（光学工程专业论文）二维fdtd集成光波导模拟及子域合成法研究.pdf

二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 摘要 集成光学近年来取得了突飞猛进的发展，并越来越广泛地应用于光通讯为主 的多个领域。光波导作为集成光学的主要组成部分，其局部性能指标直接决定了 集成光学整体器件的性能。在介质吸收可忽略的情况下，光的传播损耗是与光波 导结构直接相关的。由于光波导几何结构及材料选择方面涉及参数比较多，实际 制造时工艺复杂，小批量生产成本极高，因此不可能采用制造成品后再测量其实 际各项性能指标的方法优化，而必须依靠计算机仿真完成初步优化设计。本文就 软件仿真方面进行分析和讨论，介绍使用的算法及建模相关事宜。 时域有限差分法( f i n i t e - d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ) 是近年来发展极快的 一种电磁场计算方法，己在电磁辐射、散射、天线、微波与毫米波技术、光电子 学等领域得到广泛的应用。本文介绍了f d t d 方法的基本理论，包括建模，边 界条件，激励源等等。并采用二维时域有限差分法( 2 d f d t d ) 编写f o r t r a n 程 序，对点源在自由空间的辐射，平行介质波导方向耦合器和四分之一圆弧弯曲波 导进行了仿真分析，分析了仿真图样的光强分布，给出了其中一些影响参数。 本文还提出了一种新的建模方法：子域合成法。该方法为具有特定形状的仿 真对象量体裁衣，用一系列矩形子区域将其适当覆盖，然后在组合而成的多边形 f d t d 区域边界相应设置多个吸收边界与吸收角点，从而构成由多子域合成的计 算域。将予域合成法应用于光波导的计算机仿真中，并对弯曲波导进行了数值模 拟以考查其损耗状况。结果显示该方法可以有效节省硬件资源与计算时间，对于 提高f d t d 较大规模仿真运算效率具有实际意义。 关键词：时域有限差分法( f d t d ) 、波导、子域( s u b d o m a i n ) 、建模、仿真 二维f d i d 集成光波导模拟及子域合成法研究 a b s t r a c t i n t e g r a t e do p u c sh a sd e v e l o p e df a s tt h e s ey e a r s i ti sb e e na p p l i e di n v a r i o u sa r e a so t h e rt h a nt h et r a d i t i o n a lo p t i c a lc o m m u n i c a t i o n t h ei n t e g r a t e d o p t i c a la p p a r a t u sa c ta saw h o l ep a r tw h i l ei t sp e r f o r m a n c eb e i n gd u et ot h e c o n f i g u r a t i o n o ft h eo p t i c a lw a v e g u i d e b e c a u s eo ft h e h i g hc o s tw h e n p r o d u c i n ga f e wp i e c e sw i t hc o m p l i c a t e dt e c h n i c sa n dv a r i o u sp a r a m e t e r s 。i ti s n o tp r a c t i c a b l ea n dw o r t h yt of i n dt h eo p t i m a lp a r a m e t e r sb yt e s t i n gar e a l p i e c es ot h a tw em u s ts i m u l a t eb ys o f t w a r ea tf i r s ta n do p t i m i z et h o s e p a r a m e t e r s t h ew a yo fs o f t w a r es i m u l a t i o ni sp r e s e n t e di n c l u d i n ga l g o r i t h m a n dm o d e l i n ga f f a i r s f i n i t e d i f f e r e n c e1 1 m e - d o m a i nm e t h o di so n eo ft h em o s td e v e l o p e d n u m e r i c a lm e t h o di nt h ee mf i e l dc a l c u l a t i o na r e a i t sb e e n w i d e l y i m p l e m e n t e di n t h er e s e a r c ho fe m r a d i a t i o n ，d i s p e r s i o n 。