（物理电子学专业论文）金属ebg结构与波导模式分析.pdf

摘要 近些年来。人造金属周期性结构在微波频段表现出的电磁带隙( e b g ) 特性，使得微波 毫米波波段金属e b g 器件得到越来越深入的研究。金属e b g 微波器件具有损耗小，散热好 的特点。尤其适合于工作频率高、能量密度大的场合，在民用及军事领域都有广泛的应用。 金属电磁带隙结构及模式分析是研究和设计金属e b g 器件的基础。 本文首先从m a x w e l l 方程出发，介绍了分析金属e b g 结构的两种理论方法，平面波展 开法( p w e ) 及时域有限差分法( f d t d ) ，并分别进行了详细的讨论。本文又提出，可将 固体物理中对称性分析方法引入到e b g 结构分析中，介绍了群论的基本概念和原理。 接着，本文对金属e b g 结构进行数值分析。建立了二维金属周期性结构f d t d 分析模 型，分别获得二维方格型及三角型金属周期性结构电磁带隙的数值分析结果。研究了平面金 属e b g 波导的模式问题，分析了方格型及三角型格点平面e b g 波导中主要导波模的本征值 及模式特性。对基于金属e b g 结构的简单器件- t 型分路器进行了仿真，所获得的电磁 波传输的结果与直接获得的带隙计算结果一致。 本文利用群论的方法，对方格型及三角型两种格点形式的二维周期性结构模式问题进行 了定性分析，并将群论的分析结果与p w e 数值计算结果进行了比较，两者表现出了良好的 一致性，从而验证了群论方法在周期性结构模式对称性分析中的有效性。 最后。本文深入分析了纵向均匀金属e b g 波导的模式问题，研究了波导中主要导波模 的模场分布和基本特性，以及波导中心缺陷尺寸及波导壁层数对模场分布的影响。所得主要 模式场图的对称性特征与群论分析方法的结论一致，从而验证了f d t d 数值分析方法的有 效性。仿真获得方格型及三角型金属e b g 结构波导的色散特性。以上结果为进一步分析金 属e b g 波导及器件奠定了基础。 l 关键词l 光子晶体电磁带隙金属e b g 结构模式分析 a b s t r a c t r e c e n t l y , t h ea r t i f i c i a lm e t a l l i cl ：m t i o d i c $ t r u c t u r e sh a v ea t t r a c t e di n t e n s ea t t e n t i o nb e c a u s eo f t h ee l e c t r o m a g n e t i cb a n dg a p ( e b g ) p r o p e r t i e si nm i c r o w a v eb a n d s 1 1 谗e b gs t r u c t u r ep r o v i d e g o o dr a d i a t i n ga n de x t r e m e l yl o wl o s s s ot h ee b g b a s e dm i c r o w a v ed e v i c e s , a r ee s p e c i a l l yu s e f u l i l ih i g ho p e r a t i n gf r e q u e n c ya n dh i g hp o w e rd e n s i t yc a s ，w h i c hl e a dt ot h et r e m e n d o u s a p p l i c a t i o np o t e n t i a li nb o t hc i v i la n dm i l i t a r ya r e a 1 1 1 ea n a l y s i so fb a n ds t r u c t u r e 鹋w e l l 船 t h em o d ep r o b l e mi st h eb a s i so f e b gs t r u c t u r er e s e a r c h a tf i r s to ft h i sp a p e r , t h ef u n d a m e n t a lo fp h o t o n i cc r y s t a lw i l lb ei n t r o d u c e ds y s t e m a t i c a l l y b a s e do nm a x w e l le q u a t i o n s b o t hp l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ( p w e la n df i i i i t cd i f f e r e n c ei n t i m ed o m a i