（应用数学专业论文）几类拟解析系统的等时中心与极限环分支.pdf

摘要 本文研究了几类拟解析系统原点的中心、等时中心与极限环分 支，共由三章组成。 第一章针对多项式微分系统的等时中心与极限环分支的历史背 景与研究现状进行了概述。 第二章考虑了一类拟四次系统原点的中心与等时中心问题，通过 一系列的变换将拟四次系统转化为复解析系统，给出了计算该复系统 原点的奇点量和周期常数的递推公式，并在计算机上用m a t h e m a t i e a 推导了原点的前1 2 个奇点量，进而得到了系统原点是中心的充要条 件；然后在系统中心条件的基础上，通过对系统周期常数的计算，得 到了中心成为等时中心的必要条件，并利用多种有效途径证明了这些 条件的充分性。 第三章利用第二章中的方法研究了一类拟五次系统原点的中心 焦点判定与极限环分支问题，得出了该系统的前1 4 个奇点量，从而 导出原点成为中心的条件与1 4 阶细焦点的条件，并在此基础上利用 有效方法在不构造p o i n c a r 6 环域的情况下，给出了该系统在原点可 以扰动出5 个小振幅的极限环的一个实例。 关键词拟解析系统，奇点量，可积性条件，等时中心，周期常数， 极限环分支 a b s t r a c t t h i st h e s i sp r o b e si n t ot h ec e n t e rc o n d i t i o n s t h ei s o c h r o n o u s c o n d i t i o n sa n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e sf o rq u a s i a n a l y t i cs y s t e m so f o r i g i n t h et h e s i sc a nb ed i v i d e di n t ot h r e ep a r t s i nc h a p t e ro n e ，h i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dr e s e a r c hs t a t u so ft h e i s o c h r o n o u sc e n t e ra n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e so fp l a n a rp o l y n o m i a l d i f f e r e n t i a ls y s t e r na r ee x p l a i n e da n ds u m m a r i z e d c h a p t e rt w oe x p l o r e s t h es o m e a s p e c t sc o n c e r n i n gt h e c e n t e r c o n d i t i o na n di s o c h r o n o u sc e n t e ro fq u a s i - f o u r t hs y s t e mo fo r i g i n b y m e a n so fas e r i e so fc o n v e r s i o n s t h eq u a s i a n a l y t i cs y s t e mi st r a n s f o r m e d i n t oac o m p l e xs y s t e m t h et h e s i sp r e s e n t st h er e c u r s i o nf o r m u l a sf o r c o m p u t a t i o n o fs i n g u l a r p o i n tq u a n t i t i e sa n dp e r i o dc o n s t a n t s ，a n d d e d u c e st h ef i r s tt w e l v e s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e st h r o u g h t h e m a t h e m a t i c as y s t e mi nt h ec o m p u t e rs oa st oa r r i v ea tt h ec o n c l u s i o nt h a t t h es y s t e mo r i g i ni st h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec e n t e r t h e n ，o nt h eb a s i so fc e n t e rc o n d i t i o n s ，a n dt h r o u g ht h ec o m p u t a t i o no f p e r i o dc o n s t a n t