（计算数学专业论文）m带小波与信号的压缩重构.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 由予小波分耩克服了傅立时分析的不怒，使得小波分析在图像处理和信号处理中 缮到了广泛静应焉。信号处耀秘潮像楚理串逶鬻勰鋈夺波鼹有粥下静性豢：紧支，正 交，对称，正规和内捶。为了建立这样的小波，关键楚建立兵有以上性质麴尺发丞数， 由于尺度函数由其尺度滤波器完全确定，故构造具有以上饿质的小波化为构造具有一 定性质的尺度滤波裙。在2 进小波系统中，除了哈尔小波的尺度滤波器对应的尺度函 数，其它都不同时其有以上的性质，因为2 迸小波的小波滤波器由尺度滤波器完全确 定，焉醚豢夺渡豹滤波器选择有更多豹鲁蠢。绘定一个m 带尺度滤波嚣藕一个啥尔 小波矩黪可以槐造m 豢小波滤波器进嚣褥小波。赝以搀造m 繁小波豹关键在予其尺 度滤波器的构造。本文在假设小波具有n 阶消失矩的情况下：对于最少长度，绘出了 m 带小波尺度滤波器构造的公式；对予任意长度，也给出了构造的方法。 论文的第二部分从多尺度的憋想出发，提出一种由小波变换的模极大值及造成小 渡交换横极大篷点瓣信号静突交赢的纛规健来快速重构信芍的方法。在备尺度下，依 据小波变换的模极大蠖及造成小波变换模极大蕊点鲍焦号鸵突变熹戆芷援性寐选取 基满数拟舍信号在该尺度下的小波变换，然后利用这些在不同尺度下的拟含的小波分 量科作小波反演得熏构信号。实验结果表明，它是一种快速而又有较高的信噪比的熏 构方法。 ， 关键词：m 繁小波滤波器模较大馕f 正瓣性；。多尺度分拆 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e nu s e dw i d e l yi nt h ef i e l d so f s i g n a lp r o c e s s i n ga n di m a g e p r o c e s s i n ga si th a so v e r c o m et h es h o r t a g eo f t h ef o u r i e ra n a l y s i s i nt h ef i e l d so f s i g n a l p r o c e s s i n g a n di m a g ep r o c e s s i n gw a v e l e ti s u s u a l l ye x p e c t e d t oh a v et h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s ：c o m p a c ts u p p o r t ，o r t h o g o n a l i t y , s y m m e t r y , r e g u l a r i t y , a n di n t e r p o l a t i o n t o c o n s t r u c ts u c hw a v e l e t ，i ti sc r u c i a l d e s i g n i n gs c a l i n g f u n c t i o nw i t ht h ea b o v ef i v e p r o p e r t i e s a st h es c a l i n gf u n c t i o ni sd e c i d e dc o m p l e t e l yb yi t sf i l t e r , i ti sc u r i a ld e s i g n i n g t h ef i l t e rt oh a v es o m e p r o p e r t i e s i nt w o b a n dc a s e s ，e x p e c tf o rt h eh a a rf i l t e r , t h e r ei sn o s c a l i n gf i l t e rc r e a t et h es c a l i n gf u n c t i o nw i t h t h ea b o v ef i v ep r o p e r t i e sb e c a u s ei t sw a v e l e t f i l t e ri sd e c i d e d c o m p l e t e l yb y i t ss c a l i n gf i l t e r , i nt h em b a n dc a s e s ，t h e r ei sm u c hf r e e d o m t oc h o i c et h ef i l t e r g i v e nas c a l i n gf i l t e ra n dah a a rw a v e l e tm a t r i x ，t h e r ei saw a yt o c o n s t r u c tt h em b a n dw a v e l e tf i l t e ra n dt h e nt h ew a v e l e t s oi ti sc r u c i a lt oc o n s t r u c tt h e m b a n dw a v e l e ts c a l i n gf i l t e rf o rc o n s t r u c t i n gam - b a n dw a v e l e t s 。