（机械制造及其自动化专业论文）系统模态参数辨识的连续小波方法研究.pdf

中文摘要 模态参数辨识的小波分析方法是继频域和时域方法之后新发展起来的一种 模态分析方法。相较于频域和时域模态分析方法，连续小波模态分析方法利用小 波分析在数学处理能力上的优势，辨识更为精确，对含噪信号不敏感，方法简单 有效。本文对这一方法进行深入细致地研究，主要工作及创造性成果如下： 本文对模态分析小波辨识方法的基础脊线提取方法进行了详细的研 究。在介绍了脊线提取的平稳相位理论的基础上，建立了连续小波变换脊线识别 的基本方法。通过对利用小波变换的相位和模值信息提取脊线的识别算法进行比 较研究，选择了更适于模态参数提取的c r a z yc l i m b e r s 算法，并以能量准则为基 础改进了原有算法对噪声敏感这一缺点。仿真试验表明，改进c r a z yc l i m b e r 算 法更适合于多自由度系统响应信号的小波脊线提取，对噪声具有很高的鲁棒性。 本文选择m o r l e t 小波作为系统辨识研究的基本小波。并针对小波变换时频 关系的特点改进了原有小波函数，用以平衡小波函数时间、频率两方面的性质。 采用这一算进行了仿真研究。仿真结果表明，该方法模态参数提取准确，对噪声 不敏感。通过对悬臂梁的实验研究表明，该方法较一般频域方法有更高的辨识精 度，可准确的识别悬臂梁模态参数。 本文给出了不同尺度下边缘效应影响范围的划定方法。在介绍了常用改进 方法的基础上，针对多自由度系统模态参数辨识的需要，给出了一种补偿函数法 来解决这一问题。通过仿真实验表明，该方法计算负担小，可极大改善小波变换 的边缘效应。 本文给出了基于连续小波变换的模态参数提取方法可辨识密集模态的基本 条件。针对密集模态对参数辨识所带来的影响，本文给出了基于改进m o r l e t 小 波的改进算法，并以某三阶系统进行仿真实验。实验结果表明，该方法可极大改 善由密集模态带来的频率混叠问题，参数辨识准确，可满足密集模态参数辨识的 需要。 本文还为小波变换进一步用于系统模态参数辨识研究指明了方向。 关键词：模态分析连续小波变换小波脊线边缘效应密集模态 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h eu s eo f t h ec o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r mr c w t ) f o r s y s t e mi d e n t i f i c a t i o np u r p o s e s c w tm e t h o di sa n e ww a yt ot h ei d e n t i f i c a t i o no f m o d a lp a r a m e t e r t h i st i m e f r e q u e n c y d o m a i nm e t h o di san e wd e v e l o p e dm e t h o d a f t e rt i m e - - d o m a i na n df r e q u e n c y - d o m a i nm e t h o d i t h a sb e e np r o v e dt h a tc w t m e t h o dw a se x a c ta tt h ei d e n t i f i c a t i o no f m o d a lp a r a m e t e r , a n dw a sn o ts e n s i t i v et o t h en o i s e t h em a i nw o r ka n dh a r v e s t so f t h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： t h ew a v e l e tr i d g ee x t r a c t i o nm e t h o d ( r e v 0w a ss t u d i e di nt h i sp a p e r r e mw a s u s e df o r t h ee x t r a c t i o no f t e m p o r a r yf r e q u e n c ya tb e f o r e r e m sd e v e l o p e df o rt h i s p u r p o s ew o u l dn o tw o r kf o rm o d a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n an e wm e t h o di s i n t r o d u c e di nt h i sp a p e r ，c a l l e dc r a z yc l i m b e rm e t h o d c r a z yc l i m b e rm e t h o dc a n e x t r a c ts e v e r a lr i d g e si nt h es a m et i m e i tc a