s ，t h et h e s i sp r o p o s e st h a tt h ec e n t e ri st h en e c e s s a r y c o n d i t i o nf o ri s o c h r o n o u sc e n t e r t h es u f f i c i e n c yo ft h e s ec o n d i t i o n si s p r o v e dt h r o u g hs o m ee f f e c t i v em e t h o d s i nc h a p t e rt h r e e ，b yt a k i n ga d v a n t a g eo ft h em e t h o de x p l a i n e di n c h a p t e rt w o ，c e n t e rc o n d i t i o n sa n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e so f ac l a s so f q u a s i f i f u ls y s t e mo fo r i g i na r ei n v e s t i g a t e d ，a n dt h ef i r s t f o u r t e e n s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e sa r ed e d u c e d i nt h i sw a y , t h ec o n d i t i o n sf o rt h e o r i g i n t ob eac e n t e ra n df o u r t e e n 。o r d e rf i n ef o c u sa r ed e r i v e d r e s p e c t i v e l y a n do nt h i sf o u n d a t i o n ，a ne x a m p l ed e m o n s t r a t i n gt h a tt h e s y s t e mc a nb i f u r c a t ef i v el i m i tc y c l e sa tt h eo r i g i nw i t h o u tc o n s t r u c t i n g p o i n c a r 6c y c l ed o m a i n si sd e m o n s t r a t e d k e yw o r d s q u a s i - a n a l y t i cs y s t e m ，s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t y , i n t e g r a b l ec o n d i t i o n ，i s o c h r o n o u sc e n t e r , p e r i o dc o n s t a n t ，b i f u r c a t i o no f l i m i tc y c l e s i l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材 料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明 确的说明。 作者签名：主当壹日期：姒年且月丝日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论 文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或 部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文 数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：监导师签名盔盟二= 芷日期：址年且月蛰旧 硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 常微分方程定性理论从法国数学家庞卡莱( h p o i n c a r 6 ) 在1 8 8 1 年到1 8 8 6 年发表的微分方程所定义的积分曲线为题的四篇开创性论文起，一个多世纪 以来一直保持着向前积极发展的活力，其主要原因在于它的根源深扎在各种实际 问题中。不仅在天体力学、自动控制、机械、化工、生物、电讯，而且在经济以 及其他社会学科的各个领域都得到了广泛的应用。同时这些应用的需要又反过来 推动了定性理论的发展，计算机技术应用于微分方程的研究就是一个很好的例 子。特别是近三十年来，随着计算机的发展，计算机符号运算得到一定程度的提 高，为常微分方程定性理论的研究提供了有利的工具，使定性理论的研究进程得 到了进一步的发展。在此背景下，本文借助计算机符号运算的代数系统，研究几 类微分自治系统原点的等时中心与极限环分支问题。 