（计算数学专业论文）求解障碍问题与退化抛物型问题的算法研究.pdf

摘要 多年来，微分方程数值解法直与数值逼近、数值线性代数鼎足三分近 年来由于计算机技术的蓬勃发展，更使得这门学科日趋重要微分方程的解在 数学意义上存在性可以在非常一般的条件下得到证明，这已有了许多重要的结 论但从实际应用上来讲，人们需要的往往并不是解在数学上的存在性，而是在 我们所关心的某个定义范围内，对应于某些特定的自变量的解的取值或是近似 值一这样一组数值称为这个微分方程在该范围内的数值解，寻找数值解的过程 称为数值求解微分方程用数值方法求解微分方程问题几乎是与微分方程一同 出现的，其历史可追溯到约一个半世纪之前 数值求解方法是求一个个离散点处的未知函数值，那么首先就要把整个定 义域分成若干个小块，以便对每个小块上的点或片求出近似值，这样按一定规 律对定义域进行剖分，剖分完毕后，依据原来的微分方程去形成关于这些离散 点或片的函数值的递推公式或方程这时它们的未知量已不再是一个连续函数， 而是成了若干个离散的未知值的某种函数组合，这个步骤就是微分方程的离散 离散的系统若是一个递推公式，那么它需要若干个初值才能计算；若是一个方 程组，那么它所含的方程个数一般少于未知量的个数，想求解还需要补充若干 个方程这些需要补充的初值和方程往往可以通过微分方程的初始条件和边界 条件得到 对于离散系统，我们主要研究的是这个系统是否可解，即解的存在性、唯 一性问题它与精确解的差距有多大，研究差距当区域剖分的尺度趋于零时是 否也会趋于零，趋于零的速度有多快，即解的收敛性和收敛速度问题当外界对 数据有所干扰时，所得的解是否会严重背离离散系统的固有的解，即解的稳定 性问题在本论文中，我们主要研究四类微分方程，每一类问题在实际应用中都 有相应的模型对每一类微分方程我们提出解决的算法，对于导出的算法，我们 研究上面所提到的一系列问题 本文主要研究了四类微分方程：障碍问题，二相s t e f a n 类型问题，二阶非线 性常微分边值问题和双调和方程 在第二章中，主要讨论利用变分不等式解决障碍问题模型的偏微分方程 首先介绍了变分等式、变分刁i 等式、第一类和第二类变分不等式、互补性问题、 、，i求解障碍问题与退化抛物型问题的算法研究 牛顿迭代、障碍问题的背景以及研究现状等然后构造出解决障碍问题的几类 离散方程的迭代算法，构造出的迭代算法具有单调性并一致收敛到障碍问题的 数值解主要结果有： 定理0 0 1 对于初值札罂最7 l ，边界点( t ，j ) a q ，l ，满足u 罂= 0 则对于( 2 3 7 ) 的解具有单调性： 牡汐“札垆，( i ，j ) q 7 l ，m = 0 ，l ，2 ， 并且当m _ ，札垆一u a ，其中u 莳是问题( 2 4 4 ) 的解 在第三章中，讨论了二相s t e f a n 类型问题，即退化抛物型初边值问题的两 类算法首先介绍了u z a w a 算法、预条件u z a w a 算法、非准确u z a w a 算法、退化抛 物型初边值问题的研究现状：退化抛物型初边值问题可等价写成第二类椭圆变 分不等式：找到让= ( 弘l ，牡2 ，) ? r ”，满足 v v = ( v 1 ，v 2 ，v n ) t r 竹 对于这个变分不等式，构造了一类标准的u z a w a 算法，在这个算法的基础上，我 们又提出了改进的u z a w a 算法我们分别对两种算法进行了收敛性和收敛速度 分析，对于改进后的u z a w a 算法，我们得n - 定理0 0 2 假设有限元三角剖分是拟一致的，则存在一个与时间步长参数7 - 和空问步长参数h 无关的常数c o 0 ，满足： k ( a ) c 0 ( 1 + r h 一2 ) 因此，若丁h - 2 保持有界，则算法3 4 5 的最佳收敛率是一致有界的，且远小于1 在这章的后半部分，我们给出了一类松弛算法解退化抛物型初边值问题， 并给出误差估计、收敛性以及收敛速度证明 在最后一章，我们主要研究了另外二类微分方程数值计算方法，即二阶非 线性两点边值问题和双调和方程 首先介绍了二阶非线性两点边值问题的背景、分类以及目前的研究现 状，p a d 6 逼近方法，然后提出了解决一类二阶非线性两点边值问题的算法：对 称紧致有限差分方法这类算法随着不同m 的取值，可以推导出不同精度的算 法，并给出了误差分析及数值算例主要结果有： u一”6 一 “ 圣q n 澍 一 饥 圣q n 甜 +u一移ua 摘要 定理0 0 3 假设y ( t ) 是方程( 4 3 ) 的精确解，y k 是方法i ( 4 1 1 ) 的解，函数，( ，y ) 关于箩满足李普希茨条件( 4 1 4 ) ，其中三 0i n d e p e n d e n to ft h ed i s c r e t i z a t i o n p a r a m e t e r sta n dhs u c ht h a t k ( a ) c o ( 1 + rh 一2 ) 。 