nm e t h o d ( f d t d ) a l ed e d u c t e di nd e t a i l f d t di sak i n do f a l m i g h t ym e t h o d , i tc a nb e u s et os i m u l a t et h eo p e r a t i n gs t a t o e w e l la sb a n ds t r u c t u r e s u b s e q u e n t l y ，t h eg r o u pt h e o r yw i l lb ei n t r o d u c e dt oa n a l y s i so ft h ep e r i o ds t r u c t u r e t h e s y m m e t r yr e l a t i o n so ft w o - d i m e n s i o n a lp h o m n i cc r y s t a l sa l ed e d u c e db yt h em e t h o do fg r o u p t h e o r y a n dg o o dc o n s i s t e n c yi ss h o w nb e t w e e ng r o u pt h e o r ya n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o n sf r o m p w e b a s e do nt h et h e o r yr e s e a r c hw o r ka b o v e , t h em e t a l l i ce b gs t r u c t u r e sa 陀s t u d i e di nd e t a i l t h et w od i m e n s i o n a le b gs t r u c t u r e sa l em o d e l e db yf d t da l g o r i t h m ，a n dt h e nt h ed i s p e r s i o n r e l a t i o n sa r ec o m p u t e d b e s i d e s ，t h eg u i d e dm o d e si np l a n a rm e t a l l i ce b g w a v e g u i d ea l ef o u n d f i n a l l y t h ef d t dm e t h o di su s e dt os o l v et h em o d ep r o b l e mo fm e t a l l i ce b gw a v e g u i d e t h ee f f e c t so fd e f e c ts i z ea n dt h i c k n e s so fw a v e g u i d ea r es t u d i e dn u m e r i c a l l y - t h e nt h em o d e p a t t e m sa mc o m p u t e db yf d t d i tc a l lb es e e nt h a ts y m m e t r yc h a r a c t e r so f c o m p u t e dm o d e sa 咒 s a m ea st h a tp r e d i c t e db yg r o u pt h e o r y , i nt h ee n d ，t h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n so f e b gw a v e g u i d e sa r e s i m u l a t e db a s e do nt h em o d er e s u l t s k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l s , e l e c t r o m a g n e t i cb a n dg a p ，m e t a l l i ce b gs t r u c t u r e ，m o d ep r o b l e m i l 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 赫日 期：壁：! ：型 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 日期： 第一章绪论 第一章绪论 自上世纪5 0 年代以来，电子技术突飞猛进，成为社会生产力发展的巨大推动力。