nb eu s e df o rm o d a lp a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o no f m u l t i - d e g r e e o f - f r e e d o m ( m d o f ) b u tt h i sm e t h o di ss e n s i t i v et ot h e n o i s e ai m p r o v e ds t u d yw a si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r t h es i m u l a t er e s u l ts h o w st h a t t h ei m p r o v e dc r a z yc l i m b e rm e t h o di sn o ts e n s i t i v et ot h en o i s e m o r l e tw a v e l e tw a ss e l e c t e di nt h i sp a p e rf o ri d e n t i f i c a t i o np u r p o s e ao p t i m i z e w a v e l e tm e t h o dw a su s e df o r t h eb e s tt i m ea n df r e q u e n c yp e r f o r m a n c e s ac a n t i l e v e r w a st e s t e dt ov a l i d a t et h i sm e t h o d t h et e s tr e s u l ts h o w st h a tt h em e t h o di ss u i tt ot h e m o d a lp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n t h ee d g e e f f e c to f w a v e l e t sw a sa n a l y z e di nt h i sp a p e r ae d g e e f f e c tm e a s u r e m e t h o dw a si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r i no r d e rt ot h em d o fi d e n t i f i c a t i o n ，a n e q u a l i z i n gf i a n c t i o nm e t h o dw a sp u tf o r w a r d t h es i m u l a t er e s u l ts h o w st h a tt h i s m e t h o dc a nm o d i f yt h ee d g ee f f e c t e dw a v e l e tt r a n s f o r mr i d g ec o m m e n d a b l y t h em a s sm o d e lq u e s t i o nw a ss t u d i e di nt h i sp a p e r a ne s t i m a t er u l ew a s i n t r o d u c e di nt h i sp a p e r t h i sr u l ec o u l dd i v i d em a s sm o d e l sf r o mn o r m a lm o d e l s a i m p r o v e dm o r l e tw a v e l e ti su s e df o rt h em a s sm o d e le s t i m a t i o n as i m u l a t e d3 d o f s y s t e mw a st e s t e db yt h ew a v e l e t t h er e s u l ts h o w st h a tt h ei m p r o v e dm o r l e tw a v e l e t i su s e f u lf o rm a s s m o d e li d e n t i f i c a t i o n k e y w o r d s ：m o d a la n a l y s i s ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，r i d g e ，e d g e - e f f e c t ，m a s sm o d e l i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨生盘茎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：易叼亨 签字日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘鲞盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权基壅盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 例写 签字日期：9 叫歹年f 月纠日 导师签名：刁石墨 签字日期：力缈哆月椭 第一章绪论 第一章绪论 1 1 模态分析技术的发展概况 模态分析技术是动力学分析的逆问题，它是在已知输出和输入( 最新发展的 模态分析方法有的不需要知道输入) 的情况下求得系统特性参数的一种动态分析 方法。