t h e r e f o r e ，i fr h i sk e p tb o u n d e d ，t h e nt h eo p t i m a lc o n v e r g e n c er a t eo fa 1 9 0 - r i t h m3 4 5i su n i f o r m l yb o u n d e da n df a ra w a yf r o m1 i nt h el a t t e ro ft h i sc h a p t e r ，w ea l s op r o p o s eak i n do fr e l a x a t i o na l g o r i t h m e r r o re s t i m a t e sa n dc o n v e r g e n c er a t ea r ea l s oa n a l y z e d i nt h el a s tc h a p t e r ，w et r yt os t u d yt h en o n l i n e a rs e c o n do r d e rt w op o i n t b o u n d a r yp r o b l e m sa n db i h a r m o n i ce q u a t i o n s f i r s tw ei n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n d ，c l a s s i f i c a t i o n ，c u r r e n ts i t u a t i o no ft h e n o n l i n e a rs e c o n do r d e rt w op o i n tb o u n d a r yp r o b l e m sa n dp a d da p p r o x i m a t i o n m e t h o d ，t h e np r o p o s e sas y m m e t r i cc o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o rs o l v i n g n o n l i n e a rs e c o n do r d e rt w op o i n tb o u n d a r yp r o b l e m s t h i sm e t h o dc a nd e d u c e t h ed i f f e r e n ts c h e m e sf o rt h ed i f f e r e n tp a r a m e t e rm n u m e r i c a le x a m p l e sa r e i l l u s t r a t e df o rt h em e t h o d f o re r r o re s t i m a t e sw ec a ns t a t ea st h ef o l l o w i n g t h e o r e m t h e o r e m0 0 3 a s s u m ey ( t ) i st h ee x a c ts o l u t i o no fe q u a t i o n ( 4 3 ) ，y ki st h e s o l u t i o no fs c h e m ei ( 4 1 1 ) a n df u n c t i o nf ( t ，y ) s a t i s f i e st h el i p c h i t zc o n d i t i o n ( 4 1 4 ) w i t hr e s p e c tt oya n dl 而= 1 矛s e te k = y ( t k ) 一y k ，t h e nw eh a v