（基础数学专业论文）预序集上的半scott拓扑.pdf

摘要 摘要 本文基于半素理想在预序集上定义了一种新的二元关系“”，讨论 了该二元关系“等”的性质以及与w a y b e l o w 关系之间的相互关系 利用该二元关系定义了强连续预序集和半连续预序集，并在预序集上引 入了半s c o t t 拓扑，讨论了半连续预序集和强连续预序集上的半s c o t t 拓扑的一些基本的性质 第一章，引言； 第二章，我们讨论了预序集的连续性和z 连续性以及连续预序集上 的s c o t t 拓扑及其性质； 第三章，我们在预序集上定义了一种新的二元关系，利用这种二元关 系引入了强连续预序集和半连续预序集的概念，并讨论了它们的基本性 质在预序集上引入半s c o t t 拓扑，讨论了半s c o t t 拓扑的一些基本的 性质 关键词：半素理想；连续预序集；强连续预序集；半连续预序集； 半s c o t t 拓扑 a b s t r a c t ab s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed e f i n e dan e wb i n a r yr e l a t i o no np r e - o r d e r e d s e t sb a s e do ns e m i p r i m ei d e a l sa n di n v e s t i g a t et h ep r o p e r t i e so ft h e b i n a r yr e l a t i o n i n c l u d et h er e l a t i o nw i t ht h ew a y b e l o wr e l a t i o n t h e r e f o r e ，t h es t r o n g l yc o n t i n u o u sa n ds e m i c o n t i n u o u sp r e o r d e r e d s e t sa r ed e f i n e d t h es e m i s c o t tt o p o l o g yi sa l s oi n t r o d u c e do np r e - o r d e r e ds e t s f i n a l l y , w eg i v es o m eb a s i cp r o p e r t i e so fs e m i s c o t t t o p o l o g yo ns e m i c o n t i n u o u sp r e - o r d e r e ds e t sa n ds t r o n g l yc o n t i n u o u s p r e o r d e r e ds e t s c h a p t e r1 ，i n t r o d u c t i o n c h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h ec o n t i n u i t ya n dz c o n t i n u i t yo fp r e o r d e r e ds e t s ，f u r t h e r m o r ew es t u d yt h es c o t tt o p o l o g ya n dp r o p e r t i e s o fc o n t i n u o u sp r e - o r d e r e ds e t s c h a p t e r3 ，w ed e f i n e dan e wb i n a r yr e l a t i o no np r e - o r d e r e ds e t s ， w h i c hi su s e dt oi n t r o d u c es t r o n g l yc o n t i n u o u sp r 争o r d e r e ds e t sa n d s e m i c o n t i n u o u sp r e o r d e r e ds e t sa n di n v e s t i g a t et h e i rp r o p e r t i e s i n a d d i t i o n ，w ei n t r o d u c es e m i s c o t tt o p o l o g yo np r e o r d e r e ds e t sa n d g i v es o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h e s e m i s c o t tt o p o l o g y k e y w o r d s ：s e m i