（控制理论与控制工程专业论文）特征结构配置方法在飞控系统设计中的应用.pdf

摘要 现代高性能飞机对飞行控制系统提出了更高的要求，使用古典控制理论设计 先进飞机的飞行控制系统则变得日益困难。为了获得更好的飞行品质，许多现代 控制方法被应用到飞机飞行控制系统中。本文在深入研究现代控制方法( 特征结 构配置方法) ，并将该方法应用在常规飞机、推力矢量飞机和采用直接力控制飞 机的飞行控制系统设计中。 论文的主要研究内容如下： 着重研究了如何将特征结构配置方法成功地运用到飞行控制系统设计中，并 给出了特征结构配置设计的具体步骤。以某常规飞机为例对飞机纵向、侧向许多 飞行模态( 俯仰姿态保持、高度保持、纵向着陆、协调转弯、航向保持、侧向偏 离修正和给定航迹控制) 进行了设计与仿真；所设计的飞行控制系统均达到了一 级飞行品质；并开发了界面良好、操作方便的飞行控制律设计软件包。 用一种改进的特征结构配置方法对某先进推力矢量飞机纵、侧向飞行控制系 统进行了设计。该方法是在采用输出反馈配置系统的闭环特征值和特征向量的同 时，引入了前馈补偿器和积分器。用这种改进方法所设计的系统不仅具有良好的 快速跟踪特性，而且还具有良好的鲁棒性。而且该系统还可实现绕三个轴滚转的 动态过程完全相同。 对主动控制飞机，先用特征结构配置方法进行了直接升力模态的设计；然后 应用一种非线性控制方法对航向指向模态进行了设计。用该非线性控制方法设计 的飞行控制系统不仅能够实现动态解耦控制，获得良好的动态性能，而且对模型 不够准确或系统内部参数发生变化具有较强的适应性。 关键字：特征结构配置，反馈增益，推力矢量，直接力 a b s t r a c t m o d e mh i g hp e r f o r m a n c ea i r c r a f tn e e dm o r ea d v a n c e df i g h tc o n t r o ls y s t e m s ， w h i l ei ti sm o r ed i f f i c u l tt od e s i g nt h e s es y s t e m sb yu s i n gt h ec l a s s i c a lc o n t r o lt h e o r y o n l y t oo b t a m t h eb e t t e rf l i g h tq u a l i t i e s m a n ym o d e mc o n t r o lm e t h o d sa r ea p p l i e di n t h ed e s i g no fa i r c r a f tf l i g h tc o n t r o ls y s t e m s f l i g h tc o n t r o ls y s t e m sa r ed e s i g n e db y e i g e n s t r u c t u r ea s s i g n m e n tm e t h o df o r 拄a d r m n a la i r c r a f t 。a i r c r a f tw i t ht h r u s tv e c t o r a n da i r c r a f tw i t hd i r e c tf o r c ec o n t r o li nt h i sp a p e r n l em a i nw o r k so f t h ep a p e ra r eg i v e na sf o l l o w s ： h o wt os u c c e s s f u l l ya p p l yt h ee i g e n s t r u c t u r ea s s i g n m e n tm e t h o di n f l i g h t c o n t r o ls y s t e m si ss t u d i e d 1 1 1 ed e s i g ns t e po fe i g e n s t r u c t u r ea s s i g n m e n tm e t h o di s g i v e n s o m ea i r c r a f tm o d e s ，s u c ha sa t t i t u d eh o l d ，a l t i t u d eh o l d ，a u t o m a t i cl a n d m g ， t u r nc o o r d i n a t i o n , h e a d i n gh o l da n dl a t e r a lb i a sm o d i f i c a t i o na r ed e s i g n e da n d s i m u l a t e d f l i g h tp e r f o r m a n c er e a c h e st h ef i r s t c l a s so ff l y i n gq u a l i t y f i n a l l yt h e s o f t w a r eo ff l i g h tc o n t r o ll