（系统理论专业论文）汇率波动的复杂性研究.pdf

摘要 r ，j d b _ tu 摘要 随着世界经济全球化、金融领域一体化的发展，汇率对各国的经济运行、贸易 往来、国际地位都有着越来越重要的影响。因此，对汇率波动的分析、预测就显得 非常重要。同时，经济系统是一个复杂的巨系统，在他的内部，各个经济变量之间 都存在着错综复杂的关系，汇率波动更是如此。从“购买力平价说”、“利率平价理 论”到多恩布茨的汇率超调理论，有关汇率的决定、波动理论层出不穷，这些传统的 研究一般都是基于线性模型、框架的基础上建立发展起来的线性方法。越来越多的 证据表明，仅仅用线性的方法已经不能很好的解释复杂的汇率波动。2 0 世纪8 0 年 代以来，越来越多的经济学家、数学家都在探索寻找一些非线性的方法，来解释复 杂的汇率波动现象，对汇率的调整给予有效的建议。因此，从非线性角度来对汇率 进行研究，就具有非常广阔的空间和重大的现实意义。 本文大体分为三部分。首先总结了前人对于汇率问题的一些研究、结论，指出 传统的线性模型结构的局限性，从而进一步说明用非线性方法来研究汇率问题的必 要性。 然后，本文介绍了混沌、分形、相空间重构等复杂性理论，以及对系统混沌存 在性的判断方法。最后，对美元对日元、美元对欧元的汇率价格时间序列进行了赫 斯特指数、相关维数以及李雅普诺夫指数的实证研究，进一步证明了汇率的时间序 列确实具有非线性的混沌的特征，并指出根据实际情况得出不能做长期预测的结论。 关键字：混沌汇率波动r s 分析李雅普诺夫指数相关维数 青岛大学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ee c o n o m i cg l o b a l i z a t i o no ft h ew o r l da n dt h ei n t e g r a t e dd e v e l o p m e n to ft h ef i n a n c i a l f i e l d ，t h ee x c h a n g er a t eh a sm o r ea n dm o r ei m p o r t a n ti n f l u e n c eo nt h ee c o n o m i c a lo p e r a t i o n ，b a d e c o n t a c t s ，a n di n t e r n a t i o n a ls t a t u so fv a r i o u sc o u n t f f e s s o ，i ti so b v i o u s l yv e r yi m p o r t a n tt oa n a l y s i s p r e d i c t i o n o fe x c h a n g i n gr a t e f l u c t u a t e m e a n w h i l e ，t h ee c o n o m i cs y s t e m i sa c o m p l i c a t e dh u g e s y s t e m ，a n dt h e r ea r ei n t r i c a t er e l a t i o n sb e t w e e ne a c he c o n o m i cv a r i a b l ei n s i d ei t t h ef l u c t u a t i o no f t h ee x c h a n g er a t ei se v e nm o r el i k et h i s f r o m “p u r c h a s i n gp o w e r p a r i t y a n d “t h e o r yo f i n t e r e s t - r a t e p a r i t y ”t oe x c h a n g er a t eo v e r s h o o t i n go fd o r n b u s h ，t h e o r i e sa b o u tt h ef l u c t u a t i o ne x c h a n g er a t eh a v e e m e r g e di na ne n d l e s ss t r e a m t h e s et r a d i t i o n a lr e s e a r c ha l m o s ts e tu pf r o mt h el i n e a rm e t h o da n d b a s e do nl i n e a rm o d e la n df r a m eg e n e r a l l y h o w e v e r , m o r ea n dm o r ee v i d e n c eh a v ep r o v e dt h a t l i n e a r l t ya l r e a d yc a n n o tg i v ee f f i c i e n te x p l a n a t i o nt ot h ec o m p l i c a t e df l u c t u a t i