i nt h i st h e s i s ，i nt h e c o n d i t i o nt h a tt h em - b a n dw a v e l e th a st h en v a n i s h i n gw a v e l e tm o m e n t ，af o r m u l ao f t h e m - b a n dw a v e l e tf i l t e rh a sb e e n g i v e n t ot h el e a s tl e n g t h t ot h ea r b i t r a r i n e s sl e n g t h , t h e r ei s a w a y t oc o n s t r u c t i o nt h es c a l i n gf i l t e ro f t h em - b a n dw a v e l e t s i nt h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i s ，b a s e d0 1 1t h em u l t i s e a l ei d e a l ，af a s ta l g o r i t h mw a s q u i e t t or e c o n s t r u c t i o nt h es i g n a lf r o mi t sw a v e l e tu - a n s f o r mm o d u l u sm a x i m aa n di t s r e 9 1 1 1 a d t y o fs i n g u l a r i t y c r e a t i n g t h ew a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m a t h eb a s e s f u n c t i o nw a sm a d ec h o i c eo f a c c o r d i n gt oi t sw a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m a a n di t s r e g u l a r i t yo fs i n g u l a r i t yt h a t c r e a t et h ew a v e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m ai no r d e rt o r e c o n s t r u c t i n g t h ew a v e l e tt r a n s f o r mo ft h es i g n a lo ne v e r ys c a l e ，a n da l lo ft h e s e c o m p o n e n t sw e r eu s e dt or e c o n s t r u c tt h es i g n a lb yi n v e r s et r a n s f o r m n u m e r i c a lr e s u l t s s h o w e dt h a tt h er e c o n s t r u c ta l g o r i t h mi sf a s ta n dc a n g e th i g hs i g n a ln o i s e r a t e k e y w o r d s ：m b a n d w a v e l e t sf i l t e r sm o d u l u sm a x i m a r e g n r l a r i t y m u l t i s c a l ea n a l y s i s i i 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 本章介绍小波分析的发展及相关的理论。同时也介绍本人所做的工作及本文的组 织方式。 1 1 从f o u r i e r 分析到小波分析 小渡分析是在不断完善的f o u r i e r 分析的基础上发展起来的。 1 8 0 7 年，f o u r i e r 在研究热传导方程时发现，在区间【0 , 1 】上许多函数f ( t ) 都可以 由它的f o u r i e r 级数夕( 九) p 2 4 “表示， ，( n ) = - r ，( f ) p 一2 4 “西 这说明一个不可数的数据集合 f ( t ) ：r 0 ，l 】) 能够通过一个可数的数据集合 f ( n ) ：r t z ) 取代，本质上，这可看作是一种数据压缩。