（机械电子工程专业论文）石英晶体扭转效应的仿真与优化.pdf

石英晶体扭转效应的仿真与优化 摘要 本文在博士学科点基金和自然科学基金的资助下，从工程实际出发，运用晶体物理 学、电介质物理学、弹性理论、数值分析等交叉学科的理论成果，对石英晶体扭转效应 进行了研究。应用各向异性柱体扭转理论，探讨了石英晶体在扭矩作用下内部复杂的应 力场分布，给出了应力场的数值解法。联系石英晶体的压电效应，计算出内部的电极化 场，并利用电场等效原理求解出等效电极化体电荷与面电荷分布。从理论与实验两个方 面确定了石英晶体扭转效应的存在。建立了压电晶体扭转效应中电学量和机械量的关 系。 在建立石英晶体扭转效应模型的基础上，应用多变量、无约束非线性优化方法对于 晶体切型、截面形状等参数进行了优化，以获得最佳扭转灵敏度。优化结果得到了实验 的有力支持。这一结果对于石英晶体扭转效应在工程中的应用有重要意义。 附录给出了基于m a t l a b 的仿真与优化程序。 关键词：扭转效应，应力场，极化场，扭转灵敏度 互茎曼堡垫堑塾壁塑堕塞皇垡些 a b s t r a c t t h i st h e s i si s s u p p o r t e db y t h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o 6 9 9 7 4 0 2 0 ) a n dt h es c i e n t i f i cr e s e a r c hf o u n d a t i o no nd o c t o r ss u b j e c to f t h em i n i s t r yo f e d u c a t i o n ( n o 9 8 0 1 4 0 1 6 ，1 0 0 1 0 1 4 1 0 0 6 ) f r o m a s p e c t o fa p p l i c a t i o ni n e n g i n e e r i n g ， k n o w l e d g ef r o md i f f e r e n tc r o s sd i s c i p l i n e ss u c ha sp h y s i c so fc r y s t a l s ，p b y s i c so fd i e l e c t r i c s t h o e r yo fe l a s t i c i t y , n u m e r i c a la n a l y s i si su t i l i z e di nt h ei n v e s t i g a t i o no nt h et o r s i o n a le f f e c t o fp i e z o e l e c t r i c t h ec o m p l i c a t e ds t r e s sd i s t r i b u f i o n o fp i e z o e l e e l r i cb e a mu n d e rt o r s i o ni s i n v e s t i g a t e df i r s tb yu t i l i z i n gt h et o r s i o nt h e o r yo fa n i s o t r o p i cb e a m n u m e r i c a ts o l u t i o ni s a p p r o a c h e d a 匝l i a t e dw i t hp i c z o e l e c t r i ce f f e c to fq u a r t z i n n e rn o r d i n e a re l c c t r i cp o l a r i z a t i o n i sc a l c u l a t e d ，e q u i v a l e n tb o d yb o u n dc h a r g e sa n ds u e f a c eb o u n dc h a r g e su n d e rt o r q h ea r e a p p r o