（系统工程专业论文）Type2模糊系统的比较研究与仿真应用.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 t y p e - - 2 模糊集合由传统1 卯e 一1 模糊集合扩展得到。基于t y p e - - 2 模糊集 合的t y p e - - 2 模糊系统在处理不确定性信息方面有其特有的优势。随着t y p e - 2 模糊系统的出现，针对具体问题上应选用t y p e 一1 模糊系统还是t y p e 一2 模糊系统 的问题也随之而来。另外研究t y p e 一2 模糊系统离不开仿真试验，而目前对t y p e 一2 模糊系统仿真没有统一的平台，也为阻碍其发展的问题之一。这些问题的研 究，对t y p e 一2 模糊系统的实际应用具有重要意义。 本文首先在介绍1 卯e 一2 模糊集合基本理论的基础上，比较研究了几种 t y p e - - 2 模糊集合的二维和三维图示，给出了t y p e - - 2 模糊关系合成的算例。 其次，给出了t y p e - - 2 模糊系统的基本结构，尤其给出最常用到的区间型 t y p e - - 2 模糊系统的相关公式。在此基础上，针对模糊系统选取问题得到两点结 论：1 ) 在混沌时间序列预测的问题上，可以选取l y a p u n o v 指数做为选取模糊系 统的指标参数；2 ) 分析验证了在对研究对象了解较少时，高斯一区间型t y p e - 2 模糊系统比t y p e 一1 模糊系统会更有优势。 第三，设计了高斯一区间型t y p e 一2 模糊系统仿真软件。此仿真软件基于 m a t l a b 平台，通过i v l a t l a b + c 混合编程和模块化设计，实现了系统选择、训练 数据录入、参数自动生成、模糊系统训练和应用等功能，提供了完备的联机帮助， 并举例对软件的使用进行了说明。 第四，将聊e 一2 模糊系统应用到具有高度非线性的股票市场预测问题上， 取得了较1 卯e l 模糊系统更优越的效果。 关键词：t y p e 一2 模糊系统t y p e 一1 模糊系统混沌时间序列格贴近度模糊系 统仿真m a t l a b 平台股票预测 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e c o n c e p to f t y p e 一2f ：u z z ys e tw a si n t r o d u c e da sa ne x t e n s i o no f t h ec o n c e p to f a no r d i n a r yf u z z ys e t ( h e n c e f o r t hc a l l e dat y p e 一1 f u z z ys e t ) t y p e 一2f u z z yl o g i c s y s t e m ( f l s ) ，w h i c hb a s e do nt h et y p e - 2f u z z ys e t s ，i sav e r yp o w e r f u ln o n l i n e a r s i g r l a lp r o c e s s i n gt e c h n i q u et h a tc a nh a n d l et h eu n c e r t a i n t i e s w i t ht h ea p p e a r a n c et h i s n e v v _ t y p eo ff l s ，t h es e l e c t i o nb e t w e e nt y p e 一1f l sa n dt y p e - 2f l sh a sb e c o m ea n e wp r o b l e m o t h e r w i s e ，t h es t u d yo f t y p e - 2f l s sc a n tb ed o n ew i t h o u ts i m u l a t i o n b u t , t h e r ei sn o tc o n v e n i e n tt y p e 一2f l s ss i m u l a t i o ns o f t w a r e s ot h e s ep r o b l e m sh a v e t o b es o l v e d i nt h ef i r s tp a r t o ft h i sp a p e r , w ed i s c u s ss e tt h e o r yo nt y p e 一2f u z z ys e t s p l a n a r a n dt h r e e - d i m e n s i o n a l f i g u r eo ft y p e 一2f u z z ys e t sa r ep r e s e n t e d t h e nw es h o wa e x a m p l eo f t h ec o m p o s i t i o no f t