（光学工程专业论文）边界面法的单元实现及其在复杂结构分析中的应用.pdf

博士学位论文 摘要 c a d c a e 一体化已成为机械工程领域的一大研究热点。当前c a e 技术以 有限元法为主体，c a e 分析模型是利用网格生成工具在c a d 模型上通过离散生 成的。两者模型表达方式完全不同，前者是离散的近似网格模型，而后者是连续 的参数模型。因此，尽管在很多c a d 软件中加入了c a e 分析模块，但不能从根 本上实现这两者的无缝集成。为此，本文基于边界面法，在c a d c a e 集成的理 论和程序实现技术方面做出一系列系统的尝试和探索。在理论方面，利用位于参 数空间的曲面单元实现边界面法，使该方法与c a d 造型系统中的边界表征数据 结构完全融合。在技术方面，通过解决一些关键性问题以真正达到分析与c a d 模型的无缝连接。基于这两方面内容，本论文完成了如下研究工作： ( 1 ) 利用曲面单元实现边界面法。最初边界面法是基于散乱点通过移动最小 二乘插值实现的一种无网格方法。然而，该插值方法存在大量的矩阵运算，计算 效率低，而且插值精度依赖于点的分布质量，不利于实际运用。对复杂结构散乱 点的分布仍然需要预先给定的网格确定。因此，选择直接基于网格单元采用多项 式插值实现边界面法，能有效地提高计算效率和适用于更为复杂的几何结构。新 的实现跟边界元法非常类似，即以边界积分方程为理论基础和利用多项式插值。 但是，曲面单元跟计算机图形学中的曲面参数坐标保持一致，位于曲面的参数空 间，不同于传统的边界单元。曲面单元只用来插值和积分，不用来近似结构的几 何形状。积分单元上的几何信息，如高斯积分点坐标、法向量等，都是由曲面方 程精确计算。由于基于边界表征模型的表面是以参数形式表达的，因此利用这类 曲面单元可以使分析模型与c a d 模型保持一致，能实现边界面法与c a d 系统 的无缝连接。 ( 2 ) 为分析三维薄型结构，提出了一种新的非线性距离变换方法计算近奇异 积分。该方法可以用统一的公式精确计算不同类型单元上弱、强近奇异积分，如 平面单元、曲面单元、三角形单元和长条形单元等。首次利用一种新的局部坐标 系处理近奇异积分。该坐标类似于极坐标，但在具体实现中很简单，没有像极坐 标那样需要对每个子三角形计算坐标变量的范围。新方法的计算精度对投影点在 单元的相对位置不敏感，即使计算所用的投影点位置与理想位置有一定偏差，计 算结果仍然是精确可靠的。 ( 3 ) 利用c + + 语言开发了实体表面网格自动生成的程序。设计了相应的c + + 类实现网格数据管理、边界曲线离散、网格空间尺寸控制和网格生成算法。在网 格生成算法中，具体实现和改进了推进波前法，并将该方法扩展到周期曲面的网 i i 边界面法的单元实现及其在复杂结构分析中的应用 格生成和具有硬点、硬线的网格自动生成。利用c + + 标准模板库的基本数据结构 设计网格管理类，能够实现网格基本元素快速动态存储、访问和连接关系的快速 查询。精心地设计了波前法的前沿管理数据结构，能够快速实现前沿数据的动态 更新和查找邻居前沿、节点。 ( 4 ) 开发了基于单元实现边界面法的核心程序框架，并将分析程序集成于 u g 的建模环境中。在该环境中，直接基于c a d 模型完成了大量的数值算例。 算例说明论文实现的边界面法不但具有很好的收敛性，而且能获得较高的精度。 对同一离散方案，该方法的精度高于传统边界元法的，特别是当网格较稀疏时表 现更为明显。跟有限元法比较，说明了边界面法可以用较少曲面单元就能获得需 要用较多体单元有限元法计算结果的同等位移精度，并且应力精度还比有限元法 高。此外，本文方法可以简单精确地模拟具有细小特征的复杂结构。可以直接基 于三维位势或弹性理论求解均匀或非均匀厚度的薄型和超薄型结构。 ( 5 ) 为了有效地分析含细小孔洞的复杂结构，提出了位于小孔表面参数空间 的管道单元。能用少数细长管道单元在几何上精确地表达任意形状的管状通孔。 在管道的圆周方向上采用三角函数作为形函数，在长度方向上采用一次或二次多 项式形函数。此外，为了避免用大量单元表达与孔相交的端面，提出了含负面区 域的三角形单元。利用这两类特殊单元，大大地降低了网格生成难度和计算时间、 内存等需求。 关键词：边界积分方程；边界面法；边界表征数据结构；曲面单元；c a d c a e 集成 i i i 博士学位论文 a b s t r a c t t h es e a m l e s si n t e g r a t i o no fc a da n dc a ei sah o tr e s e a r c hn e l di nm e c h a n i c a l e n g i n e e r i n g i th a si o n gb e e nr e c o n g n i z e dt h a tt h e 矗n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) i s t h em o s tb a s i cc a et e c h n i q u e i nt h i sm e t h o d ，t h ec a em o d e li sg e n e r a t e df r o ma r e l a t e