et h e e r r o re s t i m a t e so fs c h e m ei l m s 船a s x n l “i o ( h 4 ) 求解障碍问题与退化抛物型问题的算法研究 i nt h el a s tp a r to ft h i sc h a p t e r ，t h eb a c k g r o u n da n dc u r r e n ts i t u a t i o no ft h e b i h a r m o n i ce q u a t i o n sa r ei n t r o d u c e d u s i n gt h er e l a t i o nb e t w e e nf i n i t ed i f f e r e n c e a n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，w ea n a l y z et h ee r r o re s t i m a t e so fak i n do ft w o - d i m e n s i o nc o m p a c tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d a tl a s t ，at h r e e - d i m e n s i o nc o m p a c t f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di sa l s os u g g e s t e d k e y w o r d s ：o b s t a c l ep r o b l e m s ，v a r i a t i o n a li n e q u a t i e s ，u z a w aa l g o r i t h m s ，t w o p h a s es t e f a nt y p ep r o b l e m s ，n o n l i n e a rt w o - o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，b i h a r m o n i ce q u a t i o n ，a d i n in o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t 插图 2 1 网格尺度为九= 击的解的曲面 2 8 2 2 弹性区域，其中c = - 5 ，网格步长为危= 击 2 9 2 3 弹性区域，其中c = - 1 0 ，网格步长为危= 上6 4 3 0 2 4 弹性区域，其中g = - 1 5 ，网格步长为九= 土6 4 3 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者虢侄丝丝签字吼 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权浙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：鱼咝导师签名： 签字口期：垄翌： 一 签字日期： 致谢 论文是在我的导师韩丹夫教授的悉心指导下完成的五年来，韩老师渊博 的知识，严谨的治学态度，敏锐的学术眼光以及为人师表的风范使我收益匪浅 非常感谢韩老师给予我自由选择研究课题的余地，使我能够有机会在一个非常 有意思的领域内做一些研究工作韩老师在生活上的关心，并创造了良好的学 习和研究氛围使我能够顺利完成学业在这里谨向他致以崇高的敬意与诚挚的 谢意。 在浙江大学求学阶段，王兴华教授，程晓良教授，吴庆标教授以及黄正达教 授等都对我进行了指导，感谢他们帮助我建立了正确的专业知识，使我受益匪 浅感谢梁克伟，胡贤良，周天和，武鹏，尚绪凤作为师兄师姐对我研究工作提 出的很多有益的建议、启发和帮助感谢王宏良、苗慧、邵新平、方绪法、王芳 等一批韩老师的学生和我一起进行了深入的学术探讨，帮助我产生了许多新的 思路 感谢我的父母，他们养育了我，让我能够在比较轻松的环境中长大，并顺利 地做完了博士阶段的研究 感谢我的妻子舒季君，由于做研究的关系，我对家里事务关心很少，而她在 一直默默地支持我，处理各种家庭事务 谨以此文献给所有关心我、支持我、帮助我的亲人和朋友们! 