（系统理论专业论文）基于相似变换的多自由度系统解耦研究.pdf

哈尔滨丁程大学硕十学位论文 摘要 在工程应用中经常会遇n - 阶系统，许多高阶系统也可以简化为二阶系 统。二阶系统的形式代表了多种工程应用领域中的动力学特征，例如：l r c 串联电路微分方程，液压缸活塞受力平衡方程等，它们都能用典型的二阶微 分方程来描述。根据数值代数的理论，二阶微分方程的齐次方程解对于描述 系统的长期行为是非常重要的。因此， 分析和研究多自由度二阶系统的特性， 课题，具有重要的实际意义。 完成多自由度二阶系统的解耦，详细 已经成为了工程领域一个广泛关注的 针对这种状况，本文以目前探索解决二阶系统解耦问题时的理论之一 “l a n c a s t e r 结构 为基础，提出了一种基于相似变换的多自由度系统解耦方 法。首先，本文通过对“l a n c a s t e r 结构”的核心问题：保结构变换和同谱流 理论的深入研究，从简化计算的角度出发，创新的将相似变换理论引入了这 一数学模型，在保二阶系统特征不变的前提下，将初始解耦问题“同时对角 化三个系统矩阵 转化为相同条件下“同时对角化两个矩阵 的问题；其次， 对矩阵同时对角化时需要的条件进行了分析，给出了基于相似变换的多自由 度系统解耦及其相关问题的具体理论证明；最后，以本文提出的解耦思想为 基础，对“l a n c a s t e r 结构”理论中经典的解耦方法进行了改进，并应用遗传 算法实现了此改进方法。 从整个理论分析和数值实验的结果可知，本文提出的二阶系统解耦方法 是切实可行的。 关键词：二阶系统；l a n c a s t e r 结构；同谱流；遗传算法；保结构变换 哈尔滨工程大学硕十学位论文 a b s t r a c t s e c o n do r d e rs y s t e mi so f t e ne n c o u n t e r e di ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o na n d m a n yh i 曲o r d e rs y s t e m sc a l lb es i m p l i f i e dt os e c o n do r d e rs y s t e m s t h ef o r mo f s e c o n do r d e rs y s t e mr e p r e s e n t st h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c si nt h ee n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n ，s u c ha st h el r c s e r i e sc i r c u i td i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，h y d r a u l i cc y l i n d e r p i s t o n f o r c e e q u i l i b r i u me q u a t i o n ，e t c f o r t h en u m e r i c a l a l g e b r a ，t h e h o m o g e n e o u se q u a t i o ns o l u t i o no fs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sv i t a lt o o p e r a t ef o rt h el o n g t i m eb e h a v i o ro fs e c o n do r d e rs y s t e m s o ，c o m p l e t et h e d e c o u p l i n gq u e s t i o no fm u l t i d e g r e e o f - f r e e d o ms e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a ls y s t e m ， s t u d ya n da n a l y s i st h ec h a r a c t e r i s t i c so fi t ，h a v eb e e na nw i d ea t t e n t i o ns u b j e c t ， w i l lh a v ei m p o r t a n ta c t u a lm e a n i n g si nt h ee n g i n e e r i n g f o rt h a t ，an e wm e t h o do fd c o u p l i n gm u l t i d e g r e e o f - f r e e d o ms e c o n do r d e r s y s t e mi sp r o p o s e db ys i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o nb a s e do nt h et h e o r yo fd e c o u p l i n g p