dc a dm o d e lb ym e s h i n gt o o l s t h e s et w om o d e l sa r et r e a t e da ss e p a r a t e d m o d u l e s ， n a m e l y ， t h ef o r m e ri s ad i s c r e t em o d e l r e p r e s e n t e db y e l e m e n t s a p p r o x i m a t i v e ly ， w h i l et h e1 a t e ri s ac o n t i n u o u sm o d e lw i t hm a t h e m a t i c a l r e p r e s e n t a t i o n a l t h o u g ht h ec a et e c h n i q u e sw e r ei n c o r p o r a t e d i n t ot h em o s to f c a dp a c k a g e s ，t h ei n t e g r a t i o no ft h e i rm o d e l sh a sn o tb e e nc o m p l e t e di ne s s e n c e t h e r e f o r e ， t h i sd i s s e r t a t i o nc o n d u c t ss o m eu s e f u lr e s e a r c h e sa n dt r i a l s o nt h e s e a m l e s si n t e g r a t i o no fc a da n dc a ei nt e r m so ft h e o r i e sa n dp r o g r a m m i n g t e c h n i q u e so nt h eb o u n d a r yf a c em e t h o d ( b f m ) f i r s t l y ，a ne l e m e n ti m p l e m e n t a t i o n o ft h eb f mi sp r o p o s e db yu s i n gs u r f a c ee l e m e n t s ，w h i c ha r el o c a t e di nt h e p a r a m e t r i cs p a c eo fas u r f a c e ，r e s u l t i n gi nt h em e t h o ds e a m l e s s l yi n t e r a c t i n gw i t h t h eb o u n d a r yr e p r e s e n t a t i o n ( b r e p ) d a t a t h i sd a t ai su s e di nm o s tc a dm o d e l i n g o nt h eo t h e rh a n d ，d e s i g na n da n a l y s i sa r et i g h t l yi n t e g r a t e di n t oac o n l p l e t e l y u n i n e df r a m e w o r kb ys o l v i n gs o m er e i a t e dk e yp r o b l e m s a sar e s u l t ，t h ef o l l o w i n g s t u d i e sa r ec a r r i e do u ti nt h i sd i s s e r t a t i o n ( 1 ) t h eb f mi si m p 】e m e n t e db yu s i n g s u r f a c ee l e m e n t s t h e6 r s t i m p l e m e n t a t i o no ft h eb f mi s c o n s i d e r e da sam e s h l e s sm e t h o d ，i nw h i c ht h e m o v i n gl e a s t s q u a r e sa p p r o x i m a t i o n ( m l s ) i se m p l o y e d h o w e v e r t h em l s n e e d s t op e r f o r mal o to fm a t r i xo p e r a t i o n s ，t h u sw i t hl e s se m c i e n c y i na d d i t i o n ，t h e a c c u r a c yf o rt h em l s i sd e p e n d e n to nt h eq u a l i t yo ft h ed i s t r i b u t i o no fd i s c r e t e n o d e s f o rc o m p l e xs t r