091550_高等代数(北大版第三版)习题答案.pdf

高等代数（北大*第三版）答案高等代数（北大*第三版）答案 目录目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第一部分该为第一部分，其他请搜索，谢 谢！ 第一章多项式第一章多项式 1 用)(xg除)(xf，求商)(xq与余式)(xr： 1）123)(, 13)( 223 xxxgxxxxf； 2）2)(, 52)( 24 xxxgxxxf。 解 1）由带余除法，可得 9 2 9 26 )(, 9 7 3 1 )(xxrxxq； 2）同理可得75)(, 1)( 2 xxrxxxq。 2qpm,适合什么条件时，有 1）qpxxmxx 32 |1， 2）qpxxmxx 242 |1。 解 1）由假设，所得余式为 0，即0)()1( 2 mqxmp， 所以当 0 01 2 mq mp 时有qpxxmxx 32 |1。 2）类似可得 01 0)2( 2 2 mpq mpm ，于是当0m时，代入（2）可得1 qp；而当 02 2 mp时，代入（2）可得1q。 综上所诉，当 1 0 qp m 或 2 1 2 mp q 时，皆有qpxxmxx 242 |1。 3求( )g x除( )f x的商( )q x与余式： 1） 53 ( )258 , ( )3f xxxx g xx； 2） 32 ( ), ( )12f xxxx g xxi 。 解1） 432 ( )261339109 ( )327 q xxxxx r x ； 2） 2 ( )2(52 ) ( )98 q xxixi r xi 。 4把( )f x表示成 0 xx的方幂和，即表成 2 010200 ()().()n n cc xxc xxcxx的形式： 1） 5 0 ( ),1f xxx； 2） 42 0 ( )23,2f xxxx ； 3） 432 0 ( )2(1)37,f xxixi xxi xi 。 解 1）由综合除法，可得 2345 ( )1 5(1) 10(1)10(1)5(1)(1)f xxxxxx ； 2）由综合除法，可得 42234 2311 24(2)22(2)8(2)(2)xxxxxx； 3） 由综合除法，可得 432 2(1)3(7)xixi xxi 234 (75 )5()( 1)()2 ()()ixii xii xixi 。 5求( )f x与( )g x的最大公因式： 1） 43232 ( )341, ( )1f xxxxxg xxxx； 2） 4332 ( )41, ( )31f xxxg xxx； 3） 42432 ( )101, ( )4 264 21f xxxg xxxxx。 解 1）( ( ), ( )1f x g xx； 2）( ( ), ( )1f x g x； 3） 2 ( ( ), ( )2 21f x g xxx。 6求( ), ( )u x v x使( ) ( )( ) ( )( ( ), ( )u x f xv x g xf x g x。 1） 432432 ( )242, ( )22f xxxxxg xxxxx； 2） 43232 ( )421659, ( )254f xxxxxg xxxx； 3） 4322 ( )441, ( )1f xxxxxg xxx。 解 1）因为 2 2 ( ( ), ( )2( )f x g xxr x 再由 11 212 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) f xq x g xr x g xqx r xr x ， 解得 22121 212 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1( )( ) ( ) r xg xqx r xg xqxf xq x g x qxf xq x qx g x ， 于是 2 12 ( )( )1 ( )1( )( )1 1 (1)2 u xqxx v xq x qxxx 。 2）仿上面方法，可得( ( ), ( )1f x g xx，且 2 1122 ( ), ( )1 3333 u xxv xxx 。 3）由( ( ), ( )1f x g x可得 32 ( )1, ( )32u xxv xxxx 。 设 32 ( )(1)22f xxt xxu与 32 ( )g xxtxu的最大公因式是一个二次多项 式，求, t u的值。 解因为 322 11 212 ( )( ) ( )( )()(2) ( )( ) ( )( ) f xq x g xr xxtxuxxu g xqx r xr x ， 2 (2)(2)(24)(3)xtxxuutxut， 且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式 2( ) r x为 0，即 (24)0 (3)0 ut ut ， 从而可解得 1 1 0 2 u t 或 2 2 2 3 u t 。 证明： 如果( )|( ), ( )|( )d xf x d xg x， 且( )d x为( )f x与( )g x的组合， 那么( )d x是( )f x 与( )g x的一个最大公因式。 证易见( )d x是( )f x与( )g x的公因式。