（基础数学专业论文）量子环面上斜导子李代数模的导子.pdf

量子环面上斜导子李代数模的导子 i i i 摘要 记l 。为两个变量的量子环面上的s k e w 导子李代数文【l t l 】中构造了族从 特殊线性李代数s f 。一模v 到l 。一模的函子碍，给出曰) 的结构的完整刻划； 然后证明了下述结论：对任意有限维s l 。一模y 和，如果q 是p 次本原单位根， 那么l 。一模蠕( 矿) 与碟( ) 同构的充要条件是 n p r ，9 2 ( s ) 三，( n p ，s ) g l ( s ) ，vs r 而且s 1 2 一模y 与w 同构当q 不是单位根时，工。就是口类似v i r a s o r o - l i k e 代数本 文第三章从另个角度，直接由维向量空间y 构造了一类q 类似v i r a s o r o - l i k e 代 数工。一模m ( q a 2 ) ，并刻画了m ( 0 ，0 1 f n 2 ) 的结构，同时还给出了模m ( n 2 ) 的导子，以及一上同调群h - ( l 。，m ( “，n 。) ) 当q 是p 次本原单位根时，本文第 四章给出了文 l t l 中的模譬) 的导子，以及一上同调群h 1 ( l 。，四( y ) ) 关键词：s k e w 导子李代数、q 类似v i r a s o r o - l i k e 代数、模的导子 量子环面上斜导子李代数模的导子 a b s t r a c t d e n o t et h es k e wd e r i v a t i o nl i ea l g e b r ao v e rt h er a n k2q u a n t u r nt o r u sb y k i n l t l ，t h ea u t h o r sc o n s t r u c t e dac l a s so ff l m c t o r s 譬f r o ms 1 2 一m o d u l e s t ol q - m o d u l e s t h e ys t u d i e dt h es t r u c t u r eo fl q - m o d u l e s 四a n dg i v e da n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fi s o m o r p h i s mb e t w e e nt h el g - m o d u l e s 喀( v ) a n d 碟( w ) i fq i sn o tar o o to fu n i t y , t h e nl qi saq - a n a l o go f t h ev i r a s o r o - l i k ea l g e b r a i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s t r u c tac l a s so fm o d u l e s m ( a l ，a l ，a 2 ) o ft h eq - a n a l o gv i r a s o r o - l i k ea l g e b r aa n ds t u d yt h es t r u c t u r eo f t h em o d u l e sm ( q ，a l ，a 2 ) i nc h a p t e rf o u r ，w es t u d yt h ed e r i v a t i o n sf r o ml 口 t ol q - m o d u l e s 露( v ) a n dg i v et h ef i r s tc o h o m o l o g yg r o u ph 1 ( k ，f 2 ( y ) ) ， w h e r eqi sap - t hr o o to fu n i t y k e y w o r d s ：s k e w d e r i v a t i o nl i ea l g e b r a ，q - a n a l o gv i r a s o r o - l i k ea l g e b r a ，d e r i v a - t i o n so fam o d u l e 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸 质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密 的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 l 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“”) 作者签名：、良贸球日期：加。已年r 月，6 日 导师签名：日期：年月日 量子环面上斜导子李代数模的导子 第一章引言 李代数出现于1 9 世纪末，最初是作为研究李群的代数工具而引进的所谓李 群就是可微分的群或者连续变换群李群理论是1 8 7 0 年左右挪威数学家l m 在研 究微分方程的积分曲线族在什么变换下不变时发现并且建立起来的，其最初的想 法是试图对于微分方程建立起个与g m o i s 理论类似的理论微分的基本想法就 是在无穷小的层面上的线性化，因此可以自然地想到李群的结构应该具有它的线 性化所得的一种“无穷小群”的结构，这就是l i e 在可微分的群的结构理论上的 重大成就；他认识到关于可微群的大量信息已被包含在它的“群的无穷小变换” 的代数中，而且这种代数做为线性对象在许多方面都比可微群自身更容易研究 当时人们使用“群的无穷小变换”和“无穷小群”等术语来称呼这种数理模型 大约在1 9 3 4 年w 刚把这种数理模型叫做李代数，而李群理论第个近代化的叙 述则是由邦德列雅金于1 9 3 8 年给出的。 