（测试计量技术及仪器专业论文）FDTD在微带电路中的应用研究(2).pdf

摘要 论文研究了时域有限差分法( f d t d ) 在微带电路中的应用。主要分析了微带线 对信号传输的影响：简单讨论了两种处理含集总元件微带电路的f d t d 方法，同 时采用这些方法分析了几个实际的微带电路。 论文首先回顾了时域有限差分方法的基本原理，包括时域有限差分法的差分 方程、稳定性条件、数值色散特性、吸收边界条件以及三维空间中入射波的引入 方法。 其次，提出了失真系数这一新概念，并以此来衡量微带线对信号传输的影响。 同时分析了三种微带线：均匀微带线、阶梯微带线和拐角微带线。 最后，对于含集总元件的微带电路，本文给出了两种行之有效的f d t d 仿真方 法。第一种是扩展的f d t d 方法，包括等效电流源法和等效电压源法。在此基础上 讨论了各种不同尺寸元件的等效方法。第二种是f d t d 结合s p i c e 软件共同模拟微 带电路的方法。应用f d t d s p i c e 方法分析了p c b 板上微带电路对高速信号传输的 影响，并对电路作了简要的分析和讨论。通过不同实例的计算验证了各种算法的 有效性，其结果也为工程设计提供了参考。 关键词：时域有限差分法微带电路失真系数 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e dt h ea p p l i c a t i o no ff i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o d ( f d t d ) i nm i c r o s t r i pc i r c u i t s s i g n a lt r a n s m i s s i o ni nd i f f e r e n tm i c r o s t r i pl i n e sh a sb e e ns t u d i e d m a i n l y a tt h es a m et i m et w om e t h o d sb a s e do nf d t df o rm i c r o s t r i pc i r c u i t sw i t l l l u m p e de l e m e n t sh a v eb e e nd i s c u s s e db r i e f l ya n du s e df o ra n a l y z i n gs e v e r a lp r a c t i c a l c i r c u i t s f i r s to fa l l ，t h eb a s i cp r i n c i p l eo ff i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o dt h a tw a s c o m p o s e d o fd i f f e r e n c e e q u a t i o n s ，s t a b i l i t yc o n d i t i o n , n u m e r i c a ld i s p e r s i o n c h a r a c t e r i s t i c sa n da b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n sw a si n t r o d u c e da sw e l la st h e i m p o r t e de x c i t a t i o ni nt h r e e d i m e n s i o n a ls p a c e i na d d i t i o n ，t h es i g n a lt r a n s m i s s i o ni nd i f f e r e n tm i c r o s t r i pl i n e s ，s u c ha su n i f o r m m i c r o s t r i pl i n e ，l a d d e rm i c r o s t r i pl i n ea n dc o m e rm i c r o s t r i pl i n e ，w a sm e a s u r e db y d i s t o r t i o nc o e f f i c i e n tan e w c o n c e p ti nt h ep a p e r f i n a l l y , 咖e f f e c t i v ef d t dm e t h o d sf o rm i c r o s t r i pc i r c u i t sw i t hl u m p e de l e m e n t s w e r ep r e s e n t e d o n ew a se x t e n d e df d t di n c l u d i n gt h ee q u i v a l e n tc u