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控制理论在种群生态系统中的应用研究 摘要 人类社会的存在、发展离不开必要的物质基础，所有来自大自 然的物质和它们所构成的环境状态就是人类最可依赖的物质基础。 长期以来，自然环境为人类的进步奉献了大量资源。在享受自然赋 予的资源的同时，人类也意识到：人类经济、社会、文化的可持续 发展仍然依赖于自然资源，所以必须协调好人类发展与有限的自然 环境之间的矛盾。由于过去人类的过度开发，许多自然非生物资源 已近乎枯竭，还有很多生物物种的种群数量过低，已经威胁到其正 常的再生过程，而有的物种则业已灭绝。生态系统多样性严重丧失 的现实状况说明，对生态系统施加行之有效的控制以维持其生态平 衡是必不可少的。 目前，种群动力学系统控制问题的研究已经得到许多学者的重 视，并且取得了一些成果。前人的研究领域主要集中在种群动力学 系统的最优控制上。本文则主要探讨如何利用控制理论中的反步设 计法、反馈控制法、脉冲控制等对若干种群动力学模型的稳定性与 永久持续起到的作用，并利用计算机软件对控制效果进行必要的数 值模拟，为控制理论在种群动力学中的应用提供一些实际方法。 主要工作有以下几个方面： 1 人工鱼类饲养和海洋渔业捕捞大多是以某固定种类的鱼类资 源为对象展开的生产活动，如果捕捞数量超过种群增长数量就会导 致该种群无法长期存在，从而影响长期收益。本文针对两种常见的 捕获方式进行了研究，给出了不同捕获方式下系统的长期稳定性， 得到了相对容易操作并且能保证长期获取收益的捕获方法。 2 经典的l o t k a v o l t e r r a 二维捕食系统本身在原平衡点处不存在 全局渐近稳定性的，本文采用b a c k s t e p p i n g 反步设计方法研究了该 模型的全局稳定化问题，得到了使闭环系统在正平衡点处全局渐近 稳定的控制律，其控制效果得到了数值模拟的验证。 3 l o t k a v o l t e r r a 二维捕食系统和竞争系统在系统自身的平衡点 处也不是渐近稳定的，有必要利用外界的控制手段使其达到渐近平 衡的状态。本文采用控制理论中的两种不同的控制手段一一输出反 馈控制和状态反馈控制分别对捕食系统和竞争系统模型进行了控制 效果研究，得剑了使系统渐近稳定的控制律。 4 环境污染有时对生物系统带来的危害是毁灭性的，因此很有必 要研究在污染状态下生物系统的发展方向和应对措施。本文针对大 容量污染环境中二维捕食反馈控制系统的变化趋势展开研究，获得 了使闭环系统全局一致有界和永久持续生存的控制律。 关键词：种群动力学系统，反步设计法，反馈控制，脉冲控制， l o t k a v o l t e r r a 模型 s t u d yo nt h ea p p l i c a t i o no f t h ec o n t r o lt h e o r yi n t h ep o p u l a t i o nd y n a m i cs y s t e m a b s t r a c t t h ee x i s t e n c ea n dt h ed e v e l o p m e n to fh u m a ns o c i e t yc a nn o tb e s e p a r a t e df r o mt h en e c e s s a r ym a t e r i a lb a s e t h en a t u r ee n v i r o n m e n t a n d s u b s t a n c ei st h ef i r m e s tf o u n d a t i o no fh u m a ns o c i e t y f o ral o n gt i m e ， t h en a t u r a le n v i r o n m e n th a so f f e r e dal a r g ea m o u n to fr e s o u r c et o h u m a nb e i n g sp r o g r e s s e n j o y i n gt hn a t u r er e s o u r c e ，h u m a nb e i n ga l s o r e a l i z e st h ed e v e l o p m e n to ft h e i re c o n o m ya n ds o c i e t ya n dc u l t u r es t i l l a r eb a s e do nn a t u r a lr e s o u r c e s ，s ot h eh a r m o n i z i n gm u s tb ef i n i s h e d b e t w e e nl i m