（基础数学专业论文）具有两个高阶乘法的a∞代数的构造.pdf

致谢 、7 3 8 2 0 5 本文是在导师卢涤明教授的悉心指导下完成的在硕士的三年学习生涯中， 卢老师严谨的治学态度，精益求精、诲人不倦的作风，使我终身受益在此向他 表示忠心的感谢同时感谢师母周老师在生活上的关心与帮助 感谢浙江大学李方教授，姜豪教授，吴志样教授的关心和帮助 感谢浙江师范大学李金其教授，中国计量学院王航平教授的关心和帮助 感谢师兄何济位的关心和帮助 感谢资料室各位老师的帮助 感谢各位同学的帮助，他们是：吕家风，王燕，赵利辉，司君如，方小利， 俞晓岚，夏绮，张棉棉，汪国军，陈利利，陈雪梨与他们的讨论让我受益匪 浅 最后，我要感谢我的家人和朋友的关心和帮助 摘要 本文讨论了具有两个高阶乘法的一类a o 。一代数：( 2 ，p ，口) 一代数基于( 2 ，p ) 一代 数的结构理论，提出了一种由一般分次结合代数构作类特殊( 2 ，p ，g ) 一代数的 方法，同时探讨它与( 2 ，p ) 一代数的关系 关键词： a 。一代数；分次结合代数；( 2 ，p ) 一代数；( 2 ，p ，g ) 一代数 2 a b s t r a c t a s p e c i a lc l a s s 。fa o 。a l g e b r a 8w i t ht w on o n t r i v i a lh i g h e rm u l t i p l i c a r i o s c a u e d ( 2 ，p ，q ) 一a l g e b r a 8 ，a r es t u d i e d b a 8 e do nt h ec o n 8 t r u c t i o nt h e o r y o f ( 2 ，p ) 豇薛b r a 8 am e t h o dt oc o n s t r u c ta ( 2 ，p 掣) 一a l g e b r af r o mag e n e r a lg r a d e da s 8 0 c i a t i 她a k g e b r ai sg i v e n ，a n dm e a n w h i l e ，s o m er e l a t i o n sb e t w e e n ( 2 ，p ，q ) a i g e b r a sa n d ( 2 ，p ) 一a l g e b r a s8 x ed i s c u s s e da sw e l l k e y w o r d 8 ： a 。a l g e b r a s ；g r a d e da s s o c i a t i v ea l g e b r a s ；( 2 ，p ) 。a l g e b r 鹪；( 2 ，p ，口) 一 a l g e b r a s 3 绪论 早在上世纪6 0 年代，j s t a s h e f f 就提出了a 。一空间和a 。代数的概念【5 】此 后，许多涉及a 。结构的理论相继被人们发现，主要集中于代数拓扑，代数几何 以及数学物理其中，由m k o n t s e v i c h 提出的关于两个a 。一范畴间导出等价的 镜面对称公式更是对a 。理论的发展深具影响近年来，a 。代数的方法开始被 人们用于解决环论中的问题b k e l l e r 所著的文献1 2 】第一次将a 。代数的概念 引入环论，文献1 3 讨论了许多很有意义的具体的a 。o 一代数的例子，将一些经典 的环论中的概念推广到a 。一代数上，并提供了a 。一代数的一些重要碰用，例如 在4 维a r t i m s c h e l t e r 正则代数分类问题中的应用通过应用a 。一代数的方法，解 决了一些用传统方法不能解决的问题例如，若a = k o a l 0 a 2 0 是连通的 结合分次代数，b 为y o n e d a c f , 数e x 螃( k ，k ) ，【3 】中证明- j a 是a r t i n - s c h e l t e r h 则代数当且仅当b 是f r o b e n i u s 代数 粗糙地说，a 。代数是在一个分次向量空间a 上具有一簇乘法 弛j 。 1 且 满足一些复杂关系的一个代数系统何济位在他的博士学位论文中讨论了具 有一个高阶乘法饰的一类特殊的a 。