h et y p e 一2 蛔r e l a t i o n s s e c o n d l y , t h eb a s i cs t r u c t u r eo ft y p e 一2f l s ，e s p e c i a l l yt h em o s tp o p u l a ri n t e r v a l t y p e 一2f l s ，i sp r e s e n t e d w ea l s oh a v ed i s c u s s e dt h ec o m p a r i s o no f t y p e 1f l s sa n d t y p e 一2f l s s ，t h e nt h e r ea t et w oc o n c l u s i o n s ：1 1w h e ni tc o m e st ot h ef o r e c a s to f c h a o st i m es e r i e s ，w ec a nu s i n gl y a p u n o ve x p o n e n ta sap a r a m e t e rt oc h o s ew h i c h k i n do ff l sw i l lb eu s e dt od i f f e r e n tc a s e ；2 ) t y p e 2f l s sw h i c hb a s e do nt h e g a u s s - i n t e r v a lt y p e 一2f u z z ys e t so v e r c o m et y p e - 1f l sm u c hb e t t e rw h e nw e g o tl e s s i n f o r m a t i o na b o u tt h eo b j e c t t h i r d l y , w ed e s i g n e ds i m u l a t i o ns o f f w a r ew h i c hb a s e do nm a t l a bf o r g a u s s i n t e r v a lt y p e 一2f l s s b ym o d u l a r i z a t i o nd e s i g n i n g ，w ec a r r i e do u ts e v e r a l m o d u l en a m e ds e l e c t i o no fs y s t e m s ，t r a i n i n gd a t ai n p u t , p a r a m e t e ra u t o m a t i cs e t t i n g , a n dt r a i n i n ga n da p p l i c a t i o no ft y p e - 2f l s s w ea l s op r o v i d eac o n v e n i e n th e l p s y s t e mf o rn s e r , t h e nac o m p l e t ee x a m p l eu s i n gt h i ss i m u l a t i o ns o f t w a r ei sp r e s e n t e d f i n a l l y , b a s e do nt h ef o r m e rw o r k , w eu s i n gb o t ht y p e 一1a n dt y p e - 2f l st o f o r e c a s ts t o c km a r k e tt a r g e tw h i c hi se x t r e m en o n - l i n e a r a sw ee x p e c t e d , t h e p e r f o r r n a l l c eo f t y p e 2f l s g a i nm o r ea d v a n t a g eo v e rt y p e 一1f l s k e y w o r d s ：t y p e 2f u z z yl o g i cs y s t e m ；t y p e 1f u z z yl o g i cs y s t e m ；c h a o st i m e s e r i e s ；l a t t i c em e 笛u o fs i m i l a r i t y ；f u z z ys y s t e ms i m u l a t i o n ；m a n a b p l a t f o r m ；s t o c kf o r e c a s t i n g m 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于， 不保密吐 学位论文作者签名：瘁淘 2 o 。