（应用数学专业论文）关于脉冲微分方程两类问题的研究.pdf

独创声明 譬5 9 8 4 2 1 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：代确羡 签字日期：2 0 0 4 年年月) r 日 锄糠佟形一 签字日期：2 。0 4 年尹月2 扩日 束缝招奄哥潮时 舅垒文公：帮 关于脉冲微分方程两类问题的研究 代丽美 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 具有奇性的常微分方程出现在各种应用学科中例如，核物理，气体动力学， 流体力学，边界层理论，非线性光学等有关奇异边值问题正解的存在性和唯一性 近十年已作了大量研究 脉冲微分方程理论是近几年发展起来的微分方程理论中的一个重要的新分支， 它在生物学，生物医学，经济学中最优控制和航天技术等领域都有广泛的应用 长期以来，摄动微分方程具有非常强的应用背景，所以一直以来都受到人们的 广泛关注 本文共分两章，在第一章中，我们研究e m d e n f o w l e r 方程脉冲奇异边值问题 正解的存在性在第二章中，我们研究具有依赖状态脉冲摄动微分系统的稳定性 在第一章中，我们研究脉冲奇异混合边值问题 + ，( ，) = 00 t 0 , i c ( r ，r ) ，单增且具有线性性 在第一章先利用不动点定理得到了问题( 1 1 1 ) 的正解存在的上下解方法，然 后利用此方法给出了带脉冲的e m d e n - f o w l e r 方程奇异混合边值问题正解存在的充 分必要条件其主要结果为 定理1 1 1 假设q 卢是问题( 1 1 1 ) 的下上解且满足 ( a 1 ) a 0 ) 卢( t ) ，t 【0 ，l 】， ( 啦) 罐= “，。) ( 0 ，1 ) r ：o ( 。( ) s 卢( ) ， 假设存在函数h g ( ( 0 ，1 ) ，日) 使得 2 ( a 3 ) l s ( t ，) i 冬 ( t ) ，( t ，z ) d g ， ( i ) 若b d 0 且h ( s ) d s o 。，则问题( 1 _ 1 1 ) 至少有一解面( ) p c i ( o ，1 ，兄+ ) 且d ( t ) s 孟( ) s n t ) ( i i ) 若b 0 ，d = 0 且( 1 一s ) ( s ) d s o o ，则问题( 1 1 1 ) 至少有一解奎( t ) p c i ( 【o ，1 ) ，r + ) 且o ( t ) 岳( t ) 卢( t ) ( i i i ) 若b = 0 ，d 0 且s h ( s ) d s o o ，则问题( 1 1 1 ) 至少有一解叠( t ) p c i ( ( o ，1 ，r 十) 且o ( ) = 云( ) 卢( t ) ( ) 若b = d = 0 且s ( 1 一s ) ( s ) d s o 。，则问题( 1 1 1 ) 至少有一解2 ( t ) p c ( o ，l 】，r + ) 且n ( t ) 圣( t ) s 卢0 ) 定理1 2 1 给出了问题( 1 _ 1 ，1 ) 当f ( t ，。) = p ( t ) 一，其中v ( t ) ec ( o ，1 ) ，p ( t ) o ，p ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ，0 o 时，正解存在的充分必 要条件 定理1 4 1 给出了问题( 1 1 1 ) 当l s ( t ，z ) s ( t ，i x ) 茎f l f ( t ，z ) ，0 fs ；p f ( t ，t ) s f ( t ，l x ) l “s ( t ，z ) ，z m ，其中 ，p ，n ，m ( - o c a 0 p l ，0 o i c ( r ，r ) ，i i s i n c r e a s i n ga n dn o n l i n e a r i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ef i r s tg i v et h em e t h o do fl o w e ra n d u p p e rs o l u