你们的期望和 关怀将是我不断进步的动力 第一章绪论 现实世界中绝大多数事物的内外联系是极其复杂的，其状态随着时间、地 点、条件的不同而不同，我们往往只能通过对问题进行简化和作某些假定，从 中找出其状态和状态之间变化规律的相互关系，也即一个或一些函数与它们的 导数之间的关系，这种关系的数学表达式就是微分方程 现实生活中的绝大多数问题，最后所归结的数学模型都是微分方程，因此， 对它的研究是数学领域中的一个重要课题在实际问题中，我们所能获得的或 感兴趣的，往往只是一个个特定点上的数据例如火箭升空传回的控制信息只 能以某个a t 为间隔，一个个地发送和接受这些离散点 ：的函数值对于解决实 际问题来讲，一般已经足够了，寻找解析解的一般形式未必很有必要而且在现 实问题中归结的微分方程不满足解析解的存在性条件的比比皆是，方程出现的 有些函数连连续性都无法保证，所以它们并不存在解析解，于是，求解它的数值 解便成为在这种情况下解决问题的重要手段 由于微分方程在理论和实践上的重要性，它的数值解法，长期吸引着数学 家、物理学家和工程师们的注意一种数值方法包括它的数学基础和它的实现， 都紧紧地依赖于理论数学的发展和计算手段的改善计算机科学的发展，现代 大型规模电子计算机的出现对于数值方法冲击之大，是历史从来未有过的在 数学上，微分方程在一定范围内的数值求解是通过一定的方法离散该微分方程， 把其转化为一个离散的格式，通过某些递推公式或者算法的选取，再把这个离 散系统送到计算机上去实际计算，我们就可以求得微分方程的数值解而对于 这个解，研究其存在性、唯一性、稳定性、收敛性以及收敛速度等一系列问题就 有重要的意义 我们在本论文中主要讨论了四类微分方程数值解的算法对于每一类算法， 我们研究上面提到的关于解的一系列问题 2 求解障碍问题与退化抛物型问题的算法研究 1 1问题简介 首先考虑障碍问题，障碍问题的解可以表示为下面的偏微分方程： i - a u ， 在q 内， i 1u 妒， 在q 内， ( 1 1 ) l ( - a u 一，) ( u 一妒) = 0 在q 内， 【u ：。， 在a q 上 障碍问题的数值解，我们可以把它转化为第一类变分不等式障碍问题的 弱公式是第一类椭圆变分不等式的典型例子很多问题，如弹性塑料圆筒的扭 转、s t e f a n 问题等都能够转为求解障碍问题的方程w a n g ( 【9 】，【1 0 ) 和h a f n e r 1 1 】对障碍和拟线性障碍问题采用非协调有限元法研究了误差估计近几 年，l i u 【1 2 、c h e nf 1 3 】i 和l k o r n h u b e r ( 1 4 ， 1 5 ) 研究了基于变分不等式障碍问 题弱公式的后延误差和多重网格法 在本文中，我们研究障碍问题的几类迭代算法我们首先直接把偏微分方 程( 1 1 ) 的拉普拉斯算子用五点差分格式表示，把得到的非线性系统转化成一个 等价互补性问题，对函数非光滑的部分加以处理，然后利用牛顿迭代获得一个 迭代算法，再令正则化参数趋于零，构造出另一个迭代算法对于后一个迭代算 法进行分析，得到了一个具有更加简单形式的迭代算法，对于后面两个构造的 算法，我们证明迭代解具有单调性，并且一致收敛到障碍问题的解最后为了说 明算法的有效性，我们进行了几个数值验算 第二类问题是二相s t e f a n 类型问题，退化抛物型初边值问题： 赛一仳= ，e 日( 仳) 在q ( o ，t ) 内， e ( o ) = e o 日( t | o ) 在q 内， 乱= 0 t o n ( 0 ，r ) 上 其中函数日为多值函数， h ( z ) = 口l ( z 一如 【一s 1 ，8 2 】 a 2 ( z p o 若z 如 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 第一章绪论3 对于这个问题，我们把它转化为与其等价的椭圆型第二类变分不等式：找 到钍= ( u l ，钍2 t 正乱) ? r 佗，满足 ( a 钍，v - - u ) - t - q t 圣( ) 一q t 圣( u i ) ( 6 ，v - u ) i v = ( v 2 ，u n ) t 职 i = 1 i - - - - 1 ( 1 6 ) 然后构造出一类标准的u z a w a 算法，在它的基础上提出了一类改进 的u z a w a j j g 法，并在理论一1 - _ 证明了改进的u z a w a 算法收敛率远小于1 在最后一章讨论了其它两类微分方程的数值解法 一类问题是非线性二阶两点常微分边值问题( b v p ) y = y ( t ，y ( ) )口 t b ，( 1 7 ) 具有边值条件 y ( a ) = a ，y ( b ) = b ( 1 8 ) 其中亡k ，6 j ，一。