后来将这种标准函数族 e ”：n z ) 的离散加权和形式扩展到为标准函数族 p ：fer 的连续加权和，即 厂( f ) = 寺伫夕( f ) 口蛔d 0 9 其中权函数 ，( c o ) = f 厂( f ) p d t 1 9 6 5 年，j w c o o l c y 和j t u k e 共同创建的快速f o u r i e r 变换的数值及计算方法使 得f o u r i e r 变换成为工程技术人员广泛应用的工具，它广泛用于信号处理和其他技术 领域。 然而，f o u r i e r 变换有它固有的缺点，即在时域中没有分辨能力，即变换夕( ) 关 于任何有限频的信息都不足以确定与之对应的时域表现，因此无论在理论上还是在实 践中这个事实都带来了许多困难和不便。 为了克服f o u r i e r 变换的缺陷，人们经历了长期的探索，最终导致了小波分析的产生。 华中科技大学硕士学位论文 1 9 1 0 年，h a a r 在描述抽象的h i l b e r t 空间特征的论文中，首次构造了空间r ( 【o ，l 】) 上的一个紧支撑正交基，设 ，。= 2 一”门，2 一”( 行+ 1 ) 】r ，m ，胛z 则所有这样的二进区间满足性质：，。，。- 。 m m 。，在它上面定 义的紧支撑函数 h 。( f ) ：= 2 一 ：。t2 ，：, 2 ，：- 一m 。n 。g 。+ t 。 ，2 ：，- ；m ，。( ：n 一+ 。1 。： ， l 0 ，其它 是正交的，即 = n ，。( f ) t _ ( o a t = 6 ( m m ) 占( 玎一，l + ) 而且，它们在三2 ( 0 ，1 】) 中是完备的，对于上2 ( 0 ，1 ) ) 中的任何函数厂( r ) f ( t ) = h ，。( t ) 容易验证：h m 。( r ) = 2 2 h ( 2 “t - n ) 正是小波基的结构特征，既所有基元素都是通过某 一个函数的伸缩和平移组成。h a a r 函数系，目前被称为h a a r 小波，是早期人们发现 的第一个最简单的小波原型。 与h a a r 小波对应的一个例子是s h a n n o n 小波，他与古典的s h a n n o n 采样定理有关。 设 吡) = 业盟祟掣石 r lzj 则它的f o u r i e r 变换 旷( 0 9 ) = 拈是叫2 “一h 2 川 由妒( f ) 的平移和伸缩组成的函数系似。( f ) ：m ，1 z 构成空间l 2 ( r ) 的一种正交基。 h a a r 小波和s h a n n o n 小波是两个极端例子，前者在时域上有良好的局部特性， 而频域的局部特性很差：而后者在频域上有良好的局部特性，而时域局部特性很差。 这两个例子自然启示人们考虑这样的问题：是否有在时域与频域同时具有良好局部特 2 华中科技大学硕士学位论文 性的函数? 然而w h e i s e n b e r g 的不确定性原理却给出令人很悲观的结论，即任一个函 数和它的f o u r i e r 变换的时宽与频宽之积大于一个常数。即对任意的岛，r 和任意 的单位模函数y ( r ) l 2 ( r ) ，有下面的不等式： 一f 。( t - t o ) 2 妒。) 1 2 a 一i 。( 一2 眵( ) 1 2 d 国专 本质上，这个不等式中的两个积分分别是对函数y ( f ) 和矿( ) 分别在气和处方差的 度量，因此，要对时间和频率同时测得准是不可能的。 为了弥补f o u r i e r 变换的不足，1 9 4 6 年，g a b a r 引进了窗口f o u r i e r 变换或称短时 f o u r i e r 变换： 何( p 川) _ 击_ l 八烈卜咖叫西 最初，g a b o r 取窗函数为g a u s s 函数g o ) = 7 州4 e 一户坨，因为它具有最小的时宽频 宽积，即h e i s e n b e r g 不等式中的等号成立，这样，对于确定的，具有单能量的窗函数 g ( t ) ，有下面的重构公式： 厂。) 3 了杀里何( p ，g ( f 一们p 秘勿由 窗口f o u r i e r 变换是一种滑窗大小和形状均固定的时频局部化分析。因为频率与周期 成反比，因此，反映信号高频成分需要窄的时间窗，而反映信号低频成分需要宽的时 间窗。这样，滑窗f o u r i e r 变换不能满足这一要求。 为便于计算，人们需要将滑窗f o u r i e r 变换离散化，取p = p o ，q = n q o ，m ，疗z ， 即频域和时域的取样长度分辨为p 。和吼，则得到相应的离散窗1 2 1f o u r i e r 变换序列： s f ( m p 。，n q 。) ：m ，刀z ) 。人们自然希望，找一个在时域和频域都比较集中的窗函数 g ( t ) ，使得函数系： g 。( r ) = g ( t 一，l go ) p 呷一：m ，力z ) 能构成上2 ( 胄) 的正交基。但著名的b a l i a n - l o w 定理表明这是不可能的，因为若有函数 华中科技大学硕士学位论文 g ( t ) 使得 g 。