（固体力学专业论文）正交各向异性金属板材的弹塑性屈曲及后屈曲分析.pdf

摘要 望5 i 恤3 本：史以金属板材冲压成形为工程背景，对正交各向异性金属板材在冲压成形 过程中的弹塑性起皱现象进行了系统的理论分析。有关结论既是对塑性力学的丰 富和发展，也可为工程实际提供必要的理论依据。 首先，本文提出了混合硬化正交各向异性材料的屈服准则，解决了h i l l 准则 中屈服准则与静水压力无关的矛盾，并推导了相关的塑性流动法则，得到了混合 硬化正交各向异性材料的弹塑性本构关系。它可适用于复杂的应力状态和复杂的 应力路径，能够反映出塑性变形历史对材料当前的应力应变关系的影响。 其次，本文以上述混合硬化正交各向异性应力一应变关系为基础，利剧h i l l 的分叉点屈曲理沦，推导了正交各向异性薄扳在受面内非均匀压缩情况下的弹塑 性屈曲方程，计算了相应的临界荷载，并讨论了几何形状、边界条件和诱导荷载 比等因素对临界应力的影响。 再次，本文放弃k i r c h h o f f 直法线假设，采用a m 6 a p u y m h n 各向异性q ，厚板 理论，分析了板的横向剪切变形、几何形状和材料属性等对中厚板的弹塑性屈【u i 临界荷载的影响规律。 另：外，本文还对正交各向异性薄板的弹塑性后屈曲行为进行了研究，得出了 板在发生弹塑性屈曲以后，荷载随位移的变化路径以及板的最大承载能力。 本文的所有结论均可退化为各向同性情况，甚至弹性情况，因此也是对各向 同性金属板材屈曲理论的推广。而且本文将板的弹塑性屈曲与失稳区分开来，板 在发生弹塑性屈曲时，丧失了面内平衡的唯一性，而产生了横向变形，但此时板 仍具有承载能力，即具有稳定的弹塑性后屈曲路径，而当外荷载超过板的最大承 载能力时，板的横向变形将发生失稳扩展，板发生弹塑性失稳。以上结果可以为 预防和消除金属板材在成形过程的起皱提供理论依据。 关键词：金属成形，正交各向异性，弹塑性，混合硬化，本构方程，屈曲 后屈曲 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，at h e o r e t i c a la n a l y s i so f t h ee l a s t i c - p l a s t i cw r i n k l i n go f o r t h o t r o p i c s h e e tm e t a ld u r i n gt h e p r o c e s so ff o r m i n gi ss y s t e m a t i c a l l yp r e s e n t e d c o n c l u s i o n s g i v e nh e r e i n n o to n l yc o n t r i b u t et ot h ee n r i c h m e n t a n d d e v e l o p m e n to fp l a s t i c i t y t h e o r y ，b u ta l s op r o v i d en e c e s s a r yt h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h ee n g i n e e r i n gp r a c t i c e s f i j 、s t l y ，a n e wy i e l dc r i t e r i o ni s p r o p o s e d ，i n t h i st h e s is ，t od e s c r i b em i x e d h a r d e n i n go fo r t h o t r o p i cm a t e r i a l s ，i n c l u d i n gk i n e m a t i ch a r d e n i n ga n dp r o p o r t i o n a l h a r d e n i n g ，w h i c ha v o i d st h ef l a wt h a tt h ey i e l dc r i t e r i o ni si r r e l e v a n tt oh y d r o s t a t i c p r e s s u r e i nh i l l s c r i t e r i o n ，a n d t h ea s s o c i a t e d p l a s t i c f l o wl a wi sd e r i v e d a c c o r d i n g l y ，t h ee l a s t i c p l a s t i c c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s o fm i x e d h a r d e n i n g o f o r t h o t r o p i cm a t e r i a l sa r eo b t a i n e d ，w h i c hi s s u i t a b l ef