（基础数学专业论文）粗几何中的同伦及相对双曲群上的mineyev构造.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 粗几佃是非交换几何近年来发展起来的熏要研究方向。其主要目标 是通过几何空间( 如非紧完备黎曼流形、有限生成群等) 大尺度儿何结 构的信息，建立几何空间的几何、拓扑与分析之间的联系，并应用于解 决其他重要问题，如n o v i k o v 猜测、b a u m c o n n c s 猜测，g r o m o v l a w s ( ) n r o s e n b e r g 正标量曲率猜测等。奉文研究粗几何领域的相关问题，主要有两 部分组成。首先，介绍了同伦概念在粗儿倒中的不同实现方式，并对不同 的同伦进行了分析，指出_ ：r 它们之间的区别和联系。其次，作者推厂并给 出了相对双曲群上的m i n e y e v 构造。 第章粗几何意义下的同伦我们知道，对于几何空问可以计算棚 应的k 一同调群，k 一群得到空间的几何拓扑信息。而这些可计算空问的范畴 n j 以通过同伦概念加以拓广。相应地，同伦概念在粗几何领域也有其实现 方式，但是不同的作者从不同的角度引入了多个尉伦形式。本节通过对粗 几何领域内不同同伦实现_ 方式的研究辨析，指出它们之问的细微差别与联 系。在丰富例证的基础i _ = ，将粗意义下列伦概念的实质凸现山来。 第二章相对戳曲群上的m i i l e y e v 构造在双曲群_ 卜，借助于m i n e v e v 几何构造，a j 以证明双曲群町以粗嵌入到2 空问。受此启发，我们将此，l 何构造相应地推广到相对双曲群上。此构造有助丁二对相对双【 f | 群的几何学 有更具体的理解。 关键词：粗同伦，粗儿侗，相对双曲群，m i n e v e v 构造 复f _ _ | 大学硕l 学位论文 a b s t r a c t t h e s ed a y s ，c o a r s eg e o n l c t r yh a sd e v e l o p e dt ob ea ni m p o r t a n ti e s c a r c h 吼l b 矗e l do fn o n c 0 i i l r n u t a t l v eg e o i n e t i y i t sm a i ng o a li st oc x p l o r ei n f o r 一 1 a t i 。nr e l a 土i n gt ot h el a i g e s c a l eg e o m e t r i c a ls t r u c t u r eo fp r 。p e rn l e t r i c s p a c e s ，i n c l u d i n gn 。n c o n l p a c tc o i i l p l c t cr j e m a n n i a nn l a n i f o l d s ，f l n i t e l yg e l l 一 e r 乱e dg r o u p se t c s oa st oe s t a b l i s hc o n n e c t i o 础a m o n gg e o m e t ry ，t o p 0 1 0 9 y a i l da n a l y s i so ft h eg e o m e t r i cs p a c c sa n df u r t h e r m 。r e ，t os o l v eo t l l e ri m p o r t a n tp r o b l e m ss u c ha st h cn o v i k o vc o n j e c t u r e ，t i l cb m l m c o m l e 8c 。