a wi sp r o g r a m m e d i th a sg o o di n t e r f a c ea n di sc o n v e n i e n t 协u s e a ni m p r o v e de i g e n s t r u c t t t r ea s s i g n m e n tm e t h o di sa p p l i e dt od e s i g nt h ef l i g h t c o n t r o ls y s t e mf o ra i r c r a f tw i t ht h r u s tv e c t o r t h em e t h o da d o p t so u t p u tf e e d b a c kt o a s s i g nt h ee i g e n v a l u ea n de i g e n v e c t o ro f t h ec l o s e dl o o ps y s t e m ，a n da tf i l es a m et i m e i ti n t r o d u c e saf e e d f o r w a r dc o m p e n s a t o ra n da ni n t e g r a t o r t h ec o n t r o ls y s t e m d e s i g n e db yt h ei m p r o v e dm e t h o dh a sg o o df o l l o w i n gp e r f o r m a n c ea n dr o b u s t n e s s t h ec o n t r o ls y s t e mr e a l i z e s t h a tt h er o t a t i o n sa r o u n dt h r e ea x e sh a v et h es a m e d y n a m i cr e s p o n s e f o ra i r c r a f tw i ma c t i v ec o n t r 0 1 e i g e n s t r u c t u r ea s s i g n m e n tm e t h o di sf i r s tu s e d t od e s i g nd i r e c tl i f tm o c i e ：t h e nan o n l i n e a rc o n t r o lm e t h o di su s e dt od e s i g ny a w p o i n t i n gm o d e f l i g h tc o n t r o ls y s t e md e s i g n e db yt h i sn o n l i n e a rc o n t r o lm e t h o dc a n a c h i e v ed e c o u p l i n gc o n t r o l ，a n dh a sb e t t e ra d a p t a b i l i t yt oi n a c c u r a t e n e s so fm o d e la n d t h ec h a n g eo fs y s t e mp a r a m e t e r s k 吖w o r d s ：e i g e n s t r u c t u r ea s s i g n m e n t ，f e e d b a c kg a i n ，t h r u s tv e c t o r , d i r e c tf o r c e l t 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 1 。1 选题背景 第一章绪论 在现代和未来战争中，空中优势将是取得胜利的关键因索之一，在海湾战争 和科索沃战争中，以美国为首的多国部队正是利用其强大的“空中优势”，赢得 了这两场现代立体战争的胜利。因此，各个国家在发展航空技术方面都进行了大 量的投入。然而，无论对于军用战斗机还是民用飞机，飞行控制系统设计一直是 飞行器设计的重要内容之一，其性能直接影响飞行器的性能，因为飞行控制律能 够使气动力不稳定( 或接近不稳定) 的飞机稳定( 或增稳) ，控制律能够有效地 利用多个控制执行装置( 包括气动面和推力矢量) 使飞行性能达到最高水平。无 论在什么情况下，控制律都可增加飞机的操纵性和乘座品质，使其具有满意的操 纵性能。因此飞行控制律是必不可少的。 由于飞机运动的复杂性和实现所要求的性能，现代飞行控制系统多采用多路 耦合的控制规律。但过去和当前，多数飞行控制系统的控制律主要是利用经典的 单回路频域或根轨迹方法设计的。经典的方法确己获得了成功的应用，并为工业 界所接受。 在过去的近3 0 年中，现代多变量控制律的综合与分析技术已获得极大发展。 多变量控制理论的潜在优势在于，处理多变量多回路问题时可以采用系统的、综 合的方法。尽管已有一些相当好的计算方法与软件，实际上，控制系统设计人员 也仅是勉强地接受这种新技术。