a n t e n n a m i c r o w a v e & m i u i m e t e r w a v ea n dp h o t o e l e c t r o n e t c i nt h i sa r t i c l et h ef o t d t h e s i si si n t r o d u c e d ，i n c l u d i n gm o d e l i n g ，a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n d t h es e t t i n go fs o u r c ei ns i m u l a t i n g 2 d - f d t dp r o g r a m m ei nf o f l t r a nh a s b e e nc o m p o s e dt os i m u l a t et h ee l e c t r i cf i e l dd i s t r i b u t i o nf o rt h es p o ts o u r c e p a r a l l e l - s l a bd i r e c t i o n a lc o u p l e ra n db e n d e dw a v e g u i d e an e w f d t ds u b d o m a i n s s y n t h e s i z e dm e t h o d i sp r e s e n t e da n da p p l i e d i nt h es i m u l a t i o no ft h o s em o d e l sm e n t i o n e da b o v e b yt h i sm e t h o d ，t h e u n i q u e s h a p e do b j e c t ( e x p b a n d e dw a v e g u i d e ) i sc o v e r e db yas e r i e so f r e c t a n g u l a r s u b d o m a i n a n dt h u sf o r map o l y g o nf d t d d i s t r i c t i ti ss h o w nt h a t t h i sm e t h o dc a ne f f e c t i v e l yr e d u c et h em e m o r ya n dt i m eu s i n g k e y w o r d s ：f d t d 。w a v e g u i d e ，s u b d o m a i n 。m o d e l i n g ，s i m u l a t i o n 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 第一章绪论 1 1 集成光学技术的发展和应用 在现今的光纤通信网络中，大量使用了多种光器件和光电器件。这些器件中 的光学部分通常为三种结构：微光学结构、纤维光学结构和集成光学结构。集成 光学结构的主要组成部分是光波导，即利用低折射率介质将光波限制在高折射率 薄膜介质层中。它基于薄膜能够传输光频波段的电磁能的原理，故其诞生主要受 微波工程和薄膜光学的影响。在1 9 6 2 年前，平面介质波导已应用于微波工程中， 但直到1 9 6 5 年才由a n d e r s o n 和他的研究小组把微波理论和光刻技术结合起来制 作出应用于红外区域的薄膜波导和其它平面器件和光路。1 9 6 9 年，贝尔实验室 的s em i l l e r 首次提出了“集成光学”( i n t e g r a t e do p t i c s ) 的概念【3 】，即在一个细 小的基片上实现光发射、光探测、光耦合、光分支、光波分复用、光滤波、光开 关等一种和几种功能，达到器件的微型化和实现高功能密度。平面光波导技术和 平面微制造技术的成功结合使这一设想变为现实。 上世纪7 0 年代初，研究人员对制作波导的材料和制作工艺作了大量的研究。 此间，发光二极管( l e d ) 、激光二极管( l d ) 、光纤的制造技术取得了很大进 展。光纤传播损耗的降低加速了光纤通信系统的发展。7 0 年代晚期，l d 、l e d 得到了进一步改善，光纤成功地实现了低损耗化，企业和研究机构开始集中发展 光纤通信系统，对集成光学的研究反而减少了。他们认为集成光学器件的商品化 在近期内难以实现。8 0 年代，多模光纤通信的研究已经告一段落，再加上光纤 通信技术的单模化也取得了进展，集成光路开始重新获得了研究人员的关注。因 为光纤通信系统中的分立元件较难准直，且其性能又不够稳定。历经三十年的研 究开发，已有一些平面集成光波导器件达到了商用化。宣告了大力研究和发展光 通信用的完善而可靠的薄膜技术的开始。目前，光纤通信中用得最多的集成光学 器件主要有：光耦含器、光调制器、光开关、可调谐光滤波器( o a f ) 等。 集成光学器件伴随着光纤通信的兴起和发展已经走过了几十年，它在一开始 就将光纤通信作为其主要应用目标之一。集成光学器件不仅成为光纤网络的重要 组成部分，而且也促使光纤通信容量爆炸性增长、光纤通信技术和产业的迅猛发 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 展，加上光波导技术的进一步发展和成熟必将掀起光纤通信技术及其相关产业发 展的新高潮。 