o no fe x c h a n g er a t e s i n c et h e1 9 8 0 s ，m o r ea n dm o r ee c o n o m i s t sa n dm a t h e m a t i c i a nh a v eb e e n e x p l o r i n ga n dl o o k i n g f o r s o m en o n l i n e a rm e t h o d st oe x p l a i nt h ec o m p l i c a t e df l u c t u a t i o no fe x c h a n g er a t ep h e n o m e n o na n d g i v et h ee f f e c t i v es u g g e s t i o nt ot h ea d j u s t m e n to ft h ee x c h a n g er a t e s o ，r e s e a r c h i n gt h ee x c h a n g er a t e i nt e r m so f n o n - l i n e a r i t y , h a v ev e r yw i d es p a c ea n dg r e a tr e a l i s t i cm e a n i n g t h i st e x ti sd i v i d e di n t ot h r e e p a r t s o nt h ew h o l e h a v es u m m a r i z e ds o m er e s e a r c ha n d c o n c l u s i o n sa b o u tt h ee x c h a n g er a t eq u e s t i o no fs c i e n t i s t sa tf i r s t ，p o i n t i n go u tt h el i m i t a t i o no ft h e t r a d i t i o n a ll i n e a rm o d e ls t r u c t u r e ，t h u sp r o v ef u r t h e rt h en e c e s s i t yo ft h ee x c h a n g er a t eq u e s t i o nw i t h t h en o n - l i n e a rm e t h o d t h e nt h ep a p e ri n t r o d u c e dt h e t h e o r yo fc h a o s ，f r a c t a l a n dp h a s es p a c e ，a n dt h ej u d g r n e n t m e t h o d so fc h a o s e x i s t i n g a f t e rt h a t ，c a l c u l a t i n gt h eh u r s ti n d e x ，c o r r e l a t i o nd i m e n s i o na n dl y a p u n o v i n d e xa b o u te x c h a n g er a t eo ft h eu s d o l l a rt oj a p a n e s ey e na n dt oe u r o p e a nd o l l a rh a v ep r o v e dt h e n o n l i n e a rc h a r a c t e rr e a l l ye x i s ti nt h ee x c h a n g er a t ef u r t h e r , a n dp o i n t e do u tt h a tc a n tm a k et h e c o n c l u s i o no fl o n g - t e r mf o r e c a s tt of o l l o wf r o ma c t u a lc o n d i t i o n s k e yw o r d s ：c h a o s ；e x c h a n g er a t ef l u c t u a t i o n ；r sa n a l y s i s ；l y a p u n u o vi n d e x ； r e l e v a n td i m e n s i o n 第一章引言 第一章引言 1 1 选题的背景 长期以来，汇率理论直为线性范式所主宰。经典的汇率理论如国际收支说、 购买力平价说、汇兑心理说、货币主义汇率说是汇率研究的几个里程碑，他们都是 建立在线性的模型基础之上的，近几十年取得了一定的发展。但是随着科学技术的 飞速发展，世界经济也逐渐向信息化、一体化发展，从而加速了国际资本的流动， 国际间的竞争更加激烈。在这样一个日新月异的国际环境下，经济变量的相互作用 变得更加纷繁复杂，汇率也显示出波动性、复杂性和不可预测性。