另设( )x是( )f x与( )g x的任一公因式，下证 ( )| ( )xd x。 由于( )d x是( )f x与( )g x的一个组合，这就是说存在多项式( )s x与( )t x，使 ( )( ) ( )( ) ( )d xs x f xt x g x， 从而由( )|( ), ( )|( )xf xxg x可得( )|( )xd x，得证。 证明：( ( ) ( ), ( ) ( )( ( ), ( ) ( )f x h x g x h xf x g x h x，( ( )h x的首系数为） 。 证因为存在多项式( ), ( )u x v x使( ( ), ( )( ) ( )( ) ( )f x g xu x f xv x g x， 所以( ( ), ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x h xu x f x h xv x g x h x， 上式说明( ( ), ( ) ( )f x g x h x是( ) ( )f x h x与( ) ( )g x h x的一个组合。 另一方面，由( ( ), ( )|( )f x g xf x知( ( ), ( ) ( )|( ) ( )f x g x h xf x h x， 同理可得( ( ), ( ) ( )|( ) ( )f x g x h xg x h x， 从 而( ( ), ( ) ( )f x g x h x是( ) ( )f x h x与( ) ( )g x h x的 一 个 最 大 公 因 式 ， 又 因 为 ( ( ), ( ) ( )f x g x h x的首项系数为，所以( ( ) ( ), ( ) ( )( ( ), ( ) ( )f x h x g x h xf x g x h x。 如果( ), ( )f x g x不全为零，证明： ( )( ) ,1 ( ( ), ( ) ( ( ), ( ) f xg x f x g xf x g x 。 证存在( ), ( )u x v x使( ( ), ( )( ) ( )( ) ( )f x g xu x f xv x g x， 又因为( ), ( )f x g x不全为，所以( ( ), ( )0f x g x， 由消去律可得 ( )( ) 1( )( ) ( ( ), ( )( ( ), ( ) f xg x u xv x f x g xf x g x ， 所以 ( )( ) ,1 ( ( ), ( ) ( ( ), ( ) f xg x f x g xf x g x 。 11证明：如果( ), ( )f x g x不全为零，且( ) ( )( ) ( )( ( ), ( )u x f xv x g xf x g x，那么 ( ( ), ( )1u x v x。 证 由上题证明类似可得结论。 12证明：如果( ( ), ( )1,( ( ), ( )1f x g xf x h x，那么( ( ), ( ) ( )1f x g x h x。 证由假设，存在 11 ( ),( )u x v x及 22 ( ),( )ux v x使 11 ( ) ( )( ) ( )1u x f xv x g x（1） 22 ( ) ( )( ) ( )1ux f xv x h x（2） 将（1） （2）两式相乘，得 121212 12 ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 u x ux f xv x ux g xu x v x h xf x v x v x g x h x ， 所以( ( ), ( ) ( )1f x g x h x。 13设 11 ( ),.,( ),( ),.,( ) mn f xfx g xgx都是多项式，而且 ( ),( )1 ij f x gx(1,2,.,;1,2,., )im jn。 求证： 1212 ( )( ).( ),( )( ).( )1 mn f x fxfx g x gxgx。 证 由于 11 12 1 ( ),( )1 ( ),( )1 . ( ),( )1 n f x g x f x gx f x gx ， 反复应用第 12 题结论，可得 112 ( ),( )( ).( )1 n f x g x gxgx， 同理可证 212 12 ( ),( )( ).( )1 . ( ),( )( ).( )1 n mn fx g x gxgx fx g x gxgx ， 从而可得 1212 ( )( ).( ),( )( ).( )1 mn f x fxfx g x gxgx。 14证明：如果( ( ), ( )1f x g x，那么( ( ) ( ),( )( )1f x g xf xg x。 证由题设知( ( ), ( )1f x g x，所以存在( ), ( )u x v x使( ) ( )( ) ( )1u x f xv x g x， 从而( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1u x f xv x f xv x f xv x g x， 即 ( )( ) ( )( ) ( )( )1u xv xf xv xf xg x， 所以( ( ),( )( )1f xf xg x。 