（模式识别与智能系统专业论文）分布式时延神经网络系统hopf分岔的频域分析.pdf

嫩兰型壁厶堂堡主造奎! 坌垒茎堕堡鳇丝塑黛墨竺登! 匹坌垒墼塑茎坌避 摘要 、秘经婀终是令棼嚣复杂熬；辫线瞧韵力学系统，程章枣经瓣终动力学程质t ， 肖可能出现稳定、不稳定、振荡和混沌行为。人体控制呼吸和心跳等宥规律的 逡动功能楚靠周期蛙鹣毒枣经默穗，囡忿，磷究秘经弱终巾豹躅期瓣买蠢疆实意 义。包含持续振荡的神经网络可应用于模式识别与联想配忆。 在生物蠢人王毒枣经鄹终摸受中，毒时必绥考虑囊荑；沟在豹辩延。蠢藩，辩 筑种经网络模型的动力学现象是一个热门的研究课题。而分斫i 式时延模型比离 教黠延模摧应用燹热广泛。奎窭过鲨坌垒塞墼錾瓣黢秘鳖三墨篓龚，臻乎缘对延 作为分岔参数，研究连续时延的神经网络模型的h o p f 分佾现象，也就是当分贫 参数逶过菜峪爨僮辩，一族溺期勰斌警楚点憝产生。 需要指出的赵，研究h o p f 分衍的工作通常是张时延微分方稳的状态窆问中 游论数，逶卷称为“砖域”方法。最近，番；一终交漱t l ，挺l i ；了一秘綦j 究微努方 稷的新方法，应用反馈系统的理论与方法，即在状态空问中作挝普拉斯变换后 褒复数域中进纾分辑，称之为“频域”方法。频域方法嚣先是囊陈关浆教授等 键出的。频域方法相比传统的时城方法具有一定优势，利用图示方法避j r 了复 杂的数学计算和分捱。孵延毒枣经嬲络模型翅瓣城方法鹾突h o p f 分岔菲鬻复杂， 特别是强核分布式时延模溅用时域方法研究尤其f j | ! j 难，本文用频域方法很好地 解决了这个翊题。 本文用频域方法确定分龠点的存在性，以平均时延作为分衍参数。研究h o p f 分楚现象，当分岔参数超过某一蠛赛僮黪发生分翁，搀剩趱蕊零h o p f 分贫定瑾 分析分岔方向与周期解的稳定性，并给了柚数值模拟例r 和频域图以验证 鼹褥结论鸵正确拨。￥ j 在第一章，我们首先简述非线性动力学系统的一些基本的数学概念和结果， 分绥关予传统熬h o p f 分翁理论辩域方法纂l 频域方法，弗凝明频域方法与露域方 法相比所数有的优势。 在第二章，分澍给篷鳙孩分蠢式瓣跫襻经瓣终摸型帮疆孩分奄式辩惩神经 网络模型，通过引入状态反馈控制，取得带非线性反馈的一个线性系统，并以 孚均雾孝延臻为努岔参数，躅频域方法分攒耪关鲶姆短方獠，讨论h o p f 分翁熹静 存在性，给出了计算h o p f 分岔点的代数方程。 摘要 在第三章，利用奈奎斯特准则和h o p f 分俞罔示定弹分析i 述两个模型的 h o p f 分岔方向与分馆周期解的稳定性。弓i 入曲率系数，根据曲率系数确定分龠 方向。并作出频域图，即在复平面上作特征值轨线和一条射线i ，根据频域图 判断周期解的稳定性。 在第四章，给出数值模拟例子，并作 l 频域图，以说明我们所得结果的正 确性与有效性。 关键词：神经元，分抑式时延，h o p f 分衍，周期解，奈奎斯特准则 l i 电子科技火学硕士论文：分布式时延神经网络系统h o p f 分岔的频域分析 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tn e u r a ln e t w o r k sa r e c o m p l e xa n dl a r g e s c a l e n o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m s t h ed y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c so f n e u r a ln e t w o r k si n c l u d es t a b l e ， u n s t a b l e ，o s c i l l a t o r y , a n dc h a o t i cb e h a v i o r t h ep e r i o d i cn a t u r eo f n e u r a li m p u l s e si s o ff u n d a m e n t a ls i g n i f i c a n c ei nt h ec o n t r o lo fr e g u l a rd y n a m i c a lf u n c t i o n ss u c ha s b r e a t h i n ga n dh e a r tb e a t i n g n e u r a ln e t w o r k si n v o l v i n gp e r s i s t e n to s c i l l a t i o n ss u c h a s l i m i tc y c l em a yb ea p p l i e