年1 2 - 月皓日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：本淘 日期：功o i 年扣月 f1 5 1 江苏大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 模糊理论和模糊系统 1 1 1 模糊理论的诞生和发展 在现实世界中，任何领域无时无刻不存在着不确定性因素( u n c e r t a i n t y ) 。 为此，人们提出了许多数学理论描述这些不确定因素，这其中就包括了模糊理论。 正如z a d e h 教授在具有开创性的论文 4 3 中所说的：“模糊集合的意义在于为模 糊集合理论框架体系提供了一个基本的起点，该框架体系在许多方面可与普通集 合框架体系并行使用。前者比后者更普通，更有广泛的应用前景。特别是在模式 识别和信息处理方面。从本质上说，这种框架提供了一种处理非精确性信息的自 然方法。” 模糊理论在它建立之初陷入了激烈的争论中，其中最大的挑战来自统计和概 率论领域的数学家们，他们认为概率论已经足以描述不确定性。现在我们可以 清楚的认识到：模糊性反映了事件的不确定性，但这种不确定性不同于随机性。 随机性反映的是客观上的自然的不确定性，或事件发生的偶然性，而模糊性则反 映人们主观理解上的不确定性，即人们对有关事件定义或概念描述在语言意义理 解上的不确定性。但是由于模糊理论建立之初没有实际应用，使得模糊理论并没 有立即成为主流。 到了上个世纪7 0 年代，z a d e h 教授发表了另一篇开创性文章 4 3 ，该文建 立了研究模糊控制的基础理论，在引入语言变量这一概念的基础上，提出了用模 糊i f - - t h e n 规则来量化人类知识。随之英国伦敦大学教授e h m a m d a n i 最早 将模糊控制理论应用于蒸气机及锅炉的控制，取得了优于常规控制器的控制效果 为模糊控制理论在工程上的成功应用开创了先河呻1 。后来，在1 9 7 8 年，h o l m b l a d 等人为整个工业过程开发了第一个模糊控制器模糊水泥窑控制器“”。随后， 各国学者相继将模糊理论运用在温度控制、数字图像稳定器，洗衣机、汽车速度 地铁等自动控制系统中侧。美国国家航空与航天局( n a s a ) 正在考虑把模糊系统 用于太空和航空系统。国际原子能机构0 a e a ) 和国际工业应用系统机构( i i a s a ) 江苏大学硕士学位论文 也准备在大型系统高速推理上应用模糊系统理论。日本将模糊推理作为硬件的模 糊集成块，制造了“模糊计算机”。 国内在模糊控制应用方面也同样取得了显著成果。都志气杰等人用单片机研 制了工业模糊控制器；何钢、能秋思、刘浪舟，李友善等人相继将模糊控制方法 成功应用到碱熔反应温度，玻璃窑炉和甜菜制糖系统等“”。 1 1 2 模糊系统的基本结构 模糊系统是一种基于知识或基于规则的系统。模糊系统的核心就是所谓的 i f - - t h e n 规则所组成的知识库，模糊系统的其他部分都是以一种合理而有效的 方式来执行这些规则的。假设模糊规则库是由以下模糊规则组成的： 趟o ：如果五为卅且且为“，n y 为b ( 1 1 ) 其中彳和b 7 分别是q c r 和矿c r 上的模糊集合，工= ，屯，) 7 u 和 y v 分别是模糊系统的输入和输出变量。一个具有普遍意义的模糊系统如图1 1 所示。 糊集合糊集合 图1 1 模糊系统结构图 这种具有普遍意义的模糊系统具有如下优点：第一，系统的输入和输出均为 真值变量，适合工程应用；第二，它具有i f t h e n 规则的一般化模式；第三， 2 江苏大学硕士学位论文 可以选择不同的模糊器，模糊推理机和解模糊器组合，对特定的问题可以得到一 个比较合适的模糊系统。 1 2t y p e - - 2 模糊集合理论与t y p e - - 2 模糊系统 上节提到的模糊理论和模糊系统主要是指基于普通模糊集合理论和系统，随 着模糊理论研究不断深入，有出现了一种新的模糊集合，为了便于区别，将这种 新的模糊集合成为聊e 一2 模糊集合，而将普通模糊集合成为1 阳e 一1 模糊集合。 1 2 1t y p e 一2 模糊理论的提出 t y p e 一2 型模糊集合的概念是普通模糊集合概念的扩展。当无法确定元素的 隶属度为0 或者l 的时候，用介于o 。和1 之间的一个具体数值表示它的隶属度， 这就是用t y p e 一1 型模糊集合来表示这种模糊性。进一步，当情况的模糊性更大， 甚至很难确定一个 o ，1 上的具体数值来表示此元素的隶属度时，可以运用 t y p e 一2 型模糊集合。 自从z a d e h 教授在1 9 7 5 年的文 1 中介绍了t y p e 一2 模糊集合以来，一直到 上个世纪九十年代中期，都很少有文献谈及这个话题。这段时间内只有少数学者 对t y p e 一2 模糊集合提出了一些看法，其中文 2 3 3 讨论了模糊赋值逻辑，并且 将t y p e 一1 模糊s u p - - s t a r 运算扩展开来，应用于t y p e 一2 模糊集合，最后还给 出了计算公式，但是他们的公式只是在最小值t 一范数意义下的公式；文 4 将 t y p e 一2 模糊集合应用到决策问题上；文 5 则构造了一个区间型t y p e 一2 模糊 控制器；文 6 7 8 对t y p e 一2 模糊集合的性质和算法提出了一些建议；文 9 则将t y p e 一2 模糊集合应用到了模糊方程的问题上；文 1 0 研究了高于1 型的模 糊系统的规则和区间型集合问题。