同理( ( ),( )( )1g xf xg x。 再由 12 题结论，即证( ( ) ( ),( )( )1f x g xf xg x。 15求下列多项式的公共根 32432 ( )221, ( )21f xxxxg xxxxx 解由辗转相除法，可求得 2 ( ( ), ( )1f x g xxx，所以它们的公共根为 13 2 i 。 16判别下列多项式有无重因式： 1） 5432 ( )57248f xxxxxx； 2） 42 ( )443f xxxx； 解1） 432 2 ( )5202144 ( ( ),( )(2) fxxxxx f xfxx ， 所以( )f x有2x的三重因式。 2） 3 ( )484fxxx，( ( ),( )1f xfx，所以( )f x无重因式。 17求t值，使 32 ( )31f xxxtx有重根。 解易知( )f x有三重根1x 时，3t 。若令 322 31() ()xxtxxaxb ，比较两端系数，得 2 2 32 2 1 ab taab a b 由（1） ， （3）得 32 2310aa ，解得a的三个根为 123 1 1,1, 2 aaa，将a的三个根 分别代入 （1） ， 得 123 1,1,4bbb。 再将它们代入 （2） ， 得t的三个根 123 5 3,3, 4 ttt。 当 1,2 3t时( )f x有 3 重根1x ；当 3 5 4 t 时，( )f x有 2 重根 1 2 x 。 18求多项式 3 xpxq有重根的条件。 解令 3 ( )f xxpxq，则 2 ( )3fxxp，显然当0p 时，只有当 3 0,( )qf xx 才有三重根。 下设0p ，且a为( )f x的重根，那么a也为( )f x与( )fx的根，即 3 2 0 30 apaq ap 由（1）可得 2 ()a apq ，再由（2）有 2 3 p a 。所以 () 3 3 2 p apq q a p ， 两边平方得 2 2 2 9 43 qp a p ，所以 32 4270pq。 综上所叙即知，当 32 4270pq时，多项式 3 xpxq有重根。 19如果 242 (1) |1xaxbx，求, a b。 解 令( )f x 42 1axbx，( )fx 3 42axbx。由题设知，1 是( )f x的根，也是( )fx 的根，此即 10 420 ab ab ， 解得1,2ab 。 20证明： 2 1. 2! n xx x n 不能有重根。 证 因为( )f x的导函数 21 11 ( )1. 2!(1)! n fxxxx n ， 所以 1 ( )( ) ! n f xfxx n ， 于是 11 ( ( ),( )( ),( )(,( )1 ! nn f xfxfxxfxxfx nn ，从而( )f x无重根。 21如果是( )fx的一个 k 重根，证明是 ( )( )( )( )( ) 2 xa g xfxfaf xf a 的一个 k+3 重根。 证因为 1 ( )( )( )( ) 22 ( )( ) 2 xa g xfxfxfa xa gxfx ， 由于是( )fx的k重根，故是( )gx的1k 重根。代入验算知是( )g x的根。 现在设是( )g x的s重根，则是( )g x的1s重根，也是( )gx的 s-2 重根。 所以213sksk 。得证。 22证明： 0 x是( )f x的k重根的充分必要条件是 (1) 000 ()().()0 k f xfxfx ， 而 ( ) 0 ()0 k fx 证 必要性：设 0 x是( )f x的k重根,从而是( )fx的1k 重根，是( )fx的2k 重根， 是 (2) 0 () k fx 的一重根，并且 0 x不是 ( )( )k fx的根。于是 (1) 000 ()().()0, k f xfxfx 而 ( ) 0 ()0 k fx。 充分 性：由 (1) 0 ()0 k fx ，而 ( ) 0 ()0 k fx，知 0 x是 (1)( )k fx 的一 重根。又 由于 (2) 0 ()0 k fx ，知 0 x是 (2)( )k fx 的二重根，依此类推，可知 0 x是( )f x的k重根。 23举例说明段语“是( )fx的m重根，那么是( )f x的1m重根”是不对的。 解 例如，设 1 1 ( )1 1 m f xx m ，那么( ) m fxx以 0 为m重根，但 0 不是( )f x的根。 24证明：如果(1)|() n xf x，那么(1)|() nn xf x。 证 要证明(1)|() nn xf x，就是要证明(1)0f（这是因为我们可以把 n x看作为一个变 量） 。由题设由(1)|() n xf x，所以(1 )0 n f，也就是(1)0f，得证。 25证明：如果 233 12 (1)|()()xxf xxfx，那么 12 (1)|( ),(1)|( )xf xxfx。 证 因为 2 1xx的两个根为和 2 ，其中 22 cossin 33 i ，所以和 2 也是 33 12 ()()f xxfx的根，且 3 1，于是 12 2 12 (1)(1)0 (1)(1)0 ff ff ， 解之得 12 (1)0,(1)0ff。得证。 26求多项式1 n x 在复数范围内和在实数范围内的因式分解。 