dt op a t t e r nr e c o g n i t i o na n da s s o c i a t i v em e m o r y i nm o d e l i n g b i o l o g i c a lo ra r t i f t c i a ln e u r a ln e t w o r k s ，i ti ss o m e t i m e sn e c e s s a r yt o t a k ei n t oa c c o u n tt h ei n h e r e n tt i m ed e l a y s t h ed y n a m i c so fn e u r a ln e t w o r k sw i t h t i m ed e l a y sh a v eb e e nd i s c u s s e db ym a n yr e s e a r c h e r s i ti sw e l lk n o w nt h a tan e u r a l n e t w o r km o d e lw i t hd i s t r i b u t e dd e l a yi sm o r eg e n e r a lt h a no n ew i t hd i s c r e t ed e l a y i n t h i sp a p e r , am o r e g e n e r a lt w o - n e u r o n m o d e lw i t hd i s t r i b u t e dd e l a y si si n v e s t i g a t e d w en o t i c et h a t ，t h ew o r k sa b o u th o p fb i f u r c a t i o nu s u a l l yu s et h es t a t e - s p a c e f o r m u l a t i o nf o rd e l a y e dd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，r e f e r r e d t oa st h e t i m ed o m a i n ” a p p r o a c h y e tt h e r ei sa n o t h e ri n t e r e s t i n gf o r m u l a t i o nf o rt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i n t h el i t e r a t u r e t h i sa l t e r n a t i v e r e p r e s e n t a t i o na p p l i e s t h ef a m i l i a r t h e o r y a n d m e t h o d o l o g y o ff e e d b a c k e n g i n e e r i n gs y s t e m s ：a na p p r o a c h d e s c r i b e di nt h e “f r e q u e n c yd o m a i n ，t h ec o m p l e x d o m a i na f t e rt h es t a n d a r dl a p l a c et r a n s f o r m sh a v e b e e nt a k e ni nt h et i m ed o m a i ns t a t e s p a c es y s t e m t h ef r e q u e n c y 。d o m a i na p p r o a c h w a si n i t i a t e db ya l l w r i g h t 【l 】，m e e sa n d c h u a 【2 】，m o i o l aa n dc h e n 【3 ，4 】t h i sn e w m e t h o d o l o g y h a st h ea d v a n t a g eo v e rc l a s s i c a lt i m ed o m a i nm e t h o d s at y p i c a lo n ei s i t sp i c t o r i a lc h a r a c t e r i s t i ct h a tu t i l i z e sa d v a n c e dc o m p u t e rg r a p h i c a lc a p a b i l i t i e sa n d s