1 1 拟解析系统的研究背景和近况 研究单个细焦点扰动出极限环的h o p f 分支问题，文【1 】和文 2 】均有详细的介 绍。研究这个问题的方法很多，大体上有p o i n c a r 6 后继函数法、l i a p u n o v 常数法、 正规型法等，这些方法都涉及到奇点量( 包括焦点量和鞍点量) 的计算。奇点量是 微分方程定性理论、分支理论和解析理论中重要的判定量，但传统的奇点量公式 的推导与化简需要进行大量韵计算，例如用后继函数法求焦点量需要进行大量的 积分，用形式级数法求l i a p u n o v 常数需要解大量的线性方程组，所以有不少数 学工作者在不断探求新的方法。焦点量或l i a p u n o v 常数的算法以及计算机实现 的问题引起了众多学者的关注。首先刘尊全、秦朝斌 3 ，4 】和秦元勋、刘尊全【5 】 用计算机推导了焦点量的公式；杜乃林、曾宪武 6 】，c h a v a r r i g a 7 等也相继地 研究了上述问题。刘一戎、陈海波 8 】利用代数等价的形式得出了一套线性递推 计算公式，只需以系统的系数为符号进行有限次的加减乘除四则运算，避免了经 典方法中复杂的积分与解方程运算，它是目前计算奇点量较好的运算公式之一。 计算机性能的提高和计算机公式的不断简化，为极限环分支问题的研究提供了有 利的物质基础，分支理论将会更加完善。刘一戎 9 】研究了拟二次系统的广义焦 点量与极限环分支，得到了由原点扰动出四个小振幅极限环的实例，同时给出了 它们的具体位置，并给出了由原点扰动出五个小振幅极限环的充分条件。由于该 类系统的复杂性，以后这方面的成果很少见。本文在此基础上得到启发，研究了 一类拟五次系统的极限环分支，并给出了该系统在原点分支出5 个小振幅的极限 环的实例。 硕士学位论文 第一章绪论 1 2 等时中心的发展与现状 在平面多项式微分系统定性理论中，中心与等时中心这两个经典的问题一直 吸引着众多的数学工作者。如果一个平面多项式系统的中心充分小的邻域内闭轨 族的周期函数为常数，则称该中心为等时中心。显然等时中心是中心的一种特殊 情形，在实际中有着重要的应用。关于等时中心研究的非线性例子最早可追溯到 1 6 7 3 年荷兰数学家和物理学家c h u y g e n 的工作。他观察到随着摆钟发条的伸展， 能量下降，摆锤振荡的周期越来越小，摆钟具有单调的周期函数。为了拥有更精 确的时钟供轮船航海使用，他设计出旋轮摆钟，摆钟限制在旋轮路径振荡，并使 运动的周期与振幅无关，这可以说是第一个非线性等时系统的例子( 见 1 0 ，1 1 】) ， 但对于多项式微分系统等时特征的研究仍然是一个非常困难的问题。对于一些原 点的等时中心问题的研究，主要集中在下述系统的讨论上 等= 孤一y + 以( x ，y ) ， 扫2 ( 1 1 ) a j y ，= x + 8 y + 砭( x ，y ) ， k = 2 这里五( 工，) ，) ，k ( x , y ) 是关于x , y 的齐k 次多项式，许多学者进行了研究，已经有 了一些研究成果，例如，l o u d 1 2 】解决了二次系统；p l e s h k a n 1 3 解决了缺二次 项的三次系统；c h r i s t o p h e r a n dd e v l i n 1 4 解决了三次k u k l e s 系统；l l o y d 等 1 5 】 解决了一类三次系统；c h a v a r r i g a , g i n ea n dg a r c i a 1 6 ，1 7 解决了只有线性项加四 次、五次项的系统；c a i r oe t e 1 8 ，w e i n i a nz h a n ge t c 1 9 解决了三次可逆系统等。 值得一提的是，对于三次系统的等时中心问题vr o m a n o v s k ia n dm r o b n i k 2 0 】 给出了最好的结论。而对于无穷远点的等时中心问题的研究，主要集中在对下述 2 刀+ 1 次系统的讨论上 空d t = y n 五( 训) - y ( x 2 + y 2 ) “， 一：一k ：= 。o ( 1 2 ) ，_ 、一， 警= 艺砭( 训) 十工x + y 2 ) ” 该系统p o i n c a r 6 闭球面上的赤道r 。为系统的轨线，其上没有实奇点，称r 。为系 统的赤道环或无穷远点。对于系统( 1 2 ) 的等时中心问题也有了一些结果 2 1 2 4 。 近来，刘一戎和黄文韬【2 1 延伸了微分系统无穷远点的等时中心的概念，l i u y i r o n ga n dl ij i b i n 【2 5 ，2 6 分别给出了判定系统的等时中心的新方法，至于与系统 ( 1 1 ) 相对应的拟解析系统 2 硕士学位论文第一章绪论 安：8 x 训( x + y 2 ) 芈以( 毛y ) ， ? ：? ( 。一。) ( 五一。) ( 1 3 ) ， ( 七一1 ) ( 五一1 ) 、7 ， a m y = x + 8 y + ( x 2 + y 2 ) tk ( x , y ) 的等时中心问题则是一个新领域，这方面的研究成果还比较少见，这里名为任意 的非零实数。 