a c h e d e x i s t e n c eo ft o r s i o n a le f f e c ti st e s t i f i e db yt h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a la n l y s i s t h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h et o r q u ea n dt h ep o l a r i z e dc h a r g e si se s t a b l i s h e d o nt h eb a s eo fm a t h e m a t i c a lm o d e lo ft o r s i o n a le f f e c t u s i n gm u l t i v a r i a t eu n r e s t r a i n e d n o n l i n e a ro p t i r a i z a t i o nm e t h o d ，w er e s e a r c hc u t t i n ga n g l e sa n dp a r a m e t e r so fc r o s s s e c t i o nt o g e tb e s tt o r s i o n a ls e n s i t i v i t y r e s u l to fo p t i m i z a t i o ni ss u p p o r t e db ye x p e r i m e n t t 1 l i si s i m p o r t a n tf o ra p p l i c a t i o ni ne n g i n e e r i n g b a s e do nm a t l a b p r o g r a m so fs i m u l a t i o na n do p t i m i z a t i o no ft o r s i o n a le f f e c ta r e i n c l u d e di na p p e n d i x k e y w o r d s ：t o r s i o r t a te f f e c t s t r e s sf i e i d ，p o l a r i z a t i o nf i e i d ，t o r s i o r a s e n s i t i v i t y 第一章绪论 1 i 课题来源及意义 在现代的自动控制系统中，电子计算机、传感器和执行器是三个基本单元，它们就 象大脑、五官和手足一样，使系统成为一个有机的整体。传感器是自动控制系统中获 取信息的部件，其性能对整个系统的性能有举足轻重的影响。 随着自动控制系统的发展，对传感系统的要求也越来越高，因此开发新的传感系统 以适应控制系统提出的新要求是现在传感领域的新趋势。新的结构不断被开发，与此同 时，新的敏感材料以及已有敏感材料的新效应也在探索之中。后者对于研制新的传感系 统具有更重要的意义。 在传感器件中起关键作用的就是具有电、磁、热、机械、光、化学反应及流变特 性耦合作用的敏感材料，如压电材料、形状记忆合金等。这些材料都具有选择性 ( s e l e c t i v i t y ) 、自我诊断性( s e l f - d i a g n o s i s ) 、自我调节性( s e l f - t u n i n g ) 、灵敏性 ( s e n s i t i v i t y ) 、自我恢复性( s e l f r e c o v e r y ) 、简单性( s i m p l i c i t y ) 、自我修复性 ( s e l f - r e p a i r ) 、稳定性( s t a b i l i t y ) 、可代用性( s t a n d b yp h e n o m e n a ) 、耐久性 ( s t l r v i v a b i l i t y ) 和开关性( s w i t c h a h 订i t y ) 等所谓s 一行为“1 。