p r i m ei d e a l ；c o n t i n u o u sp r e - o r d e r e ds e t s ； s t r o n g l yc o n t i n u o u sp r e - o r d e r e ds e t s ；s e m i - c o n t i n u o u sp r e - o r d e r e d s e t s ；s e m i s c o t tt o p o l o g y 1 v 第一章引言 格的概念最早是在十九世纪末期c h a r l es p e i r c e 和e r n s ts c h r o d e r 在研究 布尔代数理论时引入的连续格的概念是d s s c o t t 于1 9 7 1 年因理论计算机 问题的需要而提出的在连续格的文献中，这个提法是在d s s c o t t 的一篇题 为“c o n t i n u o u sl a t t i c e s ”的论文中第一次出现的这篇论文的发表极大的推动 了连续格理论的研究，大约在同一时期，k h h o f m a n n 和j d l a w s o n 等在紧 拓扑半格，格与格序代数的谱理论等方面的深入工作，从不同的途径发展了连续 格理论，建立了它与数学其他分支的紧密联系鉴于连续格理论与理论计算机科 学、逻辑学、代数学、分析学、拓扑学和范畴论等众多学科的密切联系，因而引 起了广泛的注意近3 0 年来取得了一系列引人注意的重要研究结果1 9 8 0 年，g g i e r z ，k h h o l m o n n ，k k e i m e l ，j d l a w s o n ，m m i s l o v e 和d s s c o t t 共同 撰写了专著ac o m p e n d i u mo c o n t i n u o u sl a t t i c e s ) ) ，对连续格理论进行了 全面系统的研究总结 鉴于连续格概念的局限，人们将w a y b e l o w 关系推广到d c p o 上得到了 d o m a i n 的概念d o m a i n 理论集序结构，代数结构和拓扑结构于一体，取得了丰 富的研究成果，并且对理论计算机科学产生了重要的影响目前，d o m a i n 理论的 研究处于活跃时期，g g i e r z ，k h h o f m o n n ，k k e i m e l ，j d l a w s o n ，m m i s l o v e 和d s s c o t t 在2 0 0 3 年对著作ac o m p e n d i u mo c o n t i n u o u sl a t t i c e s ) ) 进行了补充修改，对d o m a i n 理论上的成果做了深入系统总结，出版了新的专著 c o n t i n u o u sl a t t i c ea n dd o m a i n s ) ) 刘应明、徐晓泉、王戈平及其学生等都 致力于这当面的研究，提出了一些新的观点，并解决了部分公开问题近年来， 人们又尝试进一步推广d o m a i n 理论，引入连续偏序集的概念特别是j d l o w s o n ，徐罗山和毛许新等人做了大量的研究推广的工作 到目前为止，完备格上的s c o t t 拓扑以及半s c o t t 拓扑都有了较完善的研究 对于格上的s c o t t 拓扑已有很多的人研究半s c o t t 拓扑也有相关的知识赵东升 在文献 3 】基于半素理想，将连续格推广到了半连续格，并已引入了强连续格的概 念毕含宇、徐晓泉在文献【2 6 】中在完备格上引入了半s c o t t 拓扑，并讨论了半 连续格和强连续格上半s c o t t 拓扑的一些基本的性质 1 第一章引言 但是由于预序集不具有对称性，所以相比较于完备格上的s c o t t 拓扑和半 s c o t t 拓扑有很大的区别本文的主要目的是：在预序集上定义了一种新的二元 关系，利用这种新的二元关系定义了强连续预序集，半连续预序集，并讨论了强连 续预序集，连续预序集以及半连续预序集之间的关系最后我们在预序集上定义 了的半s c o t t 拓扑，并研究了预序集的半s c o t t 拓扑的基本性质 2 第二章预序集的连续性和s c o t t 拓扑 在格理论的发展过程中，分配格占有相当重要的地位历史上，格理论的研 究是从研究( 布尔) 分配格发展起来的，因而分配格的相关理论发展的较为成 熟，相关结论也相当丰富格是满足一定条件的偏序集，但是预序集跟偏序集相 比又相差一个自反性，所以在偏序集上成立的性质在预序集上不一定成立，在 格上成立的性质在预序集上更不一定成立本章第一节主要介绍了预序集的相 关定义和性质第二节主要介绍连续预序集的相关性质，第三节介绍了预序集上 的s c o t t 