（应用数学专业论文）简单弧（集）上带cauchy核的第一类奇异积分方程的解.pdf

简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解 摘要 奇异积分方程理论的研究和发展的由来已久，对很多实际问题都有重要意 义。在弹性理论和断裂力学以及一些重要的数学物理问题中有着广泛的应用，我 们主要研究奇异积分方程的解及可解条件，本文主要研究简单弧( 集) 上带c a u d l y 核的第一类奇异积分方程的解及可解条件。 在第一章，我们介绍了奇异积分方程的历史背景，发展现状以及与本文相 关的一些已知结果。 在第二章，我们研究简单弧上带c a u d l y 核的第一类奇异积分方程 去f 等蚺熹肛渤纰- 9 ( 的解及可解条件，其中f = 盎是简单弧，本章先讨论后( ，o ) 关于啪。为多项式时 的解及实际例子，然后讨论惫( t ，幻) 关于幻为多项式，关于t 为一般的解析函数。 在第三章，我们研究简单弧集上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程 去等出+ 刍绯删伽( 蚺 的解及可解条件，其中l - 矗是简单弧集，七( t ，t o ) 为关于蛐。的多项式。然后给 出一个实际例子。 关键词：简单弧( 集)c a u c h y 核第一类奇异积分方程线性方程组 t h es o l u t i o no ft h ef i r s tc l a s so f s i n g u l a ri n t e r g c a u c h yc o r ea l s i m p l ea r c w i s es e t a bs t r a c t t h er e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n to ft h es i n g u i a ri n t e r g r a le q u a t i o nh a sal o n gh i s t o r y i t i si m p o r t a n tt om a n ga c t u a lp r o b l e 麟i ti sw i d l yu s e di nt h et h e r o r yo fe l a s t i c i t - y b r e a k m e c h a n i c sa n dm a n gi m p o r t a n tm a t h e m a t i c a la n dp h y s i c a lp r o b k i i l s r em a i n l yi n v e s t i g a t e t h es o l u t i o na n ds o l v a b l ec o n d i t i o no ft h es i n g u l a ri n t e r g r a le q u a t i o n i nt h i sp a s s a g e ，w e i n v e s t i g a t et h es o l u t i o na n ds o l v a b l ec o n d i t i o no ft h ef i r s tc l a 8 so f8 i n g u l a ri n t e r g r a le q u a t i o n w i t hc a u c h yc o r ea l o n gs i n p l ea r co rs i m p l ea r c w i s es e t 1 nc h 印t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i cb a c k g r o u n da n dt h ec u r r e n ts i t u a t i o no fs i n g u l a r i i l t e r g r a le q u a t i o na n ds o m ek o n w nr e s u l t sa b o u to u rt h e o r e i n s i ne h 印t e rt w o ，w ei n v e s t i g a t et h es o l u t i o na n d8 0 1 v a b l ec o n t i o no ft h e 矗r s tc l a s so fs i n g u l a r i n t e r g r a le q u a 土i o nw i t hc a u c h yc o r ea l o n gs i n p l ea r c 去邕熹雄删洳) w h i l ef = 0 6i ss i m p l ea r c ，w ef i r s td i s g u s st h es o l u t i o n a na n da na u c t u a le x a m p l e w h e n 惫( 亡，亡o ) i sp o l y n o m i a la b o u t 亡a n d 托t h e nw ed i s g u s st h es 0 1 u t i o nw h e n 七( t ，) i sp o l y n o m i a la b o u t t o ，a n a l y s i sf i l n c t i o na b o u tt i nc h 印t e rt h r e e ，w ei n v e s t i g a t et h es o l u t i o na n ds 0 1 v a b l ec o n t i o no ft h ef i r s tc l a s so f s i n g u l a ri n t e r g r a le q u a t i o nw i t hc a u c h yc o r ea l o n gs i m p l ea r c w i s es e t 去筏彘雄删棚， w h i l ef = n 6i ss i m p l ea r c w i s es e t ，七( t ，t o ) i sp o l y n o i i l i a la b o u t ，o t h e nw e 舀v ea na c t u a l e x a m p l e k e y w o r d s ：s i n p l ea r c ( a r c w i s es e t ) ；c a u c h yc o r e ；t h e 丘r s tc l a s so fs i n g u l a ri n t e r g r a l e q u a t i o n ；s y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n s 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容；除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发毒过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均已在论文中明确说明并致谢 论文作者签名： 撇叼 学位论文使用授权说明 刎年f 月弓口日 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 击p 时发布 口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 黼槲：撇勺摊名：卸v 昭年川口日 广西大学硕士学位论文 简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解1 1 1 奇异积分方程的简介 第一章引言 奇异积分方程理论的研究和发展由来已久，对很多实际问题都具有重要意义，在弹性 理论和断裂力学以及一些重要的数学物理问题中有着广泛的应用 对于某些特殊的奇异积分方程及其相联算子方程已给出了直接解法【1 - 4 】 对含c a u d 】y 核的奇异积分方程 k 咖= 。( ) ( t ) + 去掣出= m ) ， 其中o ( t ) ，k ( t ，7 - ) ，厂( t ) 都是给定在z 上满足h 6 1 d e r 条件的函数，积分是按c a u c h y 主值意义理 解的，首先是引入算子k 的特征算子 k 。：口( ) 妒( ) + 警厂磐班：他) 和特征方程的相联算子方程 k 0 7 咖：o ( t ) 妒( t ) 三墼丛丛型托 7 r zj z丁一t 然后把它们转化为r i e m a n n 边值问题求解，比较特征方程和相联方程的解之间的关系，构 成了n o e t h e r 定理的内容一般对于一个完整的奇异积分方程 k 妒叫蝴) + 警厂粤似卅) 拈m ) ， 我们要对它求解，主要的方法是：通过正则化把它化为某个m d h o l m 型方程一般有三种 正则化方法，第一是左正则法，第二种方法右正则法，这两种方法都是基于原先的奇异积分 方程和他的正则算子的乘积进行的，第三种方法是利用相应的特征方程和和对应的相联算 子方程为基础进行的，这种方法首先由t c a r l e m a n 对一种特殊情形给出，然后由h h b e r y a 加以推广和发展左右正则法得到的n e d h o l m 型积分方程，一般来说与原先的奇异积分方 程是不等价的，左正则方法可能产生新解，右正则化方法可能失去解怎样找出一种等价的 方法呢? 如果奇异积分方程 k = 。( 撇) + 去掣拈m ) ， 中具有这样的右端厂( ) 使该方程有解，则存在正则化算子，把该方程转化为等价的n e d h o l m 型积分方程。