因此经典的汇率 理论的应用范围、条件、方法等方面发生了很大的变化，从而导致运用这些理论得 到的结果会与现实问题有些差距，有的甚至与现实情况截然相反。 8 0 年代以来，越来越多的经济学家、数学家都在探索寻找一些非线性的方法， 来解释复杂的汇率波动现象，对汇率的调整给予有效的建议。近年来，非线性科学 所取得的重大成果为经济学家提供了新的理论和方法。它突破了传统的线性思维模 式，将系统看作是一个复杂的、交互作用和适应性的系统，对汇率的波动提出了另 一种解释。这个非线性动力系统具有一下墓要特征：( 1 ) 对初始条件敏感的依赖性。 初始条件的微小变化就会导致结果的巨大变化，如经典的“蝴蝶效应”。( 2 ) 存在 临界水平，在临界水平处不止一个均衡状态存在；( 3 ) 该系统是一个分形。如果汇 率波动被证明是非线性尤其是混沌的，意味着我们可以确定它是受多少因素影响， 在一定的条件下可以进行短期预测。 1 2 研究的现实意义 对于外汇市场复杂性的研究，主要有以下两方面的意义： ( 1 ) 金融市场发展的理论需要 2 0 世纪7 0 年代兴起的非线性科学揭示了自然界中非线性，作为经济系统，其 本质的复杂性决定了运行规律的非线性特性。因此，作为非线性科学分支的混沌理 论与分形理论也就成了经济领域研究与应用的前沿问题，具有重要的理论意义与实 践意义。一些用来进行系统混沌特性研究方法有待进一步提高与完善；对经济系统 非线性建模预测问题，存在着所建立的经济系统数学模型的简单化、理想化：模型 参数选择的主观化、随意化，这一切与现实中经济系统的极其复杂的特点相对照， 显然妨碍了对经济系统本质的认识与把握，因此，对混沌理论科学方法的研究与发 展具有深远的意义。 ( 2 ) 实践发展的需要 青岛大学硕士学位论文 对事物的观察、认识、分析、运用，来源于科学的思维方式与方法论，在混沌 理论建立之初，就已经把经济现象作为其研究对象之，并认为是极有前途的混沌 理论的应用领域。在生产国际化和资本国际化的今天，一个国家要加强自己的经济 实力，使自己在激烈的国际竞争中立于不败之地，就必须有畅通的国际金融渠道， 这就要拥有适应本国经济发展的国际支付手段、融资能力以及比较稳定的汇率制度。 而稳定完善的汇率制度不仅是一国经济发展、财政货币制度的良好反映，而且对该 国德国际经济活动和国际收支调节的顺利进行，都具有重大的影响。国外许多学者 应用混沌理论与分形理论，研究并揭示了经济领域中存在的但过去无法解释的经济 现象。他们有的揭示了宏观经济领域中的混沌现象“3 ；有的从宏观经济模型中通过 参数变化描述了系统轨道的周期变化0 1 ；有的通过商品的价格变化、工农业指数的 曲线波动、股市汇市的起伏跌落研究其本质规律o 。这些无论是对于我国的宏观经 济政策的制定，还是对于普通的股民来说，都有现实的意义。我国许多学者在这方 面也作了大量的工作，有的研究了我国宏观经济领域中的混沌现象“1 ；有的研究了 资本市场的混沌规律“1 ，有的对现有的许多非线性理论方法加以进一步的提高与改 善”1 等。但是目前，无论是从国外还是国内来说，对经济系统的非线性的研究都有 待于进一步的深化和发展。 因此，探求汇率波动的非线性特征具有理论和实践的双重意义。从理论上讲， 是非线性科学理论方法在新形势下发展的需要；从应用上看，科学研究的成果也将 为进行金融市场科学管理提供思路指南与方法工具。 1 3 国内外研究概况 汇率问题研究由来已久，至今为止的学术文献中，系统分析汇率的理论主要有： 国际借贷理论、汇兑心理理论、购买力平价理论( p u r c h a s i n g p o w e rp a r i t y ) 、利 率评价理论( t h e o r yo fi n t e r e s t r a t ep a r i t y ) 等等。这些理论从不同侧面分析 了汇率的决定及其波动问题，但是均是建立在有效外汇市场假定及线性分析基础之 上。一般认为汇率作为两国货币相互交换之比例，是两国经济活动实力相比较的结 果，是宏观经济运行状况的一个总体反映。影响汇率的因素有很多，其中主要有政 治因素和宏观经济因素两个方面，具体如图1 1 所示。”： 2 第一章引言 政一 本国政府 1 政府反应、扩张或收缩财 治 j 经济目标 i 政货币政策、外汇管制、 因 放松进口限制 对货 外国贸易伙伴的 币压 素 态度 力汇 宏 g d p 增长率、生产 t 率贬 观 率变化、货币供应 贸易差额、经常项目差 值( 升 经 增长率、通货膨胀 额、国际收支差额、长短 值) 程 济 率、长短期汇率 期资本流动、自有和借入 度 因 储备变动 素 图1 1 基于这种有效市场假定的线性分析并不能有效地解释汇率决定问题，更不能切 实地探讨汇率波动的深层次问题。为此，一些数学家和经济学家转而用非线性的理 论来研究汇率波动问题。 将混沌应用于经济学领域的混沌经济学在2 0 世纪8 0 年代产生以后。s t u t z e r 在1 9 8 0 年发表了个宏观模型中的混沌动力学和分支理论中，他将l iy o r k e 定理和分支技术应用于h e a v e l m o 人口增长模型。在他之后，又有许多经济学家从事 这方面的工作，并取得了显著的成果。