i t e dn a t u r a le n v i r o n m e n ta n dt h eh u m a nb e i n gd e v e l o p s i n c eh u m a nb e i n g se x c e s s i v e n e s sd e v e l o p s ，m a n y r e s o u r c e sw e r e a l m o s te x h a u s t e da n dm a n yb i o l o g ys p e c i e sq u a n t i t ya r et o ol o wt ok e e p t h e i r a b i l i t yo fr e g e n e r a t i o n a n ds o m es p e c i e sh a db e c o m ee x t i n c t a l r e a d y t h er e a l i t yo ft h eb i o d i v e r s i t y sc o m e d o w n i n gt e l l su st h a ti t i s n e c e s s a r yt oa d o p tp o w e r f u l c o n t r o lt ok e e p i n gi t sb a l a n c eo ft h e b i o d i v e r s i t y r e c e n t l yt h es t u d yo nt h ec o n t r o lt ot h ep o p u l a t i o nd y n a m i cw a s r e g a r d e db ym a n ys c h o l a ra n ds o m er e s u l t sh a v eb e e nr e s e a r c h e do n c o n t r o l p r o b l e m f o r p o p u l a t i o nd y n a m i cs y s t e m s m o s t o ft h e s e r e s e a r c h e sa r ec o n c e n t r a t e do nt h eo p t i m a lc o n t r 0 1 i nt h i st h e s i s ，t h e g l o b a l s t a b i li z a t i o na n d p e r m a n e n c ep r o b l e m s o fs o m ek i n d so f p o p u l a t i o nd y n a m i cm o d e l s a r ei n v e s t i g a t e db yu s i n gb a c k - s t e p p i n g d e s i g n ，f e e d b a c kc o n t r o l ，a n di m p u l s i v ec o n t r 0 1 t h e r e s e a r c hr e s u l t w e r ev e r i f i e db yt h ec o m p u t e rs i m u l a t e t h e s ep r o v i d es o m en e w m e t h o d sf o rt h ea p p li c a t i o no ft h ec o n t r o lt h e o r yi nt h ep o p u l a t i o n d y n a m i cs y s t e m s t h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i sa r ea sf o l l o w s ： 1 a r t i f i c i a lf e e d i n gf i s ha n do c e a nf i s h e r ya l w a yt a r g e t e dt of i x e d t y p ef i s h i ft h ec a t c hi sm o r et h a nt h eg r o w t h ，t h ep o p u l a t i o nc a nn o tb e p e r s i s t e n t e x i s t e n c ea n dt h ef i s h e ri su n a b l et oo b t a i nt h el o n g - t e r m i n c o m e s ot w oc o m m o na c q u i s i t i o nm o d e sw e r