那个时候模糊理论的相关学者把主要的精力集 中到了t y p e 一1 模糊集合理论及其应用上。 1 9 9 8 年南加州大学电子工程系的一个工作小组为t y p e - - 2 模糊集合和t y p e 一2 模糊系统的发展做出了突出贡献。他们发表了一系列的论文建立了一整套 t y p e - - 2 模糊系统的理论，并将它成功地应用到了时变信道均衡的问题上。简介 他们的工作如下：在文 1 1 1 3 中k a r n i k 和m e n d e l 发展了文 6 7 的工作，并 且提出了t y p e 一2 模糊集合的并，交和补运算的实用数值计算方法。他们还发展 江苏大学硕士学位论文 t - ：型模糊集合重心的概念，并且针对区间型二型模糊集合给出了其重心的数值 算法。文 1 3 1 4 1 5 发展了文 2 3 的工作给出了一般意义下的二型模糊集合 s u p - - s t a r 运算公式，基于这些公式，文 1 0 1 5 建立了一整套二型模糊系统 的理论。文 1 6 1 8 发展完善了区间型t y p e 一2 模糊系统的理论，他们通过选 用不同的解模糊器来讨论如何设计区间型t y p e 一2 模糊系统，还讨论如何通过数 据来训练区间型t y p e - - 2 模糊系统的参数。最后m e n d e l 教授将他们的工作总结 出版成书n ”。 1 2 2 t y p e - - 2 系统的应用现状 从完整的聊e 一2 模糊系统理论提出到现在，近五年时间里，t y p e - - 2 模糊 系统有了较蓬勃的发展，越来越多的学者正将目光转向这种新型的模糊系统。这 也导致t y p e - - 2 模糊系统的研究更加深入，应用更加广泛。 同聊e 一1 模糊系统一样，1 卯e 一2 模糊系统在控制领域应用最多，控制对 象包括船舶引擎、转炉，机器人，水箱液面捌等等。另外成功应用 t y p e 一2 模糊集合理论的领域还有：逼近、模糊聚类、数据库、 决策m 儿蜘、医药、隐形马尔可夫模型、模糊神经网络嘲、噪声消除嘲、 模式识别口力、质量控制、无线通讯1 等等。但是在国内方面，除文 4 8 将 t y p e - - 2 模糊系统做了简单介绍之外，应用还较少。 目前，t y p e - - 2 模糊集合理论虽然得到了一定发展，但较1 抑e 一1 模糊集合 理论来说仍然不完善。t y p e - - 2 模糊系统的应用也没有聊e 一1 模糊系统广泛和 普及。造成这种情况的主要原因有： 1 t y p e - - 2 模糊集合具有三维的属性，图示难度较大，较难理解； 2 没有非常合适和熟知的例子可以用1 押e 一2 模糊集合精确的数学表示； 3 聊e 一2 模糊集合的基本运算由1 如e l 模糊集合的基本运算扩展而来， 因为其自身的特点使得这些运算本身非常复杂难懂； 4 正是由于其基本运算复杂的原因，使得t y p e - - 2 模糊系统的计算量远大 于1 卯e 一1 模糊系统。 4 江苏大学硕士学位论文 1 2 3 t y p e 一2 模糊系统的前景展望 聊e 一2 模糊系统是基于1 卯e 一2 模糊集合，同样是基于知识和规则库的系 统。通常情况下，对于模糊系统来说用于构成规则的知识都具有不确定性，例如 由训练得到模糊系统的过程中，训练数据具有噪声；在由专家经验得到模糊系统 的过程中，通常不同的专家在面对相同的问题上由不同的看法。知识的不确定性 必然会导致模糊系统的规则也具有不确定性，规则的不确定性就主要表现在了它 的前件和后件模糊集合上，t y p e - - 2 模糊集合正是这样的模糊集合。 虽然存在着前面提到的一些困难，但是t y p e - - 2 模糊系统凭借着其更出色的 性能仍然得到了一些应用。还有学者进一步指出当处于以下条件下，二型模糊系 统是可以考虑的呻1 ： ( 1 ) 数据产生系统，且系统是时变但时变特征无法用数学语言描述( 如移 动通讯网) ； ( 2 ) 不稳定的测量噪声，且不稳定性不能用数学语言描述( 如时变s n r ) ； ( 3 ) 模式识别，且识别特征具有不稳定、不能用数学语言描述的概率特性； ( 4 ) 知识提取，特别是从包含不确定词汇的专家群问卷中提取； ( 5 ) 不可描述域的语元。 最近，m e n d e l 证明了用t y p e 一1 模糊集合来表示一个词是不科学的。因为 从人类语言的实际应用来说，词具有一个特点就是其具有不确定性，但是t y p e - 1 模糊系统没有这种不确定性，这更加说明了t y p e 一2 系统的合理性。这个结论对 于很多人来说都不好接受。从模糊集合被提出的一开始t y p e - 1 模糊集合就被用 来表示人类的语言。幸运的是，许多t y p e l 模糊系统的应用中，大家都把注意 力集中在t y p e - 1 模糊集合的数学运算上，而没有注意它表示词汇的合理性。 