（通信与信息系统专业论文）天线互耦合对mimo系统性能的影响及ofdm信道估计研究.pdf

复旦大学工学硕士掌位论文 摘要 通信系统小型化的需求使多输入多输出( m i m o ) 系统中天线的互榭合 成为不可忽略陵阉题。天线互耦台扶两个方面影响侍道窖量：( 1 ) 天线上的 信嗓比( 2 ) 天线空问相关性。 本文箍出了天线互耦舍对信噪比之影响的理论模型，分析r 天线互端合 对信噪比的影响。利用完全匹配层吸收边界祭件的三维时城有b r 差分方法 ( p m l - f d t d ) 作为分析灭线空间辑关悻的辅助工具；设计了工作于5 g h z 频段约稿板子天线及鹅掘予天线阵，计算了天线间的互耦含系数。最后分析 7 天线互耦台存在情况f ，m i m o 的信道容量。 丧0 f b , i 信道估计方面，奉论文提出一种混合的信道估计方泫。它基于 矢量卡尔曼滤波算法和导频信道跟踪。利用训练序列估计所得到的结粜作为 k a l m a n 滤波器的韧始值和观i i i 4 氆，导凝估诗结柒用于计算k a i m a n 滤波器参 数以及进步跟踪信道在时间上的变化，馥方法利用少量的训练序列和导频 符号就可阻有效地估计o f d m 系统的信道。 关键词时域有限差分法( f d t d ) 天线瓦耦含 多输入多输入( m m o ) 系统 空问相关性信道容量o f d m信道估计 复旦大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t t h em i n i a t u r i z a t i o nt r e n do f m o b i l et e r m i n a l sm a k e sa n t e n n as p a c i n gs m a l l e r a n ds m a l l e rs u c ht h a ta n t e n n am u t u a lc o u p l i n gi sn ol o n g e rn e g l i g i b l et h ee f f e c t o fa n t e n n am u t u a lc o u p l i n g ( m c ) o nt h ec a p a c i t yo fm u l t i p l ei n p u tm u l t i p l e o u t p u to n m o ) s y s t e m sc a nb ea n a l y z e df r o mt w oa s p e c t s ：( 1 ) s i g n a lt on o i s e r a t i o ( s n k ) o fa n t e n n a s ( 2 ) s p a t i a lc o r r e l a t i o n ( s c ) b e t w e e na n t e n n a s at h e o r e t i c a lm o d e lf o ra n a l y s i so ft h ee f f e c to fm co ns n ri sp r o v i d e d t h r e e d i m e n s i o nf i n i t e d i f f e r e n c et i m e - d o m a i nw i t h p e r f e c t l y m a t c h e d l a y e r ( 3 d - p m l - f d 1 1 d ) m e t h o di su s e da sa na i di nt h ec a l c u l a t i o no fs cu s i n g f d t d ，ad i p o l ea n t e n n aa n d aa n t e n n a a r r a yw i t ht w op a r a l l e ld i p o l ea n t e n n a sa r e d e s i g n e d ，t h em u t u a li m p e d a n c eb e t w e e nt w oa n t e n n a s i sc a l c u l a t e d t h e c a p a c i t yo fm i m os y s t e mi nt h ep r e s e n c eo fm c i sa l s oc a l c u l a t e d ac h a n n e le s t i m a t i o nm e t h o db a s e do nk a h n a nf i l t e ra n dp i l o tt r a c k i n gf o r o f d mw l a n si sp r o p o s e dt h er e s u l to ft r a i n i n gs e q u e n c eb a s e de s t i m a t i o ni s u s e da st h ei n i t i a l i z a t i o na n do b s e r