求系统等时中心的方法并不是唯一的，c h a v a r r i g ae ta l 1 6 ，c h r i s t o p h e r , d e v l i n 1 4 】和c a i r oe t ca l 1 8 分别给出了一些确实可行的方法。求系统等时中心 常见的方法是先求出中心的前面若干个周期常数，然后令这些周期常数全部为 零，从而获得等时中心的必要条件，最后利用多种有效途径证明了这些条件的充 分性。据我们所知，有下列求周期常数的方法：其一是原始方法，该方法是直接 从周期函数f ( ) 的展开式中求出h 的系数，在文 2 7 有详细的介绍，涉及到复杂 的积分运算；其二是j c h a v a r r i g a 等人提出的等时常数方法 1 6 ，2 8 ，1 7 ，该方法是 从式膏+ h = 0 定义出等时常数，涉及到复杂的三角函数运算；其三是林怡平、 李继彬 2 9 】直接求规范型系数的方法，该方法计算量非常大。刘一戎、黄文韬 2 5 】 给出了微分自治系统的周期常数计算的新方法，给出了复等时中心、复周期常数 的定义，并给出了求复周期常数的一种递推公式，用此公式求周期常数只需以系 统右端系数为符号进行有限次加减乘除四则运算，避免了上述方法的复杂的积分 与三角函数运算，而且易于在计算机上实现，从而克服了上述缺点。实系统的情 形则成为我们研究的复系统的一个特例，对于拟解析系统周期常数的讨论，则是 一个崭新的领域。本文研究了一类拟四次系统的等时中心问题。 1 3 多项式微分自治系统的极限环 极限环问题的研究，在常微分方程定性理论中扮演了一个重要的角色。著名 数学家h i l b e r t 于1 9 0 0 年在国际数学家大会上提出了影响数学发展的二十三个问 题，其中著名的h i l b e r t 第十六个问题是迄今为止仅有的少数几个尚未解决的问 题之一。h i l b e r t 第十六个问题的后一半就是：给定微分方程 立一墨f 兰：塑 出一q ( 工，y ) 其中，q 是x , y 的次数不高于刀的实系数多项式。问这类系统最多有几个极限 环? 当达到最大数目时，它们的相对位置又如何? 即对一切这样的玎次系统，能 否估算出极限环个数的上界( 自然依赖于刀) 。一个世纪以来，这一问题引起了世 界各地相关数学工作者的关注，同时因其困难程度也一直困扰着人们。有关这个 问题只有法国数学家h d u l a c 3 0 在1 9 2 3 年证明了对每个这样的系统，极限环的 3 硕士学位论文第一章绪论 个数是有限的，但对于全体刀次多项式系统所能达到的最大极限环个数而言，即 使是最简单的二次系统还未最终定论；另外，只对限制很强的一类极限环即强稳 定和强不稳定极限环，s p d i l i b e r t o 3 1 】给出了极限环个数的上界。但随着此问 题研究的深入和发展，尤其是随着计算机的出现与发展，大量的研究方法和较好 的结果不断涌现【3 2 】。史松龄 3 3 】和陈兰荪、王明淑 3 4 】分别举出了平面二次系统 至少存在四个极限环的例子，破除了平面二次系统极限环的个数最多为3 的猜测， 对n = 2 时d h i l b e r t 第十六问题是一个大的推进，这方面前期的工作已收集在 叶彦谦 3 5 】及秦元勋【3 6 】的著作中。若记h i l b e r t 第十六问题中胛次多项式能达 到的最大极限环个数为日( 刀) ，则史松龄得到了日( 2 ) 4 ，李继彬、黄其明 3 7 1 得到 了日( 3 ) 1 1 ，2 0 0 5 年郁培、韩茂安【3 8 得到了日( 3 ) 1 2 ，在此基础上刘一戎、黄 文韬 3 9 】由两个细焦点出发得到了日( 3 ) 1 2 ，对于高于三次的系统文 4 0 】得到了 h ( 4 ) 1 5 ，杜超雄 4 1 也得到了日( 4 ) 1 5 ，文 4 2 】得到了日( 5 ) 2 4 。同年，郁培 4 3 在浙江举行的微分方程分支理论和动力系统国际数学大会上阐述了日伽) 的 研究近况： 日( 2 ) 4 ，( 3 ) 1 2 ，日( 4 ) 1 5 = 4 2 1 ： 日( 5 ) 2 4 = 5 2 1 ( l i ，c h a n & c h u a n g ，2 0 0 2 ) ： 日( 6 ) 3 5 = 6 2 1 ( w a n g & y u ，2 0 0 5 ) ： 日( 7 ) 4 8 = 7 2 1 ( l i & z h a n g ，2 0 0 4 ) ： 日( 9 ) 8 0 = 8 2 1 ( w a n g ，y u & l i ，2 0 0 6 ) ： h ( 11 ) 1 2 1 = 11 2 ( w a n g & y u ，s u b m i t t e df o rp u b l i c a t i o n ) 但以上结果除h ( 2 ) 4 ，h ( 3 ) 1 2 ，日( 5 ) 2 4 = 5 2 1 己正式出刊外，其他的结论 可能还在研究中。