在研究有限维复半单李代数的结构和表示的过程中，k i l l i n g 第一个给出有限 维复单李代数的分类；c a r t a n 进一步研究了复半单李代数的结构，而且他还对它 们的有限维不可约表示进行了分类，并且证明了：有限维复半单李代数的一个不 可约表示是有限维的当且仅当它是以支配整权为其最高权的最高权表示；w e y l 进 步发展了k i l f i n g _ c ”t a n 理论并且得到了复半单李代数的有限维不可约表示的特 征标公式及有限维表示的完全可约性定理，他还提出并研究了紧半单李群的类 特殊的无穷维表示一正则表示，该表示包含了c 8 r t a n 分类中的所有表示； 1 9 4 8 年c h e 1 1 e v 在* c o m p t e 8r e n d u s8 上发表了一篇短文这篇短文不仅包含了c ”t a n 关于有限维复半单李代数表示的上述定理的统一的代数证明，而且还提出了许多 重要的概念，这些概念成为2 0 年后出现的k ”- m o o d y 代数的基本概念；1 9 6 6 年 j p s e “e 进步证明并给出了有限维复半单李代数的统一实现 在研究有限维李代数的同时，数学家们也开始对无穷维李代数的研充在1 9 6 8 年v k a c 和r m o o d y 各自独立地引入了k a c - m o o d y 代数k a c - m o o d y 代数是近 代数学中发展极为迅速的一个分支近年来，k a c - m o o d y 代数引起了许多数学家 和数学物理学家的关注，这主要是因为k ”一m o o d y 代数与许多不同的数学和物理 分支有着紧密的联系，它在d u mr e s o u r c em o d e l 中，在孤立子理论、k d v 方程和 第一章引言 2 其它可积系统的构造等方面有许多的应用 在无穷维李代数中v i r a s o r o 代数是另一类非常重要的代数从数学的角度来 看，v i r a s o r o 代数不外是单变量的罗朗多项式环上的导子李代数的泛中心扩张 单变量的罗朗多项式环上的导子李代数也被称为w i t t 代数，它可看成是圆周上的 微分同胚所构成的群w i t t 代数与v i r a s o r o 代数在物理学的许多分支中都扮演着 极其重要的角色v h - a s o r o 代数的表示理论已得到了非常详细的研究( 见i ( r 1 ) ， 在【m 1 】中m a t h i e u 给出了它的h a r i s h - c h a n d r a 模的分类v i r a s o r o 代数的表示在 顶点算子代数理论以及对m o n s t e rg r o u p 的研究中也扮演着极其重要的角色，它在 理论物理中的d u a lr e s o n a n c em o d e l 和共形场理论中也有许多重要应用因此，在 上个世纪六十年代，理论物理学家就对它进行了大量的研究，并发现它隐含在任 何具有共形不变量的2 维时空理论中，【f m s 中的第1 3 章到第1 8 章详细解释了 物理学与v i r a s o r o 代数和仿射k a c - m o o d y 李代数的表示理论之间的关系 在量子群研究工作的推动下，人们也对量子环面c 。及其导子李代数d e r ( c 。) 进行了研究1 9 9 4 年，k i r k m a n 等人研究了2 秩量子环面在q 为g e n e r i c 的情形下 内导子李代数的结构，并发现了它与d e r a 的一类李子代数( v i r a s o r o - l i k e 代数) 之间的关系，并把他所研究的代数称为q 类似v i r a s o r o - l i k e 代数证明了这两种李 代数都存在非平凡的中心扩张事实上，所谓v i r a s o r o - l i k e 代数也被称为b l o c k 代 数，在 b 1 1 】、【a 】和 d jz 】中都对它进行过研究由此可见，量子环面的导子李代 数与v i r a s o r o 代数的推广存在着密切的联系另一方面，由b e r m a n 、部云等人对 e a l a s 的结构和分类的研究工作所获得的成果，人们发现d e r ( c 。) 与e a l a s 的结 构和表示也产生了深刻的联系b e r m a n 、郜云等人还成功地构造出以c 。为坐标 代数的e a l a s 的主表示和齐次表示( 见 b s 】，【g 1 】和f g 2 】) ；在他们的构造方法 中也可看出构造d e r ( c 。) 模的重要性这些事实进一步说明了对c 。和d e r ( c 。) 的 结构和表示的研究具有重要的理论价值此外，j o r d a n 代数的导子李代数的表示 在t k k 代数的表示的构造中也有重要的作用( 见f t 2 1 ) ，而量子环面的导子李代 数中又包含了t k k 代数的导子李代数为其特例但是，对d e r ( c 。) 