童= 工 童= 彳( x 一6 ) f 2 9 a ) ( 2 9 b ) 切换面p ：y = c 工= d 在切换面下采用系统s e 。，在切换面上采用系统s 。：。 上面描述中爿= ( 善曼 ，6 = 喜 ，c = o 。 洲( 一删“咖拈箸 选取参数口：0 5 、声= 1 0 、y = 1 0 、d = 4 、o ：，计算机仿真得到的系统相 图( 图2 ，经数值计算得 指数x分别0loa)liaptmov 为o 8 9 1 ，0 0 0 0 和一9 2 3 2 。 重庆邮电学院硕士论文 l i a p u n o v 维数为2 0 9 7 ，所以系统肯定是混沌的，关于利用最新拓扑马蹄理论 的证明请参考1 2 8 1 。 图2 1 0 a 双螺旋混沌吸引子 由双螺旋情况，我们可以很轻易推广到多螺旋的情况。实际七我们只需要 对切换函数s ( y ) 做一下简单的调整即可，我们令s ( y ) 按下图取值。 01- 2 3 图2 1 0 b 切换函数s ( y ) 的图像 选取参数口= 0 5 、f l = l o 、，= 5 、d = l 、d 。= 0 ，计算机仿真得到的系统相 图( 2 1 0 c ) ，经数值计算得l i a p u n o v 指数分别为0 8 9 ，o 0 0 和一4 5 2 。l i a p u n o v 维 数为2 2 0 。所以系统是混沌的。 3 2 1 o 1 s 重庆邮电学院硕上论文 圈2 1 0 c 多螺旋混沌吸引子 由于映射p 的设计具有很大的灵活性，所以一方面，我们可以通过设计映 射p 来改变吸引予的全局性态，使它大范围吸引，从而产生持续稳定的混沌信 号，另一方面，我们可以把现有的其他吸引子应用在文中设计的吸引子中，来 提高混沌信号的性能。 例2 5 空间多螺旋结构1 2 4 l 如图2 ，1 l 所示，多个截面的区域的吸引子形状。 图2 1 1 混沌系统切换原理图。 熏庆邮电学院硕 论义 - 1 ，os s 占x - 搿s ( x + z ) 咖圳 ，汜”a ， j ( ”) = o 1 2 ” l l “ 3 3 ? 曲。( 2 1 l b ) ( k 一1 ) ( 2 k 一3 ) ” ( 2 k - 1 ) k ( 2 k - 1 ) “ 经过仿真相图2 1 2 ，因为最大l i a p u n o v 指数大于0 所以系统是混沌的。 2 2 3 系统间的切换 图2 1 2 混沌系统相图 设系统为量= ，( z ) ，i = g ( z ) ，切换曲面方程为烈x ) = 0 ，若p ( 石) d d 更改为s ，= 一d ，ji ! 三：； d 。 i 冬| 2 1 3 更改切换函数后混沌系统相图，相当于三个系统得切换，中间多加了一个& 。 2 2 4 小结 e 面给出的只是几个简单的例子，实际上用这种方法可以在三维空间设计 出各式各样的混沌吸引子下图( 扣d ) ，同样也可以在高维空间生成混沌吸引子下 图( e - o 。 在设计步骤上与二维空间相似，首先需要在三维空间确定所有的r 和rr ， 以及它们之间的演化关系。然后构造动力系统s 。和动力系统砩( 系统的个数不 受限制) ，如果想得到全局吸引的混沌吸引子，可以用例( 2 3 ) 的设计方法，对边 界处的动力系统进行限制；接着设计切换控制q ；最后将整个系统综合起来， 1 3 重庆邮电学院硕i - 论史 根据需要，可以对系统做局部调整或者对整个系统做坐标变换。 ( a ) ( c )( d ) c e ) 图2 1 3 用文中的设计方法设计的其他混沌系统 ( f ) ( a ) 上下两个平行的切换平面；( ”上f 两个平行切换平面，平滑过渡； ( c ) 旋转锥面做切换面1 2 5 】；( d ) 一个平面切换； ( e ) 四维空间面切换参考8 ”：( e ) 四维系统中用多个平面切换，平滑过渡 - 1 9 - 重庆邮电学院硕士论文 第三章混沌电路设计与实现 上一章中介绍了，如何设计混沌系统，下面介绍如何用电路实现混沌系统。 理论卜讲，只要是因果系统都可以用电路来实现。 线性电路和简单的非线性电路设计目前已经有比较成熟的理论。利用现有 集成芯片比如运算放大器、电压比较器、电流传输器、模拟乘法器等，我们不 但很容易就能够造出混沌电路设计所需要的基本单元：积分电路，加法电路， 乘法电路等；而且也很容易构造出切换电路( 非线性) 所需的基本单j 二：比较 电路，箝位电路，滞遛电路，模拟开关电路。