著名的数学家s s m a l e 4 4 】认为对于h ( 咒) 的研究可能是h i l b e r t 问题中最难解决的一个。 1 4 本文的主要工作 微分方程定性理论有着丰富的内容和远大的发展前景，还有许多重要的问题 需要解决。本文在前人研究的基础上对几类拟解析系统进行了探讨，概括起来本 文的特色工作具有以下几个方面： l 研究了一类拟四次系统原点的中心与等时中心问题。 2 解决了一类拟五次系统原点的奇点量和可积性条件，得到了该系统存在5 个 4 硕士学位论文第一章绪论 极限环的结论，并给出了扰动的实际例子。 5 硕士学位论文第二章一类拟四次系统的中心与等时中心 2 1 引言 第二章一类拟四次系统的中心与等时中心 在平面多项式微分系统中，中心与等时中心这两个经典的问题一直吸引着众 多数学工作者，已有大量的研究结果。首先是中心问题，不论是细焦点还是无穷 远点的极限环分支问题都与其有着密切的联系，系统的有限奇点或是无穷远点成 为中心的充分必要条件是所有的焦点量为零。通常我们在研究焦点量时只能求出 前面有限个焦点量，根据有限基原理一定存在前面有限个焦点量能把所有的焦点 量表示出来，这有限个焦点量称之为焦点基。系统的有限奇点或无穷远点前面有 限个焦点量为零的条件是有限奇点或无穷远点成为中心的必要条件，充分条件还 需要用其他方法证明，如求首次积分或积分因子等。 若一个平面多项式系统的中心充分小的领域内闭轨族的周期函数为常数，则 称系统的中心为等时中心。求系统等时中心的一种常见方法是：先求系统中心的 前面若干个周期常数，然后令这些周期常数为零从而获得等时中心的必要条件， 然后利用其他有效方法去证明其中的某些条件是充分的，例如线性化方法等。另 外，林怡平、李继彬 2 9 】首次在复域中研究等时中心问题，定义了广义等时中心， 并给出了一种计算方法，但其计算量太大不便应用。刘一戎、黄文韬【2 5 】通过把 实系统等时中心引入复平面研究，定义了复中心与复等时中心，这样复系统原点 前几个周期常数为零的条件即为对应的伴随系统原点成为等时中心的必要条件， 并给出了求复周期常数的一种递推方法，用这种方法求周期常数只需以系统右端 系数为符号进行有限次加减乘除运算，避免了前面所说方法的复杂的积分和三角 函数运算，并且易于在计算机上实现。本文采用这种方法研究一类拟四次系统的 等时中心问题。 本文将研究下列一类拟四次系统 其中 d r 冼 咖 d t = 一y + ( x 2 + y 2 ) 五一1 鼍( x ，y ) + ( z 2 + j ，2 ) 3 a 一1 7 2 五( x ，y ) ， = 工+ ( x 2 + y 2 ) 五一1 匕( x ，j ，) + ( ，+ y 2 ) 3 互一1 7 2 匕( x ，y ) ， 6 ( 2 1 1 ) 硕士学位论文第二章一类拟四次系统的中心与等时中心 鼍( z ，j ，) = 一( 垦l x + 4 i y ) ( x 2 + y 2 ) ，y 3 ( x , y ) = ( 4 。x 一垦l y ) ( 工2 + y 2 ) ， 五( x ，y ) = 一( e 3 + 忍l + 玩o ) x 4 + 2 ( 4 3 4 l 一2 厶) x 3 y + 6 8 4 0 x 2 y 2 + 2 ( 4 3 4 i + 2 氏) x y 3 + ( 尽3 + 忍l 一) y 4 ，( 2 1 2 ) e ( x ，y ) = ( 4 3 + 4 l + 4 0 ) x 4 + 2 ( e 3 一马l 一2 ) x 3 y - 6 a 4 0 x 2 y 2 + 2 ( b 1 3 一岛l + 2 母4 0 ) x y 3 - ( 4 3 + 鸽l 一4 ) y 4 ， 兄及诸以和b o 均为实数，j 1 2 0 2 2 预备知识 妄2 叫+ 薹以( 毛j ，) ， (22。)d 口y ，= x + 脱主y k ( 墨 一 五( 毛j ，) _ 。善。以。声，广，k ( 五y ) - 。荟。吃。，y ， ( 2 2 2 ) 口+ 卢= 口十卢；蠢 。 - - 妄= - y + 驴卅芈五( 训) ， 老彝纠半如a q 捌 7 硕士学位论文第二章一类拟四次系统的中心与等时中心 系统( 2 2 3 ) 当力 0 时坐标原点( 以及当见 0 ( 名 0 时，如果系统( 2 2 3 ) 的原点为中心，且在原点充分小的 领域内任一闭轨都以2 万为周期，则称系统( 2 2 3 ) 的原点为等时中心； ( 2 ) 当五 o ( 兄 0 时把坐标原点变为坐标原点，而当a o 时坐标原点( 以及当名 0 时坐标原点( 以及当1 0 时无穷远点) 为等时中 心的充分必要条件是系统( 2 3 3 ) 的坐标原点为等时中心。 系统( 2 3 3 ) 经变换 z = u + i v ，w = u 一如，t = i t ，i = 4 1( 2 3 4 ) 化为如下复系统 d z = z + d t ( 3 , + 1 ) a 2 1 - ( 2 - 1 ) b 2 1 z 2 w4 ( a + 1 ) a 4 o 2 + ( 2 + 1 ) a 3 1z 3 w 一 - ( 1 - 1 ) b 1 3z 4 2 ( 2 - 1 ) b 3 1z 2 w 2 + 丝塑 丝二! 