（信号与信息处理专业论文）基于emd和bp网络联合的故障诊断技术.pdf

基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 摘要 本文首先回顾了一些时频分析方法，分析其具有的特点以及存在的不足， 然后介绍了一种新的分析非线性、非平稳信号的方法，并将它与以往的时频分 析方法进行对比，指出其具有的优势。在此基础之上，对将它与神经网络联合 进行故障诊断进行了研究。 以往的大多数时频分析方法均是对传统的傅旱叶分析进行修改后得到的， 因此，傅里叶分析所存在的问题，如用谐波分量来表达信号的中的突变，是一 个时间区问上的积分平均，或者是由传统的频率定义所带来的问题，如时间分 辨率和频率分辨率的矛盾性，各种时频分析方法或多或少都存在，提高某一参 数指标的同时往往是以牺牲另一参数指标为代价的。 本文介绍了一种新的分析非线性、非平稳信号的有力工具一e m d 方法，与传 统的对信号做积分变换的方法不同的是，它是将信号中不同尺度的波动或趋势 逐级分解开来，产生一系列具有不同特征尺度的数据序列，每一个序列称为内 在模函数。而各个内在模函数包含并突出了原信号的局部特征信息，这样通过 对各内在模函数进行分析，便能够良好的把握原信号中所含有的特征信息量。 实验证明，e m d 也适用于线性平稳信号，这时候他分解出来的内在模函数就代表 了原信号的各频率分量。事实上作为一种只是提取信号特征量的方法，e m d 方法 常常是与其他各种方法联合起来对信号进行分析。 用神经网络进行故障诊断实质上是一卜模一弋识别的问题。其重点与难点在 于如何有效的提取信号中的特征量，即分类标准的找寻问题。e m d 方法的提出为 解决这一问题提供了新的途径。本文通过将原俯号用e m d 分解而成的内在模函 数输入到b p 网络中进行训练学习并进行故障亿号的判别进行实验，验证了e m d 方法与b p 网络的联合不仅能够大大提高判别的准确率，而且大大缩短了b p 网 络的学习收敛时间。本文的最后还对减少输入的内在模函数数量，简化网络结 构进行了研究，证明其可行性。 在本文的结尾，展望了e m d 在故障诊断领域的应用前景，指出了e m d 方法 还存在的不足之处以及未来的发展方向。 关键词：e m d ；内在模函数；b p 网络：故障诊断 e m da n db pn e u r a in e t w o r kb a s e df a u i td i a g n o s is a n di t sa p p ii c a t i o n a b s t r a c t i nt h i st h e s i ss o m et i m e f r e q u e n c ya n a l y z i n gm e t h o da r er e v i e w e df i r s t ， a n a l y z i n gt h e i ra d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s ，t h e na n e wa n a l y z i n gn o n l i n e a ra n d n o n s t a t i o n a r ys i g n a lm e t h o di s i n t r o d u c e d a n dac o m p a r i s o nb e t w e e ni ta n dt h e o t h e rt i m e f r e q u e n c ya n a l y z i n gm e t h o di sd o n e ，p o i n t i n go u tt h en e wm e t h o d s a d v a n t a g e s o n t h i s b a s i s ，u s i n g i ta s s o c i a t e dw i t hb pn e u r a ln e t w o r ki nf a u l t d i a g n o s i s i si n v e s t i g a t e d t h o r o u g h l y m o s to ft h ef o r m e rt i m e f r e q u e n c ya n a l y z i n gm e t h o d sa r ed e r i v e df r o mt h e f o u r i e ra n a l y s i s s ot h e ym o r eo rl e s sh a v et h ep r o b l e me x i t i n gi nf o u r i e ra n a l y s i s ， f o re x a m p l e ：t h ed i s c o n t i n u i t ye x p r e s s e dw i t hh a r m o n i cc o m p o n e n t s ，b e i n gi n t e g r a l m e a no fat i m ei n t e r v a l ；a n dt h ep r o b l e m sd e r i v e df r o mt h ec o n v e n t i o n a ld