r o b l e mf o rs e c o n do r d e rs y s t e mw h i c h i sc a l l e dl a n c a s t e rs t r u c t u r e i nt h i sp a p e r ， b ya n a l y s i s i n gt h ec o r eq u e s t i o n so f l a n c a s t e rs t r u c t u r e ，w h i c hi sc a l l e ds t r u c t u r e p r e s e r v i n gt r a n s f o r m a t i o n sa n dt h es o s p e c t r a lf l o w s ，t h ei m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o n t h e o r yi si n t r o d u c e di n t ot h el a n c a s t e rs t r u c t u r es u c c e s s f u l l y ；o nt h ep r e m i s eo f p r e s e r v i n g t h ec h a r a c t e r i s t i c sf o rs e c o n do r d e rs y s t e m ，t h eq u e s t i o no f d i a g o n a l i z i n g t h r e e s y s t e mm a t r i x e s s i m u l t a n e o u sc a nb ec o n v e r t e dt ot h e q u e s t i o no fs i m u l t a n e o u sd i a g o n a l i z i n gt w os y s t e mm a t r i x e su n d e rt h es a m e c o n d i t i o nb ys i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o n ；b ya n a l y s i s i n gt h es p e c i f i cc o n d i t i o n s ，t h e t h e o r e t i c a lp r o o fo fd c o u p l i n gm u l t i - d e g r e e - o f - f r e e d o ms e c o n do r d e rs y s t e mi s g i v e nb ys i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o n ；t h el a s t ，t a k ed e c o u p l i n gt h o u g h to ft h i sp a p e r a st h eb a s i s ，i m p r o v i n gt h ec l a s s i c a ld c o u p l i n gm e t h o dw h i c hi su s e di nl a n c a s t e r s t r u c t u r e ，c o m p l e t e dt h en u m e r i c a lr e a l i z a t i o no fi m p r o v e dd e c o u p l i n gm e t h o d ， 哈尔滨工程大学硕十学位论文 g i v et h em a i np r o g r a mw h e n t h ea l g o r i t h mi sr u n n i n g f r o mt h er e s u l to fa n d n u m e r i c a le x p e r i m e n t ，w ek n o wt h a tt h ed e c o u p l i n g m e t h o do fs e c o n do r d e rs y s t e mw h i c hi sp r o p o s e dt h i sp a p e ri se f f i c i e n t k e yw o r d s ：s e c o n do r d e rs y s t e m ；l a n c a s t e rs t r u c t u r e ；s o s p e c t r a lf l o w ；g e n e t i c a l g o r i t h m ( g a ) ；s t r u c t u r e p r e s e r v i n gt r a n s f o r m a t i o n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性：声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：，星鞘肇 日期：纱护 年占月膳日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 口在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 导师( 签字) ：沈咎伊 矿。