c r i s t i a n 和f r a n k 发现延迟反馈控制可以有 效的减少汇率的波动，这种方法在有噪声的时候也同样适用1 7 1 1m i k a e lb a s k 通过 计算李雅普诺夫指数，也得到了最大李亚普诺夫指数大于零的结果，从而证明汇率 价格时间序列非线性因素的存在“；j c s p r o t t 运用混沌理论建立了非线性模型， 把混沌理论运用到了生物、经济领域0 1 ；j a h o l y s t ，m z e b r o w s k a ，k u r b a n o w i c z 等人研究了英镑对美元汇率的时间序列，认为确定性和随机性的混沌在起作用，并 给出了带反馈的混沌经济模型“”：除此之外，b r o c k ，d e c h a r t 和s c h e i n k m a n 发现 了经济系统中存在的非独立性，s c h e i k m a n 等人对股票日收益率的分析中，也得 到了类似的结论“。经济学家对混沌理论的发展研究还不止于此，但至少从这里我 们可以看到，混沌学为经济学的研究开辟了更为广阔的土壤，为人类认识和控制复 杂的系统开辟了新的途径。 自从2 0 世纪9 0 年代初期，混沌经济理论传入我国，我国的学者也纷纷开发这 片新鲜的领域，做出的成绩层出不穷。 2 0 世纪9 0 年代初，董连科的著作分形理论及其应用 1 3 3 , 留美学者邹刚和 高峰发表了经济学研究与混沌理论“”，他们介绍了国外混沌经济学研究的一些 青岛大学硕士学位论文 情况，对我国学者的学习和研究起到了抛砖引玉的作用。 黄登仕在非线性经济学中的混沌和分形中讨论了经济系统中的资相似性， 企业竞争与多重分形等诸多问题“”；杨培才等在经济混沌的一个实例及其可预报 性中，根据伦敦外汇市场英镑对美元周平均汇价变化率，构建了一个外汇吸引子 的实例“。王军、梁雨谷在标准普尔5 0 0 家指数( s p 5 0 0 ) 的混沌吸引子分析 中证明了s & p 5 0 0 指数存在着混沌吸引子“”，也就是说，一种潜在的、非周期性的吸 引子阐释了资本市场的许多运动。 此外，我国的学者还在分形理论的应用方面作了大量研究。曹宏铎，李吴在经 济系统分形机制与股票市场r s 分析中，通过r s 分析对深圳股票市场作了研究， 研究表明深圳股票市场存在一个短周期和一个长周期，大致分别为8 个月和4 5 年 “”；杨一文，刘贵忠在分形市场价说在沪深股票市场中的实证研究中介绍了分 形市场假说，很好的解决了有效市场假说暴露出的问题，使得对市场的描述更加切 合实际1 。 在混沌、分形理论中，李雅普诺夫指数的分析也是学者们关注的焦点。在深 成指数的混沌吸引子分形维研究及预测中，段虎、胡斌利用w o l f 算法计算了深成 指数对数收益率序列的最大李雅普诺夫指数，用g p 算法求出了深成指数对数收益 率序列的相关维数”1 ；在汇率波动的奇异吸引子测定及其应用分析中，张永安、 湛垦华、汪应洛计算出李雅普诺夫指数随嵌入维数的变化图，分析了汇率波动的非 线性机制，阐述了混沌吸引子在汇率波动研究中的应用“。 1 4 本文的主要内容 本文主要研究思路是根据复杂性科学中的混沌、分形理论，对美元对日元、美 元对欧元的汇率价格时间序列进行实证检验，得出相应的数据结果，从而证明汇率 的波动是复杂性的，具有混沌、分形等特征，为以后的汇率预测作了充分的实证基 础。 文章的第一章引言介绍了研究的背景、意义，以及混沌、分形的国内外研究概 况，并说明了传统线性方法存在缺陷，进而证明用复杂性理论研究汇率问题的必要 性。 第二章是文章的主要理论部分，它分为两部分。首先是对复杂性科学包括混沌 理论、分形理论从起源发展、定义、理论内容以及研究概况进行详尽的阐述；第二 部分就是对众多的混沌判断方法进行了总结，特别是适用于经济系统的方法作了一 一阐述，这里面主要包括了重标定域法、相空间重构法、计算最大利亚普诺夫指数 法等等。 文章的第三部分是实证研究，研究对象是美元对日元、美元对欧元的汇率价格 4 第一章引言 时间序列，应用第三章介绍的方法，对它们进行了逐一的研究。这些研究结果都一 致表明，汇率波动具有混沌、分形等非线性特征，为以后的汇率预测作了实证基础。 文章最后部分是对全文的总结，归结了复杂性科学研究的困难之所在，研究前 景的展望，指出复杂性科学是- f l 颇具希望的科学，值得广大学者们进行潜心研究。 青岛大学硕士学位论文 第二章复杂性科学汇率研究的新方法 2 1 复杂性科学概述 复杂性是一个难以精确定义的概念，不同学者赋予它不同含义。按照通常的观 点来看，复杂性科学是一个真正的“含糊概念”。“”但复杂性科学的出现是一种历史 的必然，具有重大而深远的意义。 2 1 1 复杂性科学的起源与发展 2 0 世纪4 0 年代起，世界科学界对复杂性的探索己历时半个多世纪。第二次世 界大战之后，我们正处于科学发展史上的一个具有决定意义的转折点。也就是从简 单性科学到复杂性科学的转变。 在这一时期，现代系统研究的开创者们为复杂性探索做出了至关重要的贡献。 贝塔朗菲指出，一般系统以至整个系统研究兴起的现实背景，是现代的技术和社会 已经变得十分复杂，以至于传统的方式和手段已经不再满足需要“我们被迫在一切 知识领域中运用整体或系统的概念来处理复杂性问题”。“”般系统论就是 他为处理复杂性问题准备的理论工具。