近年来，集成光学的应用已大大拓展而不仅限于光通讯领域，向着更高更复 杂的应用层面发展，如微光学陀螺等。这就需要我们对于光波导的性能有更充分 的发展和了解。光波导结构设计中存在的一个主要问题就是能量损耗，在介质吸 收很少的情况下，波导的结构将极大影响光波的有效传播。例如，弯曲波导在各 种光波导器件中有广泛的应用，在弯曲波导中存在着辐射损耗这种固有损耗，辐 射损耗的大小直接影响着含弯曲波导的光波导器件的性能。对不同半径，不同曲 率的弯曲波导的辐射损耗是不同的，因此有必要对弯曲波导进行优化设计。 1 2 f d t d 的起源及应用 自1 8 7 9 年麦克斯韦( m a x w e l ) 建立电磁场基本方程以来，电磁波理论和应用 的发展已经有一百多年的历史。目前，电磁波的研究已深入到各个领域，应用十 分广泛，例如无线电波传播、光纤通信和移动通信、雷达技术、微波、天线、电 磁成像、地下电磁探测、电磁兼容，等等。电磁波在实际环境中的传播过程十分 复杂，例如各种复杂目标的散射，复杂结构天线的辐射，在波导和微带结构中的 传播，实际通信中城市环境、复杂地形及海面对电磁波传播的影响，等等。具体 实际地研究电磁波的特性有着十分重要的意义。实验和理论分析计算是相辅相成 的重要手段。分析计算途径需要结合实际环境电磁参数求解麦克斯韦方程边值问 题，通常只有一些经典问题有解析解。应当说，解析解具有重要指导性意义。然 而，由于实际环境的复杂性，往往需要通过数值解得到具体环境下的电磁波特性。 随着计算机技术的发展，已经提出求解麦克斯韦方程的许多有意义的数值解方 法，例如矩量法( m o m ) 、有限元法( f e m ) 、边界元法( b e m ) 以及时域有限差分( f d t d ) 方法等等。并且，随着电磁波应用的广泛和计算机技术的发展，各种方法的研究 也更加深入旧捌。 1 9 6 6 年，k s y e e 2 】首次提出了一种电磁场数值计算的新方法时域有限 差分( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，f d t d ) 方法。对电磁场e 、h 分量在空间 和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个e ( 或h ) 场分量周围有四个h ( 或e ) 场分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。y e e 提出的这种抽样方式后 来被称为y e e 元胞。f d t d 方法是求解麦克斯韦微分方程的直接时域方法。在计 算中将空间某一样本点的电场( 或磁场) 与周围格点的磁场( 或电场) 直接相关联， 且介质参数已赋值给空间每一个元胞，因此这一方法可以处理复杂形状目标和非 均匀介质物体的电磁散射、辐射等问题。同时，f d t d 的随时间推进可以方便地 给出电磁场的时间演化过程，在计算机上以伪彩色方式显示，这种电磁场可视化 结果清楚地显示了物理过程，便于分析和设计。 1 2 对f d t d 发展的简单回顾 f d t d 方法是求解m a x w e l l 微分方程的直接时域方法，经过三十多年的发展己 成为一种成熟的数值方法，应用范围也越来越广。近十几年来，每年发表的论文 几乎按指数增长。下面简单回顾f d t d 的发展【1 】： _ y e e ( 1 9 6 6 年) 首先提出麦克斯韦方程的差分离散方式，并用来处理电磁 脉冲的传播和反射问题。 _ t a y l o r 等( 1 9 6 9 年) 用f d t d 分析非均匀介质体的电磁散射，提出用吸收 边界来吸收外向行波，吸收边界采用的是简单插值方法。 i e r e w e t h e r ( 1 9 7 1 年) 用f d t d 计算旋转体上由入射脉冲所引起的感生电 流，采用了辐射边界条件。 _ t a f l o v e 等( 1 9 7 5 年) 用f d t d 计算非均匀介质在正弦波入射时的时谐场 ( 稳态) 电磁散射，讨论了时谐场情况的近一远场外推，以及数值稳定性条件。 h o l l a n d ( 1 9 7 7 年) 和k u n z ( 1 9 7 8 年) 用f d t d 计算f 1 1 7 飞机这种复杂目 标的电磁脉冲散射。 m u r ( 1 9 8 1 年) 提出在计算区域截断边界处的一阶和二阶吸收边界条件及 其在f d t d 的离散形式。这是f d t d 的一种十分有效的吸收边界条件，获得广泛应 用。 u m a s h a n k a r 和t a f l o v e ( 1 9 8 2 年) 用f d t d 计算目标雷达散射截面( r c s ) ， 提出将f d t d 区划分成总场区和散射场区，并提出连接边界条件，是散射计算中 入射波设置的一种简便有效方法。 u m a s h a n k a r 和t a f l o v e 等( 1 9 8 7 ，1 9 8 8 年) 用f d t d 分析了自由空间及腔 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。y e e 提出的这种抽样方式后 来被称为y e e 元胞。f d t d 方法是求解麦克斯韦微分方程的直接时域方法。