他们主要是利用频域或根轨迹方法，每次一个个 回路分别进行设计。这种古典单回路设计方法能坚持被使用的原因可能有如下几 点：1 经典的设计方法本质上是凭借对飞机控制系统的大量直观和经验丽进行 的，而广大的工程设计人员对这种方法不仅熟悉而且有较为丰富的设计经验：2 经典的设计方法，使设计者能清楚地看到系统的动态和性能是如何被修正的：3 现行的飞行品质和性能评价准则，基本上还是依经典理论和概念提出。此外。目 前采用线性化处理，多模态控制律以及调参处理技术等，也能较好地解决飞机本 身的非线性以及参数变化等问题。在理论设计后，采用广泛的地基及空中的飞行 模拟实验调整，最终仍能得到性能完善的飞行控制系统i l ”。 但是，今年来y f 一2 2 及j a s 一3 9 飞机试飞失事的经验表明，这种设计方法并 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 不总能获得成功，而且对于新的飞机性能要求，采用古典方法设计也是困难的， 主要表现在；1 控制系统的多输入多输出，经典方法难于处于，难于协调：2 现代飞机要求的大机动飞行，飞机特性的非线性难于按常规方法进行线性化处 理；3 飞行控制系统变得越来越复杂，使设计也变得复杂、困难，进度缓慢。鉴 于人们对飞机飞行性能的不断追求和古典控制理论的局限性人们开始开展现代 控制方法在飞机飞行控制系统中的应用研究。到目前为止，大部分现代控制方法 只在验证机上进行研究，然而，这些验证机上所取得的成果已经向人们展示了现 代控制方法在提升飞机性能方面的魅力，随着人们对飞机性能要求的提高和控制 理论的发展，现代控制方法将在飞行控制系统的设计中取得更广泛的应用1 1 2 。 利用现代控制理论方法设计飞行控制系统的试验和验 芷，取得了一些成功的经 验，特别是特征结构配置方法的应用取得了较为实际的进展和经验。 人们之所以选择特征结构配置方法，是因为它对期望操纵品质模型的限制不 太密切，所涉及的计算是相当直接的。借助于特征值的特征向量，这种方法提供 操纵品质和解耦性能，并且具有很低的控制器复杂性。而且计算中包含的矩阵运 算在许多商业或家用软件包上都是可行的。 用特征结构配置方法设计的控制器具有结构简单、鲁棒性好的优点，因而备 受控制系统设计者的推崇。在国外，特征结构配置是控制系统设计中广泛应用的 一种方法，技术已经成熟。而在国内，虽然对特征结构配置方法的研究取得了一 定的进展，但距特征结构配置方法在飞行控制系统中的工程应用还有很大的差 距。飞行控制系统的性能直接影响飞行器的性能，因此为了设计更高性能的飞行 控制系统，深入的研究特征结构配置理论及其在飞行控制系统设计中的应用势在 必行。 1 2 特征结构配置方法概述 特征结构配置方法的研究始于2 0 世纪6 0 年代。它属于多变量系统设计方法， 着重予闭环系统的内部结构，关注闭环符征值的位置和闭环特征向量的方向。 特征结构配置不但配置闭环系统的极点，丽且还配置它们的重数并同时配置 闭环特征向量，因而可以更加准确地掌握系统的性能- 特征结构配置的意义不仅 在于其蛊身岔鲁含义，还在于它提供了系统设计中的全部自由度，可以作为线性系 统设计一种基本的参数优化方法。在实际应用中，通过台适的选择设计参数便可 以实现对于系统的某种希望的设计要求。 一个系统的特征结构包含下述与系统矩阵相关的三个方面： 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 ( 1 ) 系统的特征值； ( 2 ) 系统特征值的重数； ( 3 ) 1 系统矩阵的特征向量和广义特征向量。 因而，一个线性系统在某种形式的控制律下的特征结构配置问题即是确定所 有这样的控制律，使得闭环系统具有希望的特征值和重数，同时确定闭环系统的 对应的特征向量和广义的特征向量。由线性系统的运动分析理论我们知道，线性 定常系统的响应不仅与系统的特征值有关，而且与系统的特征向量有关。因而线 性系统的特征结构配置设计较极点配置设计更能把握系统的特性。 1 2 1 全状态反馈概述 基于特征结构配置的全状态反馈所要解决的问题是： 给定自共轭集( 当复数量集合中诸元素的复共轭还在复数集合中时，称之为 自共轭) 标量集 ，i = 1 ，2 ，r 和对应的自共轭抑维向量集 v ? ，i = l ，2 ，”， 要找出一个m x n 维实数矩阵置，使得a + b k 的特征值就是自共轭标量集 ， 而对应的特征向量为自共轭集 v ? 。 人们就系统反馈与暂态响应之间的联系问题研究已经很久，并且取得了相当 的进展。系统的暂态响应取决于系统的特征结构( 特征值和特征向量) ，任何对 暂态响应的改变都必然会改变系统的特征结构。 对于系统 莺( f ) = a x + b u ；y = c x ( 1 1 ) 1 9 6 7 年，w o o n h a m 得出以下定理阐述全状态反馈问题的解。 【定理l 一1 】式( 卜1 ) 所描述的系统可控，当且仅当对于任意自共轭标 量集f i = 1 ，2 ，以，存在m x n 维实矩阵置，使得a + b k 的特征向量为 v ，d ，i = l ，2 ，竹。 依照k a l m a n 等人在文献中的观点，这一定理最初是由b e r t r a m 于1 9 5 9 年采 用根轨迹法针对单输入情况得到的。