e f i n i t i o no f f r e q u e n c y , t h a ti s ，t h e c o n t r a d i c t i o nb e t w e e nt h et i m ea n df r e q u e n c yr e s o l u t i o n i m p r o v i n gt h ep e r f o r m a n c eo f s o m ep a r a m e t e ri sa tt h ec o s to fs a c r i f i c i n gt h eo t h e r o n e ap o w e r f u lt o o lf o ra n a l y z i n gn o n l i n e a ra n dn o b s t a t i o n a r y s i g n a l w h i c hi s c a l l e de m d ( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) m e t h o d ，i si n t r o d u c e d d i f f e r e n tf r o m t h et r a d i t i o n a lm e t h o di nd o i n gi n t e g r a lt r a n s f o r m a t i o nt os i g n a l ，i td e c o m p o s es i g n a l i n t os e v e r a li m f s ( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ) ，w h i c hc o n t a i na n de x t r u d et h el o c a l c h a r a c t e r i s t i co f s i g n a l s ot h ec h a r a c t e r i s t i ci n f o r m a t i o no f t h eo r i g i n a ls i g n a lc a nb e w e l lh e l db y a n a l y z i n gt h ei m f s t h ee x p e r i m e n t a t i o n t e s t i f i e st h a tt h ee m dm e t h o d a p p l i e st ol i n e a ra n ds t a t i o n a r ys i g n a l a tt h i sc i r c u m s t a n c e ，t h ed e c o m p o s e di m f s a r et h ef r e q u e n c yc o m p o n e n t s i nf a c t ，e m di sam e t h o dw h i c he x t r a c tc h a r a c t e r i s t i c f r o ms i g n a l s oi nm o s tc i r c u m s t a n c e s i ti sc o m b i n e dw i t ho t h e rm e t h o dt oa n a l y s e s i g n a l t h ee s s e n c eo fu s i n gn e u r a ln e t w o r ki nf a u l td i a g n o s i si sam a t t e ro f p a t t e r n r e c o g n i t i o n t h ee m p h a s i sa n dd i f f i c u l t yl i ei nh o w t oe x t r a c tc h a r a c t e r i s t i co f s i g n a l e f f i c i e n t l y , t h a ti s ，t h ep r o b l e mo fs e e k i n gc l a s s i f i c a t i o nc r i t e r i a t h ea p p e a r a n c eo f e m dm e t h o d p r o v i d e s an e ww a yt o s o l v et h i s p r o b l e m f a u l td i a g n o s i s e x p e r i m e n t a t i o ni sc a r r i e do u t i nt h ee x p e r i m e n t a t i o nt h ei m f sd e c o m p o s e df r o m s i g n a la r ei n p u ti n t oad e s i g n e db p n e u r a ln e t w o r kt ot r a i nt h en e t w o r k t h r o u g ht h i s e x p e r i m e n t a t i o ni ti