er e s e a r c h e da n dt h e s y s t e m a t i cl o n g t e r ms t a b i l i t yu n d e rt h ed i f f e r e n ta c q u i s i t i o nm o d ew e r e g i v e n t h er e s e a r c hr e s u l ta l s oo b t a i n e dac a t c hm o d ew h i c hi se a s i l yt o o p e r a t e ，a n dt h ef i s h e rc a ng u a r a n t e et h el o n g t e r mg a i ni n c o m eb a s e d o nt h i sc a p t u r em e t h o d 2 t h ec l a s s i c s2 一s p e c i e sl o t k a - v o l t e r rp r e d a t o r p r e ym o d e ld on o t g l o b a l s t a b i l i z e s o b yu s i n gb a c k s t e p p i n g m e t h o d ，t h eg l o b a l s t a b i l i z a t i o n s i n v e s t i g a t e d a n dt h ec o n t r o l l a w s t a b i l i z i n g t h e c l o s e d - l o o ps y s t e mi so b t a i n e d t h ec o n t r o lr e s u l tw e r ev e r i f i e db yt h e c o m p u t e rs i m u l a t e 3 t h el o t k a - v o l t e r rp r e d a t o r - p r e ym o d e la n dc o m p e t i t i v em o d e l a r en o ta d v a n c i n gg r a d u a l l ys t a b i l i z i n g s oi ti sn e c e s s a r yt ob u i l d c o n t r o ls y s t e mt ok e e pt h e i ra d v a n c i n gg r a d u a l l ys t a b i l i z i n g b yu s i n g b o t ho u t p u tf e e d b a c kc o n t r o lm e t h o da n ds t a t eb a c kc o n t r o l l a w ，as t u d y o fc o n t r o lr e s u l tw a s i n v e s t i g a t e d t ot h e p r e d a t o r p r e y m o d e la n d c o m p e t i t i v em o d e l t h ec o n t r o ll a ws t a b i l i z i n gt h ec l o s e d l o o ps y s t e m i so b t a i n e d 4 s o m e t i m e s ，e n v i r o n m e n t a lp o l l u t i o ni saf a t a ld a m a g et ot h e p o p u l a t i o nd y n a m i c s ot h es t u d y i n go nh o wt h el i v i n gt h i n g sb r i n g i n g a n dd e v e l o p m e n ta n dh u m a n sm e t h o da b o u tt h i si sv e r yn e c e s s a r y t h e 2 - s p e c i e sp r e d a t o r p r e ys y s t e mi nal a r g ec a p a c i t yp o l l u t e de n v i r o n m e n t i ss t u d i e di nt h i st h e s i s t h ec o n t r o ll a wm a k e st h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m