（理论物理专业论文）异结构混沌系统的同步研究.pdf

学位论文独创性声明 i i i ii iii i ii lle l l l i llll 17 9 5 6 3 7 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：叠蚕： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：查鲞三壹 指导教师签名： 签名e l 期： 少o 年铜多日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 本文首先概括性地介绍了混沌理论的发展历程，然后从不同角度提出的混沌概念进 行了归纳并通过典型实例描述和解释了混沌现象；在此基础上，着重归纳了混沌同步的 定义和经典的同步方法并简要叙述了国内外混沌同步的研究现状。鉴于异结构混沌系统 之间同步的重要性，本文采用了两种方法对于两组不同特点的异结构混沌系统的同步问 题进行了分别研究。其一是以新系统、l o r e n z 系统以及a m e o d o 系统为例，采用了非线性 变量反馈的方式，通过b a e k s t e p p i n g 方法构造- l y a p u n o v 巍数，从而确定了相应的同步 控制器，旨在研究异结构混沌系统的完全同步问题。此方法具体地呈现了控制器的选择 过程，系统的同步误差以指数形式收敛，具有同步速度快和便于实际应用的特点；其次 是以具有拓扑等价性质篚j s p r o t t 。b 系统和s p r o t t c 系统作为例，依据稳定性判据，应用改 进的主动控制法，研究了拓扑等价的异结构混沌系统的延迟同步问题，其中通过确定合 适的增益矩阵，得到了实现混沌同步的条件。两组实例均通过仿真模拟验证了混沌同步 原理的有效性。 关键词：混沌同步；l y a p u n o v 原理；完全同步；延迟同步；数值仿真 异结构混沌系统的同步研究 s t u d y o ns y n c h r o n i z a t i o no fd i f f e r e n t - s t r u c t u r a lc h a o t i cs y s t e m a b s tr a c t f i r s t ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fc h a o st h e o r yg e n e r a l l yi nt h i sp a p e r w e s u m m a r i z et h ec o n c e p t so fc h a o sb r i n g i n gf o r w a r df i o md i f f e r e n ta s p e c t s ，t h e nd e s c r i b ea n d i n t e r p r e tt h ec h a o sp h e n o m e n o nu s i n gt y p i c a le x a m p l e s b a s e do nt h i s ，w ep u to u ra t t e n t i o n o ng e n e r a l i z i n gt h ed e f i n i t i o no fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n dc l a s s i c a ls y n c h r o n i z a t i o nm e t h o d s ， t h e nb r i e f l yi n t r o d u c et h er e s e a r c hs t a t u so fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na th o m ea n da b r o a d b e c a u s eo ft h ei m p o r t a n c eo ft h es y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt w od i f f e r e n t s t r u c t u r a lc h a o t i c s y s t e m s ，w es t u d yt w og r o u p ss y s t e m sw h i c hh a v ed i f f e r e n tf e a t u r e su s i n gt w od i f f e r e n t m e t h o d s t a k i n gx i ns y s t e m ，l o r e n zs y s t e ma n da m e o d os y s t e ma sa ne x a m p l e ，a p p l y i n gt h e n o n - l i n e a rv a r i a b l ef e e d b a c km e t h o d ，l y a p u n o vf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e db yb a c k s t e p p i n g ，t h e c o n t r o l l e ri sc o n f i r m e da n dt h ec o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o no ft w od i f f e r e n t s t r u c t u r a lc h a o t i c s y s t e m si ss t u d i e d n o to n l yi se x p o n e n t i a lc o n v e r g e n tt h es y n c h r o n i z a t i o ne r r o r ，b u ta l s o p r e s e n t sas y s t e m a t i cp r o c e d u r ef o rs e l e c t i n gap r o p e rc o n t r o l l e ri nt h i sm e t h o d t h u s ，s y s t e m s a c h i e v es y n c h r o n i z a t i o nq u i c k l ya n de a s i l y t h e n ，t h es p r o t t - ba n ds p r o t t cs y s t e m sw h i c h h a v et o p o l o g i c a le q u i v a l e n c ef e a t u r e sa r et a k e na so u rm o d e l s ，b a s e do nt h es t a b i l i t yc r i t e r i o n a n dt h em o d i f i e da c t i v em e t h o d ，w es t u d yt h el a gs y n c h r o n i z a t i o no ft h es p r o t t - ba n d s p r o t t cs y s t e m s b yc h o o s i n g c o n f o r m a b l em a t r i x ，w eo b t a i nt h ec o n d i t i o no f s y n c h r o n i z a t i o n n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s r e s u l t ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft w oc h a o t i c p r i n c i p l e s k e yw o r d s ：c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ；l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ；c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n 。l a gs y n c h r o n i z a t i o n ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 1 绪论一1 1 1 混沌系统的概念1 1 2 混沌系统的特性：一4 1 3 混沌系统的同步。5 1 3 1 混沌同步的定义5 1 3 2 混沌同步方法6 1 4 本文工作11 2 异结构混沌系统的完全同步1 3 2 1 问题的提出1 3 2 2 控制器的设计1 3 2 3 仿真模拟17 2 3 1 新系统和l o r e n z 系统同步1 7 2 3 2l o r e n z 系统和a m e o d o 系统同步2 0 2 4 结论2 5 3 异结构混沌系统的延迟同步2 6 3 1 问题的提出2 6 3 2 同步原理2 6 3 3 控制器的设计及模拟仿真2 7 3 4 结论：3 4 4 总结与展望3 5 参考文献3 6 攻读硕士学位期间发表学术论文情况一3 9 致谢4 0 辽宁师范大学硕士学位论文 1 绪论 混沌理论【l 】与相对论和量子力学并称为二十世纪“三大科技革命 ，它揭示了自然 界普遍存在的复杂性，并将确定论和概率论两大学科紧密地联系在一起【2 】。混沌理论研 究起源于2 0 世纪上半叶对微分方程求解。p o i n c a r 6 在研究一些特殊微分方程的解时发 现，初始条件在求解过程中扮演着重要角色。