v a t i o no fk a l m a nf i l t e ra n dt h er e s u l to fp i l o t s b a s e de s t i m a t i o ni su s e dt oc a l c d a t et h ep a r a m e t e r so fk a l m a nf i l t e rt h e s i m u l a t i o nf 警s 蠢t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dm e t h o dh a sb e t t e rp e r f o r m a n c et h a n b o t ho ft r a i n i n gs e q u e n c eb a s e da n dp i l o t sb a s e dc h a n n e le s t i m a t i o nm e t h o d k e y w m d s f i n i t e - d i f f e r e n c e r i m e d o m a i nm u t u a lc o u p l i n g m u l t i p l ei n p u tm u l t i p l eo u t p u ts y s t e ms p a t i a lc o r r e t a t i o n c h a n n e lc a p a c i t yo f d mc h a n n e le s t i m a t i o n - i l 复旦大学工学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题背景 1 9 6 6 年k s y e e 首次提出了一种电磁场数值计算的新方法一时域有限 差分( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，f d t d ) 方法。对电磁场e ，h 分量在空间 和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个e ( 或h ) 场分量周围有四个h ( 或 e ) 场分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为 一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。f d t d 方法是求解 麦克斯韦微分方程的直接时域方法。在计算中将空间某一样本点的电场( 或磁 场) 与周围各点的磁场( 或电场) 直接相关联，且介质参数己赋值给空间每一 个元胞，因此这一方法可以处理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射、 辐射等问题。 1 9 6 9 年，t a y l o r ”1 等用f d t d 分析非均匀介质体的电磁散射，提出用吸收 边界来吸收外向行波，吸收边界采用的是简单插值方法。1 9 8 1 年m u r 3 1 出在 计算区域截断边界处的一阶和二阶吸收边界条件及其在f d t d 的离散形式。这 是f d t d 的- - 种十分有效的吸收边界条件。b e r e n g e r ( 1 9 9 4 ，1 9 9 6 年) 提出将麦 克斯韦方程扩展为场分量分裂形式“。“1 ，并构成完全匹配层( p m l ) ，这是 一种全新的吸收边界并得到广泛应用。 随着快速犬容量计算机的普及，f d t d 方法得到了迅速发展并在电磁研究 的多个领域得到广泛应用，包括辐射天线的分析，散射和雷达截面计算，周期 结构分析，微光学元器件中光的传播和衍射特性等。 复旦大学工学硕士学位论文 多输入多输出( m u l t i p l ei n p u tm u l t i p l eo u t p u t ，m i m o ) 系统在发送端和接 收端均采用多根天线。e t e l a t a r 力和j f o s h i n i 分别证明t m m o 系统与s i m o 和m i s o 系统相比，可以取得巨大的信道容量。当信道矩阵元素为独立同分布 的复随机高斯变量时，m i m o 系统的信道容量随天线个数线性增长。但是在现 实系统中，信道之间总有相关性。它来源于两个因素0 1 ：1 ) 无线环境中散射 不够丰富，例如，有少数的波束增益很大，它们集中了大部分的信道能量2 ) 接收端天线之间和发射端天线之间的互耦合。天线互耦合影响信号的相关性， 从而影响m i m o 系统的信道容量”8 1 。传统的观点认为，天线互耦合会使 信道容量变小u 9 m ”。近几年，有文献指出，天线互耦合能增加信道容量u 0 1 【2 l 】 时域有限差分法可以有效地计算天线互耦合“”，用于分析天线互耦合对 m i m o 系统性能的影响。 o f d m 是一种无线环境下的高速传输技术。信道估计是o f d m 系统中一 个重要的部分。在i e e e 8 0 21 1 a 和h i p e r l a n 2 帧结构中，训练序列只放在帧的 头部。