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文档简介

圆的证明与计算专题1.如图,A,P,B,C是圆上的四个点,APCCPB60,AP,CB的延长线相交于点D.(1)求证:ABC是等边三角形;(2)若PAC90,AB2,求PD的长2.如图,OA,OD是O半径,过A作O的切线,交AOD的平分线于点C,连接CD,延长AO交O于点E,交CD的延长线于点B.(1)求证:直线CD是O的切线;(2)如果D点是BC的中点,O的半径为3 cm,求的长度(结果保留)3.如图,点D是等边三角形ABC的外接圆上一点,M是BD上一点,且满足DMDC,点E是AC与BD的交点(1)求证:CMAD;(2)如果AD1,CM2.求线段BD的长及BCE的面积4.如图,ABC内接于O,BD为O的直径,BD与AC相交于点H,AC的延长线与过点B的直线交于点E,且AEBC.(1)求证:BE是O的切线;(2)已知CGEB,且CG与BD、BA分别相交于点F、G,若BGBA48,FG,DF2BF;求AH的值5.如图,AB为ABC外接圆O的直径,点P是线段CA延长线上一点,点E在圆上且满足PE2PAPC,连接CE,AE,OE,OE交CA于点D.(1)求证:PAEPEC;(2)求证:PE为O的切线;(3)若B30,APAC,求证:DODP.6.如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的O与AD,AC分别交于点E,F,且ACBDCE.(1)判断直线CE与O的位置关系,并证明你的结论;(2)若tanACB,BC2,求O的半径7.如图,以ABC的边AB为直径的O交边BC于点E,过点E作O的切线交AC于点D,且EDAC.(1)试判断ABC的形状,并说明理由;(2)如图,若线段AB、DE的延长线交于点F,C75,CD2,求O的半径和BF的长8.如图,四边形ABCD内接于O,对角线AC为O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.(1)求CDE的度数;(2)求证:DF是O的切线;(3)若AC2DE,求tanABD的值9.如图,在RtABC与RtOCD中,ACBDCO90,O为AB的中点(1)求证:BACD;(2)已知点E在AB上,且BC2ABBE.(i)若tanACD,BC10,求CE的长;(ii)试判定CD与以A为圆心,AE为半径的A的位置关系,并说明理由参考答案1. (1)证明:由题意可得:BPCBAC,APCABC,APCCPB60,ABCBAC60,ABC是等边三角形(2)解:PAC90,PC是圆的直径,PBC90,PBD90,ABC是等边三角形,ABBC2,CPB60,PB2,APC60,DPB180606060,PD2PB4.2. (1)证明:CA切O于点A,CAO90.OC平分AOD,AOCDOC,在AOC和DOC中,AOCDOC(SAS),CDOCAO90,OD是O的半径,CD是O的切线(2)解:由(1)知:ODBC,又D是BC的中点,OD是BC的垂直平分线,OCOB,BODDOCCOA18060,DOE60,的长度为3.3. (1)证明:ABC是等边三角形,BACACB60,BDCBAC60,ADBACB60,ADC120,DMDC,DMC是等边三角形,MCD60,MCDADC180,CMAD. (2)解:BCAC,ADCBMC120,CBMCAD,ADCBMC,ADMB1,BDBMMDADCM123,CMAD,CADACM,ADEEMC,ADECME,SADESEMC,SCMD2,SEMCSCMD,SEDCSCDM,SADESEMC,SADCSADESDCE,SBCESBMCSMCESADCSCME.4. 解:(1)连接DC,DB是O的直径,DCB90,DDBC90,DA,EBCA.DEBC,EBCDBC90,即DBE90,BE是O的切线(2)CGEB,BCGEBC,ABCG,又CBGABC,ABCCBG,即BC2BGAB48,BC4,CGEB,CFBD,CFBDCB90,又CBFDBC,RtBFCRtBCD,BC2BFBD48,又DF2BF,BDDFBF3BF,BF4,在RtBCF中,CF4,CGCFFG5,在RtBFG中,BG3,BA8,AG5,CGAG,AACGBCG,CFHCFB90,CHFCBF,CHCB4,ABCCBG,BCGA,ABCCBG,AC4,AHACCH4.5. (1)解:PE2PAPC,PP,PAEPEC. (2)证明:PAEPEC,PEAPCE,OAOE,OEAOAE,AB是O的直径,ACB90,OAEECA90,PEOPEAOEAPCEOAE90,OE为O半径,PE是O的切线(3)证明:过点O作OHCP于点H,AB是O的直径,B30,BCAC,O是AB的中点,OHBCAC,PE2PAPC,APAC,PE2AC(ACAC)ACACAC2,PEAC,OHPE,OHAPED90,HDOEDP,HDOEDP,DODP.6. 解:(1)直线CE与O相切证明如下:连接OE,OAEAEO,四边形ABCD是矩形,BCAD,ACBDAC, 又ACBDCE,DACAEODCE,DCEDEC90,AEODEC90,OEC90,OE是O的半径,直线CE与O相切(2)tanACB,BC2,ABBCtanACB,AC,又ACBDCE,tanDCE,DEDCtanDCEABtanDCE1,在RtCDE中,CE,设O的半径为r,在RtCOE中,CO2OE2CE2,即(r)2r23,解得r.O的半径为.7. 解:(1)ABC为等腰三角形,理由如下:如解图,连接OE,在O中,OEOB,OEBB,图DE是O的切线,OED90,EDAC,ADE90OED,OEAC且BECEBC,OEBC,BC,ACAB,ABC为等腰三角形(2)如图,过点B作BHDF,ACDF,BHAC,EBHC,由(1)知CDEBHE90,BECE,CDEBHE(AAS),CDBH2,HBF180OBEEBH180757530,图F903060,在RtBFH中,BF,设OEx,在RtOEF中,sin60,解得x2,故O的半径为2,BF的长为.8. (1)解:对角线AC为O直径,ADC90,CDE90.(2)证明:连接OD,AC为O的直径,CEAC,ADCCDE90,ACF90,又在RtCDE中,点F为斜边CE的中点,DFFC,CDFDCF,又ODOC,ODCOCD,ODFODCCDFOCDDCFACE90,OD为O半径,DF是O的切线(3)解:由圆周角定理可得,ABDACD,由题意知,ADCCDE90,CADECD,ADCCDE,CD2ADDE,AC2DE,设DEa,ADb,AC2a,CD,在RtACD中,由勾股定理可得:AD2CD2AC2,即b2()2(2a)2,上式两边同时除以a2,整理后得到:()2200,解得4或5(舍去)tanABDtanACD2.9. (1)证明:点O为直角三角形斜边AB上的中点,OCOB,BBCO,ACBDCO90,即ACOBCOACOACD90,BCOACDBACD.(2)解:(i)BC2ABBE,即,又BB,BCABEC,BECBCA90,tanACD,又由(1)知BACD,tanB,即,设CE

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