短短5 0 年之 内，电子电路从分立电子器件到集成电路，乃至今天的超大规模，甚大规模集成电路以及特大规模 集成电路，电子电路的集成度以几乎每1 8 个月翻一番的速度递增，这就是所谓的。摩尔定律”。然而， 随着集成度越来越高，元器件越来越小，集成电路技术出现了一些传统工艺无法逾越( 或者必须付 出巨大的代价来实现) 的物理极限，如散热、漏电流及热噪声等等，业界呼唤种新的技术，来作 为集成电路的替代者。 与此同时，不断增长的对信息的需求推动了通信技术的发展。使用了密集波分复用( d w d m ) 技术的光通信系统可以为人们提供几乎无限的带宽资源。但是由于必须在网络节点处进行光一电一 光的转换，使通信速度受到了限制，人们需要功能更强大，速度更快的光子器件；基于半导体及聚 合物技术的集成光路( o l c ) 的出现，大大提高了光子器件的性能，集成光路是公认的很有希望能 够超越集成电路成就的新技术。与集成电路相比，集成光路具有如下显著优点： 1 传输损耗小，带宽大； 2 无电磁干扰，适用于电磁环境复杂的情况； 3 无需接地，不用考虑阻抗匹配； 4 不易被监听，保密性好。 当前的集成光路一般采用半导体平面工艺来制作，业界称之为平面光波光路( p l a n a rl i g h t w a v e c i r c u i t s p l c ) ；p l c 将光源( l d ，l e d ) 与各种平面波导器件通过不同工艺方法( 单片集成、混和集 成) 在一起，实现各种复杂的功能。脊波导是p l c 的基本单元，在用脊波导构成单模的波导分支时， 汇流角非常小，通常交会部分长度会达到波导宽度的几百倍之多，由此造成了集成光路器件体积偏 大，不易实现大规模集成。而光子晶体是一种新型光子器件结构，利用光子晶体的带隙特性，可以 实现理论上无损的任意角度的波导拐弯和分支。光子晶体是实现集成光路的最理想的结构。 1 9 8 7 年，美国科学家e y a b l o n o v i t c h 首次提出了光子晶体( p h o t o n i n cc r y s t a l ，p c ) 的概念一y a b 在他论文中将f p 腔所具有的高频率选择性推广到三维情况下，提出如在空间的三个方向上，折射率 分布都表现出周期性，那就可能存在一个频率禁带 一般的，介质材料光子晶体的频率禁带出现在 光波波段，称之为光子带隙：而金属材料光子晶体频率禁带出现在微波毫米波波段，称之为电磁带 隙；以下同。) ，在此范围中的电磁波不能够在这个周期性结构中传播”j 。 同样在1 9 8 7 年，加拿大科学家s j o h n 发表论文指出，包含中心缺陷的三维周期性结构，可以 产生光子局域的现象口l ，从而将光波约束在缺陷范围内。自此，光子晶体及其两个最重要的物理属 性，光子带隙( p h o t o n i cb a n dg a p , p b g ) 及光子局域( 1 0 c a l i z a t i o no f p h o t o n s ) 逐渐为学术界认识和 接受。 光子晶体的概念首先出现于光频波段，随即延伸到微波波段。金属材料的周期性结构在微波波 段也具有电磁带隙的特性，此类新型器件，在民用及军事领域都具有广泛的应用前景，而当前关于 此类结构的研究还不多见，本文关注于解决金属周期性结构带隙及模式的基本问题，为进一步研究 基于金属周期性结构的新型微波器件打下了基础，具有重要的理论和实际意义。 1 1 光子晶体简介 1 1 1 光子晶体技术回顾 自然界中存在着许多天然的微小周期性结构，它们可以被视为天然的光子晶体，其中最常见的 东南大学硕士学位论文 就是色彩斑斓的蝴蝶。人们发现，从某些角度看过去，蝴蝶的翅膀色彩总是显得特别的鲜艳，这样 的特性与蝴蝶翅膀的结构是具有内在联系的。科学家们在显微镜下观察到，蝴蝶翅膀的结构表现出 亚微米量级的周期性，由于周期性，使其对于一定频率的光波产生了带隙，所以这部分光波全部被 反射出去，人们自然就会觉得蝴蝶的翅膀表现出某种特别鲜艳的色彩，然而蝴蝶翅膀并不是完整的 光子晶体结构，所以这种带隙仅仅存在于某些方向上。 图1 1 色散斑斓的蝴蝶图1 2 显微镜下看到的蝴蝶翅膀微观结构 随着研究的深入，学术界对光子晶体的理论研究和实验都获得了突破。科学家们提出将固体物 理中的晶体理论，如倒格矢空间，布里渊区，布洛赫定理等应用到光子晶体中，并且从理论上证明 了只要折射率变化足够大，三维周期性结构中就可能存在完整的光子带隙”4 1 , y a b 本人也于1 9 8 9 年在实验中测出了微波段三维金刚石结构光子晶体的完整带隙p j 。但是由于当时制作工艺的限制， 对于适用于光通信波段的光子晶体的研究，还仅仅停留在理论研究和数值仿真的阶段。 最近1 0 年间，由于微电子工艺的迅猛发展，使制备光波段的光子晶体成为可能，这使得光子晶 体引起了学术界的研究热情。