拓扑第四节主要介绍了乙连续预序集本章定义、定理引自参考文献 【2 8 】 2 1 预序集 定义2 1 1 设l 是集合，“ 是集合l 的二元关系，若“”满足： ( 1 ) ( 自反性) 对于任意的z l ，z z ； ( 2 ) ( 传递性) 对于任意的z ，y ，名l ，x y ，y z 兮z z 则称“是预序关系( l ，) 是预序集 若( l ，) 是预序集，a ，b l ，x l ，若对任意的x x ，都有a z ( z 6 ) ， 则称a 是x 的下界( b 是x 的上界) x 的所有下界组成的集合记为x x 的上 界组成的集合记为x u 若x 的所有上界组成的集合存在极小元，则称它为x 的上确界，记做v x 类似的可定义x 的下确界，记做h x 注： ( 1 ) vx = x 缸nx “； ( 2 ) x 只含有两个元x ，y 时，记z vy = v z ，可) ，za y = 八 z ，】- ； ( 3 ) v x 与八x 中的元素不是唯一的 3 第二章预序集的连续性和s c o t t 拓扑 例子：设m = o ，b ，c ，d ，e ，) ，m 上的二元关系“ 定义为： e d c a b f ，e d c b a f 如下图所示： 令x = 【o ，b ，c ，d ，e ) ，则v x = o ，6 ) 定义2 1 2 设l 是预序集，集合d l 且d 0 ，若d 的任意有限子集在d 中都有上界，即对任意的z ，y d ，存在名d ，使得z z ，y 名则称d 是定 向的 对偶的，f l 且f o ，若f 的任意有限子集在f 中都有下界，即对任意的 z ，y f ，存在z d ，使得z z ，z y 则称f 是滤子的 定义2 1 3 设( l ，) 是预序集，x l 且x l 则 ( 1 ) j ，x = 秒l ：jx x ，y z ) ； ( 2 ) tx = y l ：刍x x ，z 耖) ； ( 3 ) 上x = 上 z ) ； ( 4 ) ，fx = t z ) ； ( 5 ) x = 上x ，则称x 是下集； ( 6 ) x = tx ，则称x 是上集； 4 v 乞t 第二章 预序集的连续性和s c o t t 拓扑 ( 7 ) 若x 是定向下集，则称x 是l 的理想； ( 8 ) 若x 是滤子的上集，则称x 是l 的滤子； ( 9 ) 记l 所有理想( 滤子) 组成的集合为i d l ( f i l t l ) ； ( 1 0 ) 理想在l 中有最大元，则称x 为l 的主理想； ( 1 1 ) 滤子在l 中有最小元，则称x 为l 的主滤子 引理2 1 4 设x 是预序集( l ，) 的任意子集，对于下列条件： ( 1 ) x 是定向集； ( 2 ) x = 【x 是定向集； ( 3 ) x = 上x 是理想 则有( 1 ) 甘( 2 ) ( 3 ) 引理2 1 5 设x 是预序集( l ，) 的任意子集，对于下列条件： ( 1 ) vx a ； ( 2 ) v ( ix ) l a ； 若( 1 ) ( 2 ) 条件成立，则vx = v ( ix ) 若x 的任意有限子集在三中都存在上确界，记f 为所有有限上确界组成的 集合，则f 是定向集，且( 1 ) ( 2 ) 等价于 ( 3 ) vf a 在上述条件下，vx = v f 成立 2 2 连续预序集 定义2 2 1 设( l ，) 是预序集，对于l 中任意存在上确界的定向子集d ，若 y d 越，存在d d ，使得z d 我们称zw a y b e l o wy ，记做z y 若z z ， 则称z 为紧元 注： ( 1 ) 此处定向子集d 可换成理想j ； 5 第二章 预序集的连续性和s c o t t 拓扑 ( 2 ) w a y b e l o w 关系可由下列性质等价定义：对任意的z ，y l ， 。y 兮对三的任意子集x ，若y x ，则存在x 的有限子集a 使得z a “ 性质2 2 2 设( l ，) 是预序集，对于任意的u ，x ，y ，z l ，则 ( 1 ) z y 兮5 可； ( 2 ) u x y z 号乱z ； ( 3 ) z 名，y z ，若zvy 在l 中存在，则对任意的“xvy ，有札z 定义2 2 3 设( l ，) 为预序集，对于任意的x l ，若集合j z 是l 中的定 向集且5 ( uz ) ，则称l 是连续预序集 有上述定义可知：在连续预序集中，z y 兮4 z uy 性质2 2 4 设l 是预序集，在l 中下列条件等价： ( 1 ) 5 可； ( 2 ) 对于l 中任意满足条件y i u 的理想j ，有x ，； ( 3 ) z nj ( 可) ，j ( y ) = i d l ：y j r u ) 性质2 2 5 设l 是预序集，在l 中，若存在满足5 d “的定向集d ，且 d uz ，则uz 是l 中的定向集并且5 ( u 。) 