ob y p a s s e sq u i t eal o to fs o p h i s t i c a lm a t h e m a t i c a la n a l y s i s i ti sv e r yd i f f i c u l tt o a n a l y z et h eh o p f b i f u r c a t i o no nan e u r a ln e t w o r kw i t ht i m ed e l a y sb ya p p l y i n gt h e t i m ed o m a i n a p p r o a c h ，e s p e c i a l l y , i n t h ec a s eo fat w o n e u r o nm o d e lw i t hd i s t r i b u t e d d e l a y sa n dt h es t r o n gk e r n e l i nt h i sp a p e r , t h e s e m o d e l sa r ea n a l y z e db ym e a n so f t h e f r e q u e n c y d o m a i n a p p r o a c h i nt h i sp a p e r b ym e a n so ft h ef r e q u e n c yd o m a i na p p r o a c hp r o p o s e di n 【5 】，t h e e x i s t e n c eo f h o p f b i f u r c a t i o np a r a m e t e ri sd e t e r m i n e d i ft h em e a nd e l a yu s e da sa 摘要 b i f u r c a t i o np a r a m e t e r , i ti sf o u n dt h a t1l o p fb i f u r c a t i o no c c u r sw h e nt h eb i f u r c a t i o n p a r a m e t e re x c e e d s ac r i t i c a lv a l u e t h ed i r e c t i o no f h o p f b i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t y o ft h eb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o n sa r e a n a l y z e db ym e a n so f t h eg r a p h i c a lh o p f b i f u r c a t i o nt h e o r e m s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t sa n dt h ef r e q u e n c y d o m a i n g r a p h sa r eg i v e n ，v e r i f y i n gt h et h e o r e t i c a la n a l y s i sr e s u l t s i nc h a p t e ro n e ，w ef i r s t l y g i v eab r i e f i n go fs o m ef u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c a l c o n c e p t sa n dr e s u l t so f n o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m s ，t h e nb o t ht h et i m ed o m a i na n d t h e f r e q u e n c yd o m a i na p p r o a c ht ot h ec l a s s i c a lh o p fb i f u r c a t i o nt h e o r e mw i l lb e i n t r o d u c e d f i n a l l yt h ea d v a n t a g e s o ft h e f r e q u e n c y d o m a i na p p r o a c h o v e rt h e c l a s s i c a lt i m e - d o m a i n a p p r o a c h a