2012.12.20管理运筹作业(参考).doc

2012mba管理运筹学作业题一、分析建模题（软件求解）(线性规划)1、某企业利用甲、乙两种原料生产a、b、c三种产品。每月可供应的原料数量（吨），每万件产品所需要各种原料数量及每万件产品的价格如下表所示：原 料每万件产品所需原料每月原料供应量abc甲431180乙263200价格（万元/万件）1254 制定每月最优生产计划，使得总收益最大（不必求解）。解：设生产a x1件， b产品x2件，c产品x3件，总收益为z。根据题意列式如下：4x1+3x2+x31802x1+6x2+3x3200x1，x2，x30maxz =12x1+5x2+4x3（整数规划之指派问题）2、分配甲、乙、丙、丁四人分别去完成 a、b、c、d 四项工作。已知每人完成各项工作的时间如下表所示。规定每项工作只能由一人去单独完成，每个人最多承担一项工作。如何分配工作，使完成四项工作总的耗时为最少？建立线性规划数学模型（不求解）。工人工作甲乙丙丁11023152510152315514742015136解：设耗时为z，引入0-1变量xij, （i=1,2,3,4 j=1,2,3,4）令xij= 1，当指派第i个人去完成第j项工作时； 0，当不指派第i个人去完成第j项工作时；为使总耗时最少可得：min z = 10x11+5x12+15x13+20x14+2x21+10x22+5x23+15x24 +3x31+15x32+14x33+13x34 +15x41+2x42+7x43+6x44 每人只干一项工作的约束条件为x11+x12+x13+x14 =1 （甲只能干一项工作）x21+x22+x23+x24 =1 （乙只能干一项工作） x31+x32+x33+x34 =1 （丙只能干一项工作）x41+x42+x43+x44 =1 （丁只能干一项工作）每项工作只能由一个人干的约束条件为x11+x21+x31+x41 =1（工作1只能一个人干）x12+x22+x32+x42 =1（工作2只能一个人干）x13+x23+x33+x43 =1（工作3只能一个人干）x14+x24+x34 +x44 =1（工作4只能一个人干）（线性规划）3、一家广告公试司想在电视、广播及杂志做广告，其目的是尽可能多地招徕顾客。下面是市场调查结果： 电 视 无线电广 播杂志白天最佳时间一次广告费用（千元）40753015受每影响的顾客数（千人）400900500200每影响的女顾客数（千人）300400200100这家公司希望广告费用不超过800（千元），还要求：（1）至少有二百万妇女收看广告；（2）电视广告费用不超过500（千元）；（3）电视广告白天至少播出3次，最佳时间至少播出2次；（4）通过广播、杂志做的广告各重复5到10次（不必求解）。解：设x为广告的次数，x1为白天播广告的次数，x2为最佳时间播广告的次数，x3为无线电广播播广告的次数，x4为在杂志上登广告的次数。z为吸引顾客人数。max z =400x1+900x2+500x3+200x4由条件（1）至少有二百万妇女收看广告，这里的收看指电视30x1+40x2200由条件（2）电视广告费用不超过500（千元）40x1+75x2500由条件（3）电视广告白天至少播出3次，最佳时间至少播出2次x13， x22由条件（4）通过广播、杂志做的广告各重复5到10次 5x310， 5x410且，40x1+75x2+30x3+15x4800x1，x2，x3，x4 0（线性规划之人力资源分配问题）4.昼夜运营的公交线路每天各时间区段内所需要的司机和乘务员人数如下表：班次时间所需人数12345606：00 10：0010：00 14：0014：00 18：0018：00 22：0022：00 02：0002：00 06：00607060502030设司机和乘务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。建立该问题的线性规划数学模型（不求解）。解：设xi为第i次班次时开始上班的司机和乘务员人数，z为配备人数。x1+x660x1+x270x2+x360x3+x450x4+x520x5+x630minz= x1+x2+x3+x4+x5+x6且 x1，x2，x3，x4，x5，x60（线性规划之投资问题）5、某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目a：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。项目b：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%， 但要求第一年投资最低金额为40万元，第二、三、四年不限；项目 c：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利128，但规定最低投资金额为30万元，最高金额为50万元；项目 d：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定其投资额或为10万元的整数倍，最高金额为40万元。 