监驯， 2 22 坐= 鲞主望釜坠! 幽型塑： 亿3 匀 坐：一w + 丝二迪! 二! 垒! 如驯z 一丝1 2 生! 二垡二堕 p 叫 d t22 一! 墨坠! w 3 z + ( 2 - 1 ) a 3 w ：z ：一! 垄些 ! 墨二! 遍耽， 222 = 一w 一呢( z ，w ) 一呢( z ，w ) = 一形( z ，w ) 以下记 z 3 ( z ，们+ z 4 ( z ，叻= 瓦，矿矿+ 疋，声广， 呢( z ，w ) + 呢( z ，w ) ：口董吃，p 旷扩+ u + f l = 4 瓦，俨， ( 2 3 6 ) 呢( z ，w ) + 呢( z ，w ) = 吃，p 旷扩+ 瓦，俨， 卜“w 其中z ( z ，w ) 和w ( z ，w ) 都在原点邻域解析，z ( o ，0 ) = 形( o ，0 ) = o ，z ，w 和丁均为复变量， t 吃，为复参数。 我们称系统( 2 3 3 ) 与系统( 2 3 5 ) 互为伴随系统，它们系数之间的关系如下： a 4 0 = 4 i o + i b 4 0 ，a 3 l = 4 i + 避l ，a 1 3 = 4 3 + 8 , 3 ，a 2 l = 4 l + 溉l ， 一一一一 ( 2 3 7 ) b , o2a 4 0 ，6 3 l 。a 3 l ，2 5 1 32a i 3 ，6 2 l2a 2 1 文【4 6 】中定义了复自治系统的复中心与奇点量，文 2 5 】中定义了复自治系统 的等时中心与周期常数，从中得出：如果复自治系统( 2 3 5 ) 的系数满足共轭条件 且坐标原点是中心( 等时中心) ，则它的伴随实系统( 2 3 3 ) 的原点也是中心( 等时中 心) 。因此，系统( 2 3 3 ) 的中心与等时中心的必要条件可以由它的伴随复系统( 2 3 5 ) 的奇点量与周期常数得到。 2 4 系统奇点量与周期常数的计算公式 由于系统( 2 3 5 ) 的右端系数满足共轭条件 1 0 硕士学位论文 第二章一类拟四次系统的中心与等时中心 a 4 0 = a 4 0 + 让，a 1 3 = a t 3 + b 1 3 ，a 3 l = a 3 l + 溉l ，a 2 l = 彳2 1 + 遏1 ， = a 一4 0 ，6 l ，= 瓦，6 3 ，= i ，6 2 ，= 五 通过变换 z = r e i 8 ，w = r e - i o , t = i t ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 妄等磊，( 疋伊，札，) e t ( a - p ) 口i r 3z 心( t 伊- 札- 矽 ( 2 4 3 ) 警= 1 + 虿r 3 。薹，( 以伊- + 易旷- 矽p 硝+ i r 2 口荟。( t 伊- + 易舻t 矽忸邓妒 或者 d r 一= d e 要( 口：肛一舻。) e l ( a - p ) o + 三二2 ( 疋争。一易芦一。矽似叩妒 兰! ! 壁三!二竺三生三! 1 + ；( 疋，户+ 易扩。) e i c a - # ) o - k 等( 口：，伊。+ 易胪，矽似叩妒 厶+ 8 | s厶c t + f l = 4 对于复常数| j l ，i h | o ) 或口 o 或 o 时，声= o ，其它 lu + p + 2 ， c a , b 赤。孙川) “一( + 1 ) “h w 小 ( 2 4 1 3 ) 2 m + 2 ，= ( 吐乒。- b ) 。一。) 一州。p 。 七+ ，= 3 对于系统( 2 3 3 ) 或系统( 2 3 5 ) 原点为复中心当且仅当以：0 , k ：1 ，2 ，显然当 系统( 2 3 3 ) 为实系统，则复中心为实中心，定理2 4 1 和定理2 4 2 给出了判定中心 条件的递推公式。 定理2 4 3 假定系统( 2 3 3 ) 或系统( 2 3 5 ) 原点为复中心( 或= o ，m ：1 ，2 ，) ，如 果存在正整数七，使得= 气= = 靠一l = 0 ，0 ，则 r ( 2 z r ，j 1 1 ) = 万 2 一g h 2 + 。( j i l 2 ) ( 2 4 1 4 ) 由定理2 4 3 有 推论2 4 1 对系统( 2 3 3 ) f t l 系统( 2 3 5 ) ，原点为复等时中心的充分必要条件为 段= = 0 , k = 1 , 2 ，3 ， 定理2 4 4 对系统( 2 3 5 ) 可逐项确定以下级数 厂( z ，w ) = z + ，w j ，g ( z ，计= w + 。，z 7 ， ( 2 4 1 5 ) k + j = 2 k + j = 2 这里卅= + l ，。= o ，k = l ，2 ，有 1 2 硕士学位论文第二章一类拟四次系统的中心与等时中心 券吡w ) + 喜矿，等- - g 亿w ) 毒肚7 ， ( 2 4 1 6 ) 当k - j - i o ，t 矾，由递推公式 1k + j + l ，- 蠢广孝掣吨“h 肛l 卜肚d 埔一u 饥1 ( 2 4 1 7 ) = 志。