对于任何一个可解的奇异积分积分方程，能够构造出无穷多个左正则化算子， 把它转化为等价的硪d h o l m 型积分方程，然后求解 对于第二类n e d h o l m 方程的解已经有完整的理论但是对于第一类跏d h o l m 方程不一 定有解，而且即使存在也不唯一，因此至今还没有完整的理论由于一般的第一类n e d h o l m 方程可解性的讨论比较复杂，而且一般核的第一类胁d h o l m 方程可以转化为对称核的第一 类n e d h o l m 方程，当核是对称时，可利用s c h m i d t p i c a r d 定理求解，且特征函数在平方可 积类中解是唯一的实对称核的第一类胁d h o l m 方程也可以利用逐次逼近法求解，逐次逼 近法是在预先能指定方程解存在的条件下进行的而第二类n e d h 0 1 m 方程可以利用逐次逼 近法来判定解的存在封闭曲线上的奇异积分方程的样条间接逼近解法，利用复插值样条 函数，给出了定义于光滑封闭曲线上一般的正则型奇异积分方程的样条间接逼近解法，证 明了一致收敛性对于其中的一类奇异积分方程，还给出了近似解和误差估计卜7 】 在较一般条件下，具一阶奇性解的奇异积分方程已经讨论了解法及n o e t h e r 定理，并 推广了已有的结果。实轴上具一阶奇性解的特征奇异积分方程，把实轴上具一阶奇性解的 特征奇异积分方程及其相联算子方程的求解化为实轴上具一阶奇性解的r i e m a n n 边值问题 讨论，对后者在提法、奇点的对待和典则函数的理解方面作了与传统有所不同的处理，对 前者通过对解和可解条件的简化及等价性的讨论，得到解和可解条件的简化形式及推广的 n b e t h e r 定理f 8 9 】 对于具有高阶奇性的h i l b e r 核奇异积分方程，利用指数变换研究了一类解具高阶奇性 的周期黎曼边值问题，通过转化法研究了一类解具有高阶奇性的h i l b e r t 核奇异积分方程， 获得了相应的解和可解条件表达式推广了h i l b e r 核奇异积分方程的结果。钟寿国给出解 具高阶奇性时奇异积分方程的推广n o e t h e r 定理，钟寿国；赵新泉；给出特殊情况下具高阶 奇性解的特征奇异积分方程3 种形式可解条件的等价性给出具高阶奇性解的特征奇异积 分方程解的表示及可解条件【1 0 _ 1 4 1 熟知高阶奇异积分的主值在研究双曲偏微分方程的c a u d l y 问题和高阶奇异积分方程 方面起了重要作用。 1 9 5 2 年h a d a m 盯d 定义了在实轴上的高阶c a u c h y 积分的主值为发散 积分的有限部分【1 5 】，1 9 5 7 年r 将这个思想应用到复平面上的高阶奇异积分【1 6 】，然而 他的方法太过复杂而不适用于多复变数的情形其后，1 9 8 2 年龚升讨论了超球面上的高阶 奇异积分的一个特殊情形【1 7 】，【1 8 】讨论了超球面上高阶奇异积分的一般情形。但他们关于 h a d a m a r d 主值的定义仍然过于复杂难于得到进一步的结果【1 9 】研究了一个复变量和多个 复变量情形中具有光滑边界的单连通区域，应用分布积分和s t o k e s 公式，将高阶c a u 吐眵积 分转化为密度函数的导数的标准c a u c h y 积分它和h a d a m a r d 方法是一致的，因此也提供 了一个理解h a d a m a r d 主值的一个自然观点，并且简化了计算 非线性奇异积分方程比线性奇异积分方程要复杂的多【2 0 一2 4 1 ，在各种不同条件的限制 下，已有许多结果【2 5 q 9 】讨论了黎曼边值问题，给出了解法及可解条件 广西大学硕士学位论文 简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解3 第二章简单弧上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程 2 1 七( t ，) 关于亡，幻为多项式 本文提供了简单弧上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程 去等刍雄渤蝴刮 ( 2 ) 的一个新解法，给出了解的具体表达式与运算实例本文的方法可应用于更广泛的情形 其中七( ，t o ) 为多项式，t o ，t o 不为2 的端点，( t ) 在端点的奇性不到一阶 定理2 1 1 设2 = 曲是简单弧，詹( ，o ) 为关于t 的n 次，t o 的七次多项式： 七( t ，t o ) = a o ( ) + a 1 ( t ) t o + a 2 0 ) 瑶+ a 七( d t 3 ，o z ，t o n ，6 ， g ( o ) 日，( t ) 日，但它们在端点口，6 可以有不到一阶的奇性，若方程( 2 1 1 ) 有解，则解为 ，( t ) = 了戈赢( 去里q 主型玺二掣+ r ( t ) + 2 c t ) ( 2 j 2 ) 冗( ) 为 矿i 双两y 岛在= 。处l a u r e n t 展开式的主要部分，是一个七+ 1 次多项 j = 0 式c 一1 ，岛，j = o ，1 ，2 角是待定常数 证明：令 砟) = 刍墨出在。