据测定每万元每次投资的风险指数如下表：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在280万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？解：设xij (i=1,2,3,4,5年，j=1,2,3,4项目)根据题意，建立如下决策变量项目 年份第一年第二年第三年第四年第五年ax11x21x31x41x51bx12x22x32x42cx33dx24由约束条件可知第一年：x11+x12=200第二年：因为项目a当年即可收回本息，故第二年初有1.06x11所以，x21+x22+x24=1.06x11第三年：根据题意可知，第三年初有资金1.06x21+1.15x12 所以，x31+x32+x33=1.06x21+1.15x12第四年：根据题意可知，第四年初有资金1.06x31+1.15x22 所以，x41+x42=1.06x31+1.15x22第五年：根据题意可知，第五年初有资金1.06x41+1.15x32所以，x51 =1.06x41+1.15x32又，项目b,c,d投资有限制x1240， 30x3350, 10ax2440(a=1,2,3,4)另，由于项目b第二、三、四年投资不限，引入0-1变量xi2= 0, 当第i年不投资项目b时 i=2,3,41， 当第i年投资项目b时 综上所述，a)根据题意确立目标函数及模型, 使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大max z=1.06x51+1.15x42+1.28 x33+1.4x24x11+x12=200x21+x22+x24=1.06x11x31+x32+x33=1.06x21+1.15x12x41+x42=1.06x31+1.15x22x51 =1.06x41+1.15x32x1240， 30x3350, 10ax2440(a=1,2,3,4)xi2= 0, 当第i年不投资项目b时 i=2,3,41， 当第i年投资项目b时 xij0 （i=1,2,3,4,5;j=1,2,3,4）b)根据题意确立目标函数及模型, 使得第五年年末拥有资金的本利在280万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小 设风险指数为f，min f= x11+x21+x31+x41+x51+2.5（x12+x22+x32+x42）+4x33+5.5x24x11+x12=200x21+x22+x24=1.06x11x31+x32+x33=1.06x21+1.15x12x41+x42=1.06x31+1.15x22x51 =1.06x41+1.15x32x1240， 30x3350, 10ax2440(a=1,2,3,4)xi2= 0, 当第i年不投资项目b时 i=2,3,41， 当第i年投资项目b时 1.06x51+1.15x42+1.28 x33+1.4x24280 xij0 （i=1,2,3,4,5;j=1,2,3,4）（运输问题） 6、某物资要从三个产地，运往四个销地，单位运价由下表给出：254316823269已知，的需求量分别为800,500,600,400个单位，至少发出700个单位，最多发出1000个单位，必须发出600个单位，至少发出300个单位，最多发出800个单位。根据以上数据建立运筹学模型，使总运费最小（不必求解）。解：设xij表示从ai运到bj的运输量（i=1,2,3;j=1,2,3,4，5）产量（单位）2543700a110001682a2=6003269300a3800需求量（单位）800500600400 1600a24002300假设虚拟销地b5，则有b5产量（单位）25430700a1100016820a2=60032690300a3800需求量（单位）800500600400100 1600a24002400满足产地产量的约束条件有700x11+x12+x13+x14+x151000x21+x22+x23+x24+x25=6001600x31+x32+x33+x34+x352400满足销地销量的约束条件有 x11+x21+x31=800x12+x22+x32=500x13+x23+x33=600x14+x24+x34=400x15+x25+x35=100 使运费最小，即min z= 2x11+x21+3x31+5x12+6x22+2x32+4x13+8x23+6x33+3x14+2x24+9x34+0x15+0x25+0x35xij0（i=1,2,3;j=1,2,3,4，5）（目标规划）7、一工艺品厂商手工生产某两种工艺品a、b，已知生产一件产品a需要耗费人力2工时，生产一件产品b需要耗费人力3工时。a、b产品的单位利润分别为250元和125元。为了最大效率地利用人力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，要求每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限；次要任务是要求每周的利润超过70000元；在前两个任务的前提下，为了保证库存需要，要求每周产品a和b的产量分别不低于200和120件，因为b产品比a产品更重要，不妨假设b完成最低产量120件的重要性是a完成200件的重要性的2倍。 