t 夕年名月夕日 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 一般的，具有n 个自由度的动态二阶系统： m i + c 文+ k x = f ( t 1 其中，m ，c ，k 和f 分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和外力，其在 应用力学、振荡电路，流体力学和信号系统等各个方面都有重要的应用。 由数值代数的理论可知，式( 1 - 1 ) 的齐次方程解对于系统的长期行为是非常 重要的。假设式( 卜1 ) 的齐次方程解x ( o 的形式为 x ( f ) = p 知z ， 则数值五和向量u 为二阶特征值问题的非平凡解应满足下式： q ( 2 ) u = ( 2 2 m + 2 ( 7 + k ) u = 0 ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) 从实际应用的角度出发，将系统简化为完全解耦的多个单自由度系统 是非常渴求的，而又考虑系统矩阵的结构对于( 1 - 2 ) 式二阶特征值问题非 平凡解求解难度的影响，则若( 1 - 3 ) 式的三个系统矩阵均为对角形式时，计 算变成了仅仅需要求解个解耦的方程。因此，研究三个系统矩阵的同时 对角化将会是非常有意义的。 本文的研究工作就是基于这一点考虑而展开。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 2 论文的国内外研究背景及现状 关于多自由度二阶系统的解耦研究，在工程领域中的各个方面一直是 备受关注的问题之一，十几年来，人们一直对其进行着不懈的努力和探索。 例如，在船舶工程中，求解船舶在波浪中运动特性最广泛认可的方法之一 的切片理论i l j ，其结果就会将升沉和纵摇相互耦合的方程表示为求解二阶 微分系统( 卜1 ) 的形式。对于求解多自由度相互耦合的微分方程组来说， 一般可通过主坐标法亦为解析法【2 j ，即通过坐标变换把方程组各阶微分系 数矩阵化成对角矩阵，然后按单自由度方程的方法来求解。而本文所研究 涉及的通过保持l a n c a s t e r 结构【3 j 来完成二阶多自由度系统的解耦，正是 目前该领域中最前沿的研究方向之一。 在数值代数领域，对于具有玎个自由度的二阶系统，由文献 4 可知， 对于求解非阻尼系统( 二阶系统( 1 - 1 ) 中系统矩阵c = 0 ) 的二阶特征值 问题，其分析方法已经比较完善，且可以实现完全的解耦。但是在现实环 境中，大多数系统均是有阻尼的( c 0 ) 。一直以来，曾经普遍认为不 存在坐标变换可以使一般二阶系统的三个系统矩阵能够同时被对角化，但 是经过不断的研究和探索，已经得证确实存在一些实值变换可以将原始多 自由度耦合系统简化为对角形式。c a u g h e y ，o k e l l y 等人于1 9 6 5 年定义 了经典阻尼系统【5 j ( c l a s s i c a l l yd a m p e d ) ，并最先提出了对于具有胛个自 由度的动态二阶系统，如果三个系统矩阵 m ，c ，k ) 满足一定的条件，则这 三个系统矩阵可以同时被对角化。f t i s s e u r ，k m e e r b e r g e n 研究了二次特 征值问题1 6 j 的一系列应用数学性质以及相关的大量数值技术，为多自由度 二阶系统简化解耦理论提供了切实的理论基础。g a r v e y ，p r e l l s 曾在2 0 0 2 年基于文献 7 1 3 的理论，对多自由度二阶系统的一般变换进行了更深层 次的刻画和描述，指出这种变换中另外还包含了很多保结构变换。其中，最 重要的是存在一个特殊的保结构变换可将原始多自由度二阶系统变换为一 个由实对角系统矩阵刻划的多自由度二阶系统，并特别指出，此结论对于 2 哈尔滨工程大学硕十学位论文 缺失系统l l4 j ( d e f e c t i v es y s t e m s ) 并不成立。 g a r v e y ，p r e l l s 于2 0 0 2 年 在文献 1 5 中，给出了两种可以将原始二阶系统变换为一个由实对角矩阵 刻划的二阶系统保结构变换的方法，指出除了将系统矩阵变换为实对角矩 阵外，将系统矩阵变换成一些其它的结构也可以很好的达到系统解耦的目 的。m o o d yt c h u ，f a s m ad i e l e ，i v o n n es g u r a 于2 0 0 4 年在文章“g r a d i e n t f l o wm e t h o d sf o rm a t r i xc o m p l e t i o nw i t hp r e s c r i b e de i g e n v a l u e s ”中对诸如 s c h u r - h o r n 理论1 1 6 】，m i r s k y 理论【1 7 】等在特定条件下的解耦分析，并提出 了一个由三系统矩阵组成的新的动力系统。