挈展开喜鲁由p l e m e l j 公式c 3 0 】可得f 托。) + f 飞。) = 去毪出， 式中的c 一1 即为( 2 1 2 ) 式中的待定常数( 2 1 1 ) 式可直接化为 f + ( ) + f 一( ) 29 ( t ) 一焘z 后( 7 - ，) 竹) d l ( 2 1 3 ) 在( 2 1 3 ) 的左右两边同乘上丛零，然后在2 上积分得： 盟型掣霉蹴= 必譬蹴 一点学坼竹渺兆 2 疵，z 一名 ，一v ”“” 设r 是由节，r 2 ，乍，r 1 围成封闭曲线，方向为顺时针，r 2 ，r - 是以6 + r ，n r 为圆心，充分 小的正数r 为半径的圆，廿为从o + r 到6 一r 的弧，且在z 的左侧，z 一为从6 一r 到口+ r 的弧，在2 的右侧，当r _ o 时上式中的被积函数在您和r 1 上的积分的极限都等于零那 么可以把在f 上的积分化为在围线r 上的积分，然后利用留数定理计算积分： 厂型盥霉业型d 扣厂盟巡! 迎生出 j r t z j t t z 广西大学硕士学位论文 简芏弧( 集) 上带c a u d l y 核的第一类奇异积分方程的解4 一去z 粤z 蜘f 揪，4 ，r l 厶 一z ，r “v ”尸v7 c ，后( 7 - ，t ) f ( 7 ) 打= 厶( 山( 7 - ) + a l 汀) + + a 七( 7 - ) 矿) f ( 1 - ) 打= 2 丌i 岛， ，r- ，r= 其中记山( 7 ) = 吻o + 17 - + b 2 7 - 2 + + 吻住7 - n o = o ，1 ：惫) 岛= 熹zf ( 丁) 4 ( 丁) 打= 罂鸟( 丁) f ( 丁) = 一( 吻。c 一，+ 心- c z + 吻n c n 一，) ， ( 2 1 4 ) f ( 名) 厕一c 一，= 嘉型丛掣d t 一去j ( 丛掣( 妻岛) 出 ：嘉厂盟等掣型弘壶( 厄硐壹岛夕叫硼，= 一 j r i z 一一l ，i z n l iz 一仃l， h j z o 一，f iz i l 2 们以 t z 一2 ”、。急1 。 一。” 其中r ( z ) 为新可i 汉i 面圭岛在z ：o o 处l a u r e n t 展开式的主要部分，是一个七+ 1 ：u 次多项式，所以 一南( 去挈蚺掣+ c 一一妻职偿， 由p l e n l e l j 公式，( ) = f + ( t ) f 一( ) 可得原方程( 2 1 1 ) 的解为 ，( 幻= 了南( 去垡! b 厶弓掣打十冗( 。+ 2 c z ) ， ( 2 ，6 ) 只要确定出未知数b 和c 一1 ，( ) 就能确定，马可以根据( 2 。1 4 ) 式由c 一1 ，c 一2 ，c n l 线 性表出，因此只要求出c 一1c 一2 ，c n 一1 ，( t ) 可以写成具体的表达式，下面讨论c 一1 ，c 一2 ，7 c n 一1 的可解条件 定理2 。1 2 在定理2 。1 1 条件下如果方程( 2 。l 。1 ) 为齐次，即9 ( o ) = o ，允许，( ) 在端点 n ，州也有不到一阶奇性的解，则，( ) 有无穷多解 证明：将( 2 1 5 ) 左右两边乘上 f = 万网，然后在2 = o 。处作泰勒展开，比较等 式的z 负幂项的系数，让左右两边的系数相等就可以得到一个线性方程组，记根据去项 系数相等所构成的方程为第口个方程( q 为任意自然数) ，每个方程的右边只含有未知数 c 一1 ，c 一2 ，“一n - 1 ，南的系数相等构成的方程( 第n + 1 个方程) 左边第一次出现未知数c 一竹一2 ， 那么在这个方程中c n 一2 可以由c 一1 ，c 一2 ，c 一。一1 线性表示，同理c 。( 口 n + 2 ) 根据第 g 一1 个方程由c 山c 一2 ，c 一。一1 表示因此由前礼个方程所形成的方程组( 记为e ) 可以解 出c l ，c 一2 ，c n l 熹f 塑丝掣出幻挈鼢妻鲁，以i 厕扎挈解p 。2 + 妻z 一， 广鱼大学硕士学位论文简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解5 p 1 ，如，p 一1 ，p 一2 均为已知数，那么方程组e 为 c 一2 p l + c l 册= d 一1 一 c 一3 p l + c 一2 p o + c 一1 p l = d 一2 一 c n 一p + c 一。伽+ c 一1 p 一。+ = d n 一丢( p n 风+ p 一。一- b - + p 一七一。玩) ， 对齐次方程中由于9 ( o ) = o ，所以d j = o ，歹= o ，1 ，将( 2 1 4 ) 式代入方程组整理可以得到一 个由n 个方程n + 1 个未知数构成的齐次线性方程组，因此c 一1 ，c 一：c n 一。