t i o n sf o rt h ee x i s t e n e e o f p o s i t i v es o l u t i o n s t o p r o b l e m ( 1 1 ，1 ) b y m e a , n $ o f t h e f i x e d p o i n t t h e o r e m ，t h e n o b ， t e d nan e c e s s a r ya n ds u i 五c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n so fe m d e n f o w l e ri m p u l s i v es i n g u l a rb o u n d a r yv m u ep r o b l e mb yu s i n gt h em e t h o do fl o w e ra n d u p p e r s o l u t i o n s t h em a i nr e s u l t sa r e ： 4 t h e o r e m1 1 1 l e ta ，卢b eal o w e ra n da nu p p e rs o l u t i o no f p r o b l e m ( 1 1 1 ) s u c h t h a t ( 0 , 1 ) n ( t ) 卢( t ) ，t 【0 ，l 】， ( a 2 ) d 2 = ( ，z ) ( 0 ，1 ) xr ：o ( t ) sz ( t ) 卢( t ) ) s u p p o s et h e r e e x i s t saf u n c t i o nh g ( ( o ，1 ) ，r + ) s u c ht h a t ( 0 3 ) f ，0 。z ) i 0 ) ，( t ，z ) d g ， ( 【) i fb d 0 a n d 7h ( s ) d s o 。，t h e np r o b l e m ( 1 i 1 ) h a sa t l e a s to n es o l u t i o n 量0 ) p c i ( 【0 ，1 】，月+ ) a n dn 0 ) s 孟( ) s 声( # ) ( i i ) i f b 0 ，d = 0a n d ( 1 一s ) h ( s ) d s 。o ，t h e np r o b l e m ( 1 。1 1 ) h a sa tl e a s to n e s o l u t i o n 童( ) p c i ( 【o ，1 ) ，五+ ) a n d ( t ) 兰e ( t ) s 卢( t ) ( i i i ) i fb = 0 ，d 0a n d s h ( s ) d s o 。，t h e np r o b l e m ( 1 1 1 ) h a sa t l e a s to n e s o l u t i o n 孟( t ) p c i ( ( o ，1 ，r + ) a n do ( t ) e ( t ) 冬卢( t ) ( i v ) i fb = d = 0a n d s ( 1 一s ) h ( s ) d s 。，t h e np r o b l e m ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s to n e s o l u t i o ni ( t ) p c ( 0 ，1 ，r + ) 且口( t ) i ( t ) s 卢( t ) t h e o r e m1 2 1g i v e st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fp o s - i t i v es o l u t i o nt op r o b l e m ( 1 1 1 ) w h e nf ( t ，z ) = p ( ) z 1 ，w h e r ep ( t ) c ( o ，1 ) ，p ( t ) 0 ，p ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ，0 0 t h e o r e m1 4 1 g i v e s t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o nt op r o b l e m ( 1 1 1 ) w h e n f ( t ，2 ) sf ( t ，j z ) p f ( t ，。) ，0sz ；1 1 ，( ，z ) f ( t ，f z ) p f ( t ，z ) ，f m ，w h e r ea ，肛，n ，订( 一。 