在计 算中将空间某一样本点的电场( 或磁场) 与周围格点的磁场( 或电场) 直接相关联， 且介质参数已赋值给空间每一个元胞，因此这一方法可以处理复杂形状目标和非 均匀介质物体的电磁散射、辐射等问题。同时，f d t d 的随时问推进可以方便地 给出电磁场的时间演化过程，在计算机上蛆伪彩色力式显示，这种电磁场可视化 结果清楚地显示了物理过程，便于分析和设训。 1 2对f d t d 发展的简单回顾 f d t d 方法是求解l l l a x w e l l 微分方程的直接时域方法，经过三十多年的发展己 成为一种成熟的数值方法，虑用范围也越来越广。近 几年来，每年发表的论文 几乎按指数增长。下面简单回顾f d t d 的发展【1 ： y e e ( 1 9 6 6 年) 首先提出麦克斯韦方程的差分离散方式，并用来处理电磁 脉冲的传播和反射问题。 一1 a y l o r 等( 1 9 6 9 年) 用| 1 d t d 分析非均匀介质体的电磁散射，提出用吸收 边界来吸收外向行波，吸收边界采用的是简单插值方法。 m e r e w e t h e r ( 1 9 7 1 年) 用f d t d 计算旋转体h 由入射脉冲所引起的感生电 流，采用了辐射边界条件。 t a f l o v e 等( 1 9 7 5 年) 用f d t d 计算非均匀介质在正弦波入射时的时谐场 ( 稳态) 电磁散射，讨论了时谐场情况的近远场外推，以及数值稳定性条件。 啊o l l a n d ( 1 9 7 7 年) 和k u n z ( 1 9 7 8 年) 用f d t d 计算f 1 1 7 飞机这种复杂目 标的电磁脉冲散射。 m u r ( 1 9 8 1 年) 提出在计算区域截断边界处的一阶和_ 阶吸收边界条件及 其在f d t i ) 的离散形式。这是f d t d 的一种十分有效的吸收边界条件，获得广泛应 用。 u i 】a s h a n k a r 和t a f l o v e ( 1 9 8 2 年) 用f d t d 计算目标雷达散射截面( r c s ) ， 提出将f d t d 区划分成总场区和散射场区，并提出连接边界条件，是敞射计算中 入射波设置的一种简便有效方法。 u m a s h a n k a r 和t a f l o v e 等( 1 9 8 7 ，1 9 8 8 年) 用f d t d 分析了自由空间及腔 u m a s h a n k a r 和t a f l o v e 等( 1 9 8 7 ，1 9 8 8 年) 用f d t d 分析了自由空间及腔 7 一 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 体中导线上的感应电流，讨论了f d t d 中细导线的处理方法。 _ c h o i 和h o e f e r ( 1 9 8 6 年) 用f d t d 分析了波导腔体的谐振问题，计算其谐 振频率。 k a s h e r 和y e e ( 1 9 8 7 年) 提出亚网格技术，m e i 等( 1 9 8 4 年) 提出共形网格 技术。 z h a n g 和m e i ( 1 9 8 8 年) ，l i a n g 等( 1 9 8 9 年) ，g w a r e k ( 1 9 8 8 年) ，s h e e n 和k o n g 等( 1 9 9 0 年) 用f d t d 分析计算了波导、同轴线、微带天线及微带不连续 性问题，得到相应的阻抗、传播常数及s 参数。 m a l o n e y 等( 1 9 9 0 年) 用圆柱坐标下f d t d 分析了柱状和锥状天线位于理 想导体平面上的辐射，得到宽带天线的输入阻抗及瞬态辐射场的直观可视化显 示。 s u l li v a n ( 1 9 9 0 年) 用f d t d 计算6 0 7 0 硼z 电磁波照射下透入到人体内部 的电磁场，研究了生物电磁学问题。 b r i t t ( 1 9 8 9 年) 首次给出时域远场结果，但论文未给出外推具体方法； y e e 等( 1 9 9 1 年) 和l u e b b e r s 等( 1 9 9 1 年) 提出了三维f d t d 时域近一远场外推方法： 随后l u e b b e r s 等( 1 9 9 2 年) 提出二维f d t d 时域近一远场外推方法。 l a r s o n ( 1 9 8 9 年) ，p e r l i k 和t a f l o v e 等( 1 9 8 9 年) 提出研究适用于f d t d 的专用计算机，以便用于计算电磁波与电大尺寸物体的相互作用。 l u e b b e r s 和h u n s b e r g e r 等( 1 9 9 0 年) 研究了色散介质在f d t d 中的处理 方法。 m a l o n e y 和s m i t h ( 1 9 9 2 年) 提出将阻抗边界条件应用于f d t d 。 s u i 等( 1 9 9 2 年) 提出用二维f d t d 计算有集中参数元件的数字和微波电 路模型，包括电阻、电容、电感、二极管、晶体管等元件。 