模态分析方法主要用于分析复杂结构的动力学特性，该方法的最终目的是 从实验方法上解决机械结构动力学建模的问题。模态分析技术利用传感器测试， 信号处理等手段获取输入激励和输出响应，通过一定的方法建立结构的模态模 型，进而识别系统模态参数。模态分析方法可以非常直观的了解结构系统的振动 情况，可以为结构设计和修改提供系统的基本参数。由于模态分析技术的巨大实 用价值，使其成为利用振动理论解决工程问题的最重要、应用最广泛的技术手段 之一。 模态分析方法最初是在机械阻抗等概念的基础上发展起来的，1 9 4 7 年， k e n n n e d y 和p a n c e 的论文首次使用机械阻抗等概念来确定航空结构的固有频率 和阻尼比，该方法及概念被沿用多年。1 9 6 3 年，b i s h o p 和格拉德维尔对实验模 态方法的原理进行了阐述，其理论大大超出了当时的研究水平。同一时期，s a l t e r 所著的书中从完全不同的角度提出了用非解析的方法处理测量数据的观点。这种 方法与当今借助计算机的算法相比，计算量大，需占用较多的人力，但这种方法 在该项结构振动的研究中成功的引入了一些重要的物理概念。1 9 7 0 年以后，随 着传感器技术，电子学和数字分析仪等方面的发展，逐渐建立起了目前常用的模 态分析技术。 模态分析理论最初是以实模态理论为基础发展起来的，随着人们对机械结构 阻尼性质的深入研究，发展出了复模态分析理论。实模态和复模态方法至今仍在 使用，他们分别适用于不同的情况，实模态分析适用于小阻尼或比例阻尼，复模 态理论则适用于非比例阻尼和结构阻尼情况。从概念上来讲，实模态实际上是复 模态的一个特例。但是由于人们习惯的关系，仍旧将这两个理论分成两个独立的 部分进行分析。 模态分析可以分为以下几个主要环节； ( 1 ) 激励技术 第一章绪论 模态激励技术可分为稳态正弦激励和宽频带激励两大类。稳态正弦激励是模 态分析中的经典方法。随着六十年代后期跟踪滤波器的开发成功，稳态正弦激励 成为实验模态分析的主要也是唯一方法。这种方法对线性系统有较高的精度，但 费时费力。七十年代以来，随着以n 叮等算法的出现和计算机技术的逐渐成熟， 各种宽频激励方法相继被提出和推广将宽频带激励与f f t 算法相配合进行模 态分析试验逐渐成为当时主要的实验手段，这种激励方式沿用至今。采用稳态正 弦激励方式进行模态试验已不多见，已被宽频带方式所取代。宽频带激励包括瞬 态激励、阶跃激励、快速正弦扫描激励、伪随机激励、纯随机激励、周期随机激 励和瞬态随机激励等。 ( 2 ) 测试技术i ，w 六十年代主要采用稳态正弦激励和测试技术，当时航空工业界普遍采用的测 试技术是基于多点激励的相位共振技术。使用正弦慢扫描激励的频率响应测试仪 对结构进行测试，利用实频、虚频特性的相位分离技术或导纳园拟和的方法来确 定结构的动力特性。七十年代以后，实验模态分析技术蓬勃发展，采用各种宽频 带激励的快速频响测试技术和在小型计算机上实现的多自由度频域、时域模态识 别方法成为当时的主流分析方法。模态分析方法从这时起，开始在各种机械、航 空、航天、汽车、舰船、建筑、化工、冶金等领域广泛应用。实验模态分析方法 不仅直接应用于动力学特征提取，而且在故障诊断、有限元数学模型优化、结构 动力学修改和系统优化设计等方面都取得了大量的应用成果。实验模态分析在各 个方面的应用反过来也对模态分析技术提出了更高的要求。八十年代，模态分析 无论是在激励、测试技术，测试设备，f r f 估计和模态识别方面都有了新的突破， 进入了了一个崭新的阶段。多输入频响函数测试技术的出现，为发展现代的多输 入多输出识别方法奠定了基础。现代的多输入多输出测试技术已逐渐成熟，成为 工程技术人员不可或缺的技术手段。 ( 3 ) 模态识别p l 】 对采集信号进行处理进而识别模态参数，最早是采用f f t 变换在频域中进 行的。这类方法被称为频域方法。频域方法发展较早，方法也有很多，至今仍是 模态参数辨识的一种主要方法。这类方法物理概念清楚，不易遗漏模态或产生虚 假模态，可靠性较高。但是这种方法要求有完整的输入、输出数据，且要将所得 时域数据经f f t 变换变为频域数据，不可避免地会产生能量泄漏等现象。同时， 这种方法对数据信噪比的要求也较高。 由于模态分析的对象越来越复杂，现代计算机技术和信号分析及其处理技术 的迅速发展，特别是f f t 算法的应用，七十年代以来，采用频晌函数识别系统 的模态参数，即频域技术得到了迅速的发展。随之，国际模态分析会议也不断召 2 第一章绪论 开。频域模态分析方法大致经历了三个发展阶段，分别产生了三种不同的识别方 法。 