若在诱导预序集【5 中y z ，则在l 中y 5 注：若( l ，) 是连续预序集，则在l5 中y z 兮在l 中y z 定义2 2 6 在预序集( l ，) 中， ( s i ) 对任意的z ，名l ，w a y b e l o w 关系满足强插入性质： 5 名，名不属于( 抄z ) “号存在y ，5 y z ，使得可不属于( uz ) 们 ( i n t ) 对于任意的z ，z l ，w a y b e l o w 关系满足插入性质： 5 z 兮存在y ，使得5 y 名； 6 第二章预序集的连续性和s c o t t 拓扑 显然( s i ) 号( i n t ) 若l 是连续预序集，则( s i ) ( i n t ) 定义2 2 7 设( l ，) 是一个预序集，二元关系 称为a u x i l i a r y 关系或 a u x i l i a r y 序，若对于任意的u ，x ，y ，z l 下列条件满足： ( 1 ) z y 号z ； ( 2 ) 札x y z 号u z ； ( 3 ) z z ，y z ，若zvy 在l 中存在，则对任意的u xvy ，有x z 记厶上所有的a u x i l i a r y 关系组成的集合为a u x ( l ) 性质2 2 8 设l 是预序集，在l 中下列结论等价： ( 1 ) l 是连续预序集； ( 2 ) 关系式l 上最小的逼近序 引理2 2 9 设l 是预序集， 是l 上的任意逼近序，对任意z ，z l ，若 x z ，z 置( uz ) w ，则存在y ，使得x y 名且yg z ) 性质2 2 1 0 设三是连续预序集， 是l 上的任意逼近序，对任意x ，名l ， ( 1 ) 若z 名，名g ( uz ) 讲，对于l 中任意的定向集d ，z d 伽，则存在d d ， 使得x _ d ，dg ( vz ) 叫； ( 2 ) 若z z ，zg ( uz ) “，则存在可，使得z y z ，yg ( uz ) 以上两条都成立 性质2 2 1 1 连续预序集( l ，) 上的“ 关系满足强插入性质( s t ) 性质2 2 1 2 在连续预序集上，有如下性质： ( 有限可乘性) 有限多个连续预序集l 。，l 2 ，k 的定向积l ，xl 2x l n 是连续预序集，即对任意的i n ，x l ，y i 厶z = ( x 1 ，z 2 ，z n ) ，y = ( 可l ，珑，) ，x ，y l xxl 2x xl n 则x y 营对任意的i n ，兢y i 7 第二章预序集的连续性和s c o t t 拓扑 ( 任意可乘性) 设，是指标集，i j ，厶是一族具有最小元0 的连续预序集，则 定向积兀t ，厶也是连续预序集，即对兀谢厶中的元素z = ( x i ) ，y = 慨) ，i ， x y 铮对任意的i ，其中除有限多个i ，瓴y i 外，其它甄= 0 引理2 2 1 3 设p 是预序集( l ，) 上的投射，厶中具有诱导预序的象p ( l ) ，满 足如下性质： ( 1 ) x 是p ( l ) 中的子集，若p ( l ) 在l 中存在上确界，则x 是在p ( l ) 中存在 上确界的，且p ( v l x ) v p ( 厶) d ； ( 2 ) 若在( 1 ) 的条件下，又有p 保定向上确界，则v l d o 且对于任意存在上 确界的定向子集d p ( 三) ，v ld = v p ( l ) d 引理2 2 1 4 设( l ，) 为连续预序集，则三上保定向上确界的核算子k 和闭 包算子c ，有以下结论： ( 1 ) 对于任意的x ，y 七( 三) ，有z 忌( 厶) y 营z ly ； ( 2 ) 对于任意的z ，y 七( l ) ，有z ly 号c ( x ) 。( l ) c ( 剪) 2 3连续预序集上的s c o t t 拓扑 定义2 3 1 设是预序集( l ，) 的子集，若满足对于w 中的任意在l 中存在上确界的定向子集d ，有d u w ，则称w 是s c o t t 闭集 s c o t t 闭集的补集称为s c o t t 开集预序集中所有s c o t t 开子集构成了l 上的 s c o t t 拓扑记做口( l ) 注： ( 1 ) s c o t t 闭集是下集即对任意的z 彬y x ，。是定向集，z z ，则 y z 叭； ( 2 ) 【x = 。) 