有无穷多解 将解带入( 2 1 6 ) 式，方程的解可以求出，而且是无穷多解 由定理2 1 2 立即可证得： 推论2 1 3 设f 是简单弧，第一类奇异积分方程( 2 1 1 ) ，其中夕( t o ) o ，该方程要么无 解，要么有无穷多解 下面给出两个例子来验证上述定理： 例1 看方程( 2 1 1 ) 中的9 ( o ) = 1 ，忌( t ，t o ) = 3 2 铲+ ( 3 2 6 4 t ) t o ，对应的n = 2 ，詹= l ，f = 6l 是简单弧，其中 p 1 ：1 ，伽：寻肌l ：寻，p 一2 ：杀，p 一3 ：羔，：1 ；：o ，：3 2 ，：3 2 ，：一6 4 ， p 1 = l ，伽= i ，p l = 百，p 一2 = 丽，p 一3 = 面，= 1 = 1 2 = o ，h 0 2 = 3 2 ， 1 0 = 3 2 ， 1 1 = 一6 4 ， 根据线性方程组e 列出方程组，并整理得到 ( 去九o o + 壶 。一去) c 一- + ( 去，+ 刍h ，+ 1 ) c 一。+ ( 去 。z + 刍 。：) c 一。= 一去， c 刍 。+ 去危z 。一丢，c 一- + c 击 。- + 去危- - 一三，c 一2 + c 壶九眈+ 去危z 2 + ，c s = 一壶 进一步整理得 知一。他一杀， 扣一知慨一言 j c 一1 一j c 一2 + 2 c 32 瓦 解得 c 一- = 叫，c 一2 = 吾，c - 3 = 杀一署，刍堑睾三唑= 一汁三，r ( 力= ( 荨一3 2 叫炉+ ( 3 + 2 4 叫) t 一丢， c 一1 。叫，c 一22 西，c 一3 。丽一i ，丽正上专_ 产2 一o + 互，r ( o ) 2 ( 言一3 2 叫) + ( 3 + 2 4 叫) 一主， 将解带入( 2 1 2 ) 式可得 馋，= 志( 去譬删拙一- ) _ 盘骂学 此时方程( 2 1 1 ) 的线性无关解的个数是1 ，其中叫为任意数 例2 现给出一个无解的情况：假设方程( 2 1 1 ) 中的9 ( 幻) = 1 ，七( 屯幻) = 3 2 2 + ( 3 2 1 2 8 ) 幻， 、j、， 取 取 1 2 一 一 k 七 一 一 p p + + 玩 晚 3 4 一 一 p p + + ， 1 b b 2 3 一 一 p p + + 岛 玩 1 2 一 一 p p 1 2 1 2 对应的n = 2 ，七= 1 ，2 _ 介根据线性方程组e 列出方程组并整理得； ( 去。+ 壶 。一丢) c 一+ ( 去h 。t + 壶 ，+ ) c 一。+ ( 去 0 2 + 刍 。) c 一3 = 一去， c 壶，咖+ 去九，。丢，c 一- + c 壶 。z + 熹 - 一丢，c 一。+ c 击九。+ 去 - z + 1 ，c 一3 = 一刍 将，= o ，1 = o ，h 0 2 = 3 2 ， 1 0 = 3 2 ， 1 1 = 一1 2 8 ，h 1 2 = o 代入方程组得到 知一s c 射2 c s = 杀， 互c 一1 一j c 一2 + z c 35 丽 扣砘对2 c - s = 言互c l 一3 c 一2 + 2 c 一3 。西 由此得到c 一1 ，c 一2 ，c 一3 无解，即，( ) 无解 广西大学硕士学位论文 简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解7 2 2 惫( 亡，) 关于t 为一般解析函数，关于为多项式 对于奇异积分方程 翥c 畿班+ 焘( 七( ，幻) 巾) d 扛9 ( z o ) ( 2 驯 当z 为简单弧， ( ，o ) 为多项式时，已经给出了解的具体表达式那么当七( ，o ) 关于为 解析函数，关于t o 为多项式时解的情况本章将做进一步分析。在讨论奇异积分方程的可解 条件和解的个数时，可以运用n o e t h e r 定理来讨论，求出对应的齐次方程及相联其次方程的 解的个数，及指标但是其求解过程比较繁琐，相联方程求解的难度不低于原方程因此本 文直接根据线性方程组的秩来确定方程解的个数 定理2 2 1 设l = 晶是简单弧，七( t ，t o ) 关于t 为解析函数，关于t o 为七次多项式 地幻) = a ( ) t ；， ，o 拍。不是端点，夕( o ) 日，( 功日，且它们都在端点，6 可以有不到一阶的奇性。若方 程( 2 2 1 ) 有解，则解为 m ，= 南( 去f 趔擘俐) ， 仁2 e ( t ) = 啦，o i 为待定系数 证明：令 砟) = 刍墨出在2 挈肝霎鲁， 由p l e m e l j 公式可得 f + ( t ) 一f _ ( t ) - 巾) 及f + f - ( t 0 ) = 去筏d t ( 2 2 1 ) 式可直接化为 f 十( ) + f 一( ) 29 ) 一焘：七( 7 - ，t ) ( f + ( 7 - ) 一f 一盯) ) 打 ( 2 2 3 ) 设2 为从n 到b 的弧，l 是由，r 2 ，# ，r ，围成封闭曲线，方向为顺时针，r 2 ，1 是以6 ，n 为 圆心，充分小的正数r 为半径的圆，0 为从o + r 到6 一r 的弧，廿为从n 十r 到6 7 的 弧，且在f 的左侧，# 为从6 一r 到口+ r 的弧，在2 鳆查型! 记r 为r r ( r _ o ) 的极限，z 为f r ( r 一o ) 的极限，则在( 2 2 3 ) 的左右两边同乘上丛穹兰g 生，然后在。上积分得： 厂壁盟! 