七十年代前期，单输入单输出( s l s o ) 识别方法是当时主要使用和研究的 方法，这类方法主要有两种方法，一种是将传递函数( 或频响函数) 展开成部分 分式的形式，用非线性最小二乘技术进行迭代求解；另一种是将传递函数展开成 有理多项式形式，用线性最d , - - 乘法直接求解。 七十年代后期，由于单输入单输出识别方法本身的一些缺陷，发展出了 单输入多输出( s l m o ) 识别法，这类同时采用全部测试数据的s i m o 方法，又称 为总体方法( g l o b a lm e t h o d ) 。由于s i m o 方法可能出现模态遗漏的情况，后来人 们开始选择若干个激励点分别进行s i m o 测试与识别，然后将所得的几组模态参 数互相比较、补充、选择，最后确定一组模态参数，但这种方法不能充分利用数 据，人工干预多，并不理想。 八十年代以来，随着多点激励f r f 测试技术的出现，相应的发展出了第 三代模态分析识别方法一多输入多输出( m i m o ) 识别方法。它成为当时大型、 复杂结构实验模态分析较好的一种方法。 频域模态参数辨识方法已经发展到了成熟的阶段，成为与许多专用频谱分析 设备集成的参数识别方法。由于频域方法需要将测试信号由时域转换到频域进行 处理，在变换中，会产生如截断误差等方面的问题。随着人们对信号处理、系统 辨识等领域的不断研究深入，自七十年代末期起，逐渐形成了一种新的模态参数 辨识方法一时域模态参数辨识方法。 时域方法比频域方法发展晚，但近年来有了长足的进步。1 9 7 3 1 9 7 6 年 间，i b r a h i m 连续发表了多篇论文【3 刀1 3 8 1 ，形成了独具一格的时域模态参数辨识 方法，推动了时域模态参数方法的向前发展。i b r a h i m 的方法又称为1 7 r d 方法， 它是一种单输入多输出的模态参数辨识方法。七十年代后期产生了另一种时域模 态参数辨识方法，就是最小二乘复指数法( l s c e 法) 。在测量坐标数比待辨识模 态数目多的情况下，该方法的计算量比i t d 方法小得多，成为七十年代后期模 态分析主要采用的方法之一。时间序列分析方法也在时域参数辨识中广泛应用。 1 9 2 7 年y 1 1 1 e 将时间序列分析应用于太阳黑子变动规律的统计分析，以后在天文、 气象、商业、医疗、军事、和工程等许多领域中都有成功的应用。尤其在1 9 6 5 年以后，b o x 和j e n k i n s 发表了专著“时间序列分析，预报和控制”，对时间序 列分析方法的理论及应用作了系统而深入的论述，是时间序列分析发展史上的一 个飞跃。随后，在七十年代中期，美籍华人吴贤铭教授和p a n d i t 教授讲时间序列 分析方法成功应用于机械制造工业中，并对时间序列的数学方法赋予了物理概 念，提出了所谓的d d s 法，在机械制造、航空、航天及海洋工程等方面得到了 3 第一章绪论 广泛的应用。它可以方便的用于实鼯终掬鲍“在线”模态分辑，讴其模型定阶较 困难，一维时闯序列攘擞无法识羽强麓，傅恚寿教授其看提密了一种多维露麓净 列模型( a r m a v ) ，解决了识别振溅问题并提高了辨识精度。随着现代控制理 论的发展，一种基于卡尔曼( k a l m a n ) 滤波理论的系统辨识方法被提出，并不断宪 善。专零爨滤波嚣嚣要裙戆售患，瓣藏常与i t d 穷法露辩使耀，逛这带来? 诗 算上的麻烦，且它不舆有i t d 法在线辨识的优点，使用中有一溆的局限性。 时域方法面临的主撰问题是抗噪声干扰，分辨和剔除出由噪声引起的虚假模 态 奠及模溅静定除趣瑟，避几年在藏人斡基础上也发展出了一系捌拣方法，试凰 解决这蝥藏题。毽这鬻方法在解决了一些阉题靛瀚时氇带来了新的阍蘧。嚣誊域模 态参数辨识方法还是一个仍处于不断宪善和发展巾的方法。 嚯。2 模态分析的时频辨识方法 模卷分析的时频方法是近年来新出现的一种横态参数辨识方法。该方法将信 号在时频平面上展开求解特征参数。而不是单独的在时域或频域避行处理。模态 分撰懿孵壤方法最早滋瑷粒嚣h i l b e r t 交换方法，囊子这秘方法窍在较大缺羧， 只存在了缎短的时滴就被其绝时频方法所取代，这里不再赘述。 时频方法现在发展较快的是利用缀验模态分解方法( e m d 方法) 求解橇态 参数的掰f r 方法，另外一种是连续小波模态参数辨识方法。 经验模态努耩努法爱军楚焉予津乎稳绩号处壤，售号经e m d 努簿薏鑫分 量i m f ( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ) 都怒平稳的，可以进一步进行h i l b e r t 变换得到 碰l b e r t 谱，由此得到的h i l b e r t 谱能准确的反应出物理过程中能爨在各种频鬻尺 度及时翅上懿分布。e m d 方法为a 平稳信号避露交换奠定了纂破，美国字舷孛 心n a s a 将其称为h h t ( i - - i i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ) 方法。h h t 方法本质t 是 对一个信号进行平稳化处理分解，产生具有信号的不同特征尺度的本征模黼数 i m f 分壁。