o rc o m p l i c a t e ds t r e s sc o n d i t i o n a n d c o m p l i c a t e d s t r e s s h i s t o r y a n d i tc a nr e f l e c tt h ee f f e c to fm a t e r i a l s p l a s t i c d e f o r m a t i o nh i s t o r yo nt h ec u r r e n ts t r e s s s t r a i nr e l a t i o n s e c o n d l y ，b a s e do nt h e a b o v e m e n t i o n e dt h ec o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s o fm i x e d h a r d e n i n go r t h o t r o p i cm a t e r i a l sa n dt h eh i l l sb i f u r c a t i o n - p o i n tb u c k l i n gt h e o r y ，t h e e l a s t i c - p l a s t i cb u c k l i n ge q u a t i o n s o f o r t h o t r o p i c t h i n p l a t e ss u b j e c t e d t o n o n - h o m o g e n e o u si n - p l a n ec o m p r e s s i o n a r ee s t a b l i s h e da n dt h e c r i t i c a ls t r e s s e s c a l c u l a l e d f u r t h e r m o r e ，t h ei n f l u e n c e so fs e v e r a lf a c t o r s ，s u c ha sg e o m e t r yo f p l a t e s ， b o u n d m yc o n d i t i o na n dr a t i oo fl o a d sa l o n gt w od i r e c t i o n s ，e t c o nt h ee l a s t i c p l a s t i c c r i t i c a ls t r e s s e sa r ed i s c u s s e d t h i r d l y ，u s i n ga m 6 a p u y m i i h sr e f i n e dt h e o r y o fm o d e r a t e l yt h i c k a n i s o t r o p i c p l a t e s ，t h ep a t t e r n so ft h ei n f l u e n c eo ft r a n s v e r s es h e a rd e f o r m a t i o n ，g e o m e t r ya n d r a t i oo t 、l o a d sa l o n gt w od i r e c t i o n so nt h e e l a s t i c p l a s t i cb u c k l i n gc r i t i c a ll o a d so f m o d e r a t e l yt h i c kp l a t ea r ea n a l y z e d a d d i t i o n a l l y ，t h ee l a s t i c p l a s t i c p o s t b u c k l i n g b e h a v i o ro f o r t h o t r o p i c s h e e t m e t a l si s i n v e s t i g a t e d s p e c i a l i n t e r e s ti sd e v o t e dt ol o a d d e f l e c t i o n p a t ha n dt h e m a x i m u m s u p p o r tl o a d a l lo ft h er e s u l t si nt h i st h e s i sc a nd e g e n e r a t ei n t o i s o t r o p i c ，e v e ne l a s t i cc a s e s s o ，t h e ya r em o r ef l e x i b l e w h e np l a t ei s b u c k l e d ，i tj u s tl o s e si t s u n i q u e n e s so f i n p l a n ee q u i l i b r