而g a r v e y ，p r e l l s 于2 0 0 4 年总结介绍了l a n c a s t e r 结构并给出了同谱系统和同谱流i i s - 2 1 】的概念，并 提出了通过一组保结构的坐标变换来实现同谱流的想法，期望最终能将原 始系统对角化，同时给出了2 - 4 阶系统的同谱流表示方程，文章的目的在 于应用保结构变换来分析二阶系统，并求解实二阶特征值问题。m o o d y t c h u ，n i c o l e t t ad e lb u o n o ，b o y u 以文献 2 2 为基础，系统阐述了在线性系 统中的二阶特征值问题和二阶逆特征值问题，并将重点放于二阶逆特征值 方面，对线性系统二阶特征值的反问题 2 3 2 4 】进行了描述。m o o d yt c h u ，w e n - w e il i na n ds h u f a n gx u 于2 0 0 6 年在文章“u p d a t i n gq u a d r a t i c m o d e l sw i t hn os p i l l o v e re f f e c to nu n m e a s u r e ds p e c t r a ld a t a 中通过对系统矩 阵 m ，c ，k 1 特殊结构的研究，给出了一个解决在非溢出条件下，分析持 续更新系统的方法。而m o o d yt c h u a ，n i c o l e t t ad e lb u o n o 等人更是基于 理论证明和实际验证提出了几乎对于所有的多自由度耦合系统都可以将其 化简为多个单自由度系统的说法。其主要内容可简述为：首先更完整简单 的证明了几乎对于所有的二阶系统都存在对角变换，可以将其变换为对角 形式；其次对于自共轭二阶系统1 25 i ，证明了这种对角变换就是合同变换； 最后利用保结构同谱流中的3 个系统矩阵参数作为控制参数来修正保结构 同谱流使其收敛，提高了二阶系统简化理论的可计算性。 在国内研究方面，问题涉及的相关理论和研究并不是很多，其主要集 中在微分方程组化简求解方面。 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 在2 0 0 4 年，有学者提出了一类高维耦合非线性方程简单求解方法1 2 引， 指出利用一个简单的变换，一类高维耦合的非线性演化方程可以被简化为 一低维的简单方程，其将已有的求解法应用于简单方程，十分简洁的获得 了原方程大量的精确解。而在文献 2 7 】中，郭志荣等对( 2 + 1 ) 维非线性 偏微分方程进行相似变换后，根据相似变量不变性原理，提出了一个相似 变量的复合变换，从而把( 2 + 1 ) 维偏微分方程最终化成常微分方程。将 该方法用于妯方程，z k 方程，高维b u r g e r s 方程组f 2 5 - 3 0 】，均得到了具有 p a l i n l e v 6 性质p l j 的常微分方程。通过进一步的分析求解得到k p 方程和z k 方程的自相似渐进解，尤其是得到了高维耦合b u r g e r s 方程组的精确解。 而付立志等通过对相似变换在对称矩阵对角化中的初等变换法，及其变换 和结果的多样性研究，建立了初等变换的模型，使相似变换突出了程序化 的特点。 1 3 矩阵相似变换相关概念和性质 相似变换是矩阵的一种重要变换，而矩阵在相似变换下的化简问题， 则是矩阵理论【3 2 】中的基本问题之一。 定义1 3 1 ：设a ，b c 蹦”，若有可逆矩阵p c 舣“，使 p 一1 彳尸= b ， 则称b 是彳的相似矩阵或说矩阵么与b 相似。可逆矩阵p 称为把彳变换 成b 的相似变换矩阵。 相似变换与相似变换矩阵可有如下性质： 1 等价关系：( 1 ) 反身性：a 与么本身相似 ( 2 ) 对称性：若彳与艿相似，则b 与4 相似 ( 3 ) 传递性：若彳与b 相似，b 与c 相似，则彳与c 4 哈尔滨- t 程大学硕士学位论文 相似 2 p 一( a b ) p = p 。1 ( a ) p p 卅( b ) e 3 若彳与b 相似，则彳”与口”相似( m 为正整数) 4 p - 1 ( k l a + k 2 b ) 尸= k i p 1 ( a ) p + k 2 p - 1 ( e ) p ，其中毛，k 2 是任意常数 5 若么与b 相似，则l a l = i b i 6 若彳与b 相似，且a ，b 均可逆，则a 1 与b - 1 相似 7 若4 与b 相似，i ( x ) 是多项式，则( 彳) 与厂( b ) 相似 另外，对阶方阵彳，若有可逆矩阵p ，使尸1 彳尸为对角矩阵，则称 为把方阵彳对角。 1 4 遗传算法( g a ) 遗传算法f 3 3 】( g e n e t i ca l g o r i t h m ) 是模拟达尔文生物进化论的自然选 择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过 程搜索最优解的方法，它最初是由美国m i c h i g a n 大学j h o l l a n d 教授于1 9 7 5 年首先提出来的。遗传算法是基于生物学的算法，其原理可表述为：首先， 采用某种编码【3 4 1 方式将解空间映射到编码空间，每个编码对应问题的一个 解，称为个体或染色体，再随机确定起始的一群个体，称为种群。