o 0 满足 i o ( 牡， ) l m l l u l 川u 0 ，v u ，u 矿 而称双线性形式8 ( ，) 是y 一椭圆的，如果存在某一常数c 0 0 满足 a ( v ，u ) c o l l v l l 2 ， i v 矿 定理2 2 1 ( l a x - m i l g r a m 引理)设矿是一个实i 拘h i l b e r t 空间，o ( ，) ： v v r 是一个连续的、y 一椭圆的双线性形式，y ，表示y 的对偶空 间，z v 则变分问题 u va ( u ，v ) = f ( ) ，v v v ( 2 5 ) 1 0 求解障碍问题与退化抛物型问题的算法研究 存在唯一解当n ( ，) 是对称的情形， a ( u ，秽) = a ( v ，u ) ，v u ，v u( 2 6 ) 可以引入能量泛函 e ( u ) = 三。( 叩) f ( n 容易验证弱形式( 2 5 ) 等价于极小化问题 ( 2 7 ) 让ve ( u ) 2j r i f e ( v ) ( 2 8 ) 应用定理2 2 1 ，我们可知问题( 2 4 ) 存在唯一解u 础，它也是能量泛函 e ( u ) = ( 去j v 1 2 一f v ) d x ，s 2 一 在础( q ) 上唯一的极小值点 极小值问题( 2 8 ) 是一个线性问题，这是因为e ( ) 是一个二次泛函，而所求 极小的范围y 是一个线性空间然而当e ( ) 不是一个二次泛函( 特别地，e ( v ) 含非可微项) 时，或所求极小值点的范围y 是一个一般的集合( 如凸集) ，而不 是一个线性空间，或以上二者同时出现的情形，问题( 2 8 ) 就成为一个非线性的 问题 2 2 2 变分不等式 本小节通过研究凸极小化问题导出椭圆型变分不等式，然后介绍解变分不 等式一般的数值方法首先给出一些必要的概念及定理 6 2 】 设y 是一个赋范空间一个子集合kcv 称为是凸的，如果 u ，u k 号入“+ ( 1 一a ) u k ，v a ( 0 ，1 ) 集合kcy 称为是闭的，如果 钞n ) ck 且_ 口可推出v k 集合k 称为是 弱闭的，如果 ) ck 且一u 可推出口k 一个弱闭的集合是闭的，而在 无限维空间中，反过来的结论不一定成立 一个函数f ：kcv _ r 称为( 序列) 下半连续( 1 s c ) 的，如果对c 且_ v k 可推出 f ( v ) l i mi n f f ( v ) 第一章变分不等式解障碍问题的离散方程 1 1 一个函数门尔为弱序列下半连续的或弱下半连续的( w 1 s c ) 的，如果上面的不等 式对任何满足v n 一移k 的序列v nck 成立显然连续性可推出下半连续性 反之不然，因为下半连续性允许函数有间断 设kcv 是一个凸集一个函数f ：k _ r 称为是凸的，如果 ，( 入u + ( 1 一a ) u ) a f ( u ) + ( 1 一a ) ，( 钞) ，v u ，u k ，v a 【0 ，1 】 函数厂称为是严格凸的，如果上式对u 口和入( 0 ，1 ) 是严格不等号成立 定理2 2 2 ( m a z u r 引理) 假设y 是一个赋范空间，v 。) n 1 是弱收敛到钍的序 列则存在强收敛于让的序y i j u n ) 。1 ，它是序列 ) 。2 1 的凸组合， 钍n ：n ( n a ：n ) 仇，譬a ：n ) ：1 ，入：n ) o ，佗t ( n ) 给定f ：k _ r ，考虑极小值问题u k ： m ) 2 蒜m ) ，t ， 定理2 2 3 假设y 是一个自反的b a n a c h 空间，kcy 是凸闭的，函 数，：k _ r 是凸和下半连续若 ( a ) k 有界的，或者 ( b ) f 是k 上强制的，则极小化问题存在一个解更进一步，若，是严格凸 的，则极小化问题存在唯一解 定理2 2 4 6 2 】设y 是一个h i l b e r t 空间，kcv 是非空的闭凸集设o ( ，) ： v v r 是一个连续、对称和y 一椭圆的双线性形式，z v ，j ：k 