这些行为的实现要求在材 料的某些性能之间具有耦合性。 压电材料是应用最为广泛的机电耦合材料之一。压电材料具有优良特性，如较高的 力电转换频率和转换精度，线性范围宽，重复精度高，滞后小等，因而在工程中得到了 广泛的应用。 工程中的应用需求推动了对压电效应的研究。从压电效应被发现的时候起，许多学 者对压电效应进行了广泛的研究。但是对于压电效应的微观机理研究方面还存在很多困 难。著名物理学家m b o r n 曾试图计算立方z n s 的压电系数，虽然z n s 是结构最简单的 一种压电晶体，只有一个非零独立的压电系数。但理论得到的结果往往连正负号也难以 和试验一致。因此对压电材料的研究，较多地还限于材料的研制、参数测量和技术应用 ”1 。随着近代科学技术的发展，压电材料的应用的到了飞跃的发展。其主要的应用是。1 ： 利用正压电效应研制成功压电引信、压电电源等多种电压发生器件以及振动加速度计、 流体监控器等多种压敏传感元件；利用逆压电效应研制成功各种用途的超声波发生器以 及压电扬声器；利用正、逆压电效应研串l 成功压电陀螺、压电线性加速度表、压电变压 器、压电延迟线、声纳以及压电表面声波器件；利用压电振予的谐振特性和伸缩特性研 制成功压电谐振器、压电振荡器、压电滤波器以及压电继电器、压电泵、压电阀门、位 移发生器等器件：利用部分压电材料具有的线性和非线性热释电效应研制成功红外线探 测器、红外摄像管以及热释电发电机；利用压电铁电材料的光学效应和压电效应，研制 成功电光调制器、电光偏转器、声光调制器、声光偏转器以及光信频器、光参量振荡器 等激光技术必不可少的器件。总之，半个世纪以来，压电效应的应用研究越来越广泛， 在电子、激光、超声、水声、微声、红外、导航、生物等各个技术领域都取得了惊人的 成绩。 但是，压电效应的研究并未终结，科学技术的发展和生产工程上的需要是其持续发 展的动力a 考察上述压电效应的研究与应用，可以发现其中绝大部分是限于利用单压电 石英晶体扭转效应的仿真与优化 参数，且研究范围都限于线性极化的范畴。压电晶体的压电效应按其受外界作用所产生 的效果进行分类，一般体现为纵向、横向和剪切三种基本形式。虽然压电晶体所受弯矩 作用而产生的弯曲是拉伸力和压缩力共同作用的复合结果。但由于晶体内部所产生的应 力具有对坐标的简单线性性质 4 1 ，因而有时也把弯曲效应作为压电效应的一种形式。这 样，外界作用于压电晶体的基本形式，即拉压力，剪切力，和弯矩都对应于压电效应的 一种表达形式，惟独没有与扭矩相对应的形式。即压电晶体的扭转效应。扭转力矩或扭 转变形可以通过其他效应，或利用其他变形模式转换过来，但这毕竟要加上中间转化环 节。这样势必使扭矩传感器结构复杂化、体积变大、转换效率变低、成本提高。这些正 是与现代传感器的要求背道而驰的。所以，为了提高传感器的性能价格比，无论从设计、 制造还是从工程技术实际应用角度来看，都非常有必要对压电晶体的扭转效应进行探索 研究。因此孙宝元教授在充分研究本领域国内外发展的基础上，从工程实际出发，提出 了压电晶体扭转效应的新概念，并取得了博士点科研基金的支持。压电晶体扭转效应的 提出是基于扭转传感器的设计、制造和工艺及使用要求而提出的，特别是为了提高压电 机敏元件的使用性能，去掉以往采用的其他转换机构，直接在扭矩作用下产生极化电场。 压电晶体扭转效应的理论涉及到晶体的各种一维压电效应的复合效应的研究，其目的主 要是为了寻找扭转和与其相关联的电学量之间的关系。 在孙宝元教授、吴涧彤博士等人近4 年的不懈努力下，压电晶体扭转效应的理论分 析和实验分析取得了突破性进展。但如前文所述，“压电晶体扭转效应”的概念为国内 外首次提出，带有一定的探索性，从理论分析到工程应用之间尚有大量的工作要做。其 中，压电晶体的优化是工程应用之前必不可少的环节。本论文通过对压电晶体的切型、 尺寸参数、截面形状等进行优化，以期灵敏元件、达到最优的综合性能，为工程应用的 可行性打下基础。 1 2 国内外的研究历史及研究现状 1 8 8 0 年c u r i e 兄弟在研究介电现象和晶体对称性的时候，在q 石英上最先发现了压 电效应，开始了压电研究的历史。