薹， ( 后一川) “一( j 一川) “- k 一妒川， 对任意的正整数，p ：，q ? 由以下递推公式得到 e = ( ，一口+ 2 ) 以伊- 一( 一f l + 1 ) b p 州_ 。铊州， a + f l f f i 3 ( 2 4 is )2j+2r， 、 西= ( j f o r + 2 ) b a ，户- 一( _ ，一+ 1 ) 口；，。一。h 。峨卜，卅， 在表达式( 2 4 1 7 ) 和( 2 4 1 8 ) 中，令亩= ，。= l ，磊，。= 磊，。= o ，且当a o 或3 0 时有 t ，= 瓦，声= 蠢，= 以，= o 定理2 4 5 令岛= g o = 磊= 玩= o ，如果存在正整数m ，使得 p o = q o = a = g l = = 一l = 一l = 0 ，( 2 4 1 9 ) 则有 p o 。= 玩= 矗= 反= = 瓦一。= 瓦一= o ，= t ，= 以，( 2 4 2 0 ) 反乏亦然。 2 5 系统的中，b 条件 下面考虑上述系统的中心，为了方便讨论，我们把系统重新写为 d z d t d w d t ：z + ( 3 , + 1 ) a 2 1 - ( 2 - 1 ) b 2 1z 2 w + ( 2 + 1 ) a 4 0 2 + ( 2 + 1 ) a 3 1z 3 w 一 - ( 3 , - 1 ) b 1 3 z 4 2 ( 2 - 1 ) b 3 tz ：w z + 丝! 独二坚二坠生驯， ：窭主塑美丑塑盟塑独! w 4 仁5 m ：一w + ! 墨二! 超二! 墨! 堕删z 一垡望纽二丝二竖! w 4 7 22 (2+1)b31w 3 z + ( a - 1 ) a 3 1w z z z 一坚些 ! 垒二! 豳睨s = - - w 一职( z ，w ) 一呢( z ，计= 一w ( z ，w ) 首先，我们讨论系统( 2 5 1 ) 原点成为中心的条件。利用递推公式( 2 4 1 3 ) ，并 在个人计算机上进行计算化简得 1 3 硕士学位论文 第二章一类拟四次系统的中心与等时中心 定理2 5 1 当a 0 时，系统( 2 5 1 ) 的前1 2 个奇点量为： 鸬= ( 口2 l 一6 2 1 ) 兄，, u 2 = 0 ， 鸬= ( 6 1 3 b , o a z 3 ) a 以= 地= 0 ， , u 6 = 一( 五一d 3 ( 3 3 一1 ) ( 2 i o + 五) ， 鸬= 考( 口2 l + 6 2 i ) 3 ( 1 6 2 7 ) ( 2 0 + ) ， 熊= 一去( a 2 l + 6 2 1 ) 2 3 ( 2 1 0 + 厶) ， 鸽= 一圭旯( 一6 a 1 3 a 4 0 一6 a 1 3 2 j 1 3 + 5 a 3 l 岛l 一2 a , o b 4 0 一6 6 3 b , o + 1 6 a 1 3 a 4 0 名 + 1 8 0 a 3 6 1 3 名一1 5 a 3 1 6 3 l a “口4 0 b 4 0 3 + 1 6 6 3 b 4 0 3 ) ( 2 i o + ) ， “。= 而1 ( 锡l + 删3 7 4 9 2 a i 3 a 4 0 + 2 0 4 7 4 嘛一2 2 8 5 2 5 岛l ( 2 5 2 ) 一3 0 0 6 4 a 4 0 6 4 0 + 3 7 4 9 2 6 3 b o ) ( 2 1 0 + 厶) , a 1 = 0 ， 鸬2 2 磊彖名( - 2 9 1 0 6 口三雏一2 1 1 0 4 3 7 a 3 - 2 j 1 3 6 3 l + 1 7 7 1 8 7 5 磕 + 617 2 9 5 q 3 a , 0 6 3 b , o + 4 6 4 4 7 0 口1 3 圮b , o 一16 2 6 3 9 a 3 l a 4 0 6 3 l 一4 0 3 8 3 0 9 a 3 1 2 5 1 3 6 3 l b , o 一4 7 0 8 9 2 2 0 - 3 4 8 2 5 5 a 4 0 岛3 b ，2 0 + 8 7 3l8 吒配3 + 6 3 3131l a l 3 a 3 1 1 5 1 3 6 3 1 3 - 5 315 6 2 5 a ；l 磁名 - 1 7 5 8 2 2 5 a 1 3 2 j 1 3 b , 0 3 一1 3 5 9 0 7 0 a 1 3 玩k 名+ 4 0 0 1 4 9 l 口柏岛l b , 0 3 + 11 9 3 9 3 9 1 a 3 1 6 1 3 6 3 i k 力+ 1 3 3 3 9 9 a 4 0 2 23 , + 1 0 6 7 2 7 4 a 4 0 岛3 b i 0 3 , ) ( 2 1 0 + 厶) 在上述段的表达式中已置肛= 鸬= = 以一。