控制学家阿希贝提出了“研究复杂系统的战 略”，指明对于复杂系统“不能指望有一种理论可以达到牛顿理论的那种简单性和精 确性”。哪 2 0 世纪7 0 年代，自组织理论的产生使复杂性探索达到了真正的高潮。普利高 津、哈肯、艾根认为自组织是揭示复杂性的本质和根源。艾根研究了生物复杂性的 起源，阐述了生物复杂性是如何从物理简单性中产生出来的；哈肯认为“有大量数 目的部分所组成”和“具有复杂的行为”是复杂系统的两个基本特征，试图把复杂 性研究的要点归结为对复杂系统空间的、时间的或者功能的结构变化。由于他们的 不懈努力，人们逐渐了解了复杂性从物理到生物、从自然到社会的普遍存在性。 2 0 世纪8 0 年代以后，关于复杂性科学的理论如雨后春笋，层出不穷，其中最 为引人注目的是美国圣塔非研究所的研究成果。他们以诺贝尔物理学奖得主盖尔曼 ( m g e l l - m a n ) 为发起人，研究发展了演化经济学，关于人工生命、复杂适应性系 统、免疫系统、h o p f i e l d 联想记忆模型等子领域的研究，深化了学术界对复杂性科 学的理解。 8 0 年代末，我国著名科学家钱学森提出了开放的复杂巨系统概念，制定了研究 开放的复杂巨系统的可行方法，代领我国一大批学者开展多方面的开拓性研究，取 得了重要成果。 6 第二章复杂性科学汇率研究的新方法 2 1 2 什么是复杂性 在科学发展史上，简单与复杂一直是相比较而言的，并没有一个精确的定义。 对于复杂性的定义，不同的学者给出了不同的定义，劳埃德( s l l o y d ) 对这些定义 作了总结啪，比如，复杂性是一个系统的“模糊状况”，即在越来越小的尺度上显 示的详细程度；一个系统显示的“规律性”程度：由一个体系结构系统的不同层次 所显示的多样性等等。这些定义大多数与信息的定量刻画有关，明显反映了提出者 们试图沿袭定量化、形式化的传统方法描述复杂性，代表了复杂性研究的一种思路。 我国的著名科学家钱学森从系统的观点给出了一个定义：“所谓复杂性实际 是开放的复杂巨系统的动力学”，他指明了复杂性是一类系统的属性。这类系统的特 点是； ( 1 ) 巨型性，即元素极多，规模巨大； ( 2 ) 内在差异性，元素之间有很大的不同； ( 3 ) 层次性，有很多中间层次； ( 4 ) 开放性，与外界环境有密切的多样的联系； ( 5 ) 动态性，系统的组分、结构、特性以及环境的特征都在不断的变化。 复杂性科学作为- - i 1 古老而又年轻的科学，是科学思维方式转变的产物，是建 设信息社会的智力工具。非线性、远离平衡、混沌、分形、模糊性都是复杂性的某 种表现。如今，复杂性科学已经渗透到自然科学、社会科学领域甚至军事系统中， 对人们在物理、经济、生物等方面的研究也有很大帮助，对人类的进步也起着举足 轻重的作用。 2 2 混沌理论一复杂性科学的重要组成部分 经济预报的不可靠性，使得经济学家们逐渐认识到：经济学也像自然科学一样 不可能避免非线性，并且许多经济系统的非线性已经到了不容忽视的地步，混沌正 是经济学家们在探索研究经济现象时运用的有力工具。就混沌本身而言，它是某一 系统的变化并非随机，但貌似随机；它是某一规律的序列或按简单的某迭代，出 现不可预测的结果，却非决定论。 2 2 1 混沌理论的起源与发展 混沌学的研究可以追溯到1 9 世纪末，法国伟大的数学家、物理学家h p o j n c a r e 是混沌研究的鼻祖，他当时正在研究能不能从数学上证明太阳系的稳定性问题。在 他之后，有一大批数学家和物理学家在各自的研究领域所作的出色工作为混沌学的 建立提供了宝贵的知识积累。如b i r k h o f f 在研究h a m i l t o n 微分方程组问题时，发 现了一种极其复杂的奇异曲线，实际上就是混沌中的奇异吸引子。 青岛大学硕士学位论文 到了2 0 世纪7 0 年代，混沌科学得到了飞速的发展，也取得了非常光辉的成就， 作为门新的学科，混沌学正式诞生。1 9 7 5 年，美籍华人李天岩和他的老师美国数 学家j y o r k 在共同发表的周期三意味着混沌一文中，正式使用了“c h a o ”一词， 这篇文章深刻的揭示了从有序到混沌的演变过程。随后，关于混沌的理论就逐渐丰 富和发展起来，也逐渐的运用到了天文、生物、环境、经济等各个领域。1 9 8 5 年， 经济系统中的混沌现象被首次发现，从而对当今西方主流经济学新古典主义和凯恩 斯主义产生了巨大的冲击，引发了人们对传统经济学理论的反思，也掀起了非线性 经济学、混沌经济学的研究热潮。目前取得的成果，大致可以分为两部分：一是研 究经济系统的混沌性，即应用混沌理论探求经济系统的演化规律，解释纷繁复杂的 经济现象；二是探讨混沌理论在经济系统管理中的应用，目的是，把握经济系统的 运行规律，并更加有效的进行指导、管理。 今天，混沌理论仍在迅速的发展并逐步的走向成熟。毋庸置疑，它给学术界带 来了巨大的震撼，它丰硕的研究成果正在对社会各个领域进行影响和渗透。正如权 威人士美国科学家施策辛格所说：“2 0 世纪科学将永远铭记的只有三件事，那就是 相对论、量子力学与混沌。” 2 2 2 混沌的定义 关于混沌的定义，现在尚无普遍适用的严格的数学定义。