在后续 迭代中，按照适者生存原理，根据适应度大小挑选个体，并借助各种遗传 算子对个体进行交叉和变异【35 i ，生成代表新的解集的种群，该种群比前代 更适应环境。如此进化下去直到满足优化准则。此时末代个体，经过解码， 可作为问题近似最优解。 由于遗传算法的整体搜索策略和优化搜索方法在计算时不依赖于梯度 信息或其它辅助知识，而只需要影响搜索方向的目标函数和相应的适应度 函数，所以遗传算法提供了一种求解复杂系统问题的通用框架，它不依赖 于问题的具体领域，对问题的种类有很强的鲁棒性，所以广泛应用于许多 科学，下面介绍遗传算法的一些主要应用领域： 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 函数优化。 函数优化是遗传算法的经典应用领域，也是遗传算法进行性能评价的 常用算例，许多人构造出了各种各样复杂形式的测试函数：连续函数和离 散函数、凸函数和凹函数、低维函数和高维函数、单峰函数和多峰函数等。 对于一些非线性、多模型、多目标的函数优化问题，用其它优化方法较难 求解，而遗传算法可以方便的得到较好的结果。 2 组合优化 随着问题规模的增大，组合优化问题的搜索空间也急剧增大，有时在 目前的计算上用枚举法很难求出最优解。对这类复杂的问题，人们已经意 识到应把主要精力放在寻求满意解上，而遗传算法是寻求这种满意解的最 佳工具之一。实践证明，遗传算法对于组合优化中的n p 问题非常有效。 例如遗传算法已经在求解旅行商问题、背包问题、装箱问题、图形划分问 题等方面得到成功的应用。 此外，g a 也在生产调度问题、自动控制、机器人学、图象处理、人 工生命、遗传编码和机器学习等方面获得了广泛的运用。 1 5 本文的研究内容 本文的研究内容是基于相似变换的原理来进行多自由度二阶系统的解 耦研究，即在l a n c a s t e r 结构中，通过相似变换将多自由度二阶系统的三 个系统矩阵在保持其基本特征不变的情况下进行结构变换，然后应用遗传 算法对此二阶系统进行解耦。 本文在原有理论及数值方法的基础上，从简化计算的角度出发，提出 的先基于相似变换的原理进行系统的转化然后再应用遗传算法来进行系统 解耦的思想，可将同时对角化三个系统矩阵的问题转化为更为普遍的同时 对角化两个系统矩阵的问题后，再进行系统解耦；其可将原始问题未知数 的维数降低，进而从整体上简化了问题的复杂程度。 6 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 论文第一章为绪论，阐述了本文的研究背景和研究意义，概括地介绍 了当前多自由度二阶系统解耦理论的研究状况，并对论文涉及的遗传算法 和相似变换理论进行了概述；第二章为本文的理论基础，详细地解释了多 自由度系统解耦理论需要刻划的问题，需要借助的数学模型( l a n c a s t e r 结 构) 和需要涉及的相关概念( 保结构变换和同谱流) ，并简单分析了此项研 究暂时无法大范围应用于实际的原因：论文的第三章为系统解耦时所需要 的条件分析，简明概述了应用相似变换使矩阵同时对角化时所需要受到的 条件限制，并给出了两种特殊系统的解耦条件，进而引申出本文提出的， 利用相似变换进行系统解耦在设定条件方面的优越性：第四章是本文的核 心，其在原有的理论基础之上，将相似变换引入了l a n c a s t e r 结构，把同 时对角化三个系统矩阵的问题转化为了同时对角化两个系统矩阵的问题， 并从理论上证明了这种方法的完全可行；论文第五章为引入相似变换后， 进行二阶系统解耦研究时的算法分析，其以第四章的理论为基础，对原有 的二阶系统经典解耦方法进行了改进，并运用g a 原理对其进行编程求解， 给出了其在编译时需要的主要程序块和相应的测试数据，在仿真平台上验 证了本文提出理论方法的有效性。 7 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 2 1 概论 其中 第2 章多自由度系统简化理论 对于给定的三个n x n 矩阵m ，c 和k ，寻找满足如下等式： q ( 力) = o q ( 名) = m a 2 + c i + k 的数值名和非零向量，称之为二阶特征值问题，其中力和t 分别称为 q ( 五) 的特征值和特征向量。在二阶特征值问题中，如果系数矩阵m 非奇 异，则q ( 彳) 在复数域上有2 玎个特征值。而( 五，) 的本征信息是了解力学 系统( 卜1 ) 的关键。 二阶特征值问题的研究无论是在理论证明还是从数值计算上，都是相 当完善的。而由参考资料 3 6 可知，利用l a n c a s t e r 结构研究二阶特征值线 性化问题是解决二阶特征值问题的重要手段之一。称如下( 2 1 ) 的结构为 l a n c a s t e r 结构： 由 当且仅当 三c 五，：= c 名；m ，c ，k ，= 暑m 。 旯+ ( 2 1 ) 等 名+ 乞一ol l ( v , ) = 。 c 2 2 ， 8 哈尔滨工程大学硕十学位论文 ( 2 , c + k ) p l + 名mv 2 = 0 2 mm 一峨= 0 ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 则q ( 名) 和l ( a ) 为的特征值相同。事实上，如果m 是非奇异的，有 五m = v 2 。很明显的，l a n c a s t e r 结构指出，如果q ( 允) 为自伴随矩阵，那么 三( 五) 也是。 