sv e r i f i e dt h a tt h em e t h o do fe m d i nc o n j u n c t i o nw i t hb pn e u r a l n e t w o r kc a nn o t o n l yi m p r o v et h ed i s t i n g u i s h i n ga c c u r a c y , b u ta l s or e d u c et h e l e a r n i n gt i m eo f b pn e u r a ln e t w o r kg r e a t l y w h a t sm o r e ，t h es t u d yc o v e r sh o wt o d e c r e a s et h en u m b e ro fi m f sa n ds i m p l i f yt h es t r u c t u r eo fb pn e u r a ln e t w o r k a e x p e r i m e n tp r o v e si t sf e a s i b i l i t y a tt h ee n do ft h et h e s i s t h ea p p l i c a t i o np r o s p e c to fe m d i nf a u l td i a g n o s i si s r e v e a l e dt h e d i s a d v a n t a g e sa n dd e v e l o p m e n t d i r e c t i o no fe m da r ep o i n t e do u t k e yw o r d s ：e m d ；i m f ； b pn e u r a l n e t w o r k ；f a u l td i a g n o s i s 基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 1 前言 随着生产和科学技术的发展，生产设备本身的技术复杂程度越来越高，设 备故障或事故对企业经济效益的影响也越来越明显。如何提前对设备故障进行 预测和在故障发生后迅速判断故障原因是减少设备停机时间、减轻经济损失的 一个重要途径。因此，故障诊断技术直受到广j = 乏的重视。 故障诊断就是根据诊断对象表现出的异常征兆来查明对象发生了什么故障 和引起这些故障的可能原因，也就是从由征兆构成的特征空间到由故障类型构 成的状态空阅的一个菲线性映射，两故障诊断推理的目的在于根据一定的方法 和策略寻找上述的映射关系。故障诊断技术主要包含三方面的内容：故障检测、 故障隔离、故障辨识。所谓故障检测是判断系统中是否发生了故障及检测出故 障发生的时刻；故障隔离就是在检测出故障后确定故障的位置和类型；故障辨 识是指在分离出故障后确定故障的大小和时变特性，从本质上讲，故障诊断技 术是一个模式分类与识别问题，即把系统的运行状态分为正常和异常两类，而 异常的信号样本究竟又属于哪种故障，这又属于一个模式识别的问题。近几十 年来，故障诊断技术得到了深入广泛的研究，提出了众多可行的方法跚 3 j 。 1 1 故障诊断常用的技术方法 故障诊断技术发展至今，已提出了大量的方法。根据国际故障诊断权威，德 国的p m f r a n k 教授的观点【4 】，所有的故障诊断方法可以划分成基于信号处理 的方法、基于解析模型的方法、基于知识的方法三种。清华大学的周东华【5 1 用了 一张图来表示具体的这三类方法，如图1 所示： 所谓基于信号处理的方法，通常是利用信号模型，如相关函数、频谱、自 回归滑动平均、小波变换等，直接分析可测信号，提取诸如方差、幅值、频率 等特征值，从而检测出故障。所谓基于瞬析模型的方法，是在明了诊断对象数 学模型的基础上，按一定的数学方法对破测信息进行处理诊断，它可分为状态 估计法、等价空间法和参数估计法p 】。目前此种方法得到了深入的研究：但在实 际情况中，常常难以获得对象的精确数学模型，这就大大限制了基于解析模型 诊断方法的使用范围和效果。近年来，人工智麓及计算机技术的飞速发展，为 故障诊断技术提供了新的理论基础，产生了基于知识的故障诊断方法。此方法 由于不需要对象的精确数学模型，而且具有某些“智能”特性，因此是一种很 有生命力的方法。基于知识的故障诊断疗法主要可以分为：专家系统故障诊断 方法；模糊故障诊断方法；故障树故障珍断方法：神经网络故障诊断方法和数 基于e m 3 鞠b p 网络联合的故障诊断技术 据融合故障诊断方法等。 在本论文中。将主要研究基于信号处理、神经网络以及它们联合的故障诊 断方法。 圈 乎知曩蚺 方琏 蘑予一鼾 一囊曲者位 薯r 球墨 鹅胄培 蒜f 逭性 鳖帕靠盘 蠢恬计 寿佐 扯毫蠡l t 方芷 尊情窑埘 膏址 l 1 傩- 1 9 i 吒i 图1 故障诊断方法分类示意图 f i g u r e1c l a s s i f i c a t i o no f f a u l td i a g n o s i sm e t h o d 1 2 信号处理技术 信号处理是故障诊断的前提和基础，其有效的程度直接影响故障诊断的结 果。在现今的信号分析与处理领域中，傅里叶( f o u t l e t ) 分析是最常用也是最主要 的线性平稳信号的分析处理方法。