i u ms t a t e ，n o t s t a b i l i t y s h e e t m e t a lh a s s t a b l e e l a s t i c p l a s t i c i l p o s i b u c k l i n gp a t h o n l yw h e n t h ea p p l i e dl o a ds u r p a s s e st h em a x i m u ms u p p o r tl o a d o f p l a t e ，t h et r a n s v e r s ed e f l e c t i o nw i l lg r o w u n s t a b l y n a m e l y ，p l a t el o s e si t ss t a b i l i t y i n e l a s t i c p l a s t i cr a n g e t h i sm e a n st h a te n g i n e e r s c a nu s et h ec o n c l u s i o n sg i v e n h e r e i na sat h e o r e t i cb a s i sf o rp r e v e n t i n g a n d e l i m i n a t i n g t h ew r i n k l ed u r i n gt h e p r o c e s s i n go f s h e e tm e t a lf o r m i n g k e yw o r d s ：s h e e tm e t a lf o r m i n g ，o r t h o t r o p y ，e l a s t i c p l a s t i c ，m i x e d - h a r d e n i n g c o n s t i t u t i v er e l a t i o n ，b u c k l i n g ，p o s t b u c k l i n g 1 1 1 一一 11 前言 第一章绪论 近年来，广泛进行的计算机模拟仿真、c a d c a m 、优化分析、智能化控制 能方面的研究，已成为金属板材塑性成形领域研究的热点和前沿；而准确地描述 金属板材在塑性变形过程中的力学行为是实现上述目标的前提；同时，随着新型 结构、新型材料的不断出现，产生了许多新的现象和规律亟待探索，以便为改进 成形质量和结构性能提供可靠的理论依据。因此，确定金属板材的成形性能，建 立精确的金属板材成形过程的解析模型是非常重要的。 由金属板材的拉( 压) 应力一应变曲线可以看出，金属板材变形过程中一般要 经历弹性变形、均匀塑性变形、非均匀塑性变形、塑性失稳直至断裂等阶段，金 属板材成形过程必须依靠材料的塑性变形而实现，因此，要精确的描述金属板材 的变形行为，就必须真实、准确地确定板材的屈服准则、弹塑性本构关系、失稳 条件等，这些研究内容一直是固体力学、材料科学等领域等致力研究而尚未解决 的重要课题。 各向同性金属材料的弹塑性边值问题已有一些较为成熟的理论，但经过各种 辊轧和热处理的金属板材，会出现纤维性组织和结晶择优从而形成明显的各向异 性；另外，金属板材在冷塑性变形过程中还具有显著的加工硬化现象。它们f 对金 属板材的塑性成形行为有着很大的影响。因此，建立能反映金属板材各向异性、 加工硬化影响的塑性屈服准则以及建立合理的相关流动法则，准确描述金属板材 的成形过程，对丰富和发展塑性力学并指导实际生产都具有重要的意义。 塑性失稳现象的研究，近年来一直受到固体力学工作者和金属成形工作者的 广泛关注。塑性失稳现象控制着金属的成形过程，根据塑性失稳预报结果作出的 成形极限图是制定金属成形规范的科学依据；塑性失稳现象的研究涉及到非线性 连续介质力学的基本理论和基本方法，塑性失稳的研究在某种意义上讲可以推动 非线性连续介质力学的发展。因此，塑性失稳的研究是具有重要的现实意义和理 论意义的。 最常见的塑性失稳现象主要有两种：塑性颈缩和塑性皱曲( 屈曲) 。目前， 对于塑性颈缩的研究已取得了较大进展，并制定了一系列的成形极限规范。但对 、碱黧翟薯垫垦垒叁塾叁篓曼塾叁= 彝一 一 于塑性屈曲问题，还只能凭经验来预报薄板成形过程中的塑性屈曲失稳。y o s h i d a 试验为评估薄板屈曲提供了一种方法，但这种方法不能很好的反映出薄板屈曲受 其他因素的影响。而对于薄板在塑性屈衄之后的力学行为，特别是各向异性薄板 塑性屈曲后的力学行为研究，在国内还几乎是空白。 1 2 弹塑性本构理论的发展概述 塑性力学的发展是从屈服准则的提出开始的。提出合理的屈服准则，是建立 相应的塑性本构关系，以及进行结构塑性分析得的首要条件，一旦确定了屈服准 则，结合材料的后继硬化条件，就可以根据d d r u c k e r 一般性流动规律或，流动 理论，得出塑性变形在不同阶段的流动方程。