a 0 肛 0 ，和i i ) ：i ( x ) = 0 ，b = d = 0 ，f ( t ，z ) = p ( t ) x 1 ，0 o ，i v ) ：i ( x ) = 0 ，f ( t ，z ) = p ( t ) 。1 ，0 a 0 ，t ( 0 ，1 ) ，和v ) ：，( z ) = 0 ，m f ( t ，z ) f ( t ，i x ) f l f ( t ，z ) ，0 f s ；f l f ( t ，。) ( t ，l x ) l f ( t ，z ) ，f m 时，其中a ，卢，n ，m ( 一o 。 a 0 卢 l ，0 o ，t ( o ，1 ) ) 若。，( o + ) ，z ，( 1 一) 都存在，则称名( f ) 是( 1 1 1 ) 的一个p c i ( o ，1 】，兄+ ) 正解 设a p c ( o ，l 】，且) n p c 2 ( ( o ，1 ) ，月) ，满足 a ”( t ) + ( t ，d ( t ) ) 0 ，0 t 1 ，t t 1 酬矧。= ( c + 面d ) ) ) ， a l 扛t - = 一l h x ( a ( t 1 ) ) ， a a ( o ) 一b a ( o ) 0 ，c a ( 1 ) + d o t ( 1 ) o ， 则称为问题( 1 1 1 ) 的一个下解类似地，可定义问题( 1 1 1 ) 的一个上解，只要把 上述不等式的方向改变即可 定理1 , 1 1 假设q 卢是问题( 1 1 1 ) 的下上解且满足 ( a 1 ) a ( ) 卢( t ) ，t f 0 ，1 】， ( n 2 ) d g = ( ( t ，z ) ( 0 ，1 ) r ：o ( t ) z ( t ) 5 卢( t ) ) 假设存在函数h g ( ( o ，1 ) ，r + ) 使得 ( a 3 ) i f ( t ，z ) is ( t ) ，( t ，z ) d g ( i ) 若b d 0 且 ( s ) 如 o 。，则问题( 1 1 1 ) 至少有一解i ( t ) p c i ( 1 0 ，1 ，r 十) 且n ( t ) i ( t ) 卢( ) ( i i ) 若b 0 ，d = 0 且( 1 一s ) ( s ) d s 。，则问题( 1 1 1 ) 至少有一解童( t ) p c i ( 0 ，1 ) ，r + ) 且a ( t ) 5i ( t ) 冬卢o ) ( i i i ) 若b = 0 ，d 0 且s h ( s ) d s o 。，则问题( 1 1 1 ) 至少有一解叠( t ) p c i ( ( o ，1 ，r + ) 且a ( ) i ( t ) 卢( t ) ( i v ) 若b = d = 0 且s ( 1 一s ) ( s ) 出 o 。，则问题( 1 1 1 ) 至少有一解i ( t ) p c ( o ，1 】，r + ) 且o ( t ) 冬i ( t ) 卢( # ) 证明：情形( i ) 的证明，令 ，。( ，z ) = 由( 啦) 及，定义可知：，+ ：( o ，1 ) ( o ，o 。) _ f o ，。o ) ，由) 知j ，( ，# ) js ( ) ，( # ，z ) 8 p 删9 艄 o 口 $ 删删删 o o 0 ， ， ， ，、【 ，+ ( 茁) = j ( z ( t ) ) ，a ( t ) z 卢( t ) fj ( a ( t ) ) ，z 卢( ) ， 缸i t = t l = ( 时冬) 州卸，m ， x l l t = t ，2 一r 三r ( ( t 1 ) ) ， 下证若z ( ) 是( 1 1 2 ) 的p c i ( f o ，1 】，r ) 解，则口( t ) z ( t ) | 曰( t ) ，从而z ( t ) 是( 1 1 1 ) 的p c i ( o ，1 】，r ) 解，且a ( t ) x ( t ) 卢( t ) 若不然，则3t 【0 ，l 】使 。