( ，) ：m ，n z 构成上2 似) 的正交基，贝| j t g ( t ) 盛l 2 ( 胄) 与罐( c o ) 茌三2 ( r ) 两者 中必有一个成立，所以这样的函数g ( t ) 不能同时在时域和频域具有良好的局部化性 质a 这样人们便退一步研究 g 。( ，) ：m ，, z 能构成框架理论来研究连续小波变换的 离散化。 八十年代初，s t r o m b e r g 发现了第一个非h a a r 系统的正交小波。同一时期，m e y e r 和他的同事们研究l i t t l e w o o d - p l a e y 表示的离散形式，他们给出调和分析中许多结果 的统一的解释。与此同时，f r a z i e r 和j a w e r t h 发展了妒变换理论，人们开始认识到， 在数值应用中，它们能够作为f o u r i e r 变换的一种有效的替代工具。它们可将描述函 数的重点转移到表示本身和原子函数的构造。这时，m e y e r 和m o r l e t 开始用w a v e l e t s 一词来称呼原子函数，由此，早期称之为l i t t l e w o o d - p l a e y 的一些理论现在就取名 为小波理论。 1 2 小波的发展 1 9 8 6 年，m s m i t h 和t b a m w e l l 提出了共轭镜像滤波器组的概念，这为二进紧支 撑小波的构造提供了契机。后来，e p v a i d y a n a t h a n 将其推广到m 带滤波器组，提出 了完全重构的重大抽取系统，并对因果f i r 系统进行了参数化，这一结果对信号处理 和后来的m 带小波都起了重要的作用。同一年，m e y e r 提出了具有一定衰减性质的 光滑小波函数v ( t ) 使得它的二进伸缩和平移函数系 y ，( r ) = 2 刚2 矿( 2 “t 一甩) ：m ，r z 构成二( r ) 的规范正交基。在那之前，人们认为这样的函数是不存在的。 继m e y e r 小波后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地给出具有指数衰减性质的小波 函数。此后不久，m a l l a t 和m e y e r 提出了多分辨分析的概念，这一理论的建立不仅在 理论上统一了在此以前的s t r o n g b e r g 、l e m a r i e 和b a 士t l e 提出的具体小波的构造，为人 们系统地构造小波基提出了一个统一的框架，而且，在应用中，它为信号的多分辨分 解和完全重构提供了一个快速算法，这使得小波分析这门在数学上较高深和抽象的新 理论易于被工程技术人员理解和掌握，极大地加快和普及了小波变换在工程技术领域 的应用。多分辨分析是一种介于时间域与频率域相结合的分析方法，它基于人们认识 华中科技大学硕士学位论文 事物过程的分辨原则，即人们认识事物是一个逐步深化的过程，首先是总体轮廓，然 后是结构线头，最后是细节。 1 9 8 8 年，d a u b e r c h i e s 用m f l l a t 和m e y e r 的方法构造了具有紧支撑的正交小波基。 九十年代，随着理论与实际相结合的发展，随着人们对小波要求的提高，小波的 一些性质像对称，紧支撑，消失矩和正则度被要求，然而在二进小波中这些要求与正 交性是无法同时成立的。为此又提出了双正交小波、m 带小波、多小波等小波基。 1 9 9 5 年，w s w e l d e n 提出了通过提升过程构造第二代小波的想法。提升过程是一 个简单而又实用的工具，使小波的构造具有灵活性，并且包含了已有小波构造的方法， 为在直线上实时或在曲面上实时构造与信号自适应的小波系统或局部小波系统( 如区 间小波) 提供了可能。 1 3 本论文的主要工作及论文的安排 本论文主要作了两方面的工作。一是对m - 带正交小波尺度滤波器的构造的研究， 另一方面是给出了一种快速重够信号的方法。 m 带正交小波是由一个尺度函数9 ( x ) 和m - 1 个小波函数矿，妖砷2 ，_ 1 构成：这个尺度函数伊( 构成r ( r ) 一个多尺度分析，而这m 1 个小波构成小波空间。 尺度函数与小波函数是相互正交的，不同小波函数之间也是相互正交的。因为平方可 积函数( 本文指m 带小波的尺度函数和小波函数) 与平方可和的序列是一一对应的。 所以上面的问题化归为求m 带正交小波的滤波器问题。又因为一个给定的尺度滤波 器和一个小波矩阵可以唯一地确定一个m 带小波。而小波矩阵又可以参数化，故m 带正交小波的构造的关键就是其尺度滤波器的构造。本文在假设m 带小波具有n 阶 消失矩的基础上对其尺度滤波器的构造进行了研究：对于m 带小波的尺度滤波器最 少长度解给出了显示的求解公式；对于滤波器长度为任意的情况给出了求解其f o u r i e r 变换的方法，然后由其f o u r i e r 变换再得滤波器。 信号在突变处包含了信号中最重要的信息。这些最重要的信息能体现为信号在不 同尺度上小波变换的模极大值( 包含位置和大小) 。