自2 0 0 0 以来，仅i e e e 收录的以光子晶体为主题的文章就多达1 3 0 0 余篇，光子晶体研究也被s c i e n c e 选为十大热点领域之一，文章数量以每年7 0 0 以上的速度递增， 各种关于光子晶体的理论及应用成果不断涌现。在对于光子晶体的研究中，逐渐建立了光子的能带 理论，打开了控制光的传播及光与物质相互作用的新领域凝聚态物理和光学的新交叉领域。 意识到光子晶体的巨大应用潜力，各国政府纷纷投入巨资，组织开展对于光子晶体的研究。美 国国防部高级研究计划局( d a m ，a ) 投入2 4 9 0 万美元建立了“重组天线计划”。英国也于2 0 0 0 年 投入1 2 5 0 万英镑开展“超快光子合作计划”；欧盟2 0 0 0 年启动了“光子晶体集成线路计划”；日本 新能源产业技术开发中心开始了“可调光子晶体计划”。英国国防部还于2 0 0 0 年1 0 月4 日公布了他 们申请的纤芯掺杂稀土光子晶体光纤的专利( 专利号：c n l 2 6 9 1 2 0 a ) 。此外，光子晶体在光通信， 光电子领域的应用前景被持续看好，光子晶体现在已经成为各国政府、学术界及工业界共同关注的 焦点之一。 1 1 2 光子晶体基本特性 光子晶体。是一种电介质常数周期性变化的人工材料。光子晶体的结构与特性与固体物理中的 晶体有类似的地方。固体物理中，处于晶体原子的周期性势场中的电子能量可以用薛定谔方程来描 述，在光子晶体中的光波模式可以用m a x w e l l 方程来描述，这两类晶体都具有带隙性质，他们的一 些比较如表1 中所示： 2 第一章绪论 电子晶体光子晶体 典型晶格常数a m ( 原子半径尺度) m 或更大( 与带隙波长在同一量级) 约束方程 - 2 h - - 刍v 2 + v ( ，) p = 脚 高弘 e ( r ) v v ) = v ( r + )v x 去v 堋，) ) = 等嘶) s ( ，) = f ( r + a 。) 互作用 电子之间存在很强互作用光子之间无互作用 带隙特性电子带隙光子带隙电磁带隙 表1 1 电子晶体与光子晶体的比较 光子晶体最重要的特性就是光子带隙( 金属材料的光子晶体带隙一般出现在微波波段，称之为电 磁带隙，e l e c t r o m a g n e t i cb a n dg 印，e b g ) ；本文中涉及的周期性结构分两大类；带隙位于光波段的 光子晶体，一般由介质材料构成，在本文中称为光予晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ，p c s ) 或p b g 结构；带 隙位于微波波段的光子晶体，一般由金属材料构成，可称为金属光子晶体( m e t a l l i cp h o t o n i cc r y s t a l s ， m p c s ) ，在本文中，统一称之为金属e b g 结构。光子晶体( p b g 结构) 及金属e b g 结构仅仅是材 料、尺度以及带隙出现的频率范围的不同，其周期性结构的实质是一样的。 由于材料的电介质常数呈周期性分布，使得一定频率范围内的电磁波在任何方向上都不能在光 子晶体内部传播，这样的频率范围就称之为光子电磁带隙。从物理角度考虑，光子电磁带隙来源于 被折射率周期性性结构散射的电磁波之间的相互干涉。故周期性结构决定了散射电磁波之间是否相 干，强的折射率变化决定了散射是否足够强，满足这两个条件，就有可能出现光子电磁带隙。 如果在理想的周期性结构中引入缺陷，那处于光子带隙范围内的光波就只能存在于缺陷范围中， 这部分光波表现出很强的光子局域特性。这种现象被称之为a n d e r s o n 局域1 6 j 。因此。在光子晶体结 构中引入各种不同形状的缺陷，可以起到控制光波传播方向的作用。如在光子晶体结构上实现的波 导拐角或分支，不仅尺寸小( 与所传播的光波波长在同一量级) 。且理论上可以达到无损传播，是大 规模的光子芯片集成的理想解决方案。在微波领域，利用e b g 结构的带隙特性，同样可以实现损耗 更小，性能更好的有源或无源微波器件。 1 1 3 光子晶体分析方法 研究光子晶体最重要的就是光予晶体带隙及模式的分析。当前，最常用的光子晶体分析方法就 是平面波展开法( p l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ，p w e ) 。早在2 0 世纪6 0 年代，p w e 就已经被应用 于散射电磁波场的分析中1 7 j 。p w e 能够快速的计算光子晶体色散关系及模式情况，但是，p w e 不 能处理材料有损耗( 介电常数出现虚部) 的情况，所以不能处理金属材料的情况；此外p w e 方法通 过求解本征值问题得到光子晶体色散关系，所以在计算高阶带隙的时候会变得非常的缓慢。 