假定在一帧中，无线信道基本保持不变，因此，仅用训练序列的信道估 计方法只适用于慢时变信道估计。i e e e8 0 2l t a 的导频格式属于梳状导频。虽 然，这种导频结构可以及时地跟踪信道在时间上的变化，却无法准确地反映出 频率选择性信道的信道响应“”。近年来，有几种针对具有移动终端的o f d m 无线局域网的信道估计方法被提出来，如半盲估计1 ，判决反馈法”5 “，利 用改进的导频分布估计叫1 等等。 复旦大学工学硕士学位论文 1 2 内容安排 第一章绪论，介绍课题背景，论文的安排和主要工作。 第二章介绍电磁波时域有限差分方法基本原理，包括麦克斯韦方程f d t d 形 式，f d t d 的数值稳定性以及b e r e n g e r 完全匹配层( p m l ) 。 第三章f d t d 在天线设计中的应用，包括近远场等效，激励源技术，天线输 入阻抗计算，天线间互阻抗计算。最后利用f d t d 方法设计和分析了 偶极子天线及偶极子天线阵。 第四章天线互耦合对m i m o 系统性能的影响，包括m i m o 系统的介绍，天线 互耦合对天线空间相关性的影响，天线互耦合对信噪比的影响以及天 线互耦合对m i m o 信道容量的影响。 第五章o f d m 信道估计，包括o f d m 基本原理，o f d m 系统二维信道估计以 及一种基于k a l m a n 滤波的o f d m 信道估计方法。 1 3 本篇论文的主要工作 l 基于m a t l a b 软件平台，完成具有完全匹配层( p m l ) 吸收边界条件的三维 时域有限差分法电磁场与波的计算软件。实现二维、三维的近远场外推。 实现f d t d 的可视化计算。 2 利用p m l f d t d 设计和分析了工作于5 g h z 频段的偶极子天线及偶极子天 线阵。计算了单根天线的输入阻抗，反射损耗，方向图以及两根平行天线 的方向图，互阻抗。 3 提出了天线互耦合对信噪比之影响的模型，搭建2 2m i m om a t l a b 链路级 复旦大学工学硕士学位论文 仿真平台，利用f d t d 对天线计算结果，分析天线互耦合对天线空间相关 性的影响。 4 提出了一种基于k a l m a n 滤波的o f d m 信道估计方法，仿真验证其有效 性。 复旦大学工学硕士学位论文 第2 章时域有限差分法基本原理 麦克斯韦方程组时支配宏观电磁场现象的一组基本方程。这组方程既可 以写成微分形式，又可以写成积分形式。f d t d 方法是由微分形式的麦克斯韦 旋度方程出发进行差分离散从而得到一组时域推进公式。 2 1y e e 的差分算法 考虑空间一个无源区域，其媒质的参数不随时间变化且各向同性，则麦 克斯韦旋度方程可以写成 型：一土v 。豆一旦雷( 2 1 一1 ) o t 斗l l a e 三v 霄一旦豆( 2 - 1 2 ) o t ss 其中，e 表示电场强度；h 表示磁场强度；表示介质的介电常数，单位 为法拉米( f m ) ；2 表示磁介质的磁导系数，单位为亨利米( 吲m ) ：口表示电 导率，单位为西门子米( s m ) ，p 表示导磁率，单位为欧姆米( n m ) 。盯和p 分别为介质的电损耗和磁损耗。真空中： d = 0 ，p = 0 ，s = s o ：8 8 5 1 0 1 2 ，= 风= 4 z c 1 0 7 征直角坐杯糸甲，与厩分重瓦，瓦( 2 - 1 - 1 ) 、( 2 - 1 - 2 ) 受为 譬：三( 誓一誓一p h 。) 孥：去(睾一筝一趔，)oto“mz 。 冬：土( 冬一冬一p h ：) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 。1 5 ) 复旦大学工学硕士学位论文 堡8 t = 吉( 詈一旦o z 一鸣)s 、西 “ 堡o t = 吉( 警一旦8 x a s )s 、& 孕o t = 吉c 警一警q ，sc 霄们 ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) 式( 2 1 3 ) 一( 2 1 8 ) 是f d t d 算法的基础。 1 9 6 6 年，k sy e e 对式( 2 1 3 ) 一( 2 1 8 ) 引入了一种差分格式。空间网 格点如图211 所示。 t 图2 1lf d t d 算法中电磁场分量在单元格中的分布 网格节点与一组相应的整数标号一一对应： ( f ，j ，女) = o 缸，j a y ，k a z ) ( 2 - 1 9 ) 而该点的任一函数f ( x ，y ，z ，) 在时刻n a t 的值可以表示为 f ”( f ，k ) = f ( i g x , 匈，k k z ，n a t ) ( 2 1 1 0 ) 其中，缸，妙，z 为矩形网格分别延石，y ，z 方向的空间步长，f 是时间步长。 y e e 采用了中心差分来代替对时间、空间坐标的微分，具有二阶精确度 复旦大学工学硕士学位论文 鼍：f ( i 上+ l , j 1 , k ) - 产f ( i - l , j , k ) + 。( ( 蝴凹出 n + !n 一! 掣：生塑盟盟盟+ 。