【u u c t u r e ： t h e ( ；r o i n o v l a w s o n i o s e l 、b e r gc o i 巧e c t u r ( 、( ) np o s i t j v es c “a ic u r v a n l r ea n d s oo ni nt h i sp a p e r ，f i r s t l y 】w es h o ws u b t l ec o r l n e c t i o n sa n d ( 1 i 色r e i l c e sb e t w e e i ld i s t i n c tf o r m so fh o n l o t o p yi nc o a r s eg e o m e t r ys e c o n d l y ，w eg e n e r a l i z e t 1 1 em i n e ”vc o n s t i u c t i o no n t or e i a t i v eh y p c r b 0 1 i cg r 0 1 1 p c h a p t e r1 r h en o t i o no fh o m o t o p yi nc o a r s eg c 。i n e t r y a sw ek n o w ：b y c o n l p u t i l l gt h ck h o m 0 1 。g ya n dk t l l c 。r ) w ec a no b t a mi 儿土0 r 工n a t i o na 1 ) o u t t o p 。1 0 9 ya n dg e o i l l e t r yo ft h eg e o m e t r i c8 p a c c s w i t ht h eh e l po fh o r n o t o p y w ec a i lc x t e n dt h er a l l g eo fs p a c c sf o rw h i c hw ec a i lc a k u l 砒eb yc o n t r a s t ， i nt h e 矗e l do fc o a is cg e o m e t r y ，a u t h o r 8i i l t r o d u c e ds o m e ( 1 i s t i i l c tf o r m so f c o n r s eh o m 。t o p yf r o m ( 1 i f 羊e r e l l tp e r 印e c t i v e s i nt h l 8c h 扎p t ( 譬，w es t u j yt h e s e d i 龀r e r l th o m o t o p yf o r m 8a n dt e l lt h es u b t l ec o n n e c t i o l l sa i l d ( 1 i 行e r e n p e sw i t h a 罔u e n te x a h l p l e s c h a p t e r2 t h em i i l c y c vc o n s t r u c t i o no nr e l a 七i v eh y p e r b o l j c 。g r 。u p w i t ht h eh e l po fg e o m e t “cc 。1 1 s t r u c t i o i lo nh y p e r b o l i cg r o u p ，i tc a i lb cp r o v e d t h a 土h y p e r b o l l eg r o u pc a nb ec o a t s e l ye 】n b e ( 1 d e di n t of ps p a c ew eg e l l e r a l i z e t h i se o n s t r u c t i o no n t 。r c l a t i v eh y p e r b 。l i cg r o u p ，w h i c hh e l pp e r c e i v et h e g c ( ) i n e t r yo fr e i a t i v eh y p e r b o l i cg r ( ) u pd e e p l y k e y w o r d s ： c o a r s eh o i i l ( j t ( ) p hc o a r s eg e o m e t r yr e l a t i v c 、l l y p ( 玎b 。1 j c g r o l l pm i n e y e vc o n s t r u c t i o n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别加 以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 作者签名： 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文 的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：纽导筛主弛期：幽 第一节粗几何意义下的同伦 对于几何空间，我们可以通过计算它们的k 同调群，k 一群得到空间 的儿何拓扑信息。