b e r e n g e r ( 1 9 9 4 ，1 9 9 6 年) 提出将麦克斯韦方程扩展为场分量分裂形式， 并构成完全匹配层( p m l ) ，这是一种全新的吸收边界：s a c k s 等( 1 9 9 5 年) 和 g e d n e y ( 1 9 9 6 年) 提出各向异性介质的p m l ，其支配方程是各向异性介质麦克斯 韦方程；在f d t d 计算中这两种p m l 作为吸收边界已得到广泛应用。 p r a t h e r 和s h i ( 1 9 9 9 年) 分析轴对称衍射透镜，给出波长为1pm 平面波 和高斯波入射时，直径1 0 2 4 7um 衍射透镜的光波传播特性。 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 1 3 f d t d 方法在模拟光波导方面的进展和优势 随着光波导器件设计的日益复杂化以及非均匀、非线性、各向异性、损耗性 材料在光电子器件中的应用，得至u m a x w e l l 方程组在此类器件中的解析解已交得 极为困难，因此用数值方法对m a x w e l l 方程组进行精确求解就变得势在必行。目 前，光波导器件分析的常用数值方法为光束传播法( b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ， b p m ) 和时域有限差分法( f d t d ) 【恫。b p m 法计算简单、速度快，但它采用了菲涅耳 近似，忽略了由于光波导轴向的不均匀性而引起的反射波，而这些反射波在那些 作为反射器的光波导器件中是不能被省略的。近年来，由于f d t d 对媒质的非均匀 性、各向异性、色散特性、增益性和非线性问题均可精确模拟，f d t d 方法己被越 来越多地应用于光波导器件的仿真和分析中。 光波导的模拟，除了入射源，吸收边界条件等通常的必要元素之外，最重要 的问题就是建模。即在背景介质中设置需要模拟的目标波导介质。随着所研究波 导形状和介质特性的日益复杂，b p m 方法除了在精确程度上不能满足要求之外， 其计算的复杂度也会因模拟目标形状的复杂而上升，这将造成了程序上的复杂， 同时，也令程序的通用性大大降低。丽f d t d 方法一旦建模完成，其计算过程和 步骤是完全统一重复且比较简单的，计算的复杂度与目标形状、介质常数等完全 没有关系这恰恰从原理上回避了其它方法的缺陷。换句话说，f d t d 方法计 算时只涉及到计算量和存储量，它们与建模的总体规模直接有关，而与模型的内 部构造完全无关。在编写模拟程序时，改编只需针对不同形状的模型进行建模即 可，从而大大减少了工作量。这也使一些优秀的通用f d t d 程序的出现成为可能。 1 4本文的主要工作和创新 本文研究和介绍了时域有限差分方法的基本算法，吸收边界条件，激励波源 和针对光波导的建模方法。编写了f d t d 仿真程序，对几种不同模型进行了模拟， 验证了f d t d 方法的有效性和精确性。 本文的创新点在于突破了传统的建模方法，提出了新的“子域合成法”。该 法改变了通常将建模区域设定为矩形的习惯，而是根据仿真对象的具体形状，以 其为导向建立多个分块子区域，用一系列矩形子区域将仿真对象适当覆盖，化整 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 为零，最大限度划除无用区域以减小计算面积，然后在组合而成的多边形f d t d 区域边界相应设置多个吸收边界与吸收角点，从而构成本文讨论的由多子域合成 的f d t d 计算域。 这种方法在节约硬件资源的同时，也节省了计算时间，提高了程序运行的效 率。对大规模f d t d 模拟具有非常明显的效果。 本章小结 本章概括总结了集成光学器件的发展和应用领域，对于其关键部分光波导的 设计作了大致的介绍。另外主要阐释了f d t d 这种新型的数值方法理论产生发展 历史，应用领域以及优势所在，还对创新的子域合成法进行了说明。 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 第二章f d t d 建模及分析特点 f d t d 分析的基本思想是将被研究目标所在的三维空间沿坐标轴离散化，分成 小六面体单元网格，每个单元网格的电参量用媒质的参数f ，胁矾描述，用这 种具有特定媒质参数的单元网格的堆砌去模拟被研究体，同时把计算时间也 离散化为一系列有前后顺序的时间步，用依据三个空间坐标轴和一个时间坐标轴 的差分式去近似m a x w e l l 方程的微分式而获得关于场量的代数方程组，然后结合 具体问题，将差分方程加上适当的边界条件和激励条件，依靠迭代运算求解此代 数方程组即可求得目标的时域电磁场近场分布。再辅以离散f o u r i e r 变换和近远 场变换等技术，即可获得待研究问题在频域和远场的电磁场数值解。 f d t d 分析过程大体上可以分为以下步骤： a ) 首先明确分析要求，包括精确度和最终需要给出的参量( 结果) 。 b ) 进行f d t d 建模，包括网格剖分、算法选取、边冥选取以及激励源的设置， 这部分内容是整个f d t d 研究的关键。同时需要选择计算环境，包括编程语言、 计算机配置，是否需要并行计算等。 c ) 最后进行时间迭代计算，根据分析要求，从得到的时域波形中提取有用信 息。其一般流程见图2 一l 。 