但a ( l ) 不是蜀的因为【x = z ) = 可) = j ，y 务x = 秒； ( 3 ) 集合u 是s c o t t 开集兮u 是上集并且对于l 中的任意存在上确界的定 向子集d ，vd u 蕴含dnu d ； 8 第二章预序集的连续性和s c o t t 拓扑 ( 4 ) 若( l ，) 是连续预序集，则对任意的z l ，介z 是s c o t t 开集； ( 5 ) 预序集( l ，) 中的子集x 具有性质( s ) 当且仅当满足以下性质： 对于任意在x 中存在上确界的定向集d ，存在y d ，使得对于任意的 x x ，y z ，有z d ； ( 6 ) 集合x 是s c o t t 开集兮它具有性质( s ) 且是上集 性质2 3 2 设( l ，) 是连续预序集，则 ( 1 ) 上集u 是s c o t t 开集铮对于每一个x u ，存在u 阢使得u z ； ( 2 ) 介u ：乱l ) 构成了l 的s c o t t 拓扑基； ( 3 ) 对任意的z l ，u z ，则 介u ) 构成了a ( l ) 的邻域基 定理2 3 3 设m ，z 是预序集，：m _ z 是m ，z 间的映射，下列条件等价： ( 1 ) 每个z 的s c o t t 闭集原象是s c o t t 闭集； ( 2 ) 每个z 的主理想的原象是s c o t t 闭集； ( 3 ) 对于m 中存在上确界的定向集d ，有f ( d “) ( ，( d ) ) 讲； ( 4 ) 对于m 中存在上确界的定向集d ，有，( v d ) v 厂( d ) 定义2 3 4 设m ，z 是预序集，若映射s ：m _ z 满足定理中的等价条 件( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) ，则称，为s c o t t 连续的 引理：2 3 5 s c o t t 连续函数不一定是保定向上确界的 例：设m 是预序集，m = o ，b ，c ，d ，e ) ，m 上的二元关系“定义为： e d c a b ，e d c b a 如下图所示： 9 影 e 第二章预序集的连续性和s c o t t 拓扑 | ：m _ m ， s ( a ) = s ( b ) = b ，f ( c ) = c ，f ( d ) = d ，f ( e ) = e 则，是s c o t t 连续函数 i ( vm ) = 6 ) ，但是vf ( m ) = o ，6 ) 厂( v m ) v ，( m ) 2 4 z 连续预序集 定义2 4 1 在预序集上，若函子z ：p r s e t _ s e t 满足以下条件： ( 1 ) 对任意的p p r s e t ，z ( p ) 2 p ； ( 2 ) 对任意的p ，q p r s e t ，保序映射厂：p _ q ，a z ( p ) 号z ( 厂) ( a ) = f ( a ) z ( q ) ； ( 3 ) 存在p p r s e t ，使z ( p ) 含有p 的非单点的非空子集 则称z 为预序集上的一个子集系统 以下记z 表示p r s e t 上的一个子集系统 对任意的p p r s e t ，称z ( p ) 为p 上的一个子集系统 定义2 4 2 设p 是预序集，若p 是z 一完备的，即对任意的s z ( p ) ，vs 存 在，则称尸为z 一预序集 定义2 4 3 设p 为z 预序集，令矿( p ) = p ：u = tu 且对任意的 s z ( p ) ，vs u 兮s n u 仍) 以矿( p ) 为开子集生成的拓扑称为p 上的z - s c o t t 拓扑记为a z ( p ) 定义2 4 4 设p 为z 预序集，对任意的d z ( 尸) ，若y d ，存在d d 使 得x d ，我们称zw a y b e l o wy ，记为z ：y 性质2 4 5 设p 为压预序集，对任意的u ，z ，z p 以下结论成立： ( 1 ) z ：y = 争z 鲥 1 0 第二章 预序集的连续性和s c o t t 拓扑 ( 2 ) t 正z ：y z 号u 名； ( 3 ) 若z zz ，y ：z ，若zvy 在p 中存在，则对任意的u zvy ，有u z 定义2 4 6 z - 预序集p 是连续的当且仅当满足下面条件中的任意一个： ( 1 ) 对任意的x p 址z ( p ) ； ( 2 ) 对任意的z p z ( 址) 讲 性质2 4 7 插入性质：设p 为乙连续预序集且z 子集系统满足 a i z ( p ) ，i j 号u ，a i z ( p ) ，则对任意的d z ( p ) ，y d m ，z 。y 号 存在d d ，使得z ：d 性质2 4 8 z 预序集p 的子集w 为z - s c o t t 闭集当且仅当满足下面两个条件： ( 1 ) = j ，； ( 2 ) 对任意的d z ( p ) ，若d 彬有d “w 性质2 4 9 设p 是z 连续预序集且乙子集系统满足a i z ( p ) ，z j 专 u i ja i z ( p ) ，则下面条件成立： ( 1 ) 对于任意的z p 化z 是z s c o t t 开集； ( 2 ) 上集u 是z - s c o t t 开集铮对任意的z u ，存在札u ，使得乱：z ； ( 3 ) 介。