u c t u r e s ，t h e s ed i s c r e t en o d e sa r ec o n s t r u c t e de l a b o r a t e i yb y e x i s t i n gb a c k g r o u n dm e s h t h e r e f o r e ，t h ep o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o nd i r e c t l yb a s e d o nt h ee l e m e n t sm a yb eab e t t e ro p t i o nt h a nm l s f o rt h eb f mu s e di na n a l y s i so f t h ep r o b l e m sw i t hc o m p l e xs t r u c t u r e s t h en e wi m p l e m e n t a t i o ni sm u c hl i k et h e b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ( b e m ) ，b e c a u s et h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ( b i e ) a n d e l e m e n t sa r ec o m m o n l vu s e di nb o t hm e t h o d s h o w e v e r ，i no u ri m p l e m e n t a t i o n ， s u r f a c ee l e m e n t sa r er e p r e s e n t e db yp a r a m e t r i cc o o r d i n a t e s ，w h i c hi se x a c t l yw i t h t h er e p r e s e n t a t i o no ft h es u r f a c ei nt h ec o m p u t e rg r a p h i c s s u r f a c ee l e m e n t sa r e u s e do n l yf o rb o u n d a r yi n t e g r a t i o na n dv a r i a b l ea p p r o x i m a t i o n ， b u tn o tf o r 边界面法的单元实现及其在复杂结构分析中的应用 g e o m e t r ya p p r o x i m a t i o n t h eg e o m e t r i cd a t ai ni n t e g r a t i o ne l e m e n t s ，s u c ha s t h e p h y s i c a lc o o r d i n a t e sa n do u tn o r m a l s ，a r ec a l c u l a t e da c c u r a t e l yf r o mt h ef o r m u l ao f ap a r a m e t r i cs u r f a c e a sa l ls u r f a c e sa f er e p r e s e n t e db yp a r a m e t r i cf o r m si nt h e b r e pd a t a ，t h ec o m p u t a t i o n a lm o d e lu s e di nb f m c a nb ed i r e c t l yb a s e do nt h ec a d m o d e lb yu s i n gt h es u r f a c ee l e m e n t s ，t h u st h eb f mc a ns e a m l e s s l yi n t e r a c tw i t h c a ds o f t w a r e ( 2 ) t bd e a lw i t ht h i ns t r u c t u r e sb a s e do nt h r e e d i m e n s i o nt h e o r ye f f 色c t i v e l y ，a n o v e ln o 1 i n e a rd i s t a n c et r a n s f o r m a t i o ni sp r o p o s e dt oc o m p u t en e a r l ys i n g u l a r i n t e g r a l s t h i su n i f o r mt r a n s f o r m a t i o nc a na c c u r a t e l yc a l c u l a t et h ei n t e g r a l sw i t h n e a rw e a ka n ds t r o n gs i n g u l a r i t i e so v e rd i f