例如，将初始条件稍微改动，很可能会引 起解的巨大差别甚至无解情况的出现。在随后的6 0 年代，美国气象学家l o r e n z 通过计 算一个三变量方程组研究大气环流的复杂现象时，发现初始值的变化对这一过程影响很 大，而且它的解具有不完全随机性【l 】。此外，这种看似随机的现象其实在本质上却透露 出某种规律性和有序性，这就是著名的混沌吸引子，也标志着非线性系统混沌理论的诞 生。于是在1 9 7 5 年，l i 和y o r k 总结了前人的工作，给出混沌的数学定义【3 】，拉开了对 混沌理论深层探索以及对非线性系统混沌现象研究的序幕。此后的十几年中，人们将混 沌理论的研究重点放在了怎样从有序的状态进入混沌的性质和特点，并且进一步对混沌 理论进行了总结，对混沌结构进行了研究。美国籍法国数学家m a n d e l b r o t 用计算机绘 出了世界第一长的m a n d e l b r o t 图像【4 】。通过由时间序列提取分数维和l y a p u n o v 指数等 混沌学的特征量，g r a s s b e r 等人提出重构动力系统的理论方法，使混沌理论进入了实际 应用的阶段【5 】。步入二十世纪九十年代，美国科学家p e c o r a 和c a r r o l l 等人分别在混沌 同步和混沌控制方面取得了很大的突破，进而在全球掀起了“混沌控制热 ，使得这一 方向迅速成为混沌研究领域的热点【6 】。同时，混沌同步【刀作为混沌控制的一个重要分支， 更是引起了学者们的广泛关注。 1 1 混沌系统的概念 尽管混沌理论已受到了人们的极大关注，但迄今为止，混沌还没有一个普遍且公认 的数学定义。一些人从不十分严格的意义上考虑，如果一个系统既能表现出对初始值的 敏感性，又能体现出非周期的运动行为，就可以认为这个系统是混沌系统。 混沌一词是由美籍华人学者l i 和美国数学家y o r k e 在1 9 7 5 年率先提出的。两位学 者在“周期3 意味着混沌的文章中给出了混沌的一种数学定义，也就是著名的l i y o r k e 定义【7 】： 定义1 设厂为闭区间i 上的连续自映射，如果满足如下条件： ( 1 ) 厂周期点的周期所构成的集合不存在上界。 ( 2 ) 设d 为闭区间i 上的不可数子集， 任意给定x x ，d ( x i x ，) ，有： 异结构混沌系统的同步研究 l i m s u pi ”( 墨) 一f “：) l 0 任意给定x ，x ，d 有： l i m i n flf ”( x 1 ) 一f ”( x 2 ) | - 0 ( 3 ) 任意给定置d 及厂的任一周期点x ：有： l i m s u pi ”( 五) 一“( 工：) | 0 这里”( ) = 厂( 厂( 厂( ) ) ) 表示n 重函数关系，则称厂是混沌的【7 】。 上述定义准确地描述了混沌系统的三个主要特征： ( 1 ) 具有所有阶的周期性轨道； ( 2 ) 具有一个不可数的集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个混沌轨道既不趋 向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一个周期轨道， 也就是说，此集合不存在渐进的周期轨道； ( 3 ) 混沌轨道应该具有高度的不稳定性。 l i y o r k e 定义准确地描述了混沌运动的特征，但这个定理本身只是预测有非周期轨 道存在，既没有涉及这些非周期点的集合是否具有非零测度，也没有涉及哪一个周期是 稳定的，因此应用此定义判定一个系统是否为混沌系统有一定的难度。此后，又有人从 其它方面提出了混沌的定义，其中最具有代表性的是d e v a n e y 8 1 定义和周作领定义【9 1 ， 接下来我们作一简单介绍。 定义2 设m 是一个度量空间。一个连续的映射厂：m m 称为m 上的混沌，如 果： ( 1 ) 映射厂具有拓扑传递性； ( 2 ) 映射厂的周期点在m 中是稠密的； ( 3 ) 映射厂具备对初始条件的极端敏感依赖性。 综上所述，混沌的映射应该是具有不可预测性和不可分解性的。虽然如此，在混沌 的行为中确实也存在其规律性的成分，也就是说具有稠密的周期点【1 0 】。 1 9 7 8 年，周作领从其它方面给出了如下的定义： 定义3 假设厂是度量空间( m ，d ) 中的连续映射，如果存在m 的不可数子集d 含于 厂的非游荡集， ( 1 ) 对任意x l ，x 2 d 有： l i m i n f d ( f ”( x 。) ，f ”( x 2 ) ) = 0 ( 2 ) 对任意置，x 2 d 且x l ，x 2 d 有： 辽宁师范大学硕士学位论文 l i m s u p d ( f “( 墨) ，f “伍2 ) ) = 0 则称f 是混沌的。 接下来，我们讨论连续时间系统中的混沌现象。在1 9 6 3 年，美国麻省理工学院的 洛伦兹在研究大气的动力学方程时，通过数值模拟具体呈现了其依靠动力学方程参数变 化的双分支轴图，体现了混沌行为，提出了著名的洛伦兹方程组，这也是最典型的自治 时间系统之一【1 1 。