然而在许多科学领域的试验和工程测量中， 普遍存在着非线性、非平稳信号，这使得传统的线性、平稳信号模型已不敷应 用。现今生产设备的结构日趋复杂，系统的非线性更强，系统故障导致的外部 特征更为复杂，使得基于线性分析的诊断技术一般难于解决大型、复杂设备的 诊断问题。因此，在强干扰、多特征、多故障的条件下，诊断中许多不确定的 问题已成为诊断难点。为准确获得非线性、非平稳信号的特征信息，人们开始 将注意力转向此类信号的分析与处理研究上。近十几年来，有关非线性、非平 稳信号分析与处理的理论方法已有了长足发展【6 1 。 对于线性平稳信号或短时i - 自j 内线性平稳的信号，经典信号处理技术( 即时域 釜票喜霎墨芸 基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 分析和频域分析) 是有效的。因为傅里叶分析i f i 是以这一假设为前提建立起来的 理论。但对于非线性非平稳信号，必须研究其在时域和频域中的全貌和局部性 质，即既从总体上要把握信号的特征，又要深入到信号的局部分析信号的非平 稳伯，才能准确理解信号的实际物理意义。这便是时频分析 7 1 ( t i m e f r e q u e n c y a n a l y s i s ) 方法的思想。时频分析方法分为两种：线性和非线性。信号的线性时频 分析主要有小波变换( w t ：w a v e l e tt r a n s f o n i 】) 、短时傅里叶变换( s t f t ：s h o r t t i m ef o u r i e r 胁l s f o n l l ) 和o a b o r 展开三种形式博l 。信号的非线性时频分析主要有 w i g n e r v i l l e 分布、c o h e n 分布等二次时频分析方法。最常用的有三种：短时傅里 叶变换，w i g n e r l l e 分布和小波变换1 9 j 口 短时傅里叶变换是研究非平稳信号广泛使用的方法，其基本思想是将时间 信号乘上一个短的时间窗，然后将此时间窗沿时间轴滑动做傅立叶变换，得到 信号的时间一频率谱。显然它是以信号在时间窗内是平稳的，即信号是分段平稳 的为前提条件。因此短时傅里叶变换也只是局部平均，即用时问窗的一段信号 来表示它在某个时刻的特性，而且窗越宽，时间分辨率越低，但如果为了提高 时间分辨率而缩短窗的宽度时，又会降低频率分辨率【1 0 1 。魏格纳分布定义为信 号中心协方差函数的傅立时变换，它具有许多优良的性能，不用选择窗函数， 对瞬时频率和群延时有清晰的概念，但也存在交叉项干扰和负能量谱】，因为 它本质上还是一种加窗的傅里叶分析。小波变换比短时傅里叶变换优越之处在 于它是一种时间窗宽度可调的傅里叶分析。其时间分辨率在高频、频率分辨率 在低频都非常好，对于由短时高频成分和长时低频成分组成的信号都能取得良 好的分析结果。但从本质上讲，小波变换仍是以傅里叶变换为基础的，它因此 也被称为变窗口的傅里叶变换。上述方法对依号进行处理分析时均是以傅里叶 变换为基础的，因此没有从根本解决傅立叶变换在分析非平稳信号时的局限性 j 2 1 。 1 9 9 8 年，h u a n g 提出利用经验模式分解饵m d ：e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ) 来分析非线性、非平稳信号的时频分析方法【l “，1 9 9 9 年，h u a n g 3 i 又对该方法进 行了一些改进。该方法从本质上讲是对信号进行平稳化处理【1 ”。它是基于信号 局部特征时间尺度，将信号种不同尺度的波动或趋势逐级分解开来。产生了 系列具有不同特征尺度的数据序列，称为内在模函数( z m f ) 。i m f 为单分量信号 可以通过分析i m f 的瞬时频率来表征原信号的频率含量，避免了傅里叶变换中需 使用许多谐波分量表达非线性、非平稳信号的不足。同时，分解出的各个i m f 分量包含了原信号的部分信号信息，使得与原信号相比i m f 分量相对简单。这样， 由于原信号中信息成分比较复杂而导致被强信息成分淹没的弱信息成分，在i m f 基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 分量中就可以较明显的表现出来。因而，对i m f 进行分析可更准确有效地把握原 数据的特征信息。本文中即是通过提取信号的i m f 分量以获知原信号的特征信 息，并与神经网络联合起来进行故障诊断。此外，该方法是自适应的，在分析 信号时不需要事先知道信号的统计特征，因此具有广泛的适用性。 1 3 神经网络故障诊断技术 近几年来，人工神经网络技术以其优越的非线性模式，性能很强的自组织 能力，引起了故障诊断领域许多研究者的重视。换句话说，神经网络固有的学 习能力( 有导师离线学习) ，特别是自学习能力( 无导师在线学习) ，是神经网 络跻身于故障诊断领域的基础f i ”。它能通过对大量样本的学习，去建立故障征 兆空间到故障空间的映射关系，实现对设备故障进行识别和诊断。对于故障诊 断而言其核心技术是故障模式识别，而人工神经网络由于其本身信息处理特点， 如并行性、自学习、自组织性，联想记忆功能等，使其能够出色地解决那些传 统模式识别方法难以圆满解决的问题，所以故障诊断是人工神经网络的重要应 用领域之一。