一代数，即( 2 ，p ) 一代数发现了在一定程度 上，( 2 ，p ) 一代数是研究高阶齐次代数的有效工具，给出了从一个分次结合代数构 作( 2 ，p ) 一代数的一般方法 受此启发，本文的主要工作是研究具有两个高阶乘法 m ，m 。 的一类a 。一 代数：( 2 ，p ，q ) 代数，其中p q 在( 2 ，p ) 一代数的基础上，给出从一个分次结合 代数构作( 2 ，p ，口) 一代数的一般方法，并讨论了( 2 ，p ，q ) 一代数与( 2 ，p ) 一代数的一些 关系 4 为了使读者对a 。一代数有一个初步的了解，本文在第一章主要介绍了a 。代 数的定义以及与之相关的一些概念，在此基础上，进一步给出一些a o 。代数的 例子，使得对a 。一代数有更直观，更具体的认识并着重介绍一类特殊的a 。代 数：( 2 ，p ) 代数作为本文写作的一个基础，本章将具体介绍( 2 ，p ) 代数的定 义，列举( 2 ，p ) 一代数的一些具体例子，详细介绍( 2 ，p ) 一代数的一种构造方法，对 于( 2 ，p ) 代数的主要性质及应用，文献 1 】作了具体阐述 本文的重点在于第二章在( 2 ，p ) 一代数的基础上，引入( 2 ，p ，g ) 一代数，叙述 了( 2 ，p ，口) 一代数的定义并说明其存在性，同时给出由一个分次结合代数构 作( 2 ，p ，q ) 代数的方法，得出本文的主要结论： 定理2 设a = a 0 0 a l o 0 a 0 为非负分次结合代效给足目 然数p ，q ，当3 曼p 3 时，有( e t ) 。p = 0 ，故得到p = 3 又m 3 必须具有k k - 双模 作用，则存在a k ，有m 3 ( x l ，x 2 ，x 3 ) = a y 我们可以直接验证( e ，m 2 ，m 3 ) 是一 个( 2 ，3 ) 一代数 3 ( 2 ，p ) 一代数的构造 在文献 1 】中，给出了由任意一个非负分次结合代数a = a ooa to e a 。o 构作一类特殊( 2 ，p ) 一代数的一般方法 引入函数p ：n n ： 即) ： m 【p m + 1 当n ；2 m 时， 当n = 2 m + l 时 定理1 1 】定义e = e oo e lo o 驴o - 一，其中驴= a p ( 。) m 芝o ) ，f 上 的乘法定义如下： ( i ) 对任意的a e ”= a p ( 。) ，b e m = a p ( 。) ， 。( 。，6 ) ： ”6 10 ， 当n ，m 中至少有一个为偶数时 其他： ( i i ) 对任意的a l z 严1 ，郇j p c 。t ，唧，= a l 2 _ 唧霎茬：，均为奇数时 这里的“- ”为a 中的乘法那么( e ，m 2 ，m ，) 为一个( 2 ，p ) 一代数 对于【2 ，p ) 一代数的相关性质，文献【1 】中作了具体的阐述 1 2 第二章( 2 ，p ，口) 代数 作为本文讨论的中心：( 2 ，p ，q ) 代数我们将从它的定义，存在性出发，借助 第二章对( 2 ，p ) - 代数结构的分析，着重研究( 2 ，p ，口) 一代数的构造方法 4 ( 2 ，p ，q ) 一代数的定义及例子 定义3 若f = 0 。zf ”是一个a 。一代数，且f 只有3 个非平凡的乘法m 2 ，m p 与m q ( 3 p o 乘法m 2 定义为： m 2 ( ，魏) = x 8 + f ，m 2 ( y ，执) = 如+ f ，r n 2 ( x , ，鼽) = m 2 ( y t ，) = o ； 高阶乘法仃b ，m q ( 3sp g ) 定义为： m p ( 乱l ，一，卫t ，) = m g ( 蜥。，- 一，! _ 如) = 善m = 警l k + 2 一九 耋箍一p 均为奇数时 冀睁肘2 刊豁矗蝴撇盹 此例中的g 作为分次向量空间可以写成c = 0 e l o 俨0 0 c o ， 其中c 。= x ko 挑( 1 o 。) 