1 9 6 1 年，b a s s 用线性代数公式表达并且证 明了( 但未发表) 同样的结果，r o s e n b r o c k 和r i s s a n e n 也就单输入情形做了研 究。r i s s a n e n 在论文中用直接分析的方法陈述并证明了结论，于1 9 6 4 年给出了 多输入情形的推论。在多输入系统的特征值配置问题方面取得成果的其他人包括 l a n g e n h o p ，s i m o n ，m i t t e r 和b r u n o v s k y 。w o n h a m 最先将可控性结果由单输 入系统扩展到多输入系统。1 9 6 7 年，w o n h a m 的论文发表之时，已有成百篇论文 论述了极点配置及其应用。 两北j 二业大学硕士学位论文 第一章绪论 特征值的重新配置要求所有状态变量都反馈给所有输入变量。1 9 7 6 年， m o o r e 首先确定了当闭环特征值不同时，除了闭环特征值的指定外，状态反馈还 具有的自由度。在文献中，m o o r e 研究了式( 1 - 1 ) 所表示的系统，导出了针对 规定的特征值和特征向量，状态反馈增益矩阵墨存在的充分必要条件。m o o r e 的结果中包含计算五的步骤。 m o o r e 利用其结果，从本质上描述了所有能够达到给定互异特征值集的闭环 特征向量集合所具有的特征。他还指出，除了预先指定的闭环特征值外，还可选 择一组适当的特征向量。对于特征值互异的假定由k l e i n 和m o o r e 在后来的论文 中发表。但无论怎样，有两点是肯定的，就是进行全状态反馈的必要性和s ，( 只 的定义见式( 2 - 2 0 ) ) 的零空间的基的计算的必要性。 早期特征结构配置领域的其他研究包括p o r t e r 和d a z z o 。在论文中提供了 一种算法以找到可张成s ，的零空间的向量。另外还有f a h m y 和o r e i l l y ， d a y a w a n s a 和m u k u d a n ，f a u s i d e 和s e r a j i ，以及c h i d a r n b a r a 等，他们的论文 都没有就算法中的任意性以及通过结构配置求反馈矩阵置所造成的大量自由度 的牺牲提供合理的解释。并且，如果最初得到的置矩阵未获得满意的解，他们 的设计步骤未就系统响应的改善方法问题做任何交代。 最后必须提及的是s r i n a t h k u m a r 的观点。s d n a t h k u m a r 指出，对于可控系统， ( 1 ) 可任意指定订个特征值和最多 i x 掰个特征向量元素，( 2 ) 对于任一特征向 量，可任意选择至多m 个元素。 2 0 世纪7 0 年代，许多研究者的兴趣各有不同。值得一提的是m o o r e 和 s r i n a t h k u m a r 成果的共同点：早期并不需要对可控性的假定，这一点在文献中就 已指出。但是，只要不可控特征值是期望闭环特征值集合中的元素，s d n a t h k u m a r 的上述理论仍成立。文献中举例说明了既是不能重新配置不可控特征值，还存在 改变不可控特征值所对应的特征向量的可能性。s r i n a t h k u m a r 使用可控性假设， 可选择特征值及确定特征向量中无约束元素的数目f 1 ”。 1 2 2 输出反馈概述 基于特征结构配置的输出反馈所要解决的问题是： 给定自共轭标量集 i = 1 ，2 ，r ，和对应的自共轭h 维向j t 集 砰 i = 1 ，2 ，要找出一个朋 维实数矩阵置，使得4 + 最职的特征值就是 自共轭集 掣 ，而对应的特征向量为自共轭集 一 a 4 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 从工程实践的角度来讲，尤其当考虑高阶系统以及测量与反馈每个状态变量 的成本时，全状态反馈具有局限性。这样，仅反馈所测量的变量更具有吸引力， 也就是利用输出反馈。这就需要解决上述输出反馈所要解决的问题。 d a v i s o n 是首先用极点配置来回答这一问题的人。他指出，如果系统可控并 且r a n k c = ，那么线性反馈控制律的形式是 印( 0 = t r y ( t ) 选择这一形式的输出反馈控制律使得闭环系统矩阵a + b k c 的r 个特征值 能任意接近( 而不必等于) ，个预先指定值。后来d a v i s o n 和c h a t t e r j e e ，s r i d h a r 和l i n d o r f f 的研究成果表明，如果系统可控可观测，且若r a n k b = m 和r a n k c = r 成立，则几乎可任意配置m a x ( m ，r ) 个特征值。后来k i m u r a 在论文中表示，如果 系统可控可观测并且玎s ，+ m 一1 ，那么通过输出反馈几乎可任意配置互异的闭环 极点。值得注意的是这篇论文的研究，所根据的是闭环特征向量，而不是象以前 的那些论文那样依靠特征方程。