f e r e n tt y p e so fs u r f a c ee l e m e n t s ，s u c ha s t r i a n g u l a re l e m e n t sa n dq u a d r i l a t e r a le l e m e n t sw i t hp l a n a ro rc u r v e ds h a p e s an e w l o c a lc o o r d i n a t es y s t e mi si n t r o d u c e dh e r en r s t l 夕i t si m p l e m e n t a t i o ni ss i m p l e rt h a n t h a to ft h ep o l a rs y s t e mb e c a u s et h ec o o r d i n a t ev a r i a b l e so ft h en e ws y s t e ma r e l i m i t e di n t oa6 x e ds p a n t h u s ， t h e r ei sn on e e dt oc a l c u l a t et h e i rs p a n so v e r d i f 亿r e n tt r i a n g u l a rp a t c h e s t h ea c c u r a c yo ft h en e wm e t h o di sm u c hl e s ss e n s i t i v e t ot h ep o s i t i o no ft h ep r o j e c t i o np o i n tt h a nt h ec o n v e n t i o n a lm e t h o d t h i si st os a y ， o u rm e t h o dc a ns t i l lo b t a i na c c u r a t er e s u l t se v e ni fap r o je c t i o np o i n ti sal i t t l ef a r a w a yf r o mt h ei d e a lp r o je c t i o np o i n t ( 3 ) u s i n gc + + c o d e s ，t h ep r o g r a mf o ra u t o m a t i c a l l yg e n e r a t i n gs u r f a c em e s h o v e rt h es o l i db o u n d a r yi sd e v e l o p e d s o m es p e c i a lc + + c l a s s e sa r ed e s i g n e dt o p e r f o r m i n gd i f 俺r e n tt a s k sn e e d e di no v e r a l lm e s hg e n e r a t i o n ，s u c ha s m e s hd a t a m a n a g e m e n t ，c u r v ed i s c r e t i z a t i o n ，n o d a ls p a c i n gc o n t r o la n dt h ei m p l e m e n t a t i o no f a n ym e s h i n gm e t h o d t h ea d v a n c i n gf r o n tm e t h o d ( a f m ) i si m p r o v e da n de x t e n d e d t oa p p l i c a t i o nt ot h ec l o s e ds u r f a c em e s hg e n e r a t i o na sw e l la ss u r f a c e m e s hw i t h h a r dp o i n t so rh a r dl i n e s at o o lf o rm e s hd a t am a n a g e m e n ti sd e v e l o p e du s i n gt h e s t a n d a r dt e m p l a t el i b r a r y ( s t l ) i nv i s u a lc + + t h i st o o lc a nv e r ye f f i c i e n t l yh a n d l e m a n yt y p e so fs t o r a g e sa n dq u e r i e so f t h em e s he n t i t i e sa sw e ua st h e i rc o n n e c t i v i t y r e l a t i o n s h i p s a n o t h e rt o o lf o ro r g a n i z i n g t h ed a t ac o n t a i n i n gal a r g en u m b e