早在18 6 4 年，i t r e s c a 在金属挤 压试验中，观察到金属塑性流动的痕迹与最大剪应力的方向一致，提出了最大剪 应力理论，成为金属塑性成形理论的起源，但t r e s c a 未能将他的理论用精确的数 学语言来描述，直到18 7 0 年，b s a i n tv e n a n t 提出该理论的数学表达式，从而建 立了著名的t r e s c a 屈服准则。19 13 年r v o nm i s e s 对t r e s c a 屈服准则进行了修改， 建立了以材料的畸变能为屈服条件的m i s e s 屈服准则。1 9 2 6 年wl o d e 和19 3 1 年g it a y o r 、h q u i n n e y 对这两个屈服准则进行了严格的试验验证，他们分别通 过薄壁圆筒拉伸加管内充压和拉伸加扭转试验，证实了两个准则的可靠性，其中 m i s e s 准则考虑了中间主应力对屈服的影响，更接近于试验结果。 t r e s c a 屈服准则和m i s e s 屈服准则已成为各向同性金属材料塑性变形的经典 方程，但它们均不能反映出材料的“运动硬化”和“等向硬化”，也就是说t r e s c a 屈服准则和m i s e s 屈服准则的屈服面在应力空间中是固定不变的，既不移动，也 不改变形状，常用于讨论材料的初始屈服。 1 9 4 8 年，r h i l l 仿照m i s e s 屈服准则，选取坐标轴为正交各向异性主轴， 假设迭加静水压力不影响材料的屈服，且不计b a u s c h i n g e r 效应。首次提出了i f 交 各向异性材料的二次函数式屈服准则，即著名的h i l l 4 8 屈服准则。h i l l 还建立了 合理描述正交各向异性塑性流动的数学模型，为金属板材塑性变形理论的建立奠 定了基t i l b 。随后大批的学者广泛开展了金属板材各向异性塑性理论的研究，提出 了各种不同的各向异性屈服函数。 1 9 7 3 年t a n a k a l 4 1 利用能量平衡方法，讨论了复合材料的塑性各向异性和加 工硬化率。k i s h i p l 通过试验研究，得到了预应变与由b a u s c h i n g e r 效应引起的屈 服应力的降低之间的关系，并由此得到了包括运动硬化的屈服极限。但他们当时 未能建立起能同时反映加工硬化和b a u s c h i n g e r 效应的屈服准则。 19 7 7 年，g o t o h 【7 1 提出了平面问题的四次函数式屈服准则。1 9 7 9 年，h o s f o r d l 8 i 提出了可调指数形式屈服准则。h i l l 1 0 1 于1 9 7 9 年也提出了可调指数形式的屈服准 则。1 9 9 0 年，h i l l t l 5 1 提出了面内各向异性金属板材的另一种形式可调指数形式的 屈服准则，并将任意参数控制到最少。1 9 9 3 年，h i l l 17 1 为了解决当金属板材辊轧 方向与横向拉伸屈服应力相同但相应的应变率明显不同时的情况，又提出了一种 屈服准则。1 9 9 9 年m a e w a l 2 4 】提出了正交各向异性材料各向同性硬化规律的一种 特殊形式，该理论可以从一系列单向拉伸试验曲线得到，并能反映出材料塑性的 压缩敏感性。 虽然以上可调指数形式的屈服准则，可以较好的跟试验数据吻合，但这种吻 合是通过调整指数来实现的，且不同的材料需要不同指数，不具有广泛的实用性， 加之形式复杂，给进一步的结构分析带来很大的困难。而h i l l 4 8 屈服准则，由于 其在形式上整齐、简洁，获得了广泛的应用。 我因塑性本构关系的研究始于1 9 5 6 年秋，当时在中国科学院力学研究所由李 敏华和至仁组织了一个讨论班。随后开始用薄板和薄管进行试验研究复杂加载下 的屈服面、各向异性强化行为、以及为变形理论的有效性寻求应力路径偏离简单 加载的范围等。但在国际塑性力学研究最活跃和富有成效的1 9 6 5 1 9 7 7 年问，我 国的塑性力学研究活动基本停顿，从1 9 7 8 年后才重新开展起来。二十年中，我国 的塑性本构关系研究，已取得了较大的成就。在各向同性小应变塑性理论方面， 曲圣年、殷有泉【2 9 】( 1 9 8 1 ) 将d r u e k e r 公设和l l y u s h i n 公设及应力应变关系在应 力和应变空间中进行了比较，讨论了奇异屈服面在应变空间中包含全加载和部分 加载的加载准则，考虑了加工硬化，以及弹塑性耦合的情形，并基于 1 y u s h i n 公 设提出了一个广义正交法则；陈其业等1 3 l 】( 1 9 8 6 ) 对m r o z ( 1 9 6 7 ) 的各向异性强 化理论进行了推广；后来黄筑平1 3 3 1 ( 1 9 8 8 ) 指出d r u c k e r 公设下正交法则与材料 是否稳定无关。连建设等 3 7 1 ( 1 9 8 9 ) 考虑了h i l l ( 1 9 7 9 ) 提出的非m i s e s 型各向 异性屈服函数，展开了它在平面应力条件下的五种特殊情形并用等效应力和等效 应变率表示。黄克智【3 8 1 ( 1 9 8 9 ) 、黄筑平 4 0 1 ( 19 9 0 ) 、王文标等1 4 1 1 ( 19 9 0 ) 对有 限变形塑性理论进行了系统的研究。