t y p e - - 2 模糊系统虽然在复杂性和计算强度上大于1 卯e 一1 模糊系统，但是 在很多情况下效果要强于1 印e 一1 模糊系统，在具体问题上，是选用聊e 一1 模 糊系统还是t y p e - - 2 模糊系统也是工程师们遇到的一个新问题。 回忆在七十年代人们刚刚接触t y p e 一1 模糊系统，比如模糊逻辑控制时，很 多人也显得无所适从。一旦人们对于t y p e l 模糊系统的理解加深了之后，自然 会思索更多，更深的问题。考虑到t y p e - - 2 模糊理论的不断完善和实现模糊系统 时用到的软硬件水平的不断提高，t y p e - - 2 模糊系统的应用必然会得到发展。特 江苏大学硕士学位论文 别需要注意的是：在国内，t y p e - - 2 模糊系统的研究和开发比较少。t y p e - - 2 模 糊系统有很大潜力，应用前景广阔。 1 3 本论文研究的主要内容与意义 本文所作的主要工作如下： 1 本文针对1 卯e 一2 模糊集合图示难度较大，较难理解的情况，提供了二 维和三维的图示方法，并进行比较研究。鉴于1 押e 一2 模糊集合的基本运算复杂 难懂以及国内相关资料缺乏的情况，给出一个t y p e - - 2 模糊关系合成的例子。 2 针对模糊系统选取问题得到两点结论：1 ) 在混沌时间序列预测的问题上， 可以选取l y a p u n o v 指数做为选取模糊系统的指标参数；2 ) 提出区间型t y p e 一2 模糊集合格贴近度和高斯一区间型t y p e - 2 模糊集合自格贴近度的概念，并证明 了具有不定中心的高斯一区间型t y p e - 2 模糊集合格贴近度的一些结论，在此基 础上，分析验证了在对研究对象了解较少时，高斯一区间型t y p e 一2 模糊系统比 t y p e - i 模糊系统会更有优势。 3 为了更好的研究t y p e - - 2 模糊系统，基于m a t l a b 平台设计了1 如e 一2 仿 真软件，实现了系统选择，数据录入、参数自动生成、模糊系统训练和应用等功 能，提供了完备的联机帮助，其中关键程序采用m a t l a b + c 混合编程实现，大幅 度提高了运算速度，从而增强了整个软件的实用性。 4 结合t y p e - - 2 模糊系统的特点，将其应用到股票市场的预测上，取得较 1 如e 一1 模糊系统优越的效果 具体章节安排如下： 第1 章绪论 第2 章t y p e - - 2 模糊集合基本理论 第3 章t y p e 一2 模糊系统及其比较研究 第4 章高斯一区间型t y p e - - 2 模糊系统仿真软件 第5 章t y p e 一2 模糊系统在股票市场预测中的应用 第6 章结束语 6 江苏大学硕士学位论文 第2 章t p y e - 2 模糊集合基本理论 本章中，首先给出了聊e 一2 模糊集合的相关概念，研究了各种常用 1 弛e 一2 模糊集合的二维和三维图示，并进行比较。接着，介绍了其基本运算， 给出一个聊e 一2 模糊关系合成运算的例子。 2 1 t y p e 一2 模糊集合 t y p e 一2 模糊集合的概念是t y p e 一1 模糊集合概念的延拓，由z a d e h 提出“1 。 t y p e 一2 模糊集合是这样的集合：它的隶属度本身是一个t y p e - 1 模糊集合。 t y p e 一2 模糊关系被认为是一种增加模糊度的方法，根据h i s d a l “在一种描述中 模糊度的增加意味着在正确的逻辑方式下处理不确定信息可靠性的增加。”因此 在处理更加不确定的事物时t y p e 一2 模糊集合更加有效。t y p e - 2 模糊集合可以用 来表达t y p e 一1 模糊集合隶属度的不确定性，对很难给出隶属度形状的任何信息 时可采用t y p e 一2 模糊集合。 设4 表示一个t y p e 一1 模糊集合，彳中x x 的隶属度函数值为心( ， 以( 工) 是区间【0 ，l 】上一个具体的数值。 定义2 1 ( t y p e - - 2 模糊集合) 给定论域x 上的一个1 卯e 一2 模糊集合j ，粥= v x e x ，都指定了一个t y p e 1 型模糊子集4 与之对应，即x x 在j 中的隶属度心( d 是 o ，l 】上的一个t y p e 一1 模糊集合( 不是一个确切的数值) ，z 上t y p e 2 模糊集合j 可以表示为： 心2k 1 】正( u ) u ( 2 1 ) 或j ( 曲可以表示为： 删= 正叱+ 正“必+ + 正叱= 军工( 叱， ( 2 2 ) 其中q 以【o ，1 】v x z 。 心( o ( x x 所对应的t y p e 一1 模糊集合) 值域中的所有元素被称为x 在j 7 江苏大学硕士学位论文 中的首隶属度或第一隶属度c p r i m a r ym e m b e r s h i p ) ，首隶属度在心( 曲中的隶属 度称为工在j 的次隶属度或第二隶属度( s e c o n d a r y m e m b e r s h i p ) 。 t y p e 一2 模糊集合的概念是在常规模糊集合( t y p e 一1 模糊集合) 基础上扩展 而来。