r r e n ts o u r c e m e t h o da n dt h ee q u i v a l e n tv o l t a g es o u r c em e t h o d t h ee q u i v m e n tm e t h o d sf o r d i f f e r e n ts i z e se l e m e n t sw e r ed i s c u s s e db a s e do nt h ee x t e n d e df d t d t h eo t h e rw a s t h ec o m b i n a t i o no ff d t dw i t hs p i c e f d t d s p i c ew a su s e dt oa n a l y z et h e h i g h s p e e ds i g n a lt r a n s m i s s i o ni nt h em i c r o s t r i pc i r c u i t so fp c bb o a r dw h i c hw e r e a n a l y z e db r i e f l y t h ee f f e c t i v e n e s so f t h ea l g o r i t h m sw a sd e m o n s t r a t e dt h r o u g hs e v e r a l p r a c t i c a le x a m p l e s ，t h er e s u l t so fw h i c hc o u l dp r o v i d er e f e r e n c e s t oe n g i n e e r i n g d e s i g n k e y w o r d ：t i m ed o m a i nf i n i t ed i f f e r e n c em i c r o s t r i pc i r c u i t s d i s t o r t i o n c o e f f i c i e n t 西安电子科技大学 学位论文创新性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导 师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注 和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果； 也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明 并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：杰峰 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合 学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 篡：赞导师签名：! 竺! 竺日期兰! ! ! ：! ：! 第一章绪论 第一章绪论 1 1 时域有限差分法( f d t d ) 的发展 1 9 世纪m a x w e l l 把电场和磁场结合起来用一组方程表示b p m a x w e l l 方程组， 为科学史添上了辉煌的一笔。m a x w e l l 方程组地提出奠定了电磁场与电磁波研究的 基础，开创了现代电子信息科学的新时代。在m a x w e l l 方程组的基础上，科学家们 对电磁波地传输、辐射、散射等特性进行了研究，促使了以现代电磁学为基础的 新学科不断涌出。 在m a x w e l l 方程组的基础上，1 9 6 6 年k s y e e 发表了他的论文i l 】“n u m e r i c a l s o l m i o no fl m t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n v o l v i n gm a x w e l l 。se q u a t i o ni ni s o t r o p i c m e d i a ”，首先提出了时域有限差分( f i n i t e d i f f e r e n c e t i m e d o m a i nm e t h o d ) 基本思 想，他用后来被称为y e e 元胞的空间离散方式，把m a x w e l l 旋度方程转化为一组差 分方程，用数值的方法对电磁场问题进行分析，成功地模拟了电磁脉冲与理想导 体相互作用的时域响应。 由于当时计算机技术得相对落后，这种方法并未引起重视。1 9 7 2 年a t a f l o v e 在昏暗陈旧的技术图书馆书架上偶然发现了y e e 的文章，并成功地用于自己研究生 课程中的独立研究题目建立u h f 和微波对人类眼睛的穿透以了解“白内障”的成 因，使y e e 的时域有限差分法算法得到了应用和发展。 