如何利用小波变换的模极大值重 构信号在信号处理中具有十分重要的意义。本文在研究信号突变点( 造成小波变换模 极大值点) 的基础上，认为不同l i p s c h i t z 指数的信号突变点造成的小波变换模极大值 点不能等同对待，提出一种快速重够信号的方法：根据小波变换模极大值在不同尺度 5 华中科技大学硕士学位论文 上的变换情况，把小波变换模极大值对应的点分成不同的类别，然后再根据不同的类 别选取不同的基函数来拟合信号在各尺度下的小波变换，最后做小波反演得重构信号， 实验结果显示它是一种快速而又有较高信噪比的方法。 本论文按如下方式组织：第二章是一些基本知识，它是本论文的基础，有一些也 是本人学习小波分析的心得。第三章介绍了m 带正交小波尺度滤波器构造，由m 带小波的正交条件和它的正则性推导出：对于m 带小波的尺度滤波器最少长度解给 出了显示的求解公式；对于滤波器长度为任意的情况给出了求解其f o u r i e r 变换的方 法，然后由其f o u r i e r 变换再得滤波器。第四章介绍了一种快速重构信号的方法：在 研究信号突变点( 造成小波变换模极大值点) 的基础上提出了一种根据突变点的不同类 别选取不同的基函数来拟合信号在各尺度下的小波变换，最后做小波反演得重构信号 的方法。 6 华中科技大学硕士学位论文 2 小波的基本理论 本章主要介绍小波的基本理论。它是后两章的基础，同时也起到统一符号的作用 有些是本人学习小波分析的体会。 2 1 基本概念和定义 全文采用下面的标准记号： z 表示整数集合 r 表示实数集 c 表示连续函数类 c 表示m 阶连续可导函数类 二( r ) 表示定义在r 上的所有能量有限信号，即 fi f ( f ) i ! d t 蜘 符号i i ( r ) i i ：表示空间l 2 ( r ) 中信号，( f ) 的范数，即 l l f l l ：= ( j l f ( t ) l 2 d t ) 定义2 ir ( r ) 中两个信号的内积定义为： _ ( f 厂( r ) g - ( t ) a t ) 其中季( ，) 为g ( r ) 的共轭。 定义2 2 信号，( f ) r ( r ) 的f o u r i e r 变换定义为： 夕( = j 厂( f ) e - j o l t d o ) 相应的f o u r i e r 逆变换为： 华中科技大学硕士学位论文 巾，= 蔓m d 仞 小波变换的特点之一就是用上2 ( r ) 中一个固定的函数的伸缩和平移来表示一个函 数，在连续小波变换的情况下，伸缩和平移是连续变化的，即基函数的基本构成单元 为： 州忙而1 矿c 半加，6 咄 定义23 连续小波变换定义为： ，厂( 口，b ) = = 厂( f ) 呒，6 ( t ) c t t 定义2 4 如果f ( r ) 中的函数满足下面的允许条件： c ，= ) 钟m t 伸 那么，( f ) 称为允许小波。对于允许小波，有下面的重构公式： 巾) = 寺l 蔓口，6 等 v 一 ” 定义2 5 如果函数矿( r ) 满足下面的条件： tk y ( t ) a t = 0 ，k = 0 ，1 2 ，p 一1 则称他具有p 阶消失矩。 由允许条件，我们知道y ( r ) 至少应该具有一阶消失矩，即 fy ( f ) d t = 0 2 2 多分辨分析 m a l l a t 和m e y e r 创立了多分辨分折的理论，统一了那时以前的所有正交小波函数 8 华中科技大学硕士学位论文 基的构造并为此后的构造设定了框架。同时，在这一框架下他给出了信号和图像分解 为不同频域通道( 小波展开) 的算法及其重构( 小波级数重构) 算法。这就是著名的 m a l l a t 算法。m a l l a t 算法在小波分析中的地位就相当于快速f o u r i e r 算法在f o u r i e r 分 析中的地位。 定义2 6 空间三2 ( r ) 中的一列闭子空间 一 。称为一个多分辨分析，如果下列 条件满足： ( 1 ) 单调性：一ic 一，w z ； ( 2 ) 逼近性：n = o ) ，u = 工2 ( r ) ； ，e z，t z ( 3 ) 伸缩性：厂( ，) 巧一l 铮f ( 2 t ) _ ； ( 4 ) 平移不变性：，( r ) v oj f ( t - k ) ，v 七z ； ( 5 ) r i e s z 基：存在f ( t ) ，使得 妒( ，一k ) ik z 构成的r i e s e 基，即对任 意厂( ，) ，存在唯一的序列乜) 植，使得 厂( f ) = c 。妒( 卜k ) 七e z 反之，任意序列 c n ) 。z ，2 确定一个函数，( r ) v o ，并且存在正常数a 和b ，其中 a b ，使得对所有厂( r ) ，不等式 4 帆堋s 川2 s 8 1 1 s ( , ) l i ： i e z 成立。 实际上这个多分辨分析是由函数妒o ) 生成的，这是因为 ( 1 ) 伊( f 一七) ik z ) 是的r i e s e 基，因此，v o = c l o s l ： ( 2 ) 由伸缩性很容易证明 妒，j ( f ) ik z ) 是_ 的r i e s e 基，从而 矿j = c l o s： ) 9 华中科技大学硕士学位论文 这里，。