p o i n to ft h ec l o s e d l o o ps y s t e m i s g l o b a lu n if o r m b o u n d e d n e s sa n d p e r m a n e n c e k e y w o r d s ：p o p u l a t i o nd y n a m i cs y s t e m ，b a c k s t e p p i n gm e t h o d ， f e e d b a c kc o n t r o l ，i m p u l s i v ec o n t r o l ，l o t k a v o l t e r r am o d e l i v 控制理论在种群生态系统中的应用研究 原创性声明及关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 _ 、， 论文作者签名：蔓! 至! 塑 e l 期：2 q q 墨生旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解陕西科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权陕西科技大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文 全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：曼垦! 查导师签名：e l 期：2 q q 胜6 旦 控制理论佐种群生态系统中的麻用研究 1 绪论 自然环境和资源是人类社会存在和发展的必要基础，为了保证社会的可持 续发展就必须协调好人类发展和自然环境之间的矛盾。自然界发展过程中已经 有无数种类的生物在不断的选择中或者被淘汰、或者自身进化，有很多物种已 经灭绝，不能不说是一种遗憾，这种淘汰是自然发展的结果，是不可挽救和逆 转的。而人类进入工业化社会以来，随着人类开发能力和人口数量的急剧膨胀， 对自然界的索取比过去几千年的总和还要多得多。由于人类的过度开发，许多 物种的种群数量过低，已经威胁到其正常的再生过程，甚至导致有的物种濒临 灭绝。生物多样性严重丧失的现实状况说明，对生态系统开展有效的研究并对 其施加行之有效的控制以维持其生态平衡是必不可少的。另一方面，在农牧渔 业生产活动、生物工程科技和病理研究等领域，为了长期获得产品的最大产量 并形成最为有利的生产模式也需要在生产过程中不断对存栏牲畜、细菌培养中 的数量等特征置的发展过程进行研究和控制。因此，针对生物系统数量及其发 展变化的研究就成为现代科技十分重要的组成部分，有关此类问题研究已经成 为一门独立的学科，被称为种群动力学。这门学科涉及到生物学、数学、控制 学、信息学等多门学科，成为现代科学的重要分支，经过几十年的发展，已获 得丰富的理论成果，并在实践中有广泛的应用。随着人们调控生态系统重要性 的认识越来越明确和清晰，对环境治理、资源合理开发、能源持续利用、生物 多样性的保护越来越关心，为控制理论在生态系统中的应用提供了机遇，也对 种群生态学的发展起到了积极的推动作用。本文的主要内容就是对若干已知的 生态系统运用几种合适的控制手段，达到维持，物体种群数量平衡或取得产品 最大产量或在一定的时问内取得最大经济效益的目的。 1 1 研究背景 我们知道，如何利用有限的可再生资源，实现其可持续开发和利用，已成 为全球学者和政治家普遍关心的问题，受到各个行业的重视。在现实世界中， 存在着各种各样或天然或人工培养的生物资源，为了能长期地利用它们，就必 须合理地开发和科学的管理。对于那种对生物资源未能充分利用和开发过度造 成的资源枯竭情况，我们必须制止。人类对生物种群的开发应追求经济利益和 环境利益的统一，这样彳能实现呵持续发展，不能单纯的为了追求经济利益而 破坏生态环境。近半个世纪以来，人类活动对自然的干扰，资源的开发，已导 陕两科技人学硕 j 学化论文 致自然环境的破坏及整个地球生命支持系统的退化，生物多样性急剧下降甚至 丧失。过度丌发和消耗，破坏了环境，破坏了自然界的生态平衡，已严重危及 到人类未来的生存与发展。 具体到我国的现实情况，在三十年来的经济高速发展过程中，也遇到了前 所未有的环境保护方面的严藿问题，一个突出的表现就是人为破坏造成的巨大 损失。这种损失不仅直接体现在人类已有物质财富的损失上，更体现在对自然 资源和生态物种的严重破坏上。如今，自然资源的严重短缺问题已成为世界三 大难题中最为关键的一个问题。面对生物多样性的惊人丧失，人们从来没有像 现在这样需要增进对牛念系统形成和进化过程原理的理解、构建生态系统的调 控结构和加强生念系统的控制机能。总而言之，随着人口增长和生产活动的增 强对环境与资源造成极大的压力，人类迫切需要调整入与自然、资源以及环境 的关系，保护生物多样性，使之健康的、可持续的发展。