让：u 厶) 构成了p 的z s c o t t 拓扑基； ( 4 ) 对任意的x p ，有 化u ：u ：z ) 构成了吒( p ) 的邻域基 性质2 4 1 0 z 一预序集p 称为z 一交连续的 对任意的x p i 及任意的d z ( p ) ，若z d ，则z c l 以( 土d m 【z ) 兮对任意的u o x p ) ，及x p ，有t ( u n 【x ) 以( p ) 性质2 4 1 1 z 连续预序集是z 一交连续的 1 1 第三章预序集上的半s c o t t 拓扑和 半l a w s o n 拓扑 在格论的发展中，对格的s c o t t 拓扑的研究是格理论发展的一个重要方面到 目前为止对完备格上的s c o t t 拓扑、半s c o t t 拓扑都已经有较完善的相关资 料，关于预序集上的s c o t t 拓扑在上一章也有提及本章第一节在预序集上定义 了一个新的二元关系“每 ，讨论了“乍与经典的二元关系“之间的相 互关系，本章的第二节定义了强连续预序集，半连续预序集，并给出了强连续预序 集，半连续预序集和连续预序集之间的关系第三节给出了半s c o t t 拓扑的定义 及一些性质第四节给出了半l a w s o n 拓扑的定义及性质 3 1 半素理想和“ 关系 定义3 1 1 设l 是预序集，若对l 中的任意子集都有上，下确界，则称l 完备 定义3 1 2 设p 为预序集( l ，) 中的理想，若对任意的。，y ，名l ， zay ，zaz 存在，且zay 冬只xaz p 有za ( yvz ) p ，则称p 为半素理 想三的全体半素理想族记为r d ( l ) 定义3 1 3 设三是预序集，p 是理想，若对任意的x ，y l ，zay 存在且属 于p ，有x p 或y p ，则称p 为素理想 定义3 1 4 设三为预序集，在l 上定义关系“乍”如下： 对任意的a ，b l ，a b 兮对任意存在上确界的p r d ( l ) ，若b p “， 则a p 记儿a = z liz 告o ) ，t ta = z lia 乍z 】 1 2 第三章预序集上的半s c o t t 拓扑和半l a w s o n 拓扑 性质3 1 5 设l 为预序集，则有下列关系成立： ( 1 ) “”号“乍”； ( 2 ) “仁 诊“ ”： ( 3 ) 传递性：对任意的a ，b ，c l ，若a 每b ，b 仁c ，则有a 仁c ； ( 4 ) 上定向的半素理想的并是半索理想； ( 5 ) 半素理想的交是半素理想； ( 6 ) 当ua 定向时，ua 尉( l ) ； ( 7 ) p 是完备的素理想，则尸是半素理想； ( 8 ) 半素理想可以表示成一些素理想的交； ( 9 ) 当完备预序集是可分配的预序集时，则其中的理想是半素理想 证明： ( 1 ) 由定义可知显然成立 ( 2 ) 例子：设l = o ，口，b ，c ，1 ) 且0 a 1 ，0 b 1 ，0 c 1 则 b 告a ，但是b 盛a 0 ( 3 ) 对任意存在上确界的半素理想p ，c ， 由b c 可得b p ，又由p p 训，则b p 由a 乍b ，可得a p 所以a c ( 5 ) 设p q 是半素理想，对任意的z ，y ，名l ，若zay ，。a 名存在， 且xay pnq ，zaz pn q ，下证za ( yvz ) cp nq 因为zay pnq ，zaz pnq ，故zay 尸za 名cp ， 1 3 爪v 第三章预序集上的半s c o t t 拓扑和半l a w s o n 拓扑 由p 是半素理想，可得za ( yv 名) 尸， 同理可得za ( yvz ) q 所以za ( 可vz ) pnq ( 6 ) 对任意的z ，y ，z l ，若zay ，za 名存在且属于u a 下证za ( yvz ) c _ l 口 即对任意的z ，y ，z l ，对任意的b zay ，b 仁a ，c z az ，c 乍a ， 因为b 等a ，c 等a ， 所以对任意存在上确界的p r d ( l ) ， 若a p “，则b p c p 即za2 ，p zaz p 由p r d ( l ) ，可得za ( yvz ) p 对任意的d za v 名) p ，都有d a 所以d 儿a ，故x ( yv 名) 儿n 所以儿a r d ( l ) ( 7 ) 假设l 是完备预序集，对任意的z ，y ，z l ，z ay ，za 名存在且属于p 因为p 是素理想，所以z p 或z p iy p 由p 是定向的，可得x p 或j 仳yvz 使得乱p 所以za ( yvz ) p 所以p 是半素理想 ( 9 ) 由完备预序集的定义，以及可分配的定义显然成立的 命题3 1 6 设l 是完备预序集，对任意的o ，6 l ，a b 兮对任意的素理 想p ，若6 户叫，贝0a p 证明：“等”由p 是素理想，可得p 是半素理想， 所以由定义可得a 告b “号”由a b 可知，对任意的半素理想j ， 