而这样的可计算空间的范畴可以通过同伦概念加阱拓 广。在粗几何领域，作为经典概念的推广，不同的作者从不同的角度出发 引入了多个同伦概念。虽然这些具体的同伦实现都基于一个简单的思想， 但是它们之间还是存在着微妙的区别和联系。在f 2 1 中，h i g s o n 和r o e 引 进了一个粗同伦的概念，并在空间x o ，1 1 上赋予一个新的度量，使得每 个x 的拷贝x f ，都能等距嵌入到y 。在这个度量的帮助下，他们运用 k a 8 口a r o v 汪明解析k 一同凋群同伦不变的技巧证明了r o e 代数的k ，群是相 同伦不变的。其中r o e 代数是几何空间上通过控制局部紧算子的传播速度 产生的c + 一代数，是反映几何空问粗结构特征的指标代数。于是上述命题 的意义就是几何空间在某种同伦等价的情况下，他们的粗结构特征是不变 的。同样在7 中，l 受到g r o z n o v 文章的启发，引入了利普希兹同伦的 概念。并构造证明了在利普希兹同伦等价的情况下，m ) e 代数的k 一群也 是稳定不变的。这两个结果都可以应用到单连通，非正曲率完备黎曼流行 上，得到粗形式的b “m c 。n n e s 猜测成立。在另一篇文章中，l 引入了 一个相对较强的同伦形式一一强利普希兹同伦并同样证明了在强利普希 兹同伦等价下，r 。e 代数k 一群的稳定性。本节我们将要讨论这些不同形 式的同伦之问的细微区别与联系。 首先回顾下一个恰当的度量空间是指其中闭的有界集是紧集的度量 空间。一个映射，：x y 称为恰当的，如果对任意的有界子集b 属丁 复日大学硕士学位论文 y ，o f b ) 在x 中是有界集。 定义1 1 令x ，y 是两个恰当的度量空间。一个粗映射是指一个恰 当的映射，：x y 使得对任意的r o 存在s o 有d ( z ，g ) s 只爿 d ( ，+ ( z ) ，( 封) ) s 。 定义1 2 令x ，y 是两个恰当的度量空间。粗同伦是指个连续 的恰当映射 ( z ，t ) ：x 【o ，1 1 一y 使得对任意的r o 存在s o 有d ( z ，“) r = ；= d ( h ( z ，t ) h ( g 、) ) s ，对所有t 0 ，1 年口z ，x 成立。两个粗映射，9 ：x y 称为粗同伦，女果存在一个料同伦 h x o ，1 一y 使得 ( z ，o ) = ，( z ) ； ( z ，1 ) = g ( z ) ，对所有z x 成立。 一个粗映射，：x y 称为粗同伦等价，如果存在一个粗映射g ：y x 使得，9 和9 ，分别粗同伦于，d y 和奴。此时x 和y 成为粗同伦等价。 空间r 和z 不是粗同伦等价的，但是欧几里得空间和双曲平面是粗 i 司伦等价的1 2 。 定义1 3 令x ，y 是两个恰当的度量空间；，和9 是从x 到y 的两 个恰当的利普希兹映射。一个连接，和9 的连续映射f ( z ，t ) ：x 【o ，1 】一 y 称为强利普希兹同伦，如果满足以下条件： ( ) 对任意的t ，f ( z t ) 是个恰当映劓； ( 2 ) 存在常数e o ，对任意的z x 和t o 1 】，使得 d ( f ( z ，t ) ，f ( p ，t ) ) g d ( z ，p ) ，其中g 称为利普希兹常数： ( 3 ) 刘仟意的 0 ，存在d 0 使得如果f t l 一2 o 有d ( z ，g ) 茎月= = 号d ( ( zt ) ， ( ，t ) ) 曼 s ，对所有t 【o ，i 和：。，可x 成立； ( 3 ) h ( z ，o ) = ，( z ) ；h ( z1 ) = 9 ( 。) ，对所有z x 成立。 引理1 1 当x 是长度空间，y 是任意度量空间时，：x y 的以 下性质等价： ( ) 剥任意的r 0 ，存在s o 使得d ( ，g ) r = 专d ( ，( z ) ，( v ) ) s s ： ( 2 ) 大范围利普希兹条件：存在常数e o ，a o 使得d ( ，( z ) ，( ) ) c ? d ( z ，) + a 粗同伦和强利普希兹同伦的比较： 首先根据 o ，1 区间是紧的，知道是( 茁，亡) 在每一点是恰当的等价予 在整个【o ，1 】区间上是恰当。