解在复数范围内 21 1(1)()().() nn xxxxx ，其中 22 cossin 33 i ， 在实数域内(0) jnj jn ，所以，当n为奇数时，有 11 212222 22 1(1)()1()1. ()1 nn nnn xxxxxxxx 其中 21 2cos(1,2,.,) jnjjj jn j nn ，皆为实数。 当n是偶数时，有 11 212222 22 1(1)(1)()1()1. ()1 nn nnn xxxxxxxxx 27求下列多项式的有理根： 1） 32 61514xxx； 2） 42 4751xxx； 3） 5432 614113xxxxx。 解利用剩余除法试根，可得 1） 有一个有理根 2。 2） 有两个有理根 11 , 22 （即有 2 重有理根 1 2 ） 。 3） 有五个有理根3, 1, 1, 1, 1 （即一个单有理根 3 和一个 4 重有理根1） 。 28下列多项式在有理数域上是否可约？ 1） 2 1x ； 2） 432 8122xxx； 3） 63 1xx； 4）1, p xpxp为奇素数； 5） 4 41,xkxk为整数。 解 1）因为1都不是它的根，所以 2 1x 在有理数域里不可约。 2）利用艾森斯坦判别法，取2p ，则此多项式在有理数域上不可约。 3）首先证明： 命题设有多项式( )f x，令1xy或1xy，得 ( )(1)g yf y或( )(1)g yf y 则( )f x与( )g y或者同时可约，或者同时不可约。 事实上，若( )f x可约，即 12 ( )( )( )f xf x fx，从而 12 ( )(1)(1)(1)g yf yf yfy， 这就是说( )g y也可约，反之亦然。 现在我们用它来证明 63 1xx在有理数域上不可约。令1xy，则多项式变为 6365432 (1)(1)1615211893yyyyyyyy 利用艾森斯坦判别法，取3p ，即证上式不可约，因而 63 1xx也不可约。 4） 设( )1 p f xxpx，令1xy，则( )(1)g yf y 1122221 .() ppppp pppp yc yc ycycp yp 由于p是素数， 因而|(1,2,.,1) i p p cip， 但 2 |pp， 所以由艾森斯坦判别法， 即证( )g y 在有理数域上不可约，因而( )f x也在有理数域上不可约。 5） 已知 4 ( )41f xxkx，令1xy，可得 432 ( )(1)46(44)42g yf yyyykyk 利用艾森斯坦判别法，取2p ，即证( )g y在有理数域上不可约，因而( )f x也在有理数域 上不可约。 29用初等对称多项式表求出下列对称多项式： 1） 222222 121213132323 x xx xx xx xx xx x； 2） 121323 ()()()xxxxxx； 3） 222 121323 () () ()xxxxxx； 4） 222222222222 121314232434 x xx xx xx xx xx x； 5) 1232313 12 ()()()x xxx xxx xx； 6) 121223231313 ()()()xxx xxxx xxxx x。 解 1）对称多项式的首项为 2 12 x x，其方幂为(2,1,0)，即 2 11 00 12312 ， 又因为 222222 12121313232312123 3x xx xx xx xx xx xx x x ， 所以 原式= 123 3 。 2）同理可得 121323 ()()()xxxxxx 222222 121213132323123 2x xx xx xx xx xx xx x x 1233 123 32 ）原式= 222222 112211332233 (2)(2)(2)xx xxxx xxxx xx 42 12 .x x， 由此可知多项式时六次对称多项式，且首项为 42 12 x x，所以的方幂之积为 指数组对应的方幂乘积 420 22 12 411 3 13 330 3 2 321 123 222 2 3 原式= 22332 121321233 abcd (1) 只要令 123 0,0 xxx,则原式左边0。另一方面，有 123 2,1,0， 代入（1）式，得4b 。再令 123 1,2xxx ，得27d 。 令 123 1,1xxx ，得 22ac（2） 令 123 1,xxx得 36ac（3） 由（2） ， （3）解得4,18ac 。因此 原式 22332 121321233 441827 。 4）原式= 222222222222 121314232434 x xx xx xx xx xx x 指数组对应的方幂乘积 2200 2 2 2110 13 1111 4 设原式 2 2134 ab 令 1234 1,0,xxxx得2a 。 再令 1234 1,xxxx得2b 。 因此原式 2 2134 22 。 1） 原式= 222333 123123123123 ()x x xx x xx x xx x x 222222 122313123 ()x xx xx xx x x， 由于 3332 1231232231323 2x x xx x xx x x ， 2222222 122313213 2x xx xx x ， 所以原式 222 131322333 22 。 