目前神经网络是故障诊断领域中的一个研究热点。已有不少应用 系统的报道( 1 6 】f 1 7 i l l s l ， 1 3 1 神经网络简介 神经网络是由大量神经元广泛互联而成的网络。它是在现代神经科学研究 成果的基础上提出的，反映了入脑功能的基本特性。其中每一个神经元如下图 所示： x l x 2 x n 图2 基本丰孛经元模型 f i g u r e 2m o d e lo f n e u r o n 图中是输入，w ( i 1 ) 是连接权重，一是神经元的阈值，表示求和，f 是 激励函数，y 是输出，则输出y 可表示为： y ( r ) = ( w j 一( f ) - w o o = f i h 一】 i 1i = 0 为了使神经网络能够执行某种任务，需要确定描述网络的各种特性参数，如 处理单元、连接模型、激活按则和学习规则等。由于神经网络中信息的长期存 基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 贮是通过处理单7 j 互连的权值矩阵来实现的，因而确定连接权值矩陋是神经网 络的一个重要研；j 内容。连接权值矩阵的确定可通过直接计算权值雉- 阵和让网 络“学习”两种疗法。其中“学习”又分为有监督学习和无监督学习，目前，正 在研究和已应用j 实际的神经网络模型共达3 0 多种1 1 9 】，其中具有代表性的有l o 多种，对这些网络进行分类可将其分为前馈网络模型、反馈网络模型、自组织网 络模型和随机网络模型4 类【2 0 】。当今用于故障诊断领域的神经网络模型主要是 误差反向传播( b a ( kp r o p a g a t i o n ) 模型。这也是本论文中所采用的网络模型。 1 3 2 模式识别的神经网络故障诊断 总的来说，神经网络在设备诊断领域的应用研究主要集中在两个方面： 是从模式识别的角度应用它作为分类器进行故障诊断；二是将神经网络与其它 诊断方法相结合而形成的复合故障诊断方法【2 1 1 。 模式识别的神经网络故障诊断过程，主要包括学习( 训练) 与诊断( 匹配) 两个过程。其中每个过程都包括预处理和特征提取两部分。具体诊断过程如图3 所示。 - 一举，j 过程 图3 神经瘸络故障诊断原理 f i g u r e 3 p r i n c i p l eo f f a u l td i a g n o s i su s i n gn n 学j j 过程：是在一定的标准模式样本的基础上，依据某一分类规则来设计 神经网络分类器，并用标准模式训练。 诊断过程：是将未知模式与训练的分类器进行比较来诊断未知模式的故障 类别。 i ) 羼处理：一般来说，首先要对映射得到的样本空间数据进行预处理，主 要是通过删除原始数据中的无用信息得到另一类故障模式，由样本空间映射成 数据空| 1 | j 。在数据空间上，通过某种变换( 如对模式特征矢量进行量化、压缩 等) 使j 有利于故障诊断。 基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 2 ) 特征提取：对要诊断的对象从获得的数据来看，一般可看作一组时问序 列。通过对该时间序列的分段采样，可以将输入数据映射成样本空间的点。这 些数据可能包含故障的类型、程度和位置等信息。但从样本空问看这些特征 信息的分布是变化的，因此，一般不能直接用于分类，需经合适的变换来提取 有效的故障特征。而所提取的这些特征对于设备的参数应具有不变性。常用特 征提取方法有：傅立叶变换、小波变换等。 3 ) 网络分类器：常用于故障诊断分类的神经网络有：b p 网络、双向联想记 忆( b a m ) 网络、自适应共振理论( a r t ) 、b 样条网络等。 1 3 3 神经网络故障诊断的局限性 神经网络故障诊断虽然有它独特的优越性，但也存在一些困难。主要表现 在三方面：一是训练样本获取困难；二是忽视了领域专家的经验知识：三是网 络权值形式表达方式难以理解。 本篇论文首先将e m d 与以往各种传统的分析非线性、菲平稳的方法相比较， 指出e m d 的优势所在，然后对如何将e m d 与神经网络结合起来进行故障诊断 进行研究，并分析讨论其诊断的效果。具体的工作如下： 将e m d 方法与傅里叶变换和几神时频分析方法进行对比试验，主要是比 较各种方法分析非线性、非平稳信号的优缺点，指出了e m d 方法在这领域的 优势。 进行了一组检测信号中奇异点的对比试验，首先对原信号进行小波变换， 然后对由e m d 分解原信号得到的i m f 分量进行小波变换，比较了前后两次试验 的检测效果，指出了e m d 在提取信号的特征量方面的优势。 进行了一组实际的故障诊断对比试验，首先将原信号样本输入b p 网络中 训练学习后再进行诊断，然后将由e m d 分解原信号得到的i 泌分量样本输入b p 网络中训练学习后进行诊断，指出与e m d 方法结合后，能大大提高b p 网络的学 习效率和诊断的准确率。指出并验证了e m d 与b p 网络结合进行故障诊断的有效 与高效性。 研究探讨了只将原信号部分的i m f 输入b p 网络进行训练学习的可能性， 并进行了一次验证试验，指出了原信号部分i m f 代替全部i m f 的可行性，从而 能够简化b p 网络的结构，降低学习的复杂性。 