t y p e 一2 型模糊集合的每一个元素的隶属度是 0 ，l 】上模糊集合，而不像 t y p e 一1 型模糊集合，其隶属度是 o ，1 】的精确值。 说明2 1 ：( t y p e - - 2 模糊集合的类型) t y p e - - 2 模糊集合由于牵扯到有两个隶属度函数，所以它的类型定义方式同 t y p e - - l 模糊集合有些不一样，t y p e - - 2 模糊集合的类型由次隶属度类型决定。 如果一个t y p e 一2 型模糊集合j 的次隶属度函数是高斯型隶属度函数，则称此 t y p e 一2 型模糊集合为高斯t y p e 一2 模糊集合；如果次隶属度函数是区间型集合， 则称此为一个区间型t y p e 一2 模糊集合。 m e n d e l 和j o h n 在文 4 9 中，从一个新的角度又提出了另一个t y p e - - 2 模糊 集合的概念。 定义2 2 ：( t y p e 一2 模糊集合) 给定论域z 上的一个t y p e 2 模糊集合j ，假设在论域x 上有n 个点，分别 为五，x 2 ，h ，在每个t ( f = 1 ，) 所对应的t y p e 一1 模糊集合的论域上，有m 个点，分别为，q ：，用鸳表示j 的第，个内嵌t y p e 一2 模糊集合，有： z ； ( 薯，( u ，厶( 彰) ) ) ，u ，k = l ，m ，i = 1 ，n ( 2 3 ) 其e p a ( u ) 表示一所对应的隶属度，即次隶属度的值，z 还可以表示为： 刃：艺 厶) ，k ：1 ，m ( 2 ，4 ) 这样j 可以表示为上述内嵌1 卯e 一2 模糊集合的并集： j ：羔刃 j = l 一= 兀m 8 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 江苏大学硕士学位论文 说明2 2 ：( 内嵌t y p e - - 1 模糊集合) 每个1 卯e 一2 模糊集合都可以视为若干内嵌t y p e - - 2 模糊集合的并集。特别 的，当某个内嵌t y p e 一2 模糊集合名所对应次隶属度以( “? ) = 1 时，忍降阶成一 个聊e l 模糊集合，可称为内嵌1 卯e 一1 模糊集合。可以看出内嵌聊e 一1 模 糊集合是一种特殊的内嵌t y p e - - 2 模糊集合，在所有的内嵌1 如e 一2 模糊集合中 具有特殊的意义。 说明2 3 ：( t y p e - - 2 模糊集合的首隶属度类型) 每个t y p e - - 2 模糊集合可视为由一个1 卯e 一1 模糊集合扩展而来，本文中称 此聊e 一1 模糊集合的类型为扩展得到的1 卯e 一2 模糊集合的首隶属度类型。例 如：j 为t y p e 一2 模糊集合，在它的所有内嵌t y p e - - 2 模糊集合中，只有一个内 嵌t y p e 1 模糊集合a ，则j 可视为由a 扩展而来，4 的隶属度类型称为j 的首 隶属度类型。 在有如上说明之后，本文中将首隶属度为高斯型，次隶属度也为高斯型的 t y p e - - 2 模糊集合称为高斯一高斯型1 卯e 一2 模糊集合，而将首隶属度为高斯型， 次隶属度也为三角型的1 e 一2 模糊集合称为高斯一三角型t y p e - - 2 模糊集合。 注意，因为t y p e 一2 模糊集合的类型由次隶属度类型决定，所以上述两种t y p e 一2 模糊集合的类型不一样。表2 1 列举了本文中后面将会遇到的一些t y p e - - 2 模糊集合的情况。 表2 11 押e 一2 模糊集合的类型及名称 定义2 3 ( t y p e 一2 模糊集合隶属函数的不确定性的足迹) 一个t y p e - 2 模糊集合五的首隶属度的不确定性由一系列有界区域构成，我 们称之为t y p e - 2 模糊集合j 的不确定的足迹。它是所有首隶属度的并，也就是： 9 江苏大学硕士学位论文 f o u ( j ) = u 以 ( 2 7 ) j e 定义2 4 ( 上隶属函数和下隶属函数) j 的上隶属函数和下隶属函数是对应于f o u 界的两个t y p e 1 型隶属函数。 上隶属函数是f o u 最大隶属度的子集，记作玛( x ) ；下隶属函数是f o u 最小隶 属度的子集，记作匕( x ) ，也就是： 乃( x ) s f d u ( 五)匕( x ) ；，d u ( j ) 坛x ( 2 8 ) 2 2t y p e 一2 模糊集合的图形表示 在第l 章中提到了了四条聊e 一2 模糊集合难懂、难用的原因，其中第一条 便是因为1 卯e 一2 模糊集合有三维特性，难以用图形表达。因为t y p e 一2 型模糊 集合具有这个特点，且涉及到两个隶属度函数，从而产生了许多的组合。例如： 在1 卯e 一1 型模糊集合中，常用到类型的有高斯型、三角型和区间型等，但是当 t y p e - - 2 模糊系统的首隶属度为高斯型时，即由高斯型1 卯e 一1 模糊集合扩展而 来的t y p e - - 2 模糊集合，就存在着高斯一高斯t y p e - - 2 模糊集合，高斯一三角 t y p e - - 2 模糊集合和高斯一区间t y p e - - 2 模糊集合等多种模糊集合。