( ( f ) ：) 扰f ( 2 1 1 2 ) 为了获得式( 2 1 1 1 ) 中的精度，并满足式( 2 - 1 3 ) 一( 2 1 8 ) ，y e e 将空间任 一矩形网格上的e 和h 的六个分量如图2 - 1 1 所示放置，每个磁场分量由四个 电场分量环绕着：反过来，每个电场分量由四个磁场分量所环绕。为获得式 ( 2 - 1 1 2 ) 的精度，y e e 将e 和h 在时间上相差半个步长交替计算。按照这些 原则，可将式( 2 - 1 3 ) 一( 2 - 1 8 ) 化为差分方程如下： 彰t 也j + 争 州小i 1 ，女+ 1 + 瓦2 u ( i 鸽k ，j + ，+ 去) 致n ( f ，j + 争 + 确。耳万尹面蕊 。竺! ：尘i ：! ：! ! 二竺! ! ：! ：i ：竺+ 竺! ：! ：! ：兰：竺竺尘! ：! ：垫l 。：小。， a z a v 7 皿一- 7 一2一+ 一七 囊r 一2一+ + 一，竺胞 p 一2 墨呈查兰三兰堡圭兰! 兰篁三 日乓+ 三1 _ + 丢) + j ，七十三) 卢( z + j 1 ，j ，t + 吉) 1 + p ( i + 1 。jk + l 。) a t 2 1 a ( i + ；，七十；) 】 f 竺牢巫+ 熊学迎 ，p ( f + 尹1 + j 1 ，) 触 日? + ；。+ 圭，+ 三，t ，= | _ _ ：；舌兰 湍月；一；。+ 圭，+ 三， z 坤+ 扣 +鬲再ii+|p(i+il2j+12,k)at21a(i+l-2j+_12,k) 。f 竺! ：i ：! ：! ：竺二竺! ：i ：! ：竺+ 墨! ! ：! ：i ：竺二竺! ：! ：尘i ：竺l i妙 缸 8 ( 2 1 1 4 ) 一一一一 量呈查兰三兰堡圭兰堡篁兰 a ( f + ；，) 缸 e “。+ 去，七，= ：三i 兰 拦丘：c r + 丢，后， 2 s ( f + ；，七) + s ( f + i 1 ，j ，女) 1 + f a ( f + j 1 ，j ，七) f 2 s ( f + j 1 ， 。竺垫：i ：! ：i ：! ! 二兰! 垫：i ：! 二i ：竺+ 竺! 垫：i ：! ：! 二皇二互! 垫：i ：! ：! ：皇l 缈 z e + ，( f ，j + 三，后 2 s ( f ，j + 三，七) e ( f ，j + ；，席) + 石丽耳i 再面 。j 竺叠：! ：i ：! ：皇二竺! 垫! ：i ：! 二垫+ 竺! 垫：i ：! ：i ：竺二竺垫：i ：! ：i ：烈 z缸 9 ( 2 。1 1 7 ) 竺 l 一2 一竺 拾一” r r 一2一 + 一，一亿 叩拈 复旦大学工学硕士学位论文 仃( f ，+ ；) f 嘉蚓，哇，盯( f ，j ，j + 瓠1 ”“2 1 + 面志 a t1 + 石巧可瓦丐硼 兰! 垫：i ：! ：! ：兰二竺! 垫：i ：! ：! ：皇。兰垫：! 二i ：! ：兰二竺! 垫! ：i ：! ：皇 ( 2 1 1 8 ) 由式( 2 - 1 1 3 ) 一( 2 - 1 1 8 ) 可见，在每一个网格点上各场分量的新值依赖于 该点在前一时间步长时刻的值及该点周围邻近点上另一场量的场分量早半个时 间步长时刻的值。因此，在任一给定时刻，场分量的计算可一次算出一个点 或者采用p 个并行处理器一次计算p 个点( 并行算法) 。通过这些基本算式 逐个时间步长对模拟区域网格点的电、磁场交替进行计算，在执行到适当的时 间步数后，即可获得需要的时域数值结果。这种差分格式通常称为蛙跳格式。 在式( 2 - 1 1 3 ) 一( 2 1 1 8 ) 的差分格式中，从第n 层推进到第n + 1 层 时，格式提供了逐点计算“? “的直接表达式，具有这种特征的格式称为显式格 式；与显式格式相对的式隐是格式，它通常必须求解一个代数方程组，问题才 能得解。在f d t d 法的显式蛙跳格式中，每一步计算都无需做矩阵求逆运算 避免了矩阵求逆运算带来的许多问题，这是该方法的一个突出优点。 复旦大学工学硕士学位论文 2 2 解的稳定条件 在f d t d 中，时间增量, 5 和空间增量缸，缈，止不是相互独立的， e 4 1 j 的 取值必须满足一定的关系，以避免数值结果的不稳定，这种不稳定性表现为在 解显示差分方程时，随着时间步数的继续增加，计算结果也将无限制地增加。 为了确定数值解稳定的条件，必须考虑在时间域有限差分算法中出现的数 字波模，其基本方法是把有限差分算法分解为时间的和空间的本征值问题。由 于任何波都能展开为平面波谱的叠加。因此，如果一种算法对一平面波是不稳 定的，它对任何波都是不稳定的。所以，这里只需考虑平面波本征模在数字空 间中传播，这些模的本征值谱由数字空间微分方程来确定，并与由数字时间微 分方程确定的稳定本征值谱比较。按要求，空间本征值谱域必须全包含在稳定 区间，以确保这种算法中所有可能的数字波模是稳定的。 为简单起见，仅考虑无耗媒质空间，丘，日：的f d t d 方程简化为 e ( f ，加+ 三) 忙 ：三j 兰! 垫：! ：! ：! ：兰：竺! 垫：i ：! ：! ：垫一竺垫：! ：i ：! ：兰二竺! 