一些学者给出的定义 如下：混沌是由某些带有特定特征的确定过程产生的随机的和不规则的信号，主要 包括下面一些特征： ( 1 ) 不规则性和随机性特征； ( 2 ) 混沌信号对起始条件的敏感性； ( 3 ) 奇异吸引子的混沌信号； ( 4 ) 混沌信号是一个连续的、宽幅的傅立叶( f o u r i e r ) 能量谱； ( 5 ) 至少有一个正的李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数； ( 6 ) 遍历性。 另外，从数学的拓扑学角度可以将其严格定义为： 设f 是集合v 到自身的映射，当f 满足： ( 1 ) f 对初始条件的敏感依赖性； ( 2 ) f 是拓扑传递的； ( 3 ) 周期点在v 中稠密，则f 在v 上是混沌的。 其中：f 对初始条件的敏感性定义为： r ：j 一，有对初始条件的敏感性，如存在6 ) 0 ，魄，和x 的任何邻域肘， b 第二章复杂性科学忙率研究的新方法 存在y j 】l f 和，l ，o ，使得l ，o ) 一，”( ) ) 1 ) 6 。拓扑传递的定义为：，：，一，称为 拓扑传递的，如对任一开集p 存在j 0 使：厂o ) m v 妒其中v e j ，- ，为一集合， f ( p ) 为函数，对自身的k 次复合，即： ，( p ) 一，f f ，( p ) 2 一( 1 ) 从一维连续映射的角度来看，混沌的定义是： 令，b ) 是区间i 到自身的连续映射，若满足下列条件： ( 1 ) ，的周期点的周期无上界； ( 2 ) 存在，的不可数子集a ，满足： a 对于任何x , y 爿，当z y ，行一时，有 l i r a 5 叩 ，“g ) 一，“( y 卜口 2 - ( 2 ) h - b 对于任何五y 彳，有 l i m i , q l ：4 0 ) 一，”( y 1 = 0 2 - ( 3 ) m 则称厂仁) 描述的系统为混沌系统，a 为s ( x ) 的混沌集。在上面的定义中，2 - ( 2 ) 表示从不同初值引出的两条轨道会相互远离，无论它们的初始误差多小，总会在某 一时刻出现轨线远离的情形；而2 一( 3 ) 又表示从不同初值引出的两条轨道会无限 的接近。轨道时而远离，时而接近，这是随机运动的特点。但这种随机性没有随机 外力，也没有随机系数或随机初值，完全是因为系统内在的非线性机制作用自发产 生出来的。 混沌貌似随机，但随机是由噪音引起的，而混沌是由确定性的物理规律这个内 在特性引起的，因此混沌又称为确定性混沌。在对混沌现象的判断上通常主要取决 于如下两个关键特征：一是对初始条件的敏感性，二是奇异吸引子的分形特征。 2 2 3 混沌的基本特征 混沌并非杂乱无章，二是有其特征及规律，主要有以下两方面的特征： ( 1 ) 初始条件的敏感性 动力学系统的长期行为取决于系统的动力学规律和初始状态。对于个给定的 数学方程系统，运动的轨道由初值决定，成为对初值的依赖性。对于具有渐进稳定 青岛大学硕士学位论文 吸引子的系统，从任何初值开始的轨道都走向同一吸引态，则系统的长期行为不依 赖于初值；如果初值的不同导致轨道的不同，但初值的个小偏离只会引起轨道的 小偏离，则轨道对初值又不敏感的依赖性；如果初值的微小波动在后来的运动中不 断被放大，导致轨道的显著不同，则就是具有初值的敏感依赖性。混沌，就属于第 三种类型。美国气象学家l o r e n z 作为现代混沌的发现者之一，提出了著名的“蝴蝶 效应”：纽约的一只蝴蝶扇动一下翅膀，就可能引起三个月后的得克萨斯州天气的 巨大变化。 下面我们以逻辑斯蒂方程为例，看一下混沌系统对初始条件的敏感性。 x 。“= a x 。( 1 一j 。) ，0 o 5 时，变量之间是 正相关，即在某一个时刻的变量是大的，则下一时刻的变量也是大的，当前会影响 未来，且是正的影响，即是持续效应。若h o 5 时，与前者正好相反，是反持续效 应。 此外，h 指数还能衡量一个时间序列数据的参差不齐的程度，h 指数越高，时间 序列就显示出较少的噪声，具有较强的持久性和清楚的趋势性。通过作出 l o g ( r i s ) 一l o g ( n ) 函数图，我们也能观察出h 指数发生突变之处，它所对应的就 是系统平均轨道周期或周期长度。 重标定域法简称为r s 法，自它诞生以来，m a n d e l b o r t 等人还把它进行了改进， 在经济及工业等方面得到了广泛的应用。 2 4 3 计算相关维 要判断一个系统的状态是否混沌，可以看系统状态空间中的吸引子是否具有自 相似结构的分维几何体。对于用时间序列反映的经济系统状态，可以通过状态空间 重构并计算关联维数来判定。关联维的定义是d - l 姆堕鬈，若s 增大，则 c 。( ) 应该以速率e 增长。这样就有如下关系： l o g c 。( s ) 。d ( m ) l o g ( e ) + c 。 2 一( 1 8 ) 其中c 为常数。对于一个维数t n ，可以计算随，增长的c i ( ，) ，再用线性回归求出 l o g ( r ) l o g c 。( r ) 】的斜率，这个斜率就是d ) 。改变嵌入维m 的值，d ) 就逐渐收 敛到它的真实值，也就是系统奇异吸引子d 。这样计算出的d 值一般情况下是一个 分数，那么该系统就需要至少用大于d 整数个变量来刻画。 