其系统方程为： 文= 一饿+ 缈 夕= b x y 一昭 ( 1 1 ) 三= x y 一彩 y 确- 2 0 x 图1 1l o r e n z 相图 可以看出，a 、b 、c 三个参数直接决定了该系统最终的命运。这里我们取a = l o ， b = 2 8 ，c = 8 3 ，发现在这种情况下系统可以进入混沌状态。图1 1 显示出了在这种情况 下l o r e n z 模型的混沌轨迹。从图中我们可以看出，该模型的演化轨迹表现出非周期性 质且轨迹缠转翻折，相邻轨道之间成指数型离散。但纵观全局，轨迹并非杂乱无章，而 是总在三维空间的一个有限的区域内往返，故该相图得名“奇异的吸引子【l o 】 。这种奇 异的吸引子将混沌运动的两个特点表现得一清二楚：即局域不稳定性和全局稳定性。通 过计算该系统的最大l y a p u n o v 指数丸一我们可以判断这一系统是否处于混沌状态。 当丸。， 0 时系统处于混沌状态【1 1 1 。 异结构混沌系统的同步研究 我们都知道这样一则报告：一只蝴蝶在巴西拍打翅膀能够在美国德克萨斯州产生一 个龙卷风。这正是洛伦兹曾做过的一个被称之为“可预报性 的报告。同时，也因为洛 伦兹方程的吸引子的图像形状酷似一只翩翩起舞的蝴蝶，人们通常习惯将混沌系统对初 值的敏感性用“蝴蝶效应 来形容【1 2 】，旨在说明一个非常细微的波动往往会导致系统完 全改变，从而产生实质性不同的结局。刻画混沌行为的方法还有很多，例如庞加莱截面， 分形分维，功率谱等 1 3 - 1 4 1 。 1 2 混沌系统的特性 依据混沌定义及其发现的混沌现象【l 】，人们逐渐意识到客观事物的运动形态不只是 定常的、周期的或准周期的，还可能具有一种更为普遍意义的运动形态，即无序态的混 沌。由混沌现象所带来的启示，我们找到了概率论体系和确定论体系之间相互沟通的桥 梁，同时还认识到像天空中的云、陆地上的海洋这样的耗散结构都是一个对初始条件极 其敏感的系统。尽管是对于初始条件只有微小差别的两种状态，最终也会产生具有较大 差异结果，甚至是两种毫无关联结果，这便是所谓的存在于确定性系统中的长期不可预 测性【l 】。混沌概念的提出，使人们能够将以往看似极其偶然性的现象理解成是有结构、 有目的、有秩序的行为。 由混沌的定义和混沌现象入手，人们发现混沌貌似是一种随机的运动过程，但与随 机运动过程却有着本质的不同，这种不同体现在混沌运动中存在的一些基本特征： ( 1 ) 非线性：非线性是对混沌运动轨迹的描述，是混沌运动典型的特征。系统的内 随机变因( 即非线性) 是混沌产生的根本原因【12 1 。我们把具有内随机变因的系统称为非线 性系统( 混沌系统) ，否则称为线性系统。 ( 2 ) 初始值敏感性：随着时间的不断延续，随意接近的各个初始条件将表现出各自 独立且完全不同时间演化，即系统的长期运动对于初始条件极端敏感性【”】。 ( 3 ) 内随机性：在一定条件下，如果系统的某一个状态有可能出现，也有可能消失， 此系统就被称为具有随机性【l 圳。 ( 4 ) 有界性：混沌运动是有界限的，它的运动轨迹始终局限在一个确定的区域内， 这个区域被称为混沌吸引域。尽管混沌系统的内部极其不稳定，但它的轨迹都不会超出 它的混沌吸引域。所以从全局来看，混沌系统的运动是稳定的。 ( 5 ) 遍历性：混沌运动在混沌吸引子区域内历经了各个状态，也就是在混沌运动的 有限时间内混沌轨迹经过混沌区域内的每一个状态点【l 7 。 ( 6 ) 普适性和f e i g e n b a u m 常数：混沌的普适性分为两种，即结构普适性和测度普适 性【1 8 】。具体是指，当各种不同系统共同趋向于混沌时所体现出来的某种共同特征，这种 辽宁师范大学硕士学位论文 特征是不会因系统或系统动力学方程的不同而发生改变。著名的f e i g e n b a u m 常数【1 9 】就 是研究l o g i s t i c 映射获得的【4 】。 ( 7 ) 统计性：在一些工程应用中，正的最大l y a p u n o v 指数是混沌特征中最便于检验 的，它是指初始值相互接近的两条轨道最大距离按照指数阶规律的平均增长速率。 混沌并非偶然、个别的现象，而是广泛存在于宇宙空间各种各样的宏观及微观系统 中的。混沌学也不是一门孤立的学科，它与其它各个学科相互依靠、相互促进，产生了 众多的交叉学科，如混沌数学、混沌经济学、混沌气象学【l 】等等。因此，我们说混沌学 蕴含着大量的信息，也成为近年来人们研究和讨论的新热点。由于混沌的特殊性质，人 们难免有这样的疑问：混沌在现实生活中是有害还是有益的呢? 考虑到混沌系统对初始 值的极度敏感性【1 5 】，其轨迹和信息极不确定甚至有时瞬息万变，所以人们一直避免在各 个领域出现的类似混沌的行为，并努力抑制混沌。可后来人们又发觉并非所有的混沌都 是无益的，在某些场合下混沌十分有用甚至是不可或缺。比如，我们要将性质不同的两 种流体混合，若它们的初始状态为混沌的则较易混合。