（基础数学专业论文）代数数论在准晶研究中的应用.pdf

摘要 摘要 本文的工作主要包括两个部分，第一是关于准晶的研究，另一部分是关于 当实二次数域类数为1 时，判别式p 兰l ( m o d 4 ) 的表达式。 已经有很多的准晶构造模型发表，其中最具代表性的是切割一投影方法。 但是不同的模型被提出是针对不同的物理性质，有不同的研究目的的。本文的 工作从一个更一般的观点，也就是不论准晶结构是由什么方法构造出来的，来 研究准晶的结构性质。得到的结论是：所有的准晶在适当建立的坐标系下，都 具有实二次代数数的坐标表示，从而得到在实二次数域上只可能存在具有5 ，8 ， l o ，1 2 次对称的准晶。这是本文第四章更一般定理的一个推论。由这个一般定 理可以得到，在全实代数数域上还可能存在很多不同对称性的准晶。作为一个 例子，我们在全实三次域上构造了具有7 次对称性的准晶。 第二部分是关于当实二次域类数( 而= 1 时，素数p 皇l ( m o d 4 ) 的一般表达 式的问题。我们得到了这个确定的表达式( 除去有限个小于某个给定常数的素 数以外) 。附录b 列出了这些素数，以及一个简短的搜索这些素数的程序。 关键词：q u a s i c r y s t a l ，q u a s i l a t t i c e ，q u a d r a t i cf i e l d ，t o t a lr e a ln u m b e r f i e l d s ，c l a s sn u m b e r ，g a u s sc o n j e c t u r e a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o n s i s t so ft w om a i np a r t so ft h ea u t h o r 8r e s e m - c h o n ei so nt h eq u a s i c r y s t a la n dt h eo t h e ri so nt h ep r i m e sp 兰1 ( r o o d 4 ) w h e nt h ec l a s sn u m b e r q ( 诈) = 1 m a n yc o n s t r u c t i o nm e t h o d sa r ed e v e l o p e dt od or e s e a r c ho nq u a - s i c r y s t a l s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yq u a s i c r y s t a lu n d e ram o r e g e n e r a lp e r s p e c t i v e ，i e ，n om a t t e rh o wt h eq u a s i l a t t i c eb eo b t a i n e d ( f r o ma l lk i n d so ft h ee x i s t i n gc o n s t r u c t i o nm e t h o d s ) ，i th a st h ec o - o r d i n a t e so fq u a d r a t i cn u m b e r su n d e rap r o p e r l ye s t a b l i s h e df r a m e t h e r e f o r ，w ec a l lc o n c l u d et h a to v e rr e a lq u a d r a t i cf i e l d s ，t h e r eo n l y e x i s tq u a s i c r y s t a l sw i t hr o t a t i o n a ls y m m e t r i e so f5 ，1 8 1 1 0 ，1 2 ( t h i si sa p r o p o s i t i o no ft h eg e n e r a ll a wg i v e ni nc h a p t e r4 ) a c c o r d i n gt ot h e g e n e r a ll a w ，t h e r ee x i s t sm a n yp o s s i b l eq u a s i c r y s t a l so v e rt o t a lr e a l a l g e b r a i cn u m b e rf i e l d s s ow ec o n s t r u c taq u a s i c r y s t a lw i t h7 一f o l d s y m m e t r yo v e rt o t a lr e a lc u b i cf i e l d t h eo t h e rr e s u l ti st h a tw h e nt h ec l a s sn u m b e rh q ( v 仞= 1 ，t h ep r i m e p 兰l ( m o d 4 ) h a v ead e t e r m i n a t ee x p r e s s i o ne x c e p tf i n i t ep r i m e sl e s s t h a nag i v e nc o n s t a n t w el i s tt h ep r o g r a mt of i n do u ta l lt h ee x c e p - t i o np r i m e si na p p e n d i xb k e y w o r d s ：q u a s i c r y s t a l ，q u a s i l a t t i c e ，q u a d r a t i cf i e l d ，t o - t a lr e a ln u m b e rf i e l d s ，c l a s sn u m b e r ，g a u s sc o n j e c t u r e l i s to ff i g u r e s 2 1t h ep r o j e c tm e t h o di nr 2w i t ha1 - d i m e n s i o n a ls u b s p a c ee 5 2 2ae x a m p l eo fp e n r o s e - t y p et i l i n g 。 