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 图2 1f d t d 分析流程图 下面针对各部分的目标、任务、功能进行介绍： 2 1分析仿真要求 这一步要做到任务明确，进行针对性分析 【待研究物体】：首先从形体结构上观察待研究物体，是否具有规则形状， 初步判断在何种坐标系下进行剖分：再观察待研究物体尺寸和是否具有细微或特 殊的结构，如是否有细长的缝隙、尖锐的边缘，是否具有细小的突起或凹陷，为 下一步选择网格音u 分技术提供参考： 【精确度要求】：主要为f d t d 建模时网格剖分、算法选择和边界的选取提供 参考。随着研究物体的不同，剖分形式也多种多样，加上f d t d 算法和边界条件 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 选取比较灵活，诸多因素的组合往往造成精确度不可能一次性建模就达到要求。 在实际应用中，首先需要通过计算简单的形体或自由空问中的源场辐射来验证算 法和边界的精确度，接着对网格剖分可能引入的误差进行计算，没达到要求就重 新进行网格剖分，直到满足要求的精确度指标为止。 【结果参量要求】：f d t d 计算得到的是各个空间网格上电场、磁场的时域离 散值，而我们期望的却是特性阻抗、散射参量、方向图、色散等种种特性，为此 需要经过一些变换，从时域信号中提取出有用的信息来。为此，有时需考虑使用 诸如连接边界条件、近远场积分面的设置等技术。 2 2f d t d 建模 这部分内容是整个f d t d 分析的重点和关键，一般来讲，用f d t d 进行分析， 近一半的工作量都集中在此。建模是一个总的概念，具体内容包括：空间网格剖 分、算法和边界条件的选取、激励源的设置和计算环境的选取等。 【网格剖分】：这部分内容是f d t d 建模中的重点和关键。根据前述f d t d 的 基本思想，网格割分就是将待研究目标及周围空间用网格进行堆砌。很显然， 网格剖分主要是由待分析物体形状和电参数决定的，首先通过直观的判断选用坐 标系和网格单元形式。如一般情况下可以建立直角坐标下的矩形单元，而要分析 圆柱体的散射，则可以选择柱坐标系下的基本网格单元。 网格剖分技术也受到精确度要求的限制，对于探索性的研究，精度要求不高， 不规则的边缘或曲线使用矩形网格既可，边缘的锯齿形台阶造成的误差不会完全 改变特性变化规律：如要求进行精确分析，网格剖分必须尽可能的拟合待研究物 体，尤其对于细微结构，要采用共形或变形网格加以描述，然后初步进行误差分 析，如果网格剖分造成的误差大于要求的精确度，网格还需要进一步细化。 网格剖分还受到f d t d 算法的反作用，原因是网格剖分技术是为f d t d 算法应 用服务的，按照某种原则进行剖分也是为了满足f d t d 算法执行的条件。如果单 纯从网格拟合的角度讲，可以非常方便的得到拟合非常好的网格，但往往会不满 足f d t d 算法成行成列，网格不能渐变太大等要求，两者是相辅相成的， 网格剖分技术推进了f d t d 算法的深入研究，同时算法的变异也提升了网格剖分 的自由度。 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 f d t d 算法】：主要受三个因素的影响：待研究物体、网格剖分和精确度。首 先待分析物体所处媒质可能是各向同性媒质、各向异性媒质、色散媒质、时变媒 质或非线性媒质中的一种，而待测物体可能是微波无源器件、集总参数元件、有 源器件等不同的场合，f d t d 都有相应不同的算法：其次网格剖分的形式决定了 算法应用上的具体形式，可能是非均匀网格中的算法、亚网格中的插值算法、共 形网格算法或细导线f d t d 算法，也可能是针对具体问题进行算法的拓展和变异： 精确度也对算法的选择提出了一些限制，精确度要求不高时传统f d t d 算法既可， 如果精确度中某项要求较高，则需要改进的f d t d 算法，如高阶算法、有效减小 数值色散的算法等等。 同时f d t d 算法也受到边界条件和计算过程中结果参量的反作用。在进行某 些复杂形体分析时，边界条件设置困难，或者还没有针对该场合成熟的边界条件 时就需要对算法进行修正，或采用子域连接法等其它方法改变边界设置条件，尽 量使用现已发展非常成熟，吸收效率高的边界条件。在计算过程中，类似于网格 剖分中的情形，如果算法精度验证时不符合要求，算法也需要作改进，直到符合 要求为止。 【吸收边界】：吸收边界的选取主要受精确度和算法选取的影响。目前比较 常用的是m u r 和p m l 边界，两者各有优缺点，具体使用视要求的精确度来定。同 时f d t d 算法可能应用于各种复杂媒质如色散媒质、非线性媒质、各向异性媒质， 也可能使用f d t d 变异算法如a d i f d t d ，r - f d t d 等，这就要求吸收边界条件也要 作相应的拓展，在形式上做到具体场合具体对待。 【激励源设置】：激励源的设置要综合考虑待研究物体、结果参量要求和网 格剖分结果。如何在离散的数值计算空间尽可能准确地模拟真实情况下的电磁 场，激励源是运用f d t d 方法获得正确计算结果的重要前提之一，包括源的形式、 位鬣等一系列问题。通常选用的有单频时谐波、高斯脉冲、调制函数型等。激励 源位置的设置原则是：一要保证稳定场建立的有效空间，又不要造成太多的空间 冗余：二要尽可能减少散射体的散射波和非均匀结构的反射波对激励源的影响。 