ro f f r o n t si nt h ea f mi sa l s od e v e l o p e d t h ed a t a ，i n c l u d i n gn o d e sa n df r o n t s ，c a nb e u p d a t ea n dq u e r i e dq u i c k l yb y t h i st 0 0 1 ( 4 ) ak e r n e lp r o g r a mf r a m e w o r kf o rt h ee l e m e n ti m p l e m e n t a t i o no f t h eb f mi s d e v e l o p e d a n da l s o i n t e g r a t e d i n t ot h e u n i g r a p h i c s( u g )m o d e l i n g s y s t e m s u c c e s s f u l l y i nt h es y s t e m ，al a r g en u m b e ro fn u m e r i c a le x a m p l e sa r et a k e n t h e e x a n l p l e ss h o wt h a to u rm e t h o dh a sh i g hc o n v e r g e n c e r a t ea n do b t a i n sh i g ha c c u r a t e r e s u l t s c o m p a “n gw i t ht h ec o n v e n t i o n a lb e m ，t h eb f m c a np r o v i d em o r ea c c u r a t e v 博士学位论文 r e s u l t st h a nt h eb e m ，e s p e c i a l l yi nt h ec a s ew h e r em e s hi sv e r yc o a r s e c o m p a r i n g w i t ht h ee f m ，t h eb f mw i t has m a l l e rn u m b e ro ft h ee l e m e n t sc a nk e e pr e s u l t sw i t h t h es 锄el e v e lo fd i s p l a c e m e n ta c c u r a c yw i t ht h ee f m ，b u tp r o v i d e sm o r ea c c u r a t e s t r e s s e st h a nt h a to ft h ee f m i na d d i t i o n ，o u rm e t h o da n a l y z e st h ec o n l p l i c a t e d s t r u c t u r e sw i t hs m a l lc o n f i g u r a t i o n si nas i m p i yw a y t h ep r o b l e m sw i t ht h i na n d s u p e r 。t h i ns t r u c t u r e so fu n i f o r mo rv a r i a b l e t h i c k n e s sa r ea l s os o l v e de f f 色c t i v e l y b a s e do nt h r e e - d i m e n s i o n a lp o t e n t i a lo re l a s t i ct h e o r y ( 5 ) f o rt h e p u r p o s eo fa n a l y s i s o fc o m p l e xs t r u c t u r e si n c l u d i n gs m a l l o p e n e n d e dh o l e sw i t hb e t t e re f f i c i e n c y ，an e wt u b es u r f a c ee l e m e n ti sp r o p o s e d ， w h i c hi sl o c a t e di nt h ep a r a m e t r i cs p a c eo fat u b es u r f a c e t h es l e n d e rt u b u l a rh o l e c a nb er e p r e s e n t e dw i t has m a l ln u m b e ro ft h e s ee l e m e n t s w h i l ek e e p st h ee x a c t g e o m e t r y i ne a c ht u b ee l e m e n t ， t h ef i e l dv a r i a b l e sa r ei n t e r p o l a t e db y t h e t