若b i ，贝0a i 1 4 第三章预序集上的半s c o t t 拓扑和半l a w s o n 拓扑 又因为半素理想，= n ，弓，其中p j 是素理想， 故对任意的j i j ，b 一c 一掣， 所以a ，弓 即对任意的素理想p ，若b p 以，则a p 3 2半连续和强连续预序集 定义3 2 1 设l 是预序集，若对任意的a l ，都有a ( 上上o ) “，则称l 是半 连续的预序集 设l 是预序集，若对任意的a l ，有儿a 是l 中的定向集，且a v ( ao ) ， 则称l 为强连续的预序集 命题3 2 2 设l 为预序集，三是强连续预序集兮l 是连续预序集令l 是半 连续预序集 证明： ( 1 ) 三是强连续预序集时，我们只需证明“a 告b 号“o b ”即可 假设a 等b ，对l 中任意存在上确界的理想p ，若b vp ， 我们只要证明a p 对每个z l ，b = 1 1z ，因为尸是上定向的 所以 riz p ) 是上定向的半素理想族， 因此u ；p 已是半素理想 v ( u 础只) = v x e p ( v 只) = v x e p x = v p 因为b vp = v ( u 。；尸只) ，且a 仁b 所以有a u 。；p 尼则必存在一个x p ，使得a 只 这就推出了q b j ，z p 所以对l 中任意存在上确界的理想p ，若b vp ， 则存在x p ，使得a z 由“”关系的的定义可知a b 又由l 是强连续的预序集，对任意的a l ，ua 是定向的，且 1 5 第三章预序集上的半s c o t t 拓扑和半l a w s o n 拓扑 a v ( 抄口) 可知己是连续预序集 ( 2 ) l 是连续预序集兮l 是半连续预序集显然成立但反之不成立 例子 设l = 【0 ，1 】u _ 【口，6 ) 其中【0 ，1 】是单位区间，o ，b 是不在单位区间内的两 个分离元素定义序关系：0 a 1 ，0 b 1 对任意的z ，y 【0 ，1 】根据实数序 关系定义z y 则l 是半连续的，但不是连续的 若“乍 “时，强连续预序集甘连续预序集 性质3 2 3 若p r d ( l ) ，且p 存在上确界和下确界，l in 定向，则 l ia = n p r d ( l ) ia vp ) 命题3 2 4 设己是连续预序集，则“仁 关系具有插入性质 即对任意的z ，y l ，若z 乍y ，则存在名l ，使得z z 仁y 证明： 只) 埏，是上定向半素理想族，则n ；j 只是上半素理想 由z 仁可，故 上上名1 名仁可) 是l 的上定向半素理想族， 所以q = u 儿ziz 仁可) 是三的半素理想， ! ，v zi2 鲁可) vq = v v ( 儿z ) iz 每秒) 由“”的定义，可知z q ， 故存在z ，z 每秒，使得o 儿z ， 即z 名y 注：此引理还可改为：三为半连续预序集，且对任意的z l ，, l iz 是上定向的， 则“乍”关系具有插入性质 命题3 2 5 设l 为完备预序集，则l 是强连续预序集兮l 是连续预序集且 = “ 1 6 第三章预序集上的半s c o t t 拓扑和半l a w s o n 拓扑 3 3 预序集上的半s c o t t 拓扑 定义3 3 1 设l 是预序集，u 称为三中的半s c o t t 开集，若满足： ( 1 ) u = tu ； ( 2 ) 任意存在上确界的p r d ( l ) ，vp u 辛u n p 0 l 中的半s c o t t 开集全体构成的拓扑，称为半s c o t t 拓扑，记为a s ( l ) 半s c o t t 开集的补集称为半s c o t t 闭集 定义3 3 2 设x 是预序集l 的一个子集，如果x 满足： 对任意存在上确界的p r d ( l ) ，若v 尸cx ，则存在y p 使得对任意的 z p ：z y 号x x 那么我们称x 具有性质( s ) 性质3 3 3 设l 是预序集，则下列条件成立： ( 1 ) 一个集是半s c o t t 闭的，它是下集且对半素理想并封闭； ( 2 ) 任意的z l ，【z = 两； ( 3 ) o r s ( l ) 不是蜀的； ( 4 ) u 是l 中的半s c o t t 开集当且仅当满足性质( s ) 且u 是上集 证明： ( 1 ) 子集a 是半s c o t t 闭集兮子集l a 是半s c o t t 开集 兮l a 是上集，且对任意存在上确界的p r d ( l ) ，若v p l a ， 则尸n ( l a ) d 兮a 是下集，并且对任意存在上确界的p r d ( l ) ，若pn ( l a ) = d ， 则有vp 垡l a a 是下集，并且对任意存在上确界的p r d ( l ) ，若p a ，则有vp a ( 2 ) 显然成立 ( 3 ) 对任意的x ly l ，若研= 研，由( 2 ) 