线性代数期末试卷B

浙江理_L大学2009—2010学年第二学期

《线性代数A》期末试卷(B)卷

班级：学号：姓名：

一、选择题(每题4分，共20分)

1.设〃阶行列式。人口是。中元素〃o的代数余子式，那么以下各式中

正确的选项是

(A)为印加=。；⑻£%&=0;

1=17=1

⑹=。；(D)£%%=D

j=\»=i

2.凡夕2，%%为3维列向量组,行列式IA1=11=-4,|3|=|%%,尾|=1,那么行

列式1%十%，-2%十%，4-2氏1=

(A).-6；(B)6；(C)-18；(D)18o

3.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶不可逆矩阵，那么

(A)A+B为可逆矩阵；(B)A+B为不可逆矩阵；

(C)AB为可逆矩阵；(D)AB为不可逆矩阵；

4、设A为n阶矩阵，以下关于矩阵乘积的说法中正确的有()

(A)假设A2=A,那么有A=E或A=0；(B)假设A2=A,且那么有A=E；

(C)假设AX=AY,且AW0,那么X=Y；(D)假设A?：。,那么A=0。

5、设矩阵A的秩为r,那么以下说法中不正确的选项是()

(A)A中所有的r+1阶子式都等于零；

(B)A中可能有等于零的r阶子式；

(C)A中存在着不等于零的r阶子式；

(D)A中所有的r-1阶子式都等于零；

二、填空题(每题4分，共20分)

1.叫介方阵力满足片-30・£=0,那么4"=。

2.二次型/(Xpx2,X3)=-X；-考+4不工2+44X3+4X2X3的秩为。

3.设。为3维列向量，/是。的转置，假设-11-1,那么

JT

aTa=。

4.a=(3,5,7,9)。4=(-3,-5,2,0)"x满足2a+3x=〃，那么x=。

5.非齐次线性方程组"=8的解向量是&4，一4,假设上昌+空2+・一+3,也是。二8的解,

那么&]+k2+…+4=。

三、计算题(48分)

1+4a2%4

41+aaa

1、(8分)计算行列式。=234

qa21+%a4

4a221+a4

（\00、

2.（8分）设A=010,求工的特征值及对应的特征向量。

21,

<1-100、‘2134、

01-100213

3(8分).设3二,c=,且矩阵X满足关系式X(C-3)7=£

001-10021

<000<o002,

求X

x}+3X2+2X3=1

4、a,b取何值时，方程组2+4%+3七=2有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无

2玉+ax2+3X3=b

穷多个解时求其通解（12分）

5.（12分）求一个正交变换*=尸匕将二次型/=2疗+4］内+6月+2石化为标准形］要求：写

出正交变换和标准形）.

1、解:

1

%。34

q+C2+q+q11+。2%%

D=(1+4+/+。3+4).........3分

1%1+6%

1。2%l+a4

1000

Cj-aJq1100

=(1+«1+a+a+.........6分

231010

1001

=1+q+生+%+4.........8分

2.解:

2-100

陛一小04-10=(1-1)5=0

0-22-1

.........3分

特征值4=%=4=1,.........6分

’00O-丁0-

-A-000k0+/0

11-2O_01_

对于X1=1,,特征向量为.........8分

3.解:

123000

023200

C-B=

00123210

000I4321

1000000

-200-2100

卜-时=,X=目((7-8)厂=

1-2101-210

01-210-21」一.8分

4、解该方程的增广矩阵为

1321rl-r\1321

B=(4洌2》

1432r3-2r\、0111r3-(a-6"2

2a3b0a-6-1b-2

1321

011I

005-ci4-a+b

1)当5—awO,即aw5,b任意取值时，R(A)=R(及)=3,方程组有唯一解；

...........3分

2)当/5-"二°时RAW即H时,

()=23=R(8),〃=5/1方程组无解；

4-4+/?w()

...........6分

3）当［5一"二°时R（A）=H（B）=2<3,即〃=5/=1时,

4-a+b=0

方程组有无穷多解...........9分

△132112r

当。=52=1时，代入得B=（A/）；14

32T011

2531000

10-1-2

rl-3r20111

0000

王一”_2

同解方程组为

x2+当=1

，不、「2、

通解为依+1（其中c为任意常数）...........12分

$

（102、

5、解：二次型f的矩阵为4=060...........2分

1202）

2-202

由|A—2闾=06一%0=。可得

202-2

特征值分别为於0,4,6...........5分

p01\

当4=0时,A.010，特征向量为6=

X000,

(\0*f1

当4二侧,A-4E7010，特征向量为P2=0

、00

」0仅、

当4=a寸，A-6Ef001特征向量为P?=1....8分

、00oj⑹

，巴，勺两两正交，单位化可得所求正交变换为:

/、1i、

X-72

X001%（P形式不唯一）.....II分

21

VT

且标准形为：/=4货+6¥...........12分

四、证明

1.证明：

,（410、

（4，夕2，&）=（4%一4%,%一2%+%,%—%）=（%，。2，%1-4-21=（囚。2，%）人

101

-L

.....2分

410

而同二一4-21=0,所以R（A）v3,.....4分

01-1

从而R0A,d）<R（A）<3,所以"，夕2,夕3线性相关.....6分

泳三：（根木方法）设xJ3\+x,p,+xp\=O.....2分

只要证明有不全为零的数%,々，刍使（1