随后，r h o l l a n d ，k s k u n z 和k m l e e 把y e e 算法应用于电磁脉冲互动问题。 1 9 8 0 年，a l i e nt a f l o v e 在“a p p l i c a t i o no f t h ef i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o dt o s i n u s o i d a ls t e a d y s t a t ee l e c t r o m a g n e t i cp e n e t r a t i o np r o b l e m s ”文中【2 1 ，首次给出了 f d t d 这个缩略语，并验证了正弦电磁波入射于三维金属腔的f d t d 模型。1 9 8 2 ， 1 9 8 3 年，a l l e nt a f l o v e 和k r u m a s h a n k e r 第一次建立了二维和三维电磁散射问题的 f d t d 模型，确立了近远场变换和r c s 的计算方法。 8 0 年代后期，随着快速大容量计算机的普及，众多的专家学者借助先进的计 算机技术对f d t d 方法进行探索和改进，f d t d 法得到了不断完善和迅速发展，并 被广泛接受和应用。予变形网格和亚网格技术、非正交和广义正交曲线网格技术、 超吸收边界技术、色散吸收边界技术等新的处理方法和技术也不断涌现。1 9 9 0 年， 时域有限差分法首次被用来分析平面微带电路口j 结果非常成功。1 9 9 7 年，赵进、李 征帆利用时域有限差分法对带有网孔接地板的多芯片组件( m c m ) d p 互连线的电特 性进行了分析，并计算了等效电参数1 4 j 。 计算电磁学领域中有多种计算方法，如有限元方法( f e m ) 【5j 【6 】、矩量法 2 f d t d 在微带电路中的戍爿j 研究 ( m o m ) 【7 1 、传输线方法( t l m ) 【8 】、时域有限差分法( f d t d ) 1 9 】【0 1 1 “、边界元法 ( b e m ) j 2 1 。此外，在超高频领域中还有几何光学法和物理光学法。 时域有限差分法作为一种时域电磁场数值计算方法，与其他电磁学数值计算 方法相比较具有以下特点： ( 1 ) 直接时域计算。时域有限差分法直接把时域中的麦克斯韦旋度方程在y e e 氏网格空间中转换为差分方程。随着时间步地推进，能直接模拟电磁波地传播及 其与物体相互作用的过程。这种方法把各类问题都作为初值问题来处理，直接反 映电磁波的时域特性。直接给出电磁场问题的时域信息及物理过程的物理图像。 由于时域有限差分法直接计算电磁系统的脉冲响应，因此，一次f d t d 仿真可以提 供超宽带的瞬时波形或者在激励频谱内的任何频率上的正弦稳态响应。同时，作 为一种时域方法，时域有限差分法可以直接计算电磁系统的非线性响应。 ( 2 ) 广泛的适用性。由于时域有限差分法直接从麦克斯韦方程组出发，因此具 有广泛的适用性。在计算时，只需给出相应空间点适当的媒质参数，就可模拟各 种复杂的电磁结构，例如，无需计算随着结构变化的格林函数。对于具有非均匀 性、各向异性、色散特性和非线性等性能的媒质均能进行精确模拟。 ( 3 ) 节约存储空间和计算时间。现代电子计算机内存容量得迅速增加，积极地 推动了所有数值技术的发展，同样也推动了时域有限差分法的应用。时域有限差 分法中需要存储的变量及参量一般与空问网格总数n 成正比，计算时所需的主要计 算时间也是与网格总数n 成正比。因此，当n 很大时，时域有限差分法往往是更合 适的方法。而且，随着r - f d t d l l 3 1 1 4 1 ，a d i f d t d t ”1 等新方法的出现，分别更进一 步的节省了计算时问和存储空间。 ( 4 ) 适合并行计算。时域有限差分法的计算特点是每一个网格点上的电场( 或磁 场) 只与其周围相邻网格点处的磁场( 或电场) 及其上一时间步的场有关，这使得它 特别适合并行计算【1 6 l 。因此，时域有限差分法将随着并行计算机的发展而变得越 来越重要。 ( 5 ) 计算程序的通用性。由于麦克斯韦方程组是时域有限差分法计算任何问题 的数学模型，因而它的基本差分方程对广泛的问题是不变的。此外，吸收边界条 件和连接条件对很多问题是可以通用的，而计算对象的模拟是通过给网格赋予参 数来实现的。以上各部分没有直接的联系。因此一个基础的时域有限差分法计算 程序，对广泛的电磁场问题具有通用性。 ( 6 ) 简单、直观、容易掌握。由于时域有限差分法直接从麦克斯韦方程出发， 不需要任何导出方程，这样就避免了使用更多的数学工具，使得它成为所有电磁 场的计算方法中最简堕的一种。其次，由于它能直接在时域中模拟电磁波的传播 及其与物体作用的物理过程，并且随着现代电子计算机可视化能力的迅速提高， 给时域有限差分法带来的突出的优点是时域有限差分法产生的场分量阵列可以用 第一章绪论 彩色的视频来表征，随着时间的步进，使我们能看到场的动态变化。所以时域有 限差分法是一种非常直观的方法。