类似于文献【3 】中的例3 5 的证明，易知等 式s j ( 3 ) ，s i ( p + 1 ) ，s z ( q + 1 ) ，s j ( 2 p 1 ) ，s i ( 2 q 1 ) 成立，又由乘法m p ，m q 的定 义，得等式s j ( p + 口一1 ) 恒成立由定义3 可知，( c ，m 2 ，r a p ，”) 为一个( 2 ，p ，一代 数 5 ( 2 ，p ，q ) - 代数的构造 基于上一章中定理1 的构作方法，下面给出更一般的构作( 2 ，p ) 代数的方 法给定任意一个非负分次结合代数a = a o o a l o o a o ，定义函 数r ：n n ： 最：j p m ， 当n = 2 m 时， lp m + k ，当n = 2 m + 1 时， 其中o k 0e “，i 蒲2 = e = a p kc 。) o ) ，上的乘法定义如下： ( i ) 对任意的。e “，b e u ， m 。c 吼= 。a ，耋他i , j ；至少有一个为偶数时 ( i i ) 对任意的0 1 e 嘞，a l j 一， m z c 。- ，。：，。= 。a ，l 。眈一霎箍一。均为奇数时， 这里的“”为a 中的乘法当k l = p 时，( e i ，m 2 ，m z ) 为一个( 2 ，1 ) 一代数特别地， 当= 1 ，即r ( n ) = p ( 礼) 时，l = p 从第二章给出的定理1 及命题1 可看出r 是 关于，啪一个函数，所以不妨将最重新定义为 聃) = p q m + ，雪n n = ：2 m i 对p q mq2 m + 。时 i + ，当n =+ 1 时 由命题1 ，得到( e 7 ，m 2 ，m p ) 为( 2 ，p ) 一代数 利用函数，中p 与q 的对称性，可给出 ( n ) = p q m + p ，当n n ：= 2 2 m m 时+ 埘 同理，可由命题1 得到一个( 2 ，q ) 一代数( e ”，m 2 ，m 。) 结合o 。及五，的定义，给出函数，：n n ： l2 p q m ， 聊) ： 细m + 9 1 lp q ( 2 m + 1 ) ， ip g ( 2 m + 1 ) + 鼽 当n = 4 m 时， 当扎= 4 m + 1 时 当n = 4 m + 2 时 当九= 4 m + 3 时 我们得出以f 结论： 定理2 设a = a ooa l0 oa 0 为非负分次结合代数给定自 然数p ，q ，当3sp q ，j t q 为偶数时，取f = f o o f l o o f n o ，满 足p 。= a ，( 。) 0 ) 定义f 上的乘法如下： ( i ) 对任意的o f “1 = a ，_ 。) ，b j m = a f ( 。2 ) ， m 。c 仉。，= ：，6 霎麓：他中至少有一个能被4 整除时， ( i i ) 对任意的0 1 f ”t ，p ， 坼c 。z ，如，0 p ，= 享吨2 一唧霎麓：，唧被4 整除后余数均为1 时 1 8 ( i i i ) 对任意的口l p - ，a 口f “。， m 。c 。，。 一，。，= a l4 劬耋麓：n q 被4 整除后余数均为3 时7 这里的“”为a 中的乘法那么( f 1 m 2 ，m p ，m 。) 为一个( 2 ，p ，q ) 一代数 证明( 1 ) 首先说明乘法定义的合理性： ( i ) m 2 定义的合理性显然 ( i i ) 由0 1 f “1 ，a p f 砷，且m ，唧被4 整除后余数均为1 ，可得 d e g ( m v ( a l ，邮) ) = p q ( 2 ( m l + + 嘶) + 1 ) ； 另一方面 d e g ( a l _ ) = ( 2 p q m l + 口) + + ( 2 p q m p + g ) = 删( 2 ( m 1 + + 嘶) + 1 ) 故m 。定义合理 ( i i i ) 由d l f ，f 气且n 1 ，n 口被4 整除后余数均为3 ，同时满 足q 为偶数，不妨设g = 2 q 7 ，可得 d e g ( m q ( a l ，一，a q ) ) = p q ( 2 ( m l + + m 口- f q ) + 1 ) = 2 p q ( m l + - - - + m 口) + 州0 十1 ) ； 另一方面， d e g ( a l o 口) = ( p g ( 2 m 1 + 1 ) + p ) + + o q ( 2 m q + 1 ) + p ) = 2 p q ( ( m l + - + m 口) ) + 口+ p ) = 2 p q ( m l + + ) + p q 国+ 1 ) 故竹的定义也合理 ( 2 ) 其次，当g 为偶数时，证明( f i m 2 ，m p ，m j 为( 2 ，p ，q ) 一代数 由定义2 只需验证s j ( 3 ) ，s ，( p + 1 ) ，s z ( q + i ) ，s z ( p + q + z ) ，s l ( 2 p - 1 ) ，s i ( 2 q 一 1 ) 这6 个s t a s h e f f 恒等式 由乘法m 2 的定义，易证s j ( 3 ) 成立，即f 为一个分次结合代数 注意到i m ( b ) o 。of 4 “”，i m ( m q ) o 。q ，f 4 。“2 ，可得等式s ( p + 口+ 1 ) ，s i ( 2 p 1 ) ，s z ( 2 q 一1 ) 均恒成立 故只需证明下面2 个等式成立： s i ( p - f 1 ) ： ( 一1 ) m p ( d 。 m 2 。i d 刚) + ( 一1 ) p m 2 ( m ，。i d ) 一r n t 2 ( i d 。m p ) = 0 i + j = = p i s i ( q + 1 ) ： ( 一1 ) m q ( d 。 m 2 。e d 酬) + ( 一1 ) 9 m 2 ( m 口。 d ) 一m 2 ( i d m g ) = 0 t “= q - - 1 对于s j 十1 ) ，作用具体元素8 只需验证以下3 种情况： ( i ) = b 固n 1 0 n p ， ( i i ) z = a l o 0 0b ， 【m ) 。= 0 1 口t 固b o 件1 圆圆0 p( 1 t s p 一1 ) 其中ef 4 ”+ 1 ( 1 s 纠， 6 f 4 “ 对于( i ) ， 而 ( 一1 ) m ，( i d 。固r n 2 。t ) ( 。) i 十j = ，一1 = ( 一1 ) 坼0 o m 2 。i d 。j ) ( b 。a 1 9 。嘲 i 卅= p - 1 = ( 一1 ) o m p ( b ，n 1 ) ，啦，嘞 = m p ( ( 6 口1 ) ，d 2 ，- 一，o p ) = ( b a 1 ) a 2 一， ( m 2 ( i do 嘞) 一( 一l 尸m 2 ( m p 固i d ) ) ( 茁) = ( m 2 ( 翻o m p ) 一( - i ) m 2 ( m p o t 回) ( b 2 1 0 圆o p ) = ( 一1 ) ( 2 - p ) l q 讯e 伯，6 , 1 ，唧) = b ( a l ) 2 0 由a 为结合代数得 而 对于( 】i ) ( 一1 ) 嘶( t $ m 2 。i “= p - l = ( m a ( i dom p ) 一( 一1 ) p m 2 ( m poi d ) ) ) ( 一1 ) ( 。m 2o t ) ( 石) q 印一1 = ( 一1 ) m a i d 。m 2 。i ) ( 8 1 。邮$ b ) q = p - 1 = ( 一1 p - 1 m p ( a l ，一，一1 ，m 2 ( a p ，6 ) ) = ( _ _ i ) p - - 1 m p ( a l ，一，d p 一1 ，( 唧b ) ) = ( 一1 ) p - i a l 唧一1 - ( 唧6 ) ， ( r a 2 ( i d 固m p ) 一( 一1 ) 9 m 2 ( m p t d ) ) ( 。1 圆- 固o p b ) = 一( 一1 尸m 2 ( a l a n ，b ) = ( - 1 ) ”1 ( a l a p ) b 对于( m ) ， ( 一1 ) m p ( i d 窗固m 2 。i 一) ( 茁) t + j = p - - 1 = ( 一1 ) m p ( i a 国 m 2 固 ) ( n 1 固。毗 6 。t + 1 固p ) 却= p - - 1 = ( 一1 ) “1 m p ( a l ，吼一l ，他( 砚，6 ) ，m + l ，一，) + ( 一1 ) 。