l a n c a s t e r 结构是非常重要的，因为其已证明对于几乎所有的二阶系 统，存在非奇异的2 n x 2 n 变换矩阵f i ，和1 7 ，使 唧) ，= 2 钟+ 降 0 m d j ( 2 5 ) 其中，c d 和k d 都为对角矩阵。即，存在一个实的等价变换，其不仅 能够保持l a n c a s t e r 结构，而且可以在特征值不变的情况下将二阶系统化 为对角形式。以下本征结构是等价的： 啦蚓z 一阱陶 6 ， 这样的变换特别重要，因为它可以将多自由度系统直接转化为 个独立的 单自由度系统，并打破了原始系统之间的联系转换成了n 个保持原系统谱 性质的不相连通的子系统。如果对于任意矩阵变换矩阵兀，和n ，都能被找 出来，那么其在实际当中将是非常有价值的。由矩阵( c ，m ，d ) 到 ( c d ，d d ) 的同谱变换并不是普通的等价变换， 其描述了一个非线性关 系。若设 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 兀= 乏乞1 1 2 ，n 月= 乏：勃r 1 2 ， 其中勺和勺为，l 玎阶矩阵。则要保持乘积兀，l ( a ) r i ，的l a n c a s t e r 结构， 如下5 个等式必须满足： 而且使得 一l 弛2 + 1 1 2 m r 5 2 = 0 一f 2 。磁，+ f 2 2 红l = 0 乞l q 2 + 乞2 m r 2 + ，2 1 兜2 = 0 l q 2 + ，1 2 玩2 + 1 5 l a 吼2 = ，2 1 c r , l + t = m r l + 乞l m r 2 l l q 2 + 2 m r , 2 + 2 l m r 5 2 = 一乞l x r , 2 + 乞2 啦2 7 2 l 尺矗l + 乞2 m r 2 2 = 7 l l q l + 2 尬1 + 1 1 1 慨l = c d l l l k r , l + 2 m r ：l = k d ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 其中，c d ，为对角矩阵。 式( 2 7 ) 和( 2 8 ) 一起构成了一个 具有8 刀2 3 一个方程和8 ，z 2 个未知数的非线性代数系统，这个系统的求解并 不容易。 由上，对于多自由度二阶系统存在一个实值变换可使其化为一个对角 形式的二阶系统。对于一个二阶系统存在一系列的实值变换( 保结构变换) 可将其转化为具有相同特征的不同的二阶系统。可相信在系统转变过程中， 其能转变为一种有用的特殊结构。显而易见的，对角形式在解特征值和特征 1 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 向量问题中，是一种非常有用的结构。 2 1 1 保结构变换 保l a n c a s t e r 结构变换是一种保结构变换，这是因为对于由q ( 兄) = m 2 2 + c 兄+ 足= 0 所描述的二阶特征值问题其实等价于广义特征值问题 【3 7 ，3 8 】 其中， 则m 非奇异时有 三( 名) m ：o l 屹j 砌净瞄m i 三 ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) 若存在非奇异的2 n x 2 n 矩阵1 - i ，和i - i ，表示的等价变换保持式( 2 - 1 ) 的 l a n c a s t e r 结构，即 兀纵a n = 2 等 名+ 台一麓 使得心，c d 和k d 都为对角矩阵，则式q ( 五) = m 2 2 + c 旯+ k 表述的二 阶系统等价于完全解耦的系统【3 9 】： 允 i | = h 屹 ，j、【 哈尔滨工程大学硕十学位论文 i 、才m d + 托d + k d 、) z = 0 ( 2 - 1 1 ) 在矩阵和m 均为非奇异的情况下，特征向量和z 具有如下关系 阱n ，圈 ( 2 - 1 2 ) 且式q ( a 1 = m a 2 + c a + k = o 与式( 2 一1 1 ) 所描述的两个二阶系统是同谱 的。现对其进行简单证明。 定理2 1 1 ：若存在非奇异的2 n x 2 ”矩阵n ，和l - i ，表示的等价变换保持式 ( 2 一1 ) 的l a n c a s t e r 结构，即 删叫麓钟+ 降 0 i m d1 使得，c d 和k d 都为对角矩阵，则式q ( 兄) = m a 2 + c a + k 表述的二 阶系统等价于完全解耦的系统( 2 - 11 ) 。 证明：设数值名和向量z 满足( 2 1 1 ) 式。( 2 1 1 ) 等价于 慨针降一堋扣 n ，( 三等 名+ 乞一二 n ，( 之) = 。 1 2 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 由n ，为非奇异的变换，等式两边同时乘1 1 7 1 ，有 故有 m 0 名+ k 0 一m 。 ) 兀，( 2 z z ) = 。 ii l 厂1ij 计n ，园 变换后的l a n c a s t e r 系统矩阵有着非常清晰的结构，对于一阶系统， 这个结构可能会显得很琐碎，但对于高阶系统，完善的系统信息会由其变换 后的矩阵表现出来。