r ea d d r e s s e d i nc h a p t e rt w o ，ag e n e r a lt w o n e u r o nm o d e lw i t hd i s t r i b u t e dd e l a y sf o raw e a k k e r n e l s t r o n gk e r n e li si n v e s t i g a t e d b yi n t r o d u c i n ga “s t a t e - f e e d b a c kc o n t r o l ：o n e o b t a i n sal i n e a rs y s t e mw i t han o n l i n e a rf e e d b a c k t h em e a nd e l a yi su s e da sa b i f u r c a t i o np a r a m e t e r b ya p p l y i n gt h ef r e q u e n c yd o m a i n a p p r o a c h a n da n a l y z i n gt h e a s s o c i a t e dc h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ，t h ee x i s t e n c eo fb i f u r c a t i o np a r a m e t e rf o r t h e m o d e li sp r o v e n t h ea l g e b r a i ce q u a t i o n sf o rc o m p u t i n gt h eh o p fb i f u r c a t i o na r e o b t a i n e d i nc h a p t e rt h r e e ，t h ed i r e c t i o na n ds t a b i l i t yo ft h eb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o n s a r ed e t e r m i n e db yt h en y q u i s tc r i t e r i o na n dt h eg r a p h i c a lh o p fb i f u r c a t i o nt h e o r e m t h ec u r v a t u r ec o e f f i c i e n tw i l lb ei n t r o d u c e df o rd e t e r m i n i n gt h ed i r e c t i o no f t h eh o p f b i f u r c a t i o n b yd r a w i n g t h ef r e q u e n c yg r a p ho ft h ee i g e n v a l u e l o c u sa n dt h eh a l f - l i n e 厶，o n ec a nd e t e r m i n et h es t a b i l i t yo f t h eb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o n i nc h a p t e rf o u r , s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t sa n dt h ef r e q u e n c yg r a p ha r e p r e s e n t e d t o j u s t i f yt h et h e o r e t i c a la n a l y s i sr e s u l t s k e y w o r d s ：n e u r o n ，d i s t r i b u t e dd e l a y s ，il o p fb i f u r c a t i o n ，p e r i o d i c s o l u t i o n ， n y q u i s t c r i t e r i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 签名：谚乡改 日期：川年- 月谢日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：盔丝塞 导师签名： 1 7 t i t l l ：加哆年2 ，月艿日 电子科技人学硕_ ：论文：分靠式时延神经嘲络系统i t o p f 分彷的频域分析 1 i 动力学系统简介 i i 1 动力学系统 研究微分方程 膏= f ( x ，1 ) 第一章绪论 其中x2 x ( ，) 是一个打维向量，f ( x ，) 是连续的玎维向量函数，且满足解的存 在与唯一性条件，即给定初值x o 与o 可以确定方程( 1 1 ) 的唯一解 x = x ( f ；x o ，1 0 ) ，满足x ( t o ；工o ，1 0 ) = x o 将f 理解为时f i l l ，x 理解为，| 维空f l i 小的 。