t c t p ( a l ，m 2 ( b ，m + 1 ) ，啦+ 2 ，) = ( 一1 ) “1 ( 0 l 砚一l - 6 ) a t + l 邮) 2 1 + ( 一1 ) ( 0 1 啦( b a t + 1 ) 口件2 a p ) = 0 ， 而 ( m 2 ( i dom p ) 一( 一1 ) 9 m 2 ( r a p 固识) ) ( ) = 0 因此，等式s i ( p + 1 ) 成立 2 “i s i ( q + 1 ) ，作用具体元素。，只需验证以下3 种情况： ( i ) x = b 固0 1 0 固a q ， ( i i ) x = a l o o b ， ( m ) z = 8 l 固o o t qb o n 件1o 固 ( 1 曼tsg 一1 ) ， 其中f 4 m - + 3 ( 1 s 口) ， b f 4 州 类似于等式s i ( p + 1 ) 的证明，可证得等式s i ( q + 1 ) 成立 这样，已证明( f ，m 2 ，r n p ，m 口) 为一个( 2 ，p ，q ) 一代数 口 注5 当q 为奇数时，也有类似的结果 定理3 设a = a 0 0 a 1 0 0 a 0 为非负分次结合代数给定自 然数p ，q ，当3 冬p q ，j i q j 9 奇数时，取f = f o o f l o o f “0 ，满 足f “= a ，( 。) 唧o ) 定义f 上的乘法如下： ( i ) 对任意的口p 1 1 = a ，_ ，) ，b f - 2 = a 爿m ) ， i n b ， 当扎l ，n 2 都能被4 整除，或一个 m 2 ( o ，b ) = 能被4 整除，另一个被4 除余3 时， 1 0 ， 其他i ( i i ) 对任意的a l p 1 ，郇f 唧， 帆，咖2 一锨躲脎黼加眈 ( i i i ) 对任意的o l f ，a q p ， 嘛，蝴= a l2 。 锨橼脎粕煳盹 这里的“”为a 中的乘法那么( f ，m 2 ，m p ，m q ) 为一个( 2 ，p ，q ) 一代数 证明( 1 ) 首先说明乘法定义的合理性 ( i ) 7 , 2 定义的合理性显然， ( i i ) b 定义的合理性证明同定理1 ( i i i ) 由n l j ”，a q f “，且n 一，被4 整除后余数均为3 、同时满 足q 为奇数，不妨设g = 2 4 + 1 ，可得 d e g ( m q ( a l ，口口) ) = 2 p q ( , n i 十+ m 口+ 一+ 1 ) = 2 p q ( m l + + m 口) + p q ( 2 q 7 + 2 ) = 2 p q ( m l + + m q ) + p q ( q + 1 ) 另一方面， d e g ( a l o g ) = ( p q ( 2 m l + 1 ) + p ) + + ( p q ( 2 m g + 1 ) + p ) = 2 p q ( ( m l + + m q ) ) + 口白口+ p ) = 2 p q ( m l + + m q ) + p q ( g + 1 ) 故m 口的定义也合理 ( 2 ) 其次，当q 为奇数时，证明( 只m 2 ，竹k m q ) 为( 2 ，p q ) 一代数。 由定义2 只需验证s ，( 3 ) ，s z ( p + 1 ) ，s x ( q + 1 ) ，s z ( p + q + 1 ) ，s z ( 2 p 一1 ) ，s z ( 2 q 一 1 ) 这六个s t a s h e f f 恒等式由乘法m 2 的定义，易证s j ( 3 ) 成立，即f 为一个分次 结合代数 注意到i m ( m p ) o 。of 4 m + 2 ，i m ( m 口) 0 。r + 1f 锄，可得等式s ，+ 1 ) ，s z ( p + q + 1 ) ，s z ( 2 p 一1 ) ，s z ( 2 q 一1 ) 均恒成立故只需证明下面这个等式成 守： s i ( q + 1 )( 一1 ) m q o d 刨。m 2 固t d 刨) + ( 一1 ) a m 2 ( m q t d ) 一m 2 ( i d o m q ) = 0 i + j = q - - 1 对于s i ( q + i ) ，作用具体元素。