这是因为初始的系统矩阵能够从变换后的系统矩阵直 接分离进而得以辨认出来。 在分析无阻尼振动或经典阻尼振动结构的时候，应用坐标变换的方法 进行分析被广泛的接受。事实上应用保结构变换也可以找到一种坐标变换 能够同时对角化三个系统矩阵。设此系统描述为： m q + c q + k q = q ( 2 - 1 3 ) 其中，q 为位移矢量，q 为力向量。 对于任意的8 个n x r t 矩阵 睨，x l ，砭，z 。，w r ，k ，k ，z r ) ，在二阶系统上 定义一个坐标变换使其表示的矩阵为保结构的，当且仅当 陉 陉 瞪 搬训鬈k 二幢剁k 0 一m 。一m 儿砭乙jl一j m o _ i f l y x 幺r = 三苫 ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) o k k o c m p。l p。，。l p。l v i i j viilvllj t 乙鼍乙 置乙 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 其中， k ，c ，m ) 为新二阶系统的系统矩阵。 当睨= 三= 乙，t = 0 = 砭，= j = 乙，x 月= 0 = k 时，显然有 k = k ，c 。= c ，m = m 如果此变换为保结构的，其一定要满足方程( 2 一1 4 ) 一( 2 1 6 ) 由方程 ( 2 - 1 4 ) ，( 2 15 ) 中的k 相等可知 w i k z + y ：k x r + y r c z r = w k w r y ：f y r x ：k r r + z r l k w r + 砭c k = 呀k 一垮崛 由方程( 2 1 5 ) ，( 2 - 1 6 ) 中的m 相等可知 ( 2 - 1 7 ) w c z , + 嘭m z r + 瑶蜮= 一x k x r + 乏尬r ( 2 - 1 8 ) x f k w 胄- i - x 三k r , 4 - z ：c w r = 一x f k x r - t - z l l 垭r 由方程( 2 - 1 4 ) ，( 2 - 1 6 ) 中的c 相等可知 x r k z r + z ：麟只+ z 三c z 胄= w d w 只+ 乃z 刃+ 巧帆 ( 2 1 9 ) 由方程( 2 1 4 ) 一( 2 - 1 6 ) 中的0 相等，可有 w r k y r + y r k w r + y c 5 = 0 x f c x 矗+ x t m z r + 砭凇r ：0 w k x 尺y z m z r = 0 x 三k w r z 三蝎= o 1 4 ( 2 - 2 0 ) 哈尔滨工程大学硕+ 学位论文 如果 睨，乙，w r ，z r ) 为秩为1 的恒等矩阵的改进，而 置，屹，) 为秩为l 的矩阵，则一定存在8 个刀维左向量 其左变换有 w l ：( i + a l b r ) ，丘= ( 气) y l = ( 气片) ，z l = ( z + g ) 同理，存在8 个刀维右向量使其右变换有 w r = ( i + a r b r ) ，=( c r a ) 匕= ( p 。) ，z r = ( j + g 。h 。r ) ， 吼，吮，气，以，e l ，无，g l ，吃) 使 ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 由( 2 - 1 4 ) 一( 2 - 1 6 ) 推导得到的第一类保结构变换，对于任意的向量 吒，钆，c ，吨，e l ，五，g 工，h l ) a r ，b r ，c r ，d r ，e r ，厶，g 詹，) ，若 a l = g 工，b l = h l ，c l = 吮= e l = 五= 0 a 矗5 9 胄，b r 则此结构为保结构的。 = h e ，c r = 喀= e r = 厶= 0 为了阐述更简单，条件可改为 w l = ( i + m l n ：) = 乙，x l = 虼= o w r = ( ，+ 聊月吃t ) = z 旯，x r = y r = o 则得到由( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) 推导得到的第二类保结构变换。 若有 ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) 对于任意的向量 吼，吮，c l ，以，e l ，五，g 。，h l ) 和 ，b r ，c 月，办，e r ，厶，g 胄，) q l 2g l 2 c l 2 e l ，n r 2g r 2 c r 2 e r 1 5 ( 2 - 2 5 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 且满足 k tq l + b r x k + f r x c2 o ，k a r + b l x k + f l x c2 0 c 。a l + d x k + 0 r + h r ) x c + f r x m = q ，c q r + d l x x + ( b l + h x c + f l x m = 0 m t n l + dr x c 七h r x m = q ，m a r + d 亭c + h l x m = q 矗：= ( a l r k a r ) ，：- - 0 5 ( a l r c a r ) ，x m ：- - ( a l 7 m a 尺) ( 2 2 6 ) 称其为保结构的。 