这对于我国这样一个 发展中的大国来讲，更显得尤为重要。因此，在数学上定量分析人类对生物种 群的开发，并利用各种控制方式合理利用资源、保护生态环境有着重要的社会 意义。总之，加强种群生态学的研究不仅对现阶段的经济社会发展有着强烈的 现实意义和指导作用，而且对未来的发展也将产生重要作用。 1 2 生物多样性的意义与丧失原因 生物多样性是生物及其环境形成的生态复合体以及与此相关的各种生态 过程的总和，由遗传( 基因) 多样性，物种多样性和生态系统多样性等部分组成。 遗传( 基因) 多样性足指生物体内决定性状的遗传因子及其组合的多样性。物 种多样性是生物多样性在物种上的表现形式，可分为区域物种多样性和群落物 种( 生态) 多样性。生态系统多样性足指生物圈内环境、生物群落和生态过程 的多样性。遗传( 基因) 多样性和物种多样性是生物多样性研究的基础，生态 系统多样性是生物多样性研究的重点。生物多样性是自然界长期进化的重要成 果，也是人类赖以生存的宝贵生物资源，是人类生存和发展的基础之一【lj 。人 类思想的进步使人们对这一宝贵财富的看法不断深化。l9 9 2 年，联合国环境与 发展大会通过了生物多样性公约，旨在提醒全人类都要重视生物多样性、 重视对生物多样性的保护，该公约目i j 已成为环境领域签署国家最多的公约。 同时，生物多样性与全球变化和町持续发展被列为当代生态学和环境科学的三 大前沿领域，受到人们的广泛重视。 生物多样性的意义主要体现在乍物多样性的价值。对于人类来说，生物多 样性具有直接使用价值、间接使用价值和潜在使用价值。直接价值生物为人类 控制理论住种群乍态系统中的应用研究 提供了食物、纤维、建筑和家具材料、药物及其他工业原料。单就药物来说， 发展中国家人口的8 0 依赖植物或动物提供传统药物，以保证基本的健康，西 方医药中使用的药物有4 0 含有最初在野生植物中发现的物质。例如，据近期 的调查，中医使用的植物药材达l 万种以上。生物多样性还有美学价值，可以 陶冶人们的情操，美化人们的生活。如果大干世界里没有色彩纷呈的植物和神 态各异的动物，人们的旅游和休憩也就索然寡昧了。正是雄伟秀丽的名山大川 与五颜六色的花呜鱼虫相配合，力构成令人赏心悦目、流连忘返的美景。另外， 生物多样性还能激发人们文学艺术创作的灵感。间接使用价值是指生物多样性 具有重要的生态功能。无论哪一种生态系统，野生生物都是其中不可缺少的组 成成分。在生态系统中，野生生物之间具有相互依存和相互制约的关系，它们 共同维系着生态系统的结构和功能。野生生物一旦减少了，生态系统的稳定性 就要遭到破坏，人类的生存环境也就要受到影响。潜在使用价值野生生物种类 繁多，人类对它们已经做过比较充分研究的只是极少数，大量野生生物的使用 价值目i j 还不清楚。但是可以肯定，这些野生生物具有巨大的潜在使用价值。 一种野生生物一旦从地球上消失就无法再生，它的各种潜在使用价值也就不复 存在了。当今社会的生物多样性面临着严重的威胁，生态平衡遭到破坏。这些 威胁的主要来源有两类，第一类是自然的因素；另一类是人为因素。生物资源 不可避免的要受到自然界法则的影响，自然条件下的物种不可避免的存在自身 的遗传特点，具有对环境适应的脆弱性，只要环境压力增大，物种必然在“适 者生存，优胜劣汰”的定律作用下走向衰亡，尤其是低遗传多样性的物种更容 易灭绝。第二类足人为因素，就是人类的干扰对生态系统造成的影响，主要表 现在人类对生态环境的破坏和对物种的过度掠夺。现有的经济体系刺激着那些 以生物资源谋利的人不断从生物界获取利益而从来不加以补偿，这种掠夺性危 害甚至比环境压力给生物带来的危害更为严重，有时可能是毁灭性的灾难1 2j 。 对任何一种自然资源都不可能无限制的开发。无限的利用是暂时的，有限 的利用是必然的。当开发持续超过自然资源的负载能力时，就会使自然资源的 数量减少甚至消亡。以l o g i s t i c 增长模型为例1 3 】，说明丌发活动对生物资源的 影响。描述种群数量增长的l o g i s t i c 模型为： 百d n = r n ( 1 一i n ) ( 1 1 ) 其中，n 为种群的数量，r 为种群的内禀自然增长率( i n t r i n s i c r a t eo f n a t u r i n c r e a s e ) ，k 为负载容量( c a r r y i n gc a p a c i t y ) ，也称容纳量。在这个数学模 陕两科技人学坝l j 学位论文 型中，种群的实际增长率为，( 1 一i n ) ，其含义为在一定的自然环境中，种群数量 总存在一个上限k ，当种群的数量逐渐向着上限k 值上升时，实际增长率就要 逐渐减少。当种群数量达到k 值时，实际增长率r _ 0 。