一冗 是k 上的凸下半连续函数记 1 e ( v ) = 石j k o ( u ，口) + j ( ) 一z ( 口) ( 2 9 ) 则极小值问题 缸k ，e ( 让) _ 咄i n f e ( v ) ( 2 l o ) 存在唯一解而且他k 是极小值问题的解当且仅当 缸k ，a ( u ，钉一u ) + j ( v ) 一j ( u ) t ( v 一钍) ，v v k ( 2 1 1 ) 1 2求解障碍问题与退化抛物型问题的算法研究 上面给出了与极小值问题相对应的变分不等式下面给出变分不等式的存在性 与唯一性给出定理2 2 4 的一个拓广结论 设y 是一个实的h i l b e r t 空间，它有内积( ，) 和范数”| i 我们称算子a ： y _ y 是强单调的，如果存在一个常数c o 0 ， ( a ( 钍) 一a ( ) ，u v ) c o l | 乱一u l l 2 ， v u ，v v 我们称算子a 是l i p s c h i t z 连续的，如果存在一个常数m 0 满足 l i a ( u ) 一a ( v ) l i mj l u 一口i l ，v u ，v 矿 定理2 2 5 【6 2 】设y 是一个实的h i l b e r t 空间，kcv 是非空的闭凸集假 设a ：v y 强单调和l i p s c h i t z 连续，j ：k r 凸下半连续则对任意f v 椭圆型变分不等式 札k ， ( a ( 礼) ， 一u ) + j ( v ) 一j ( u ) ( ，移一钍) ，v v k ( 2 1 2 ) 存在唯一解，并且解札是l i p s h i t z 连续地依赖于， 上面介绍的定理要用到一个引理，用同一个符号j 表示给定的k 上的泛函 和它在y 上的延拓： i j ( ) ，如果移k ， i+ ，如果u v k 显然，j ：k r 下半连续当且仅当它的延拓歹：k _ 丽是下半连续容易 知道( 2 1 2 ) 等价于 u v( a ( u ) ，v 一让) + j ( v ) 一j ( u ) ( f ，v 一乱) ，v v v ( 2 1 3 ) 一般地，我们称泛函歹：k _ r 是固有的，如果对所有v v 成立歹( u ) 一o o ，且j ( v ) 一o 。 引理2 2 6 设y 是一个赋范窄间假协：k 一页是固有的，凸下半连续的 则存在一个连续线性泛函b v 和一个常数勺r 满足 j ( v ) ( ) + 勺， 矿 第二章变分不等式解障碍问题的离散方程1 3 2 2 3 第一类的变分不等式 对于定理2 2 5 的一种特殊情况， 歹( 秒) 三0 ， 秽k ， 则变分不等式( 2 1 2 ) 化简为 牡k ， ( a ( 牡) ，秒一乱) ( ，可一缸) ，y v k ( 2 1 4 ) 这样的变分不等式称为第一类的我们后面要研究的障碍问题就是第一类 椭圆型变分不等式的典型例子第一类的变分不等式是定义在一个凸子集上的 当这个集合k 是y 的一个子空间时，变分不等式就成为变分等式 作为定理2 2 5 的一个推论，有关于变分不等式( 2 1 4 ) 的唯一可解性的结论 定理2 2 7 【6 2 】设y 是一个实的h i l b e r t 空间，kcv 是非空的闭凸集假 设a ：v _ y 强单调和l i p s c h i t z 连续，则对任意，v 变分不等式( 2 1 4 ) 存在 唯一解u k ，并且解l i p s h i t z 连续地依赖于， 下面我们来考虑第一类变分不等式的数值方法： u k ， ( a ( u ) ，移一u ) t ( v 一让) ，v v k ( 2 1 5 ) 由定理2 2 5 ，变分不等式( 2 1 5 ) 存在唯一解 数值求解变分不等式( 2 1 5 ) 的一个一般性框架可以如下描述设v cv 是一个有限元空间( 或一个一般的有限维空间) ，设k cv 是非空凸闭的则 有限元方法近似问题( 2 1 5 ) 为 t 上 k h ， ( a ( u ) ，口 一t 正 ) l ( v 一t 正 ) ， v v k ( 2 1 6 ) 应用定理2 2 7 可以证明，在与连续问题同样的假设下，离散问题( 2 1 6 ) 存在唯 一解应用文献【3 l 】的方法给出一个抽象的误差分析式【6 2 】： 定理2 2 8 存在一个常数c 0 不依赖与h 和u ，使得 u - - u h l i 0 ，对某些正则化函数，( 