2） 原式 222222223 123123123123 2()x x xx x xx x xx x x 222222222 122313123123123 (333)x xx xx xx x xx x xx x x 222222 121213231323123 ()2x xx xx xx xx xx xx x x， 其中 222223 12312312323 2()2x x xx x xx x x ， 222222 1223123213 .3x xx xx x x ， 222 121223123 .x xx xx x ， 所以 原式 22 121322333 2 。 30用初等对称多项式表出下列 n 元对称多项式： 1） 4 1 x ； 2） 2 123 x x x ； 3） 22 12 x x ； 4） ； 22 1234 x x x x （ 12 12. n lll n ax xx 表示所有由 12 12. n lll n ax xx经过对换得到的项的和。 ） 解 1）因为多项式的首项为 4 1 x，所以 指数组对应的方幂乘积 40000 4 1 31000 2 12 22000 2 2 21100 13 1111.0 4 设原式 422 1122134 abcd ， 令 1234 1,1,.0, n xxxxx 得2b 。 123 1,.0, n xxxx得4a 。 1234 1,.0, n xxxxx得4c 。 12345 1,1,.0, n xxxxxx 得4d 。 所以原式 422 1122134 4244 。 2）同理可得原式 134 4 。 3）原式 2 1134 22 。 4） 原式 24156 49 。 31设 123 ,a a a是方程 32 56730 xxx的三个根，计算 222222 112222331133 ()()()aa aaaa aaaa aa 解因为 1123 2122313 3123 aaa a aa aa a a a a ， 由根和系数的关系，可得 123 673 , 555 ， 再将对称多项式化为初等多项式并计算，可得 222222 112222331133 ()()()aa aaaa aaaa aa 2233 11132 1679 625 。 32证明：三次方程 32 123 0 xa xa xa的三个根成等差数列的充分必要条件为 3 1123 29270aa aa。 证设原方程的三个根为 123 , ，则它们成等差数列的充分必要条件为 123213312 (2)(2)(2)0。 将上式左端表为初等对称多项式，得 3 1232133121123 (2)(2)(2)2927 ， 故三根成等差数列的充分必要条件为 3 1123 29270aa aa。 二 、补充题及参考解答二 、补充题及参考解答 1 设 11 ( )( )( ),( )( )( )f xaf xbg x g xcf xdg x，且0adbc，证明： 11 ( ( ), ( )( ),( )f x g xf x g x 证设( )( ( ), ( )d xf x g x,则由已知，得 11 ( )|( ), ( )|( )d xf x d xg x。 其次，设( )x是 1( ) f x与 2( ) gx的任一公因式，只需证明( )|( )xd x即可。 因为 11 ( )( )( ),( )( )( )f xaf xbg x g xcf xdg x,所以 11 11 ( )( )( ) ( )( )( ) db f xf xg x adbcadbc ca g xf xg x adbcadbc 又因为 11 |,|,|fgfg,从而( )|( )xd x。 故( )d x也是 1( ) f x与 1( ) g x的最大 公因式。 2 证明：只要 ( )( ) , ( ( ), ( ) ( ( ), ( ) f xg x f x g xf x g x 的次数都大于零，就可以适当选择适合等式 ( ) ( )( ) ( )( ( ), ( )u x f xv x g xf x g x的( )u x与( )v x，使 ( )( ) ( ( ), ( ( ) ( ( ), ( )( ( ), ( ) g xf x u xv x f x g xf x g x 证存在多项式 1( ) u x， 1( ) v x，使 11 ( ) ( )( ) ( )( ( ), ( )u x f xv x g xf x g x,从而 11 ( )( ) ( )( )1 ( ( ), ( )( ( ), ( ) f xg x u xv x f x g xf x g x （1） 1） 若 1( ) u x的次数满足 1 ( ) ( ) ( ( ), ( ) g x u x f x g x ,则 1 ( ) ( ( ) ( ( ), ( ) f x v x f x g x 事实上，采用反证法。若 1 ( ) ( ( ) ( ( ), ( ) f x v x f x g x ,则（1）式左边的第一项次数小于 ( )( ) ( ( ), ( )( ( ), ( ) g xf x f x g xf x g x ,而第二项的次数大于或等于 ( )( ) ( ( ), ( )( ( ), ( ) g xf x f x g xf x g x , 这样（1）式左端的次数 ( )( ) 0 ( ( ), ( )( ( ), ( ) g xf x f x g xf x g x ，但（1）式右端的次 数为零，矛盾。