本节我们就 以上面提到这几个类型的t y p e - - 2 模糊集合为例，来讨论比较一下t y p e - - 2 模糊 集合图形表示。 t y p e - - 2 模糊集合的三维特性给在二维空间里表达带来了诸多不便，本节的 二维图中用黑颜色的深浅度来表达t y p e - - 2 模糊集合第三维( 次隶属度) 的情况， 从而能够即简单又有效的解决t y p e - - 2 模糊集合的图形表示问题。 2 2 1 高斯一高斯型t y p e 一2 模糊集合 不失一般性的，对于觇z ，高斯一高斯型t y p e 一2 模糊集合的首隶属度 函数为： 1 0 ( 2 9 ) 江苏大学硕士学位论文 脚摩哪譬 2 眨 例2 1 次隶属度具有固定宽度的高斯一高斯型t p y e 一2 型模糊集合 设有高斯一高斯型t y p e 一2 模糊集合互，其首隶属度函数和次隶属度函数 如式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) ，这里取脚= 3 ，4 = 1 ，岛= o 1 ，这时对于坛x 来 说次隶属度函数具有相同的宽度，则互的图形如下： 图2 1 高斯一高斯型1 卯e 一2 模糊集合二维图 图2 2 高斯一高斯型t y p e - - 2 模糊集合三维图 为了更清楚的说明问题，以x = 4 时为例。上图中自线所示为互唯一的内嵌 江苏大学硕士学位论文 聊e 一1 模糊集合，虚线与白线的交点即为x = 4 时次隶属度函数的中心值，约 为u ( x ) = 0 6 ，这样以0 6 为中心，o 1 为宽度，就可以得到次隶属度函数五( “) ， 如图2 1 所示。图2 2 给出五的三维图形，仔细观察可以发现，虽然三维的图形 具有直观立体的优点，但是必然有一些点的隶属度无法全部观测到，从数据的 全面性和整体性上考虑，二维图形更加优越。 例2 1 中互的次隶属度具有相同的宽度，以下举例说明次隶属度也为高斯 型，但宽度不同的情况。 例2 2 次隶属度具有变化宽度的高斯一高斯型t p y e 一2 型模糊集合 设有高斯一高斯t y p e 2 模糊集合互，其首隶属度函数和次隶属度函数如 式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 所示，这里取m = 3 ，点= l ，嘎= 岛( “) ，即次隶属度的 中心为首隶属度函数对应的值u ( x ) ，其宽度随“( 力值增大而增大，随着u ( x ) 减 小而减小，这时对于v 工并来说次隶属度函数具有不相同的宽度。互的图形如 图2 3 所示。为了便于比较，图中还分别给出在x = 4 和工= 4 5 时的次隶属度函 数的图形。图2 4 是互的三维图形，通过图2 3 ( a ) 和图2 1 可以明显的比较出 五和互的区别。 ( a ) 首隶属度函数图( b ) 在两个不同点上的次隶属度情况 图2 3 高斯一高斯型t y p e - - 2 模糊集合二维图 1 2 江苏大学硕士学位论文 图2 4 高斯一高斯型t y p e - - 2 模糊集合二维图 从互与互的比较可以看到，即使同是高斯一高斯型t y p e 一2 模糊集合，例 2 1 中的互和例2 2 中的互也有很大不同。 。 2 2 2 高斯一三角型t y p e 一2 模糊集合 t y p e - 2 模糊集合是以次隶属度函数来划分类型，到底不同类型的t y p e - 2 型 模糊集合有何不同? 为了同高斯型t y p e 一2 型模糊集合有一个比较，这里给出一 个三角型t 卯e 一2 模糊集合的例子。 高斯一三角型t y p e - - 2 模糊集合的首隶属度函数同样为高斯型，次隶属度函 数为三角型函数，对于v x x ，其首隶属度函数为： 小蛔h 等 2 汜m 相应次隶属度函数为三角型隶属度函数： 正 ) = ox 口 工一a b a c x c b o 口 x b b 工c 例2 3 次隶属度具有固定宽度的高斯一三角型t p y e 一2 模糊集合 ( 2 1 2 ) 江苏大学硕士学位论文 设有高斯一三角型t y p e - - 2 模糊集合五，其首隶属度函数和次隶属度函数 的公式为式( 2 1 1 ) 和式( 2 1 2 ) 。这里取m = 3 ，磊= 1 ，次隶属度函数( 三角隶 属度函数) 的顶点即b = “( 习，底边的左右端点分别取a = “o ) 一0 3 ， c = “( x ) + o 3 。这时对于垤彳来说次隶属度函数全部具有相同的宽度。互的 二维空间图形如图2 5 所示，图2 6 则给出了互的三维空间的图形。 图2 5 高斯一三角型t p y e 一2 型模糊集合二维图 图2 6 高斯一三角型t p y e 一2 型模糊集合三维图 我们同样以x = 4 时为例，说明问题。由于五和互的内嵌t y p e l 模糊集合 相同，图2 5 中虚线与白线的交点即为x = 4 时，同样约为0 6 ，只是互的次隶属 度函数不是高斯型，而是宽度为0 3 的三角型隶属度函数，如图2 5 所示。