对于非平稳信号，对其巍接进行h i l b e r t 变换本身没有意义。而i m f 分量楚擎稳黪，基于热搭分量逶学h i l b e r t 交换瑶缮裂懿h i t b e r t 辘量谱戆壤凌瓣 反应出物理过程中能量在各种频率尺度及时间上的分布。谱是一个三维( 时间 频率局部振幅) 谱形。在线性框架v ，h i - i t 谱岛小波谱有相i 可的表现特性，与 f f t 谱樱魄，旋h i l b e r t 谱孛不仅可以著出箍毽，l 嚣星可以看爨频率睫时瓣的交 亿情况，这是f f t 方法所不具有的优点。h h t 方法能客观静静理一类菲线瞧溺 题，所得到的三维谱澎能准确地用予波内调制机制反映出的系统非线性变化特 征，这也魁其优点之一。但是利用h h t 方法进行模态参数辨识，在系统内阻尼 魄较大豹德凝下，会囊予h i l b e r t 穷法本隽鹁憝溪不秀，窭瑗较太弱误差。嚣且 该方法存在边缘效应问题。 4 第一章绪论 小波理论的思想形成于本世纪初，h a a r 在1 9 1 0 年提出第一个小波规范正 交基，即人们所熟悉的h a a t 系。小波w a v e l e t 变换是由法国数学家m o r l e t 于1 9 8 0 年提出的，它与法国理论物理学家o r o s s m a n 共同提出连续小波变换的几个体系， 其基础是评议和伸缩下的不变性。这使得一个信号能被分解成对空间( 时间) 和 尺度( 频率) 的独立贡献，同时又不丢失原有信息。利用小波变换进行模态参数 识别，是基于调频高斯小波变换良好的时频分析能力以及带通滤波性质使系统自 动解耦，然后从脉冲响应函数的小波变换出发识别模态参数。信号直接小波变换 的优点，一是直接根据定义而来，概念非常易于理解，因此易于工程技术人员应 用；二是可将实际工程中大量存在的非平稳随机信号，由局部断点的信号及一些 不能用f o u r i e r 变换来分析的信号等，用直接小波变换分解为不同尺度( 频率) 下的分量在对这些分量进行分析。 机械系统模态参数识别的连续小波变换方法研究，在国外是从1 9 9 7 年开始 发展起来的一个模态分析领域的新方向。该方法从本质上讲，是利用了小波函数 的衰减特性，该特性与机械系统自由响应信号的衰减在形式上有相似的地方。根 据平稳相位理论，对自由响应信号进行连续小波变换，可以在时间一尺度( 时间一 频率) 平面上形成一条清晰的脊线。提取该脊线上的小波变换系数，就可以分离 出系统的模态参数。 该方法最早见于1 9 9 7 年s t a s z c w s l d 87 】发表的文章。其最先采用的方法是离 散小波，但提出了利用连续小波进行参数识别的理论，并提出了三种辨识方法。 r u z z e n ee ta l 7 9 随后采用该方法进行了多自由度系统的自由响应参数辨识，并指 出了该方法在瞬时频率辨识上优于h i l b e r t 变换。对于线性系统的阻尼、固有频 率、振型的辨识都有学者进行了理论和实验研究。对于非线性系统的参数辨 识，s t a s z e w s k i t s s 采用了瞬时相位的概念识别了系统的瞬时频率和幅值变化。对 于非线性系统的步研究，仍处在起步阶段，未见到更多学者的研究情况发表，这 也是这一方法未来应用的主要方面。在对于小波变换母小波的选择，最开始采用 的是n o r l e t 小波，有学者采用c a u c h y 小波”和h a r m o n i c 小波m 进行数学运算。 s i m o n o v s k i i s 3 对多种母小波进行了比较研究，指出了利用m o f l e t 小波进行模态 参数辨识的优势。 国内对于连续小波模态参数辨识方法的研究稍晚于国外，相关理论的见刊最 早是由王永刚，张景绘“发表的文章。他们采取了与s t a s z e w s k i 不同的小波运 算和推导过程，但导出的结果完全一致。此后又有个别的学者发表了相关的学术 文彰1 1 2 , 1 1 7 , 1 1 8 。国内研究现状仍主要集中在线性机械系统的模态参数提取，相关 理论的推导。 综上所述，模态分析的小波变换方法是一种新的模态参数辨识方法，在国外 5 第一章绪论 正在逐渐引起重视，权威杂志上的相关文章已有4 0 余篇。研究问题的方向已经 由线性多自由度系统的阻尼，固有频率，振型等模态参数的辨识深入到非线性系 统的参数辨识。并已有学者对建筑结构、飞机叶片、桥梁框架等结构进行了实验 研究。对于分析中需要采用的母小波的选择，小波的边缘效应，多自由度模态识 别，环境模态参数识别等多个方面都有所涉及。国内研究相对落后于国际同类水 平，所涉及问题不够深入。 1 3 课题的研究意义与主要内容 对机械系统进行模态分析和参数识别是分析系统动力学性能，研究机械运转 工况，进行故障诊断等多种研究必不可少的手段。模态参数辨识的时频分析方法 是继频域和时域方法之后新发展起来的一种模态分析方法。相较于频域和时域模 态分析方法，连续小波模态分析方法利用小波分析在数学处理能力上的优势，辨 识更为精确，对含噪信号不敏感，方法简单有效，尤其在传统的频域和时域不能 胜任的非线性模态参数识别方面，小波模态分析方法因其在时频分析方面的独特 能力，必然会发挥巨大的作用。连续小波模态分析方法在国外方兴未艾。