众所周知的，二阶系统都能够推导出系统矩阵 k ，c ，m ) 的形式，而其 往往又并非为稀疏矩阵。即可能要解n 个耦合的方程。事实上即使三个系 统矩阵中任意两个矩阵是对角形式的，在求解上也没有任何优势，为了得 到确实的效率，除了化为对角形式外也可以考虑一些其他的结构 4 1 - 4 4 】。 2 1 2 同谱流 g a r v e ya n dp r e l l s 曾经提出了同谱系统和同谱流的概念，并给出了 同谱流的实现条件。对于任意的两个系统p ( x ) 和q ( x ) ，如果存在某个非 奇异的保结构变换使得他们互相转换，则称这两个系统是同谱的。而同谱 流是由实数t 定义系统的一个轨迹 鸽( 吐a t ( t ) ，a ：( 讲，其随着t 的变化而变 化，但是对于任意的，一定有矩阵 鸽( f ) ，4 ( 0 ，a 2 ( t ) ) 与 4 ( o ) ，4 ( o ) ，4 2 ( o ) ) 为同谱的。 在文献 3 】中，通过保结构同谱流的引入建立了一个反馈控制系统。由 其可知如下描述的同谱流方法不但可以保持l a n c a s t e r 结构和保其同谱不 变，更能进一步加强矩阵同时对角化的能力。 对于( 2 一1 ) 式描述的l a n c a s t e r 结构，令 f k a = l l0一： 1 6 ( 2 - 2 7 ) 哈尔滨工程大学硕七学位论文 b ：r - c 【m ( 2 2 8 ) 考虑保结构变换的参数矩阵互( f ) ，疋( t ) 的特征，有互( 0 ) = 瓦( 0 ) = ，。 在a ，b 上的保结构变换可各自表示为 么( f ) = 互( f ) 么疋( t ) b ( f ) = 互( t ) b t ( f ) ( 2 - 2 9 ) 由( 2 2 9 ) 可知，只要瓦( t ) ，五( t ) 非奇异，且a 和么( f ) ，b 和b ( f ) 同谱对 互( t ) 和疋( t ) 各自进行一系列特定的变换，有如下微分系统： 掣剥砸，= 匮乏 掣剥地，= 匮心r 1 2 乞和均为各自矩阵i 行列的参数阵。 式( 2 3 0 ) 又可表式为 a = 巧以矗+ 互4 丁j r = ，7 彳+ 艘 b = 巧玩疋+ 冕鼠丁月= ，7 b + b r a ( t ) 和b ( t ) 保持l a n c a s t e r 结构，因为 彳c r ，= k 苫一二， 1 7 ( 2 - 3 0 ) 哈尔滨工程大学硕十学位论文 则 础，_ 勰 0 i 一焉+ 弛，一乌m + k _ r 。： 一必( f ) l 一【砭k 一慨，一砭m 一皿：j l cm i i 焉c + 衄l + 鼍1 m + ) 1 4 t 2 1 焉m + m r 2 2 + 1 2l i 必0 l - 与r z c + m r l 。+ l r 2 mi - 乏2 m + m r l ：j ( 2 - 3 1 ) 若等式成立，厶和心一定满足如下5 个矩阵一定被满足： k r l 2 一巧m = o 葺2 + m r l 2 = 0 焉m 一鹾2 m + c r l 2 = 0 ( 2 3 2 ) 簟l m e 2 肘+ 吼2 = 0 m r l l 一m r 2 2 + e 2 c = 0 由式( 2 3 2 ) 可知，8 以2 个矩阵组成了5 刀2 个等式。其是比( 2 - 7 ) ，( 2 - 8 ) 更简 单的系统。它的解空间包含了3 门2 个可以自己定义的自由参量，即要t l ( t ) 和 疋( t ) 可以由3 个参数矩阵所表示。 事实上，假设矩阵m ( t 1 是不可逆的，即我们能由如下关系定义第一个 参量为d ( t 1 ： r 1 2 ( f ) = 一d ( t ) m ( t ) 由代数计算可知，系统( 2 - 3 2 ) 的解并不能被推出，其可表示为： r 1 l = 一d m 恐1 = d k 1 8 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 和 厶2 = d 7 1 m r 厶l = - d 7 k r 厶l 一厶2 = d r c r 墨l r 2 2 = 一d c ( 2 - 3 3 ) ( 2 3 4 ) 既然我们得到了这些等式，我们就可以说即使没有m ( t ) 非奇异的假设， 由( 2 - 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 定义的矩阵仍然满足( 2 - 3 2 ) 的系统。注意方程( 2 - 3 4 ) 其 暗示了另外2 个自由参数矩阵。 有几种不同的方法可进行1 ( t ) 和r ( t ) 的矩阵块对角化。文献 3 中的方 法根据如下的关系定义，( f ) 和r ( t ) ： ，= _ f d r = l l0 生m t 2 _ k r 一竺 2 c m 2 k c 2 + 瞄 + 瞄 ( 2 - 3 5 ) 矩阵虬( f ) ，m ( f ) 和d ( f ) 是自由参数矩阵。将，和r 带入到微分系统方程 ( 2 3 1 ) ，就会得到由( m ( f ) ，c ( f ) ，k ( f ) ) 控制的自动系统