m u n r o s 和v a r d d a k i ，p o r t e r 从理论上给出了仅 使用常输出反馈来任意配置系统所有特征值的充分必要条件。另外还有一些论文 也在这方面做出了成果。上述所有论文，首先要考虑的是极点配置【】”。 说到考虑极点配置的同时还考虑特征向量，必须提到的是s r i n a t h k u m a r 。 此后，s h a p i r o 和c h u n g 就此也进行了进一步的阐述。在s r i n a t h k u m a r 的论文 中我们得知如下定理： 【定理1 - - z l给定由式( i - i ) 所描述的可控可观测系统，并且假设矩阵 b 和c 满秩，那么通过输出增益反馈，也就是由控制律h = 玛，可配置m a x ( m ，r ) 个闭环特征值，可局部配置m a x ( m ，) 个特征值，其中每个向量的i i l i 卅，) 个元 素可任意配置。 1 2 3 特征结构配置方法在飞行控制系统中应用概况 特征结构配置允许控制设计者将飞机的闭环模态配置在期望的方向和频率 上。标准飞机要求很容易地提供期望的特征结构框架，因为它们对于基本模态通 常给定频率和阻尼。反馈增益矩阵可以从飞机模型和期望特征结构以直接的方式 进行计算。 特征结构配置方法是基于时域的方法，这一点常常限制了它的使用，因为它 很难用古典控制理论的概念阐述。但是，由于实际飞机系统的反应往往表现为时 域形式，这种方法又是直观且适用的。所以在过去的几十年中，航空界的工程师 们对特征结构配置方法在飞行控制系统中的应用进行了大量的研究。 s 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 l i i i i i 。_ _ e ，- _ e = = e = = j _ _ e = ! ! 毫 a n d a r y 等学着最先将其应用于飞行控制系统的设计。该方法已在波音7 6 7 侧向飞行控制系统设计中获得了成功应用。空中客车a 3 2 0 的横侧向控制律的内 回路也使用了特征结构配置，用来提高荷兰滚的阻尼和产生个中性的螺旋模态 并限制发动机失效时的横侧向状态摄动。配置的闭环极点与飞机的开环极点很接 近以减小反馈增益。使用特征结构配置的好处还包括更好的自动协调转弯、提高 了气流扰动时的舒适性和横侧向整体性能。a 3 2 0 的这种控制策略也用到了a 3 4 0 上，所设计的控制器也正在使用，控制效果良好。特征结构配置的使用有助于形 成体系，这使得空中客车下一代飞机的设计更为方便。 美国空军的b 一2 隐形战略轰炸机也采用特征结构配置方法来满足横侧向品 质模型特性。这种方法无需迭代计算就能直接获得所需反馈增益阵，获得预期的 补偿功能【2 ”。l o c k h e e dm a r t i n 公司也曾在报告多变量控制理论在飞行控制律 中的应用( a p p l i c a t i o no fm u l t i v a r i a b l ec o n t r o lt h e o r y t oa i r c r a f t c o n t r o ll a w s ) 中讲述了卜1 6 m a t v 推力矢量飞机的特征结构配篝设计。 国内的许多学者也对特征结构配置在飞行控制系统中的应用做了一些研究。 文献f 1 4 1 将特征结构配置法应用到飞行控制系统设计中，设计出结构简单的多输 入多输出飞行控制器，能同时考虑鲁棒性和系统动态性能要求，满足解耦与鲁棒 性等高性能飞行控制系统的设计要求，能像经典设计那样，预知系统输出和期望 控制输入。文献5 1 应用特征结构配置，提出了一种新的无人机直接侧力模态控 制系统设计方法基于输出反馈的鲁棒特征结构配置最优化方法。 1 3 本文主要研究内容 本文工作主要是在深入研究特征结构配置理论的基础上完成了对常规飞机、 推理矢量飞机和直接力控制飞行控制系统的设计。 第一章绪论，主要介绍选题背景、特征结构配置方法概述以及主要研究内容。 第二章特征结构配置方法，本章详细地介绍了特征结构配置方法的理论，论 述了线性系统通过状态反馈和输出反馈进行特征结构配置的原理，说明了特征结 构的合理配置可使系统得到良好的暂态性能，而且通过特征向量的选择可以实现 模态问的解耦。 第三章基于特征结构配置的常规飞行控制律设计，本章着重研究了如何将特 征结构配置方法成功地运用到飞行控制系统设计中，并给出了特征结构配置设计 的具体步骤。以某常规飞机为例给出了特征结构配置设计的具体步骤，并对飞机 纵向俯仰姿态保持、高度保持、纵向着陆和侧向协调转弯、航向保持( 或航向给 6 硒北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 定) 、侧向偏离修正、给定航迹等模态进行了设计与仿真；而且还对所设计控制 系统的飞行品质进行了评价；最后研制了飞行控制律设计软件包。 第四章基于特征结构配置的推力矢量飞机控制律设计，针对先进推力矢量飞 机应用了一种改进的特征结构配置方法。以某推力矢量飞机为例进行了特征结构 配置设计，并研究了在控制系统中加入前馈补偿器和积分器。特征结构配置设计 的反馈控制器能使系统获得良好的暂态特性，引入前馈补偿器是为了提供良好的 跟踪性能，引入积分器则是为了减少系统的跟踪误差并对建模误差和扰动提供附 加的鲁棒性。