r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n sa l o n gt h ec i r c u m f e r e n c et o g e t h e rw i t ha1 i n e a ro rq u a d r a t i c p o l y n o m i a lf u n c t i o n sa l o n gt h el o n g i t u d i n a ld i r e c t i o n t om o d e lt h ee n d f a c e st h a t a r ei n t e r s e c t e db yt h et u b u l a rh o l e s ，as p e c i a lt r i a n g u l a re l e m e n tw i t hn e g a t i v ep a r t s i sp r o p o s e d u s i n gt h e s et w os p e c i a lt y p e so fe l e m e n t s ，b o t hm o d e l i n ge f f o r t a n d c o m p u t a t i o n a lr e q u i r e m e n t s ( s u c ha sm e m o r y a n dt i m e ) a r es a v e ds u b s t a n t i a u y k e yw o r d s ：b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ； b o u n d a r yf a c em e t h o d ；b o u n d a r y r e p r e s e n t a t i o nd a t as t r u c t u r e ；s u r l a c ee l e m e t ；c a d c a ei t e g r a t i o n v i 博士学位论文 1 1 选题的依据和意义 第1 章绪论 近年来由于计算机、数值计算技术的迅猛发展，c a e ( 计算机辅助工程) 分 析在指导产品设计、提高质量、降低开发成本和缩短开发周期上发挥着日益显著 的作用。c a e 技术已成为实现工程、产品创新不可缺少的一项核心技术【l - 6 1 ，对 我国制造业和国民经济的发展具有举足轻重的意义。c a e 技术的特点是以工程 和科学问题为背景，以力学和数学为基础理论，建立数学模型并利用计算机进行 模拟分析。一方面，c a e 技术的应用，使许多过去受条件限制无法分析的复杂 问题，通过计算机数值模拟得到满意的解答；另一方面，计算机辅助分析使大量 繁杂的工程分析问题简单化，使复杂的过程层次化，节省了大量的时间，避免了 低水平重复的工作，使工程分析更快、更准确。同时c a e 这一新兴的数值模拟 分析技术的迅猛发展推动了许多相关的基础学科和应用科学的进步【l 6 j 。 现在几乎所有的c a d ( 计算机辅助设计) 商家都认识到了c a e 的重要性， 先后在c a d 环境中加入c a e 模块，充分体现了设计分析一体化这一c a d c a e 集成的发展趋势。然而，这些商家基本上只能在c a d 软件中简单地插入c a e 分析模块，以扩充软件功能，不能从根本上实现两者无缝集成。当前c a e 技术 以有限元法为主体，c a e 分析模型由现有的c a d 模型转化得到。这两者模型表 达完全不同，前者是离散的网格近似模型，而后者是连续的参数模型1 7 1 。 c a e 模型是利用网格生成器在c a d 模型基础上生成的，并利用网格近似原 有的c a d 几何。对复杂结构，模型转化是一件费时、费力的事，并且容易出错。 两者模型的分离，使几何造型和结构分析成为两个互相独立的过程，非常不便于 设计工程师反复修改和测试设计变量【1 1 】。在c a e 自适应计算中需要反复地与 c a d 系统进行交互，由于两者模型表达形式不同，使得每个阶段的交互较复杂。 分析所用的几何数据是基于网格单元通过分段多项式插值近似的，当网格稀疏 时，会产生明显的几何误差。几何误差从根本上会导致计算精度降低，甚至对有 些计算结果起着决定性的影响2 ，”j 。 为了克服上述缺点，h u 曲e s 等【1 2 。4 】提出了基于非均匀有理b 样条( n u r b s ) 的等几何分析方法，利用n u r b s 函数共同表达c a d 模型和有限元计算模型， 实现c a d c a e 无缝集成。w a n g 【巧】通过几何细分方法使边界元法与c a d 几何融 合一体。b h a v y a 【1 6 1 利用b 样条单元分析板弹性问题。b a z i l e v s 等【”】提出了基于 t s p l i n e 的等几何分析方法，并成功地运用于二维及三维流体和结构力学分析。 边界面法的单元实现及其在复杂结构分析中的应用 c i r a k 等【1 7 1 利用细分造型中的盐面单元分析薄板变形问题等。这些方法在 c a d c a e 集成方面提供了一些新的思路，并且取得了一些有价值的研究成果。 