赵祖武【4 2 1 ( 1 9 9 0 ) 用应变偏量路径的长度作 为参数提出应力偏量可以分解为两个相加的部分：一个服从理想塑性法则，另一 个服从硬化法则，它们分别对应于分布的位错运动和试验中观察到的位错堆积。 同时，梁乃刚1 4 3 1 ( 1 9 9 0 ) 、王自强 4 5 1 ( 1 9 9 1 ) 、杨卫【4 6 1 ( 1 9 9 1 ) 、黄克智 4 7 1 ( 19 9 1 ) 等对微观一宏观塑性理论进行了研究。贾乃文 4 9 i ( 1 9 9 7 ) 以h i l l 正交异性屈服准 。张篙需霉塾塾叁叁垦袅叁垒坠垒霉鼎一 一一一 则为基础，讨论了横观各向同性条件下，工程中考虑体积变化的塑性屈服条件， 建立了横观各向同性材料口平面上椭圆屈服准则，这对d r u c k e r 屈服准则是一个 修正和推广。宋凡等1 5 1 1 ( 1 9 9 9 ) 以连续介质力学内变量理论为基础，讨论和分析 了有限弹塑性变形中变形梯度的l e e 和c l i f t o n 的分解与联系，证明了塑性变形为 沿内变量演化在纤维丛的水平空间的运动。万敏、周贤宾 5 2 1 ( 2 0 0 0 ) 针对板材屈 服准则、强化模型、成形极限以及复杂加载路径的影响规律等方面的研究进展， 进行了综述和分析，指出：建立符合实际板材成形特点的复杂加载路径的试验方 法，验证理论研究结果的准确程度及适用范围，确定复杂路径下的解析描述和实 用判据，是目前该领域的主要研究方向。此外，黄文彬、徐秉业、熊祝华等一大 批国内著名的力学专家都在塑性力学方面进行了大量卓有成效的工作。 1 3 结构弹塑性屈曲理论发展概述 对于结构弹性稳定性的研究是从e u l e r 研究压杆屈曲问题开始的。18 世纪中 叶，e u l e r 和b e r n o u l l i 研究了细长杆在受压时失去稳定性的临界荷载计算问题， 得到了著名的e u l e r 公式，至今我们还以此计算工程结构中细长杆弹性稳定的临 界荷载。18 8 9 年，e n g e s s e r 在处理桥梁杆件失稳问题时第一次研究了受压杆在进 入塑性状态后的屈曲行为。他指出，如果把e u l e r 公式中的杨氏模量e 换为切线 模量e ，则e u l e r 的分析方法仍然适用，这样得到了另一个著名的临界荷载一一 “切线模量荷载p ”。但当时曾遭到了c o n s i d e r s 的异议，c o n s i d e r s 认为在杆件发 生弹塑性弯曲时，杆中会出现卸载，“切线模量荷载”不再成立，而应当采用一种 与杆件截面形状有关的“等效缩减模量e ，”替代e u l e r 公式中的弹性模量来计算 杆件的临界荷载，即所谓的等效缩减模量荷载p ( 只 p ) 。e n g e s s e r 和c o n s i d e r s 都认为压杆的塑性屈曲与失稳同时发生。1 9 1 0 年，v o nk a r m a n 重新讨论了这一 问题，并推导了矩形和h 形截面杆件的缩减模量。在这以后得很长一段时f n j 里， “等效缩减模量荷载只”一直被认为是理论上正确的塑性临界荷载，而“切线模 量荷载p ”则被认为是一种近似结果。但众多的试验结果却总是接近p ，对此当 时通常被解释为试件的不完善或荷载偏一t 5 , 造成的。( 很明显，如果“等效缩减模量 e ，”只与截面形状有关，则沿着整个杆件长度方向各个截面上的卸载情况应该一 样，但根据应力分析的结果，卸载应该首先从某一个截面开始并逐渐想两端扩展， 这显然存在矛盾) 。直到1 9 4 7 年，s h a n l e y 发表了著名的“压杆的矛盾”的论文， 该问题才得到正确的认识。在这篇论文中，s h a n l e y 提出了如下的疑问：( 1 ) 方面，如果认为“切线模量荷载c ”是正确的，则外荷载p 不可能大于只，而当p 达到尸时，压杆出现可能的弯曲；另一方面，只理论又认为这时并无卸载发生， 必须有p p 。这是一组矛盾。( 2 ) 一方面，如果认为“等效缩减模量荷载p r ” 是正确的，则当p p 并接近尸，时，要求压杆始终保持为直线；另一方面，当p 超 过p 以后，弯曲就是可能的，荷载处于尸和p 时，并无任何因素使压杆保持为直 线状态。这又是一组矛盾。同时，s h a n l e y 经过一系列铝合金压杆试验发现在开 始弯曲时压杆中并未出现卸载，微弯曲引起的应力增量很小，只是一侧压应力增 加得多，另一侧压应力增加得少，总的轴压在分叉后仍是增加的，故截面内各点 都服从塑性加载规律，从而阐明了切线模量公式的正确性。s h a n l e y 在此将“唯 一性”与“稳定性”区分开来。在p 作用下，压杆只是丧失了平衡形态的唯一性 ( 即“屈曲”) ，而没有丧失承载能力( 即“失稳”) 。p 是可能的最低分叉荷载，尸r 是可能的最高分叉荷载，如果人为的使压杆在p p 只作用下保持为直线状态， 则放开后压杆将出现屈曲。 随着连续介质力学的发展，直到上个世纪五六十年代，才由h i l l 发表了一系 列论文2 。5 3 1 ，建立了弹塑性固体唯一性和稳定性的一般理论，主要针对满足正交 流动法则且具有对称弹性模量的材料，目前这一理论已成为塑性屈曲问题研究领 域的奠基性工作。