在国内 也仍处在起步阶段，仍有许多问题亟待解决。对这一方法进行深入地研究，有重 大的理论意义和现实意义。 本文的课题正是基于以上原因，在国家自然科学基金项目“机械结构工况模 态参数识别和损伤识别方法研究”( 基金号：5 0 4 7 5 1 1 7 ) 的资助下展开的研究工 作。 由于小波变换的诸多优点，将其用于模态参数识别的前景是广阔的，但仍有 很多缺点制约了这一方法的广泛应用。主要表现在以下几个方面： 第一，连续小波变换的时间积分区间为正负无穷大，而实际采集到的包含模 态信息的信号是有限长的，由于小波函数有一定的衰减区间，在对信号的中间部 分进行变换时，结果比较满意，但对数据的首尾部分进行连续小波变换时，会产 生较大的误差。当数据足够长时，可通过设定辨识区间，只选取置信区间内的数 据进行识别来解决这一问题。但通常情况下，数据长度是一定的，一般无法达到 令人满意的长度，这就造成了模态参数无法辨识，或错误辨识。同时，这种边缘 效应会对低频产生较大的影响。 第二，通过连续小波变换识别模态参数，含有模态信息的有用变换结果将在 时频平面上形成一条特征曲线，称为小波脊线。提取这一特征曲线通常采用的 方法是牛顿迭代法。这一方法虽然速度快，但对时频参数敏感，求解精度完全依 6 第一章绪论 簸予诤舅瓣爨设定兹瓣菝参数采撵攀。瑟若怒求鳞疆度挺裹，曩g 运算量会犬冁增 加。而且该方法对于多条脊线无法辫识，对于多翻由度模态参数辨识问题髡驻为 力。另外，根据小波变换的平稳相能理论发展出来的几类算法酱遍对噪声敏感， 这与小波变换对噪声蛉簧棒性不德，说硬算法仍存在闻题，甓簧终进一步戆分板 研究。 第三，当使用连续小波变换进杼多模态识别时，会出现频率混叠现象，两条 特征曲线将混叠在一起，出现中间逑接部分。同时，这种脊线问的连接夜会造成 嚣条黉绫童穰蓬薅意瓣波动，严重鹣壤嚣下耱蠢法撵敬其模繁戆趋势顼。疆上这 些问题都会对小波脊线识别算法造成辨识困难。以前对密集模淼小波辨识方法的 各类研究童要集中在横态的可分离熬础上，并未沙及其脊线模假波动性与辨识间 戆关系阂题【0 7 l 。 本课题将针对以点几个问题进彳予深入的研究，主要在以下几个方面展开研究 和创新工作： 第一，对于小波变换存在的边缘效应问题，一般采用拓展边曩的方法改进原 有算法。遁过设定影响嚣阕，拓延淼有数据长发消除这一影确。毽这静处壤，计 算量大，只能针对某一特定的频率避 行改进处理。对于多自由度系统，其响应信 号一般含肖多种频率成分，如果受影响的频率成份很多，则需臻反复进行拓展， 费嚣荧秀。 本文将根据小波逑续变换的其体特点，从算法角度分析边缘效应的影响，根 据其对有限长数据不能宛全积分的情况，通过一种函数补偿的方法进行创新研究 工俸。 第= ，对于脊线谈别稽度闯题，钟对原有算法无法识剐多条脊线和对礤声敏 感的问题，将采取多祭脊线同时识别的算法进行研究，这类算法比较少见。c r a z y c l i m b e r 算法刚在一定程度上可以勰决这个问题，但其对噪声比较敏感，需器改 进识鞠算法，镬其更好豹薅现毒小波变换对臻声豹簧耱往。 本课题的创新研究将从能量角魔研究由噪声产生的“伪”脊线，分析其与 实际脊线之间的联系和区别入手。邋过其能量上的差别，设定能量阙值去除噪声 戆影确， 第三，对于多模淼嘲有频率脊线的混叠问题，需要进一步分析其产生机理， 研究密集模态对脊线和脊线模值的影响，分析各种因素对频率混叠问题的影响程 度。对一般情况下斡模态参数辨识挝邂辍邻模态魏哥辫识准剐。对于密集模态， 将改述原有小渡变换髯法，实现须率分离。 本谍题的创新研究将分析两个栩邻( 固有) 频率所产生的脊线上小波变换分 7 第鬻绪论 量戆模僮波动性入手，分辑其波动馋露频率密集熬度蠢，l 、波系数之阕豹影礁哭 系，建立一般模态闯可辨识的基本准剡。在姥基础上提出一种通过改变原有信弩 频率的办法察现密集( 模态) 频率分离的方法。 s 第二章连续小波变换及其性质 第二章连续小波变换及其性质 近年来，小波分析作为强有力的数学调和和分析工具，已形成较完整的理论 体系，并且不断深入的应用于科学和工程技术的各个领域。其自身理论体系也在 迅速发展成长中。有关小波分析的理论及其应用的著作和文献很多，涉及到众多 数学理论和工程方法的方方面面。本章结合课题研究的需要，从机械系统动态参 数辨识的应用或具有潜在应用的角度出发，对有关小波分析的基本理论进行归 纳、整理和阐述，为以后几章的理论推导和问题论述奠定基础。 2 1 连续小波变换 2 1 1 小波变换基本原理 p ( f ) 是被称为基本小波或母小波( m o t h e rw a v e l e t ) ，它是一个均值为零的 平方可积函数田】： b ( f ) d r = 0 y(r)l2(r)(2-1) 它有规范化范数眵( f ) | _ 1 ，且能量集中在以f = o 为中心的邻域内。对j c ，( f ) 作 伸缩a ，平移b ，可得到一族小波函数 y 。( f ) = l 压，i l l - 口6 ) ， ( 2 2 ) 这族函数仍然有规范化的范数i y 。o ) | _ 1 。 f 2 母小波缈( f ) 可以是实信号或复信号，特别是解析信号。例如i c ，( 力= 82 口埘便 是一例。