，只需验证以下4 种情况： ( i ) z = b oa 1 0 o o 口， 2 3 ( i i ) = 。1 0 o o b ， ( ) z = a l 圆 吼ob oa t + l o oo q ( 1 曼t 曼q 一1 ) ， ( i v ) 卫= 0 1 0 o + 1 ， 其中f 4 m + 3 ( 1ss g + 1 ) ， b f 4 “n 对于( i ) ，( i i ) ，( ) 的证明与定理1 中类似 对于( ) ， ( 一1 ) m q ( i 。m 2 。 ) ( 写) 一o ， t + j = 口一1 而 ( m 2 ( i d o m g ) 一( 一1 ) 9 m 2 ( 竹b d ) ) 0 ) = ( m 2 ( i d 固m 口) + r f t 2 ( m q 固i d ) ) ( a l 固0 a q + 1 ) = ( 一1 ) 川( 2 9 ) m 2 ( o l ，a 2 - a q + 1 ) + m 2 l n 口，a q + 1 ) 一a l ( a 2 一。口+ i ) + ( a l 一a q ) a q + l = 0 ， 因此，等式s i ( q + 1 ) 成立 这样，已证明( 只m 2 ，m p ，m 口) 为一个( 2 ，p ，口) 一代数 第三章( 2 ，p ，g ) 一代数与( 2 ，p ) 代数的关系 本章在( 2 ，彩一代数和( 2 ，p ，口) 一代数结构的基础上，讨论了两者之间存在的关 系，并讨论了与( 2 ，p ) - 代数类似的性质 6 ( 2 ，p ，g ) 一代数与( 2 ，p ) 一代数的关系 由以上所给出的( 2 ，p ，q ) 一代数的构作方法，进一步讨论( 2 ，p ，q ) 一代数与( 2 ，p ) 代数的关系 定义函数：n n 如下： 1 0 夕( n ) ： 2 p q m + q , ip q ( 2 m + 1 ) io 当n = 4 m 时， 当n = 4 m + 1 时 当t l = 4 m + 2 时 当礼= 4 m + 3 时 设a = a o o a l 0 0 如o 为一个非负分次结合代数，由定理1 ，2 得 到一个( 2 ，p ，g ) 一代数f ，取b = 0 。) 0 b “，满足伊= 知( 。) 0 ) ，容易看 出b 为f 的分次子空间，且满足： i ) 对任意的a ，b b ，由m 2 ( a ，b ) = 0 ，得i m ( m 2j 丑。，) cb 2 ) 对任意的a 1 b ，b “， 脚( ，) = 0 。：饵2 。霎麓：，砷被4 整除后余数均为1 时i， 其他 由口1 a 2 b ，得i m ( 坼i 口却) cb 3 ) 对任意的口1 b ，o 口b “，由m q ( 。1 ，0 2 ，a q ) = 0 ，得 i m ( m g 口。- ) cb 根据上述分析，得到： 命题2 设a = a o a i o 0 a 。0 为一个非负分次结合代数，由定理2 得 到一个( 2 ，p ，g ) 一4 墩( f , m 2 ，m p ，m q ) ，取b = 0 。o b “，满足毋_ = a 一( 。) 机 0 ) ，则b 为f 的( 2 ，p ，g ) 一子代数 事实上，乘法m g 在b 上的作用为零，上述命题中的b 可看作一个( 2 ，p ) 代数， 因此，( 2 ，p ) 一代数b 为( 2 ，p ，口) 一代数f 的( 2 ，p ，口) 子代数 同样，( 2 ，g ) 一代数与( 2 ，p ，g ) 一代数也有类似的结果 7 ( 2 ，p ，g ) 一代数的一些性质 下面给出( 2 ，p ，g ) 一代数的一些性质 命题3 设( e ，m 2 ，订b ，m q ) 为定理2 所给出的( 2 ，p ，q ) 一代数，若( e ，m 2 ，m p ，m g ) 由e 1 e 3 ，e 4 生成，那么分次结合代数( e ，m 2 ) 由e 1 ，酽，e a ，e 4 生成 证明由于旧，m 2 ，m p ，m q ) 由口，e 3 ，生成，所以e 2 = m n ( ( e 1 ) 。