但是，等几何分析需要对结构进行三维参数化离散，对于复杂结构得到合理的离 散仍是一个挑战性难题。基于细分造型方法在一定程度上集成了用于分析和设计 的模型，但细分方法是一种几何近似建模方法，未能从根本上保证计算模型的精 确性。国内，张见明教授【l 弘2 3 】提出了一种边界类型的无网格法一杂交边界点法， 所有计算直接在c a d 模型的边界曲面上进行。但该方法仍然面对如何合理分布 散乱点、计算效率低等无网格法本身的缺陷，不利于实际运用。 本文利用论文作者指导老师张见明教授【2 4 五6 】提出的边界面法( b o u n d a r yf a c e m e t h o d ，b f m ) 实现c a d c a e 无缝集成。该方法是在杂交边界点法【埔。2 3 j 及 m u k h e r i e e 等【2 7 之8 】提出的边界点法基础上发展而来一种新的无网格法。与边界点 法一样，该方法以边界积分方程为基础理论，基于散乱点利用移动最小二乘插值 方法近似场变量，利用背景单元进行数值积分。但在具体实现上完全不同于边界 点法，边界面法的实现是直接建立在计算机图形学中的边界表征【2 9 】( b o u n d a r y r e p r e s e n t a t i o n ，b r e p ) 几何造型数据结构，因此可以做到与c a d 系统无缝集成。 然而，基于散乱点插值实现的边界面法具有无网格法本身固有的缺点。首先， 基于散乱点插值方法的计算效率低。例如，移动最小二乘插值存在大量的矩阵运 算【2 4 ，2 7 2 引，尽管可以获得高精度的计算结果，但效率远远不如基于单元的分段 多项式插值。其次，插值精度较依赖于散乱点的分布质量和所选的经验参数( 如 确定局部插值区域的半径等) ，不利于实际运用。再次，对稍微较复杂的结构， 散乱点的分布还是要通过预先生成的网格来确定。这意味着这些无网格法在真正 实现上还是离不开网格生成，从而失去了无网格法自身的优势。最后，用于积分 的背景单元，尽管其形状和连接关系没有像网格单元那样的严格要求，但它们的 合理确定还是离不开网格。 考虑上述因素，直接基于单元的多项式插值是最佳选择，既能提高计算效率， 又能适用于复杂结构【2 6 1 。因此，本论文利用曲面单元实现边界面法，即以曲面 单元作为用于边界积分和变量插值的基本单位。以这种方式实现的边界面法，跟 边界元法【3 啦3 2 】非常类似，可以看成是边界元法直接基于结构c a d 几何模型的一 种新实现。边界面法中的曲面单元位于曲面的参数空间，不同于边界元法中的边 界单元，曲面单元只用来积分和插值，不用来近似结构几何形状。本论文方法继 承了以边界积分方程为基础的边界类型方法的许多优良特点。例如，它只需要对 实体边界进行离散，使求解问题域降低一级，很大程度上简化了网格生成过程。 可以采用非连续单元，不要求网格单元像有限元法中的单元那样必须的连接性要 求。计算结果精度高，在分析弹性问题时应力与位移具有同等精度。也可以方便 地求解无限域和奇异性等问题。重要的是，这方法分析所用的计算几何数据直接 2 博士学位论文 来自于原始的c a d 模型，自然地与c a d 系统无缝连接。 有限元法采用抽象简化的数学模型后，通常利用一维单元处理细长结构，板 壳单元处理薄型结构，而且忽略很多局部细小结构。采用抽象单元后，在处理含 薄型、细长结构的块状实体时，需要人为地处理不同类型单元间的连接关系，造 成计算模型失真。在结构的细小结构处，往往是应力集中的地方，忽略之后就很 难反映整体应力分布。由于实际结构都是三维，在分析中可以把所有的结构都当 三维实体处理。这样使结构的拓扑变得简单，即只有一个三维实体或实体与实体 之间的接触和连接，可以利用一致的单元对结构进行离散，有利于实现完全自动 分析。鉴于此，张见明1 2 5 j 提出了直接在三维结构上进行模拟的完整实体c a e 分析的概念。本论文利用边界面法达到完整实体c a e 分析目的。 1 2 有限元技术的固有缺陷 首先，由于c a d 几何模型与c a e 分析模型相互独立，几何模型是连续的参 数模型而c a e 模型是离散的网格模型，因此在进行c a e 分析前需要将c a d 模 型转化成一个离散的网格近似模型【8 1 0 】。对于复杂几何结构，这种转化过程相当 复杂而且容易出错。一般来说网格生成过程大约占整个c a e 分析时间的8 0 。 例如，建立一个合适的汽车整车网格模型大概需要长达4 个月的时间。如果能大 幅度降低网格生成所需时间，甚至不需要在c a d 模型上另外生成网格，就能大 大缩短整个c a e 分析时间，进而显著提高设计效率。此外，几何近似带来的几 何误差在很多场合【1 2 1 3 】( 如结构稳定性分析、流体力学计算) 会严重降低计算 精度。 c a d 和c a e 模型的相互分离，使结构设计和结构分析成为彼此独立的过程， 非常不便于反复修改和测试设计变量。在产品的设计初始阶段，对产品设计变量 修改是经常的。目前c a e 分析大多用于设计方案的验证，很难主动融入到产品 创新设计过程中。因此，在结构设计过程的每个阶段为设计工程师提供相应的 c a e 分析功能，即设计和分析能同时进行，可以方便地修改和测试设计变量， 是缩短产品设计周期、提高产品质量和降低开发成本的关键举措之一。