( a ( “那么有三种情况1 z 1 1 若t t l ，令t + = i n f t l s t i ，2 ( 8 ) 0 ， 使z ( r ) = 口( t + ) ；( 2 ) ：亡= 0 ，x ( 0 ) o ( o ) 再令= s u p t l s 【t ，亡 ，t t l ，( s ) 口( s ) ) ， 则有两种情况( 1 ) ： t 1 ，。( ) = a ( ) ；( 2 ) ：= 1 ，。( ) = 口( ) 或 z ( ) 口( ) 若z ( ) o ( ) ，即x ( t 1 ) a ( t 1 ) ，由于j 单增，则x ( t i 。) t l ，z ( s ) o ( s ) ，则 再又有两种情况( 1 ) ：孑 0 ，庐 ( t + ，t ”) ，t l ( t ，亡。) ； 情形4 ：jt + = 0 ， p ，”) ，o lg t ，t ”) ； 情形5 ：jt + = 0 ，巧 ( t ，扩+ ) ，t 1 ( t - ，t ) ； 情形6 ：3t = 0 ， ( t + ，t ”) ，t l ( t + ，扩+ ) 1 ，使x ( t + ) = o ( t + ) ，z ( ) = 口( ) ，z ( t ) 口( t ) ，t = 1 ，使x ( t + ) = a ( t + ) ，z ( 芦) n ( 芦) ，z ( t ) q ( ) ，t 0 1 ，使x ( t + ) o ( 亡) ，z ( r + ) = o ( 矿+ ) ，。( ) a ( t ) ，t 1 ，使x ( t + ) a ( r ) ，。( 芦) = 口( 和) ，z ( t ) o ( t ) ，t = 1 ，使x ( t + ) 5a 0 ) ，z ( ) a ( 芦) ，z ( t ) o ( t ) ，t 对情形2 ，t p ，芬j ，则，( t ，z ( # ) ) = f ( t ，a ( t ) ) ，j + ( z ( t ) ) = j 陋( t ) ) 另一方面，由 9 于。( t ) 是问题( 1 1 1 ) 的一个下解，因而有+ f ( t ，o ( 啪o ，z ( 以) ，令 z ( ) = a ( t ) 一$ ( ) ， 则 z ”( t ) 0 ，t ( t ) ，t t ， z ( t _ ) = z ( t 1 ) ， 一( 对) = 2 7 ( t 1 ) ， z ( t ) = z ( 扩+ ) = 0 由上述四式及最大模原理知z ( t ) 0 ，t 孑】，即z ( t ) a ( t ) ，t f t 4 ，庐】与z ( t ) 0 ，再由( 1 。1 6 ) 有( o ) 0 ，( 1 ) 0 ，再由( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 知只能一( o ) = 0 ，一( 1 ) = 0 所以a z ( o ) = 0 ，c z ( 1 ) = 0 ，故有o = c = 0 与p = n c + a d + b e 0 矛盾其它情形可类似情形2 和情形6 证得矛盾 2 若t ，= t l ，令t + = i n f t l s 她t i 】，z ( s ) 0 ， 使x ( t + ) = 口( t ) ；( 2 ) ：t + = 0 ，x ( 0 ) 口( o ) 令t “= s u p t l s 0 1 ，z 】，t ( s ) a ( s ) ，则” 有两种情况( 1 ) ：t ” 0 ，t “ 1 使。( ) = d ( + ) ，z ( ) ；口( ) ，且。( ) 0 ，t = l 使z ( t + ) = a ( r ) ，。( ) 5 口( ) ，且z ( t ) a ( t ) ，t ( r ，r + ) ，t l ( 圪t ”) ； 情形3 ：3r = 0 ， 1 使x ( t ) 冬a ( t + ) ，( ) = a ( 亡) ，且。