垫! ：i ：! ：兰l sfx a y 【 j ( 2 2 1 ) 复旦大学工学硕士学位论文 h 心i + 昙+ 抽 ：2 ( + ，j + 寺，七) l “ 一心1 小纠，出 e ( f + 1 ，j + j 1 ，庀) 一e ( f ，j + j 1 ，七) e ( j 1 ，j + 1 ，) 一e ( f + 互1 ，j ，庀) ( 2 - 2 2 ) 对其余4 个分量也可以求得完全类似的方程。由这些方程的左边可构成各 相应场分量的时间本征值方程。若用v 代表各分量，则这些方程写成统一的形 式 匕：二竺：= 五矿一 a t ( 2 2 3 ) 1 定义一个增长因子g = 矿“j 步”，根据冯诺依曼的稳定性条件，要求引- 1 。 将之代入式( 2 2 3 ) ，两边同除以矿”j ，可得到q 必须满足的二次方程 其解为 9 2 2 a t q 一1 = 0 a = t 2 a t j ：+ ( 筹护t v l 丁j 不难证明，为满足蚓1 的条件，只要 r a ) = o ，2 7 。1 m ( 五) 云 一， ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 也就是说，为保证算法的稳定性，时间本征值必须落在这个虚轴的稳定区间。 另一方面，将下式表示的平面波本征模 圣呈奎兰三兰堡圭兰堡丝兰 矿( f ，j ，k ) = v e x p j o ( i k x + j k y a y + k k ：出) l ( 2 2 7 ) 代入式( 2 2 1 ) 和式( 2 2 2 ) ，其中，j o = 二t 可以得到各分量之间的关系 其中丘和：的表示式为 警隆n c ka x ，一挚丁k 芦y 下5 五e 非s i n c 争一铷钏= 2 h ： 另外4 个分量的表示式为 等专s i n c 竽，一鲁s i n c 竽， = 饵 等j 等s i n ( 丝) 2si z 。 等s i n ( 坐) i ：饵2缸 一考s i n c 毕一- w 钏= 饵 _ _ 2 j 降an ( 丝) _ i s i n ( 坐) i 枷， l z 。缸e z 2 2 。| 用矩阵形式可将方程组( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 1 3 ) 表示为 e e y e ： h ； h y h ： = 0 1 3 - ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 一1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) 复旦大学工学硕士学位论文 由该齐次方程组有非零解的条件 d e t a ( 2 ，t ，砖，k ，缸，a y ，a z ，s ，) = o 可解得 五z ：一! “ s i n 2 ( 竽) + 些+ s i n 2 ( 竽) ( a x ) 。 ( a y ) 2( a z ) 2 很显然，对所有可能的k x ，丸，k ，五满足下列条件 rec五，=。，itm(五)lzv、；1；+磊1+1 ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 其中，v = 1 x i 。为保证数值稳定性，式( 2 2 1 7 ) 所示的丑区域必须落入时 间本征值的稳定区内，于是，由式( 2 2 6 ) 和( 2 2 1 7 ) 可得 f ( 2 - 2 1 8 ) 这便是时域有限差分算法的数值稳定条件。对非均匀区域，应选最大的v 值设 立标准。对二维问题( 例如场不随z 变化) ，可令上式中& 寸m ，得相应的稳 定条件。 2 3 吸收边界条件一完全匹配层( p m l ) 1 9 9 4 年，b e r e n g e r 提出了用完勰( p i v i l ) 来吸收外向电磁波1 2 8 1 。它 将电磁场分量在吸收边界区分裂，并能分别对各个分裂的场分量赋以不同的损 耗。这样可以在f d t d 网格外边界得到一种非物理的吸收介质，它具有不依赖 复旦大学工学硕士学位论文 于外向波入射角及频率的波阻抗。 2 3 1p m l 介质的定义 首先，以二维t e 波情形为例建立p m l 介质的方程，如图231 所示，在 直角坐标系中，电磁场不随z 坐标变化，电场位于( x ，y ) 平面。电磁场只有3 个 分量巨、e 和日：，麦克斯韦方程组退化为3 个方程： 岛鲁+ 鸭= 等 c z 。曲 岛鲁+ 鸣= 一警 胁警+ 加：= 等一鲁 e ：，膏一一一。一j i 、 i j ，i 鲈 彳七j ， 日日。 直 图2 3 1 t e 波的场分量 进一步，如果下列条件成立 三：卫 5 0风 则该介质的波阻抗与自由空间波阻抗相等 分界面时，不存在反射。 ( 2 - 3 一i b ) f 2 3 一l c ) ( 2 - 3 2 ) 当波垂直地入射到介质一自由空间 复旦大学工学硕士学位论文 现任疋义i e 、吸阴p m l ，r 厦。天谖是等馏物分重h ：2h 。+ h 。，则【2 3 。 1a ) ( 2 - 3 1 c ) 方程组可化为 岛鲁+ 啦= 垫掣 ( 2 - s _ 3 a ) 鲁+ 吒b = 一垫掣( 2 - 3 - 3 b ) 胁擘+ 成日。