电子科技大学 泛函分析(江泽坚)作业题答案.pdf

P46: 第一章习题：第一章习题： 1.验证验证, ( )dm满足距离定义。满足距离定义。 解：设 i x， i y属于X，是数， 1 ,sup. jj j d x y (1)对j，有0 jj ，所以 1 sup jj j ，,0d x y ， 且 1 sup00 jjjjjj j ，即,0d x y 当且仅当.xy (2) 11 ,supsup, jjjj jj d x yd y x ； (3)设 i z 1111 ,supsup ()()supsup,( , ) jjjjjjjjjj jjjj d x zd x yd y z 综上(1)，(2)，(3)，,d满足距离定义。 3.试证明：在空间试证明：在空间( ) s中的收敛等价于坐标收敛。中的收敛等价于坐标收敛。 证：设 ( ) ,1,2, n nj xsn， (0) 0j xs， 若 0n xx，则必有 ( )(0) lim,1,2, n jj n j ， 否则，jN ， 0 0， 与正整数列的子序列 1 k k n ， 使 ()(0) 0, 1,2, k n jj k， 因为( ) 1 t f t t 是单调递增， 所以 ()(0) 0 0 ()(0) 0 11 ,1,2, 2211 k k k n jj n jj n jj d xxk ， 这与 0 ,0 k n d xx矛盾， 故( ) s中的收敛可推出坐标收敛。 若 ( )(0) lim,1,2, n jj n j ，则对j，0 ， 0 NN ， 0 nN ， ( )(0) 2 n jj ， ( )(0) 0 ( )(0) 11 11 ,1,2, 2211 n jj n jj n jj jj d x xk ， 由的任意性得 0 ,0. n d x x 故命题得证。 4.证明：空间证明：空间 c是可分的。是可分的。 证：令 0 s表示所有 形如 12 , , mmm r rr r r的元素的 集合 ，m为任意正整 数， (1,2,) j rjm是任意的有理数，所以 0 s可数。 故要证 0 s在收敛序列空间 c内是稠密，只需证明 xc ， 0 s中序列 1 k k x 使 (, )0 k d x x 。 对 xc ，x为收敛序列， 所以对0 ，m ，, i jm时，有. 3 ij 当jm时，构造 ( ) 1 k j k r 使0 ， 0 K， 0 kK 时有 ( ) 3 k jj r ， 令 ( )( )( )( ) 12 , kkkk kmm xrrrr，则对0 ，,m k， 0 kK 恒有 ( )( )( ) 111 (, )supmax sup, sup kkk kjjjjjj jj mj m d x xrrr ( ) 1 max, sup() 3 k mmmj j m r max, 3 33 所以 0 s在 c中稠密，即 c可分。 9.证明：证明：(1) p lp是完备的距离空间。是完备的距离空间。 证：设 ( )( )( ) 12 (,) nnn xxx是 p l中的 Cauchy 序列，则对任意0，存在0N ，使得当 ,m nN时， ()( )()( ) 1 . pp mnmnp ii p i xxxx (1) 于是对每个固定的i，,m nN时， ()( )()( ) . mnmn ii p xxxx 这表明对每个固定的i， ( ) 1 n i n x 是 Cauchy 数列。因此 ( )n i x收敛。设当n时 ( ) (1,2,). n ii xx n 令 12 ( ,).xx x下面证明 p xl并且 ( ) . n xx由(1)式知道， 对任意1k ， 当,mn N 时， ()( ) 1 . k p mnp ii i xx 在上式中固定nN时，先令m，再令k ，得到 ( ) 1 . p np ii i xx (2) 这表明 ( ) . np xxl由于 p l是线性空间，故 ( )( ) . nnp xxxxl而且式(2)还表明，当 nN时 ( ) . n p xx 因此 ( ) (). n xx n故(1) p lp是完备的。 26.设设T是从赋范线性空间是从赋范线性空间 1 ,X到赋范线性空间到赋范线性空间 2 ,Y的有界线性算子，证明的有界线性算子，证明 11 22 11 supsup xx TTxTx 证明：由 2 000 111 2 2 11 supsupsup xxx Tx TTxTx xxx ， 得 111 22 22 111,00 11 supsupsupsup xxxxx TxTx TTxTxT xx ， 故式中“”均可改为等号，命题得证。 