尤其是混沌系统可以应用在图像 或者视频的保密通信中【1 8 】，不仅简单而且经济实用。当然，还有很多种情况下，需要依 靠混沌的性质来完成一些工作，这就要求我们将混沌强化而非消除。于是，人们越来越 重视如何对系统的混沌行为进行控制和利用，由此便产生了混沌系统的同步问题。 1 3 混沌系统的同步 混沌同步指的是，对于初始值不同的两个混沌系统，随着时间的不断延续，两混沌 系统的运动轨迹逐渐趋于一致的现象【1 9 1 。有关混沌同步的定义有许多不同的描述，下面 我们介绍一下其中比较典型的几种。 1 3 1 混沌同步的定义 k o c a r e v 和b r o w n 对混沌同步给出了如下统一的数学定义。 定义给出系统： ，= f z l ( x jx 曩 ( 1 2 ) 支2 = 厶( z l ，工2 ，f ) 一7 令x 3 = ( x 1 , x 2 ) r ，称系统( 1 2 ) 的轨迹痧( x ，t ) 关于性质g 司和g 磁同步。假设存在一种 与时间无关的映射h ：尺码r 他一r ，我们得到： 划l 研g 小乳j i l 5 0 ( 1 3 ) 由统一定义可知，在z r q ，x 2 r ”? 条件下，由矗，g 小g ，2 的不同情况，我们会得 到四种不同形式的同步定义，下面分别给出相应的表达式。 异结构混沌系统的同步研究 定义1 完全同步 对于系统： x 1 2 t 歹1 x 2 j ，水r 一，x 2 尺m ( 1 4 ) x 2 。歹2 l x l ，工2 ) 如果m = i t ，且有： 劂阻f ) 一x ：( f ) i l = o ( 1 5 ) 则称系统( 1 4 ) 的两个子系统达到完全同步，其中x 1 ( f ) 和石：( f ) 是( 1 4 ) 式的解。 定义2 广义同步 如果存在映射h ：尺伪一r ”2 连续，满足： 纠- ( r ) ) 一慨( 酬= o ( 1 6 ) 则称系统( 1 4 ) 的两个子系统关于性质h 广义同步，其中z 。( f ) 和x 2 ( f ) 为( 1 4 ) 式的解。 定义3 相位同步 设系统( 1 4 ) 的解x 。( f ) 和x 2 ( f ) 为振荡型，并且它们分别具有相位织和唬。若存在两 正整数k ，k s ，使得： i k l 馋一心缟l = 0 ( 1 7 ) 则称系统( 1 4 ) 的两子系统为相位同步。 定义4 延迟同步 如果m = 力，并且存在不显含时间的常数f ，满足： 剧k f ) - - x 2 ( 卜4 - - 0 ( 1 8 ) 则称系统( 1 4 ) 的两个子系统达到延迟同步( 滞后同步) ，z 。( f ) 和x ：( f ) 是( 1 4 ) 的解。 我们知道，在混沌同步中控制器的设计起着决定性的作用。学者们在不同时期针对 不同混沌系统的特点设计出了特色各异的控制器，因此便出现了一些各具特色的典型的 混沌同步方法，如驱动一响应同步法、主动一被动分解法、自适应同步法、变量反馈同 步法、变量耦合同步法和脉冲同步法等，其应用的范围也从物理学迅速拓展到其他各个 领域。下面针对几种典型的混沌同步方法的各自特点做以简要描述。 1 3 2 混沌同步方法 ( 1 ) 驱动一响应同步法【2 0 】 驱动一响应同步法( p c 同步法) 是于1 9 9 0 年由美国学者p e c o r a 和c a r r o l l 2 0 】率先提 出的。在这一理论中，我们考虑两个混沌系统，选取其中一个系统作为输出端，用输出 的信号驱动另一个系统，最终使这两个系统达到混沌同步。其特点是：响应系统的行为 辽宁师范大学硕士学位论文 取决于驱动系统，但驱动系统本身却不受响应系统的控制。驱动一响应同步法具体表述 为： 考虑如下形式的动力学方程： w = f ，f ) ，w r ”( 1 9 ) 将上述系统分解为两个子系统： = 曩p ，屹)( 1 1 0 ) 吸= f 2 “，屹)( 1 1 1 ) 其中w l r m ，刚2 r 他，n a + n 2 = n 。将( 1 1 1 ) 作为驱动系统，则响应系统为： 孵= 最 ：，以) ( 1 1 2 ) ( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 是结构完全相同的两个系统，但选取的初始值不同。如果以作为驱动 信号，则有： 蟛= 五 。，以) ( 1 1 3 ) 如果存在输入信号，使得： ! 至m l w 2 ( t ) 一啄( f ) f l 一0 ( 1 1 4 ) 则我们称两个系统达到同步。通过计算l y a p u n o v 指数，我们可以确定响应系统的稳定 性，也就是说当响应系统的所有l y a p u n o v 指数全部为负值时，响应系统便与驱动系统 达到同步。 目前，人们熟知的各种同步方法都是由驱动一响应同步法推广出来的，其优势在于 它不仅适用于连续时间系统，而且还能解决离散系统的问题。但是，作为同步方法基础 的驱动一响应法也存在一些缺陷。我们知道这种方法的形式比较简单，若在通信中直接 应用，由于较差的保密性可能会导致信号相对容易被破译。