s h e 与m o i u 提出一种改良的p w e 法p j ，使其可以处理包含可导材料的情况。通过计算一些 例子与其他方法做比较，证明了这种改良的p w e 的有效性：不幸的是，这种方法只能处理导体填充 率非常低( r 2 名 s c 畅，= ：l r 功i l s r o 。则有 赤= 去+ b 珈嘞， g ( 嘞)矗i 毛毛j “ 将( 2 3 4 ) 代入( 2 3 2 ) 可以得到 蚂，2 扣+ 吉岜1 ) d r s ( r ) e x p ( - ，泣， ( 2 3 5 ) 中的积分可以在极坐标下得到解析解，假设g i = 0 时，= 0 ，妒= 0 ，对于g ，0 的 情况，有： d r s ( r ) e 醑卿，j ，) = f 毋肭r 唧p 妒劲 = r 咖r 7 d 喹一( g r ) e x p f f ( 妒一升z 万r 。d r r a o ( c , r ) = 百2 z r o 以( 蚴旺，。， 上述式子中，g = l g ，i 。正表示第l 阶贝塞尔函数，在( 2 3 6 ) 的推导过程中还利用了如下 的关系：e x p ( i a ) s i n # ) = 一( ) e x p ( 玎声) 和 戗，1 ( 印) = n ，o ( ) 。 编，：f ( i - i 牌( 删3 # 0 ( 2 3 7 ) 将( 2 3 7 ) 代入( 2 ，3 0 ) ，则可以得到本征问题的特征矩阵完整形式，求解这个本征问题，可以 得到光子晶体的色散特性及带隙结构。 2 1 4 无标度定理 光子晶体的一个重要特性就是无标度性。无标度性表示，如果两个光子晶体其他的参数都相同， 1 8 第二章电磁带隙理论分析基础 仅仅是结构上尺度不同，则这两个光子晶体具有相同的带隙结构，仅是带隙波长不同，带隙波长随 光子晶体的尺度成正比。关于无标度定理的证明如下： 重新定义空间和时间变量： 以及 l r = r 口 c t = t 口 新的变量，。和，是没有单位的。从而可以定义新的介电常数分布和： 气i ) = g ( r ) 以及电场分布： & 满足下列的波动方程 吃( ，f = e ( r ，f ) ( 2 3 8 ) ( 2 4 1 ) 赤v i v 蛾( ， 门 - _ 盖啪 ( 2 铊) 这个波动方程的形式与( 2 5 ) 是一样的；因此如果两个光子晶体仅仅使尺度上不同，通过尺度 变换，可以使两个光子晶体满足的波动方程一致。 同样的，与( r ，f 系统对应的波矢及角频率分别用( 七，国) 表示，根据尺度变换关系( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) ，可以得到： 后t ：旦七 2 n ( 2 4 3 ) ：旦国 d r c ( 2 4 4 ) 这意味着，如果波矢k 以2 石a 为单位，口以2 万c a 为单位，仅仅尺度不同( 晶格常数a 不同) 的光子晶体色散曲线的样式是完全相同的i 枷】。 2 2 时域有限差分法( f d t d ) 时域有限差分法最早见于y e e 在1 9 6 6 年发表的论文1 4 ”。该方法的核心思想是将m a x w e l l 旋度方 程写成差分形式，空间分为正交网格( c e l l ) ，在时间域上交替计算电场和磁场。这种方法理论上可 以处理几乎所有的电磁场计算问题，且合理选择空间和时间步长可以保证收敛；所不足的是，为了 保证计算精度，往往需要选取较小的空间和时间步长，因此产生的计算量是惊人的，在处理复杂结 构，尤其是三维结构时，往往因计算量过大而无法使用f d t d 方法，所以f d t d 一般用于二维光子 晶体问题的分析。 1 9 东南大学硕士学位论文 各向同性介质中，m a x w e l l 方程可以写为： 警+ v x 础 眨。， 丝一v 。露：了 研 ( 2 4 6 ) 曰2 日 ( 2 4 7 ) d = s e 2 4 8 ) 其中，在笛卡儿坐标系下，( 2 4 5 ) 和( 2 4 6 ) 可以分别展开为标量方程组( 2 4 9 ) 和( 2 5 0 ) ： 堡：堡一堡 a t 锣出(249a、 a b v8 e ，8 e ， 一= _ _ ：- 一二 国如缸 ( 2 4 9 b ) 丝：堡一堡 0 t 勿0 x ( 2 4 9 c ) ( 2 5 0 c ) 对于要研究的任一矢量j ，可以改写为各方向的分量，即j = ( 4 ，以，4 ) 。在笛卡几坐标系下 划分空间格点，假设f ，_ i 为格点标号，a x ，缈，z 分别为各方向上的步长，则标号为( f ，) 的点 的空间坐标为( f x ，_ ，缈，k a z ) 。对于任一个空间和时间的函数f ，可以按如下的规则表示： f ( f 缸，缈，& , n a t ) = f ”( i ，七) 。三维情况下，分离后的y e e 元胞( 1 1 ) 如( 图2 ，1 ) 所示。 ， j ， j 。 一 一 一 哆i 堡叙 堡钞 堡勿堡如堡缸 他百 呜卜毽 以百 第二章电磁带隙理论分析基础 z 图2 1 三维f d t d 元胞示意图 则( 2 4 9 ) 的三个方程可以按相同的方法改写为差分格式，以( 2 4 9 a ) 为例： y z a y 同样的，( 2 5 0 ) 的三个方程也可以改写为如下的形式，以( 2 5 0 a ) 为例 fv ( 2 5 1 ) 一!,二-i21：至i二2二二二ii：；：2,-i2：盟ii+一，：o+三，_，七) 缸 2 。 ( 2 5 2 ) 应用差分方法的前提是电磁场在空间步长上的变化并不显著，即要求空间步长与工作波长相比， 比例很小。一般的，为了保持计算的稳定，要求空间步长满足如下的关系： 厨丽 肛 2 l ( 2 5 3 ) 东南大学硕士学位论文 2 3 群论分析方法 群及其表示理论，作为数学的一个分支，是处理具有一定对称性的物理体系的一种有力的工具。 利用群论方法。可以直接对体系的许多性质作出定性的了解，可以简化复杂的计算。也可以预研物 理过程的发展趋向。群的相关理论。已经广泛而深入的应用于固体物理，尤其是晶体理论中；e b g 结构作为一种人造的周期性结构，与天然晶体都有着相似之处，群论同样是分析e b g 结构的有力工 具之一 2 3 1 群论基本概念1 4 2 l 凡是满足f 面几个条件的兀素集合或操作集合均称为群，在本文中，群记做m 如果用r l ，r 2 ， 等表示群m 中包含的元素或操作，即置m ，i = 1 ，2 ，或集合 b ) 必须满足如下的条件： ( 1 ) 任意两个元素( 操作) 的乘积等于该群中的一个元素( 算符) ，且这个乘积是唯一的和单 值的，即r e = r k ；足，e ，墨m ； ( 2 ) 元素( 操作) 作用的效果满足结合率，即如焉，r 2 ，玛分别为群中一个元素，则有 ( 焉马) r = 置( 马玛) ； ( 3 ) 点群中任一元素( 操作) 的逆操作也是点群中的一个元素( 操作) ，l l o 折v ( 蜀) = 是； ( 4 ) 点群中的元素( 操作) 中必然包括不变元素( 操作) e 。 在这里应该指出，条件( 1 ) 中所得的乘积与足，弓的次序有关，如果墨墨= 足，以为着 置，弓依次作用的结果与也作用相同，如果置弓= 弓冠，则元素足，玛是对易的在一般情况 下，群的任何两个元素蜀，弓不一定对易 群m 中的算符对向量的操作可以用n 维矩阵形式来表示，这些矩阵( 其中包括单位矩阵) 的行 列式不等于0 ，矩阵之间的乘积关系与点群中的元素之间的乘积关系一一对应，这样的一组矩阵称 为矩阵群。这个矩阵与群同构，可以代表群的性质，该矩阵群就是群m 的矩阵表示。 r ( 4 ) ，r ( 4 ) 和r ( 以) 分别为群中的三个元素，r ( 4 ) ，r ( 4 ) 和r ( 4 ) 分别代表这三个元素的 矩阵表示，如果蠢( 4 ) 具有形式j i ( 4 ) 5 ( 蜀孑2 箸； ，其中豆( 4 ) 是埘维方矩阵，f f t 2 ( 4 1 ) 是 栉一所维矩阵，则 孟c 4 疯4 ，= ( 豆惫器；) ( 豆于凳旨； 第二章电磁带隙理论分析基础 ：f 蜀( 4 ) 墨( 4 ) 蜀( 4 ) 局4 ) + r l z ( 4 ) 坞( 4 1“1 ) t 0 r 2 ( 4 ) 恐( 鸣)j 如果孟( 4 ) j 暮( 4 ) = i ( 4 ) ，豆( 4 ) 豆( 4 ) = 豆( 呜) ，孟2 ( 4 ) 丘( 4 ) = 是( 4 ) 。且有 是( 4 ) 豆：( 4 ) + 是：( 4 ) 是( 4 ) = 雹：( 呜) 则可以得到如下结论； 砌c 驴黝胎勰 铲凳他z ， 即局( 4 ) ，墨( 4 ) 等可以组成群的所维表示，马( 4 ) 是( 4 ) 可组成群的聆一7 维表示。 墨( 4 ) ，是( 4 ) 的维数小于，则该矩阵群称为可约的矩薛群：如果对应于每个元素4 的蜀2 ( - 4 ) 都 为o ，则称该矩阵群为完全可约的；如果不能找到是所有矩阵五( 4 ) 同时变成上述的变换，则五( 4 ) 是不可约的。 2 3 2m a x w e l l 微分算符的群 理论研究者早已证明，使氢原子的哈密顿算符保持不变的算符组成群，由此可以利用群论的方 法对氢原子模型的本征值( 能级) 及本征函数( 波函数) 进行定性的分析| 4 3 1 。在这里，我们将证明 同样的群论分析也可以引入到对光子晶体的分析中。 假设嘞为二维空闻中的一个向量，可以用( x ，y ) 的坐标来表示。群中的元素可以找到其矩阵表 示，则算符中的元素r 作用于这个向量可以表示为巧= ( 一，y 。) = j i ( 五y ) = r ( 嘞) 。矗表示与j 毛对 应的算符，厂为与坐标相关的一个函数，可以证明，r f ( r ) = f ( r r ) 1 4 4 1 。 