( ) a ( t ) ，t ( 六t ”) ，t l ( r ，t ”) ； 情形4 ：jt = 0 ，t ”= l 使z ( r ) s 口( 扩) ，z ( ) ! a ( ) ，且。( t ) t i ，x ( s ) t l ，z ( r ) = a ( r ) ；( 2 ) ：t + = t l ，z ( f ) = a ( 对) 或( t ) a ( t ) 若z ( t ) a ( t ) ，由 于，单增，有。( t 1 ) a ( t 1 ) 再令庐= i n f t s p ，t 1 】，。( s ) n ( s ) ) ，则庐又有两种情 况( 1 ) ：庐 0 ，。( 庐) = n ( 乒) ；( 2 ) ：庐= 0 ，z ( o ) a ( o ) 再取t “= s u p t s 【t 7 ，】，$ ( s ) a ( s ) ) ，则有两种情况( 1 ) ：t ” h t ” 1 ，使z ( t + ) = o ( r ) ，。( ) = 口( ) 且。( ) t l ，t ”= 1 ，使z ( r ) = a ( t ) ，z ( ) sa ( ) 且。( t ) a ( t ) ，t 情形3 ：3t + = 1 ，t ” 1 ，使。( t ) = o ( t + ) ，x ( t ”) = a ( ) 且z ( ) o ( t ) ，t 情形4 ：3t = 1 ，t ”= 1 ，使z ( 亡+ ) = a ( ) ，z ( ) 。( ) 且。( ) a ( t ) ，t 情形5 ：j 庐 0 ，t “ 1 ，使。( 庐) = 口( 庐) ，z ( ) = o ( ) ，且。( ) n ( # ) ， ( 移，t ”) ，t 1 ( 庐，) ； 情形6 ：3 庐 o ，t ”= 1 ，使z ( 1 ；) = 口( 庐) ，z ( ) a ( ) ，且( t ) o ( t ) ，t ( 庐，t ”) ，t l ( 庐，t + ) ； 情形7 ：3 庐= o ， 1 ，使卫( 庐) a ( 庐) ，z ( ) = a ( ) ，且。( t ) a ( t ) ，t ( 庐，) ，t 1 ( ；，) ； 情形8 ：3 齐= 0 ，矿= 1 ，使z ( 庐) n ( 驴) ，z 0 + ) n 0 ，) ，且z ( f ) n 0 ) ， ( 庐，) ，1 舻，) 对上述八种情形，类似1 t 7 t l 可得矛盾综上所述可知z ( t ) 2o ( ) ，类似可证 下证问题( 1 1 2 ) 至少存在一解显然，若。( ) 是积分方程 坤，。：篡篡+ 紫以邢m ，羔o g ( 粤) = 三j 。5 + 6 ) ( c 【l 一曲+ d ) i 8 屯 pl ( 矾+ 6 ) ( c ( 1 一s ) + d ) ， t s 的解，则( t ) 满足问题( 1 _ 1 2 ) ，从而是( 1 1 2 ) 的解因此只须证积分方程( 1 1 7 ) 有 球m ，= ：篡黧：f + 铧州邢，篡： 则t ：x _ x = p c ( o ，1 t ，r ) 由片h ( s ) d s 。知t x 是有界集且( 1 1 7 ) 有解当且 i 夏d t ( 。) ( ) j = j 丢j ( l ( a s + b ) ( c ( 1 一t ) + d ) ，+ ( s ，z ( s ) ) 如 + 丢z 1 ( a t + b ) ( c ( 1 叫删“咿( 圳幽j 兰上p ( a s + b ) i f 邻，坤川d s + f 1 ；( c ( 1 - s ) + d ) i f ，如川d s s j o6 ( 5 ) 出+ ( ( 5 ) 如2j o j 0 6 ( s ) 如 o 。- t 当o l t 1 时， 磊d t ( z ) ( t ) j _ f h ( s ) d s + ( r 笔+ c ) r ( z ( ) o 。 这说明t x 是相对紧集，从而由s c h a u d e r 不动点定理知t 在0 st l , t 1 t 1 上分别有一个不动点z 且 2 ”= 卜，+ ( ，z ) j ( # ) ，t t 1 又片h ( s ) d s ，从而。p c i ( f o ，1 1 , r ) ，所以问题( 1 1 2 ) 至少存在一解。