由于这些都是电子线路的基本知 识，这罩就不赘述，需要的话请参考这方面的书烈”j 。 3 1 设计混沌电路 总的来说，电路设计首先要建立模型，接着选取合适的电子元件和元件参 数并绘制电路图，在计算机内做电路仿真( 修改模型) ，最后制作电路版，焊接 电路，测试电路，经反复改迸，最终得到成品。 针对于混沌电路设计来说，我们需要设计两类系统& 和& 的基本单元电 路。如果& 和& 都是线性系统，设计起来则比较简单，问题的难点就变成了如 何实现它们之间的切换g 。这个时候需要将& 和& 综合成一个系统，然后在其 中加入切换基本单元，用系统状态输出来控制这些基本单元。于是我们就得到 了一个粗略的系统轮廓，接下来就是简化整个系统，有时也需要抓住主要矛盾 修改模型来化简系统。 f 面举例说明混沌电路设计的具体步骤。 例3 1 设计例2 3 的混沌电路 音= 4x - s e c r 力6 ) ，s c r ，= ：；： c ，t ， 因为门口所以一= 丢三 与一= 手三 特征值特征向量非 萤痰邮电学院硕士论文 f o o 1 常接近，以抓住主要矛盾、电路尽量简单为原则，我们采用爿= | - 2 a 0 i 。 l 0 0 一， 冈为我们使用的运算放大器都是双电源供电，所以我们将s o ) = ：! ： 修改为s ( _ y ) = _ ! i ：后，相当于把系统下面的螺旋沿着屯和而的负方向移 然而s ( y ) = 二：不连续，电路不能实现，是因为实际电路系统的状态 f 1 y 占 变量都是连续变化的，所以我们将其修改为s ( y ) = j ，肛 占，y = c t x 。 【一1 y - b ( 差i = 嘉 虽略一三 差i 一s c k ，+ k j ， ：盔 t ，z ， 矿吃r 髟， | 叫 吃叫r ，l ( 3 3 p s v 。r f r n 图3 1 混沌电路系统( 3 2 ) 电路琏l 。 南也 重庆邮电学院硕士论文 参数选择： 从方程可知胪l ，2 a = r r 口，d = 冗墨，占= 吃r r ，i 。 由于手头一卜只有1 6 t q 、3 3 j j o 、2 0 七q 、3 0 k d 、4 0 k d 的电阻和0 0 1 z f 电 容。所以我们选取r = 1 6 k n ，凰= 2 0 触，r 一= 2 0 枷，r ，= 3 0 艘， = 1 2 v ，c x = c y c z co 0 1 旷。 在m a t l a b 中仿真得： 图3 2 混沌电路系统( 3 2 ) m a t l a b 仿真相图。 对这个电路进行简单修改就可以得到单螺旋和多螺旋的情况，在示波器上 的观察的结果展示如下： ( a )( b ) 图3 3 ( a ) 单漩涡，( b ) 多漩涡得到的示波器图像。 例3 2 设计例2 5 的混沌电路 对于混沌系统( 2 1 1 ) 设计电路模型和电路图如下所示： b 2 】 r ，2 2 重庆邮电学院硕士论文 l 巳。，0 丫 1 r ，2 2 0 0 o i r ，3 3 人v 3 h s ( v l s ( v 2 o 5 s ( v l 十v 3 ) 图3 4 由系统( 3 4 ) 设计得到的电路图。 ( 3 4 ) 运算放大器用5 ：v c c 供电，v c c = 5 v ，r = r i 。2 = b 2 l = 巧”= 3 ， r ，2 2 = 3 0 k n ，c 1 = c 2 = c 3 = c = l o o p f 。 切换函数s ( u 1 设计得到的电路模型为： s 似) o 1 c ，” 2 - v c c 聍 ( t - 1 ) v c c n k v c c ” 进一步设计电路为： “ 1 n v c c 1 p o c ，i 1 材 3 0 c n 3 v c c n _ u 5 砌 ，七n n ( 3 5 ) ( 2 k 一3 、v c c n “ 2 时， 原点不稳定， - - ： 一、， k k u 一 争缈局 |1， 一 j 寸 一 卜 5 0 重庆邮电学院硕i j 论文 3 设计电路方程 电路方程： 图3 8 系统( 3 8 ) 的两个特征根。 