( f ) = 2 j - , 妒( 2 7 t - k ) 。由于伊( r ) z ock ，所以，存在唯一序列慨) m 1 2 使 得满足下面的双尺度方程： 伊( f ) = 厄h k 妒( 2f k ) 女z 这里 h 。) 称为低通滤波器或尺度滤波器，其z 一变换为： h ( z - )= h 。z “ k z 它满足归一化条件：h ( 1 ) = 2 ，伊( ，) 称为尺度函数。双尺度方程是信号厂( r ) 进行快 速小波变换的关键。 2 2 1 正交多分辨分析 设函数妒( ，) 生成一个多分辨分析，它还具有整数平移正交性，即 吧 i 妒( f 一肌) 歹( f 一栉) a c t = 万( 以一m ) 则称伊( ，) 生成三2 ( r ) 的一个正交多分辨分析。上面时域上的正交条件在频域里的等价 形式为 p ( 2 k t r + 国) i 2=1 由这一条件及双尺度方程的频域表现 矿( ) = 六日( 争) 伊( 争) 我们有下面的等式 i h ( e ，。) 1 2 + i h ( e ，t m + 口) 1 2 = 2 它在时域里的表现为 h 。h 。一：i = 万( j ) 不妨设眵为一在巧+ - 中的正交补，即 l o 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = ；= = 目= 那么我们有如下一些关系式 v i 。l = vi qw i 矿= o 矽， 2 。 三2 ( r ) = v j 。w j 上：( r ) ：。矿w ， ，= - ：m o 同空间一一样，我们希望找到一个函数妒( r ) 甄使其整数平移( y ( ，k ) lk z 构成 的正交基，而妒( r ) 的二进伸缩和平移 y 从( t ) l t z ) 构成的正交蒸，其中 y ，女( f ) = 2s 2 y ( 2 r 一七) 为此，我们注意到所要找的函数y ( ，) k ，于是存在唯一，2 序列 ) 使得 其频域表现形式为 这里 妒( f ) = 厄gk 妒( 2 t 一j ) i ez 矿( 国) = 击g 。2 ) 妒( 詈) g ( e 。) = g t p 一腩。 七e z 要使它的整数平移构成的正交基，那么高通滤波器应该满足条件 h ( e 细) i 亨( g 岫) + h p 。+ 4 ) z 五p 4 ”州) = 0 | g p ”) f 2 + f g 怕”) 2 = 2 g ( e ”) 称为高通滤波器如果取g ( p ”) = p 1 。h ( e “。”) ，或& = ( 一1 ) h 嚏。那么，它满 l l 华中科技大学硕士学位论文 足上面的两个条件，于是对任意的信号f ( t ) l 2 ( r ) ，有下面的小波级数展开 厂( f ) = d 卅y 卅( f ) 量e z e z 这里 d i j c = l f q 谚洙( t ) d t = 2 ml f ( t ) 7 ( 2 j t k ) d t 这表明模拟信号( x ) 与一个二元序列 d 肚) 小。：1 2 ( z 2 ) 是一一对应的。 小波级数变换可以用滤波器组实现下面是著名的m a l l a t 塔式算法 分解算法 = = 帕i = 口伽h 川女2 = 乙 向帕i 。乞口伽川女 d j “t = = 厂，y 肋谄胁= 嘭。g 啪 回复算法 川，=(口i,nh一。+dj,nga 2 d g t 一2 。)“ 2 乙( 口 一。+t n ) h e z 其中a j , k 称为第j 层的逼近信号，d j ，称为第j 层的细节信号。 2 2 2 m - 带正交多分辨分析 现在介绍m - 带多分辨分析设低通滤波器向量( 尺度向量) 为h “，其长度n = m k , 以长度m 将上述向量分成k 段，则其多相位子列为： h o j = 磷“，聪，础。】7 相应的滤波传递函数为上j ( ：) ，于是它的z 变换可表示为 其中尺度向量h 0 可以用下面的式子进行参数化( 严格地说是对尺度向量的多相位字 列的滤波传递函数的参数化) ： m z日 o z = 、， z ，l 华中科技大学硕士学位论文 f 1 击如咖1 | 其中v ，为m 维单位列向量。对于给定的一个尺度向量人们可以用c 三一。个参数通过 g r a m s c h m i d t 正交化过程得一个矩陈s ：s ；s = m i ，使它的第一列正好是给定的 ( 1 ，l ，l 1 7 ，所以有下面的伪正交多相位矩阵： 日( z ) = h o o ( z ) ，h l ，o ( z ) ，_ 厶0 吐o ( z ) h o ，i ( z ) ，日i ，i ( z ) ，吼川( z ) 日o “一i ( 力，h 1 w l ( ：) ，日 f i ，一l ( z ) = 面1 蚪k - i 帅。v j + v l v s 于是可定义m - 带正交小波妒，y 1 ( ，) ，y 2 ( ，) ，y ”。