些笸亟塑出：厂皇塑近婴出 ，l r 一z - ，k t o 一熹上掣竹( f + ( 丁) - f 胁出， 广西大学硕士学位论文 简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解8 厂堡幽；竺坠生d ：厂型丛三兰些2 出 j r ，一r l r 2 一z ，l r 一z 一去l 叱乎蜘( 州一胁出 h 碘厂丝巡；螋：l i n l 厂丝幽；咝型生：o ， r + oj r 2 芒一z r o ，r 1 一2 7 姆上迮芑型竹( n r ) - f ) ) d r 拈。， 嬲厶掣m ( f + ( 下) - f 可) ) d 下班她 舰f ，竹竹) d 丁= 她厶妣妒( 丁) d r = o ， l i 珥厂壁巡；业型班：厂型吆拿匹旦妣 r o r r r l r 2 一彳 ，r t z l i 啦厂型丛；业型d 江厂型近兰巡二， t oj i t t z j l t z 觋熹l 一您譬m ( 州丁m 胁出 r _ o4 7 r i - ，r ，一r l r 2 一z ，z v 。、1 v7 1 v7 7 u 。 ：刍j ( 近掣 地瑚竹) 揪， 4 们矗 一z 矗”v ”r v 严 进而得到： z 盟罢囹拈型粤纽弘去z 譬似忡批 ，r 亡一z ，： 芒一z 4 7 r t ，r一彳，r 川、。7 、。7 因为 厶七( 7 - ，t ) f ( 7 _ ) d 1 - = 厶( a o p ) + a l ( 7 ) + + a 七( r ) 矿) f p ) 打= 2 仃i 岛， j r j rjt。 其中 马。焘上f ( 丁) ( 7 ) 打 ( 2 2 4 ) 所以 f ( z ) 厕一c 一- = 点型丝笋d t 一熹z 丛警( 塞岛) 出 = 熹厂必等芝幽比一三( 厄碉圭岛夕叫z ) ) 2 7 r i 以 t z 2 、vr ”八。叫白。j 4 “p 川 广西大学硕士学位论文 鱼兰焦! 塞! 士带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解9 其中r ( z ) 为“i j 汉两壹岛夕在z ；o o 处l a u r e n t 展开式的主要部分，是一个七十l ，= u 次多项式，所以 一高( 去牮出+ 掣+ c 一) 一三砉矽亿2 固 由p l e m e l j 公式，( ) = f + ( t ) f 一( t ) 可得原方程( 2 2 1 ) 的解为 ，( 幻= 了趸斋( 去型2 蔓z 譬掣打+ r ( d + 2 c 一，) ， ( 2 2 6 ) 那么厂( t ) 的一般表达式为 巾，= 南( 去必罕打删) ， 仁2 式中以2 三叫心为待定系觌 g = 熹厂必等学型打 去篇忙熹上而彘( 去业萼囹打例) 出 ：霉堕掣+ 土厂坠班 、( o n ) ( o 6 ) 2 7 r i ，r ( t = 云i f = 可( t 一o ) ”。 = 9 ( o ) + 口1 ( o ) ， 式中9 1 o ) 为了矿三翥等在t = 。处的留数，它是关于幻的后次多项式 熹撇郇。肛去z 揣 = 知0 ) ( 熹彳趔粤纽打俐) 出 她，= 熹z 揣( 去趔军打俐) 跳 当夕( t o ) = o 时，9 2 ( o ) 是关于t o 的不超过七次的多项式由于 去等熹酢山小纰砒， 所以 口1 ( + 三9 2 ( = o 广西大学硕士学位论文 简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解1 0 给定了9 ( o ) ，尼( ，o ) ，可以求出口2 ( o ) ，9 1 ( o ) ，且为不超过七次的多项式，根据9 1 ( o ) = 一 钇( 幻) 可以得到关于系数8 0 ，n 1 8 七+ l 的七+ 1 个线性方程，然后可以求出吼，i = o ，1 ，七+ 1 ，进而解出非零解，( t ) 定理2 2 2 在定理2 2 1 的条件下，若夕( t o ) = o ，奇异积分方程( 2 2 1 ) 有无穷个非零解 证明： 口1 ( 为了矿i 麦在t = 。处的留数， e ( ) = fo t ，口t 为待定系数， 当g ( o ) = o 时， 式中驰( 幻) 为了龋e ( ) 在= 。处的留数 口1 ( o ) ，q 2 ( o ) 均为关于t o 的不超过惫次的多项式，每一项的系数均为关于毗的一次齐次多 项式。 由9 1 ( o ) = 一；9 2 ( o ) ，可以得到关于瓯，0 = o ，l 七十1 ) 的七+ 1 个方程，组成一个含 有七+ 2 未知数的齐次线性方程组e ，设其秩为r ，所以齐次线性方程组e 一定有无穷多个 解，其解含有的参数的个数为忌+ 2 r ，则奇异积分方程的解中参数的个数为七十2 一r 推论2 2 3 在定理2 2 1 的条件下，若奇异积分方程( 2 2 1 ) 有解，则解中任意参数的个 数和对应的齐次方程相同 例3 在定理2 2 1 的条件下2 = 介，9 ( t o ) = l ，七( t ，t o ) = t o e ，r 与定理2 2 1 中的定义相同， 那么方程( 2 2 1 ) 变为 去磐打+ 熹z 竹，打乱 南杌础为志扣垮”扣紫+ 根据定理l 的结果有 邢，= 而蒜( 去巡粤国打俐) ， 去辱孚一十刍 ，( z ) = 了霸三荀( 一t + 丢+ e ( t ) ) ，e 。) = 。