其次，当 ( ，t ) 连续时，太范围利普希兹条 件就是利普希兹条件，再根据引理，当x 是长度空间时，粗映射就是利普 希兹映射。但是强利普希兹同伦中关于变晕z 的一致性要求是和粗吲伦有 区别的。 倒1 _ 1 令x = 鼹，厂( z ) 一z ，9 ( z ) = z ， ( z ，t ) ( 1 一；t ) z t 那么显然 ( z ，t ) 是个粗同伦，但是j ( 茁，t ，) 说明 ( z ，t ) 不是强利普希兹同伦。 于是，强利普希兹i 司伦相对于粗同伦条件更严格。 定义1 4 令，9 是从度量空间x 到y 的两个映射。映射f ( 。，t ) ： x r + 一y 称为连接，和g 的利普希兹同伦，如果满足以下条件： ( ) 对任意的t r + ，f ( z ，t ) 是从x 到y 的恰当映射； ( 2 ) 存在瓞+ 上一个递增函数p ，使得d ( f ( z ，t ) ，f ( t ) ) ，) ( d ( z ，) ) ，对 所有z - ，x 成立： ( j ) 存在f 0 使得到每个t o r + ，存在一个t o 的邻域c ，满足 d ( f ( z ，t ) ，f ，t o ) ) s 丁 ，对所自x 和t u 成立； ( 4 ) f ，o ) = ，( z ) ：l i m t + 。f ( z ，t ) = 9 扛) ，对所有x 成赴。 一l p 2 缸 o l 一2 0 + 引 净= t一 如n 甄 一，凡 复旦大学硕士学位论文 x 和y 称为利普希兹剧伦等价，如果存在粗映射，。x 一】，和 g ：y x 使得g ，和，g 分别利普希兹同伦于，d x 和，如。 我们强调这罩的利普希兹同伦f 不一定要求连续。由以上定义，自 然存存非负数列 t 。，f m 亡n 一，同时 d ( f ( z ，t 。) ，f ( ，t 1 ) ) t ，对所有。x ，n n 成立。于是我们可以定义 一个同伦f ( z ：n ) = f ( zt 。) ：x n y ，相应的满足： ( 1 ) 对任意的n n ，j ”( z ，n ) 是从x 到y 的恰当映射： ( 2 ) 存在r + 上一个递增函数p ，使得d ( f ( 。，礼) f 7 ( f ，) ) 曼p ( d ( z ，) ) ， 对所有。，x ，n n 成立； ( 3 ) 存在丁 o 使得d ( f ( z ，n ) ，f 7 ( z ，n + 1 ) ) sr ，对所有z x 和 n n 成立： ( 4 ) f ( 。，o ) = ，( z ) m 一+ o 。f 7 ( z ，n ) = 9 ( z ) ，对所有z x 成立。 相反的，如果我们有一个蚓伦f 7 - x n y 满足条件( 1 ) ， ( 2 ) ， ( 3 ) 利( 4 ：) ，那么我们可以定义一个利普希兹同伦，：x r 一，y ： f ，t ) = f 7 ( z ，n ) ，当n t l 4 复日大学硕士学位论文 那么可以得到： ( ) 对任意的n n ，f 7 ( z ，n ) 是从紧集到紧集的映射，所以显然是个 恰当映射； ( 2 ) d ( f 7 ( 幻，n ) ，f ( 恐n ) ) 2 ，对所有7 z n 成立； ( ? ) 矗( f 7 ( 。，n ) ，f ( z ，礼+ 1 ) ) 2 ，对所有z s 1 和咒n 成立； ( 4 ) f7 ( z ，o ) = ，( g ) ；f i ”。+ 。f 7 ( 。，n ) = g ( g ) ，对所有。s 1 成立。 故f 7 ( z ，t ) 是连接，( 。) = 。和9 ( 。) = ，的利普希兹同伦。然而，如果 存在某个粗同伦挖( 。，t ) 连接，( 。) = z 帮g ( z ) = 。2 的话，根据紧空间s ， 的性质知道h ( ，t ) 就是一般意义的连续同伦。但是显然这样的连续同伦是 不存在的。 例1 4 考虑非紧空间：复平面上凼周一+ ( g 一1 ) 2 1 在( o ，o ) 点和 实直线r 粘接起来的窄问，记作x 。考虑x 到自身的函数，( 。) = 。以及 9 f o ) h h z = o ，m z o 定义，吖。，。) ：x n _ 1 7 ： ( 刊： 他) n = 0 ig ( z ) ， 札】 根据和例口同样的道理，知道f 7 ( z ，n ) 是连接，( z ) 和9 ( ) 的利普希兹同 伦，向连接，( 。) 