因此，驱动一响应法仅能作 为学习混沌同步的基本理论。而且，该方法需要将系统进行特定的分解，这就决定了在 有些系统无法分解为两个部分的问题中，我们不能应用驱动一响应同步法。于是， k o c a r e v 2 0 】和p a r l i t z 在1 9 9 5 年对驱动一响应同步法的局限性进行了改进，提出了种更 加灵活的主动一被动同步法。 ( 2 ) 主动一被动同步法【2 1 】 考虑一个自治的非线性动力学系统： z = ，( z )( 1 1 5 ) 可以将上述系统改写成非自治形式： w = f l w , s ( t ) 】( 1 1 6 ) 这里的s ( t ) 为驱动变量。若s ( t ) = 日( 矽) ，我们可以复制一个与( 1 1 6 ) 相同的系统： 异结构混沌系统的同步研究 v = f v ，s ( f ) 】 ( 1 1 7 ) ( 1 1 6 ) 和( 1 。1 7 ) 受到相同的信号s ( t ) 的驱动。令e = w y ，则关于e 的微分方程为： 毒= 厂 形，s o ) 一九v ，s ( f ) 】 ( 1 1 8 ) 如果l i m e ( t ) = 0 ，则w = v ，即( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) 两式进入稳定同步状态。这样一来，我们 f 归 就可以利用线性稳定性法( 或者直接应用稳定性定理) 找到两系统达到稳定同步的条件。 主动一被动同步法最大的优点是，我们选取驱动信号函数的时候基本不受任何约 束。这种方法已经被广泛应用，如l u r e 系统同步、利用离散混沌系统驱动连续混沌系 统实现同步、利用一个混沌系统信号去驱动另两个系统实现同步以及各种其他形式的驱 动信号实现混沌系统的同步，详见文献 2 2 2 5 。 ( 3 ) 耦合同步法【2 6 】 驱动一响应同步法和主动一被动同步法均属于变量替代同步类型，这一类方法都存 在拆分问题。而在实际情况中，大部分非线性系统是无法分解为两个子系统的，所以上 述方法受到了限制。如果我们考虑相互耦合的情形，总体系统是不区分驱动和响应关系 的，因此便出现了耦合同步法，此法通常应用于无法拆分的系统。目前，由于相互耦合 的非线性系统存在于各个领域中，因而耦合同步法得到了广泛关注。 我们考虑两个结构相同的混沌系统： q l = g ( q 1 ) q 2 = g ( q 2 ) 单向耦合的总体动力学方程可表述为： q l = g ( q 1 ) ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) q 2 - - g ( q 2 ) + k b ( q 1 一q ) ( 1 2 1 ) 其中k 是反馈系数，b 是一个矩阵，它涉及到两个混沌系统变量之差的线性组合。( 1 1 9 ) 和( 1 2 0 ) 两个方程相应的变量之差定义为e = q q 2 ，由( 1 2 1 ) 式可以得到变分方程为如 下形式： 垂= g ( q 1 ) 一g ( q 2 ) 一翘( q 1 一q 2 ) = d g q k b ( q 。一q 2 ) ( 1 2 2 ) 依据l y a p u n o v 稳定性理论，当l y a p u n o v 指数为负值时，两系统达到同步状态。 辽宁师范大学硕士学位论文 图1 2 双向耦合的总体动力学方程组描述为如下形式： q 1 = g ( q 1 ) + 翘( q i q 2 ) 0 2 = g ( 0 2 ) + 船( q l q 2 )( 1 2 3 ) 它与单向耦合遵循同样的同步原理，但双向耦合方法具有更实际的意义和广泛的应用。 与驱动一响应同步法相比，耦合同步法中的两个混沌系统是双向耦合的，它们的行 为是相互影响相互制约的。一个合适的耦合参数决定了这一系统的同步，而且这个参数 还可能改变两个混沌系统的动力学行为。因此，在耦合同步方法中选取合适的耦合参数 尤为重要，图1 2 为通过计算机模拟的最大l y a p u n o v 指数名一随耦合参数k 的变化情 况。 ( 4 ) 变量反馈同步法【2 7 】 德国学者k p y r a g a s t 2 8 1 于1 9 9 2 年提出了一种对非线性连续混沌系统的控制方法，即 连续变量反馈控制法。随后，这一方法被应用于两个混沌系统的同步问题。变量反馈法 包括线性反馈和非线性反馈两种基本形式，是混沌同步中最为常见的一种方法。当然， 在研究具体问题的时候，我们还可以采用连续反馈、延迟反馈、偶然反馈、脉冲反馈和 开关反馈等多种反馈形式。 线性反馈：这种方法要求对非线性连续混沌系统进行连续变量反馈控制。设驱动系 统为： k = f ( x a ，y 1 ) 1 幺= ( 而，乃) ( 1 2 4 ) 异结构混沌系统的同步研究 响应系统为： f j ：= 翟乏、 ( 1 2 5 ) 【夕：= 厂( x ：，少：) + s ( t ) r 一7 其中： s ( f ) = k ( x l 一彳) ( 1 2 6 ) s ( t ) 表示列矢量，称为线性反馈信号，且毛，以兄，k = 旃昭( 墨，如吒) 胁。