压电效应反映了压电晶体的弹性和介电性的相互耦合 作用。1 8 8 0 年l i p p m a n 根据热力学原理和能量守衡及电荷守衡定律预言了逆压电效应 的存在。同年c u r i e 兄弟用实验证明了逆压电效应存在。压电效应的研究从此拉开帷幕。 近十几年来，随着凝聚态物理研究的发展，各国学者从统一的热力学维象理论出发 来描述热平衡态固体电介质的各种性质【5 】i “。热力学理论是一种宏观维象理论，是在实 验基础上建立起来的物质系统的宏观参数之间的相互关系，而不能由某个更基本的关系 导出。热力学理论统地说明了在外电场、外力、温度等各种外界因素影响下，电介质 的电偶极矩所形成的宏观极化强度的变化规律，而不涉及微观机构问题【引。因此，压电 效应的数学描述中所涉及到的物性参数都是从实验中获得的。这种宏观维象理论虽不能 解释物理效应的根源，但却能建立起各种宏观物理量之间的关系，因此，宏观的维象理 论的建立是研究压电晶体的基础。 作为压电介质基础理论的一个重要组成部分，以及在压电介质数值计算中占有重要 地位的压电介质变分原理也得到了较为系统的发展。许多学者从三维理论出发来建立各 种压电变分方程，以便能更确切地描述压电元件的传感和控制机理。随着各种压电介质 电弹耦合变分原理的建立，压电介质的数值计算得到了飞速发展，并广泛应用于各种压 石英晶体扭转效应的仿真与优化 电机构的数值模拟。 虽然压电介质的数值计算得到了蓬勃发展，但是人们并没有放弃寻找压电柱体扭转 解析解的努力。由于各向异性柱体的扭转问题的求解已经很复杂，随着电学量的引入， 使得扭转问题的解答更加艰难。大部分都是利用控制方程的相似性，采用变换手段将扭 转问题的控制方程转化为可解的一类方程。采用相似变换的研究方法解决各向异性柱体 的扭转问题最早是由胡海昌院士完成的口】。 目前国内外工程学术界关于压电晶体扭转效应的定义和概念尚未形成，较多的是集 中在压电扭转执行器的应用上，即利用压电材料来实施扭转运动。主要表现在几个方面： 研究石英晶体的扭转运动 最具有代表性的研究者是瑞典u p p l a s a 大学的j a ns o d e r k v i s t 和日本的 h i r o f u m i ，k a w a s h i m a 2 1 等人。他们研究了不同的驱动电极配置所导致的石英晶体的扭转 振动情况及所产生的相应电荷分布，该项研究启发了压电晶体扭转效应的研究思路。 利用切向极化的压电陶瓷来实旌扭转运动 美国s n n g c c 研究了切向极化的压电陶瓷控制圆的管扭曲振动【8 1 。 利用特殊电极来实施扭转运动 日本t o k i n 公司采用特殊电极，制作出了一种简单可靠的压电致动器，去掉了普通 压电陶瓷致动器需要的旋转变换机构 9 1 。 我国对压电效应和压电材料的研究是以中国科学院上海硅酸盐研究所和四川压电 与声光技术研究所为主进行的，此外还有上海测试研究所、大连理工大学、东南大学等 高校和研究所也开展了理论与实验方面的研究工作。 大连理工大学机械系传感测控研究所的吴涧彤博士对压电晶体的扭转效应进行了 深入的研究【10 1 。 吴涧彤博士确立了压电晶体扭转效应的存在，建立了左旋石英晶体扭转效应的物理 数学模型，并且通过实验验证了该模型的正确性。 吴涧彤博士的工作开启了对压电晶体扭转效应微观机理研究的先河，对本文的工作 也有启发意义和指导作用。 1 3 本论文的主要研究内容 本文承接吴涧彤博士的工作，应用晶体物理学、电介质物理学、弹性力学以及电磁 场物理学等交叉领域的理论，将左旋石英晶体扭转效应的物理数学模型推广到应用更为 普遍的右旋石英晶体，并立足于工程实际需要，对晶体参数进行了优化，为制作压电扭 转传感器奠定了基础。 本论文的研究包括以下几个方面： 1 确立右旋石英晶体扭转效应的存在； 2 建立右旋石英晶体扭转效应物理数学模型，给出求解右旋石英柱体扭转状态下 的应力场的解析方程和数值方法。求解极化场，推导出电极感应电荷与扭矩的 理论关系； 3 完成标准切型石英晶体扭转效应的数值计算； 4 用标准切型的晶体进行试验，从而对该模型进行检验和修正； 5 在上述模型的基础上，分析晶体参数对于扭转灵敏度的影响。