：一拿( 2 - 3 3 c ) o t凹 硒警+ b = 等 ( 2 s 3 d ) 其中，j ，和口，为电导率，成和p 、为磁导率。 2 3 2p m l 应用于时域有限差分法 2 3 2 1p m l 吸收边界的介质参数 根据上述结论，对二维情况，如图2 32 所示。f d t d 仿真区域被p m l 介 质包围，p m l 终止于理想导电壁p e c 。仿真区域的左右边界 p m l ( 以，段，0 ，0 ) ，上下边界p m l ( o ，0 ，q ，b ) ，在四个角采用 p m l ( , r ，成，仃，p ，) 。可以使外向波无反射通过p m l 边界，实现在数值上模拟 无限大的自由空间。 复旦大学工学硕士学位论文 ( d ，0 ，o y ，岛) ( 曝，b ，乃，马) 图232 平面p m l 分布图 在p m l 吸收层中，介质参数为( 哎，段，0 ，o ) 或( o ，0 ，口，p ，) ，个指数项退 化为1 。在p m l 介质中距离分界面为r 的地方，外向平面波的幅度可以写成 ( r ) ：p ( o ) e x p o c o s 型r ) s o c ( 2 - 3 4 ) 其中，口是相对于介质分界面定义的入射角，口是吒或吒。穿过p m l 介质 后，波将被理想导电壁反射，然后再次穿过介质分界面进入自由空间。因此 如果p m l 的厚度为占，则p m l 介质表面的反射系数为 r ( 占) ：e x p - 2coso(2-35) 岛。 从上式可见，p m l 介质表明处的反射系数是乘积a 万的函数。因此，若给 定p m l 层衰减值大小，理论上可以将其厚度取得尽可能小。但是电导率跃变 0 、， 詈h 刚 r 町、扩 复旦大学工学硕士学位论文 太大，计算时会帚采数值反射，所以买际中p m l 匝包含多层。设离开自由空 间一p m l 分界面距离为r 处的导电率为c r ( r ) ，则分界面反射系数为 胛) e x p 2 等胁 ( 2 _ 3 - 6 ) d 随着距离r 从o 口。变化，取 a ( ，) = ( 吾) 4 ( 2 _ 3 - 7 ) 代入( 2 3 2 7 ) ，当垂直入射时，臼= 0 ，可得 黔e x p _ 焘 2 3 2 2p m l 应用- t - 三维f d t d 网格中 在三维情况下，盲角坐标系中的6 个场分量均被分裂，m a x w e l l s 方稗 可写为 吒。 8 。i + q 2 冬+ c r e = ： 0 z 趣。 岛盲+ 吒丘f = 3 ( h 。+ h ，) 跏 e 饵f + h 。 也 a 忸。+ h 0 白冬+ q 耻一掣 冬+ 吒丘：掣 冬坞毛：一掣 a o 峨t 鸲肾一坠 胁冬+ 岛也：掣 一 一 一 一 一 一 一 一 复旦大学工学硕士学位论文 等吣 等+ p 口。 a ( e 0 + e 二) o z 0 ( 吃+ k ) 优 r 2 3 8 0 r 2 3 8 j ) 心孕+ 朋。：掣( 2 - 3 8 k ) o td 譬 盹等+ b h o , - 一掣( 2 - 3 - 8 1 ， 同二维情况相似，匹配条件为 墨：旦( # x ，少，z ) ( 2 3 9 ) 心 满足上述匹配条件，则介质中的特性阻抗等于真空中的特性阻抗，这 样，当平面波穿过真空介质交界时不会有反射产生。 还有一个问题值得注意，p m l 界面仅仅存在于空间连续区，而对于电、 磁场分量不在一个平面的叶氏算法这样的分散区中，在交界面是会有反射的， 这是因为电场和磁场分量在单元格中的位置不同，所以在数值计算中不能完全 吸收而产生反射。解决这一问题的方法是选择一系列由距离分界面的距离r 所 决定的盯和p 的值，这样可以有效的减少反射。因此在实际计算中，p m l 介 质应包含多层。p m l 介质内沿i 方向的导电率分布为 q ( r ) = q 。( ) 2 ( 2 3 1 0 ) 同理，应用二级近似( 见附录a ) ，p m l 边界中的场分量离散化结果为 跏一麓，+ 与手+ 蕊扣扣一”扣；，d c t + 扣一毋”扣( 2 - 3 - 1 1 曲 墨呈查兰三兰矍圭兰丝篁兰 蹦匆瑚i 气”抄卜气；+ t 珊1 专t + 争确咖t + 争 日：；( t + ；，j ，一；) 一日：；( r + 圭，t f 2 - 3 1l b ) 珧，+ e 一气也，+ 扣专+ t 也，+ 争魂，+ 争 锄+ i 1 ，后一吉) 一锄+ ；，七 ( 2 3 1 l c ) 譬+ j 朋靠警( 7 ，+ ；瑚一旦窘+ 【；( ”；小；瑚+ ；( ，+ ；+ ；瑚 讧1 + 1 一日瓤一i 1 小扣 ( 2 - 3 - 1 1 d ) e n + l ( 1 , j , k + 气纯灿+ 争气；+ 嘭1 专t + 争”+ 争 j ( j j 1j 丘+ 吉) 一( f 一扣+ 圭) 】( 2 - 3 - 1 1 e ) 巧1 ( f 小t + 争e 等鬈( f ，m + 争里害+ ；“，+ ；m 争+ 乇+ ；加争 一( f ，一争( f ，一争 ( 2 - 3 - 1 1 f ) 嘶1 砖+ 等疏砖+ 争号手垛肿m 扣“川，t + 争 一e ( f ，j ，尼+ 了1 ) 一鬈( f ，j ， + 丢) 1 2 0 r 2 3 1l g ) 复旦大学工学硕士学位论文 h ，1 ，+ j ，t + 争= s 百p , t a 日1 ，+ ，e + 争+ 气手+ 晖“，+ j ，t 邶+ n ，+ j ，e 邶 吆( f ，j + 昙，) 一( f ，j + ，七) ( 2 - 3 1 l h ) 确咖m 毛) = e - 瓦”- h 如沙+ 争石1 - eu 。