对于这种 同步方法，反馈信号s ( t ) 通过选择适当的k ，使响应系统的演化轨迹逐步趋近于驱动系 统的目标轨迹，直至两轨迹达到重合。图1 3 形象的呈现了变量反馈同步原理。 图1 3 在实际应用中我们还发现，有部分混沌系统仅仅依靠单变量信号反馈就可以实现混 沌系统间的同步，若要用多变量反馈实现，则所需的控制能量比用单变量实现要小。迄 今，仍然没有一种普适的方法可以构造非线性反馈函数，因此变量反馈法也有其局限性。 但是对于有些混沌系统，我们可以应用l y a p u n o v 函数法来得到适宜的反馈函数，以满 足混沌系统的同步。 除了上面提到的几种方法，还有许多本文没有列举出的同步方法。然而，虽说近年 来随着对混沌同步的不断探索而涌现出大量的同步方法，但是它们都没有非常完善地解 决混沌同步的关键问题保密通信【2 7 】，可以说还有许多理论和技术需要改进和提高： 建立严密的理论体系。目前，研究混沌同步的过程是先进行试验后用理论推导， 这就导致了一些同步方法( 如耦合同步法、反馈同步法、脉冲同步法) 没有一种强有力的 理论作为根基。 辽宁师范大学硕士学位论文 外界干扰。混沌信号在传输时难免要被外界干扰，而混沌信号的随机性又导致 了外界的干扰很容易影响混沌系统同步的产生。因此，要研究混沌系统的同步，消除外 界干扰就显得意义重大。目前，已经有了一些在仿真过程中人为加入噪声信号进行研究 的工作。 1 9 9 0 年，美国学者p e c o r a 和c a r r o l 在海军实验室里进行电子学电路的设计时，首 次发现了混沌同步现象，并开创性地提出了混沌同步理论，为混沌同步的研究奠定了坚 实的理论基础。之后的一段时间，国内外许多学者在这方面都进行了有益的工作，并从 不同的角度提出了混沌同步的概念，如完全同步、广义同步、相同步、延迟同步等等， 进而给出了大量的混沌同步方法。例如，王光瑞在文献 2 9 】中对最早提出的驱动一响应 同步法进行了深入的理论分析，并举实例进行了详细说明。之后，这种方法又被应用在 文献【3 0 】中，通过单一变量驱动实现了超r b s s l e r 混沌系统和三阶r b s s l e r 系统之间完全 同步。此外，基于主动一被动同步法的思想，s u k e n s 3 1 】等人研究了l u r e 系统的同步。 运用反馈同步法的原理，k o u o m o u 3 2 】等人研究了d u f f m g 振荡器的延迟同步。尽管目前 已有大量的混沌同步方法，但其中大部分都是针对实现同结构混沌系统间的同步提出 的，因此许多同步方法很难或根本不能应用于异结构混沌系统之间的同步研究。于是， 我们为了实现异结构混沌系统间的同步，提出新的同步方法就势在必行。 1 4 本文工作 基于目前对混沌同步研究的现状，结合在实际应用中的要求，本文研究了异结构混 沌系统之间的同步问题。具体安排如下： 在第一章中，我们首先简要介绍了混沌的发展史，给出混沌的概念和特点。接下来， 通过一些实例说明了什么是混沌现象。之后，我们着重介绍了混沌同步的相关知识，并 给出了几种典型的、常见的混沌同步方法。最后，简要阐述了国内外混沌同步领域的发 展现状。 在第二章中，我们分别以新系统、a m e o d o 系统和l o r e n z 系统为例，试图通过构造 l y a p u n o v 函数并运用线性稳定性的理论分析，提出一种非线性单变量反馈同步法，以 此来实现两个异结构混沌系统之间的完全同步。结果表明，数值仿真模拟很好地验证了 该方法的合理性和可行性。 在第三章中，我们在同步控制器上引入一个控制增益矩阵，其作用是改进和完善主 动控制同步法，使其锁定较小的系统信号。利用这种方法可以解决两个拓扑等价的异结 构混沌系统的延迟同步问题。最终的计算机仿真显示，此方法快速且有效地实现了系统 间的同步。 异结构混沌系统的同步研究 在第四章中，我们给出了本文的结论，并对未来的工作进行了展望。 辽宁师范大学硕士学位论文 2 异结构混沌系统的完全同步 2 1 问题的提出 1 9 9 0 年，p e c o r a 和c o r r o l l 提出了“混沌同步”的概念，并在电路实验中实现了 两个耦合混沌系统的同步【6 】。由于混沌同步在保密通讯、信号处理、大脑神经活动、心 脏脉搏测量分析和图像数据加密等方面有着十分广泛的应用前景和巨大的市场潜在价 值【3 3 , 蚓，它也成为近年来混沌科学研究领域中的一个热点问题。尽管混沌同步研究已经 取得了丰富的成果，但十几年来人们的工作却主要集中在同结构混沌系统之间。近几年 来，在自然科学的众多领域如生命节律、认知过程、激光阵列等方面均发现了混沌同步 的现象【3 4 】，但是这些复杂系统的小单元都不能粗略的假定为几乎相同。显然，异结构混 沌系统之间的同步研究就很有必要了。继混沌系统同构同步【6 】提出之后，r u l k o v d 等又 给出了两个不同混沌系统广义同步的概念【3 5 1 。