郧么，化f e f , l 时刻，方程( 1 1 ) 在行维空间中确定了一个速度场，根据存在与唯一性条件知：给定初始时刻t o 和初始点勒，在此疗维空间中存在唯一的一个运动，其运动规律由x = x ( ，；x o ，i o ) 给出。这样，我们称方程( t - 1 ) 为一个动力学系统，泼n 维空问为相空间，又 称该系统的一个解x 2 x ( r ；x o ，t o ) 3 j - - + 运；c j l 脚量型，；x o ，0 ) 所确定的年h 空问 中的曲线为轨线。( 见【6 】：2 8 0 2 9 7 ) 7 互0 1 。、 若方程( 1 - 1 ) 右端依赖于时间，即在相空问【 i 一固定点的速度向量f ( x ，) 会随时间而改变，称方程( 1 1 ) 为非自治系统。 特别是，若方程( 1 - 1 ) 右端不依赖于时问i ，h l j 童= ，( x ) ( 1 - 2 ) 此时方程( 1 2 ) 在相空间中任一点x 的速度向量厂o ) 不随时间而改变，称 之为自治系统。 在自治系统( 1 2 ) 中，使得o ) = 0 成立的点j ，称为系统的平衡点。初 始点是平衡点时，所对应的运动是固定不动的，因此平衡点是一种特殊的轨线。 在自治系统( 1 - 2 ) 中，设j = 巾( ，) 为相空问的一条轨线，若存在一个常数， 0 ，使得( f + t ) = o ( ，) 恒成立，且0 0 ，对于系统( i i ) 的任一 其它解x = x ( f ) ，当j jx ( t o ) 一中( o ) l | 占时，对于所有，o ，部有 i lx ( ，) 一m ( f ) j i 0 ， 都有 l i r a l i x ( f ) 一巾( ，) l i = 0 t + + 则称系统( 1 - 1 ) 的解x = 中( f ) 渐近稳定。 定义1 3 如果系统( 1 - 1 ) 的解x = o ( f ) 不是稳定的， 定。 当l x ( t o ) 一m ( 7 0 ) j i p o ( 或 l a o ( 或 o 时在平衡点叠附近产生周期解，则称p o 是上l l 缶界分岔点 ( s u p e r e r i t i e a lb i f u r c a t i o n ) ：如果当 o 时射线l l 与特征 值轨线a ( 泐；五) 相交，则卢。是上临界分俞点；反之，则o 是下临界分佾点。 另外，设射线l i 与特征值轨线互( 蛔；面) 丰 1 交于点户，如果特征值轨线 2 ( i c o ；面) 绕点尸i = p + 西l ( 面) ( 占 0 ) 反时针旋转的次数等_ j ：矩阵【g ( s ；面) t ，( 面) 】 的特征值a ( s ；丘) 中有j 下实部极点的个数，则周期解是稳定的：否则，周期解是 不稳定的。 1 2 4 频域方法的优势 频域方法分析h o p f 分俞十口比时域方法彳r “优辨，这q l 将蓖要的儿点概括 如下： ( 1 ) 频域方法有计算曲率系数的简单公式，) t ：；f j j f l j 图示方法避) 门时域方 法【 | 讨论中心流形时复杂的坐标变换和数学计算： ( 2 ) 利用图示方法不仅能找到单一周期解，丽且能找到多熏嵌套的周期解： ( 3 ) 在闭环系统中，可以很方便地应用和设计反馈控制器，控制系统分佾 现象的发生； ( 4 ) 只需要懂得控制系统的理论基础就能运用此方法： ( 5 ) 提供了更高阶的逼近方法，使我们能够得到分龠周期解的有效范围； ( 6 ) 当传统h o p f 分衍定理中某些假设不成立时会导致退化分俞情形出现， 利用图示方法可使之形象化，使我们能直观地了解。 1 3 神经网络模型中动力学现象的研究近况 众所周知，神经网络是一个复杂的火规模的：l e 线性动力系统。为了研究其 内在的动力学性质，关于神经网络提出了许多简化的数学模型。研究这些简化 的数学模型是很有价值的，在这些简化的模型t l 发现的现象有助于我们研究大 规模的网络。 6 电子科技人学硕十论文：分布式时延神经网络系统h o p f 分岔的频域分析 最近，文献【9 】提出了离敬和分和时延的_ i | i 纷，i 模犁： 掣：一z ( ，) + 口t a n h x ( t ) k ( 卜r ) - c j ( 卜1 4 ) “l 掣一硝) + “t a n h x ( f ) 6 9 耶) 加5 ) d s _ c 】 ( 1 - l s ) 这里a 指出了连续变量x ( ) 的变化范嘲b 作为历史影响的度最，c 是补偿 常数，f 是时延，f ( ) 是核函数。