峨”邶蚓，咖川， 一目( f + 告，m ) 一e ( f + 吾，j 问】 r 2 3 1l i ) 璃专e + 等疏咖岭喾恸乩灿+ 批”u ，e + 争 一疋( f ，m + i 1 ) 一鬈( i ，舭+ 圭) ( 2 - 3 - 1 l j ) 日曩c ，+ ；，+ j 问= e 一等i c ，+ ；，+ j ，砷一! 箸+ c 。扎，+ j 瑚+ c ，+ j ，妁 壤( f ，j + 圭，炉( f ，j + 丢，训 h 如扣抄e 可p r z l t 瓢1 “搠+ 号手珊毛 2 4 本章小结 一( f + ； i ) 一疋( f + ；，一( f + 音，i ) 一疋( ， f 2 3 - 1 i k ) ( 2 - 3 - 1t i ) 麦克斯韦方程组是支配宏观电磁现象的一组基本方程。这组方程既可以 2 1 复旦大学工学硕士学位论文 写成微分形式，又可以写成积分形式。时域有限差分法是由微分形式的麦克斯 韦旋度方程出发进行差分离散，可以直接求解依赖时间的麦克斯韦方程，利用 二阶精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接转换为差分形式，这样 达到在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据取样压缩。 在f d t d 中，时间增量a t 和空间增量血、劬、z 不是相互独立的，它 们的取值必须满足a t ： ，才能保证差分方程的数值稳 j111 丽+ 丽+ 丽 定性。 完备匹配层( p m l ) 通过在f d t d 计算区域截断边界处设置一种特殊的介质 层，该层介质的波阻抗与相邻介质波阻抗完全匹配，因而入射波将无反射地穿 过分界面。并且，由于p m l 层为有耗介质，进入p m l 层的透射波将迅速衰 减，即使p m l 为有限厚度，它对于入射波仍有很好的吸收效果。 使用p m l 时，要选定3 个参数：p m l 层数n ，电导率分布阶数n ，p m l 表面反射系数r ( o ) 。大量的数值实验表明： 1 ) 当p m l 层数n 固定时，减小r ( 0 ) ，即增自n p m l 的衰减，可以使误差单调地 减小。然而，当r ( o ) 小于1 0 5 时，这种现象不再出现，原因是存在由数值网格 引起的固有误差。 2 ) 增加p m l 厚度，可以使误差减小，但是，p m l 层数多又会使计算量剧 增。折衷考虑吸收边界效果和计算量，通常取n = 4 8 。 3 ) 电导率分布阶数n 的改变不会影响计算量，却会影响吸收边界效果。通常 选取n = 2 。 复旦大学工学硕士学位论文 第3 章f d t d 在天线中的应用 3 1 近一远场等效 3 1 1 等效原理 由于f d t d 方法只能计算空间有限区域的电磁场，要获得远区的散射或辐 射场则必须应用等效原理。结合近一远场外推的要求，等效原理简述如下：在 散射体周围引入虚拟界面a ，如图311 ( a ) 所示。设a 面外为真空。如果保 持界面a 处场云，万的切向分量不变，而令a 面内的场为零，如图311 ( b ) 所示，则根据唯一性定理，图( a ) 与( b ) 两种情况在面a 以外的场云，面有 相同的分布。 向渤垮蚓 旦一旦 弊丽a ( a ) eh 舟n i 审f l 触渊 ；溉。霄 卜+ 凡 零物 扯棚 一一_ _ 一一一_ j 图3l1 等效原理示意图 ( a ) 原问题；( b ) 等效问题 复旦大学工学硕士学位论文 根据边界条件，图3l1 ( a ) 所示情况中a 面处存在等效面电流j 与面磁 流肪，它们等于 j = n a h 露：一n a 雷 3 - 1 1 ) 式中玩为面a 的外法向。因此，通过a 面上云，h 一的切向分量，或者说a 面上的等效电流歹与等效磁流肪就可以确定a 面外的场营万。 由于图31 1 ( b ) 中a 面内为零场，我们可以在a 面内填充与a 面外向 同的介质，这里设为真空。于是，原问题变为a 面处面电流了与面磁流砑在 全空间为均匀介质( 这里为真空) 时的辐射问题。 3 1 2 三维近一远场等效 图31 2 由数据存储边界外推远区场( 三维) 对于三维情形( 如图312 ) ，根据电磁场等效原理，a 上的切向等效电流 兰呈查兰三兰堡：兰堡丝圣 和等效磁流为 j = a a x 西= a c j 。- - 丘y j y + a ：j ： 砬= 一i a x 毳= a y x + 在y + a 掣： 频域远场区可由下式计算 巨( ，0 ，们z 0 跏，z 一等( k + 仉) 钟点力z 一等( 乙嘞心) 日，( ，口，妒) z 0 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 一l 一7 ) ( 3 - 1 8 ) ( 3 1 9 ) 其中，仉= 瓜为自由空间波阻抗，n o 、，、l o , n l ，按下列式子计算 = 够 以( z ，y ，z ) c o s o c 。