本章还进行了前馈补偿器的降阶研究。 第五章特征结构配置方法在飞机直接力控制中的应用，本章对采用直接力控 制的飞机用特征结构配置方法进行了直接升力设计；然后还提出了一种非线性控 制方法，并用该方法对某型飞机航向指向模态进行了设计。 最后对本次论文总结回顾并提出了存在的一些问题。 7 西北工业大学硕士学位论文 第二章特征结构配置方法 第二章特征结构配置方法 本章首先介绍了特征结构配置方法计算中用到的一点数学基础；接着讲述了 特征值和特征向量对系统动态响应的影响；最后着重讲述了基于特征结构配置的 全状态反馈和输出反馈。 2 1 数学基础 下面讲述标量函数对向量与矩阵的微分运算。 设n 维向量x 的标量值函数为： y = f ( x ) = 厂( 葺，x 2 ，) 于是y = f ( x ) 对x 的导数为： 通常称为y = f ( x ) 的梯度 设一为肌n 阶矩阵 a = 立皇 d x 咖 d x l 妙 ( k 咖 咄 x 1 tx 1 2 而t而2 1 2 五。 乏。 ： 其标量值函数为： y = f ( a ) = f ( x 1 1 ，。；x 2 1 ，恐。；靠l ，) 于是y = ，( 4 ) 对爿的导数为： ( 2 1 ) 西北工业大学硕士学位论文 第二章特征结构配置方法 堂皇 d a 鹭 萄鹫 出t 。 电：电。 匈好 d 。2 1d x 2 2d x 2 i ；! 萄越 d x l d x2 d x m 2 2 特征值和特征向量对系统动态响应的影晌 我们首先考察一下特征值和特征向量对系统动态响应的影响。 设线性系统方程为： 量2 a x ，x ( t o ) = x o ，工r ” 它的解 x ( t ) = e a t x o 若用4 的特征值和特征向量表示，则系统特征方程为： a v j = a v ， 其中五为第f 个特征值，t 为与五对应的特征向量，i = 1 ，2 ，弹。 如果4 的特征值是互异的，则可定义一个变换矩阵 t = v l ，屹，k 】 令 z = t z 代入( 2 - 3 ) 式可得： t = a z ，z o = t 一x o 式中 a = t a t = a i a g & ，如， ( 2 8 ) 式的解为： z ( t 1 = p “z o 代入原坐标系后，得： 工0 ) = t e “t 。x o 因为 9 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 西北工业大学硕士学位论文第二章特征结构配置方法 弛“= ”哆：1 ，】哆p 印，e 却 ( 2 - 1 1 ) = 即v l ，e 扣v 2 ，e 匕】 把( 2 - 1 1 ) 代入( 2 1 0 ) 式可得 式中 x ( 0 = e 却h ，e 却v 2 ，e & t v 。】 t 一= ，2 ： ( 2 1 2 ) ( 2 1 2 ) 式展开可写成下列形式 x ( f ) = q ，f ( 2 一1 3 ) 1 = 1 令 q = t , x o 以及a = a l ，嘞，】7 代入上式可得： x ( f ) = 噶口即叶 ( 2 1 4 ) i = l 由此可见，式( 2 3 ) 自由响应的每一个解都与三个量有关：即确定响应衰 减率或增长率的特征值；确定响应形状的特征向量；以及确定加入自由响应的每 个初始状态。所以系统配置不同的特征值及相应的特征向量，将直接影响系统的 过渡过程响应。 2 3 全状态反馈 对于一个由状态反馈稳定的系统： 量= a x + b 艇 y = c x 反馈控制律： 甜= 戤 1 0 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 西北丁业大学硕+ 学位论文第二章特征结构配置方法 有： 莺= r 4 十b k ) x = g x 其中a r ”。”，g r ”。”，x r ”，b r 。 a ，i = 1 ，2 ，胛，对应的特征向量为v ，则有 g v , = 五v 。 由2 2 节我们可得： x ( f ) = a , e 4 f h i = 1 式( 2 1 9 ) 中 ( 2 1 7 ) 如g 具有”个互异特征值 q = , x o 以及盱【口。，吒，r t = i v l ，如，k 】t = 厶 ： ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 下面讨论能否找到一个掰n 反馈阵置，使得矩阵g ( 即矩阵a + b k ) 有规 定的特征值和特征向量。1 9 6 7 年，w o o n h a m 得出以下定理阐述全状态反馈问题的 解。 【定理2 一l 】式( 2 - 1 5 ) 所描述的系统可控，当且仅当对于任意自共轭 标量集 i = 1 ，2 ，n ，存在m x n 维实矩阵k ，使得a + b k 的特征向量为 ，f _ 1 ，2 ， 。 1 9 7 6 年m o o r e 在文献中研究了式( 2 - 1 5 ) 所表示的系统，导出了针对规定 的特征值和特征向量，状态反馈增益矩阵茁存在的充分必要条件。m o o r e 的结果 中包含计算置的步骤。 