6 2 3t h ec o n s t r u c t i o no faq u a s i p e r i o d i ct i l i n gi nr 2w i t ha1 - d i m e n s i o n a l c u t t i n gp l a n ee 1 0 2 4s e l fs i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o n 1 4 3 1ae x a m p l eo fs e l f - s i m i l a r i t yo fa no c t a g o n a lt i l i n g 2 3 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 a5 - f o l ds y m m e t r yt i l i n g p a t hf r o mo r i g i nt oaq u a s i l a t t i c e t h et w ob a s i cv e c t o r t h e8 - f o l ds y m m e t r yt i l i n gw i t ht w ob a s i cv e c t o r t h e7 - f o l ds y m m e t r yt i l i n g t h es e ta 卜a t h es e ta 卜( a 卜a ) t h es e t ( a 卜a ) 卜( a 卜a ) t h ef r e q u e n c yi m a g eo fs e tab - a t h ef r e q u e n c yi m a g eo fs e ta ( a 卜a ) 2 8 2 9 3 2 3 4 4 4 4 8 4 8 4 9 5 2 5 3 n o m e n c l a tu r e r o m a ns y m b o l s = ( 1 + 怕) 2 a l g e b r a i cn u m b e rf i l e d s o k i n t e g e rr i n go fa na l g e b r a i cn u m b e rf i l e d 7 r 上 利 e 上 叮 8 0 o r t h o g o n s lp r o j e c t i o no p e r a t o r p a r a l l e lp r o j e c t i o no p e r a t o r t h ee m b b e d d i n gs u b s p a c e ，b yw h i c ht h et i l i n gi sc o n t a i n e d ，o rn a m e dt h e c u t t i n gs u b s p a c e t h es u b s p a c ew h i c hi s o r h o g o n a lt oe 上 t h ea t o m i cs u r f a c e b o u n do ft h ea t o m i cs u r f a c e t h eu n i ts u p e r c u b i ei nn - d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e g r e e ks y m b o l s u n i ti m a g i n a r yn u m b e r j i v 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位做储虢惭 缈够车箩月2 弓e l 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月 日年 月 日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 躲龄 a c k n o w l e d g e m e n t s a n d1w o u l dl i k et oa c k n o w l e d g em ys u p e r v i s o rp r o f e s s o rh o n g - w e n l u ，a n da n yp e o p l ew h oo n c eh e l p e dm ei nt h ep a s ty e a r si nt o n 鲥i u n i v e r s i t y c h a p t e r1 i n t r od u c t i o n t h ed i s c o v e r yo fq u a s i c r y s t a lh a sb r o k e nt h et r a d i t i o n a lv i e w p o i n to fs o l i dp h y s i c s p h y s i c i s t si n s i s t e dt h a to n l yc r y s t a l sc a nd i s p l a ys h a r pd i f f r a c t i o np e a k su n d e r t h ex - r a yi r r a d i a t i o n t h ep e r i o d i c i t ya n dt h en a m e d c r y s t a lc o n s t r a i n t s d e - t e r m i n et h a tt h ec r y s t a lc a r lo n l yh a ss y m m e t r yo f1 , 2 ，3 ，4 ，6 b u tq u a s i c r y s t a l s ， w h i c hh a v eb e e nd i s c o v e r e di n1 9 8 4 ，h a v es h a r pd i f f r a c t i o np e a k sw i t hs y m m e t r y o f5 ，8 ，1 0 ，1 2 t h en e ws u b s t a n c en o wb e c a m et h et h i r dk i n do fs o l i dm a t t e r o t h e rt h a nc r y s t a la n dn o n - c r y s t a l i nc h a p t e rt w o ，w eg i v et h ed e f i n i t i o n so ft h et e r m su s e di nt h er e s e a r c ho fq u a - s i c r y s t a l s t h em a i nc o n s t r u c t i o nm e t h o d si n c l u d i n gc u t p r o j e c t ，g d m ( g e n e r a l