这是个带有局部正反馈和时延的模型。在 双曲正切函数自变量中的x ( ，) 是神经网络模型t l j 局部正反馈的自激。利用 l y a p u n o v 函数，文献【9 】中给出了方程( 1 1 4 ) 和( 1 一1 5 ) 存在全局稳定平衡点 的充分必要条件。廖晓峰教授等在文献 1 0 1 , ：1 1 1 1 1 进一步讨沦了方程( 1 - 1 5 ) 分 别在弱核和强核情形下的稳定性问题。文献【1 2 i 研究了方程( i 1 4 ) 的h o p f 分 岔和混沌现象。 g o p a l s a m y 在文献 1 3 q h 考虑了由兴奋和抑制因子组成的双神经元网络： 这星口，。l ，。2 和f 都足难实数，y 表示x 的激活位势t 工足抑制位势。在某 种意义上，可以将模型( 1 - 1 6 ) 看作一个兴奋抑制型神经网络。g o p a l s a m y 在 文献【1 3 】中说明了如果时延足够火，这个恻络将被激发现暂时性周期解，并 分析了h o p f 分贫。在文献1 1 3 帆- b 算了网络周期输出的近似解，并考察了暂时 性周期解的稳定性。 k g o p a l s a m y 在文献【1 4 】【 ，考虑了类似了i ：模型( 1 - 1 6 ) 的分析j 式时延模型 j 警一加m 鼬t 聃叫y 出，( 1 - 1 7 ) l 掣叫( ，) + d 鼬【厶加叫m ) a s l 这里口是一个j f 的常数，并且时延的核t ：【0 ，+ o o ) 一f 0 ，+ ) ，t 分段连续且 f k ( s ) d s = l ，f s ( s ) 出 0 ( 2 4 ) 当日；口；i ( 1 一b 1 ) ( 1 一b 2 ) l 0 ( 2 - 5 ) 可得 巴f ( 一r ) f x i ( ) 陟= l a e 。( s - t ) f x i o ) i d a ，2( 2 6 ) = e 一川l 。”e ”sji x s 、d s j 将( 2 6 ) 代入方程( 2 - 3 ) ，方程两边再关下时问，求导数有 学一掣矗t f n z ( f ) 】掣_ w k ( f ) 】 叫掣q ( f ) 一机z ( f ) 】) ( 2 - 7 ) 每堕一等磐+ 口：2 f n l ( ，) 】掣矗2 w h ( f ) 】 刊掣蝎( ) 一n ；m l ( ，) 】) 设 郴) = 掣，啪) = 丁d 。2 ( od td l 可得一个4 维微分方程系统： a x l - - - i 1 硝3 ，& 孑硝4 ( 2 8 ) ! ! 兰= 一r i + a t ( 1 一b 1 ) 厂( x 2 ) 一( + 1 ) x 3 + a l f ( x 2 ) x 4 a l 掣= 口；( 1 6 2 ) f l f ( x 1 ) 一雕2 + a 2 f ( 一) 工3 一( + 1 ) 工4 a t l o 皇至翌塑奎堂堡论文：分布式时延神经网络系统h o p f 分岔的频域分析 将非线性系统( 2 - 8 ) 改写为甜i 阼形式 去= 砌 坼) 这里x = ( x l ，x 2 ，的，x 4 ) 7 ， 一( ) = h ( x ) = 00 00 一u0 0 一 l 0 一( + 1 ) o o 0 0 l 0 一( + 1 ) ；( 1 一b 1 ) 1 z f ( x 2 ) + 口：，( x 2 ) x 4 d ；( 1 一b 2 ) 1 t f ( x i ) + a 2 f ( z i ) x 3 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 我们将平均时延t 作为分俞参数，并引入状态反馈控制“= g u ；肋，得到一 个带非线性反馈的线性系统： 其。 i c l x ：一( ) 工+ b ” d t y = 一c x( 2 1 1 ) “= g ( y ，) b = o0 o0 10 o1 c = ， 一加睬二粉j 二：勰 再对系统( 2 - 1 2 ) 作拉普拉斯变换，得该系统线性部分的传输矩阵 g ( s ；) = c s l 一爿( ) 】一b = j0一l 0s0 ”0s + p 4 - l 00 0o 00 lo 01+ o一。 s 第二章：h o p f 分岔的存谯性 = ：一 l o + 1 ) ( 5 + ) l0 0l s0 0j ( 2 一1 3 ) 我们将反馈系统在平衡点y = 0 处线性化，得到枷应的雅叮比矩阵 ，c ，= 考e ，：。