和9 ( 。) 的粮同伦是不存在的。 例1 5 考虑偶一到瓞+ 的映射，( z ) = 。，9 ( 。) = j 。定义，l ( z t ) ： 熙+ 【o ，l 】一r + ：是( 。，t ) = ( 1 一；) 。显然毳( 。，t ) 是连接歹( z ) = z 和 9 ( z ) = 。2 的粗同伦。定义 眦啦傺煮扛篡 可以验娃得到： ( j ) 对任意的n n ，f 汜n 1 是一个恰当映射： ( 2 ) d ( f ( ，n ) ，f ( 口，n ) ) ( 1 一赤) d 扛，) d ( z ，) ，对所确。， jii_j、_ 复日_ 大学硕士学位论文 r + ；凡n 成立； ( 了) d ( f ( 茁，礼+ 1 ) f 7 ( z ，他) ) i 苎二炉，对所有z 瓞+ ；n n 成立； ( 4 ) f ( z ，o ) = g ( z ) ；f i r h 一。f 7 ( z ，n ) 一，( z ) 。 这个例子说明有时粗同伦和利普希兹同伦可以同时存在，而且粗同伦 可以诱导出利普希兹同伦。 定义1 5 广义粗同伦是指一个恰当映射 ( 。，如：x o ：l 】一y 使得 对任意的月 0 存在s o 有d ( z ，可) rjd ( 九( z ，线h ( y 、) ) ss ， 对所有【o ，1 和z ，x 成立。这里并不要求映射是连续的，而放 宽为拟连续。一个映射称为拟连续是指存在常数k 0 使得对所有的 义【0 ，1 ，是f 。- 1 ( 目( h ( f ) ；) ) 的内点。 我们同样将其改写成易于比较的形式：广义粗同伦是指一个连接粗映 射，和9 的拟连续映射 ( t ) ：x o ，1 1 一y ，满足以下条件： ( 1 ) ，。( z ，t ) 是x 【o ，l 】到y 的恰当映射； ( 2 ) 对任意的r o ，存在s o 有d ( z ，可) sr 爿d ( 矗( z ，t ) ，九( 可，t ) ) s ，对所有l o ，1 和，x 成立； ( 3 ) 列任意的x o ，1 ，存在一个常数k o 使得对所有属_ 某 孪g 域u 内的点叩，有( f ( ( ) ， ( q ) ) s 爿7 ； ( 4 ) h ( 。，o ) = ，( z ) ： ( ，1 ) = 9 ( z ) ，对所有z x 成立。 命题1 1 设f ( z ，t ) 是一个连接粗映射，( 。) ，9 ( 。) 的利普希兹同伦，且 f m 。一+ o 。f ( 。，t ) = 9 扛) 对x 一致成立。那么它可以诱导一个广义粗同 伦 ( z ，t 1 。 证明? 根据条件假设，f ( 。，t ) ：x o ，+ o 。) 一y 是+ 一个连接映射 ，( 。) ，9 ) 的利普希兹同伦，于是有： ( 1 ) 对任意的t r + ，f ( z ，t ) 足从x 到y 的恰当映射： ( 2 ) 存在豫+ 上一个递增函数p ( t ) ，使得d ( f ( 。，t ) ，f ( 9 ，t ) ) sp ( d ) ) ， 对所有o ，x 成市； ( 3 ) 存在t 0 使得列每个t o r + ，存在一个t o 的邻域u ，满足 6 复旦大学硕士学位论文 d ( f ( z ，t ) ，f ( z ，幻) ) 墨丁，对所有。x 和t v 成立； ( 4 ) f ( 。，o ) = ，( r ) ：f z ? m 。+ 。f ( z ，t ) 一9 ( z ) ，对所有z x 致成立。 定义 。 吣，垆 羡戮等1 j 我们来验证_ f 这样定义的 ( z ，t ) ： ( 1 ) 对任意的t l o ，l j ， ( zt ) ：f ( z ，一f n ( ) ) 显然是一个恰当映射； ( 2 ) d ( ( z ，t ) ，h 国，t ) ) = d ( f ( z ，一2 n ( t ) ) ，f ( g ，一l n ( 亡) ) ) 曼p ( d ( z ，) ) ，对所有的 z ，x 和t ( o ，1 成立； 当t = o 时，d ( ( z ，o ) ， ( ，o ) ) 一d ( “mc 。+ 。f ( z ，t ) ，f z m 。一+ 。f ，) ) = l 。m t 一+ 。d ( f ( ，t ) ，f ( y ，t ) ) sp ( d ( 。，9 ) ) ( 3 ) 对任意的= ( 。