随后，大量的力学工作者应用该理论对杆、板、壳等各种结构 的弹塑性屈曲进行了研究 5 3 7 0 。但主要还是局限于对压杆的弹塑性屈曲的研究， 对板、壳的弹塑性研究还较少。 国内的大批学者在结构的弹性屈曲研究方面已取得大量成果，但在结构塑性 屈曲方面的工作较少。张亮炽、余同希、王仁1 7 1 - 7 3 1 以及韩强、杨桂通、张善元【”，8 1 等对各向同性结构的弹塑性屈曲进行了部分的研究工作。 1 4 结构弹塑性后屈曲理论发展概述 人们对结构的弹性后屈曲行为的了解已相当透彻。杆、板、壳等的弹性屈曲 理论都已较为完善，而结构的弹塑性后屈曲问题，仍然还是一个薄弱的环节。 h u t c h i n s o n 4 8 5 i ( 1 9 7 3 ，1 9 7 4 ) 在h i l l 理论 5 4 , 5 5 1 的基础上建立了相当广泛的初始 塑性后屈曲理论，为结构的塑性后屈曲分析做出了开创性的工作。h u t c h i n s o n 根 据屈曲时瞬时中性加载面将弹性卸载区与塑性加载区区分开来，并从一点或一线 逐渐扩展这一事实，建立了所谓的“边界层分析”。但弹性卸载使得后届曲问题极 大的复杂化了，数学上也存在困难。为了简化起见，n e e d l e m a n 和t v e r g a a r d l 8 6 、戳黧辫黧煞墼黧鬟黧釜垡篓墨翼秣一 一一( 1 9 7 ( ) 等人曾采用次弹性模型( 即忽略弹性卸载效应) ，得到了较为简单的渐近 表达式，对某些结构也可以得到有意义的解。n g u y e n | 5 副( 1 9 8 7 ) 及n g u y e n 和 t r i a n t a f y l l i d i s 【5 9 1 n 9 8 9 ) 弓l 进广义标准材料来分析塑性屈曲及后屈曲。程莉、杨卫 等9 6 1 ( 1 9 8 7 ) 研究了弹塑性理想h 截面压杆的屈曲和后屈曲。由于弹性卸载以及 卸载范围载后屈曲过程的扩展，使结构的控制方程变为运动边界问题，苏旭明p m ( 1 9 8 8 ) 对h u t c h i n s o n 的渐近方法提出了质疑，并做了改进，并分析了矩形截面 杆和圆板的塑性后屈衄行为。赵春风等i “o l ( 1 9 9 7 ) 分析了受压u 形截面柱的塑 性后屈曲。程尧舜等3 1 ( 1 9 9 5 ) 对矩形截面杆的后屈曲缺陷敏感性进行了研究。 1 5 结构弹塑性本构关系及屈曲、后屈曲问题的试验研究概况 应力一应变曲线是塑性理论中最基本的试验资料之一，对于各向同性材料。通 常采用薄壁圆筒试验或单向拉伸试验获得。但前者需要专门的试验设备，且对试 件制作要求较高，而后者又具有明显的缺点，即试件在较小的变形下即达到最大 载荷而发生颈缩，在颈缩处应力状态是三维的，因而所得硬化曲线与实际不符。 蒋咏秋、王子昆等13 0 1 ( 1 9 8 4 ) 利用金属圆膜试验对国产金属材料的塑性硬化规律 进行了研究，使用简单设备，试件容易制作，能避免单向拉伸试验的不足，得到 材料在双向均匀拉伸状态下的硬化特征，且具有一定的精度。曾晓英、豆志武等 h 8 l ( 19 9 2 ) 从各向异性理论出发，试验研究了t a 2 钛板双向拉伸的胡克定律、屈 服条件手口强化效应，试验研究表明，t a 2 钛板具有明显的各向异性，且具有明显 的双向强化效应。 s h a n l e y 早期进行了一系列的铝合金压杆试验，发现塑性屈曲瞬间无卸载， 从而阐明了切线模量公式的正确性。y o s h i d a 试验为评估薄板皱曲提供了一种方 法，但这种方法只能粗糙的反映出薄板弹塑性屈曲的存在，而不能很好的反映薄 板屈曲受其他因素的影响规律。周祥玉、范祖尧 7 8 1 ( 1 9 9 2 ) 对弹性薄板的后屈曲 形态进行了系统的试验研究和分析，并观察到了简支板的二次屈曲现象。杨桂通 等( 1 9 9 5 ) 采用影像云纹法对圆柱壳塑性扭转屈曲进行了试验研究，取得了满 意的结果。周祝林 8 2 】( 1 9 9 8 ) 通过简支矩形玻璃钢薄板的压缩屈曲后极限强度的 试验，证明了复合材料薄板在屈曲失稳后仍能继续承载，并得到了有关极限强度 计算公式的参数曲线。 、鬟塑垡垄丝鬓箜墼丝鳖丝丝鎏鲽一 1 。6 本文的主要工作 本文的研究主要以金属板材冲压成形为工程背景。分析金属板材在冲压成形 过程中的轧制各向异性、起皱( 屈曲、后屈曲) 等特殊力学性能，为提高板材成 形质量，改进模具及加工工艺等提供理论指导。 本：乏对h i l l 4 8 屈服准则进行了改进和推广，解决h i l l 准则与静水压力无关 的矛盾。提出了混合硬化正交各向异性材料的屈服准则，该准则能反映出材料的 加工硬化和b a u s c h i n g e r 效应。并推导了相关的流动法则，得到工f 交各向异性材 料的弹塑性应力应变关系。 利用本文所建立的本构关系，根据h i l l 的能量准则，分析了正交各向异性金 属板材在加工过程中的屈曲行为。推导了正交各向异性金属板材的弹塑性屈曲方 程，计算得到相应的临界荷载，并讨论板的几何形状、边界条件、材料属性等对 弹塑性临界荷载的影响规律。 