的结构特别是 它的表示的已有研究结果却比较少，而且这些结果主要都集中在研究2 秩且q 是 g e n e r i c 的情形下的诱导模方面赵开明和张贺春在文( 【z z ) 中显式地构造了q 一类 似v i r a s o r o l i k e 代数( 即两个变量的量子环面在q 不是单位根时的内导子所构成的 第一章引言3 李代数) 上分次空间维数不大于1 的z z 分次9 3 t - 研究了它的结构和性质 注意到量子环面包含了多变量的交换环面为其特例，而v i r a s o r o 代数克际e 可看成单变量的环面上的导子李代数( w i t t 代数) 的泛中心扩张，因而人们对多 变量的交换环面的导子李代数d e r a 的结构和表示已有较系统研究，并且成功地 构造出d e r a 的许多有意义的显式表示( 见 f r q 、 l x 、【l 2 、阻3 】、【l 4 】、 【p m s o 、田h s 】、 r s s l 、【s t 和阿1 ) 因此，自然有希望借鉴这些结果构造出 d e r ( c 。) 的显式表示事实上，在上个世纪八十年代末沈光宇构造了交换结合代数 的导子李代数上的一大类模，并把他的构造方法应用于除幂代数的导子李代数的 模的研究，从而成功地刻划了经典的c a f t a n 型李代数及其上的分次模的结构( 见 s 1 】、【s 2 】和 s 3 】) 随后，胡乃红进步对这些模进行了研究( 见 h u l 和【h u 2 ) ， 而张永正和刘文德则将该构造方法应用到模李超代数的研究中( 见 zl ) 另方 面，r a o 利用他在文 e m 】和【e m y l 】中所构造的t o r o i d a l 李代数的顶点表示，发 现了两个变量的环面上的导子李代数的类模并研究了其结构( 见【e 1 ) 稍后他 发现所构造的模恰好是l a r s s o n 在文 l 1 中所构造的从9 1 ，模到d e r a 一模的函子 p 的像模的特例他在文 e 2 】中研究了在函子p 作用下有限维不可约g f 。模的 像模的结构，证明了f “( y ( 砒6 ) ) 是不可约d e r a 模除非( 廿，6 ) = ( 以女) 或者( o 6 ) ， 其中靠，1 k 0 时，由上式对m 。作归纳，可得到 1 4 c j ( r ，m l e 。) = m 。g ( ”- 1 h 奶( r ，e 1 ) ( 37 ) 在( 3 1 ) 式中令m = e 1 + e 2 ，n = e ，并结合( 3 5 ) 式得到 奶( r ，一e 1 ) = 一q - 2 r 2 叱( r ，e 1 ) 当m 。 0 ，其中f l 为余数，即m 1 ( m o d p ) = 1 1 ，则由( 4 1 9 ) 式对帅 作归纳，可得到 妒1 ( r ，m l e l ) = q r 2 ( m l - 1 ) ( f 1 1 ) 妒1 ( r ，e 1 ) + q r 2 ( 1 l - - 1 ) 廿l ( r ，( m l z l + 1 ) e 1 )( 4 2 1 ) 由( 4 2 0 ) 式可知 妒l ( r ，( m l f 1 + 1 ) e 1 ) = 妒l ( r ，e 1 ) + q “( m 1 一z 1 ) p 一1 ) 母2 ( r ，e 2 ) ( 4 2 2 ) 将( 4 2 2 ) t l x ( 42 1 ) 可得到 妒l ( r ，r t l e l ) = q “( “1 1 ) l l 妒l ( r ，e 1 ) + o z ，( 。1 1 1 ) 0 1 ) 妒2 ( r ，e 2 ) ( 4 2 3 ) 在( 4 1 0 1 ) 式中分别令m e 1 + e 2 ，n = 一e 1 和i n = e 1 ，n = e 2 可得 妒1 ( r ，e 2 ) = q 7 2 妒l ( r ，e 1 ) + q 一“妒l ( r ，e l + e 2 ) 将上面两式中后式代入前式得到 妒1 ( r ，一e 1 ) = 一q2 r 2 ) 1 ( r ，e 1 ) ( 4 2 4 ) 在( 4 1 0 1 ) 式中分别令i n = m l e l + e 2 ，n = e 1 和i n = ( m 1 一1 ) e 1 ，n = e 2 可得 妒l ( r ，( m 1 1 ) e l + e 2 ) = g q m l 妒1 ( r ，一e 1 ) 十q r 2 妒1 ( r 7 q 1 , l e l + e 2 ) ，( 42 5 ) 妒1 ( r ，( , r r t l 1 ) e l + e 2 ) = g 2 ( ”- 1 妒1 ( r ，e 2 ) + 妒1 ( r ，( m 1 1 ) e 1 ) ，其中p x ( m 1 一1 ) ( 4 2 6 ) 当p 2 m 1 时，将( 4 2 6 ) ( 4 1 6 1 ) ( 4 2 4 ) 代入( 4 2 5 ) 可得 妒l ( r 、m l e l ) = 9 7 2 ( ”1 1 妒1 ( r ，e 1 ) + 口1 妒l ( r ，( m 1 一1 ) e 1 ) 墨里主竺鱼型鱼二堡鲨! ! ! 竺兰兰 2 6 由上斌可得 妒1 ( r ，一m , l e l ) = q 一2 ( “1 + 1 ) 妒l ( r ，e 1 ) +