d u a lm e t h o d ) ，s e l f - s i m i l a r i t yt r a n s f o r m a t i o na r ea l s oi n t r o d u c e d i np a r t i c u l a r ， t h ec u t - p r o j e c tt h e o r yi sd e e p l ys t u d i e d t h es y m m e t r i e so fq u a s i c r y s t a l sa r ei n t r o d u c e di nc h a p t e rt h r e e t h em a i nw o r k s o nt h es t u d yo fc l a s s i f i c a t i o no fl o c a lp a t t e r n so fq u a s i c r y s t a la r et h ec o n c e p t s ”l o c a li s o m o r p h i s m ”a n d ”t o r u sp a r a m e t r i z a t i o n a ni n t e r e s t i n g4 - dq u a s i c r y s t a l i sp a r t i c u l a r l yi n t r o d u c e d ，w h i c hi so b t a i n e db yp r o j e c t i o nf r o ma & de u c l i d e a n s p a c ea n dh a st h es y m m e t r yg r o u pw i t ho r d e ro f1 4 4 0 0 r e a d e r sc a nf i n dt h es u f - f i c i e n tm a t e r i a l sa n dr e f e r e n c e so nt h eh i s t o r yo fq u a s i c r y s t a l si nt h et w oc h a p t e r t h ec h a p t e rf o u ra n df i v ea r et h em a i n s e r t a t i o no nt h er e s e a r c ho fq u a s i c r y s t a l c o n t r i b u t i o no ft h ea u t h o ro ft h i sd i s - c h a p t e rf o u rg i v e st h em a i nt h e o r e mo f t h es y m m e t r yl a wo fq u a s i c r y s t a lb ys t u d y i n gt h ea r i t h m e t i cp r o p e r t yo fq u a s i l a t - t i c e s t h em a i na d v a n t a g eo fo u rm e t h o di st h a tn om a t t e rh o wt h eq u a s i c r y s t a l b eo b t a i n ，i e f r o mc u t ，p r o j e c t i o n ，g d mo rs e l f - s i m i l a r i t yt r a n s f o r m ，w ec a n d e a lw i t hi tm l d e rau n i f o r mf r a m e w o r k w ed i s c o v e rt h ec o m m o np r o p e r t yo f a l lk i n d so fq u a s i c r y s t a l s a c c o r d i n gt oc h a p t e rf o u r ，w ep r e d i c tt h ee x i s t e n c eo fq u a s i c r y s t a l so v e rt o t a l r e a la l g e b r a i cn u m b e rf i e l d s t h e nt h eq u a s i c r y s t a lw i t hs e v e nf o l ds y m m e t r yi s c o n s t r u c t e d i t sx - r a yd i f f r a c t i o np a t t e r na r ea l s og i v e ni nc h a p t e rf i v e t h a t w i l lh e l pt h ep h y s i c i s t st of i n dt h er e a ls u b s t a n c ei nt h ef u t u r e c h a p t e rs i xi sd e p e n d e n to ft h ep r e v i o u sc h a p t e r s w ew r i t et h ep r i m e sp 三 l ( m o d 4 ) e x p l i c i t l yw h e nt h ec l a s sn u m b e rh q ( v 每3 = 1 t h ep r o g r a m ma n da l l t h ep r i m e s ，w h i c hc a nn o tb ee x p r e s s e db yt h ed e t e r m i n a t ef o r m ，a r el i s t e di n a p p e n d i xb ，t a b l ela n d2 2 c h a p t e r2 q u a s i c r y s t a la n dr e s e a r c h h i s t o r y 2 1 q u a s i c r y s t a la n dt h ec u t - - p r o j e c tm e t h o d f o rt h eh i s t o r ya n db a s i ci n t r o d u c t i o nt oq u a s i c r y s t a lw ep r e f e r ( k a t z ，1 9 9 2 ) i n1 9 8 4 ，s h e c h t m a ne ta l l ( s h e c h t m a ne ta 1 ，1 9 8 4 ) r e p