，) x ( o ，1 】，存在d o ，如果m ( ) 一轨( s ) l d 司口么d ( f ，一轨( ) ) ，f ( z ，一f n ( s ) ) ) t 。 一d f n ( s ) 一m ( t ) 6 = = = 亭6 s t e 6 ：= 争一t 一s 一t e 一6 = ：= 争t ( 1 一一) o ，如果 d ( f ，一2 n ( t ) ) ，f i k o 。f ( z 、s ) ) o ，9 9 ：2 ( 9 ) 墨r ) 1 0 6i m 且d ( 。6 ) 正好是1 0 6 的整数倍，那么令 烈3 南。聂们烈吼“司) 命题2 1 如上定义的函数，r r g ( r ，( q ) ) 满足： r j 对任意的o ，6 r ，( n ，6 ) 是一个凸组合； r 缈女口果d ( o ，b ) 1 0 6 ，刃b 么，( n ，b ) = 6 ； 砂如果d ( n ，b ) 1 0 6 ，那么s “御，( o ，b ( g kb ( 1 0 6 ) 6 ) ns ( 。，1 0 d ) “j ，是r 等变的，即，b 。9b ) = 9 ，( 。，b ) 对任意的n ，b9 r ； r 5 j 存在常数l 0 ，o5a l ( ) 6 ，那么s t 仰 ( 口，b ) b ( q n ，6 】( 1 0 d ) ，6 ) n s ( n ，1 0 d ) “j 是r 等变的，b hh 圆o ，9 ) 一g ( n ，6 ) 刈任意的n ：6 ，9 r ； r 印存在常数g 0 ，o p 1 使得对任意的。，0 7 ，6 r ， | l 是( 8 ，b ) 一危( o ：y ) | c p ( 训k 接下来我们介绍一下相对双曲群的概念。相对双曲性的概念首先是由 g r o m o v 提出来的，之后人们又从各种不j j 的角度来研究过它。具有相对 舣曲结构的群包含了一大类很有意思的实例。 定义2 1 0 令g 是一个群， 只i a 足g 的族予群，x 是g 的一 个子集且不妨设是列称的。称x 是关于 风) 的相列生成集，如果g 是由x 和u ；a f h ) 共同生成的。 此时g 就可以自然的认为是自由群f 的商群。其中 f = ( $ a 日 ) f ( x ) 这里f ( x ) 是以x 为基生成的自由群。 定义2 1 1 令e ：f g 表示自然同态。如果 e 是f 中子集 冗的正规闭包，那么就称g 具有相对表示 如果4 x 1 命题2 3 存在常数n 口 0 具有以下性质：记一x y z 是 g ( r ，x uh ) 中的一个测地三角形，假设u k 乩v k 。 使 得d x u 盯( z ，u ) = d x u 爿( z u ) ，d x u h ( “，可) + d x u 日( ，名) d x u ( 可，。) + 盯， 那么d x ，u ) sp 其实我们可以将常数算出来，若取口= 5 d ，那么p = 6 m i 。6 2 。这样得 到一个我们可以方使使用的引理。 引理2 3 设 z 是一个正整数，z i 9 7 s x u h ( ，1 0 6 ( m 一1 ) ) ，z ， s k u h ( z ，1 0 6 m ) 以及d x u h ( z ，) w ，那么d x ( 。，) p = 6 m l 铲 类似丁在双曲群中介绍的那样，我们要推广花朵及零链的概念。 定义2 1 3 对于u ， r ，在点相对于口点的相对双曲花朵定义为 f f7 ( ，叫) = 5 k u h ( ，d x u h w ) ) nb x ( 训，p ) n 日x u h ( 训占) 定义2 1 4 ，在g 卜任意选取一个r 等变的测地二元梳理函数目，剥每 个o r ，定义向( 2 的投射p 7 ：r r 以，p r ：( 。) = o j 1 3 复日火学硕士学位论文 俐如果6 n ，p r ：( 6 ) 一9 ( n 、b 】( 1 0 见) ，这里的一m d z ：1 0 6 k 1 0 d 而且d x u h ( o ，6 ) 不是1 0 d 的整数倍，那么令 ，协，b ) = ，协，p r ：( 6 ) ) i 例如果d x u h ( 。，6 ) 1 0 6 而且d x u h ( 口，6 ) 正好是1 0 6 的整数倍，那么令 ， 6 ) 南。焉厂她“训 同样我们可以得到类似的命题： 命题2 4 如上定义的函数，7 ：r r 一岛( r ，( q ) ) 满足： f u 对任意的，6 r ，7 ( 。