由于它既简单又直观，就易于掌握。只要有电 磁场的基本理论知识，就可以学习运用这一方法解决很复杂的电磁场问题。 由于时域有限差分法具有这些非常突出的优点，越来越受专家学者的青睐， 使之成为计算电磁学领域发展最快的方法之一。时域有限差分法得日趋成熟，为 电磁理论和工程界提供了强有力的分析工具，它能解决传统方法不能分析的电磁 现象，可以比较方便而且精确地预测实际工程中的大量复杂电磁问题，它不仅在 电磁散射，电磁兼容预测，生物电磁学中得到了卓有成效的应用，而且在天线， 微波技术等应用中愈益受到重视，应用范围涉及几乎所有电磁领域，并成为分析 大部分实际电磁问题的首选方法。进入2 l 世纪，由蜂窝电话、计算机到激光、光 子电路所引起的关键的电子工程技术的革新以及相关的电子工艺技术的发展，对 高速集成电路提出了越来越高的要求，在集成电路的设计中需要高度精确的模型。 所有这些都要求对电路结构进行更严格准确的分析，提供更精确丰富的信息，从 物理上加深认识。为了达到这些目的，传统的电磁场频域分析方法在很多方面已 不能满足要求，需要直接的时域分析方法。作为直接时域分析的时域有限差分法 在这方面具有突出的优越性。同时，f d t d 与计算机技术的紧密结合也促使各种基 于时域有限差分方法的商业软件不断出现，功能也日益完善，例如：x f d t d 软件 1 1 7 1 、a u t om e s h 软件包i 引、ac o n f o r m a lf d t ds o f t w a r ep a c k a g e 软件包【1 9 】。相信今 后时域有限差分方法仍将是计算电磁学的研究热点。 1 2 微带电路的f d t d 分析背景 微带电路是移动通信、卫星通信、雷达、导航、电子对抗、微波遥感、空间 技术以及高频测试仪器的基础，它以小型，轻量，耗能少，可靠性高等优势在微 波领域显示出强大的生命力。在分析和模拟微带电路时，大部分应用于微带电路 的商业设计工具都是在电路方法的基础上，通过把电路分成若干个小元素，然后 把每个元素的特性叠加起来获得整个系统的特性，人为忽略了电磁影响频率越高， 微带电路中的电磁现象越严重，用商业设计工具分析和模拟微带电路时得到的误 差就越大。而全波分析方法就包含了电磁影响，因为它在求解m a x w e l l 方程的过程 中考虑到了电磁波和电路元件之间的相互作用。在所有全波分析方法中，f d t d 方 法以其计算的有效性，精确性和易于理解等优势成为了一种颇受欢迎的电磁模拟 方法。 在用f d t d 方法模拟微带电路时，在微带线存在的区域罩，使用传统的f d t d 迭代公式；在集总元件的区域中，可使器件的物理模型、扩展f d t d 方法和集总电 路模型。在计算集总元件方面这三种方法各有特点：器件的物理模型方法要求器 4 f d t d 在微带电路中的应用研究 件区域的网格尺寸远小于电路其他区域的网格尺寸，从而导致了计算机内存有限 和不均匀网格。扩展f d t d 方法虽然可以模拟所有的器件，但是在模拟二极管时需 要用牛顿方法去解超越方程，在模拟晶体管时需要用牛顿拉夫森方法去解耦合超 越方程组，这些无疑增加了计算的困难。f d t d s p i c e 方法最直接地把集总电路模 型放在器件的区域，再把集总电路的内部节点和f d t d 的网格匹配起来。每一个电 路元件作为一个二维元件放置在一个f d t d 网格的一条边上，但是对于复杂的多端 口器件，这种方法无法分析。 随着现代微电子技术的迅猛发展，分立元件正在逐渐被集成芯片所代替，工 作信号的频率也早已达到微波频段。元件与互联线之间间距的不断缩小，传输信 号的速率却在不断提高，这预示着传统数字电路中把电磁辐射作为寄生现象来分 析的方法己经不再适用。高速p c b 板上互联线的电磁辐射效应以及电磁波在信号 线中的传输效应变的不可忽略。各种电磁场数值计算方法正在成为分析电磁信号 传输的重要手段，时域有限差分以其高精度的数值解且对各种结构普遍适应性好 的优势正在越来越多得应用于此类问题的分析。 1 3 本文的主要工作及章节安排 本文主要是用y e e 的f d t d 方法分析了组成微带电路的基本微带线对信号传输 的影响，同时用f d t d 扩展方法分析了微带线端接负载的情况，用f d t d s p i c e 方 法分析了微带混合电路。 第一章简单讨论了时域有限差分法产生的背景、发展历史和应用领域，并介绍了 f d t d 在微带电路分析方面的应用状况。 第二章描述了f d t d 方法的基本原理。给出了f d t d 的基本差分迭代方程，简 单讨论了色散控制和数值稳定性；着重分析了f d t d 方法中的吸收边界 技术，给出了比较常用的几种吸收边界方程，包括m u r 吸收边界、完全 匹配层吸收边界( p m l ) 以及各向异性的完全匹配层吸收边界( u p m l ) 。 第三章讨论了在用f d t d 方法仿真时激励源的设置技术。提出了失真系数这一 概念来衡量微带线对信号传输的影响。在第二章f d t d 基本理论的基础 上，讨论了导带宽度，导带形状，介质板厚度，介质板材料等因素对微带 线传输信号的影响。