+ n t + 。z z 2 州归熹上而嵩两打：熹上精焉蓦d 丁 = 咱一( 警棚) 鱼查堂塑主堂堡笙塞一 简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解1 l 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 兰= 兰三三兰= = 兰兰= 兰三兰兰= 兰兰= t 二= 兰；= 一一 记 熹竹炉熹z 湍( 一三+ n o 佃丁托丁2 ) 打 = 詈c 。薹采褊十。- 薹采揣+ n 。霎群+ 知 一塞踹+ 丢霎紫+ 争 名孔1 2 计1 ( n + 1 2 鲁扎1 2 ”n ! 。2 产 o o d l = n = 0 d 2 = n = o ( 2 n + 3 ) ! ! 礼1 2 ”+ 2 ( n + 2 ) ! ( 2 扎+ 1 ) ! ! n1 2 ”+ 1 ( n + 1 ) ! j 一虽( 2 n 一1 ) ! ! d 32 群 ，l = 1 。 血= 薹揣器 根据口1 ( 幻) = 一q 2 ( 幻) 得到 d z 口。+ 如8 - + 如n 。+ n 。一如+ 鲁+ 丢= 一2 眈， 凸9 亏+ 0 1 2o 有这两个方程解出 口。一2 n o = 型塑等堡基， 用m a t h 锄a t i c 数值计算公式 奶= 雹端 。州， 虻雹端 嘲 糕 脚 ! 里查堂塑主堂堡堡塞简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = = = = = = = = = = = = 三三= = = 兰三= = 兰= = = = 兰= 兰兰兰兰= 兰i _ 兰兰兰兰兰兰兰兰二兰= 。 血刈s u m 雹龋 埘 l = 0 。 、一， 因此方程的解为 巾) = 志( 卅知恂h 坐型号掣) 用m a t h e m a t i c 数值计算公式算出的近似解为 邝) 2 丽与( 一t + 壶砌扩怕t + o 5 碱5 ( 毗搦9 8 “6 必- 训) ， 即 巾) 2 赢( n 6 2 1 2 5 托6 6 眠1 + ( 口1 _ 1 ) 一2 ) 其中口1 为任意数 例4 在定理2 2 1 的条件下f = n ，9 ( o ) = 1 ，七( t ，t o ) = 击+ 岛，z l 2 2gz ，r 与定理2 2 1 中的定义相同 ，。) = 了霄三荀( t + 丢+ e 。) ) ，e 。) = 。+ 。t + n z t 2 ， “= 熹z 而器两打= 熹z 嚣焉焉d r = - 0 2 铲( 警+ 口t ) 9 z ( 纠为了南( f 专+ 点) ( 一t + 三+ 知+ 口z 。+ 8 z t 2 ) 在z = o o 处的留数， 口2 ( 幻) = 一【n 1 1 + n 2 ( 吾+ z 1 ) 】一t 。【。1 1 + 口2 ( 丢+ 2 2 2 ) 】， 根据q 1 ( t o ) = 一；q 2 ( t o ) 得到 一n z = 丢 口，一1 + ( 丢+ 勿) 口。】 小，+ 警) = 扣一恂( 丢蝴) 】 进一步得到方程组 口- + ( 三+ 忽) 口：一l = o ， 3 口- + ( 耋+ z - ) 。一1 = o 当3 ( 导+ 忽) ：罢+ z 。时，方程组无解，即原奇异积分方程无解 当3 ( 兰+ z z ) 耋+ 钆方程组有解，且解为。： z l 一勿一l 一2 2 1 3 忽一6 望查堂塑兰堡垒塞 一 简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解1 3 2 2 2 = = 2 2 2 2 2 2 2 = = 2 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 三三= = = 三= = = = = 兰= 兰= 三兰= = = 三兰= 三= 兰兰兰三= 三= = 三= = = 兰= m ，= 志( 卅三+ 口。