9 ) 显然e 5 = m 2 ( e 1 0 e 4 ) + m 2 ( e 4 0 e 1 ) ，而e 6 = m 2 ( 点产 e 4 ) + m 2 ( e 4 0 酽) + m p ( e 1 o 西) ，其中f 一，站这p 个数中，有1 个为5 ，其余都为1 对t l ，如的任意组合，我们需要证明脚( to o 砂) m 2 ( e 2 固驴) + m 2 ( e 4o e 2 ) 当 ，= 5 时，根据s i ( p + 1 ) ， m p ( e 1 固e 1 0 e 5 1 = m p ( 酽固o e l 0 k ( e 1 e 4 ) ) r n 2 ( m p ( e 1 0 o e l ) o e 4 ) = m 2 ( e 2 e 4 1 同理，当i 1 = 5 时， m p ( e 5 0 e 1 0 o e l ) s 仇2 ( e 4 0 e 2 ) 而当i t = 5 ，0 t p ， m p ( ( e 1 ) “1 圆e 5 ( e 1 ) 州) = m a ( e 1 ) “1o 竹功( e 1oe 4 ) ( e 1 ) 9 。) + 竹( ( e 1 ) “1 m 2 ( e 4 固e 1 ) o ( e 1 ) p “) m p ( ( e 1 ) oe 5o ( e 1 ) p 一- 1 ) + m p ( ( e 1 ) 卜2oe 5 固( e 1 ) p 叫+ 1 ) m a ( e 1 ) 9 1oe 5 ) + m p ( e 5 固( e 1 ) 9 1 ) m 2 ( e 2 0 e 4 ) + m 2 ( e 4 e 2 ) 所以，e 6 = m 2 ( e 2 e 4 ) + m 2 ( e 4o e 2 ) 又有e 7 = m 2 ( e 3 0 e 4 ) + m 2 ( 酽o e 3 ) ，e 8 = m 2 ( e 4 0e 4 ) 假设对任意的2 s t m ，有 e 啦= 忱( 伊。“砷) l k t e 4 。+ 1 = ( m d e 4 固e 4 ( “姊+ 1 ) + m 2 ( 。砷+ 1 。e 4 ) ) l s ( t e 4 件2 = ( m 2 ( e 4 k 。e 4 ( 一) + 2 ) + m 2 ( e 4 0 一砷+ 2 e 4 ) ) 1 曼b t e 4 “3 = ( m 2 ( 弘 e 4 。一+ 3 ) + m 2 ( e 4 “+ 3 。e 4 ) ) 那么，当t = m 时，有e 4 ”= m 2 ( 口z 园 扣) 不失一般眭，假设t 1 = 州，则 m 2 ( e 4 ”。e 4 一竹) = m 口( m 2 ( e 驰够e 4 9 一姊) ee 4 “) l s k ( r = m 2 ( e 4 。m 2 ( e 4 “。e 4 叫) ) = m 2 ( e 4 。e 4 一) l k t 所以 e 4 竹= m 2 ( f “ e 4 ( m - k ) ) l s k m 同理，当t = m 时，有f h + 1 = m 2 ( e e 2 ) 当t 1 = 4 t 7 时， m 2 ( e 州。z 尹”一9 + 1 ) = m 2 ( 阮( e 躺。j 严( 。一) ( de 4 m 一。) + 1 ) = m 2 ( 凹4 0e 4 ( ”一) + 1 ) ； 当i 1 = 4 t + 1 时， m 2 ( e 4 。+ 10e 4 ( m - t ) ) = m 2 ( ( m 2 ( e 妯oe 4 。一“) + 1 ) + 讹( e 4 一时+ 1oe 拙) ) 。e 4 ( m f ) = m 2 ( e 4 oe 4 ( m - k ) + 1 ) + m 2 ( 酽( r 一七) + 1 固e 4 ( m 一，+ 。) ， 所以 同理 e 4 ”+ 1 = ( m 2 ( e 4 2 。e 4 ( ”一。) + 1 ) + m 2 ( z 弘( ”一) + 1 固e 她) ) l s k m e 4 “+ 3 = ( m 2 ( e 4 2 。e 4 “一) + 3 ) + m 2 ( e 4 忡一) + 3 圆e 4 ) ) l k m 也成立 由上述分析可知， e 4 m + 2 = 1 k m ( m 2 ( e 驰o e 4 一。2 ) + m 2 ( f 4 一+ 2 0 e 4 ) ) + 仇p ( e ，o o e 如) + 。r m q ( e 1 0 o 西