为了说明m o o r e 的结果，定义 s ，皇 a l ”一4 ；露】 ( 2 - 2 0 ) 与对应分块矩阵 纠麓，釜：二 2 1 ， 有下述关系 s r a = ( a i a ) n + b i d = o ( 2 2 2 ) 其中，r a 的诸列形成砖矩阵零空间的一个基。对于r a i 如= m ，n 。各列线 西北工业大学硕士学位论文第二章特征结构配置方法 性独立：并且n ，。= r ：，其中“表示共轭复数。有鉴于此，如下定理成立。 【定理2 2 1 令 剐- ：。为一组自共轭的互异复数特征值，则存在一实即) 矩阵置，使得+ b k 的特征系统方程成立 ( 一+ b k ) v ，= 丑q ( f = 1 ，2 ，n ) ( 2 - 2 3 ) 当且仅当对每个i 有， ( 1 ) o 。为复域c ”一组线性独立向量； ( 2 ) 吩= v ：当4 = a ；时： ( 3 ) qes p a n n 并且，当置存在且r a n k b = 肌时，反馈阵置唯一。 证明：必要性： 必要性( 1 ) ( 2 ) 基于矩阵理论a 由式( 2 - 2 3 ) ，可得： ( j a ) v 。= b k v ， ( 2 - 2 4 ) 或 卅涫】l 刊枷( 2 - 2 5 ) 由于毛的诸列形成只的零空间的一个基，因此qes p a n n 。 充分性： 假设集合 ：。满足条件( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，那么由条件( 3 ) ，存在实或复向 量z ，使得： ”f 。 毛 从我们对于只和吃的定义，有： ( j 一爿) - + 删 = 0 由此， ( 五j a ) 毛+ b m = 0 或由式( 2 2 4 ) ，得： ( 磊，一_ ) 哆+ n m z = 0 如果置的选择使得： 一m z i = k v , 那么， 五，一+ 雎) q = o 1 2 ( 2 2 6 ) ) ) ) ) ) 7 8 9 o l 2 2 2 3 3 一 一 一 一 一 2 2 2 2 2 ( ( ( ( ( 西北工业大学硕士学位论文第二章特征结构配置方法 m o o r e 进一步阐明，如果满足上述条件的置存在，下式成立： k v ，v 2 心】= 一 钆弓一 乙z j 一j 】l 气弓 ( 2 3 2 ) 若每一丑均为实数，则v ，与z ，是实向量，并且特征向量矩阵非奇异。那么，有 k = i m 4 z ，一 屯z ，一 气z ，i hl l v o l l ( 2 3 3 ) 若期望特征值是复数，上述等式需稍做变动。假设 = 墨，从条件( 2 ) 有h = p ；， 这表明z ，= z ：。这样，置必满足 k v i r + ，j v l 月一 ，；v 3 ；! v o l = w , r + q ，；w 1 月一q j ；w 31 ! ，】 ( 2 3 4 ) 其中，w = 一m z ，。将非奇异矩阵 陷1 2 韶。l 。， l o 1 j 右乘( 2 3 4 ) 的两端，不会改变对于置的计算，得出 k v l 。v 1 ，屹k 】= 【w l 。w 1 ，w 3 】 ( 2 3 6 ) 由于集合n ：。中元素线性无关，那么矩阵【_ ，v 3 】非奇异，如 此，便可计算置。若有更多的复特征值，做类似的变换即可。 由于固定的特征向量唯一确定4 + b k ，当f a n 蛐= m ，易看出，置唯一。 这就是说，给定一组互异的特征值，配置的特征向量若满足上面的( 1 ) 一 一( 3 ) 条件，则可求得反馈增益矩阵置，而且是唯一的。但必须指出：若希望 的特征向量不满足( 3 ) 条件，只能以某种意义下，用非常逼近希望特征向量的 可达特征向量来近似，从而求出反馈增益阵譬。 2 4 输出反馈 2 4 ，1 问题描述 基于特征结构配置的输出反馈所要解决的问题描述为： 给定自共轭标量集 舒) i = 1 ，2 ，和对应的自共轭”维向量集 f ) i = 1 ，2 ，r ，要找出一个搠x n 维实数矩阵置，使得a + b k c 的特征值就是 白共轭集 ) ，而对应的特征向量为自共轭集 v ? 。 1 3 西北t 业大学硕士学位论文 第二章特征结构配置方法 2 。4 2 特征向量的可配置性 回顾式( 2 - 1 5 ) 所描述的系统方程，相应对于4 、b 、c 阵的假定以及关 于 、 l 的问题陈述，在此考虑如下问题：一、归纳可配置的闭环特征向 量所具有的特征；二、当理想的p ? 不可配置( 因为通常情况下特征向量的配置 不象我们所期望的那么具有任意性) 时，确定最可能配置的闭环特征向量。 ( 1 ) v ? 的综合特性 首先，考虑闭环系统 量= f a + b k c ) x ( 2 - 3 7 ) 假设给定的理想闭环系统特征值为 a ：，且吒为五对应的闭环特征向量。对 于一组特征值特征向量 和q ，有 + b k c ) v j = h ( 2 - 3 8 ) 或 哆= ( j 一4 ) 。b k c v ， ( 2 3 9 ) 假定闭环系统理想特征值与a 阵特征值不等，因此( 五j a ) 的逆存在。 