瓤吩筹舷时， 当2 _ + _ 警+ 时， 吱= 去( c 扣一一_ 哆= 去睁一_ 1 t 一意_ 吱= 去 半一 嘭；去( 半_ 吃= 一去t + 面v c c ( 3 9 b ) 反复仿真改进，最终选择参数e = c y = e = c = 0 1 z f ，r = r 。= 1 6 鼬， r 2 = 恐= 3 3 k n ，r ，= 9 1j m ，r 4 = 4 7 鼬，v c c = 5 v ，运算放大器全部用v c c 供电。 孙 、， _ 一、。， 0 d 一 重庆邮电学院颅十论文 图3 9 系统( 3 9 ) 的电路圈 右上区域在马断开时为原系统的电路方程，左上区域为电压跟随器输出， 下面的区域为向第三维空间扩展产生控制信号控制w i e n 桥式振荡电路，最终的 得到的示波器图像( 3 1 0 ) 。 图3 1 0 电路( 3 9 ) 的示波器显示结果 重庆邮电学院硕士论文 第四章结论 本文在总结过去的工作的基础上，通过学习拓扑马蹄理论，考虑混沌现象 产生的机制，从空间中流形和映射的角度去思索，最终把混沌系统分为三个模 块( 动力系统s ，动力系统s ，切换控制c s ) ，每个模块完成一种功能，然后综 合在一起得到混沌系统。基于这种思想，提出了一种简单灵活的混沌电路设计 方法。仔细分析了如何设计混沌系统和如何实现混沌系统，以及将两者结合起 来义介绍了如何将现有电路系统变混沌。文中给出许多成功设计的案例。设计 出的混沌电路可以完全利用线性器件( 电阻、电容、运放) 来实现，这种方式 最大优点是理论与实践结合紧密，准确性高，容易工程实现，成本低，便于集 成化。系统设计的灵活性决定了混沌电路具有参数自主性高，系统稳定性和鲁 棒性好，容易满足各种不同的实际需求等优点。 重庆邮电学院硕十论文 致谢 本文是在导师杨晓松教授的悉心指导下完成的。在攻读硕士期间，杨教授 无论是在学习上还是在生活上都给了我无微不至的关怀和帮助。杨教授渊博的 知识、严谨的治学态度和勤奋的工作作风给我留下了深刻的印象，并深深地陶 冶了我。这儿年来，本人在杨教授的指导下完成了多项科研课题的研究开发工 作，使我各方面的能力均得到了锻炼和提高，在此谨向杨教授表示衷心的感谢! 感谢非线性系统研究所和光电工程学院的各位老师、以及寝室和实验室的 全体师兄师弟们给我多方面的帮助! 感谢父母多年来含辛茹苦的支持和亲朋好友的鼓励帮助，使我得以顺利的 完成学业! 感谢我的女朋友杨芳艳在精神上和生活上对我的极大地支持! 重庆邮电学院硕上论文 攻读硕士学位期间从事的主要科研工作及发表的论文 1 从事的主要科研工作 项目名称 鉴定单位强时问参与蛊愉 混沌控制及其在通信理论中的应用( 获奖) 重庆市科委，2 0 0 1 年1 月 主研 3 系统稳定区域估计及其在电力系统中的应用 重庆市科委，2 0 0 3 年1 月主研 2 混沌神经网络与应用 国家教育部( 待结题)土研 2j 混合系统的混沌现象与控制 重庆市教委( 待结题)主研 2 2 发表或即将发表的论文 共计l o 篇，s c i 源9 篇，e l 源3 篇 题目耐物期号砟者 【1 lm u l t i p l e - s c r o l l sc h a o t i ca t t r a c t o r e l e c t r o n , l e f t ( s c td g , e 1 翊 3 9 1 8 ( 2 0 0 3 )q - l l x - s y m a g ， a n di 括c i r c u i ti m p l e m e n t m i o n f y x a g 【2 lc h a o sg e n e r a t o rv i aw i e n - b r i d g e e l e c t r o n 如托( s c t 龋e 1 期 3 8 1 3 x - s y a n g , o s c i l l a t o r ( 2 0 0 2 6 ) q l 1 3 lat w i n - s t a rh y p e r c h a o t i ca t t r a c t o r 舨l c i r c w i t l h e o a n d a p # f 砌鼬f 羽 3 1 ( 2 0 0 3 钔 x - sy a n g , q a n d 乜c i r c u i ti m p l e m e n t a t i o nl i g c h e n