本章讨论了三种基本微带线，均匀微带线、阶梯微带 线和拐角微带线。 第四章主要讨论了f d t d 扩展算法，包括等效电压源法和等效电流源法。其可 用于计算包含集总元件的微带电路，本章分析了微带线端接负载时在时域 中的输出波形。 第五章介绍了分析包含集总元件微带电路的另一种方法，f d t d s p i c e 方法。给 第一章绪论 出了f d t d s p i c e 的基本原理和计算步骤。并运用f d t d s p i c e 方法分 析p c b 板上微带混合电路对高速信号传输的影响。 第二章时域有限著分法 7 第二章时域有限差分法 本章论述了时域有限差分法( f d t d ) 的基本知识，从时域m a x w e l l 方程出发， 在基本y e e 元胞的基础之上，采用中心差分近似代替时间和空间导数，获得时域 有限差分方程。对数值稳定性条件，数值色散特性等时域有限差分法的数值理论 进行了讨论。简要地讨论了如何处理计算区域截断边界的问题，其中包括m u r 吸 收边界、完全匹配层( p m l ) g 及t 收边界以及各向异性完全匹配层( u p m l ) 1 0 f l t 收边界。 2 1f d t d 的基本原理 电磁场的分析和计算实质上都可以归纳为在特定边界条件下m a x w e l l 方程的 求解问题。时域有限差分法直接从m a x w e l l 旋度方程出发，用具有相同电磁特性的 y e e 元胞对所计算空间进行离散化，采用中心差分替代m a x w e l l 旋度方程中时间和 空间变量的微分格式，在选取合适的场量初始值、选取合适的吸收边界、并且满 足数值稳定性条件和数值色散特性的情况下，在时间轴上逐步推进求解空间电磁 场分布，从而模拟出电磁波的传播及其与物体的相互作用。 时域m a x w e l l 旋度方程的一般表示形式为 v x 詹= 詈+ 7 ( 2 - 1 ) v 豆= 一娑一无 ( 2 2 ) 叫 其中，雷为电场强度，单位为伏特米( v m ) ；西为电通量密度，单位为 库仑米2 ( c m 2 ) ；疗为磁场强度，单位为安培米( a m ) ：雪为磁通量密度， 单位为韦伯米2 ( w b m 2 ) ；7 为电流密度，单位为安培米2 ( a m 2 ) ：无为磁流 密度，单位为伏特米2 ( v m 2 ) 。 各向同性线性介质中的本构关系为 d = c e ，b = i t h ，j = e r e ，厶= 日 ( 2 3 ) 其中，p 表示介质介电系数，单位为法拉米( f m ) ；表示磁导系数，单位为 亨利米( 日m ) ；矿表示电导率，单位为西门子米( s m ) ；吒表示导磁率，单 位为欧姆米( f 2 m ) 。真空中盯= 0 ，o m = 0 ，c = s o = 8 8 5 x 1 0 1 2 f m ， u = i t o = 4 x x l 0 h | m 。 对于各向同性媒质，占，盯，o m 是标量，而对于各向异性媒质，它们是 娄苎二翌三黧簧媒质，它们是常量，而对于非均匀媒质，它们的取值随着空间位 置的变化而变化。 1 “ 在直角坐标系中，式( 2 i ) 、式( 2 2 ) 可写为 等一警= 占等+ 噶陋4 a )砂出。西x 【z 警一警= 鲁竹目。：删如苏。国， 【2 4 b ) 警一等= 学蛾 g 4 c )i 一言钉言竹e ( 2 丝o y 一誓= 叫警一吒皿 ( 2 s a )一一i 2 叫言一吒皿 ( 2 警一慧叫确- - g - y 飞h y 1 2 5 b )i 一言2 叫。月， ( 2 - 誓一等= 一_ 警一皿 5 c ) 。x a v甜 “一l ： q 。 。垄了警上述公式在空间和时间上离散化，计算空间首先必须用y e e 元胞进行立 至坌型，兰号誊蛩时域有限差分的关键，电磁场的六个分量在空间的取样点棼； 放置在立方体的边沿上和表面中心点处，如图2 1 所示。 。 图2 1f d t d 离散中的y 如元胞 一从图2l中可以看出，各个电磁分量配置在yee元胞的特殊位置上：电场分量位i：1 于元肥1 仪心v 4 - , 岫、并且平行于棱边，每个电场分量由四个磁场分量环绕：；磊芬 第一二章时域有限差分法 9 量位于元胞表面中心并且垂直于这个面i 每个磁场分量又由四个电场分量环绕着。 这种在空间内电场分量和磁场分量始终相差半个空间步长的取样方式不仅是符合 法拉第感应定律和安培环路定律的自然结构，而且这种电磁场分量的空间相对位 置也适应于m a x w e l l 方程的差分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。此外， 电场和磁场在时间顺序上交替抽样，抽样时间间隔彼此相差半个步长，使m a x w e l l 旋度方程离散以后构成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解，而不需要进 行矩阵求逆运算。因而，由给定相应电磁问题的初始值，f d t d 方法可以逐步推进 地求得以后各个时刻空间电磁场的分布。 