分析式( 2 3 9 ) ，定义m 维向量为朋， m ? = 赢c l i ( 2 4 0 ) 则式( 2 - 3 9 ) 可化为： t = ( 五j a ) b m ， ( 2 4 1 ) 由式( 2 4 1 ) 知，特征向量v 。必须属于( 五j 一4 ) _ 1 b 的诸列张成的子空间。 该子空间的维数为曰阵的秩m ，等于独立控制量的个数。这样，可用控制变量 的个数来决定特征向量所必须属于的子空间的维数大小。子空间由开环状态空间 矩阵a 、b 与闭环特征值来决定。因此：若所选择的特征向量恰好处于由 阻j 一爿) 。嚣的诸列张成的子空间，v 便可精确配置。 ( 2 ) v ? 最可能达到的配置v ? 在考虑特征向量的可达配鼹之前。须先选择理想特征向量p ? a 从前面的论 述中知道，可达特征向量从数学角度考虑必须属于一定的予空间。而设计者对特 征向量的需求或愿望则通掌没有考虑特征向量的好与坏。 但通常情况下，理想的特征向量v ? 由于不属于预先规定的子空间。而不能 达到，这时需求最可能达到的特征向量来代替理想特征向量v ? 。这个可达向量p ? 西北工业大学硕士学位论文第二章特征结构配置方法 是在( 五，一4 ) 。1 丑的诸列张成的子空间内的投影。记作v ? 。示意图见图2 1 。 以。卜彳) 一b 图2 一l 可达特征向量”的几何解释示意图 下面研究如何计算p ? 。首先定义 叁( 丑，一4 ) 。b ( 2 - 4 2 ) 前面提到，可达到的特征向量必须属于所需予空间，这样 嵋= 厶毛= ( 4 x - a ) b z , ，z ，矽 ( 2 4 3 ) 为了求出v ? 投影到可达性空间上时对应的值z ，选择的蜀要使下面的性能指 标最小化： ，= 0 印一嵋1 1 2 = 0 一| 1 2 根据标量函数对向量与矩阵的微分运算，可得： a l a z , = 2 霹( l i z , 一v ? ) 若驯o z , = 0 ，则有： z j ；( 葺厶) 。1 上t 一 ( 2 - 4 4 ) ( 2 - 4 5 ) ( 2 - 4 6 ) 嵋= 厶( 上j ) “爿t 屹d ( 2 4 7 ) 当对r 厶求逆时，必须当心病态矩阵存在的可能性。这时可作一个c h o l e a k y 分解或奇异值分解。 对( 4 i 一一) - 1 丑的诸列张成的子空间的重要性，综上作如下评述： a 如果理想特征向量v ? 接近正交于( 4 j 一爿) 1 口的诸列张成的子空间，则由 理想特征向量难以改善系统响应。 b 若子空间维数较大，则需要更多的独立的控制变量。这是由于( 4 1 一爿) _ 1 b 生成的子空间维数是m 。因此，为了增加搠，必须增加嚣的秩。 西北工业大学硕士学位论文 第二章特征结构配置方法 c 对于单输入系统( 曰仅为一个列向量) ，虽然可指定一个特征向量中的一 个元素，但却不能够选择这个特征向量。 总之，最坏的情况就是在r a n k b = l 时，除一个特征向量的一个元素可以任意 确定外，其余元素全都不可能由设计者选择。搠的值越大，在特征值中可自由地 选定的元素也越多。只有当r a n k b = 玎时，全部特征向量都可由设计者任意确定。 既然一般情况下聊 聆，且输出状态为r o q 5 01 0 0 罢0 0 2 屯 00 4 7 薹要兰 一f k _ 一： 0 01 0 0 5 a ：一 o 00 5 5 01 t s f r j r 0 5 0 1 f s n - ” v 0 奄 巴 心 5 01 0 0 t s 1 0 乙 壬1 、 专2 主 3 f 乙 f 圈3 - 9 ( b ) 纵向着陆曲线 3 0 卯 1 0 0 t s 西北1 二业大学硕士学位论文第三章基于特征结构配置方法的常规飞机控制律设计 3 2 飞机侧向控制系统设计 3 2 1 期望的特征结构 = - 2 + 2 i - 2 2 i = 荷兰渡 。- 3 晕】 快速饿斜螺旋 oo 1 t 0o 芦 q y 吼 侧 33 l2 23 34 向 3 3 ll 23 44 图3 - 1 0 期望特征向量与候选特征值图3 - 1 1 特征向量表值中的数值和索引 图3 一l o 给出了横侧轴的期望特征值和期望特征向量，其中表示特征向量 中不受约束的元素。图3 - 1 1 的解释参照3 1 1 节。 通过计算，产生的反馈控制器为： i 2 5 3 4 0 2 2 1 4 9 04 8 3187 6 9 2 2l k = ll 2 4 7 5 1- 0 0 1 4 6 - 0 2 9 5 21 9 4 6 6 3 2 2 飞机侧向模态控制系统设计与仿真 ( 1 ) 协调转弯控制系统设计 协调转弯是指飞机在水平面内连续改变飞行方向、保证= 0 即滚转与偏航 运动两者耦合最小、并保证不掉高度的一种转弯。在实际飞行中，滚转与偏航运 动并不独立，而是紧密联系、相互交叉耦合的，因此，在转弯时往往产生大的侧 滑角声，而声的存在会引起令人不适的侧向加速度。要消除转弯中的芦角，需 要实现自动协调转弯。 在此我们采用侧向加速度反馈的协调转弯。这种协调转弯是满足“协调盘旋” 定义的。协调盘旋的合成加速度处在飞机对称平面内。 下面给出协调转弯的框图。a i r c r a t lm o d e l 是飞机模型，舵面角位移饱和限 * j i l l