( ，) ，它们满足： = 万( 行) 妒( 撇一n ) y ( f ) = 砑魄( ”) 妒( 脚一九) ，i = 1 ，2 ，3 ，m - 1 9 = m “72 妒( m t n ) y 。m 一= m ”“y ( m t 一一) ，i = 1 , 2 , 3 ，m 一1 匕= s p a n 伊。( ，) ：栉： 阡：= p 口一 l 矿：。( ，) ：n ：) i = 1 , 2 , 3 m 一1 那么上面的m 带小波构成多尺度分析： m - i j = 一一o ( o 坛一1 ) c e tc ck c c l o s e ( ) j 。= f ( r ) n 一= o j t ： = 1j 、i，) q 心心； h 日 华中科技大学硕士学位论文 3m 带小波尺度滤波器的构造 m 带正交小波的构造就是要找一个尺度函数妒( 工) 和m 1 个小波函数 妒，( 工) ，缈2 ( x ) ，一l ( x ) ：这个尺度函数妒( x ) 构成三2 ( r ) 的一个多尺度分析，而这m 1 个小波y 。( x ) ，y ：( 工) ，一( z ) 构成小波空间。尺度函数与小波函数是相互正交的，不 同小波函数之间也是相互正交的。因为平方可积函数的尺度函数和平方可和的序列是 一一对应的。所以上面的问题化归为求滤波器的问题。又因为一个给定的尺度滤波器 和一个小波矩阵可以唯一地确定一个m 带小波。而小波矩阵又可以参数化，故m 带正交小波的构造的关键就是其尺度滤波器的构造。 本章按下面的方式组织内容。第一节介绍小波与滤波器：因为尺度滤波器与尺度 函数、小波滤波器与小波函数是一一对应的，所以无论是二进小波还是m 带小波的 构造都化归为其滤波器的构造，对于二进小波，其小波滤波器由其尺度滤波器唯一确 定，对于m - 带小波，其小波滤波器在已知尺度滤波器的情况下可以参数化，所以无 论是二进小波还是m 带小波的构造都化归为其尺度滤波器的构造。第二节介绍消失 矩：消失矩在m 带小波中是一个很重要的概念，本章的m - 带小波尺度滤波器最少长 度解与任意长度解都是就是在这一概念的基础上得到的。第三节是m 带小波尺度滤 波器的最少长度解：在此基础上推导出一种求解m 带小波尺度滤波器最少长度解的 方法。第四节是m 带小波尺度滤波器任意长度解的求法：对于最少长度解虽然有显 示的公式，但人们还是不希望滤波器的长度被唯一固定，希望滤波器的长度是任意的， 所以对任意长m 带小波滤波器的求法研究具有重要的意义。 3 1 小波与滤波器 在2 进小波中，我们知道正交小波滤波器由尺度滤波器唯一确定。因此，2 进小 波的构造归根到底就是尺度滤波器的构造。设2 - 进小波的尺度函数为9 ( x ) ，小波函 数为y ( x ) ，尺度滤波器为 以 m ( 又称为低通滤波器，也称尺度滤波器系数) 尺度 滤波器唯一确定的小波滤波器为 既 ( 又称高通滤波器，也称高通滤波器系数) 。 1 4 华中科技大学硕士学位论文 其中g 。= ( 一1 ) “1 啊一。那么它们满足 妒( ，) = 2 ht 妒( 2x k ) ( z ) = 厄。伊( 2 x 一七) 上面两个等式两边作f o u r i e r 变换得 矿( 甜) = h 。( 争) 矿( 争) 矿( 珊) = h t ( 争矽( ) 苴中 h 。( ) = 向。e 。 ( 3 i 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) h 。( 国) = g 。p 反复利用( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 我们得下面的等式 ( ) ：r i 日。( 百0 7 ) ( 3 矿( c o ) = h 。( 牛) n 日。( 鲁) ，。i ( 3 1 6 ) 由上面的结论我们知道：对于2 进小波，如果我们知道尺度函数的滤波器，我们就知 道了小波函数的滤波器：再f l j ( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 求得2 进小波的尺度函数和小波函数的 f o u r i e r 变换；然后再儆f o u r i e r 反变换就得2 进小波的尺度函数和小波函数。 对于m 带小波，我们有类似的结论。设m 带小波的尺度函数为妒( x ) ，小波函数 为矿5 ( x ) j = 1 , 2 , 3 ，m 一1 ，尺度滤波器为 h o i ) m ( 又称为低通滤波器，或称尺度滤 波器系数) ，小波滤波嚣为 k m s = 1 , 2 , 3 ，m - i ( 又称商通滤波器，或称高通滤波 器系数) 。那么它们满足 妒( 工) = 厅 妒( 坛一k ) ( 3 1 7 ) 华中辞技大学硕士学位论文 吵5 ( x ) = 切旷矗啦妒 t 力淤繁夺渡瓣尺液滤波器， 犯，s = l ，2 , 3 ，。，m - 1 为海蒂夸渡 豹，j 、渡滤波嚣，n m 为滤波器鹃长度，那么下蔷麓矩阵 1 6 华中科技大学硕士学位论文 h = h o ，oh o 1 h i o h j 1 h 2 oh 2 1 一h 。“l 一 h l 。