实现设计 和分析一体化的c a d c a e 系统已成为发展趋势【l 弓j 。 其次，有限元方法中使用大量抽象数学单元f 8 。9 】( 成熟的商业有限元软件中 的单元种类多达上百种) ，如梁单元、壳单元、杆单元、弹簧等。单元种类越多， 显示软件功能越强大。但从使用者的角度讲，过多的单元种类反而成为不利因素。 由于这些单元都基于一定的假设，要求使用者具备比较深厚的理论基础，必须了 解各种单元的适用范围和计算误差估计，以便对不同结构采用合理的单元类型和 对分析结果给出合理解释。因此，只有具备较好的理论基础和丰富工程经验的工 程师才能对复杂结构( 汽车、船舶等) 进行有效的分析。这是目前有限元技术在 边界面法的单元实现及其在复杂结构分析中的应用 国内企业难以推广的另一个重要原因。而且，这些单元假设会降低计算精度，特 别是在容易产生应力集中的结构连接处。如图1 1 显示了建筑外用电梯的一个标 准节。对于这样的复杂刚架结构，有限元法一般采用梁单元模拟，离散后的计算 模型与实际结构在几何和拓扑上都存在着很大的差别，以致得到的变形结果相对 较精确，而应力精度却很差，更不能得到焊缝应力的精确值。焊缝应力的大小更 为设计工程师所关心，因为焊缝通常是应力集中点，也是实际中大多数结构破坏 的源发点。如图1 2 所示的带基座的薄型圆柱壳体结构，具有薄型、块体和细小 倒圆角特征的几何结构。对该结构，有限元法通常为避免使用大量的体网格，在 薄型结构处采用板壳单元，而在块体处采用实体单元，同时将细小圆角忽略。这 样划分网格后，就需要处理不同类型单元之间的连接，又要引入新的假设，使得 连接处的应力计算精度基本丧失。 图1 1 建筑外用电梯标准节及其梁单元模型 图1 2 带基座的薄型圆柱壳体结构及其壳和实体单元模型 4 博士学位论文 最后，有限元法的实现是基于所求问题控制方程和边界条件的等效积分“弱” 形式，其试函数( 一般为插值函数) 要求至少具有一阶连续性。在有限元分析中， 通常是先求出单元节点位移，然后通过对位移求导计算出应力，导致应力精度总 是比位移精度低一阶。有限元法计算结果的位移精度较好，但应力精度往往较差， 然而在实际工程问题中更关注应力，比如应力集中部位及其最大值。试函数的一 阶连续性要求增加了单元构造的困难，并导致一系列内在矛盾【8 。9 】：协调元与非 协调元之间的矛盾、精确积分与锁死之间的矛盾、缩减积分与零能模式之间的矛 盾等。 1 3 基于有限元法的c a d c a e 一体化尝试 c a d c a e 一体化是所有c a e 软件开发者和使用者梦寐以求的c a e 软件的 最高境晃【1 ，2 。c a d c a e 一体化包括两个方面：c a d 几何模型自动转化为c a e 分析模型和c a e 分析结果直接返回到c a d 环境修改或改进设计。关于第一个方 面，可以说自第一个c a e 软件诞生之日起，人们就投入大量人力物力进行研究， 从网格自动划分到结构特征识别，虽已取得丰硕成果，但由于本质上的巨大困难， 到目前还没有彻底解决问题。第二个方面的实现更加困难。这是由于当c a d 模 型转化为网格模型后，c a d 原始的几何拓扑信息基本丢失，为了能够返回到 c a d ，目前一种流行的做法是在c a e 模型生成时加入与c a d 模型关联的拓扑 信息。这种人为的修补也不能从根本上解决问题。 为了克服由c a d 模型和c a e 模型互相独立导致网格生成、自适应网格细分 的困难和几何误差对计算结果的影响，国际计算力学权威h u g h e s 教授等【l 2 】提出 等几何分析方法。该方法采用相同的n u r b s 函数表达几何结构和求解物理场， 统一了两者模型。他们对该方法的收敛性、自适应分析等方面进行了系统的研究， 并成功地运用于求解结构静力学、流体动力学及流固耦合等问题。然而，基于 n u r b s 模型不可避免地在曲面相交处存在缝隙或重叠，重新带来了网格生成难 题。为了解决这些难题，b a z i l e v s 等【1 3 】提出了基于t s p l i n e s 实现等几何分析。 t s p l i n e s 不依赖于全局张量积表达形式，可以更自由地表达几何的局部细节，能 解决曲面间的缝隙、重叠问题。尽管t s p l i n e s 克服了n u r b s 存在的一些问题， 但还是未能从根本上解决网格生成难题。对任意三维分析模型，如何将二维 t s p l i n e s 曲面表征转化为三维t s p l i n e s 实体网格模型是一个更具有挑战性的难 题。同样，对基于n u r b s 的等几何分析，对任意拓扑结构生成三维n u r b s 模 型也相当复杂【1 2 。13 1 。此外，机械零件结构大都是由简单的解析面构成( 如平面、 圆柱面、球面等) ，将这些简单的解析面都用t s p l i n e s 或n u r b s 来表达既不 经济，也不方便。事实上，当前流行的主要c a d 造型系统( 如u gn x 、p r o e 和c a t i a 等) 都是同时兼容各种曲面造型。 边界面法的单元实现及其在复杂结构分析中的应用 等几何分析方法也不能实现真正的c a d c a e 一体化，其根本原因是该方法 仍然利用有限元法的变分格式，仍然需要相应的实体网格。其几何表达仍然是一 种网格近似