o r t e da b o u tan o v e l p h a s et h e yh a do b s e r v e di nr a p i d l yq u e n c h e da 1 - m na l l o y s i ne l e c t r o nd i r a e e x p e r i m e n t st h i sn e wm a t e r i a lp r o d u c e ds h a r pd i r a cp e a k s ，w h i c hh a v et h e5 - f o l d r o t a t i o n a ls y m m e t r y t h i so b s e r v a t i o nh a db e e nf o r b i d d e ni nc r y s t a l l o g r a p h y w ew r i t et h es y m m e t r yb yam a t r i xh e r e ： a = ( ! 。8 1 7 1 1 毒c 咖o s 囊- g - )一詈 t h et r a c eo fai s2 c o s 譬+ 1 ，w h i c hi sn o ta ni n t e g e r i nc r y s t a l l o g r a p h y , t h et r a c e o fas y m m e t r i e sg r o u pm u s tb ei n t e g e rb e c a u s eo ft h ei n t e g e rl a t t i c ec o n s t r a i n t s ot h e r ec a no n l ye x i s t2 , 3 ，4 ，6r o t a t i o n a ls y m m e t r i e si nt r a d i t i o n a lc r y s t a l s a tp r e s e n t ，p h y s i c i s t sh a v ed i s c o v e r e dq u a s i c r y s t a l sw i t h5 ，8 ( w a n ge ta 1 ，1 9 8 z ) ， 1 0 ( b e n d e r s k y , 1 9 8 5 ) ，( f u n ge ta 1 ，1 9 8 6 ) ，1 2 ( i s h i m a s ae ta 1 ，1 9 8 5 ) ， ( c h e ne ta 1 ，1 9 8 8 ) ，f o l dr o t a t i o n a ls y m m e t r i e s t h es t r u c t u r eo ft h es o - n a m e d q u a s i c r y s t a l ”a r el e m n e db ym a n yp h y s i c i s t sa n dm a t h e m a t i c i a n s t h eb e s t k n o w nc l a s so fq u y a s i p e r i o d i cs y s t e mi sp e n r o s et i l i n g t h ep e n r o s et i l i n g sa r e 3 n a m e da f t e rr o g e rp e n r o s e w h od i s c o v e r e das i m p l en o n p e r i o d i c a lt i l i n go fp l a n e w i t hf i v es y m m e t r y ( p e n r o s e ，1 9 7 a ) l e v i n ea n ds t e i n h a r d t ( l e v i n ea n ds t e i n h a r d t ，1 9 8 6 ) w e r et h ef i r s tw h oi n - t r o d u c e dt h et e r m ”q u a s i c r y s t a l ”t h e yt r i e dt oe x p l a i nt h en o v e ld i f f r a c t i o n p a t t e r n sb ym e a n so fat h r e ed i m e n s i o n a l i c o s a h e d r a ls y m m e t r i cv e r s i o no ft h e p e n r o s et i l i n g t h em o s ti m p o r t a n tp r o g r e s si sd eb m i j n s ( d eb r u i j n ，1 9 8 1 ) a l - g e b r a i ct h e o r yo fp e n r o s et i l i n g h ep r o v e dt h a tap e n r o s et i l i n gc a no b t m n e db y p r o j e c t i o n so fc e r t a i nl a t t i c es u p e r - s u r f a c e si na5 dc u b i cl a t t i c e a f t e rd eb r u i j n s c e l e b r a t i n gw o r k ，m a n ya u t h o r sf o l l o w e dh i si d e aa n dc o n s t r u c t e dm a n yo t h e r s t r u c t u r e s k r a m e ra n dn e r i ( k r a m e ra n dn e r i ，1 9 8 4 ) p u b l i s h e da3 di c o s a - h e d r a l l ys y m m e t r i cv e r s i o no ft h ep e n r o s ep a t t e r n ，o b t a i n e db yp r o j e c t i o nf r o m s i xd i m e n s i o n sa n dc o m p o s e do ft w ot y p e so fr h o m b o h e d r a ，s t i l lb e f o r es h e c h t m a i l sd i s c o v e r y a f t e rs h e c h t m a n