选取适合的优化 石英晶体扭转效应的仿真与优化 方法，优化切型、截面参数： 6 通过实验验证优化参数。 7 利用m a t l a b 实现石英晶体扭转效应的仿真。编写通用程序，以进行不同参数 的石英晶体扭转效应的数值计算，并且完成对不f q 参数的优化计算。 本文的工作是吴涧彤博士的工作的延续和完善。通过本文的工作，对建立压电晶体 扭转效应理论体系做出了尝试，并且为工程应用做了技术准备。 4 石英晶体扭转效应的仿真与优化 第二章压电效应的理论基础 本章描述了压电效应的概念，从群论的角度分析了石英晶体微观对称性与压电效应 的必然联系：给出了压电效应基于实验的表达式，并且应用连续介质力学和电动力学的 基本理论分析了压电效应的本构方程以及边界条件。 2 1 压电机理 2 1 1 概述 压电效应在1 8 8 0 年首先被居里兄弟发现。当水晶承受机械应力时，其表面上会感 应出电荷，若一面为正电荷，则另一相对的面将出现负电荷，这种效应被称为正压电效 应。冠样也发现了逆压电效应，b 口电场作用于晶体时，晶体将发生应变。 压电效应是机电耦合效应，是交叉的效应。压电效应描述了电场和应变的线性关系。 2 1 2 点群的概念及石英晶体在点群中的分类 在理想的晶体中，相同的结构基元( 可以是一个原子、分子、离子和原子集团) 在 空间上无限地周期地重复排列。晶体各种粒子的空间关系及其相互作用力决定晶体的空 间对称性、晶体的结构和物理性质。 晶体性质的主要特点是均匀、不连续和各向异性。一般来说，从微观的角度，晶体 种不同点的情形是不同的。但是，从整体来说，晶体是均匀的，即晶体的任何一部分和 另外一部分之间没有什么区别。 晶体中各个方向的粒子排列，相互的几何关系，相互的作用力的情况等，都是不同 的，因此，几乎晶体的一切性质沿各个方向都是不同的，即晶体使各向异性的。 晶体的对称性是指如果经过某种操作，即我们所熟知的转动、镜面反射、中心反演 等，使得晶体中的各个点都变到新的位置，但是晶形保持不变，则称这种操作为这个晶 体的对称操作。晶体的对称操作代表了它的几何对称性。一个晶体所有的对称操作越多， 表示这种晶体的对称性越高。 晶体的晶形与晶体的微观结构有密切的关系。微观结构的对称性是宏观外形对称性 的基础，使得只存在有限的几种类型的对称操作，即不变操作。可以证明，晶体独立的 对称元素只有8 种l 。 利用对称元素来描述晶体对称性较为方便。晶体晶形的对称操作的集合称为晶体学 点群( 共3 2 个) 。根据不同的组合任何一个晶体学点群都必须是3 2 个点群中的一个。 如果知道了晶体的所有对称操作，即所有的对称元素，就可以确定晶体所属的点群，反 过来也是一样。因此晶体学点群在晶体物理性质的研究中起着至关重要的作用。 石英( t 2 - s i 0 2 ) 在晶体学点群分类中属于d 3 群。石英晶体存在极轴。所谓极轴， 它是这样一种方向轴，借助于该晶体所属点群中的其他对称操作不能使其两端相互重 合。 2 1 3 压电效应与微观对称性的关系 从晶体学点群的角度来看，石英晶体具有某种微观对称性( 存在极轴) 。在没有外 力作用的时候，正负电荷重心是对称排列的；而在有外力作用时，由于晶体具有前面所 说的那种微观对称性，在弹性范围内产生的形变使正负电荷重心不再重合，从而产生极 石英晶体扭转效应的仿真与优化 化。 因此，石英晶体具有压电效应，是由其微观对称性决定的。 进一步说，石英晶体的微观对称性必然影响其压电效应的参量。这一点在后文的讨 论中还要提到。 2 2 压电效应的表达式 2 2 1 压电模量 = 压电效应描述了晶体感生的电极化强度j p 与所旅加应力7 t 之间的线性关系，写成 p = d ：t ( 2 2 1 ) 式中比例系数d 称为压电模量，其物理意义为单位应力所产生的电极化强度，也称为压 电应变系数。 压电模量是描述压电效应的重要物理量。对于晶体，式( 2 1 ) 中的应力t 是二阶极张 量，应该用【】表示，而电极化强度是矢量，由【只 表示。因此，式中的d 连接着一个 一阶极张量和一个二阶极张量。根据张量乘积的原则，只有d 为一个三阶张量，而且下 标中有两个与，、| j 相同时，才可能由双点乘得到结果为只有一个下标的矢量。