如何安排生产？（不必求解）。解：设p1，p2，p3表示从高到低的优先权，引入正负偏差变量(各个目标)：d+，d-min p1(d1+)+ p1(d2-)+p2(d3-)+ p3(d4-)+ p3 (2d5-)约束条件为：2x1+3x2- d1+ d1- = 680 2x1+3x2- d2+ d2- = 600250x1+125x2- d3+ d3- =70000x1- d4+ d4- = 200x2- d5+ d5- = 120x1，x2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-，d4+，d4-，d5+，d5-0然后按照以下步骤分步求解：p1：每周总耗费人力资源不能低于600工时，但也不能超过680工时的极限p1对应min d1+d2- p2：每周的利润超过70000元 p2对应min d3-p3对应：每周产品a和b的产量分别不低于200和120件 min d4-+2d5-（整数规划之分布系统设计）8某企业在 a1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱，为了扩大生产，打算在 a2，a3，a4，a5地中再选择几个地方建厂。已知在 a2 ， a3，a4，a5地建厂的固定成本分别为175千元、300千元、375千元、500千元，另外， a1产量及a2，a3，a4，a5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所示。 a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小? b) 如果由于政策要求必须在a2，a3地建一个厂，应在哪几个地方建厂? 解：设xij表示从ai运到bj的运输量（i=1,2,3,4,5;j=1,2,3）单位：千箱a) 在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小yi= 1， 当ai厂址被选中时； 0， 当ai厂址没被选中时；min z =175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+3x32+4x33+9x41+7x42+5x43+10x51+4x52+2x53约束条件：满足产量限制的约束条件 x11+x12+x1330x21+x22+x2310y2x31+x32+x3320y3x41+x42+x4330y4x51+x52+x5340y5 满足销量的约束条件 x11+x21+x31+x41+x51=30x12+x22+x32+x42+x52=20x13+x23+x33+x43+x53=20 xij0（i=1,2,3,4,5;j=1,2,3）b) 如果由于政策要求必须在a2，a3地建一个厂，应在哪几个地方建厂 yi= 1， 当ai厂址被选中时； 0， 当ai厂址没被选中时；min z =175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+3x32+4x33+9x41+7x42+5x43+10x51+4x52+2x53约束条件：满足产量限制的约束条件 x11+x12+x1330x21+x22+x2310y2x31+x32+x3320y3x41+x42+x4330y4x51+x52+x5340y5 满足销量的约束条件 x11+x21+x31+x41+x51=30x12+x22+x32+x42+x52=20x13+x23+x33+x43+x53=20 满足必须在a2，a3地建一个厂 y2+y3=1 xij0（i=1,2,3,4,5;j=1,2,3）（多级物流系统设计）9.一个物流系统如下图所示（连线上的数字表示单位运价）。设两个工厂p1和p2生产单一产品，工厂p1的年生产能力无限，工厂p2的年生产能力为60000个单位产品，两个工厂的生产成本相同。两个分销中心w1、w2，具有相同的库存成本。有三个市场c1、c2、c3，需求量分别为50000、100000、50000个单位产品。试建立该使该系统运行成本最低的运筹学模型。销量：50000销量：100000销量：50000工厂p1生产能力无限工厂p2生产能力：60000分销中心w1分销中心w20542435212min z =0p11+5p12+4p21+2p22+4w11+3w12+5w13+2w21+1w22+2w23;（此处和讲义上数据不同）需求约束：w11+w21= 50000; w12+w22=100000; w13+w23=50000;供应约束： p11+p12=140000; p21+p22=60000;分销中心不存留产品：p11+p21-w11-w12-w13=0; p12+p22-w21-w22-w23=0;p11，p21 ，p12，p22 0；w11，w12，w13，w21，w22，w23 0 二、建模求解题1、设某商业银行有10亿元资金，其中一部分用于贷款（l）,贷款利率6%（不易流通），另一部分用于购买证券，证券利率4%（易流通）。银行要求在下列约束下使总盈利最大：（1）流动投资至少保持在25%；（2）老客户的贷款额至少为8000万元。建立该问题的数学模型，并用图解法求解。 （动态规划）2、下图表示从起点a到终点e之间各点的距离。求a到e的最短路径。bacbdbcdec412312312322164724838675611063751解：根据最优化原理倒推分步讨论： 以上求从a到e的最短路径问题，可以转化为四个性质完全相同，但规模较小的子问题，即分别从di 、ci、bi、a到e的最短路径问题。 第四阶段：两个始点d1和d2，终点只有一个； 阶段4本阶段始点（状态）本阶段各终点（决策）到e的最短距离本阶段最优终点（最优决策) e d1d2106 10 6ee分析得知：从d1和d2到e的最短路径唯一。第三阶段：有三个始点c1，c2，c3，终点有d1，d2，对始点和终点进行分析和讨论分别求c1，c2，c3到d1，d2 的最短路径问题：阶段3本阶段始点（状态）本阶段各终点（决策）到e的最短距离本阶段最优终点（最优决策)d1d2 c1 c2 c38+10=187+10=171+10=116+6=125+6=116+6=12121111d2d2d1分析得知：如果经过c1，则最短路为c1-d2-e； 如果经过c2，则最短路为c2-d2-e； 如果经过c3，则最短路为c3-d1-e。第二阶段：有4个始点b1,b2,b3,b4，终点有c1,c2,c3。对始点和终点进行分析和讨论分别求b1,b2,b3,b4到c1,c2,c3 的最短路径问题： 阶段2本阶段始点（状态）本阶段各终点（决策）到e的最短距离本阶段最优终点（最优决策)c1c2c3b1 b2 b3 b42+12=144+12=164+12=167+12=191+11=127+11=188+11=195+11=166+11=172+11=133+11=141+11=1212131412c2c3c3c3分析得知：如果经过b1，则走b1-c2-d2-e;如果经过b2，则走b2-c3-d1-e； 如果经过b3，则走b3-c3-d1-e; 如果经过b4，则走b4-c3-d1-e。第一阶段：只有1个始点a，终点有b1,b2,b3,b4 。对始点和终点进行分析和讨论分别求a到b1,b2,b3,b4的短路径问题： 阶段1本阶段始点(状态)本阶段各终点（决策）到e的最短距离本阶段最优终点(最优决策)b1b2b3b4a4+12=163+13=163+14=172+12=1414b4 最后，可以得到：从a到e的最短路径为a b4 c3 d1 e3、某水果批发商想要采购一批国外新水果在当地销售。估计该水果在当地市场受欢迎的程度有非常好、比较好、一般、很差四种状态，每种状态出现的概率无法预测。该水果的进货方案有100箱、200箱、300箱、400箱四种，每种方案在各种状态下的收益值如下表所示。分别用乐观法、悲观法和后悔值法进行决策。 状态方案非常好比较好一般很差100箱6654200箱7753300箱9851400箱1095-1解：乐观法 状态方案非常好比较好一般很差max100箱66546200箱77537300箱98519400箱1095-110（max）悲观法 状态方案非常好比较好一般很差min100箱66544（max）200箱77533300箱98511400箱1095-1-1后悔值法 状态方案非常好比较好一般很差max100箱4（10-6）3（9-6）00（4，理想值）4200箱3（10-7）2（9-7）01(4-3)3(min)300箱1（10-9）1（9-8）0（5-5）3(4-1)3(min)400箱0（10，理想值）0（9，理想值）0（5，理想值）5(4-(-1)54、根据水情资料，某地汛期出现平水水情的概率为0.6，出现高水水情的概率为0.3，出现洪水水情的概率为0.1，位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：（1） 运走，需支付运费25万元；（2） 修堤坝保护，需支付修坝费8万元；（3） 不作任何防范，不需任何支出。 若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失500万元的设备；若采用方案（3），那么出现平水位时不遭受损失，发生高水位时损失部分设备100万元，发生洪水时损失设备500万元。根据上述条件，选择最优决策方案，并对你所采用的决策方法作出评价。 状态/概率方案平水高水洪水0.60.30.1（1）运走，需支付运费25万元-25-25-25-25（付出代价最小）（2）修堤坝保护，需支付修坝费8万元-8-8-508-8*（0.6+0.3）+（-508）*0.1=-58（3）不作任何防范，不需任何支出。0-100-500-100*0.3+（-500）*0.1=-80选择方案（1）。5.某厂商为电子产品的技术改造制定了两种方案：方案1：采用充电电池；方案2：采用太阳能电池。根据经验，方案一成功的概率为0.8，方案,二成功的概率为0.6。如果产品改造成功，其质量和生产效率均可提高，因此又制定了两种生产方案：（1）产量不变；（2）增加产量。若改造失败则保持产量不变。企业决定生产五年，在今后五年内产品跌价的概率为0.1，保持原价的概率为0.4，涨价的概率为0.5。有关数据如下表所示。 状态/概率方案跌价原价涨价0.10.40.5失败（原结构生产）-1000110方案1成功（概率0.8）产量不变-20