这说明在种群数量较高 时，实际增长率k 与种群密度之问成反比的关系，当密度增大时，增长率则下 降，这就是所谓的对增长率的密度制约效应设丌发量为h ，则可将原模型变形 为 d 出n = r n ( 1 一i n ) 一日 ( 1 2 ) 图1 1 显示了l o g i s t i c 模型下自然资源的 丌发量与其增长率的关系( 横啦标表示种 群数最的增长率，纵坐标表示对该种群的 开发量) 。可以看出，随着资源种群的数 量的变化，对该资源的丌发量绝对不可能 是无限增长的，必然存在一个最人开发 值，即n 所对应的h ：坠，h 称为t 最 4 大可持续产量 ( m a x i m u ms u s t a i n a b l e y i e l d ，简记为m s y ) 。因此，如果丌发投 图1 1 资源开发量与其增长率的关系 f i g 卜lt h er e l a t i o nb e t w e e ne x p l o i t a t i o n c a p a c i t yo fr e s o u r c ea n di t si n c r e a s er a t e 入过大，使丌发量持续大于资源的最大可持续产量，就会造成资源种群规模的 减少甚至灭绝，这j 下足我们力图要避免的。现实情况中，这种过度开发的现实 令人触目惊心。为此，l9 9 5 年联合圆粮农组织特意对生物资源的现况做了专项 研究，最终形成的研究报告称：7 0 以上的海洋鱼类资源处于过度捕捞的状态， 6 5 的森林野生动物生活环境已经消失。人类过度利用生物资源的行为已经对 自然界造成严重危害，甚至导致珍贵物种濒临灭绝。 自2 0 世纪5 0 年代以后，随着现代工农业的发展，人们加大对资源的索取， 生物资源对污染物的负荷大大超过了其自身的净化能力。污染物的大量积聚使 环境大为恶化，很多生物群落遭到火顶之灾，生物多样性严重下降。 1 3 生态学的发展 随着生物多样性嵌失的同益严藿，生态学以自订所未有的速度飞速前进，迅 猛发展。生态学是研究乍物与坏境、生物与生物之间相互关系的生物学分支学 控制理论侄种群生态系统中的应用研究 科。生物在长期进化过程中，逐渐形成对周围环境某些物理条件和化学成分， 如空气、光照、水分、热量和无机盐类等的特殊需要。各种生物所需要的物质、 能量以及它们所适应的理化条件是不同的，这种特性称为物种的生态特性。 同种个体之间有互助有竞争；植物、动物、微生物之间也存在复杂的相生相克 关系。人类为满足自身的需要，不断改造环境，环境反过来又影响人类。随着 人类活动范围的扩大与多样化，人类与环境的关系问题越来越突出。因此近代 生态学研究的范l 嗣，除生物个体、种群和生物群落外，已扩大到包括人类社会 在内的多种类型生态系统的复合系统。人类面临的人口、资源、环境等几大问 题都是生态学的研究内容。 生态学的发展可分为萌芽期、形成期和发展期三个阶段。古人在长期的农 牧渔猎生产中积累了朴素的生态学知识，诸如作物生长与季节气候及土壤水分 的关系、常见动物的生活习性等。例如，诗经里动物之间关系的描述，古 希腊哲学家亚罩士多德对动物不同类型栖息地的描述，都孕育着朴素的生态学 思想。l5 到17 世纪，许多科学家通过科学考察积累了不少宏观生态学资料， 作了大量开创性的工作。到2 0 世纪初生态学有了蓬勃的发展，在这一时期， 它已不仅仅停留在现象的描述上，而是着重于解释这些现象。2 0 世纪初3 0 年 代，已有不少生态学著作和教科书阐述了一些生态学的基本概念和论点，如食 物链、生态位、生物量、生态系统等。至此，生态学已基本成为具有特定研究 对象、研究方法和理论体系的独立学科。2 0 世纪5 0 年代以来，生态学进入发 展期，它吸收了数学、物理、化学工程技术科学的研究成果，向精确定量方向 前进并形成了自己的理论体系。数理化方法、精密灵敏的仪器、电子计算机和 大量丰富的计算方法的应用，不仅使生态学工作者有可能更广泛、深入地探索 生物与环境之间相互作用的物质基础，而且可以对复杂的生态现象进行更精确 的定量分析；整体概念的发展，产生出系统生态学等若干新分支，初步建立了 生念学理论体系。在自身发展的同时，生态学又和社会经济生产系统的方方面 面相互交织相互渗透，实际形成了庞大的复合系统，这一时期的生态学被称为 现代生态学。 系统生态学是现代生态学的蕈要组成部分，是生态学在方法论上的突破， 是划时代的认识论的提高。它以维纳在l9 4 8 年出版的控制论一一动物体与 机器中控制与联系的科学为标志，以数学模型为中心，用系统分析的方法分 析、预测生态系统的动态行为；用数学模型来描述生物资源的生存与环境的关 系。从那以后，用系统论的方法研究生物资源各部分的相互联系及其各级整体 功能已成为发展趋势。这一分析方法为解决现代的社会、环境、资源等问题提 陂两科技人学硕l ：学位论殳 供了良好的工具。以l o t k a v o l t e r r a 模型为例， 义。