假设算符r 为体系的对称性算符，即有如下的关系： 【r 占】( 畅) = 占( r 1 ) = 占( 吻) ，可以证明，对称性算符胄与二维m a x w e l l 方程中的微分算子乓， 厶是可互易的，印有； e l s e 一= 岛 ( 4 4 ) r 厶月= 厶 ( 4 5 ) 其中，厶，由式( 2 5 - 2 6 ) 定义。( 4 5 ) 及( 4 6 ) 的证明过程完全一样，在本文中仅对( 4 5 ) 作出证明： 孟= ( 乏：乏) ，由于豆是正交阵。豆龟= ，则有 东南大学硕士学位论文 嚣：惫：竽h ： s ， l 局，焉。+ 如焉：码+ 呓jl ol j 对十任蒽与坐杯彳目天明幽裂，【畅j ， r 要f 睁 、= r - 要f ( 1 0 ：) 靠 o x = r 蜀- 罢i 鼽+ 避，茜i 籼 = 局，矧。+ 恐，鼍l 。 c ， 因此可知， r 丢= 墨，昙+ 毛未 c 4 s ， 同样的，也可以得到： r 岳= 墨：昙+ 是：言 c 。m 却 ”叙 “巩 将( 4 8 ) ( 4 9 ) 代入( 4 5 ) ，可以得到5 州州南忙m 纠2 = 一南 ( + 口2 、j 竺0 x 2 + 2 ( 墨。如+ 足：) 面0 2 + ( 呓+ 23 ，砂0 2 ：j l = 厶 ( a - 。) 此外。容易证明使微分算子乓，磊保持不变的操作还具有以下的性质： ( 1 ) 如果墨，尼是使微分算子保持不变的操作，则( 马马) 也使微分算子保持不变； ( 2 ) 如果r 是便微分算子保持不变的操作，则置- 1 也使微分算子保持不变； ( 3 ) 不变操作e 显然也使微分算子保持不变。 根据群的定义可知，使m a x w e l l 微分算子保持不变的操作构成群。因此，在具有高度对称性的 光子晶体中，也可以运用群论方法进行定性的分析。具体对于二维方格及三角格子型光子晶体对称 性的分析将在第四章详细给出 2 4 本章小结 本章从m a x w e l l 方程组出发，利用布洛赫定律，将求解光子晶体模式问题转化为倒格矢空间中 的本征值问题。井详细推导了平面波展开法求解二维光子晶体模式问题的详细过程。其次，本章也 利用时域有限差分法划分空间和时间网格，对m a x w e l l 旋度方程进行离散化，从而提出求解e b g 结 构模式问题的f d t d 模型。此外，本文简单介绍了群论的相关概念，并从理论上证明了群论方法分 析e b g 结构模式问题的可行性。 第三章二维金属电磁带隙f d t d 分析 第三章二维金属电磁带隙f d t d 分析 3 1 二维e b g 结构f d t d 分析模型 在各类计算电磁场问题的数值方法中，f d t d 堪称是一种全能的方法，f d t d 方法直接对m a x w e l l 方程进行离散化。理论上只要离散化的网格取得足够密，就可以保证良好的精度。f d t d 方法同样 能够用于e b g 结构的分析，在本节中，将给出e b g 结构详细的f d t d 模型，并利用此模型研究金 属周期性结构的电磁带隙。 3 1 1 基本模型 二维情况下，金属e b g 结构中传播的电磁波满足的m a x w e l l 方程可以分为以下两组情况： t m 模式，在z 方向上仅有电场分量： 塑：一上翌 甜 ( j ，_ ) ，) 咖 堡：上堡 a t 声沁力知 鲁= 忐e ( xc 警一争一舞e 研 ，y ) 、苏勿s “力。 t e 模式，在z 方向上仅有磁场分量： 堡；一l f 堡一鸟 a o ，) 、凰 勿7 堡：l 丝一些盟e a 6 ( x ，y ) 咖s ( x ，力1 鲁一丽1 一o h , 6 ( xa x 一筹8 ( x 髟 西 n。y ) 7 我们选择的系统是空气中的金属柱子结构，体系的示意图及电导率分布函数如下 o 图3 1 二维金属e b g 结构 ( a ) 方格型二维金属e b g 结构( b ) 三角型二维金属e b g 结构 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 东南大学硕士学位论文 盯( 工，力= a o 。( x 一- m m a ) ) ：2 地+ 0 一- m n a ) ) ：2 r r 2 ：( 正方格子)( 3 7 ) 盯( x ，力= o - o 0 h 删+ 抄秒啤口) 2 2 h m 峙) 】2 + 。一孚。三角b 。， 利用二维的y 曲元胞离散化方法将上述式子在二维正交网格中离散化缸，少，出分别为空间和 时间步长， e i ：，= e ( f a x ，缈，胛a t ) ，离散化的结果如下： t m 偏振态： t e 偏振态 图3 , 2 二维y e e 元胞 e c l = 筹筹丘e ，+ 生e + 嵫1 2 ：竺k 坠1 1 2 l 墨匿墨二竺丝1 1 缸 缈 ( 3 9 ) 蟛2 w 坨一爿譬粤 。 