基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 2 信号处理的常用技术 自从傅立叶分析被引入后，它便立即成为了信号处理技术中最常用也是最主 要的方法，在信号分析与处理技术中长期占据主要地位。傅立叶变换( 逆变换) 建立了信号从时域到频域( 频域到时域) 的变换桥梁，它使得人们可以分别从 时域与频域内去认识信号，加深对信号的理解。但是，傅里叶变换是一种整体 变换，对信号的表征要么全在时域，要么全在频域。它只能显示信号中某一频 率分量的振幅和相位，而无法告诉我们信号中各频率分量出现的时刻以及随时 间变化的特性22 1 。在许多科学领域的科学试验和工程测量中，信号往往是非平 稳的，其统计量是时变函数，这时只了解信号在时域或频域的全局特性是远远 不够的，需要同时在时域和频域内分析信号的全貌和局部特征，既要从总体上 把握信号，又要深入到信号的局部分析信号的非平稳性，才能准确深刻地认识 信号【2 3 】。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本 性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论，联合时频分析就是其中一 种重要方法。它基本思想是设计时间和频率的联合函数，用它同时描述信号在 不同时间和频率的能量密度和强度。时间和频率的这种联合函数简称时一频分 布。最常用的时一频分析方法有三种：短时傅里叶变换，w i g n e r - v i l l e 分布【2 4 j 和 小波变换1 2 ”。近年来，h 啪g 又提出了一种分析非线性、非平稳信号的方法： 经验模式分解方法。 2 1 时频分布的概念 信号f ( t ) 的傅里叶变换f ( u ) 模平方定义了信号的能量谱，即给出了信号 能量在频域的分布密度。同样，信号f ( t ) 的模平方给出了信号的能量在时域的 分布密度，即： i 厂( 叫2 出= 在时间t ，在时间间隔a t 内的部分能量 ( 1 ) i f 和) 1 2 r = 在频率m ，在频率间隔国内的部分能量 其中 f ( ) 2 去肌) e x p ( - y 曲o a t z t t 、， 如果用e 来表示信号的总能量，根据帕什瓦尔定理，并将能量归一化有 ( 3 ) e = j 1 弛2 d t = j 1 f ( x 2 豳= l ( 4 ) 基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 这是必然的，因为信号的总能量应该与计算它的方法无关。 我们希望在时频平面找一个二维分布p ( ，) ，该函数能如概率密度一样反 映时频平面上每一点o ，) 的能量密度，那么应该有： e = l p ( t ，c o ) d t d w = 1 ( 5 ) 时频平面上分布在一个小的面积上的信号能量应为p ( t ，c a ) a t a w ，p ( ，国) 应 满足边缘分布： f e ( t ，c o ) a t = i f ( ) 2 ，p ( ，) d c o = i f ( t ) 1 2 ( 6 ) p ( t ，) 还应满足实性、正性等这样一些密度函数性质，同时还应反映如瞬 时频率，群延时等信号特征，即应有： 瞬时频率： ，= l 以p ( ，o g ) d c o = ( f ) ( 7 ) 群延迟： o i 。= p ( f ，a , ) a t = ) ( 8 ) 从其中的一些性质出发，可导出最常见的双线性分布- - w i g n e r - v i l l e 分布 ( w v d ) w v d ( t ，) = 圭i ( ，一0 5 r ) f ( ，+ 0 5 r ) e x p ( - j c o r ) d r 三；r 。 ( 9 ) w v d 是一个最常用的时频分布。它几乎具有所要求的全部性质，具有极好 的时域局部化特性，即很好的时频联合分辨力。但如果信号由多个分量叠加而 成，则其w v d 会在时频平面上没有信号的时间段内，出现不能被解释为能量密 度的交叉项( c r o s s t e r m ) 。从( 9 ) 式易看出，这是有不同信号分量相互作用而产生的。 另外，w v d 一般不满足密度函数应有的正定性质。 如果能更进一步寻找一个能满足所有期望性质的分布，问题似乎就都可以 解决了。通过这样的能量分布函数就可以精确描述信号在时频平面上每一点的 特征，但事实上却永远做不到这一点。原因之一在于所期望的性质之间有内在 矛盾，比如用平滑的方法来消除w v d 中的交叉项就会降低时频联合分辨率。而 且时频联合分辨率要受到不确定性关系的制约。另一原因在于所用到的概念本 身不能准确描述信号特征；比如瞬时频率并不能完全反映信号在某一时刻的频 率特往。( 7 ) 式表明它只是一个条件均值，不能反映信号频率在该时刻的发散程 基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 度( 高阶矩) 。这使得由这些概念确定的分布也不能准确反映信号时频联合特征。 如果用$ t f t 和c w t 的模平，j 来表征时频( 时尺) 平面上的信号能量分布，那 么可以证明1 2 7 j ，它们是被不同函数平滑了的w v d 。