，6 ) 是一个凸组合； 例如果d x u h ( a ，b ) 1 0 6 ，那么，( 。，6 ) = 6 ； 纠如果奴u h ( n ，6 ) 1 0 d ，那么s “p p ，( 凸，6 ) f f 他，q 。纠( 1 0 刚，q 足 g ( r x u h ) 中的一个r 等变测地二元梳理函数。 搿，是r 等变的，即，( 9 - 0 f ，9 6 ) = 9 ，( 8 ，6 ) 列任意的n ，6 ，g f ： 佑存在常数l o ，o a 1 ，使得列任意的。，6 ，6 7 r ， 1 i ( 。，b ) 一，( 血加引1 1 l a 妯) 4 证明。( 1 ) 根据定义，协，6 ) 是个凸组合这点是显然的。 ( 2 ) 根据定义，可以直接得到， ( 4 ) ，7 是r 等变的，是冈为定义只用到了r 的度量性质，而这是在r 作 用下保持不变的。 ( 3 ) 我们将借助于回顾以下性质来证明：令n 、b 属于g ( o ) ，m 是满足 1 0 6s1 0 6 m d x u ( n ，b ) 的整数。令u = q h6 ( 1 0 6 m ) ，那么，( n ，6 ) = 。州( ) ，7 ( a ，z ) ，其中2o 且。刚( ) = l 。 令 。是满足1 0 6 ”z 奴u h ( 。，d ) 的最大整数。当 l = m 时， 如果1 0 j m = d x u h ( 。b ) ，那么b = 吼，7 ( 。，6 ) = ，7 ( n ， ) 得到一个平凡 1 4 l 圣旦盔堂堡主焦迨塞1 5 的情况，引理自然成立。如果l o d m 奴。1 = r ( q ，6 ) 根据定义，f “b 1 ： ，7 ( u ，p r ：( 6 ) ) = ，( q ，u ) ，同样也是平凡的情况。 归纳论证，如果对m + 1 成立，我们来证明m 的时候也对。如果 整数m 满足l m m 。，那么1 0 d ( m + 1 ) d x u 打( o ，b ) i 根据假设 ，( n ，6 ) = 。e 几协，。n 。，( 。，z ) ，其中= g 陋，6 j ( 加d ( m + j ) ) 以及n 。o 目。 f 。，1 = 1 。又根据定义 厂。= 。蒹，厂 一卜。蒹， 南。蒹。，八n 2 门( o 声) z f f 7 f n ，u 1。h 1 。、“山，f f r 。 = 。；焉。；焉赫焉八唧以州 。孟m 鼠瑚( o ，。) “”“ 而其中系数 。蒹m 蒹一面函2 。蒹，。而南【，；蒹卜。磊州一， 我们有d x u 日( 7 ，) d x u 日( u ，) + 奴u 日( 。，) 2 d ，根据引理2 2 ，2 3 ，得 到d x u h ( p r ：( ) ，g 陋，6 】( 1 0 6 m ) ) 6 和奴( p r ：( ) ，口k 纠( 1 0 d m ) ) p ，于是所 有的点p 吒( v ) 都落在f r 7 ( n ，q k6 】( 1 0 j m ) ) 。最后这里只要把。取成l 我们 就得到了所期望的结果。 在证明( 5 ) 之前，我们先来证明以下个引理： 引理2 + 4 令“= m 口z h 日x ( ，p ) fu g f o ，假设顶点n ，6 ，c g ( o ) ， n n 满足如( b ，c ) ，9 ，奴u 日( 6 ，c ) 6 以及奴u 日( a ，6 ) ：妇u ( 口，c ) ： 1 0 6 n 。那么i ，( ，6 ) ，7 ( n ，c ) i 2 ( 1 一击) “一1 。 证明j 当n = l 列， ，7 ( 。，6 ) 一，( 。，c ) i 】sj ，7 ( n ，b ) j l + i ，7 ( n ：c ) j l = 2s2 ( 1 一专) n 一1 。 归纳论证，如果对n 一1 成立，我们来旺明n 的时候也对。 矿 呻 赢 复日大学硕十学位论文 九舢) _ ，弘，刮t3 【高。焉八唧以圳一南坼蒙 = ii j i 可；j i ，7 ( n ，p r ：( 。) ) 一，7 ( n ，2 ，r ：( 口) ) 。 旧协，b ) 4 f f ，( o c ) 。急朋，。急一l “”“”1 7 “j | t 茎丽赢。毫l ，( 唧味训矾) - 根据条件假设，我们知道 d x u 日( z ，) d x u h ( z ，b ) + d x u h ( 6 ，c ) + d x u h ( c ：可) 3 占 于是根据引理2 2 ，2 3 ，得到 d x 。