2 2 9 ) 式中的常数c 和指数p 可以具体求出正 则化方法的主要问题是当s 叶0 时问题的退化因此正则化参数的选取就需要 考虑两个方面的因素从理论上看，越小，得到的近似越准确然而，若g 太 小，正则化的问题又不能准确地数值求解，因此非常需要一些后验误差估计式 后验误差估计式一般是如下的形式： 牡一毗| f f ( ) ， ( 2 3 0 ) 这里利l a g r a n g e 乘子方法，同样只讨论连续i 司题的情况，考虑简化的摩 擦问题 牡k ， a ( u ，秽一仳) + j ( v ) 一j ( “) l ( v 一让) ，y v 豇( 2 3 1 ) 其中 v = h 1 ( q ) ， n ( t ，u ) = v u v v + u v ) 如， 洳) = j 触，n j ( 口) = 夕f r i u i d s ， 这里，l 2 ( q ) 及g 0 是给定的，qcr 2 是一个多边形区域设 a = p ( z ) l ( r ) i | p ( z ) l l ，n e 在r 上) 则有下面结论： 定理2 2 1 2 简化的摩擦问题等价于下列问题：求u v 和a a 满足 v u - v v + u v ) d x + g j r a u 如= 上如如，讹v ( 2 3 2 ) a 牡= i u l ， a e 在r 上 ( 2 3 3 ) 第二章变分不等式解障碍问题的离散方程 1 7 我们称a 为l a g r a n g e 乘子 由上面的定理，可以构造出一个迭代求解算法 设p 0 是一个参数 初始选取知a ( 例如a o = 0 ) 迭代对于他= 0 ，1 ，求如下边值问题的解仳n v ： a ( u 。，u ) = z ( ) 一g 入。秒如，v v k ( 2 3 4 ) - ，r 更新l a g r a n g e 乘子 a n + 1 = 7 ( a n + p g u 。) ( 2 3 5 ) 这里r 是映射到a 上投影算子，它的定义为 p l a ( p ) = s u p ( - 1 ，i n f ( 1 ，) ) ，v 丘l ( r ) 可以证明存在一个p o o ，当p ( o ，p o ) 时，迭代方法收敛： u n _ 仳在y 中，入n _ a 在人中 这一类型的迭代法在求解线性鞍点问题时常被称为u z a w a 算法对于鞍点问题 和u z a w a 算法，我们将在第四章详细介绍 2 3障碍问题 2 3 1 障碍问题的背景及基本定理 在这一节中，我们考虑障碍问题，我们提出几类迭代算法解有限差分方法 离散的障碍问题首先我们把障碍问题写成一个等价互补问题，利用调整技巧 处理非光滑的函数，然后利用牛顿迭代获得一个迭代算法，我们又从这个算法 推得另外几个迭代算法最后为了说明迭代算法的有效性，我们进行了几个数 值验算讨论算法之前，我们先介绍什么是障碍问题，关于障碍问题的方程是如 何得到的首先，我们先给出一些必要的概念及定理 优化中的互补问题： 记 k = r 睾三 z = ( z 1 ，x 2 ，x d ) t r d i x l 0 ，x d 0 ) ( 2 3 6 ) 1 8 求解障碍问题与退化抛物型问题的算法研究 ，f ：k _ r d 我们规定z 0 当且仪当眈0 ，i = 1 ，d 则z k 当且仅 当z 0 于是互补问题为 扩0 ，f ( x o ) 0 ，( f ( x o ) ，扩) = 0 ，( 2 3 7 ) 也就是要寻求护r d ，使对每个z = 1 ，d ，z ? 0 ， ( 扩) 0 ，并且z ? = 0 或者五( 扩) = 0 定理2 3 1 点z o r d 是互补问题( 2 3 7 ) 的解当且仅当 z o k ，( f ( x o ) ，z z o ) 0 ，比k ( 2 3 8 ) 障碍问题【6 2 】： 在障碍问题中，我们要确定弹性膜的平衡位置，要求：( 1 ) 弹性膜经过平面 区域q 的边界r ；( 2 ) 弹性膜在障碍上，其中障碍由障碍函数砂描述；( 3 ) 弹性膜 在垂直方向受力的密度为7 - ，这里7 是弹性膜的张量系数，是给定的函数 记 表示膜的垂直方向的位移，由于膜沿边界r 是固定的，在r 上我们有 边界条件牡= 0 为了使问题有意义，假定障碍函数在r 上满足条件矽0 设妒h 1 ( q ) 和f l 2 ( q ) 则可容许的位移函数的集合为 k = v 础i v 妒，a e 在q