令f ( x ，y ，z ，f ) 代表豆或豆在直角坐标系中的某一分量，在时间和空间域中的 离散，取以下符号表示： f ( x ，y ，z ，) = f ( i a x ，- ，缈，k a z ，n a t ) = f ”( f ，j ，七) ( 2 6 ) 其中，血，缈，& 分别表示在x ，y ，z 方向的空间步长，f 表示时间步长，i ， i ，k ，n 均为整数。 g c s f ( x ，y ，z ，t ) 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，即 掣l 。竺攀垫 堑唑型! l 。坐! ：塑二坐! 二塑 西 1 ，：j 时 弩 盥型! i 。坐竺：芝二坐! ：! 二皇 o z i ：t a z 望! 兰：! ! 型i。垫! 盟二：塑：丛! a t i ， ( 2 7 ) e n + l ( f + 互1 ，七) = c a 鬈( f + j 1 ，后) 一 型一 ( 2 8 a ) ! ! 里! 里垄垡堂皇堕主塑生旦婴窒 髟n + l ( f ，+ j 1 ，| i ) = c a 髟( f ，+ j 1 ，i i ) + c 口i h + 2 ( i , j + 1 ；k + l ；) _ h + 2 ( ij + ；l - , k - 1 ；) l 止 一一a x l ( 2 8 b ) 彰“( “，尼+ j 1 ) = c a e ( “，尼+ 争 一1 1 - + 1 2 羔1 兰, 1 v 2 型1 1 1 缸 一竺坐雩竺挝i 陋。， 彤“2 ( f ，+ j 1 ，七+ 三) = c p 彤。”( “+ j 1 ，j i + 圭) j 姆f 型竺掣 一一a z i 矿2 ( f + 砂1 后+ j 1 ) = c p ，2 ( ，+ 扣j i + 三) 一c 9 一 一一a x i 矽2 ( f + 互i ，_ ，+ j 1 ，七) = c p 7 2 ( f + j 1 ，_ ，十秒1 f 2 8 d ) f 2 8 e ) 第二二章时域有限著分法 其中， 删 竺学业 2 占一础 c a = 竺! 竺 c b ：! 竺 2 占+ c r z x t c p = = 2 j * - c r t x t ( 2 8 0 f 2 9 a ) ( 2 9 b ) ( 2 9 c ) c q 2 丽2 a t ( 2 - 9 d ) 若计算空间含非均匀介质，则式( 2 9 ) 中各系数将不会再是一个常数，而是计 算电磁分量所在的网格节点处电磁系数f ( f ，七) ，( f ，j ，k ) ，o - ( i ，k ) ，吒( f ，k ) 的函数。c a ，c b ，c p ，c q 会随着空间离散节点的不同而取不同的值。 上述时域有限差分方程表明，任意时刻的电场分量取决于媒质、上一时间步 的电场分量和环绕于四周的半个时间步前的磁场分量。同理，任意时刻的磁场分 量取决于媒质、上一时间步的磁场分量和环绕于四周的半个时间步前的电场分量。 由于采用了中心差分近似，时域有限差分方程在空间和时间上具有二阶精度。作 为时域方法，时域有限差分法把所有研究的电磁问题作为初值问题，初始值已知 的情况下，就可以用蛙跳的方式迭代方程组( 2 8 ) ，在时自j 上逐步向前推进地求解 电场和磁场分量。随着时间的发展，在有限的计算区域内，连续地在时间和空间 上离散、取样、计算电磁场分量，这样就可以近似地模拟实际连续电磁波的传播 及其与媒质的相互作用。 2 2f d t d 的数值稳定条件 作为一种数值方法，为了使计算结果稳定、可靠，必须满足一定条件，因此 稳定性和收敛性对时域有限差分法至关重要。所谓收敛性是指当离散间隔趋于零 时，差分方程的解在空间任意一点和任意时刻都一致趋于原问题的真实解。所谓 稳定性是指寻求一种离散间隔所满足的条件，在此条件下差分方程的数值解与原 旦 ! 望! 里垄垡堂皇堕主堕窒旦婴塞 方程的严格解之间的差为有界。 f d l d 方法是以一组有限差分方程来代替m a ) 【w e l l 方程，即以差分方程组的解 来代替原来电磁场偏微分方程组的解。只有离散后差分方程组的解是收敛和稳定 的，这种代替才有意义。 对于电磁场的任一分量厂( 工，y ，z ，t ) ，其对时间的微分可以构成本征值方程 券= ，国厂 ( 2 1 0 ) 对式( 2 一l o ) 进行差分代替，得 f + l 2 一 - 1 2 上了一= ，珊广 ( 2 1 1 ) f 。 式中厂”= 厂( x ，y ，z ，n 2 s t ) ，a t 为时间间隔。 g = f - f ”“2 ，代入式( 2 1 1 ) ，解得 g = 学士 当缸足够小时，定义增长因子 ( 2 - 1 2 ) 数值稳定性要求增长因子l ，根据式( 2 1 2 ) ，满足引- 1 的充分条件为 coatl(2-13)2 缸； ( 2 1 4 ) 脊+ 脊+ 莆手。仁柳( 等) 2( 笥。( 等 2 ，“ 毕“ c r ( 2 1 6 ) 式( 2 - 1 6 ) 给出了空间和时日j 离散间隔之间应当满足的关系，对于给定的空间步 长，存在最大的时间步长。