考虑横向剪切变形的影响，应用a m 6 a p t t y m 。q h 各向异性厚板理论，将届曲问 题转化为一个广义特征值问题，计算得到板的屈曲临界荷载，并讨论了板的横向 剪切变形、几何形状、材料属性和诱导荷载比等对临界荷载的影响规律。 应用h u t c h i n s o n 后屈曲理论模型中关于弹性卸载的分析方法，选择时间参数 描述弹塑性交界面的演化，求得了外荷载的渐近表达式。并对后屈曲性态、最大 荷载及其与板的横向位移之间的关系进行了分析。 。鬻= = 黑垡竖黛莲冀墓冀慧垡曼橐= 京一 第二章正交各向异性材料的混合硬化弹塑性本构关系 21 前言 如前所述，金属板材冲压成形技术广泛应用于机械、造船、航空航天、轻工 等各行各业，在整个塑性加工成形领域中占有相当大的比重和十分重要的地位。 从力学的观点来看，由于冲压件形状复杂，材料本身变形的特性以及边界条件的 复杂和不确定性等因素，使得板材在冲压成形过程的塑性加载路径极为复杂，常 常伴随着材料的局部弹塑性失稳，变形局部化的产生与传播，直至以剪切带的形 式发生断裂等现象。 金属薄板在预加工和轧制过程中还会产生明显的轧制各向异性，这种结构上 的各向异性对其成形规律有显著的影响。研究这类弹塑性大变形及复杂边界条件 的成形问题时，决定性的因素在于所采用的理论和方法中是否反映了板材成型过 程中的屈服行为、塑性各向异性、加工硬化、材料失稳以及变形局部化等现象。 2 2混合硬化屈服准则 提出合理的屈服准则，是建立相应的塑性本构关系，以及进行结构塑性分析 得的首要条件。一旦确定了屈服准则，结合材料的后继硬化条件，就可以根据d d r u c k e r 一般性流动规律或，流动理论，得出塑性变形在不同阶段的流动方程。 19 4 8 年，r h i l l 选取坐标轴为正交各向异性主轴，首次提出了正交各向异 性材料二次函数形式的屈服准则： 2 f ( o - 。) = f ( 仃，一仃；) 2 + g ( 盯：一仃。) 2 + h ( 仃，一d ，) 2 + 2 f ：+ 2 m f 三+ 2 n ，2 。= 1 ( 2 1 ) 上式常被称为h i l l 4 8 屈服准则。它已被广泛采用，不少商用软件将其作为板材弹 塑性本构关系的依据。如动态有限元软件l s d y n a 和m s c d y t r a n 中，就采 用平面应力形式的h i l l 塑性各向异性本构关系。h i l l 还建立了合理描述正交各向 异性塑性：流动的数学模型，为正交各向异性金属板材塑性变形理论的建立奠定了 基础。 但h i l l 在推导过程中假设材料屈服与静水压力无关，且相关的流动法则中不 能反映出b a u s c h i n g e r 效应，这是h i l l 4 8 屈服准则在理论上的瑕疵，因为在静水 一蕉垄馐! 堡銮垂垒星丝丝鍪熟丝丝丝觑塑厦翁旋墼。”p c 。r _ r w 一，” 压力作嗣下，正交各向异性材料各主方向的弹性常数不同，必然会产生形状畸变， 根据m i s e s 畸变能条件，当畸变能达到某一特定值时，材料就一定会进入塑性； 而且在复杂应力路径作用下，材料还具有明显的b a u s c h i n g e r 效应。因此，h i l l 的假设与实际情况存在矛盾，有必要对其进行改进，使它更接近于实际，具有更 广泛的适用范围。为此，我们提出如下基本假设： 静水压力产生塑性变形，塑性应变可压缩。 由主动应力引起的均匀体积扩张不影响塑性变形。 尉服曲面在应力空间中随着塑性应变的产生不断移动和扩张。 4 ，无量纲化后的正交各向异性材料的屈服准则与各向同性材料的屈服准则 t m i s e s 准则) 同构。 基f 二以上四个假设，取混合硬化的屈服准则为： f ( c r 。一b 。) 一k ( f ) = 0 ( 22 ) 其中厂( 一，一b j 为屈服函数：r ( f ) 为硬化参量，它表示屈服曲面的大小，常殴为等 效应力( i ：为内变量，一般取作等效塑性应变手”，符( f ) 随塑性应变的演化即反 映出材料的等向硬化；6 ，是二阶对称张量，表示屈服曲面的中心，称为“背应力”， 它随着塑性应变的演化而变化即反映材料的“运动硬化”；盯：= 盯。，一b 。称为“主动 应力”，它是引起塑性变形的主要因素。这样，同时考虑等向硬化和“运动硬化”， 即可以构成“混合硬化”( 附录b 给出了单向应力作用下材料的混合硬化示意图) 条件。 为满足假设 ，由主动应力盯，一b 。引起的应变分量满足s f 。= s ：，= s ；，即 旦l 二堕：0 2 2 - - b 2 2 ：堕二垒 ( 2 3 ) a 1口2a 3 其中口l = = c 1 1 + c 1 2 + c 1 3 ，甜2 = c 1 2 + c 2 2 + c 2 3 ，= c 1 2 + c 2 2 + c 2 3 ，c ，为材料的弹性常 数。令屈服函数( a ，一6 ，) 有如下形式： f = k i2 ( 仃j 一口1 2 盯；2 ) 2 + k 2 3 ( 盯；2 口2 3 盯；3 ) 2 + k 3 i ( 盯；3 一口3 i 盯j ) 2 + 2 k 4 4 0 4 4 2 + 2 k 5 5 盯；5 + 2 k 6 6 吃6 ( 2 4 ) 其中k 。