毗m 蹦”一爿粤竽 刚， ，1l 第三章二维金属电磁带隙f d t d 分析 见r k “j ，2 一- - z c ”+ 若【兰挚一! 毕1 、7 ( 3 1 2 ) 喇5 丽e , j - 口r j j a t 2 + 赤 譬竽 ， 孵2 描”n 赤 譬磐 。， 上述差分格式中，为了保证收敛”。差分计算的时间步长必须满足出以：石了j j j 尹。利 用( 2 5 3 h 2 5 8 ) ，结合初始条件和计算窗口的周期性边界条件，可以得到计算分析包括金属e b g 结构 等各类问题。 3 1 2 电磁带隙f d t o 分析 利用f d t d 计算金属e b g 结构，首先在元胞中引入一个虚拟的频谱源，利用差分过程在时域中 计算场分布，对此时域响应做傅立叶变换得到频域响应，其中频谱响应的峰值频率就对应着的m p c s 本征频率。f d t d 计算的时间域长度决定了频谱的解析度，计算中可以按照要求设置。为了能激励 出尽可能多的模式，激励源的时间分布应该是一个冲击函数，这样激励源就能包含了最宽的频谱， 以保证能激励出每一个可能的模式；此外，激励源的空间分布必须保证足够小的对称性，如激励源 的空间分布关于x 轴对称。即f ( 毛炉“x ，- y ) ，那这样的激励源对于关于x 轴奇对称的模式分布的耦合 率就为0 。最后。f d t d 与p w e 法不同，它对于每一个波矢k 值一次求出所有的本征频率，故不能 区分模式简并，也不能确定某一本征频率是位于第几阶电磁带上，所以对于高阶带隙的研究比较困 难。 为了验证f d t d 算法求解电磁带隙的有效性，选取一个介质光子晶体的例子，介质折射率为1 1 = 3 ，背景材料为空气，介质柱子半径r = 0 2 a 。利用p w e 和f d t d 分别计算其带隙结构。由图3 2 中所见，两种方法在较低几阶光子带内的结果十分相符；从第七阶光子带开始，两种方法出现了较 大的误差。与p w e 相比，f d t d 在某些波矢位置，尤其是高对称性位置，有模式缺失的现象，这是 因为f d t d 方法中，激励源的形状和位置对结果的影响很大，某些情况下，激励源对于某些模式耦 合效率极低，造成了f d t d 方法计算模式的缺失，计算中，需要根据计算的效果及研究者的经验具 体情况具体分析。本文中，如不作额外说明，计算光予晶体( e b g 结构) 时采用的激励源为长度为 一个晶格周期的一维高斯型的冲击函数。空间及时间步长均做归一化处理，空间步长为晶格周期的 1 1 6 ；时间步长采用c t 的单位c 为真空中光速。一般情况下，时间步长取1 7 2 的空间步长即可满足 要求；f d t d 计算的时问域长度取时间步长的2 的整数次幂倍，可以按照所需的频率域解析度，从 时间步长的2 “到2 ”倍中取值。 综合考虑，f d t d 方法在归一化频率( a k ) 较低的范围内精度较高，考虑到金属e b g 结构的电 磁带隙都是从0 频率开始的，因此利用f d t d 计算金属电磁带隙结构是可行的。 东南大学硕士学位论文 k ( 波矢) 图3 3p w e 和f d t d 计算光子晶体带隙的比较f n - 3 ，r a = 0 2 。t m 偏振) 3 2 二维金属e b g 分析 实际应用的二维金属e b g 结构一般以空气为背景材料，最常见的是方格型和三角型两种格点形 式的金属柱子阵列。利用上- - 4 , 节中的f d t d 方法分别计算两种金属e b g 结构。 首先计算方格型金属光子柱结构的e b g 结构，其晶格常数为a ，金属柱子半径r = 0 2 a ，所计算 的金属材料为铜( 5 8x1 0 7 s m ) ，计算得到的带隙结构如( 图3 4 ) ，( 图3 4 ) 所示： k 图3 4 方格型金属光子晶体带隙结构f n = 3 ，r a = 0 2 ，t m 偏振) 他 ” 譬2hg 加 ” 协 他 世-n，ba 第三章二维金属电磁带隙f d t d 分析 k 图3 5 方格型金属光子晶体带隙结构( n _ 3 ，r a = o 2 ，t e 偏振) 由于f d t d 方法仅对最低几阶e b g 有效，为方便起见，在本文中对电磁带隙的阶做如下规定： 位于第l 阶电磁带与0 频率之间的带隙为0 阶带隙，位于第l 阶与第2 阶电磁带问的带隙为1 阶带 隙，依次类推。 从图中的结果可以看到，二维金属e b g 结构和介质材料的光子晶体带隙结构有着明显的不同之 处。对于删模式( 图3 4 ) ，金属e b g 结构出现了0 阶( ( o a 2 7 r c 0 5 6 4 ) 和1 阶 ( 0 7 4 9 踟2 l r c 3 时，功率也不能到达出射端口。 3 5 本章小结 本章利用f d t