为任意实数 一2 z l 一3 勿一6 广西大学硕士学位论文 简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解1 4 第三章简单弧集上带c a u d l y 核的第一类奇异积分方程 3 1 k ( t ，t o ) 关于t ，为多项式 去筏砒+ 刍绯舶拈鲋o ) ( 3 ) 当角( ，o ) 为多项式，z 为简单弧时，已给出了可解条件及解的具体表达式本章对z 为简单 弧集时，给出了解及可解条件 定理3 1 1 设z = ( ：) 蕊，l m 是简单弧集， 七( ，o ) 为关于的竹次， 幻的七次 多项式t 七( ，t o ) = a o ) + a l ) o + a 2 ( 幻3 + + a 知( t ) c g ， 幻z ，幻吼，玩， 9 ( 幻) 日，( t ) 日，允许它们在端点口i ，阮处有不到一阶的奇性，若方程( 3 3 1 ) 有解，则解为 m ，= 赢蠢( 去 证明：令 g ( 丁) d 下 e ( t ) 为惫+ m 次待定多项式 砟，= 熹粤出在2 挈脐薹孑， 删t ，) 工2 ， 由p l e m i j 公式可得： f + ( t ) 一f 一( t ) = ，( t ) ， 咖+ f _ = 去磐打刮t ) - 嘉即瑚m 渺， ( 3 1 3 ) mmmm 一 设r r = 0r 们o = 0kr 1 = u ，您= ur 戤r 打是由l ：，r 2 t ，坛，r n 围成封闭曲线，方向 为顺时针，畅，是以魄，o 为圆心，充分小的正数r 为半径的圆，f 妄为从n t + r 到6 i r 的弧，且在k 的左侧，为从玩一r 到毗+ r 的弧，在如的右侧记r 为r r p 叶o ) 的极 ，m ，兀o 一啦) o - 6 t ) 限，l 为f r ( r _ o ) 的极限，在上式两边同时乘以卫兰下：- ，然后在0 上积分 z 竺一0 堙霉砒 ! 望查! 塑主! 堡丝墨 简单弧( 集) 上带c a u c h y 核的第一类奇异积分方程的解1 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 。2 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = 三三三= = 三= r _ = = 三= 三= 三兰兰兰三兰兰= 三竺兰兰兰兰兰兰兰兰兰兰兰= 。 一互笔3掣(丁，。)，。丁，d丁d。， 2 7 r i ，一z，”、o 。，j ，”。“。 l 一仡逖警型拈上型警竺班r ，一r 1 一r 2 一z 以， t z 一。 一五笔z，一，。一您j掣七cr，。，cf+。丁，一f一。下，dr毗， j 觋厶! 当掣蹴：! 觋二 r o - ，r 2 t z r o 上， d = 0 璺器晕七。r，。，。f+。下，一f一。下，drd。：。， 璺器晕惫。l。，。f+。r，一f一。丁，d丁d。：。， 二七( 丁，t ) f ( 丁) 打= ! 觋厶后( 丁f ( 丁) d 丁= 。， 磐l 川逖萼竺出：z 型警型疵，r o ，r r r l r 2 t 一名 ，r 芒一z 舰z 型警型出：螳警型虎， !翌五笔z，。一亿j掣后(丁，。)(f+(丁)一f一(丁)dr疵， r o4 丌t r r n r 2 一z 以“v p 八1v7 1 、，“。“b ：去z 掣胁妒批 4 7 r 重r 亡一z - ，r v 。7 v7 u z 逖磐竺拈螳萼型砒 一去z 掣胁坝枷， 4 7 r i ，r一名，t ”、。，” f ( z ) 一冗1 ( z ) ：熹型掣一赤上掣似妒删。 2 7 r 主z 一z 2 ( 2 7 r t ) 2 厶 亡一z 。，r v ，r ，。“ r 1 ( z ) 为f ( z ) = 处的l a u r e n t 展开式的主要部分，是m 一1 次多项式， 由于后( 7 - ，t ) 为关于r 的扎次，的七次多项式 胁一竹) 打= 似仙川。h 仙哟砷肛2 ，r 苣聃 令 4 ( 7 - ) = o + b l f + + b n p ，j = o ，1 ，2 七， 岛2 焘厶f ( 7 ) 4 ( 7 - ) 打2r e sa ( 7 - ) f ( 7 - ) = 一( 吻o c 一1 + 乃1 c 一2 + + 吩。c 一。一1 ) ， 。1 r = 。o f ( z ) 一冗1 ( z ) ：刍一出一去z 孽。扣 广西大学硕士学位论文 式可得： 上 2 丌 f ( 名) = 一 进而可以得到： ，( ) ：f + ( ) 一f 弋t ) ：声兰一 里。岫) 堑兰坠! 苤! 士堕c 独c h y 核的第一类奇异积分方程的解1 7 捣 铷m ，) 由于r 1 ( t ) 是m 一1 次多项式，兄2 ( ) 是m + 七次多项式，则厂( t ) 的一般表达式为 ，( ) ：产兰一 i 马 咖。o 岫)删z ，卜- 4 ， e ) = 飓( ) + 2 r 1 ( t ) 只要c t ( = 1 ，2 ，n + 1 ) 可解，奇异积分方程就可解下面讨论c t 的可解条件，记 = m a x ( m ，n + 1 ) 定理3 1 2 在定理3 1 1 的条件下，当m 几十1 时，( 3 1 1 ) 一定有非零解，当m ) 可以根据 p m c j 十p m 一1 c o 一1 ) + + p m j + 1 c l = d o m ) 云( p m j b 0 + p m j 一1 8 1 + 十p m j 一七正) ， 由c l ，c 一( j 一1 ) 确定 当m n + 1 时，比较j ，刍南的系数，列出方程组e ，根据方程组e 可以解出 c 一1 c 一，方程组e 为 p h c m 一1 + p r n l c 一。+ + z ) 0 c 一1