因此，要实现异结构混沌系统间的同步， 就必须引入新的控制思想或在原有方法上进行改进 3 6 】。在这一过程中，我们应首先明确 选取何种同步方法，之后还要抓住问题的核心，即设计同步控制器。由于异结构混沌系 统的动力学方程结构差异较大，因此吸引子在相空间表现出完全不同的运动轨迹，这也 导致了同步控制器的设计过程相对繁琐。于是，人们提出了多种同步方法，反步法就是 其中的一个。它是一种系统化实现同步的方法。反步法的优势在于，不但降低了设计全 局l y a p u n o v 函数的难度，而且还具体呈现了控制器的设计过程。本文考虑拓扑差异较 大的两个异结构混沌系统，基于反步法设计了一个非线性反馈同步控制器。最终我们发 现，应用此同步方法能够实现任意异结构混沌系统之间的同步。 。，2 2 控制器的设计 在这一问题中，我们将新系统和l o r e n z 系统作为异结构混沌同步的模型进行研究。 以新系统作为目标系统，其动力学方程可以写为如下形式： f 文l ( f ) = - x ：( t ) x 3 0 ) + 口l 工l ( f ) 文2 ( f ) = x i ( t ) x 3 ( t ) 一a 2 x 2 ( f )( 2 1 ) 【x 3 0 ) = z l o ) x 2 0 ) 一a 3 x 3 ( f ) 以l o r e n z 系统作为响应系统，其动力学方程表述如下： i 夕l ( f ) = 6 l y 2 ( f ) 一y l ( f ) 】 夕2 0 ) = y l o ) 6 2 一y 3 ( f ) 一y 2 ( f ) ( 2 2 ) 【夕3 ( f ) = y l ( f ) y 2 ( f ) 一b 3 y 3 ( f ) 异结构混沌系统的同步研究 上述两系统的参数若取为口l = 5 ，口2 = 1 0 ，口3 = 3 4 ，b l = 1 0 ，b z = 2 8 ，b 3 = 8 3 ，则两系 统均处于混沌状态。如图2 1 和图2 2 所示，新系统和l o r e n z 系统在相空间表现出不同 的运动轨迹，因此( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式是两个异结构混沌系统。 4 0 3 0 2 0 ，c 1 0 0 4 0 5 0 4 0 3 0 n x 2 0 1 0 o 4 0 _ 4 0 舶 x 1 图2 1 新系统的相图 y 2 - 4 0 圆 y 1 图2 2l o r e n z 系统的相图 4 0 本文的目的是通过设计控制器“，( f - 1 , 2 ，3 ) ，使得新系统和l o r e n z 系统达到混沌同 步。将控制器加在响应系统上，形式如下： f 多l o ) = 6 1 【y 2 ( f ) 一y l ( t ) + “l ( f ) 夕2 ( f ) = 乃( f ) 【6 2 一y 3 0 ) 卜y 2 0 ) + 甜：0 )( 2 3 ) 【夕3 0 ) = y l ( t ) y 2 0 ) 一b s y 3 0 ) + “3 ( f ) 定义两系统的误差动力学方程： l 白( ，) = y l ( f ) - - x t ( t ) 乞( f ) = y 2 ( f ) 一工2 ( f )( 2 4 ) 【e 3 ( f ) = y 3 ( f ) 一工3 ( f ) 将( 2 1 ) 式、( 2 3 ) 式代入( 2 4 ) 式，则误差系统的动力学方程为： l 白0 ) = 一1 0 q + l o p 2 ( f ) 一1 5 x l ( f ) + 1 0 x 2 ( f ) + x 2 0 ) 而( f ) + “l o ) 毒2 0 ) = + 2 8 e 1 ( t ) 一e 2 ( t ) + 2 8 x l o ) + 9 x 2 ) - x , ( t ) x 3 0 ) - y l ( f ) y 3 0 ) + z f 2 ( f )( 2 5 ) 【岛o ) = ( 乞( f ) + x 3 ) p 1 0 ) + y l e 2 ( t ) 一詈9 3 + z ，3 0 ) 对于上述控制器，分别设计为非线性单变量反馈的形式，即 i “1 0 ) = z ( x 1 ，艽2 ，工3 ) 一l p l “2 ( f ) = ：厂2 ( 石1 ，石2 ，工3 ) 一m 2 e l( 2 6 ) 【z ，3 0 ) = a ( 工l ，x 2 ，x 3 ) 一中3 e l 其中 iz = 1 0 e l + 1 5 x l 一1 0 x 2 一z 2 2 3 以= 一2 8 e l + 9 3 2 8 x l 一9 x 2 + x i 工3 + y l y 3 ( 2 7 ) 【六= 一( p 2 + x 2 ) e l 一告p 3 而m ，西：和西，为动力学系统( 2 1 ) 的状态变量的函数。其形式为 m l = c l + c 2 + c 3 一了i i m 2 - - 岛手+ o 1 c l c 2 + o 1 c l