2 一h i m f l h 2 2 厅2 一l ，_ 1 2 m “一i 称为小波矩阵。 显然，如果我们知道了m - 带小波的小波矩阵，我们就知道m 带小波。 定义3 1 2 多相位矩阵 - i 如果设 。( z ) = h 。+ 。z 7 ，那么称矩阵 日( = ) = ，o ( ：) 0 l ( z )2 ( z ) 埘一l ( z ) h i o ( z ) h 1 1 ( 引h o 2 ( ：) l 一i ( z ) h 2 o ( z ) h 2 1 ( ：) h 2 2 ( z ) h 2 m - l ( z ) !； ；! ，一i o ( z ) 。一l l ( ：) 矗“一i ，2 ( z ) m 1 ，一i ( z ) 为多相位矩阵。特别的，当z = l 时称为特征小波矩阵。 定义3 1 3h a a r 小波矩阵 如果矩阵s 满足下面的两个条件： s s ，t = mj ， so t = 1 ，vk 则称矩阵s 为h a a r 矩阵，其中矩阵s 为下面的形式。 s = s o 0s 0 1s o 2 $ o a f l 、，一l , s t 0s 1 1s i 2 。s l 埘v i s 2 0s 2 ，ls 2 ，2 s 2 j “一1 8 ) 4 一i 0s m - i 1s m i 2 s m i , m n 如果我们知道m 带小波的尺度滤波器和一个h a a r 小波矩阵，那么我们可以用下面 的参数化方法求得m - 带小波的多相位矩阵，进而得小波矩阵，即得到了滤波器，从而 华中科技大学硕士学位论文 得m 一带小波。 定理3 1 1 m 带小波多相位矩阵构造 给定一个m x m 的h a a r 小波矩阵s 和一个尺度l 肘的滤波器可以构造一个 肘m 的小波矩阵，它的第一行为h o ，s 为它的多相位矩阵的特征矩阵，假设u 为单 位列向量，那么它的多相位矩阵为： f - 1 日( z ) = ( n ( ，一v 。v ；+ z 。咋v ；) ) s t 4 0 由定理3 1 我们知道，如果我们构造了m 带小波的尺度滤波器，我们就可以参数 化构造它的小波滤波器。所以构造m 带小波的关键在于构造其尺度滤波器。 3 2 消失矩 消失矩在小波分析和图像处理中是一个非常重要的概念。小波函数的消失矩越高 小波分析逼近信号的效果就越好。 定义3 2 1 小波函数的消失矩 如果小波函数y ( x ) 满足 鼍 ix ”y ( x ) 出= 0 ，玎= 0 ，l ，2 ， 一1 我们就说该小波具有n 阶消失矩。 定理3 2 1 对于2 进小波来说，小波函数有n 阶消失矩等价于其对应的尺度滤波器满足： ( 一1 ) k ”口。= 0 ，n 2 0 ，l ，2 ，n - 1 。 对于m 带小波的情况，有下面类似的定理。 定理3 2 2 对于m 进小波来说，小波函数有n 阶消失矩等价于其对应的尺度滤波器满足： f k 口= 0 ，n = o ，l ，2 一l t 其中- = e 2 ”。 1 8 华中科技大学硕士学位论文 对于m 带小波我们知道小波滤波器不能由尺度滤波器唯一确定，小波滤波器的 选取有它的灵活性，正是因为这种灵活性，使m 带小波可以具有2 带小波没有的性 质e 它有一个尺度滤波器和m - 1 个小波滤波器，如果我们令 口。) ， 口。) ) ， 口。 ，。 分 别表示尺度滤波器和小波滤波器，它们构成一个小波矩阵且满足 q s , k 口。_ 州= m 万。 ( 3 2 1 ) 口= m 艿刚( 3 2 2 ) k ( 3 2 1 ) 为m - 带小波的正交条件，( 3 2 2 ) 为m 带小波的线性条件。满足这两个条 件的滤波器构成一个m 带正交小波滤波器。 我们假设尺度滤波器和小波滤波器的长度为m g , 如果长度不够，我们在后面添零， 使它满足我们的假设。那么小波矩阵为m g g 阶的，把该矩阵分成g 个m m 的小 矩阵。即如下分解： a = ( ao ，4 ”，ag - i ) 令 知；，= 口。，+ n f ：7 那么小波矩阵的多相位矩阵为 h ( ：) = a o + z a l + + z g - i a g 一 定义3 2 如果矩阵h ( z ) 满足 h ( z ) g7 ( ：一1 ) = 埘h = l 我们就称它是仿酉的。 定理3 2 3 满足( 3 2 1 ) 条件的滤波器组成的小波矩阵其对应的多相位矩阵为仿酉矩阵；多相 位矩阵对应的矩阵的滤波器也满足( 3 2 1 ) 。 如果我们定义滤波器的f o u r i e r 变换为 1 9 华中科技大学硕士学位论文 ；= = = = 一 a ；( e ”) = 黔s , k e f ko j 那么( 3 2 1 ) 的正交条件在频率中的表现为 三副佃“) 互- e i ( + 2 x m m ) ) 。 ( 3 2 3 ) 由 h 7 ( z 一1 ) 日( z ) = 尥 有 一i a ，( e ) i ；1 定理3 2 4 m 带小波滤波器具有n 阶的消失矩，等价于下列之一成立 ( i ) 对应的小波滤波器有n 阶消失矩 ( 2 ) a o 在g - ”= e 2 ”“有n 阶零点 ( 3