如果空间步长满足缸= 缈= 业= 占，稳定条件可以简 化为c f 占j 。以上的稳定性条件即称为c o u r 柚t 稳定性条件【6 】，只适用于直角 坐标系中基本y e e 算法，当需要考虑其他一些情况时，例如有耗色散非线性及增益 材料时，上述稳定性准则不一定成立。而且必须注意c o u 瑚t 稳定性条件只是充分 第一二章时域有限筹分法 条件，不是必要条件。换句话说，c o u r a n t 稳定性条件不满足时，数值解可能是稳 定的。 2 3f d t d 的数值色散特性 平面电磁波在自由空间传播时，电磁波的相速与频率无关，然而采用时域有 限差分法在数值空间对电磁问题进行模拟时，f d t d 算法所模拟的计算网格中的波 模式会发生色散，即在时域有限差分网格中，数值电磁波模式的相速度可能不同 于光速c 。数值波模式的传播速度不仅与频率有关，即与空间网格尺寸有关，还与 波传播方向有关。这种色散不同于实际物理色散，故称为数值色散。数值色散将 导致脉冲波形畸变、人为的各向异性及虚假的折射现象，还将直接影响计算结果 的精度。因此，数值色散是时域有限差分法必须考虑的一个因素，下面将简单推 导数值色散方程。 在均匀、无耗、各向同性的媒质中，单色平面电磁波分量的一般表示式为： f ( x ，y ，z ，f ) = 五p 7 似坼嘭吨7 ( 2 1 7 ) 把式( 2 1 7 ) 代x 至i j f d t d 的差分方程( 2 8 ) 中，得到三维时域有限差分法的数值 色散关系为： ( 去) 2 s i n 2 ( 竽) = 百1s ；n 2 ( 竽) + 古s i n 2 竽) + 虿1s 群( 竽 c z 郴， 由解析方法我们可以得到平面波在无耗介质中传播的色散关系为： f 竺1 = + 后，2 + 乜2 ( 2 1 9 ) c 显然，只有缸，缈，业，血均趋于零时，式( 2 - 1 8 ) 7 j 。和式( 2 - 1 9 ) 相等。这说 明f d t d 计算中对空间和时自j 的离散势必带来数值色散效应。 为减小数值色散误差对计算精度的影响，空间步长和时间步长必须满足一定 的制约关系，一般要求： 肋( 缸，缈，业) o 区域内的入射波和反射波 设x = o 平面为截断边界，如图2 2 所示，在x o 区域中有： f 2 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 第一二章时域有限筹分法 f ( x , y ，) = 4 e x p 【_ ，( 耐+ j i f 二西+ y ) 】+ 4 e x p j ( 国t 一j i 弓+ y ) 】( 2 - 2 3 ) 引入微分算子， 三2 万7 - + ( 七2 一髟) ( 2 - 2 4 ) 式( 2 - 2 1 ) 可写成= o ，因式分解得 ， l t f = 0( 2 - 2 5 ) 其中t = 昙+ ，扩了，t = 昙一_ ，庐了。t 称为右行波算子，t 称为左行 波算子。 经推导证明，若在截断边界处设置条件 l _ i i 。= 0 ( 2 - 2 6 ) 相当于使截断边界工= 0 处的右行波，即反射波成分等于零。也就相当于使传播到 x = 0 边界上的波无反射的通过。同理可得，在截断边界x = x 一处设置 l f l ，：。2 0 。 对于微分算子l ，t ，由于存在根式计算，直接用于数值计算是比较困难的。 取它i j 勺t a y l o r 级数近似： f 1一阶近似 瓜2 二阶近似 q 。2 7 在边界处取式( 2 2 7 ) 的一阶近似作为不产生反射波的吸收边界条件，便是m u r 一阶近似吸收边界条件，取二阶近似便是m t t r - - 阶近似吸收边界条件。 对于x = 0 边界，取一阶t a y l o r j 丘似，用差分近似代替微分计算，整理得m u r 的一阶吸收边界条件： 厂”+ 1 ( o ，) = 厂“( 1 ，) + ；：；- j 尝【厂”+ 1 ( 1 ，) 厂”( o ，j ) l ( 2 2 8 ) 同理可求得z = 、时，m u r 的一阶吸收边界条件。 对于z = 0 边界，取二阶t a y l o r 近似，用差分近似代替微分计算，得m u r l 拘- - 阶 吸收边界条件： 厂”+ 1 ( o ，) = 一厂”一1 ( 1 ，) + ； ；。j 去【”+ 1 ( 1 ，) + 厂”一1 ( o ，) 】 + i 五2 鬲a x i 厂”( o ，卅厂”( 1 ，朋 1 6 f d t d 在微带电路中的应用研究 + 五i ：；( c 户a i t ：) j 2 j a 雨x 【_ ，”( 。，_ ，+ 1 ) 一2 ，”( 。，) + ”( 。，一1 ) + ，”( 1 ，j + 1 ) 一2 f ”( 1 ，) + f ”( 1 ，一1 ) 】 ( 2 - 2 9 ) 同理可求得x = 。时，m u r 的二阶吸收边界条件。 