sp a p e rw a sp u b l i s h e d ，e l s e r ( e l s e r ，1 9 8 6 ) a n di n d e p e n d e n t l yd u n e a ua n dk a t z ( d u n e a ua n dk a t z ，1 9 8 5 ) u s e dk r a m e r a n dn e r i ss t r u c t u r ea sam o d e lf o rs h e c h t m a n sn e wp h a s e t h e ya l s oc a l c u l a t e d t h ef o u r i e rs p e c t r u mo ft h i sm o d e ls t r u c t u r e i nc o n t r a s tt ol e v i n ea n ds t e i n - h a r d t sm o d e l ，t h e yc o u l de x p l a i nt h ep e a kp o s i t i o n sa n d ，q u a l i t a t i v e l y , e v e nt h e i n t e n s i t i e so fs h e c h t m a n sd i f f r a c t i o np a t t e r n s n o ww ei n t r o d u c et h ep r o j e c t i o nm e t h o d l e tlb eal a t t i c es e ti nah i g h e r e u c l i d e a ns p a c ew i t hd i m e n s i o n 礼ei si t ss u b s p a c ew i t hr e l a t i v el o w e rd i m e n s i o nda n d i st h ec o m p l e m e n ts p a c ew i t hd i m e n s i o nn d a l lt h es u b s p a c e w h i c hh a sd i m e n s i o nda n dp a r a l l e lt oe ，i sd e n o t e db ye “t h el a t t i c es e tl i sg e n e r a t e db yab a s ex l ，x 2 ，z t lw i t hi n t e g e rc o e f f i c i e n t s ei ss p a n n e db yd v e c t o r se l ，e 2 ，e d ，w h i c hh a si r r a t i o n a lo r i e n t a t i o n s l e t7 r 上b et h ep r o j e c t i o n o p e r a t o rw h i c hp r o j e c tt h el a t t i c e so flt oe ： ( 2 。1 ) w h e r e ( ，) i st h ei n n e rp r o d u c t i o no fv e c t o r s l e t 丌i ib et h ep r o j e c t i o no p e r a t o r w h i c hp r o j e c tt h el a t t i c e so flt oe 7 i ts h o u l db en o t i c e dt h a tn o ta l lt h el a t t i c e s 4 己ze e z d 试 = z 上 丌 i nlw i l lb ep r o j e c t e dt ot h es u b s p a c e o n l yt h o s el a t t i c e s ，w h i c ha g ei nt h ea c - c e p t a n c ew i n d o w ，a r ei nc o n s i d e r a t i o n t h ea c c e p t a n c ew i n d o wi sas t r i pa r o u n d t h es u b s p a c ee w h i c hd e t e r m i n et h em a x i m u mt r a n s l a t i o nd i s t a n c eo f ”e ”t o g e tan o n - p e r i o d i ct i l i n g ，em u s th a si r r a t i o n a lo r i e n t a t i o na n dp a s s e so n e l a t t i c e o f ”l ”a tm o s t ab i g g e ra c c e p t a n c ew i n d o ww i l li n c l u d em o r el a t t i c et h e r e f o r g e n e r a t eam o r e ”d e n s e ”p o i n ts e t f i g u r e2 1 i sa ni l l u s t r a t i o ni nal o w e rs p a c e f i g u r e2 1 ：t h ep r o j e c tm e t h o di n 砰w i t ha1 - d i m e n s i o n ms u b s p a c ee b u t ，g i v e nad i f f r a c t i v es y s t e mw i t hn o n - c r y s t a l l o g r a p h i cp o i n ts y m m e t r y , w h a t i st h er i g h te m b e d d i n gd i m e n s i o n ( w h i c he q u a l st h ei n d e x i n gd i m e n s i o n ) t os t a r t f r o m ? f o r t u n a t e l y , t h ea n s w e ri sk n o w n ： t h e o r e m2 1 ：t h ed e s c v i p t i o no fap l a n a rq u a s i p e r i o d i cp o i n ts e tw i t hn - f o l d s y m m e t r yb y ? 