该模型的数学表达为： l 毫( ，) = 五( q o - f a l 五+ a 1 2 恐) ix 2 ( f ) = x 2 ( a 2 0 + q 2 而+ 口2 2 x 2 ) 说明数学模型所包含的生物含 ( 1 3 ) 其中x = l ，2 ) 表示第f 个种群的密度。生态系统的相互作用是很复杂的， 每两个种群之间的关系，可以是下列四种关系之一：捕食一一被捕食，寄生物 一一寄主，互相竞争以及互惠共存”j 。 ( 1 ) 当口1 2 0 时，说明a 为被捕食者( 或寄主) ，而b 为捕食者( 或寄 生物) ； ( 2 ) 当a 1 2 0 时，说明a 和b 是互惠共存的关系； ( 4 ) 我们一般假定a 1 2 o ，a 2 2 _ 0 。若a l1 0 ) 表示a 种群( b 种群) 可以依靠此系统之外的食物为生，而 a l o 0 的二维l o t k a v o l t e r r a 脉冲捕食系统模型进行分析，然后利用状态反馈和输出 反馈的方法对系统施加控制。一方面，通过状态反馈控制，得到了使闭环系统 全局一致有界和永久持续，存的控制律；另一方面，通过反馈控制，得到了使 系统在证平衡点处全局渐近稳定的自适应控制律。 5 第五章研究在外界污染环境卜形如 控制理论在种群生态系统中的应用研究 i 毫= x l ( a l o q 1 x i 一口1 2 x 2 ) 一x i 艿( f ) + 【岛= x 2 ( a 2 0 一0 2 1 x 2 一q 2 2 x 2 ) 一r 2 x 2 8 ( t ) + u 2 的二维l o t k a v o l t e r r a 捕食模型控制，得到了在闭环状态反馈控制规律下保证 系统永久持续生存的控制律。 6 第六章对全文做了总结和展望。 陕两科技人学倒! f j 学位论文 2l o g i s t i c 单种群生物资源最佳捕获策略研究 生物资源是一种可再生、可更新的自然资源。这种资源可以借助于自然循 环和生物自身的生长繁殖而不断更新，并在一定时期内保持一定的储量。在目 前的社会经济技术条件下可以为人类所利用的生物资源有：森林资源、草场资 源、动物资源和微，l 物资源等。由于生物资源具有再生机能，所以只要孥持对 这些资源科学管理和合理利用，生物资源便能够做到取之不尽，用之不竭，而 且能按人类意志，进 r 繁殖更生；但如果不合理利用，使资源受到损害，破坏 其更新循环过程，会造成资源枯竭，不仅经济受到损失，严重时将影响人类的 生存环境。比如我国北方近年柬的扬沙、沙尘暴等恶劣天气的出现，南方因水 土大面积流失而导致的洪涝灾害等，都是由于人类对资源的过度丌发利用而引 发的。特别是动物的柄息地如森林、草原等的破坏和退化，大大加速了生物资 源的灭绝；而对动物资源的过渡捕猎，造成了许多珍稀物种的灭绝。 生物资源又可以分为自然生物资源和人工培育资源，其中大多数是可以给 人带来直接的经济效益的，例如海洋中的各种自然存在的鱼群，又如人工培养 的食用鱼、观赏鱼、食用家禽家畜等。近年束全球对自然资源的保护力度逐渐 增强，同时也对人工培育的 物资源加强了研究和管理。此类研究主要集中在 如何对尘物资源进行科学的管理，综合考虑生物多样性的保护、生物产量、经 济收益等方面的凶素而制定合理的管理目标。其中最大持续捕获量和最大持续 经济收益是两个非常重要的管理目标，要求既能够使产量或经济收益达到最 大，又要使生物资源持久地被利用。关于生物资源的最优丌发问题，已有许多 学者进行了广泛面深入地研究。现有的研究多数是基于人类的开发行为是连续 发生的，而事实并非如此。比如海洋捕鱼作业是有其季节性的或其他规律的， 又如鱼塘喂食和捕捞作业也经常是f u j 断进行的。考虑到人类开发行为的不连续 性，研究生物资源的脉冲收获或喂食等问题更符合实际。 本章我们将讨论满足l o g i s t i c 增长规律的单种群生物资源的脉冲捕获效果 问题，核心内容在于如何使渔业养贿户的鱼群喂养和收获等经济活动中在确保 鱼群可持续生长的前提下获得最大的经济效益。 2 1l o g i s t i c 单种群生物资源模型分析 供人类食用的肉食类生物养殖活动在我国的规模越柬越大，如何在养殖过 程中获得最大的经济效益，同时又要保持被饲养对象长期持续发展的问题是所 控制理论住种群，卜态系统中的应f j 研究 有养殖户共同关心的问题，从事此类工作时，养殖户首先要完成的工作是设计 和修建鱼池，这时他要考虑的问题是鱼池的大小，这关系到这个鱼池能养殖鱼 种群的最大数量，这个可饲养的龟群最大数量被称为种群的环境容纳量。在外 界条件不发生重大改变的自订提下，这一容纳量一般是长期固定不变的，可将其 设为常数k 。其次，养殖户最为关心的是：如何能够用最小的资金投入获取到 最大的利润和长期的效益。