，为待定常数，盯；= 仃，一b 。，盯1 1 ，盯2 2 ) 盯，分别表示正交异性材料主轴x ，y ，z 方 向的正应力，盯。，盯，1 3 。分别表示对应于坐标平面( 石，y ) ，( y ，z ) ，( z ，z ) 的剪应力； o j i ：= 口口2 ，口2 ，= 口：，l = 口，a 。该屈服函数表示的应力空问中的曲面( 屈 服曲面) 是外凸且光滑的。所谓“外凸”，是指：在维空间中，对于该图形的 任一边界点，总存在一个通过此点的( 加i ) 维超平面，使该图形完全位于这个 超平面的一侧。 一诫= = = 墨墨至兰墨圭兰墨兰墨= ：x 。 肼式( 2 4 ) 可以看出，当盯1 1 = 盯2 2 = 盯3 3 0 ，o - 4 4 = 仃5 5 = 盯6 6 = 0 时，厂0 ，即 假设 成立，静水压力产生塑性变形；当应力分量满足式( 2 3 ) 时，：0 ，假 设 成立；当“背应力”b 。在复杂塑性应变路径作用下不断演化时，塑性屈服 曲面中心不断移动，同时，屈服曲面还随着硬化参量盯的变化不断扩张，假设 成立。 式( 2 4 ) 还表明：正交各向异性材料的初始屈服曲面与材料的弹性常数有 天，这是h i l l 4 8 屈服准则所没有的特点。若不考虑运动硬化，b ，= 0 ，则口i ：口 再令口】2 = a 2 ，= a 。l = l ，式( 2 4 ) 则退化为h i l l 于19 4 8 年提出的关于i e 交各向异 性材料的屈服函数。 在金属塑性成形工业中，常常有“越硬越强”的说法，也就是说，一股的金 属都具有弹性模量越大，屈服应力越大的性质；同样，在正交各向异一i ! - k 金属板材 中，也有类似的情况，且弹性模量越大的方向其屈服应力也越大。这一点从正交 符向异性金属板的单位体积畸变能表达式中可以得到证明，单位体积的畸变能表 达式为： u o d = s p v ( a ) 其中j 。为应力偏量，e ，为应变偏量。当金属板材受x 方向单向拉伸时， = 嚣一z 鬻 ( b ) 、j 金属饭材受y 方向单向拉伸时， ，口： 2 0 - e u 玉2 差( 6 飞t 叱，) 2 若 其中e 、，e z 分别z 和y 方向的弹性模量，v ，：，v 、，v ：、，v ：，为泊松比。从式( b ) 和式( c ) 中可以看出，当畸变能达到屈服临界值时，弹性模量越大，则该方向的 屈服应力也越大。注意到材料“越硬越强”的性质，可以为f 一一步的应力无量纲 化提供一个思想。 2 3 相关的流动；- k 则和本构方程 为满足假设 ，比较m i s e s 屈服准则，选取系数 k 1 2 掣，如5 锹心，= 锹 足。一。= 丢 ，k s s 厶d d k 。= 击 厶6 6 ( 2 5 ) 式中，：，。分别为i e 交各向异性材料主轴x ，y ，z 方向的屈服应力， 。，。分别为对应于坐标平面( x ，y ) ，( y ，z ) ，( z ，x ) 的纯剪屈服应力。于是式 ( 2 4 ) 变为： 夕= 瓠( 子；。一盯- ：i ：) 2 + ( 矛：一子品) 2 + ( 矛；，一矛2 】十截。2 + 彰，2 + 子：。2 ( 2 6 ) 其嘲，2 万等氯i 憾2 瓦惫 ( & l + 口2 + 口3 ) 2 ” 一。= ， _ d d 彭，= f 0 - 5 5 ， - 5 5 或。= 。 - 6 6 以上焚换，目的是便得屈服函数的彤式史整芥，为以后的进一步推导以及结构分 析提供方便。根据无量纲化屈服函数表达式( 2 6 ) ，定义等效主动应力 如龛厄i 万万磊而再雨面玎丽， 式中具应力量纲的常数待定，可由简单应力状态试验确定。将塑性势函数取f l ： ，= _ k2 【( 子：，一子：2 ) z + ( 子：2 0 3 ，) 2 + ( 孑；，一0 - 1 ，) 2 + 2 ( 孑0 2 + 孑；2 + 孑：。2 ) ( 2 8 ) 棚关的正交流动法则为 出? = 幽等 。， 将式( 2 8 ) 代入，得 引= 以i k 2 ( 2 子卜子：。一勘d s 品= 2 钡篓子；。 d 曼= 2 勘_ k2 孑；5 _ 5 5 d f 晶= 2 觑篓子：。 厶6 6 ( 2 10 ) 这里的所谓“正交”，是指加载时，某应力点相应的塑性应变增量与当前应力屈服 面正交，指向屈服面在该点的外法向。满足正交法则的材料成为“广义标准材料”。 将式( 2 1 0 ) 带入等效主动应力的定义式( 2 7 ) ，得 万2 习丢面 ( ，出 一z ：出易) 2 + ( z ：如是一，出品) 2 + ( ，如曼一“出i ) 2 + ； ( “d 吆) 2 + ( s s d 占品) 2 + ( 6 6 d 占品) 2 】 ( 2 11 ) 相应的定义等效塑性应变增量为： 晶 畋 一 一 昂 毵 一 一 瓦 q 0 一瓦 觑 以 = = ，驼 p ” 出 出 、铽；墨墨垒叁墨墨墨兰墨墨：i 一 片 如”= 兰鲁 ( 1 1 出 一：2 ( 据墨) 2 + ( 2 2 出是一”d m ) 2 + ( 3 3 d 占