( ) p c i ( o l 】，r ) ，且o ( ) z ( t ) s 卢( ) 情形( i ) 证完 ( i i ) ，( i i i ) ，( i v ) 的证明基本上与( i ) 的证明相同定理1 1 1 证完 口 注1 1 1 若詹h ( s ) d s 0 ，p = d c + a d + b c 0 为叙述方便，列出次线性假设t ( h ) p ( t ) c ( o ，1 ) ，p ( t ) 0 ，p ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ，0 1 现列出本节的主要结果 定理1 2 1 假设条件( h ) 成立。 ( i ) 如果b d 0 ，则问题( 1 2 1 ) 有p c i ( 【0 ，1 】，日) 正解的充分必要条件是下列不 等式成立 0 p ( s ) d s 。( 1 2 2 ) ( i i ) 如果b 0 ，d = 0 ，则问题( 1 2 1 ) 有p c i ( f o ，1 ) ，r 十) 正解的充分必要条件是 下列不等式成立 0 ( i s ) p ( s ) d s o 。，( 1 2 3 ) j 0 c 弊( 1 ) 丘p ( s ) 幽= o ，若上p ( s ) d s = o 。 ( 1 删4 ( i i i ) 如果b = 0 ，d 0 ，则问题( 1 2 1 ) 有p g l ( ( o ，l 】，r + ) 正解的充分必要条件是 下列不等式成立 0 s p ( s ) d s ，( 1 2 4 ) ，1，1 l i m + 2 zp 扣) d s = o ，若上p ( 3 ) d s = 帆 ( 1 2 4 ) ( i v ) 如果b = d = 0 ，则问题( 1 2 1 ) 有p c ( o ，1 】，r + ) 正解的充分必要条件是下 列不等式成立 0 0 ，x ( 1 ) 0 ，霉( o ) = 0 ，。7 ( 1 ) o ，x ( 1 ) 0 ，z ( o ) 0 ，z ( 1 ) = 0 ； 情形( 3 ) ：z ( 0 ) 0 ，x ( 1 ) 0 ，。( o ) 0 ，z ( 1 ) 0 ，。”( t ) 0 ，t ( 0 ，t 1 ) ，所以一( 1 ) 有两种情况( 3 1 ) ： z 似1 ) 0 ，和( 3 2 ) ：一( 1 ) 0 ，由于。”( t ) 冬0 ，t ( l ，1 ) ，z 7 ( 1 ) 0 ，所以 jt o ( t l ，1 ) 使一( t o ) = 0 ，从而。( t ) 在( t l ，t o ) 上为不减函数，在( t o ，1 ) 上为不增函 数，故有 p ( s ) d s z 一1 ( 1 ) p ( s ) 。3 ( s ) d s = 一z 一3 ( 1 ) z 7 ( 1 ) 又p ( s ) 在【t l ，t o 】连续，所以 融s ) d s o o 上述三不等式及条件( h ) 表明( 1 2 2 ) 式成立 对情形( 3 1 2 ) 可类似情形( 3 1 1 ) 证明情形( 3 2 ) 可类似情形( 3 1 ) 证明情 形( 1 ) ，( 2 ) 又可类似情形( 3 ) 证明 2 充分性假设( 1 2 2 ) 式成立令 g l ( f ) = 止竽o c a s + b ，( 等) 1 ( 等茅) 1 删s + 竿z 1 ，叫州) l 、a 。s + b 、1 1 ( 等学) a p 刚 吲。 止竽o + ( 等) 1 ( 等茅) 1 p 幽 + a t p + b 小 ( t 叫+ d ) r 型a + bj 1 1 ( 嵴a p ( s ) 幽 + 韭型型啪椭) ) 1t 一- 、1 - ， 1 4 t l t 1 f 型o ( a s wbpj o ) p ( s ) d s + 掣p 小( 1 叫+ d ) 删则 吲- ，i ，t 邮) = 型pj ，o 。( 时唰s 灿+ 掣p z t l ( c ( 1 叫+ d ) p 如 i j f + 唑篁型( m 冰t 1 ， 则口i p c ( o ，1 】，r + ) o p c i ( 1 0 ，1 ，r + ) n e c 2 ( ( o ，1 ) ，r + ) ，且。