从二 维图表现上，可以看到两个图形比较相似，图2 7 将两个集合的部分图形合并到 1 4 江苏大学硕士学位论文 一起，这样就清楚的看到了两个集合的不同，另外两个集合的三维图形截面图 也可以清楚反映出两个集合的不同之处。 图2 7 五和互二维图形比较 2 2 3 区间型b p e 一2 模糊集合 目前从t y p e - - 2 模糊系统的应用来看，使用最多的是区间型t y p e - - 2 模糊集 合所构成的模糊系统。设有t y p e - - 2 模糊集合j ，当j 的首隶属度对应的集合是 一个区间集时，即次隶属度为0 或1 时，称这样的t y p e - 2 型模糊集为区间型 t y p e 一2 模糊集合( 图2 8 ) 。注意到一个区间型t y p e - 1 模糊集合可以表示为它的 值域 ，】或是它的中心和宽度如咖一s ，m + s 】，这里所= ( ，+ ，) 2 ，s = o f ) 2 。 ( a ) 首隶属度函数图( b ) 在两个不同点上的次隶属度情况 图2 8 区间型t y p e 一2 模糊集合 说明2 5 ( 区间型t y p e - - 2 模糊集合的内嵌t y p e 一1 模糊集合) 区间型t y p e 一2 模糊集合的所有内嵌t y p e 一2 模糊集合都为内嵌t y p e 一1 模糊集合。注意到前面互、互和五有且只有一个内嵌1 卯e 一1 模糊集合，由此 江苏大学硕士学位论文 可看出区间型t y p e - - 2 模糊系统的特殊之处。 由于区间型t y p e - - 2 模糊集合的上述特点，可将其视为由具有不确定参数的 t y p e 一1 模糊集合扩展而来。例如：高斯一区间型t y p e 一2 模糊集合的首隶属度 是高斯型，由于高斯型隶属函数具有中心和宽度两个参数，所以当两个参数分别 具有不确定性时，对应着两种高斯一区间型t y p e 一2 模糊集合。 另外还可以注意到区间型t y p e - - 2 模糊系统不确定的足迹( f o u ) 的次隶 属度都为1 ，则上隶属度函数芦( x ) 和下隶属度函数岂( x ) 就可以表示区间型t y p e 一2 模糊集合的全部信息，所以这些概念对于区间型t y p e 一2 模糊集合具有很重 要的意义“”。下面我们就以两个例子来更形象地说明两种高斯一区同型t y p e 一2 模糊集合。 例2 4 高斯一区间型t y p e 一2 模糊集合( 具有不确定的中心) 设有高斯一区间型t y p e 一2 模糊集合互由具有确定的宽度万和在f 铂，m d 上 取值的不确定中心的高斯型1 卯e 一1 模糊集合扩展得到，即： 小) = 唧h 等 2 ，叫】 图2 9 高斯一区间t y p e - - 2 隶属函数( 不定中心) 互的图形如图2 9 所示，从图中可以清楚的分析得到互的上隶属度函数和 下隶属度函数，以黾o ) 和红( x ) 分别表示互的上下隶属度函数，有： 当善 m 2 时 吸( x ) = ( ，占；x ) ；如( x ) = ( 铂，8 ；x ) ( 2 1 7 ) c 呐脚陬爿 眨 例2 4 表明具有不定中心的高斯一区间型t y p e - - 2 模糊集合的上下隶属度 函数不能由一个函数统一表示。 例2 5 高斯一区间型t y p e - - 2 模糊集合( 具有不定宽度) 设有高斯一区间型t y p e 一2 模糊集合五由具有确定的中心肌和在陋，嘎】上 取值的不确定宽度的高斯型t y p e - - 1 模糊集合扩展得到，即： 咖蛔h 孚) 2 h 瞄】 图2 1 0 高斯一区间t y p e - - 2 隶属函数( 不定宽度) 磊的图形如图2 1 0 所示，从图中可以清楚的分析得到五的上隶属度函数和 下隶属度函数，以乃( x ) 和匕( x ) 分别表示磊的上下隶属度函数，有： f 乃( 石) = ( 肌，色；戈) k ( x ) = ( 肌，4 ；x ) 1 7 江苏大学硕士学位论文 显然五的上隶属度函数和下隶属度函数在论域范围内有统一的形式。 以上就首隶属度函数为高斯型的各种t y p e 一2 模糊集合给, m - 维和三维的 图示。同样还存在着首隶属度函数为其他形式的t y p e 一2 模糊集合，情况类似， 在此不一一举例。 2 3t y p e - 2 模糊集合的基本操作及相关定理 设叠和雪是定义在域x 上的t y p e 一2 模糊集合，并且设心( 功和鳓为这 两个模糊集合的隶属度函数值( 在【o ，1 】上) ，对于每个工，分别有心( 力= i 正( “) “ 和鳓( 砖= f & ( ，w ，这里辑w 以分别代表x 的首隶属度，兵囊) ，( 奶【o ，l 】则 分别表示次隶属度。 一般集合的基本操作有交、并和补，t y p e - 2 模糊集合的基本操作也是如此。 运用z a d e h 的扩展原理m m 1 ，t y p e 一2 模糊集合j 和雪的并、交和补的运算如 下所示： 并：五u 秀营心。i ( 工) = 均 ) u 鳓( x ) = 【( 正( “) ( w ) ) vw ) ( 2 2 1 ) 交：五n 雪铮，自( x ) = 心( x ) 几心( x ) = 儿( 正( “) 岛( 以) w ) ( 2