对于不同的待研究物体，激励源的设置完全不同，有些结构如天线辐射系统 直接加硬性场源即可，当有不均匀体反射时，可能需要穿透性场源或利用连接边 界条件加入，这些特点使得激励源很大程度上要视具体分析对象来定。结果参量 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 要求的影响主要表现在分析频段和参量性质上，比如不同尺寸的波导结构中，加 入的调制高斯脉冲源的中心频率不一样：不同的激励源也使得仿真结果不同，如 分析双绞线的阻抗特性和电磁波干扰预测时所加的激励源位置和形式是不同的。 因为激励源始终要加在某些网格上，所以网格剖分对激励源不可避免产生影响， 如球坐标系中平面波设置起来就比较困难，同时由于网格剖分本身受许多因素的 影响，从而使得激励源设置的位置、方式等都要受到这些综合因素的间接影响。 【计算环境】：计算环境主要是对f d t d 执行运算的一种平台选择，在编程 语言上目前可以选择f o r t r a n ，c ，v c 或m a t l a b ：在硬件上尽管目前的单p c 机速 度、存储量比以前有了质的飞跃，但是如果网格剖分数超过3 0 0x3 0 0 x4 0 0 时，也常常无法胜任，如果采用曲线坐标系，存在媒质参量、协变分量、逆变分 量和g 矩阵，计算空间将更小，造成网格数、网格尺寸、研究频率受到限制，促 使f d t d 算法作改进或采用并行算法来实现。 2 3f d t d 计算 完成f d t d 建模的基础工作后，即可进行相关的f d t d 计算，内容包括三个方 面：算法和模型选取精确度分析、具体时域计算、结果参量提取。 一般来讲，对于简单的规则形体，一次剖分精度就可以达到分析要求，但是 对于复杂形体，剖分的自由度比较大，网格变化形式也较多，哪种形式的网格剖 分最能有效的减少网格间反射，必须进行相关的试探：算法也是同样，如果经典 f d t d 算法的二阶精确度不够，就需要考虑高阶差分算法等技术。 算法和网格剖分验证合适后，就可以进行目标特性的分析，为保证信号完整 性，在进行时域计算时，应使主要频谱部分，特别是低端频谱的信号达到稳定状 念，从现象上看，应使时域响应信号的“拖尾”被完全记录下来，一般来说，运 算总时间选取应使分析的数值波沿计算空间任一方向都足够传输3 5 个来回，直 到所有信号都经过记录点。 直接f d t d 计算得到的结果是记录点上的时域波形，但是我们更关心的是目 标的一些特性参数，如散射参数、方向图等，为此，须从时域波形中提取出所要 的信息来，一般从时域到频域需要作f o u r i e r 交换，求方向图需要进行近一远场 变换等等。 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 至此，完成了整个f d t d 的仿真过程。实际应用时，通过人为的判断就可以 大致得出剖分、算法和边界的选取，只需进行相关的验证和修正就可以了，正是 由于f d t d 算法上出现了多种变异，各有千秋，剖分技术也自由灵活，主观选择 因素较多，使得f d t d 的商业软件从功能上还无法象有限元法一样得到广泛应用， 只有在f d t d 算法上取得大的统一、网格自剖分技术得以实现，f d t d 的商用软件 才能广泛的推广应用。 本章小结 本章介绍了f d t d 计算从最初分析到最后仿真模拟的大致过程和注意要点。 基本步骤为： a ) 明确分析要求，包括精确度和最终需要给出的参量( 结果) 。 b ) 进行f d t d 建模，包括网格剖分、算法选取、边界选取以及激励源的设置， c ) 进行时间迭代计算，根据分析要求，从得到的仿真结果中提取有用信息。 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 第三章m a x w e l l 方程及其f i ) t d 形式 麦克斯韦方程组是支配宏观电磁现象的一组基本方程。这组方程既可以写成 微分形式，又可以写成积分形式。f d t d 方法是由微分形式的麦克斯韦旋度方程 出发进行差分离散。本章给出麦克斯韦旋度方程及其在直角坐标系中的f d t d 离 散形式，包括三维和二维情况。 3 1 麦克斯韦方程和y e e 元胞 麦克斯韦旋度方程为 v x h 。塑+ j a f v 一一詈 其中， f 为电场强度，单位为伏特米( v m ) ； 口为电通量密度，单位为库仑米2 ( c 2 ) ； 胃为磁场强度，单位为安培米( a m ) ： 口为磁通量密度，单位为韦伯米2 ( w b m 2 ) ； l 厂为电流密度，单位为安培米2 ( a m 2 ) ； 砌为磁流密度，单位为伏特米2 ( v m 2 ) 。 各向同性线性介质中的本构关系为 d t e e ，b 一肛h ，jt o e ，j 。；盯。h 其中，e 表示介质介电系数，单位为法拉，米( f 细) ；表示磁导系数，单位为亨 利米( h m ) ；s 表示电导率，单位为西门子，米( s m ) ；s m 表示导磁率，单位 为欧姆米( o m ) 。s 和s m 分别为介质的电损耗和磁损耗。真空中s = o ，s m = 0 ， 以及 = o 一8 8 5 x 1 0 1 2 f m 肛一盹一锄x 1 0 7 h m 直角坐标系中，( 3 - - 1 1 ) 、( 3 - - 1 - - 2 ) 式写为 以及 二二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 下面考虑以上两式的f d t d 差分离散。