故式f 2 1 ) 应该写成： 只= ，( f ，j ，k = 1 , 2 ，3 ) ( 2 2 2 ) 上式的意义是：设对晶体作用的应力为 靠】，晶体中产生的电极化强度的每个分量只是 和 & 】的全部分量成线性关系。以舅为例，可以写成9 项： e = 吐l i 正l + 吐1 2 正2 + d u a t t 3 + d m e i + d m 疋2 + d 1 2 3 死 + 吐3 l 正l + d m 五2 + d 1 3 3 瓦3( 2 , 2 3 ) 对b 、b 有类似的两个式子。由此可见，式( 2 2 ) 中的 d 。 这一物理量是一个具有3 x 9 = 2 7 个系数的有序集合。 石英晶体扭转效应的仿真与优化 化为 每一个元素d 眦都有其物理意义。设对晶体所加应力为单轴向张力一，引起的电极 只= d 1 1 1 瓦i ，最= d 2 1 1 t i l ，己= d 3 互i( 2 2 4 a ) 或： d i n = 。，d i n = ，d i n = z 舢， 即施加应力耳，后，对应于单位正所引起的沿一，x ：，屯等方向的电极化强度等于 沿该方向的压电模量值。 可以证明，各量的变换满足张量变换定律。设坐标系由。系扛，) 变换为0 系 ( x - ) ，变换矩阵为( 4 ) = ( 日。，) 。3 i ：r p 的变换为： = 口，z( 2 2 。5 ) 应力张m r 的变换为： 丁肛= 口，- 。口t j l 。( 2 ，2 6 ) 在d 系中，式( 2 2 2 ) 成立，毋= 丸。乙。，将其代入( 2 2 5 ) ，并联立( 2 6 ) g ：导至! j ： 只3 口。i aj - m d h jmq 2 但在d + 系中，式( 2 2 1 2 ) 仍然成立，只。= d 舭r 且，将两式相比，可以得到压电模量的 变换关系为： d 帅= a l , l d j r a a j d f m 。( 2 2 _ 8 ) 这个结果说明，【d 。 各分量服从三阶极张量的变换定律，从而证明它是一个三阶 极张量。 石英晶体扭转效应的仿真与优化 2 2 2 压电模量的简化原理以及简化结果 由于 d 。 为三阶张量，故应该由3 3 = 2 7 个分量组成。但是实际上由于它所具有的固 有对称性，使其独立分量的数目减少。 【d 壮 的固有对称性来源于应力【强 张量是对称张量，即= 。如果晶体受到应 力的作用，而_ ，k ，这种应力为切应力。当晶体处于平衡，无体积转矩发生时，不 仅l = 兀，而且必然总是成对出现。这种情况促使沿某一方向的电极化矢量的分量是 由两项组成的。例如设p 的分量为只，则有： p = d 社+ d 由= ( d 社+ d 嘶) ( 2 2 9 ) 迄今为止的实验测量，只能测出由一对应力作用而共同产生的只值，从而得到 ( d g k + d 由) 两个分量之和。至今还未能设计出一个有可能将和d 澌分别进行测量和实 验，更无法区分两者在数值大小上有和不同。因此，为了消除d 。和d 。的物理意义可能 存在的随意性，恰当而又符合实验测量结果的方法是令它们相等，即令： d l i l c = d 啦q 2 1 0 ) 这就是由于应力张量 的对称性必须引入的 张量后两个下标的置换对称 性。压电模量的这一固有对称性实际上在逆压电效应中必然产生。 由于压电模量具有两个下标的置换对称性，独立分量数目将减少到1 8 个，同时可 以引入矩阵，使其书写方式简化。 由于应力张量可以简化为列向量巧( = 1 , 2 ，3 6 ) ，压电模量可以简化为一个3 行6 列的矩阵。用矩阵式简化后的压电模量为： ) = fd ：d d ld ： f1 2 t d ”d 3 2 ( 2 2 1 1 ) 石英晶体扭转效应的仿真与优化 d a , , 2d i 3d 1 4d l s d,etl。蓁 r 22 1 2 ) 前面提到，由于晶体的微观对称性，可以根据这些对称性推算石英晶体压电模量矩 阵表。推算过程详见参考文献 1 1 第1 8 1 页。 