它是高斯包络下的复指数信号，其虚部是实部的希尔伯特变换( h i l b e r t t r a n s f o r m ) 。 尺度因子口的作用是将母小波y ( f ) 作伸缩。a 越大，妒( r 日) 就越宽；相反， 则越窄。时间因子b 的作用是将母小波在时间轴上进行平移。 9 第二章连续小波变换及其性质 设x ( f ) 是平方可积的函数，记作x ( 月) 。x ( f ) 关于尺度a ，时间6 的连 续小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ，简记c w t ) 为【2 3 1 ： w t x ( 口，6 ) = = 云石i 。删e j “p ，l t - b 净( 2 - 3 ) 符号( 五) ，) 代表内积，上标+ 代表函数取共轭。 与公式( 2 3 ) 相对应的小波变换频域表达式为】： 呢) = 尝驭嘶( 础川如= _ 1 五 a ) ( 2 q 与公式( 2 - 3 ) 相对应的小波反交换为： = 专姥聊竽 ， 其中 q = 聪临( 2 - 6 ) 小波函数的选择不是唯一的，但也不是任意的。】i c ，l 应该具有快速衰减性质， 谓之为“小”，同时其振幅为正负相间的震荡形式，谓之为“波”。 2 1 2 小波变换的时频局部化特点 利用解析小波妒( ，) 进行时频分析，其时频分辨率依赖于小波函数。( f ) 的时 频宽度。假设妒( ，) 集中在原点，则y “o ) 集中在f = b 。 母小波在时间轴上的衰减范围正为【5 2 】： 砰= 尊：俐2 d t ( 2 - 7 ) 由小波变换的性质可知，在尺度口下的小波妒。o ) 的衰减范围a o - t 为 s 2 l ； 口：z = 琢f 一功2 h ( f ) 1 2 d t ( 2 - 8 ) 由于痧( 叻在负频率为零，故的中心频率为圈： 1 0 第二章连续小波变换及其性质 叩= 去r 咖( 酬2 豳 ( 2 - 9 ) 痧( 叻以叩为中心的能量宽度为d 2 1 ： = 去r b 一l 痧( 圳2 d m ( 2 - l o ) 妒。j 的傅立叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ) 为【5 2 1 ： 驴。( 叻= 劢弦归 ( 2 11 ) 因此痧。j 的中心频率为么，驴。以么为中心的能量宽度为5 2 】： 譬：去r - 一韵2 k ( 劫1 2 如 g - 乃 这样，小波函数妒在时频平面上对应于一个h e i s e n b e r g 盒，该盒的中心在 ( 6 ，口) ，时间边长为4 q ，频率边长为l a ，该长方形的面积保持吒盯。不变， 但时间和频率的分辨率均与口有关，如图2 - 1 所示。 刁 唧 节 口2 岛+ 口1 q毛+ 口2 q 图2 - 1 小波函数的时间一频率窗 时频窗口的特点是，当需要检测高频分量时，减少。的值，此时时间窗口自 动变窄，而频率窗口自动变宽，此时为一时宽窄而频宽大的高频窗；而在检测低 频分量时，增加口值，时间窗口自动变宽，频率窗口自动变窄，此时为一时宽大 而频宽窄的低频窗，但其乘积由h e i s e n b e r g 测不准原理限定为一常数，因此， 高频分量在时域局部化分辨率提高是以频域的不确定性加大换取的。分析高频分 第二章连续小波变换及其性质 量时。时窗变窄，频窗加宽，分析低频分量时时窗变宽，频窗变窄，从而实现了 时一频窗口的自动自适应变化。总之，当伸缩因子从d , n 大变化时，滤波的范围 从高频到低频变化，因此，小波变换具有变焦特性。 2 2 连续小波变换的基本性质 由于后续章节阐述的需要，这里简要列举连续小波变换参数识别方法所需要 用到的几个小波变换的重要性质。 由于小波变换对于x ( r ) 而言是以矿( f ) 为母函数的线性变换，因此不难证明它 具有下述特性： 1 叠加性 如果砸) 的连续小波变换( c w t ) 是r r r ( a ，6 ) ，y ( f ) 的c w t 是蹄t v ( 口，6 ) ， 信号z ( t ) = 加。) + y ( r ) ，则z ( f ) 的小波变换为： 阡t ：( 4 ，6 ) = k l w t x ( 口，b ) + k 2 聊j ( 口，b ) ( 2 - 1 3 ) 2 时移性质 如果x o ) 的c w t 是呢( 口，b ) ，则有： y = x ( t t o ) ，阡l ( 4 ，b ) = w t x ( 口，b t o ) ( 2 1 4 ) 也就是说，x ( f ) 的时移对应于w t 的时间因子b 的移动。 3 尺度转换 若x ( f ) 的c w r 是阡工( 口，b ) ，则有： y 叫丢，啊向矽= 砚r 詈，妄，；2 卜0 ( 2 - 1 5 ) 2 3 常用小波介绍 这里简要介绍后续章节分析将用到的几个小波函数的基本形式和性质。随着 小波分析方法研究的深入，为适应不同的分析需要，产生了多种小波函数，其中 有几个有代表性的小波函数如下： 1 2 第二章连续小波变换及其性质 1 m o r l e t 小波【5 2 】 m o r l e t 小波是高斯包络下的复正弦函数，其时域和频域形式分别为： 上 缈( f ) = p2 p 州 ( 2 1 6 ) i ，( ) = 芝厄一k p 7 2 ( 2 1 7 ) m o r l e t 小波是信号分析中常用的小波，虽然严格的说它并不是有限支撑的， 但是它具有良好的时域、频域局部分析能力。