= o , k = 2 ，3 ，1 2 ，其中 厶= 口1 3 a ，3 l 一6 1 3 磅，j l = 口刍一醵a 4 0 定理2 5 2 如果系统( 2 5 1 ) 的右端函数的系数为相互独立的复系数，则a 0 时系统( 2 5 1 ) 原点的前1 2 个奇点量全部为零的充要条件是下列四组条件至少有 一组成立： 条件ia 2 i = 6 2 l ，a 1 3 a 4 0 = 2 5 1 3 b , o ，a 1 3 巧3 l = 2 j 1 3 磅l ，吃3 l 么o = 霹i a 4 0 ； 条件i i a 2 l = l ，6 柏= _ 2 口1 3 ，a 柏= - 2 岛3 ； 条件i i i 允= 1 ，a 1 3 = a 3 l = b , o = a 2 i = 6 2 i = 0 ，岛3 6 3 l a 4 0 o ； 条件 a = 1 ，岛3 = 6 3 l = a 4 0 = a 2 l = 6 2 l = 0 ，a 1 3 a 3 1 6 4 0 0 推论2 5 1 如果系统( 2 5 1 ) 的右端函数的系数满足共轭条件( 2 4 1 ) ，当兄0 时，系统( 2 5 1 ) 原点的前1 2 个奇点量全部为零，当且仅当定理2 5 2 中的条件i 与条件i i 至少有一组成立。 定理2 5 3 如果条件i 成立，则系统( 2 5 1 ) 右端系数满足广义对称原理； 1 4 硕士学位论文 第二章一类拟四次系统的中心与等时中心 定理2 5 4 如果条件i i 成立，则系统( 2 5 1 ) 具有积分因子 i + 5 2 ( 州一2 五； 定理2 5 5 如果条件i i i 成立，则系统( 2 5 1 ) 具有积分因子 一- i 一三垒选 ( 刎一3 ( 1 + a 4 0 2 3 ) 33 ； 定理2 5 6 如果条件成立，则系统( 2 5 1 ) 具有积分因子 - i 2 a 3 1 ( 驯一3 ( 1 + b 4 0 w 3 ) 3 定理2 5 7 如果系统( 2 5 1 ) 右端函数的系数为相互独立的复系数，则当a 0 时，系统( 2 5 1 ) 所有的奇点量全部为零，当且仅当定理2 5 2 中的四组条件至少 有一成立。 由定理2 5 1 至定理2 5 6 及推论2 5 1 得 定理2 5 8 如果系统( 2 5 1 ) 右端函数的系数满足共轭条件( 2 4 1 ) ，当名0 时， 系统( 2 5 1 ) 原点所有的奇点量全部为零，当且仅当定理2 5 2 的条件i 与条件i i 至少有一组成立。 推论2 5 2 如果系统( 2 5 1 ) 的右端函数的系数满足共轭条件( 2 4 1 ) ，当名0 时，系统( 2 5 1 ) 的原点为中心的充要条件是定理2 5 2 中的条件i 与条件i i 至少 有一组成立。 2 6 系统等时中心条件 在讨论之前，我们先给出一个证明等时中心的过程中用到的引理及其推论。 引理 2 6 i e 9 】对于系统 鲁2 附。毒：一， 害：刀+ 。蓁：气甜t ， q 石j 其中k o ，j o ，7 0 ，且刀为正整数，可以唯一地逐项确定在原点领域收敛的幂级 数 缈( 州) = p , ，p u 4 ， ：( 2 6 2 ) 缈( “，d = 锄“俨， 与一个常数仃，使得系统( 2 6 1 ) 经变换( 2 6 2 ) 化为 1 5 硕士学位论文第二章一类拟四次系统的中心与等时中心 嘉柳 ( 2 6 3 ) 华：疗彤+ 叩n ， 、 玄2 疗彤+ 叩“， 其中口o ，使p o l2 气l2 1 ，一。2 q l 。= o ，巳。2 0 系统( 2 6 3 ) 有通积分 警一导l n 缈= c o n s t ( 2 6 4 6 ) 矿y 7p v 显然，其解析性质由常数仃是否为零决定，即当仃= o 时，系统( 2 6 3 ) 可以线性化。 定义2 6 1 称口为系统( 2 6 1 ) 原点的结点量。 盯= ( 力- k + 1 ) a k 胁q 制。+ b ，。吼吨。 k = 2 ( 2 6 5 ) 确定；而当2 a + f l 刀一1 时，诸由递推公式 吼，= 万i j 丽1。a 杂+ f l ：【( a - k + 1 ) 4 ，一m 伊， ( 2 6 6 ) + ( p j + 1 ) b k i j q 。 。b j “ 确定，其中v ( a ，) 当口 o 或d 0 时把坐标原点变为坐标原点，而当力 0 时坐标原点( 以及当力 o 时无穷远点) 的中心焦点的判定 问题都转化为系统( 3 1 4 ) 坐标原点的中心焦点判定问题。 说明：系统( 3 1 4 ) 的右端函数有其特殊性：名作为系统( 3 1 4 ) 右端函数的系 数( 对系统( 3 1 1 ) 而言是指数) ，必将出现在系统( 3 1 4 ) 原点的焦点量和周期常数的 公式中，成为改变稳定性，产生极限环的分支值，而指数可以成为分支值，这一 现象在多项式系统和解析系统中是不存在的。 系统( 3 1 4 ) 经变换 z = u + i v ，w ：“一i v , t ：i t ，i ：了( 3 1 5 ) 化为如下复系统 d z ：( 1 一a 万) z + ( a + 1 ) a s o - ( 2 - 1 ) b ) , z 5 + ( 3 + 1 )