如果忸o ) 是一组白噪声，则计算所得到的关联维d 就不会随着嵌入维m 的增 加而趋于饱和，而是同步增氏。所以，人们通过计算系统的关联维数就可以判定系 统的混沌性质。但是，物理学家的研究表明，当一个时间序列含有较多的噪声时， 就不能通过计算关联维数来判断是否有吸引子的存在。 2 4 4 计算最大的李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数 2 4 4 1 李雅普诺夫指数的基本性质 青岛大学硕士学位论文 当一个系统是混沌的，它在状态空间中演变轨迹对于初始条件的依赖就十分敏 感。只要初始条件有微小的变化，系统状态随时间演变的轨迹就会以近似于指数倍 的速度与原轨迹相分离，在一定时间后，就完全遮盖了系统的真实状态，导致系统 长期演变的不可预测性。预测能力的迅速失去是因为在初始条件那些轨道附近出发 的那些轨道平均来说按指数率迅速离散。 在一次迭代中( 对于映射来说) 或一个时间单位中( 对于流来说) 椭球的轴长 增加的倍数的长期平均值称为李亚普诺夫数，其对数称为李亚普诺夫指数。我们现 在就从最简单的逻辑斯蒂方程来看李雅普诺夫指数的一些性质。在逻辑斯蒂方程中 设为初始点，x 。为工。的临近的点，经过n 次迭代之后，x 。迭代为x 。，另点 迭代为工。，我们不妨设x 与z 。之间的差为出。，所以，运用泰勒公式我们就有： 石。+ 1 + d r 。+ 1 = ，d 0 + 出。】一厂 】+ 出。，1 工。】 2 - r 1 9 ) d x 一d x 。女f i x 】；d r 。【l 一2 x 。】 2 一( 2 0 ) 由于初始值的不确定性，我们就有： hi f d x o 旧l ，圳= id x o 旧i 口 1 - 2 x t 】| 2 - ( 2 1 ) 当ia 1 - 2 x ；】l 的长期乘积大于l 时，系统的不确定性就会随着时间的增加不断 增长。当这种不确定性按指数速率增长时，上式就会必然符合下列形式： d x 。d x o + 2 “ 2 一( 2 2 ) 式中的a 就是李雅普诺夫指数，即为： a 5 脚。i i 刍n - 1 l 0 9 2 i ，l 2 ( 2 3 ) 在逻辑斯蒂方程中，口从0 增大到3 5 7 时，系统是倍周期序列：从3 5 7 增加 到4 时，系统越来越趋向于混沌的形态，有无限个具有周期性态的“窗口”打断了 增大的指数。 简单的说，轨道的收敛率或离散率就称为李雅普诺夫指数。正的李雅普诺夫指 数表示轨道发散和混沌，并置时间尺度不可能对状态进行预测；负的李雅普诺夫指 数置时间尺度使系统状态的瞬间变化过程或摄动会衰减；当李亚普诺夫指数为零时， 对应的是h a m i l t o n 系统啪 。 2 4 4 2 李雅普诺夫指数的求法 1 8 第二章复杂性科学汇率研究的新方法 当系统的维数大于1 的时候，就会有多个李雅普诺夫指数组成李雅普诺夫谱， 比如在三维系统中，奇异吸引子对应的李雅普诺夫指数符号为( + ，0 ，一) ，二维环 为( o ，0 ，一) ，极限环是( 0 ，一，一) ，当全为负号时，就是稳定的不动点；四维的 情况是：( + ，+ ，0 ，一) ，( + ，0 ，一，一) 和( + ，0 ，0 ，一) 。在李雅普诺夫指数谱中， 最大的那个李雅普诺夫指数对研究奇异吸引子有着至关重要的作用。并且，其倒数 是系统长期演化的可预测时间长度的界限。最大李雅普诺夫指数的计算方法有运动 方程求法、矩阵求法等多种，我们这里用到的是对于时间序列的求法，具体步骤是： ( 1 ) 运用相空间重构，在给定的时间序列里构造一个高维的相空间及相空间的 点集； ( 2 ) 以工( 0 ) 为初始点，选定一个欧几里德空间意义上的临近点y ( o ) ，工( o ) 与 y ( o ) 构成一个初始向量v o ，计算两点之间的距离l 。； ( 3 ) 经过一段时间r 演化之后，k 运动发展成为另一个向量k ，其相应的初 始点和端点为x 和) ，( ) ，计算它们的欧氏距离工：。若 用表示在此段时间内相长 度的指数增长率，则有： 厶= 工。p 机即： = 三l o 甙告) 2 - ( 2 4 ) z l o ( 4 ) 以y ( f ) 为新的基点，选取一个新的向量k ，巧应有较小的长度并与k 保 持较小的夹角，以k 为初始向量，以同样的方法，得到指数增长率九。上述过程 一直重复到点集终点，取出增长率a 。的平均值作为最大李雅普诺夫指数估计值，即： n 击咯， z 吨鼬 ( 5 ) 增加嵌入维数m 。重复上面的计算步骤，直到所估计的指数随m 的变化保 持平衡为止，最终得到的计算结果，即为要求的最大李雅普诺夫指数。 在计算最大李雅普诺夫指数时，嵌入维数一般大于所要分析的时间序列的相关 维，时滞应选取为平均轨道周期和嵌入维的比值，而进化时间长度不应大于系统相 空间平均轨道周期的1 0 。对于稳定的有不动点的系统，最大李雅普诺夫指数为负 数；对周期或准周期的运动，指数为零；而对于混沌而言，指数为正数。李雅普诺 夫指数虽然可以区分奇怪吸引子和普通整数维的吸引子，即可以区分混沌和周期过 程，但在区分混沌和白噪声时却是无能为力的。 1 9 青岛大学硕士学位论文 另外，对于已知其方程的动力系统工；，o ) ，初始条件的误差6 z 。