令f ( x ，y ，z ，t ) 代表e 或h 在直角坐标 系中某一分量，在时间和空间域中的离散取以下符号表示： ( x ，y ，z ，t ) ；f ( i a x ，j a y ，k a z ，甩f ) ；厂“，j ，k ) 对f ( x ，y ，z ，t ) 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，即 妒o ，y ，z ，r ) l 缸 k h 酽 ，y ，z ，f ) l 砂 l 。 d ，o ，y ，z ，f ) l o z i ：f k 。：g 丝：! ! 二! ：垡二i ：! ! 生 ：3 x ，“( i ，j + ，女) 一，“( f ，j 一 ，) ，”o ，j ，k + i 1 ) 一，“( f ，j ，k 一 ) _ 。- + 。一 笪鱼! ! 塑i。：垫址! 二! 垡! ! ! 盟 o t t - i 在f d t d 离散中电场和磁场各节点的空间排布如图3 - - i 所示，这就是著名 的y e e 元胞( 3 维情形) 。 琶j 面， 面 + + + 峨i 呜i 哆i 5 占 f 吣 吖 邓 竖把峨|若峨一砂 峨一妙峨i峨i h h 日 盯 盯 盯 一 一 一 氓了峨i 啦i 弘 卢 p 一 一 一 t i 一 峨一以峨一缸皈一妙 一 一 一 哆一砂峨一以吗一溉 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 图3 一l f d t d 离散中的y e e 元胞 由图可见每一个磁场分量由四个电场分量环绕；同样，每一个电场分量由四 个磁场分量环绕。这种电磁场分量的空间取样方式不仅符合法拉弟感应定律和安 培环路定律的自然结构，而且这种电磁场各分量的空间相对位置也适合于麦克斯 韦方程的差分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。此外，电场和磁场在时 间顺序上交替抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步，使麦克斯韦旋度方程离 散队后构成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进行矩阵求逆 运算。因而，由给定相应电磁问题的初始值，f d t d 方法就可以逐步推进地求得 以后各个时刻空间电磁场的分布。 y e e 元胞中e 、h 各分量空间节点与时间步取值的整数和半整数约定如表3 1 所示。 表3 1 y e e 元胞中e 、h 各分量节点位置 空间分量取样 电磁场分量 时间轴t 取样 x 坐标 y 坐标 z 坐标 e xi + 1 2 】 k e 节点 e y l j + 1 2 kn e zl 】 k + l 2 h x i j + 1 2 k + l 2 h 节点 h y i + 1 2 】 k + l 2 n + 1 2 h zi + l 2 j + 1 2 k 1 9 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 3 2 三维直角坐标中的f d t d 先观察( 3 1 5 ) 第一式。设观察点( x ，y ，z ) 为e x 的节点，即( i + 1 2 ， j ，k ) ，以及时刻t = ( n + 1 2 ) a t ，于是( 3 - - 1 - - 5 ) 第一式离散为 叫+ l ，m ) 丛丝瓮必 圳峙肚) 必坠等掣 置：+ “2 ( f + ，+ ，七) 一h ；+ “2 a + ，一i 1 ，哥) 兮 h ，n “( f + ，j ，k + ) 一日2 ( f + ，七一 ) a z 上式中用了平均近似，即 ：( f + 批七) ，型坠趣掣望幽 这样做是为了在离散式中只出现表2 1 所示的各个场分量节点。实际上这一平 均值方法使f d t d 随时间推进算法具有数值稳定性。( 3 2 1 ) 式整理后可得 f “( f + ，k ) 一a ) e ( f + ，j , k ) + c s ( m ) 【丝堑立业盟= 竺坚趔( 3 - - 2 - - 3 ) 删 日，n “雎( f + ，j ，k + ) - h ；“”( f + i 1 ，k 一 ) ， 一 a z j 式中 c b 劬) 一 a t 1 p ( 卅) 塑! 亟堕 f 2 1 + o ( m ) a t 2 8 ) 上式中标号m = ( i + 1 2 ，j ，k ) 。同样，( 3 - - 1 5 ) 使的其余二式离散后的形式为 业一一一荆 三h 兰掣釜警 卜龇 二维f d t d 集成光波导模拟及子域合成法研究 q “( f ，+ ，七) 一c a ( m ) 彤a ，+ 吉，七) + c a ( m ) 【。h n * i 2 t il _ 1l 型1 l n + l 2 卫l 地1 ( 3 - - 2 - - 6 ) 一竺：竺垒i ! 生：! ! 二笙：! ! 二! 生i ! 垡 缸 1 式中m = ( i ，j + 1 2 ，k ) ，以及 e ；+ 1 ( f ，k + ) 一c a (