另外m o r l e t 小波也不满足小波函 数的容许条件，不过实际工作中取c o o 5 ，便近似满足容许条件。图2 2 是 m o r l e t 小波在( 0 0 = 7 时的实部与虚部图，其中实线部分是m o r l e t 小波的实部， 虚线部分是该小波的虚部。 2 o a b o r 小波1 5 2 】 g a b o r 小波的时域和频域形式分别为： 一，l ( ) 2 两1 矿p 1 p脚(2q8) v ( o j ) = ( 4 搿2 y “p 曲一r 卉2( 2 1 9 ) 其中，盯决定了o a b o r 小波的宽度。可见，c r a b o r 小波也是高斯包络下的复 小波。选定特殊的仃值，可以得到与m o r l e t 小波相似的函数形式，故此，这里 不再绘出g a r b o r 小波的具体函数图形。 测 馨 她 ； l； ： ，、 中： ： ：- i 一i 州 ： l 、| j1 l 谬 ； 唆ii iw 蚴 y ；i 飞 v jii 图2 2 复m o r l e t 小波的实部与虚部 第二章连续小波变换及其性质 3 c a u c h y 小波 n 阶c a u c h y 小波的时域和频域形式分别为： 归”1 v 和，：降爿荆 其中，日( 口) 是h e a v i s i d e 函数。 图2 3 是c a u c h y 小波在行= 5 时的实部与虚部图，其中实线部分是c a u c h y 小波的实部，虚线部分是该小波的虚部。 测 馨 i l ! ：f 、， 弋一弋 蜊 j 。 if 0 图2 - 3c a u c h y 小波的实部与虚部 4 谐波小波 谐波小波( h a r m o n c w a v e l e t ) ；黾n e w l a n d 在1 9 9 3 年嘲提出的。n e w l a n d 从小 波的频谱出发，构造了一种在频域具有极好的紧支撑和严格盒形特性的小波。其 函数表达式如下【6 田； p ( f ) = e j 4 4 了芝_ f e j t m 其频域形式为： 】4 ( 2 - 2 2 ) 第二章连续小波变换及其性质 洳) ：丛壁娑坚逊( 2 - 2 3 ) y 【叫。五一 其中，日( 田) 是h e a v i s i d e 函数。其实部、虚部及频谱如图2 4 所示。 在一般使用中，为使分析频带的选取更加灵活，引入正实数m 、n ，其中m o ，锄砌 蚴1 其中，( f ) = 忑1 沙( 气勺。并设，( 啊( 勋o ，f ( 槲1 ) ，则： 呐，6 ) ：莩r 朋h 却矿脚 = ；r 1 ，( 酬d 中( 气牛 “p 2 砂) ( 盼仁斗一矿仁斗) 蚴、 式( 2 2 6 ) 可以通过以上5 步来实现，也可以用快速卷积运算来完成。卷 抓 悱 制| | 讲 号 波 刚 扮 啵 腮 撇 错 帔 第二章连续小波变换及其性质 2 5 本章总结 本章首先简要介绍了小波变换的基本原理，其中涉及了连续小波变换及其 反变换的基本方法。其次，阐述了小波的时频局部分析能力，给出了小波时间移 动与尺度伸缩之间的关系。在简要介绍了小波几个基本性质的基础上，对m o r l e t 小波、g a b o r 小波、c a u c h y 小波和谐波小波也作了必要的分析。最后给出了连续 小波变换的基本实现算法通过本章对连续小波变换及其相关性质的介绍与分 析，为后续章节的研究奠定了理论基础。 1 8 第三章小波脊线及其识别方法研究 第三章小波脊线及其识别方法研究 模态分析的一个重点是结构特征参数的提取，而信号的连续小波变换后特 征提取的一个重要方法就是小波脊线识别，小波脊线是周期信号连续小波变换 的一个重要现象。理论分析表明，沿着小波变换时频平面中脊线上分布的参数 与原始信号之间有着很强的相似性，能够用来描述原始信号的重要参数。本章 将着重阐述小波脊线的产生原理和基本性质。介绍作为信号脊线特征提取理论 算法基础的平稳相位法的基本原理，在介绍原有识别方法的基础上，提出一种 新的小波脊线的识别和提取方法。 3 1 信号的解析表示 实际的信号都是时间的实值函数，这种表示方法比较直观明了。但是在某 些情况下，信号的复数表示形式可以带来推导和运算上的方便。在本章及后续 章节中，小波脊线方法的理论推导和系统参数辨识中将大量的使用信号的复数 表示形式，在这里有必要对信号的解析表示方法作简要的回顾，并以此为出发 点，进一步研究连续小波变换中小波脊线的性质和特点。 设s ( o 是渐进信号，表示为： j o ) = a ( t ) c o s f o ( t ) ( 3 1 ) 这里对信号的渐进性要求可以解释为，信号的振幅变化率相对于信号的频 率来说是缓变的，信号从整体上看是一个幅度变化平缓的调幅信号。信号s ( f ) 对 应的解析信号形式为p 7 】： 互( r ) = s ( t ) + 声( f )( 3 - 2 ) 其中， 聃= ；l 驭r ) 击d r ( 3 - 3 ) 为信号j ( f ) 的h a l b e r t 变换。 复信号z j ( f ) 与实信号s