随着时间的演 化导致的轨道误差6 ；应该满足： a i 4 甜i z _ ( 2 e ) 经过f 时间之后，6 i 可以表示为： 问h 蚓 2 吨7 ) 当时间f t 丢时，轨道误差忙；0 就是初始误差忪；0 的e 倍，所以通常把最大李雅 普诺夫指数的倒数也就是三作为系统可预报的时间尺度，对混沌系统进行短期预测。 2 4 5 接近返回点测试法( t h ec l o s er e t u r nt e s t ) 计算相关维的方法对于有较大噪声存在的时间序列不适用，而最大李雅普诺夫 指数法对于小样本数据也不适用，但有噪声和样本小是大多数现实经济数据所具有 的特点。解决这类问题的较有效的方法是接近返回点测试法。这一思想已被物理学 家用于物理数据分析，吉尔莫( c l a i r eg g i l m o r e ) 等人也将它移植于经济数据分 析中。 这种方法是通过作图的方法来判断，其主要思想是，若一组时间序列忸( t ) 是 混沌的，那么它在适当维数的状态空间中应表现为奇异吸引子，状态空间的轨迹在 有限空间内嵌套重叠，相轨迹不断接近、不相交，又不断分离，是不稳定的周期运 动。在二维平面上，以时间序列的序号i 为横轴( i = 1 ，2 ，n ) ；时间t 为纵轴 ( i = 1 ，2 n i ) 。对序列的每一个观察值x ( i ) ，计算所有的 陋( f ) 一工( f + f ) l ，t - 1 , 2 ，n i 。当防a ) 一x ( i + f 1c ，s 为给定的一个较小的正数， 则在相平面上打一个黑点，否则，打白点。 如果序列是混沌的，则应在相图上有分段的直线出现；如果是随机的，就不会 有这种情况，打出的点杂乱无章，没有规律可循。虽然这种方法适用于小样本，但 如果数据太少，以致其长度范围没有包含隐含在该时间序列背后的不稳定的周期性 运动，就会导致测试结果无效”。 第三章实证研究及分析 第三章实证研究及分析 基于上述的理论和方法，我们选取汇率价格数据进行实证研究。 3 1 样本的选取与预处理 在数据选取方面，本文主要对2 0 0 0 年5 月3 0 日一2 0 0 4 年6 月5 日美元对日元 汇率及美元对欧元汇率的日数据。“，共1 4 6 8 个数据点。 在经济时间序列中，都或多或少存在经济增长等方面因素所引起的价格线性增 长趋势。这样，如何选择一个参照系统，更好的观察经济运动的全局特征，对于我 们研究经济运动的决定机制十分关键。 一般的，主要有两种方法消除增长趋势：一种是应用百分比形式的变化率及其 等价形式一对数的一阶差分( o s b e r n e1 9 5 9 ：f r i e d m a n ，1 9 6 9 ) 。即为： z o ) - l o g 【p q + 1 ) 】- 1 0 9 【酬- l o g 号导 3 _ ( 1 ) 其中p ( f ) 是原始的时间序列，z q ) 是调整后的时间序列。这种方法是建立在短 期尺度上的漂白化过程。另一种是对数线性趋势消除法( 1 0 9 一1 i n e a rd e t r e n d i n g ) 对数线性消除法是首先用时间t 对p 和) 作回归，然后用回归误差作新的时间序列，即： x o ) - l o g p ( f ) 一( 口+ b t ) 3 一( 2 ) 其中，p ( f ) 是原始时间序列，x q ) 是增长因素消除的时间序列，a 是截距，b 是 常数增长率。它的时间尺度是时间序列的整个时期，保留了经济波动中的长期相关 性。 下面我们就用第二种方法消除增长趋势，得到图像如图3 1 、图3 2 所示： 青岛大学硕士学位论文 图3 1 消除趋势的美日汇率 ：二二一。二 t 图3 2 消除趋势的荚欧汇率 然后，我们对新的时间序列进行复杂性分析，做回归分析时，所用的软件是s p s s ； 做数值计算时，所用的软件是v i s u a lb a s i c6 0 m 1 。 3 2 相空间图 j ： 之辫： t ； ”? ，t 0 + 尝j + ；：一”f 图3 3 、图3 4 分别是美日汇率和美欧汇率的二维相图，其中横坐标表示f 时刻 消除增长趋势的汇率价格，纵坐标表示t + 5 时刻的汇率值，也就是所取的时间延迟 是5 。从图中我们可以看到，美日汇率的相图是杂乱无章的，但整体看来有比较明 显的上升趋势；美欧汇率相对比较整齐，大致在一个带状区域内，并且也是随时间 逐渐上升的。这两个图都没有呈现出一致的云状数据点，也没有封闭轨道的周期运 动。由此我们就说，美日汇率和美欧汇率的时间序列有可能是混沌的，并且存在着 奇异吸引子，但要下结论还需进一步的验证。 第三章实证研究及分析 3 3 重标定域法( r s 分析) 下面再用r s 法来计算这两个序列的h 指数。在这里，我们让，l 的值从2 至u 3 8 变化， 得到相应的r ，s ，然后，对它们建立线性回归方程： l o g ( r s ) = l o g c + h l o g n 于是得到两个回归方程： 美日：l o g ( r s ) 一一0 1 8 7 + 0 5 7 5 l o g n ( 0 0 7 0 )( 0 0 2 6 ) 美欧：l o g ( r n s ) 一o 2 3 3 + 0