考虑实际养殖过程中，无论是养殖户的鱼苗投放行 为、饲料喂养行为还足成鱼捕捞行为，相对于整个养殖过程而言都是在极短时 间内完成的，而且这些动作都是非连续的间断过程，并且这样的投放、捕捞行 为会使留在鱼池中鱼种群的种群数量在短时日j 内发生很大的变化，所以与常微 分方程相比，脉冲微分方程更符合鱼群养殖过程的生物含义。与此相类似，许 多滩涂养殖场、肉禽肉畜等饲养场的养殖过程都具有这样的特性，因此，利用 脉冲微分方程对这些养殖过程进行分析并设法获得养殖户的最大利益模型是 有很强的现实意义的。在本节中，主要以鱼塘养殖为具体实例展开讨论。 首先需要明确周期脉冲微分方程的定义。 定义2 1 1 3 5 1 若脉冲系统 f 出 l i = ( ，x ) ，t t k 1 讲 l a x = j 女( x ) ，= 气 存在t o 及q n ，使得对于任意f r + ，k n ，x q ， 有 厂o + 丁) = ( ，) ，厶+ 。( x ) = 厶( x ) ，t k + ，= + 丁，则称该系统为周期脉冲微分方程。 这样的周期脉冲微分方程具有如下两个性质。 引理2 1 【3 5 1 如果周期脉冲微分方程是以7 1 为周期的，x ( t ) = x ( f ；o ，x o ) 为其任 意解，并满足x ( o ) = x o ，则x ( t + j 乃= x ( f t ；o ，x o ) 也是原系统的解并满足 x u + j 乃= x ( t + j t ；o ，x q 乃) 。 引理2 2 1 3 5 1如果周期脉冲微分方程是以丁为周期的，则原系统存在n 周 期解的充要条件是存在x ( o ) q 使得x ( t ，0 ，x o ) = x o 。 假设鱼池中鱼种群的所有个体都具有相同的动态特性，并且鱼种群的增长 服从于l o g i s t i c 模型。该模型用x ( r ) 表示鱼池中鱼种群的种群数量，x o 是鱼池 中鱼种群的初始种群量，表示鱼种群的内禀增长率( 即自然出生率减去自然 死亡率) ，则未丌发的自然鱼种群模型的具体表达为： 陕 j 耳科技人学硕i j 学化论文 d 讲r = r x ( 一 l x ( t o ) = x o 其中k ，r 都是正常数。 当鱼群体重成长到一定数值时，养殖户即可进行捕捞作业，假设养殖户的 捕捞行为是以时i 日jr 为周期的，当次被捕捞的鱼群数量是h ，即 x ( k r + ) 一x ( k r ) = 一h ，这样可以建立脉冲捕获模型为： 妄叫一r a x = 一h f = k r ( 2 1 ) x ( o + 、= x o 其中缸( ，) = x ( t + ) 一x ( t ) ，h 表示每次捕获量，r 是捕获周期，后矿，系统( 2 1 ) 的解x ( t ) ：r + j ( o ，佃) 在足；是连续可微的，且x ( k r ) = l i mx ( t ) 存在。 f 胃f 2 2l o g i s t i c 单种群模型最大捕获策略研究 2 2 1l o g i s t i c 单种群模型正周期解的存在性 养殖户的最终目的必然是获取经济利益，所以，应该保证养殖户从鱼塘中 得到对应的捕获量h ；另一个重要问题足在每次捕获之后，鱼塘内还应剩余足 够的鱼群数量，以维持种群的自然繁殖，保证种群数量的稳定，使鱼塘这个小 型的单种群生态系统能够在自然发展规律的控制f 持续保持，为养殖户提供长 期的经济效益。为此必须首先讨论系统( 2 1 ) 的l f 周期解的存在性。 定理2 1 设x ( x o ，0 ，) 是系统( 2 1 ) 以x o o 为初值的解，则 如果h h m 。，系统( 2 1 ) 不存在j 下周期解。 证明： 在区间 0 ，r ) 上对( 2 1 ) 的第一个方程积分，得： x ( r ) ：l ，c ：k - x 0 l + c p 捕获以后的较短时间内，种群数量将维持不变，其数值为 控制理论在种群生态系统中的应j j 研究 如嘉一办 由引理2 2 可知，系统( 2 1 ) 一向一：o 1 上c e 一” ” 令舶) 2 爵k 一向一秭， 而 ( 2 2 ) 存在萨周期解的充要条件是x ( r + ) = x o ，即 ( 2 3 ) 对上式关于x o 求导，并令厂( x o ) = 0 ，得 一!一竺 妇2 ( 1 一e 2 1 。 。 而2 亡，2 又厂( x o ) o ，因此以x o ) 在x = x o + 处取得极大值，极大值为f ( x 。) 。 取h m a x = f ( x o ) + 办 当h 0 ，此外，f ( k ) = - - h o ，f ( o ) = - - h h m 。时，f ( x o ) o ，f ( x o ) o 这样方程( 2 3 ) 无根，从而系统( 2 1 ) 也不存在周期解。 证毕。 2 2 2l o g i s t i c 单种群模型正周期解的全局吸引性和稳定性 模型正周期解的存在是该模型所对应的生物种群能够在周期性变化的环 境中得以持续存在的必要条