平滑消除了w v d 的交叉项但降 低了时频联合分辨率( 如线性调颁信号的w v d 非常集中于时频平面上的一条直 线，而其s t f t 就比较分散了) 。但是能量分布并不能概括s t f t 和c w t ，它们的 出发点不尽相同，由s t f t 和c wr 构造的能量分布不满足如边际分布这样员基本 的分布性质但s t f t 与c w t 的结果常常有更直观的物理解释，其相位信息也有 明确的意义【2 s 。时频分析的各种方法不是孤立的，它们之间有本质的联系，在 物理意义上也有内在的致性，而在实际应用中，它们有各自不同的特点和适 用场合。 下面我们就来具体介绍一下几种时频分析方法。 2 2 短时傅里叶变换( s t f t ) 对于时变信号，了解不同时刻附近的频域特征是至关重要的。因此，人们 采用时间一频率分布描述时变信号，将一维的时域信号映射到一个二维的时频平 面，全面反映观测信号的食品联合特征。短时傅里叶变换反映了这一思想。 连续时间信号x ( f ) 的短时傅里叶定义如下2 9 1 ： s 7 f 力o ，w ) = k ( r ，( f l _ - f 帐一一d t ( 1 0 ) 其中，r ( f 一) 为r ( f 一，) 的共轭函数。它是以，为中心的时间窗函数。 由式( 1 0 ) 可见，信号工( ，) 对于时间f 的短时傅里叶变换就是j ( f 1 ) 乘上一个以f 为中心的时窗函数，+ ( ，一f ) 所做的傅里叶变换。亦即为了使变换具有时域局部 性，它先将信号x ( f ) 力“上时间窗r ( r ) ，然后将，( f ) 滑动做傅里叶变换，这样便得 到信号的时交频谱或惫，时谱s z 哪( f ，w ) 。因此，短对傅里叶变换实际上是假定 非平稳信号在时间窗的个短的时间间隔内是平稳( 伪平稳) 的( 从总体上来 说就是假定原非平稳信号是分段平稳的) ，然后计算出各个不同时刻的功率谱。 它的不足之处在于它是用时间窗的一段信号来表示它在某个时刻的特性。 显然，短时傅立叶变换的时间分辨率与选择的时间窗的宽度直接相关，时窗 宽，则时间分辨率低，时窗窄，则时间分辨率就高。如果为了提高频率分辨率 而加宽时窗，则伪平稳的近似程度就会变差。 基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 对于一个信号来说，总是希望通过选择合适的窗函数，能够同时获得较高的 时间分辨率和频率分辨率。遗憾的是，这种变换存在着问题。设窗函数r ( f ) 的 傅里叶变换为r + ( w ) ，则其有效时宽，和有效带宽a w 分别定义为： f 2 = j ，2 | ，( ) i2 d , i j 酬2 d t ( 1 1 ) a w 2 = p 2 i r ( 川f 叫1 r ( 叻f 2 d w ( 1 2 ) 不确定性原理指出：a t 和w 必须同时满足海森伯格( h e i s e n b e r g ) 不等式， 即： a t a w l 4 l ( 1 3 ) 仅当窗函数为高斯函数时： ，8 ) = e 。“2 ( 1 4 ) 式中等号才能成立。 不确定性原理表明【3 0 1 ：对于短时傅里叶变换，其时间分辨率和频率分辨率 总是相互矛盾的，信号的时域波形与频谱不可能同时获得高的分辨率，其中一 个变窄，另一个就必须变宽。实际上，时段上取得愈窄，其频谱就愈宽。典型 的例子是当窗函数取冲激信号时，其频谱为无限宽，所以，滤波器不提供任何 的选频特性。相反，若取窗函数为r ( t ) = 1 ，那么，s t f t 就成为傅里叶变换，当 然也不提供任何时间分辨率，事实上，这时候，已不满足s t f t 要求分段平稳的 前提条件了。 因此，在实际信号分析中，如何合理选择窗函数，应视具体问题本身特性 而定。或者以低的时间分辨率换取高的频率分辨率，或者以低的频率分辨率换 取高的时间分辨率【3 ”。一个信号的频率与它的周期长度成正比，所以对于高频 信息，时问间隔要相对小些以给出比较好的精度，而对于低频信息，时间间隔 要相对宽些以给出完全的信息，亦即可使用个灵活可变的时间一频率窗，使 在高的“中心频率”时自动便窄，而在低的“中心频率”时自动变宽。这便是 我们下面要介绍的小波变换。 虽然短时傅里叶变换通过加窗处理实现了信号的局部分析，但对于窗函数 内的信号，它仍是使用傅里叶变换进行分析，并且假设了位于窗函数内的信号 为平稳信号，因此它不能从根本上克服傅里叶变换分析非平稳信号时存在的问 题。 基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 2 3 小波变换( w a v e i e t ) 小波分析是近年来发展起来的一种分析信号时频特征的有效方法，属于应 用数学的一个分支。小波变换最早是由法国地球物理学家m o r l e t 于8 0 年代初在 分析地球物理信号时作为一种信号分析的数学工具提出的。它是在联合的时间 和尺度平面上来描述信号的。m e y e r 、g r o s s m a n 、m a l l a t 和d a u b e c h i e s 等法国 学者在小波分析方面进行了一系列开创工作。 经过几十年的实践与发展，小波变换不仅在理论和方法上取得了突破性的进 展( 如框架和滤波器组两大理论即是典型代表) ，而且在信号与图像分析f 3 2 】f 3 3 】、 地球物理信号处理、计算机视觉与编码、语音合成与分析、信号的奇异性检测 与谱估计【3 ”，甚至在分形和混沌理论中都获得了广泛的应用。 