所以 11 ( )( ) ( ), ( ( ) ( ( ), ( )( ( ), ( ) g xf x u xv x f x g xf x g x , 此时 1( ) u x， 1( ) v x即为所求。 2)若 1 ( ) ( ) ( ( ), ( ) g x u x f x g x ,则用 ( ) ( ( ), ( ) g x f x g x 除 1( ) u x，可得 1 ( ) ( )( )( ) ( ( ), ( ) g x u xs xr x f x g x ,其中 ( ) ( ( ) ( ( ), ( ) g x r x f x g x , 注意到( )0r x 是不可能的，事实上，若( )0r x ，则 1 ( ) ( )( ) ( ( ), ( ) g x u xs x f x g x , 代入（1）式得 1 ( )( ) ( )( )1 ( ( ), ( )( ( ), ( ) g xg x s xv x f x g xf x g x ,矛盾。 再将 1 ( ) ( )( )( ) ( ( ), ( ) g x u xs xr x f x g x 代入（1）式，可得 1 ( )( )( ) ( ) ( )( )1 ( ( ), ( )( ( ), ( )( ( ), ( ) f xf xg x r xs xv x f x g xf x g xf x g x , 令 1 ( ) ( )( ), ( )( )( ) ( ( ), ( ) f x u xr x v xs xv x f x g x ,再利用本题 1）的证明结果，即证。 3 证明：如果( )f x与( )g x互素，那么() m f x与() m g x也互素。 证由假设，存在( )u x和( )v x使( ) ( )( ) ( )1u x f xv x g x, 于是() ()() ()1 mmmm u xf xv xg x，即证。 4 证明：如果 121 ( ),( ),.( ) s f xfxfx 的最大公因式存在，那么 121 ( ),( ),.( ),( ) ss f xfxfxfx 的最大公因式也存在， 且当 121 ( ),( ),.( ),( ) ss f xfxfxfx 全不为 零时有 121121 ( ),( ),.( ),( )( ),( ),.( ),( ) ssss f xfxfxfxf xfxfxfx ,再利用上式证明， 存在 12 ( ),( ),.,( ) s u x uxu x使 112212 ( )( )( )( ).( )( )( ),( ),.,( ) sss u x f xux fxu x fxf xfxfx. 证 因为 121 ( ),( ),.( ) s f xfxfx 的最大公因式存在，设其为 1( ) d x，则 1121 ( )( ),( ),.( ) s d xf xfxfx ,于是 1( ) d x与( ) s fx的最大公因式也存在，不妨设为 1 ( )( ),( ) s d xd xfx,则( )|( ) i d xf x(1,2,., )is, 若设( )x是 121 ( ),( ),.( ),( ) ss f xfxfxfx 的任一公因式，则 1 ( )|( )xd x, 这样( )x为 1( ) d x与( ) s fx的一个公因式，又可得( )|( )xd x，即证 121 ( )( ),( ),.( ),( ) ss d xf xfxfxfx . 下面用归纳法证明本题第二部分。当2s 时结论显然成立，假设命题对1s也成立，即存在 121 ( ),( ),.,( ) s v x v xvx ，使 112211 ( )( )( )( ).( )( ) ss v x f xv x fxvx fx 1211 ( ),( ),.( )( ) s f xfxfxd x ,成立。 再证命题对s也成立。 事实上，存在( )p x和( )q x，使 11 ( )( ),( )( )( )( )( ) ns d xd xfxp x d xq x fx 112211 ( ) ( )( )( )( ).( )( ) ss p x v x f xv x fxvx fx ( )( ) s q x fx， 令( )( ) ( ) ii u xp x v x(1,2,.,1)is，( )( ) s u xq x，即证。 5 多项式( )m x称为多项式( ), ( )f x g x的一个最小公因式，如果 1）( )|( ), ( )|( )f xm x g xm x； 2）( ), ( )f x g x的任一公倍式都是( )m x的倍式。 我们以 ( ), ( )f x g x表示首项系数是 1 的那个最小公倍式，证明：如果( ), ( )f x g x的首项系 数都是 1，那么 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ( ), ( ) f x g x f x g x f x g x 。 