玎( p r ：( z ) ，p r ：( 可) ) s 巧；d x ( p r ：( z ) ，p r ：( 可) ) sp 1 6 又根据归纳假设 1 ，( 0 ，p r ：( z ) ) 一八n ，) i ，墨2 ( 1 一击) 卜1 ) _ 。：2 ( 1 一专) 一z 对任意的z f f 7 ( 。，6 ) ，f f7 ( 。c ) 成立。于是 九啪) ，弘，驯一丽靠。焉2 ( 1 一护2 2 ( 1 一是) 一2 ( 1 一去) “ 我们继续来证明r 纠 令 一( 1 一击) l 埘；l = 2 ( 1 一壶) 。3 那么显然l 0 ，o5a 2 0 d 时，令? n 是满足1 0 6 ms ( b i c ) 。最大的整数。那么显 然有 等警一l m ；2 晒s1 0 6 m ( b l c ) 。墨c k 。( n ，6 ) 于是根据( ，) 中的引理，口= g 【。，6 ( 1 0 d m ) ：叫= - q o ，c ( 1 0 d 。) l ，弘，6 ) 一，如，c ) l ，= l “。，如z ) 一晟，如，) | 1 z j l f ( )f l7 她，) 1 = l 。，( 。，z ) 忍一风，( 。)n 。| 1 f 2 ( n ，u ) z f f7 ( n 、训) f l7 ( 口，u ，)z f f 拙# ) = f n 。忍麒。) 一，协圳， 。f f ( o ， ) v f f7 ( 。，训) 一 墨玩i ，如，z ) 一，( n ，g ) l 。 f 7 l n ， ) ”f 7 ( o ，“】) 根据定义 l ，( n ，。) 一，7 ( 血，可) l - = f 高北八哪以) _ 志北赢八吼以) ) l ， s 丽瓦 丽而| ，弘，p r ) ) 一，) | t 一舯( o ，。) ( 刚) 班急瑚胙急曲”。”“ “”“1 根据奴。h ( n ，u ) = d ，y 。日( n ，“，) = 1 0 d m ( 6 i c ) 。，那么根据引理22 ， 得至0d x ij h ( ，t u ) d ，于是 1 7 d x u 日( 茁，7 ) s 奴u ( z 7 ，。) + d x u ( z ，口) + d x u h ( ， ) + d x u h ( 训，) + d x 。h ( g 7 ) 墨5 d 于是根据引理2 绕2 舅得到 d x u h ( p r ：( z 7 ) ，p r ：( 可7 ) ) 巧；d x ( p r ：( z 7 ) p r 。( 可) ) p 再根据上面的引理，得到 ，( 0 ，p r ：( z ，) ) 一，7 ( mp r ：( ，) ) i 。2 ( 1 一之) m 。 复旦大学硕士学位论文 综合起来就得到 | ，7 ( n ，b ) 一，7 ( 盘，c ) ， 1 _ ：一 一妒c ( 。，z ) 4 f f7 ( ，) 一， l u d ，习口么s “p p 7 ( 。，6 ) f f 7 ( n ，q 陋6 j ( 1 0 d ) ) ，g 是 g ( r ，xuh ) 中的一个1 1 等变测地二元梳理函数。 “， 7 是r 等变的，即 7 b ：g - b ) = g 7 ( o 6 ) 对任意的n ，b ，9 r ； 例存在常数c 0 ，o 墨p 1 ，使得对任意的。，6 b ，r ， h 7 ( 。，凸) 一 ( 。，6 7 ) 【j ，g p j ) 。 证明j 性质( 1 ) 一( 4 ) 可以由，7 ( n ，b ) 的性质直接得到。我们来说明 下( 5 ) 。根据性质( 2 ) ，我们知道8 7 ( 仉6 ) 1 日x ( q o ，6 p ) “；下 是立即有 | | ( o 6 ) 一九7 ( n ，b 7 ) l ，2 “；| | h 7 ( n 凸) 一九7 ( n b 7 ) i l 于是根据，7 ( n ，6 ) 的性质( 5 ) 马上可以得到。 复日大学硕士学位论文 通过推j “+ ，我们得到了相对双曲群上的m i n e y e v 构造，这有助于我 们对相对双曲群的几何结构的把握，同时也方便我们逊步考察粗形式 的n o v i k o v 猜测是否对相对双曲群也成立，这一一方丽的具体工作还在进行 中。 1 9 参考文献 【1 m g r 。m o v ，a 5 聊)