与前面讨论的短时傅里叶变换相比较，小波变换的最大特点便是它的分析精 度可调。其基本思想认为实翰：信号种不同频率分量具有不同的时变特征。通常， 变化比较缓慢的信号具有较低频率成分的频谱，相反，变换剧烈的信号具有较 高频率成分的频谱。由于短时傅里叶变换采用恒宽窗函数截取信号，使得在所 有情况下，s t f t 都具有相同的时间和频率分辨率。这与分析非平稳信号的实际 要求显然是不相符合的。针对这种情况，小波变换以非均匀规律对时间轴和频 率轴予以划分，从而在满足海森伯格不等式的前提条件下，既有足够的时间分 辨率对信号中的短时高频成份进行分析，又具有足够的频率分辨率对信号中的 慢变低频成份进行分析。 小波变换分为连续小波变换与离散小波变换，其中，离散小波变换中“离 散”的概念并不同于以往离散傅立叶变换中的概念。离散小波变换中的时间变 量，并没有被离散化，被离散化的是小波变换中的尺度口和位移b 。 2 3 1 连续小波变换 为了能够敏感地反映信i j 的突变情况，人们希望具有一种分析方法，能够 在整体上提供信号的所有信，媳，又能够提供任一时间局域内信号产生突变的程 度。就是要求能够同时提供时间域和频率域的局域化信息。小波变换在这些方 面具有独特的优点。 小波变换的作用是将一个信号与一个在时域和频域上均具有局域化性质的 平移伸缩小波权函数进行卷秘，从而将信号分解成为与不同时宽和频带上的各 个成分，基本思想就是用某函数族来表示或逼近观测信号。 基于e m d 和b p 网络联会的故障诊颤拄术 若妒( ，) 是平方可积函数( 记作( ，) r 似) ) ，并且满足 矿啪= o ( 15 ) 则称矿【f ) n 压i d , n 函数，对y 进行伸缩和平移燹挟，设伸缩凼f 为口，半 移因子为b ，且a ，6 r ，口0 ，可得下列函数族 俐5 丽1 c 等， ， 称- a ( f ) 为分析慨鼬冲丽1 的作用是使不同d 值下一( f ) 的能量保 持相等。 则函数工( f ) 2 ( r ) 的连续小波变换定义为如下内积： 吸他垆者枷( 抖 其中y ( 羔) 为矿( 堡) 的共轭函数。 令 朋= 矿( 匀 ( 1 8 ) 则尺度因子。越大，厂( f ) 愈宽，稻应信号的频谱交窄并下移：d 越小，心 越窄，相应信号的频谱变宽并上移。其中，b 是时移因子，b r ，对信号进行 局部时间定位。由于时移参数b 与时间t 自然对应，而尺度口实际上与频率对应， 因此可以这样理鳃小波分析与肘频分析3 5 】f 3 6 l 之闭的关系：肘须分析中的时一频平 面o ，) 在小波分析中变成了时问一尺度平面( 6 ，口) 。 短时傅立叶变换是以同一种分辨率( 即统一的时间窗) 来观察信号的。而 在小波分析中。人蠢7 贝j j 蹦不周鲍“尺度”( 或“分辨率”来双察信号1 ”m 捌。信号 分析中的这种多尺度( 或多分辨率) 的观点是小波分析的基本点。小波分析的 目的就是“既要看到森林( 信号的概貌) ，又要看到树木( 信号的细节) ”。 根据小波变换的定义，可将小波函数虬。( p 看成是一个带宽滤波器的冲激 响应。在时频平面上，小波系数代表了位于下矩形窗口内的信号分量哪l ： 【“一口c ，f o + 口d 。l a w o 一日- 矿，a 一1 1 + a - l o ，】 显然各个时频窗的大小是不同的，与伸缩因子口直接有关。式中1 9 。和d 。是小波 基于e m d 和b p 网络联合的故障诊断技术 函数儿。( f ) 的等效时窗和等效频宽。可见，当日比较小时，时域分辨率较高，而 频域分辨率降低。相反，当a 较大时，时窗宽度增大，频域分辨率得到提高。但 无论时窗宽和频宽如何变化，他们的乘积是不变的，必须服从海森伯格不等式。 2 3 2 离散小波变化 信号工妇) 做连续小波变换后所 ：导c 暇( 球，6 ) 的信息是有冗余的1 4 0 1 ，从压缩数 据及节约计算的角度上看，我们希望在不致丢失信息的前提下，只在一些离散 的尺度和位移值上计算小波变换。 令a = ，j z ，我们可实现对a 的离散化。对6 离散化，最简单的方法是将 6 进行均匀抽样，例如可令b = 地( 6 0 的选择应保证能由c 嘎( ，k ) 恢复出 工( f ) ) 。当，0 时，将a 由口；。1 变成a ；时，即是将口扩大了倍，这时小波y ，。( f ) 的中心频率比矿川。( ，) 的中，i l , 频率下降了倍，带宽也下降了倍。因此，这时 对b 抽样的间隔也可相应地扩大倍。由此可以看出，当尺度a 分别取 ，口：，爵，时，对b 的抽样间隔可以取6 0 ，毹6 0 ，露6 0 ，这样，对a 和b 离散 化后，小波函数为： t ( ，) = 啄肌【爵( f 一吲6 0 ) 】- 嘶y ( 町。，一肠o ) r 7 ! ，k z( 1 9 ) 式( 1 9 ) 中，仍是连续变量。实际工作中常取= 2 。 对给定的信号z ( ，) 上2 ( 只) ，( 1 7 ) 式的连续小波变换可变成如下离散栅格上的 小波变换，即 w t ( j ，七) = j z ( ，) 彬 ( t ) d t ( 2 0 ) 式( 2 0 ) 即为离散小波变换( d 、t ：d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o