2 4 2b e r e n g e r 完全匹配层( p m l ) 完全匹配层( p e r f e c t l y m a t c h e d l a y e r , p m l ) 首先f l ：l b e r e n g e r ( 1 9 9 4 年) 提出，它通 过在f d t d 计算区域的截断边界处设置一种特殊介质层，该层介质的波阻抗与相邻 介质的波阻抗完全匹配，因而入射波将无反射的通过分界面进入p m l 层。而p m l 层是有耗介质，进入p m l 层的透射波将迅速衰减，即使在p m l 层为有限厚度时， 入射波也会被很好的吸收。 b e r e n g e r 完全匹配层( p m l ) 方法又被称为分裂场方法，我们以二维空间的t e 波 为例介绍p m l 吸收边界的原理。 二维的t e 波在直角坐标系中自由空间的麦克斯韦方程为 岛冬：譬 ( 2 3 0 a )岛_ = _ 【2 岛要：一i o h z ( 2 - 3 0 b ) 岛i i 誓一筝c o = 嗍孥o t ， ( 2 - 3 0 c ) 盘 在p m l 介质中，b e r c n g e r 假设将磁场分量皿分裂为两个子分量比和如，且 只= 比+ 比，进而将式( 2 3 0 ) 改写为 岛鲁+ 巳e = 丝岩 ( 2 - 3 ，a ) 晶堡+ 喁：一旦坠型( 2 - 3 l b ) 岛詈+ q 髟一二铲 譬+ 比：一誓( 2 - 3 1 c ) 言+ 爿a 一言 风等+ 如= 等 ( 2 - 3 l d ) 其中盯，o r 。为介质的电导率，o n t r ，靠为介质的磁导率，描述t p m l 介质的各 第二章时域有限差分法 1 7 向异性。当吒= 巳= = = o 时，式( 2 3 1 ) 就变为式( 2 3 0 ) 。如果q = c r y = 盯， = = c r ，则p m l 介质就成为普通的有耗介质。 界面 p m l ( o l o - i ，o - , ，q w ) p m l ( a 2 ，口2 。，0 2 ，吒。) t 一日 亏 j = 0 怪d 2 3p m l p m l 介质分界面 在p m l 介质中，一个重要的基本条件是阻抗匹配条件： 三一! r 卫 ( 2 3 2 ) 岛胁 如果平面波在p m l p m l 介质分界面上传播时，如图2 3 ，反射系数为零的条件可归 纳为： ( 1 ) 若分界面垂直于x 轴，要求两者具有相同的横向电导率和磁导率( 盯，) ，j 且横向和纵向电导率、磁导率均满足式( 2 3 2 ) 。 对于其中一种介质是真空，上述结论依然成立，可以把真空看作是电导率和 磁导率参数为( 0 ，0 ，0 ，0 ) 的介质。界面另一侧匹配介质参数为( 吒，0 ，0 ) ，且吒， o r 槲满足式( 2 - 3 2 ) 。 若- - 倾j j p m l 介质参数为( o ，0 ，盯，。) ，则界面另- - n 匹配介质参数为 ( 吒，d k ，盯。，) ，且横向和纵向电导率、磁导率均满足式( 2 - 3 2 ) 。 ( 2 ) 若分界面垂直于x 轴，要求两者具有相同的横向电导率和磁导率( 以，d k ) ， 且横向和纵向电导率、磁导率均满足式( 2 3 2 ) 。 对于其中一种介质是真空，上述结论依然成立，可以把真空看作是电导率和 磁导率参数为( 0 ，0 ，0 ，0 ) 的介质。界面另一侧匹配介质参数为( o ，0 ，口，) ，且盯， ，满足式( 2 3 2 ) 。 若一侧p m l 介质参数为( q ，0 ，0 ) ，则界面另一侧匹配介质参数为 ( q ，d _ 舭，仃。，) ，且横向和纵向电导率、磁导率均满足式( 2 3 2 ) 。 以上分析是以二维空间的t e 波为例，介绍了理想匹配层( p m l ) 吸收边界的基 本原理。下边给出三维空间的基本公式和差分格式。 在三维p m l 介质中，每个场分量分解为两个子分量，通常波方程中的6 个场分 量在p m l 介质中分解为1 2 个子分量记为，k ，e 。，吃，毛，也， 1 8 f d t d 在微带电路中的应用研究 j 乙，q 。，日。，f ，。在p m l 介质中m a x w e l l 方程的差分格式为： 彤+ j 1 ，舭) = 哟嘭( f + 三_ j j ) 霹1 ( “j 1 ，i i ) = c a 和吃n ( f + j 1 ，后) 锄：鲨：哇：竺墨二鲨堕：竺二垫一c 瑟- l 兰董l 一! + 争彤”c ，+ 一争 一c 侥l 兰互 彤1 ( f ，_ ，+ 互1 ，后) = c a 和舷( f ，_ ，+ j 1 ，j ) + c b z 竺竺：! ：三：! ：皇二竺竺：! ：i ：! 二芝 + c b z 竺竺：生：! 生二竺竺：! ：兰：! 二皇 写l ( f + j 1 ，七) = 幽啄( f ，+ i 1 ，j i ) 硼。竺竺吾+ 扣一”c ，一三+ 扣 一c b k - l 生l l 一 儒啄”( z + 扣一啄”扣扣 一c b x _ l 生l 一 霹w ，m + 吾) = c 胁e ( f ，舻+ 丢) ( 2 - 3 3 a ) ( 2 - 3 3 ” 佗一3 3 c ) ( 2 3 3 d ) + 慨! 生丛罢蚪弘。，。， 第