27.设设T是是 Banach 空间空间X上有界线性算子，如果存在上有界线性算子，如果存在X上有界线性算子上有界线性算子S，使，使 TSSTI， 则则T是有界可逆是有界可逆的，而且的，而且 1 .TS 反之，如果反之，如果T是有界可逆的，则是有界可逆的，则 11 .TTT TI 这里这里I是是X上恒等算子，即上恒等算子，即 ,.IxxxX 证：(1) 记( )|,R TyxXyTx 使，则T是从X到( )R T的满射， 若 12 ,x xX，使 12 TxTxy，则由STI可得 111222 ,.STxIxx STxIxx 所以 12 xx，所以T是从X到( )R T得单射， 可定义从( )R T到X中的算子： 1 Tyx ，当.yTx 则由SyI可得SySTxIxx，所以 1 TS ，又S是有界线性算子。 所以T是有界可逆的。 (2) 若T是有界可逆的，则T既是单射又是满射，且 1 T 是有界线性算子。 对xX ，( )yR T ， 使T xy且 1 Tyx ， 则 11 TyT Txx ， 所以 1 T TI ， 又 1 T TyTxy ，所以 1 TTI ，即 11 .TTT TI 28.设设X是距离空间，是距离空间，:T XX是映射。 如果是映射。 如果T是压缩的， 求证： 对任意自然数是压缩的， 求证： 对任意自然数n， n T也也 是压缩的。如果对某个自然数是压缩的。如果对某个自然数1n ， n T是压缩映射，是压缩映射，T也一定是压缩映射吗？也一定是压缩映射吗？ 证：(1) 因为T是压缩映射,所以(0,1)，使得 (,)( , )Tx Tyx y，从而 222 (,)(,)( , )T x T yTx Tyx y 。 假定(,)( , ) nnn T x T yx y 成立，则有 111 (,)(,)( , )( , ) nnnnnn Tx TyT x T yx yx y 。 于是根据数学归纳法原理，(,)( , ) nnn T x T yx y 对n 成立。 又0101. n 故有 (,)( , ) nn T x T yx y。即 n T是压缩映射。 (2) 逆命题不一定成立。例如： ( ):0,10,1. 2 x f x 2( ) :0,10,1 2 x fx 是压缩映射，但是 ( ):0,10,1 2 x f x 不是压缩映射。 第二章习题：第二章习题： 9.设设M是是 Hilbert 空间空间H的一个线性流行。证明：的一个线性流行。证明： (1) M 是是H的子空间；的子空间； (2) =MM （）； (3) 如果如果 1 M也是也是H的线性流行，使的线性流行，使 1 MM，则，则 1 MM 。 证：(1) 如果, x yM ，, 是任意两个数，则对每个zM，我们有 (, )( , )( , )000 xy zx zy z， 从而xyM ，因此M 是H的子空间。 (2) ()xM ，对yMM 有( , )0 x y ， xM MM （ ）； 下证MM （ ） 对 Mx，Mx，故Mx，所以 )(Mx，因此 )(MM， 故有 )(MM。 (3) 111 xMxMMMxMxM 且， 1 MM 。 10.试证明试证明H 按如下范数： 按如下范数： 1 sup( ) x ff x ，当，当fH 是完备的赋范线性空间。是完备的赋范线性空间。 证：H 表示 Hilbert 空间 H上全体连续线性泛函按逐点定义的加法和数乘形式的线性空间。 因为fH ，所以 1 sup( )0 x ff x ，0f 当且仅当( )0f x ； 11 sup( )sup( ) xx ff xf xf ； 111 sup( )( )sup( )sup( ) xxx fgf xg xf xg xfg 故，H 为赋范线性空间。 下证H 是完备的： 设 1 n n f 是H 中的 Cauchy 序列，则对0 ，正整数N使当, n mN时有 nm ff 即 1 s u p( )( ) nm x fxfx 因为yH ，有()() nm yy ff yy ，则( )( ) nm fyfyy， 故 1 ( ) n n fy 收敛。 设lim( )( ) n n fxf x ，则上式中令m可得 1 sup( )( ) n x fxf x 当nN 所以， 1 ( ) n n fx 一致收敛到( )f x，而( )f x也是连续函数， 则， nm ff，即 n ff且fH ， 故H 事完备的。 