证令( ( ), ( )( )f x g xd x，则 1 ( )( ) ( )f xf x d x， 1 ( )( ) ( )g xg x d x，于是 11 ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ( ), ( ) f x g x f x g xg x f x f x g x 。 即 ( ) ( ) ( )| ( ( ), ( ) f x g x f x f x g x ， ( ) ( ) ( )| ( ( ), ( ) f x g x g x f x g x ， 设( )m x是( )f x与( )g x的任一公倍式，下面证明 ( ) ( ) |( ) ( ( ), ( ) f x g x m x f x g x 。 由倍式的定义，有( )( ) ( )( ) ( )m xf x s xg x t x， 即 11 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )f x d x s xf x s xg x t xg x d x t x， 消去( )d x得 11 ( ) ( )( ) ( )f x s xg x t x，于是 11 ( )|( ) ( )g xf x s x。 由于 11 ( ),( )1f x g x，因而 1( )| ( ) g xs x或者 1 ( )( ) ( )s xg x q x，所以 1 1 ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ( ), ( ) f x m xf x s xf x g x q xq x f x g x ， ( ) ( ) |( ) ( ( ), ( ) f x g x m x f x g x 。即证。 6 证明：设( )p x是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式( ), ( )f x g x，由 ( )|( ) ( )p xf x g x，可以推出( )|( )p xf x或者( )|( )p xg x，那么( )p x是不可约多项式。 证采用反证法。设( )p x可约，则有 12 ( )( )|( )p xp xpx，那么由假设可得 1 ( )|( )p xp x或 2 ( )|( )p xpx， 这是不可能的，因为后面两个多项式的次数低于( )p x的次数。于是得证。 7 证明：次数0且首项系数为 1 的多项式( )f x是一个不可约多项式的方幂的充分必要 条件为：对任意的多项式( )g x必有( ( ), ( )1f x g x，或者对某一正整数,( )|( ) m m f xgx。 证必要性：设( )( ) s f xpx（其中( )p x是不可约多项式） ，则对任意多项式( )g x，有 1）( ( ), ( )1p x g x；或 2）( )|( )p xg x。 对于 1）有( ( ), ( )1f x g x。 对于 2）有( )|( ) ss pxgx，此即( )|( ) s f xgx。再让ms，即必要性得证。 充分性：设( )f x不是某一个多项式的方幂，则 12 12 ( )( )( ).( ) n n f xpx pxpx ， 其中1,(1,2,., ) i nin是正整数。 若 1 ( )( )g xp x，则由题设知( )f x与( )g x满足( ( ), ( )1f x g x或( )|( ) m f xgx（m为某一 正整数） 。但这是不可能的，即证。 8 证明：次数0且首项系数为 1 的多项式( )f x是某一不可约多项式的方幂的充分必要 条件是：对任意的多项式( ), ( )g x h x，由( )|( ) ( )f xg x h x，可以推出( )|( )f xg x，或者 对某一正整数,( )|( ) m m f xhx。 证 必要性：设( )|( ) ( )f xg x h x，则对多项式( )h x，有 1）( ( ), ( )1f x h x，于是( )|( )f xg x；2）( )|( )( m f xhx m为某一正整数） 。 必要性成立。 充分性：对任意多项式( )g x，有( ( ), ( )1f x g x或( ( ), ( )( )1f x g xd x， 若 1 ( )( ) ( )f xf x d x，那么 1 ( )|( ) ( )f xf x g x，但 1 ( )|( )f xf x。再由充分性假设，可得 ( )|( ), m f xgx m为某一正整数。于是由第 7 题的充分条件，即证。 9 证明： nn m xaxb 不能有不为零的重数大于 2 的根。 证 设( ) nn m f xxaxb ，则 1 ( )() n mm fxxnxnm a ， 又因为( )fx的非零根都是多项式( )() m g xnxnm a的根，而( )g x的m个根都是单 根，因而( )fx没有不为零且重数大于 2 的根。 10证明：如果( )|() n f xf x，那么( )f x的根只能是零或单位根。 证设a是( )f x的任一个根，由( )|() n f xf x知，a也是( )|() n f xf x的根，即 ()0 n f x，所以 n a也是( )f x的根。以此