= ( 一。：。：。：，一口i a i 抚一0 口：一。a 1 c z - 。， 这里a 。= a i f ( o ) ，= 1 ，2 。可得 g 0 ；) ，( ) f 0 一a l ( 1 一b t ) 0一口l 1l a 2 ( 1 一b 2 ) 0 一a 2 0 ( s + ) ( s + 1 ) 1 0 一( 2 1 ( 1 一仇) u s 0 一口1 5 i a 2 ( 1 一b 2 ) p s 0 一u 2 s 0 ( 2 1 5 ) 砹 厅( 丑，s ；p ) = d e t l 甜一g ( s ；g ) j ( p ) i = 丑2 矛一! 坐至q = i ；j ；秽 = 。2 - 1 6 10 + ) ( s + 1 ) j 根据h 叩f 分岔理论知：如果系统在= o 处出现h o p f 分衍，则其在时域 中的雅可比矩阵有- - x 寸纯虚的特征值i w o 。 由引理1 4 可知矩阵【g ( f o ；p o ) ，( o ) 】有实特征值一1 + i o 。设互= 互( f ；) 是矩阵【g ( j ；p ) d c a ) 的特征值，满足互( i o ；一o ) = 一1 + i o ，钉 矗( - 1 , i w o ；g o h 一型学( p o 瓮i c o 黜0 拶i ( 0 0 - o 协 + jt l +j 首先考虑b 2 = 0 的情形。方程( 2 - 1 7 ) 化为 ( ，i 口2 【( 1 一b 1 ) o + f o 】= ( o + f 甜o ) ( 1 + ，甜o ) 2 ( 2 1 8 ) 即 j a l 0 2 ( 1 - b 1 ) o = a o ( 1 一；) 一2 0 , 0 2 ( 2 - 1 9 ) 【a l a 2 = 2 + i 一i u 予科技人学颀 ：沦文：分粕式l h 娥神终叫络系缝! i o p f 分忿的领域分辨 可得 2 p 5 + ( 4 一a l d 2 b 1 ) o + 2 ( i 一“1 “2 ) = 0 彩0 = 2 o + l a l “2 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 方程( 2 2 0 ) 靛两令擞跫 舻舭啪b 卅厮而面面鬲 ( 2 - z 2 ) 考虑别“是个实数，i ：jl # 0 和0 ，i j 以分为两种情况； ( i ) 如聚抒l a 2 01 1 ，一 0 1 兰岛 ( 4 a l 群2 ) ( 1 l 一舔据2 ) 辩，+ 0j t # 一 0 袋+ 与一是共辏复数。 ( i i ) 如果l i a 2 0i | 一0 。 这谨，我翻褥铡蟊lf 瀚缩莱。 定理2 - ih o p f 分龠存在性定理 ( 1 ) 如巢b 2 = 0 ，a l a 2 ( 4 订l a 2 ) ( 1 + l a l a 2 ) ，则o 嚣+ 与o = 一 都是系统( 2 1 1 ) 的h o p f 分俞点： ( 2 ) 如聚b 2 = 0 ，o i 口2 1n 翻 0 ，仃 2 ( 1 + o ) 一a l a 2 ( 2 一b l b 2 ) 0 ，4 a l “2 b l b 2 ( 1 + a o ) l o 0 ( 2 - 2 9 ) 可柑 2 ( 1 + o ) 2 一o l a 2 ( br + b 2 ) ( 1 + 2 【) ) 一f i u 2 ( 2 6 l b 2 ) 0 ( 2 - 3 0 ) 令 2 ( 1 + u ) 2 一a l a 2 ( b t + b 2 ) ( 1 + ) 一a l a 2 ( 2 一b l b 2 ) = 0 ( 2 - 3 1 ) 万程( 2 3 1 ) 的两个根足 + = 去 口。日：( 6 。+ b 2 ) 一4 】、石i i i i ；二i i i j i j j j ：i i i i 而 ( 2 3 2 ) 这样，我们得到如下的结果。 定理2 2h o p f 分俞存在的必要条t l ： 系统( 2 一1 1 ) 的h o p f 分衍点o 必为疗程! ( 2 - 2 5 ) 的f l ：实根 ( i ) 如果a l a 2 l 且6 i + b 2 ( 4 d l “2 ) ( 1 + l a i 口2 ) ，则系统( 2 1 1 ) 的h o p f 分俞点只能在区问阻一，+ 】内： ( i i ) 如果a l a 2 1h “+ b 2 l ，则系统( 2 - 1 1 ) 的h o p f 分甜点jf ( t - l k f n j ( o ，u + ) 内。 