舔( o ) 一6 ( o ) = 0 ，c 吼( 1 ) + d q ：( 1 ) = 0 ，i = 1 ，2 ，且对t ( 0 ，1 ) ， 9 1 ( 蛇( 而a t + b ) ( 等竽) 0 1a s + b 、1 ( 掣) 1 p 峨 啦( # ) s ；z 1 ( n s + b ) ( c ( 1 一s ) + d 扫( s ) 出+ ( c + 雨d ) j ( 啦( t ，) ) ， q f ( 。= 一a 。t + + b b 、3 ( 訾) 1 p ( ，醪( = 一p ( t ) ，t c ai 的单调性知9 1 ( t ) q 2c t ) ，t ( 0 ，1 ) 设a ( t ) = k l q l ( t ) ，卢( t ) = k 2 q 2 ( t ) ，这里 一1 = 蚶( 器譬) 1 + 1 ( ! ! ；! 乎型) 1 + 1 p ( s ) d s 】1 ，鹂一1 = 【jf ；( a s + 6 ) ( c ( 1 一s ) + d ) p ( s ) d s + ( c + 南) ，( q 2 0 1 ) ) 】1 ，贝00 n ( t ) 0 ， 又( t ) s0 ，t ( 0 ，t 1 ) ，因此一( t 1 ) 有三种情形( 1 ) ：z 似1 ) 0 ，( 2 ) ：一旧) ：0 和 1 5 ( 3 ) ：( t i ) 0 ，则x ( t ) 在( 0 ，t 1 ) 上单增，从而 f 1p ( s ) d ss 。一1 ( o ) f “p o ) 。1 0 d 8 ：z 一1 ( o ) f 一( o ) 一z 0 1 ) 】 0 和( 1 2 ) ： z 他 ) s 0 对情形( 1 i ) ：。似 ) 0 ，则据x n ( t ) 0 ，( l ，1 ) ，z ( 1 ) = 0 可知3t o ( t l ，1 ) ， 使一( t o ) = 0 ，因而$ ( t ) 在( t 1 ，t o ) 上不减，在( t o ，1 ) 上不增，从而有 f ( - 一s 扫( s ) 幽= 名出石p ( 州ss r z 矗( 力石p ( s 矿扣) d s 出= 等字导 o 。 ( 1 2 ，7 ) 又p ( s ) 在f l ，t o 】上连续，故有 ( i s ) p ( s ) 幽 o o ( 1 2 8 ) 由( 1 2 6 ) ，( 1 2 7 ) ，( 1 2 8 ) 式及条件( h 】知( 1 2 3 ) 式成立 由( 1 2 1 ) 知p ( t ) = 一( f 净一3 ( t ) ，t f 1 再对t ( f o ，1 ) ，两边积分有 p ( s ) d s 一$ ( t ) z 1 ( t ) ，( t o ，1 ) 再对上式积分有 ，1 f 咖胁妪警，t ( t o , 1 ) 从而 (1-t)：)drs生1-迎at p f f ) d r su 令t _ + l ，得 t 峰( 1 一。上。p ( 5 ) d 8 = o 9 ) 又p ( s ) 在【t l ，t o 上连续，从而 ，t o f p ( s ) a s o o ( 1 2 1 0 ) 由( 1 2 6 ) ，( 1 2 9 ) ，( 1 2 1 0 ) 知( 1 2 3 ) + 式成立 x c f # 形( 1 2 ) ：一( # - ) s0 ，则z ( t ) 在( # l ，1 ) 上不增，类似情形( 1 1 ) 有 r ( ，一咖( s ) 幽= r 疵r p ( s ) d s f t l z 。( ”f 小矿。) d s d t 生1 当- a 盟 0 时，( 1 2 3 ) ，( 1 2 3 ) + 式成立 对情形( 2 ) ：( t 1 ) = 0 ，则一( t + ) 0 ，类似情形( 1 ) 可证( 1 2 3 ) ，( 1 2 3 ) 式成 1 6 对情形( 3 ) ：一( 1 ) 0 知jt o ( 0 ，1 ) ，使 一) ：0 因此z ( ) 在( o ，t o ) 上不减，在( 亡0 ，t 1 ) 上不增又一( 对) 0 ，所以。