孔e a n so ft h ep r o j e c t i o nm e t h o dr e q u i r e sal a t t i c ea tl e a s to fd i m e n s i o n 西n ，w h e r e 西i se u l e r s f u n c t i o n ( t h en u m b e ro fp o s i t i v ei n t e g e r sl e s st h a nn w h i c ha r ec o 。p r z m et o 孔) a3 1 ) q u a s i p e r i o d i cp o i n ts e tw i t hi c o s a h e d r a ls y m m e t r y r e q u i r e sa ne m b e d d i n gl a t t i c ea tl e a s t0 d i m e n s i o n6 一 t h ep r o o fo ft h ei c o s a h e d r a lc a s ei sb a s e do nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ft h e i c o s a h e d r a lg r o u p ，s e ee g ( d u n e a u ，1 9 9 4 ) t h es t a t e m e n ta b o u tt h ep l a n a r s y m m e t r i e si sad i r e c ta n dr a t h e rs i m p l ec o n s e q u e n c eo ft h es t r u c t u r eo ft h es o - c a l l e dc y c l o t o m i cp o l y n o m i a l s ，8 e ea p p e n d i xa o f ( b a a k ee ta 1 ，1 9 9 1 ) f o ra 1 1 e x p l i c i tp r o o f f i g u r e2 2 ：ae x a m p l eo fp e n r o s e - t y p et i l i n g l e tu sn o t et h a tt h em i n i m a ld i m e n s i o ni su s u a l l ys u f f i c i e n t ，a n du s i n gm o r et h a n 6 2 2d e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n s t h em i n i m a ln u m b e ro n l yr e s u l t si na m b i g u i t i e so ft h ei n d e x i n gs c h e m e a na l t o - g e t h e ru n d e s i r e df e a t u r e h a v m gs e t t l e dt h eq u e s t i o nf o rt h ec o r r e c td i m e n s i o n ，w en e e dt ok n o ww h a t t h ef i g h tl a t t i c ei s i tt u r n so u tt h a tt h eh i g h e r - d i m e n s i o n a la n a l o g u eo ft h e s q u a r ea n dc u b i cl a t t i c e s ，t h eh y p e r - c u b i cl a t t i c e s ，a r en o ts u f f i c i e n t t h em o s t c o m m o ne x a m p l ew h e r et h i sb e c o m e sa p p a r e n ti st h ep e n r o s et i l i n go ff i g u r e 3 1 i th a sf i v e f o l d ( a c t u a l l yt e n f o l d ) s y m m e t r y , a n dt h ea b o v et h e o r e mt h e n t e l l su st h a ta4 dl a t t i c ei st h er i g h tc h o i c e ，c h o i c e ，b e c a u s e 5 = 矽1 0 = 4 v e r y o f t e n o n ef i n d sad e s c r i p t i o no ft h ep e n r o s et i l i n gb a a e du p o nz 5w h e r eo n ee x t r a d i m e n s i o nh a sb e e ni n t r o d u c e d t h i sh a st h ed i s a d v a n t a g em e r i t i o n e d as i m p l e r c h o i c ei st h es o - c a l l e dr o o tl a t t i c ea 4w h i c hc a nb es e e na st h e4 d1 a t t i c et h a t i so b t a i n e db yi n t e r s e c t i n gz 5w i t ht h e4 dh y p e r p l a n et h r o u g ht h eo r i g i n a n d o r t h o g o n a lt ot h es p a c ed i a g o n a l ( 1 ，1 ，1 ，1 ，1 ) i ng e n e r a l ，r o o tl a t t i c e sp r o v i d e av e r yn i c ec l a s so fs i m p l el a t t i c e st h a ti sg e n e r a le n o u g ht oc o v e rt h eo b s e r v e d c a s e s ( b a a k ee ta 1 ，1 9 9 1 ) i nam a x i m a l l ys y m m e t r i cw a y f o rb a c k g r o u n dm a - t e r