s 妒+ ( z ，y 1 ，z ，c 。s 0s i n 妒一，：( 石，y ，z ) s i n 口 a r m s w d s ( 3 1 1 0 ) ，= 鄂 一以( x ，y ，z ) s i n 妒+ ( x ，y ，z ) c 。s 妒 归。“西 静 坂( z ，y 1 ，z ) c 。s o c 。s 妒+ m 廖，y ，z c 。s o s i n 妒一丝( z ，y 1 ，z ) s i n 口 ”凼 ( 3 - 1 1 2 ) 够 坂( z ，y ，z ) s i n 妒+ 鸠( xp , y t , z ) c 唧 “西 ( 3 1 1 3 ) 2 6 - 生生 = = 以 复旦大学工学硕士学位论文 以前等效面，即位于x = 平面上的a 表面为例，说明公式( 3 1 2 ) 一公 l 工y z j 细。= a 脚。! x 叠= 1 o o = 一h ：，十h 乒 ( 3 _ 、- 1 4 ) l 皿q 日 i zyz i 肠埘= 一，豆= 一1 0 0 i = e z y 一弓三 ( 3 _ 1 1 5 ) 阪易丘j 以加2o ，加，“2 一日：，= 加”= h y ( 3 1 1 6 ) m 。m = o ，m y _ ，：= e z ，m 。脚= 一e y r 、c o s 、= i j = j a ? = t x 再；+ y j a y + z j a ：) - 姬：s i n o c o s ( p + 厅ys i n 9 s i n ；d + a ：c o s o ) s i n o c o s o + y s i n o s i n 妒+ z c o s o ( 3 1 - 1 7 ) 墨呈奎兰三兰堡圭兰堡兰圣 将公式( 3 - 1 1 4 ) 一( 3 - 1 1 7 ) 代入公式( 3 - 1 1 0 ) 一( 3 - 1 。1 1 ) 得 虬舯。= 4 ； 一日：( x o ，_ y ，z ) c 。s 口s i n 妒一h ，( x o ，_ y ，z ) s i n 目 崩”“。8 “”。d s ( 3 - 1 1 8 ) 朋= 妤卜日：( x ，y ，z c o s 妒p 烈”“。”“”。印d s ( 3 - 1 - 1 9 ) 厶m ，= # r e x o ，y ，z ) c o s 护s i n 妒+ 日，( x o ，y ，z ) s i n 臼 业“”“。”。“”d s ( 3 - i 一2 0 ) 工，删= 够【疋( x ，y ，z ) c 。s 妒】e 似”“”巾”。“印d s 。( 3 - l _ 2 1 ) 其中，出= 匆出，积分区域s 为前等效面。 再将 0 f r o n t 扎舾。，厶加。上，如：代入式( 3 - 1 4 ) 一( 3 1 9 ) 得到前等效面对远 场辐射场的贡献。 3 2 激励源技术 实际的电磁场问题总是包含有激励源，因此，恰当地将激励源引入到 f d t d 网格之中对于正确地模拟电磁场问题是至关重要的。在激励源的引入过 程中，为了尽量减少由此而来的计算机内存占用和计算时间、提高整个程序的 效率，通常要求激励源的实现尽可能地紧凑，即在f d t d 网格中只用很少的几 个电( 磁) 场分量就可实现对源的恰当模拟。 3 2 1 强迫激励源 在f d t d 网格中，通过直接对特定的电场或磁场分量强行赋予所需的时间 变化形式，可以简便地建立起强迫激励源。 复旦大学工学硕士学位论文 例如，对于一维t m 网格，x 为波传播方向，电场只有e ：分量，为了模拟 频率为五、在”= 0 时开通的连续正弦波源，可以在源网格点处令巨按下列 形式变化 e ：t i 。1 = e os i n ( d r f o n z x t l ( 3 - 2 一1 ) 强迫激励源的缺点是强制源处的电场等于源的值，使得该处电场的值和用 y e e 迭代根据周围磁场求得的电场值不同，从而产生虚假反射。 克服强迫激励源引起虚假反射的一个简单方法是，在激励脉冲几乎衰减为 零、来自结构的反射波到达网格点之前，将激励源去掉，t 网格点场值的刷 新换用标准f d t d 公式。特别是如果网格点为边界点，场值的刷新换用吸收 边界条件。但是，这一方案不适合式( 3 2 1 ) 所示的正弦激励源，因为该激励 在来自结构的反射波到达f ：网格点之后仍然一直存在，不能被去掉。另外，对 于脉冲宽度较宽的高斯脉冲激励源，为了使来自结构的反射波到达i ，网格点之 前激励脉冲几乎衰减为零，0 网格点到结构的距离必须保持充分大，这将增加 计算机内存占用、增加计算时间，尤其使对三维问题，这种增加往往太大而不 可实现。 克服强迫激励源引起虚假反射的另一个办法是，将激励源看做麦克斯韦方 程中的一项，作下述处理。 根据麦克斯韦方程 等= 1 疵。( 3 - 2 - 2 ) 复旦大学工学硕士学位论文 其e z 分量的f d t d 差分格式为 e + ，( t )