( t ) 在 ( 1 ，1 ) 上不增，类似情形( 1 ) 可证( 1 2 3 ) ，( 1 2 3 ) 式成立 若一( o ) ：0 ，则一( t 1 ) o ，一( t ) 墨0 ，从而z ( t ) 在( o ，t 1 ) ，( t 1 ，1 ) 上均不增，类似 前面可证( 1 2 3 ) ，( l 2 3 ) + 式成立 2 充分性假设( 1 2 3 ) ，( 1 2 3 ) + 式成立令 q l ( t ) = 而l - - t 伽惦( a s + b ) 1 ( ，_ s ) 出 + 搿小叫 a 。s + 6 + b ) 1 ”跏幽， 蒜胁+ 6 ) ( 等) 1 ( 叫) d s + 等1 ( ，叫( 等) 1 ( ，叫出+ ! 辫m m l ) ) 0 t t l 1 1 f 糍z ( a s + b ) p ( s ) d s + 第小一) p ( s ) 峨叭吲t ， 郇) = 而1 - t 0 2 ( a s + b 荆幽+ 等z 1 ( 1 嘞如 f + 半掣m 2 ( 1 ) ) ， t 1 0 ，t ( 0 ，t 1 】，z ”( t ) 0 ，t ( 0 ，t 1 ) ，所 以z ( t ) 在( o ，t 1 ) 上单增，从而 z “印( s ) 出= z “d ti t t 1 p ( s ) 如z “$ 一1 ( t ) “p ( s ) ( s ) 如出 ：一f t tx _ a ( f ) ，“z ”( s ) d s d t ：一f “z 一1 ( t ) 扫，0 1 ) 一。，( o w t ( 1 2 1 2 ) f “。以( t ) 州d t ：兰掣 0 对情形( 1 1 ) ：( 对) 0 由( t ) 0 ，。( t ) 0 ，t ( t 1 ，1 ) ，z ( 1 ) = 0 可知( t ) 在 1 7 ( t l ，1 ) 上为减函数，所以 r ( ，一咖( 啪s = fd t p ( s 冲r z 。( t ) r 邢矽。) d s d t = 一。( f ) 陋伽) 一z ( z _ ) 仲 一r z l 啦j ( t 肛芝1 - 盟a 0 ，t ( 1 ，1 ) ，z ( 1 ) = 0 可知jt o ( t 1 ，1 ) 使一( t o ) = 0 ，所以z ( t ) 在( t o ，1 ) 上单减，在( t 1 ，亡0 ) 上单增又p ( t ) 在【t l ，t o 上连续，从而髀s ( 1 一s ) p ( s ) 如 0 时，有( 1 2 5 ) ，( 1 2 5 ) + ，( 1 2 5 ) ”式成立情形( 2 ) 和情形 ( 3 ) 的证明类似情形( 1 ) 2 充分性假设( 1 2 5 ) ，( 1 2 5 ) + ，( 1 2 5 ) ”式成立令 叫1 p 凼+ 1 ( 1 叫s 如) d s , 0 t l _ s ) 僦s ) d s + t 1 ( 1 一s ) x + l p p ( 州s )，tlt o ，。( 1 ) = 0 ，一( o ) 0 ，一( 1 ) 0 因而存在常数 z “( 1 。) 1 p ( s ) 如s 玎1 f o “p ( s ) 卫1 ( s ) 如= e 1 ( o ) 一。( 。) 】 o 。， r ( 1 一s ) ( s ) 如百1r p ( s ) 一( s ) d s = 玎1 扛 ) 一州1 ) 】 o o 1 9 一 t t l i ，厶型h 茚 一i | “等 上述两不等式及条件( h ) 表明( 1 2 1 6 ) 式成立 2 充分性假设( 1 , 2 1 6 ) 式成立令 q ( t ) = 而1 - t z ( a s + b ) ( 等) 1 ( - 叫椰) d s + 等小叫( 等) 1 c - 叫幽，妯 型a + b 胁+ 6 ) ( a 川s + b ) 1 ( 1 叫- 幽 + a 。t + + 6 b f 1 ( 1 一sf 、a 。s 十+ 。b ) 3 ( 1s ) ) 篱啪m ) ) ，抓t 1 贝qg ( t ) p c ( o ，i 3 ，r + ) n p c ( 1 0 ，1 ，r + ) n p g 2 ( ( o ，1 ) ，r + ) ，且 q ( z ) ! 二掣0 1 a 。s + + 6 b ) 1 十1 ( 1 一s ) 1 + 1 p ( s ) 幽 等z 1 ( 茅) 1 ( -