可得【x = 上y ， 1 7 第三章预序集上的半s c o t t 拓扑和半l a w s o n 拓扑 但是上x = 上y 奢x = y ( 4 ) “号”：u 是l 中的半s c o t t 开集，故u 是上集 对任意存在上确界的尸r d ( l ) ，v 尸u 兮unp 谚 故存在y p 对任意的z p z y ，都有z x 它满足性质( s ) “等 ：u 是上集，且u 满足性质( s ) ， 则有对任意存在上确界的p r d ( l ) ，v p 阢 则存在y p ， 对任意的z p z y ，都有x x ， 则可知pnu d 故u 是半s c o t t 开集 命题3 3 4 设l 是半连续预序集，且对任意的x l ，儿z 是上定向的，则对 任意的z l ，丁rz = ( y lix 台 - 是半s c o t t 开集 证明：对任意的z l ，t 下x 是上集 任意存在上确界的p r d ( l ) ，若vp 竹x ， 则对任意的y vp 使得y 竹z 又因为“ 具有插入性质， 因而存在z l ，使得x # 名y 由y v p ，故z p 从而z t txnp d 所以t 下x 是半s c o t t 开集 命题3 3 5 设l 为完备的预序集且为强连续预序集，则( l ) = a ( l ) 证明：因为a ( l ) ( l ) ，所以只需证明( l ) 盯( l ) 对任意的z l ，u ( l ) ，若x u ，则易得v ( az ) u 1 8 第三章预序集上的半s c o t t 拓扑和半l a w s o n 拓扑 由儿z r d ( l ) 且u 是半s c o t t 开集， 故存在u 儿z 1 3u 即z 竹uc _ tu v 又由强连续预序集辛连续预序集 故1 7 乱仃( l ) 可得u 盯( l ) 所以a s ( l ) = 盯( l ) 定理得证 定义3 3 6 设p 是预序集l 中的元素，若zvy 存在，且对任意的札 zay ，u p ，都有z p 或者可p ，则称p 为素元 对偶的，设g 是预序集l 中的元素，若x v y 存在，且对任意的u x v y ，口u ， 都有z g 或者y 口，则称g 为余素元 命题3 3 7 设l 是预序集，对任意存在上确界和下确界的u 0 8 ( l ) ，则下列 两条件等价： ( 1 ) u 是o s ( l ) 中的余素元；即彬v 0 8 ) ，且w uv 存在，若u w uv ， 则u w 或u y ； ( 2 ) 是滤子 命题3 3 8 设厶是预序集，对于下列条件： ( 1 ) 存在半s c o t t 开滤子v ，使得y 沙竹z ； ( 2 ) 存在s c o t t 开滤子，使得y uc _ tz ； ( 3 ) z 3 ， 则有( 1 ) 兮( 3 ) ，( 2 ) 号( 3 ) 若l 为强连续预序集，则( 3 ) 兮( 1 ) 冷( 2 ) 证明：( 1 ) 辛( 3 ) ：设存在半s c o t t 开滤子v ，使得秒uc _ 1 7z 对任意存在上确界的p r d ( l ) ，若y p “， 则u 是上集，vp u 又由u 是半s c o t t 开的， 所以存在乱p “，使得u u 因为u t tz ， 1 9 第三章 预序集上的半s c o t t 拓扑和半l a w s o n 拓扑 从而x 仳，故x 尸 可得x 乍y ( 2 ) 辛( 3 ) ：设存在s c o t t 开滤子u ，使得y uc _ t z 对任意存在上确界的p r d ( l ) ，若y p 越， 则u 是上集，vp u 又由u 是s c o t t 开的， 所以存在乱p “，使得u u 因为u 下z ， 从而z 乱p 叫 而p 是下集，于是有z p 可得x 告y 下设l 是强连续预序集，则显然( 1 ) 号( 2 ) 下证( 3 ) 号( 1 ) 因为“具有插入性质，因而存在序列 鲰：n ) ， 使得z 乍( 等y n 一1 # 乍y 1 ) 仁y 令u = u t ：n 显然u 是一族递增滤子并 故u 是滤子，且y u 对任意的n n ，e t tz ，有1 竹x 故u 竹x 下证u 是半s c o t t 开的 显然u 是上集，对任意存在上确界的p r d ( l ) ，若vp ， 则存在抓，使得v 尸，f 于是+ l ，且y n vp p 以，从而y n + 1 p 故鲰+ 1 pnu 仍 因此u a s ( l ) 定理3 3 9 设l 是完备预序集，对于下列条件： ( 1 ) l 是强连续预序集； 2 0 第三章预序集上的半s c o t t 拓扑和半l a w s o n 拓扑 ( 2 ) 任意u 吼( l ) ，u = u _ 【t tz ：z u ) ； ( 3 ) ( l ) 是连续预序集，且任意的z l ，z 有由半s c o t t 开滤子组成的邻域 ( 4 ) 对任意z