电子科技人学硕一l ：论文：分枷时延神经州绕系统t l o p f 分捕的 ! ； 域分析 2 3 强核情形下h o p f 分岔的存在性 在模型( 2 3 ) r ”取核甬数为强核 可得 f p ) = 2 r p 一， 0 将( 2 3 4 ) 代入方程( 2 - 3 ) ，方程两边f 1 灭r 时问，求导数，柯 ( 2 3 3 ) 学= 一掣叫掣蝎_ “，k ” 矗i f 似f ) 】鱼一日；2 e 叫e u s f 以州幽 学一掣叫掣+ x 2 ( t ) - a 扒2 j 州，) j ) 23 5， 川 ( 一) + d ；厂，【x l ( ，) 1 d x 讲l ( t ) 一订；b 2 1 a2 e - i j t 。p ，j 5 ，【工i ( s ) j j s 方程( 2 - 3 5 ) 两边关于时间，再求导数，有 a 3 讲x , 3 ( t ) = - 一u 2 x l ( t ) - ( 小2 ) 掣- ( 2 1 + 1 ) d2 加x l 。( t ) “i ( 1 - b 1 ) f 1 2 f 删】+ 2 “? 愀) 】掣 啊九蹦明学啊门硝川 警 2弦，。， 了d 3 x 2 ( 1 ) 一 2 x 2 ( ) 一( 2 + 2 p ) 掣坤川) 学 + 口；( 1 6 2 ) 2 厂【x l ( ，) 】+ 2 c ，2 + ，【工l o ) l a x 讲l ( 0 城m ( f ) 】掣d t 而h i ( ，) j l 掣 【 “f j m 出 眦m 0 孵 町、j 卜 一 川 0 一 “ o k 卢 打。 也办 r 州 o k l i v 吖 兀 己 笙三望! 坚! 丛坌笙塑堑垒丛 ， 础) = 掣，) _ 掣州归7 d z x l q ) 砜( ，) = d 2 折x 2 ：( t ) 可得一个6 维微分方程系统 亟：。， 础 。 d x 2 d t 2 拍 堕：x 。 d t 。 亟： 讲 ” 鲁= - - t 1 2 x l - - ( p 2 + 2 p ) 矿( 2 川盼“：八砂； + a i ( 1 - b o p 2 f ( x 2 ) + 2 a l , u f ( x 2 ) x 4 + a l f ( 。2 ) x 6 警= - a 2 砭一( f 1 2 + 2 咖。一( 2 p + 1 峨“2 f + a 2 ( 1 - b 2 ) 2 2 f ( x 1 ) + 2 a 2 g f ( x 1 ) x 3 + a 2 f ( - ) 马 将非线性系统( 2 - 3 7 ) 改写为矩阵形式： 瓦d x = 彳( ) x 十( x ) 这星j = 0 ix 2 其中 爿( ) = x 、x tx 、x 心。 00l0 0 0001 0 000 01 000 00 一2 0 一( 2 + 2 ) 0一( 2 + 1 ) 0 一2 0 一( 2 + 2 ) 0 h ( x ) = ( o 000 h i ( x ) 如( j c ) ) 7 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) h i ( 工) = a i ( 1 一b 1 ) 2 f ( x 2 ) + 2 a lp f ( 工2 ) x 4 + c f ? ( x 2 ) x 6 + a lf ( x 2 ) x ； 2 ( x ) = a 2 + ( 1 一b 2 ) 2 f ( x 1 ) + 2 a 2 # f ( x 1 ) x 3 + a 2 f ( 工i ) x 5 + a 2 f ”( x 1 ) x ；。 我们将平均时延u 作为分俞参数，得到一个带非线性反馈的线性系统 6 ) i o o 0 o 2 ( 一 电子科技人学硕十论文：分布式时延神经网络系统h o p f 分甜的频域分析 其中 _ d x ：爿( ) x + b u d t y = c x “= g ( y ；f ) b = o 0 0o o0 00 l0 0l c = ，”= g ( y ；) = f h 6 2 i ( 一- y y ) 1 ) 。 再对系统( 2 4 1 ) 作拉普拉斯变换，得该系统线性部分的传输矩阵： g ( s ；g ) = c s l 一彳( ) r 1 b = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 i ( s + ) 2 0 + 1 ) l0 0l s0 05 j 20 0s 2 00 o0 0o 0o l0 0l 我们将反馈系统在平衡点y = 0 处线性化，得到相应的雅可比矩阵： ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 坳，乱 协。， 一f 0 一a l ( 1 b 1 ) 2 0 2 a l a 0 一口1 1 l 一口2 ( 1 一b 2 ) 2 0 2 a 2 0一口2 0 j 这里口f = a i f ( 0 ) ，i = 1 ，2 ，。可得 1 7 +