综上，H 是完备的赋范线性空间。 11.证明：对任意的证明：对任意的xH， 1 sup ( , ) . y xx y 证：如果0 x ，结论显然成立。因此考虑0 x 的情形。如果1y ，则 Cauchy-Schwarz 不等式表明( , ).x yxyx因此，我们有 1 sup ( , ). y x yx 至于相反的不等式，令/zxx，则1z ，因此 1 sup ( , )( , )( , /)( , )/. y x yx zx xxx xxx 因此， 1 sup ( , ) y xx y ，且上确界实际上是最大值。 12.验证定理验证定理 3.3 中的中的A是是H上有界线性算子。上有界线性算子。 证明：(, )( , )( , )xy zx zy z (, )(, )Ax zAy z (, )(, )Ax zAy z ( (), )Axy z ()AxyAxAy A是线性算子。 ( , )x y是有界的，则( , )(, )x yAx yC x y， 且(, )Ax yAxy 又C是任意的 C使( , )(, )x yAx yAx yC x y AxC x A是有界的。 综上，A是H上有界线性算子。 第第三章习题：三章习题： 1.设无穷矩阵设无穷矩阵 ,1 ij i j a 满足满足 1 sup(). ij i j a 由它定义的线性算子由它定义的线性算子:T yTx为为 1 ,1,2, iijj j ai 其中其中 12 , nn x ， 12 ,. nn y 试证明试证明T是从是从( )m到到自身的有界线性算子，且自身的有界线性算子，且 1 sup(). ij i j Ta 证：设 1 n n xm ， 1 n n y ，yTx， 1 iijj j a ， 则 111 sup() iijjijjijx i jjj aaak ，其中 x k满足,1,2, jx kj，所 以 .ym 对 12 ,x xm，, ， ( )( ) 1212 1 nn n xxm ， 所以 12 1 () i i yTxx ，其中 ( )( ) 12 1 ,1,2, ii iij j ai ， 因为 ( )( )( )( ) 1212 111 iiii iijijijij jjj aaaa ， 所以 1212 ()TxxTxTx。 1 111 supsupsupsupsup iijjijjij xiiii jjj TTxaaa 又 11 supsup xx TTxTx ， 取 (0) 0 1 i i y ，存在 (0) 01 1 j j x ，使 (0)(0) 11 iijjij jj aa ，且 0 1x ， 所以 0 1 sup() ij i j Tya ，综上所述，原命题得证。 5.设设X是是 Banach 空间，空间，,( )A BL x， 若， 若,A B有界可逆， 则有界可逆， 则AB有界可逆，有界可逆， 1 11. ABB A 证：因为,A B有界可逆，即 12 ,c c，对xX ，有 1 Axc x， 2 Bxcx， 所以 11 2 ()()AB xA Bxc Bxccx，所以AB有界， 又 1111 ()()B AABBA A BI ， 1111 ()()ABB AA BBAI ， 所以AB可逆，且 1 11. ABB A 19.试证明：试证明：Banach 空间空间X是自反的当且仅当是自反的当且仅当 * X是是自反的。自反的。 证： 假设 * X自反的。 如果 * XX， 则存在某个非零的 * FX使得( )0F x ，.xX由 于 * X是自反的，存在非零 * xX使得 * ( )()F ff x， *. fX特别地， * ( )()( )0 x xx xF x 对所有xX成立，于是 * 0 x ，矛盾。因此，X必然是自反的 Banach 空间。 25.设设 1 , , , . nn xC a b xC a b 证明：如果证明：如果 w n xx，则，则 1 nn x 逐点收敛于逐点收敛于x，即任给，即任给 , ta b，都有，都有lim( )( ). n n x tx t 证：因为 w n xx，则 ( ) n x有界。对每个 , ta b，令( )( )( , ) t fxx txC a b，则 * , . t fC a b因此 lim( )lim()( )( ). ntnt nn x tf xf