推算的结果是，石英晶体的压电模量矩阵为： f d l l d 】l 0 d 1 4 00 1 0 w ) = 10 00 0 一d 1 4 2 d l ，1 ( 2 2 1 3 ) l0 00000 j 通过实验求得石英晶体的独立压电系数分量为： d i l = 垃3 1 x 1 0 “2 c n = + 2 2 6 4 p c 埘； d 1 4 = o 7 3 1 0 “2 c n = 7 1 6 p c k g , f 按照i r e 标准规定，右旋石英晶体d 。和d ，。的数值取( 一) 号，左旋石英晶体d 。和d 。的 数值取( + ) 号。 2 3 压电晶体基本方程埘 对于压电晶体，描述其机电耦合的力学行为和电学行为的物理量包括弹性位移“， 应力张量，应变张量占。，电势，电位移口及电场强度e i ，下标i ，= 1 , 2 ，3 ，它们满 足一定形式的控制方程。 压电晶体的压电性涉及到力学行为和电学行为之间的相互作用，在线性情况下，可 以用两个力学量和两个电学量来近似表示这种相互作用。如果选择应变张量s ，和电场强 度e ，作为独立变量，则压电方程的张量表示为： 石英晶体扭转效应的仿真与优化 j o - 。= c 嘉 。一e , j e 。 【d ，= e 。f 。+ 口；e ( 2 3 1 ) 式中，c 品。一常电场时的弹性刚度系数，称为短路弹性刚度系数，单位为州： 。一压电应力系数，单位为矿b 1 口：一常应变时的介电系数，称为夹持阶电系数，单位为f m 。 如果采用矩阵符号来表示张量，可以使压电方程变得更加简洁，采用列阵表示应 力和应变张量，其分量间的关系为： 仃p = 盯d ，( p = 1 , 2 ，6 ；i ，j = 1 , 2 ，3 ) 铲燃老三裟， 用矩阵c 和8 表示材料系数张量，其分量间的关系为： = c 嘉。 ，坍，疗= i ，2 ，3 ；p ，q = 1 2 ，6 【= e 一 这样方程( 2 3 1 ) 变为： 叮：c e s e r e 1d ：口s + 口。e ( 2 3 2 ) 。圭王描攀垄学行为和电学行为的独立变量可以任意选择，因此根据独立变量的不同 选择方案，尚有以下几种形式的压电方程： k ：c 。占一h r d 1 e ：- h e + 卢t d ( 2 呐 g一=s。a+g片r。de ( 2 3 4 ) 【= - g o - + 。d ”j 。7 l f = s 5 0 - + d 7 e 1d ：d o - + c t e ( 2 3 5 ) 石英晶体扭转效应的仿真与优化 其中：c 。一常位移时的弹性刚度矩阵，即开路弹性刚度矩阵，单位为v b 2 2 h 一压电劲度矩阵，单位为v m 5 一常应变时的介电隔离率矩阵，称为夹持介电隔离率矩阵，单位为m f s 。一常位移时的弹性柔度矩阵，称为开路柔度矩阵，单位为mz n g 一压电电压常数矩阵，单位为y 册 。一常应力时的介电隔离率矩阵，称为自由介电隔离率矩阵 s 5 一常电场时的弹性柔度矩阵，称为短路柔度矩阵 j 一压电应变常数矩阵，单位为埘矿 口4 一常应力时的介电常数矩阵，称为自由介电常数矩阵。 上面的四种压电方程从不同角度反映了压宅晶体的机电耦合所遵从的蕊律，它们是 相互关联的，其间的联系反映在各类压电方程系数之间的联系上。这些系数之间的联系 如下： 式中，为单位矩阵。 f s c = i 【触= i ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 口9 一a = d c 5 d 7 = e s 5 e 7 ：d e 7 ：8 d r 誓4于竺鬈：篇ogr=hg，r：=g，hcehhheeh 7 b s 固 c “一 。=。口e = 。口5= 7 = 7 r 7 s e - s d = d t 】8 。d = gr c t 。g = d r g = g r d 上面是一般性的讨论，并没有涉及到材料的特殊性。事实上，由于弹性、压电、介 g d p舭。舻驴伊 = = = = 啦心脚廿 ： 等 = d e g 厅 石英晶体扭转效应的仿真与优化 电常数都具有各自的对称性，压电晶体的基本方程可以进一步简化。 石英晶体扭转效应的仿真与优化 第三章压电晶体扭转效应中的应力分析 压电效应是机电耦合效应。第二章压电效应的基本方程表达了应力张量、应变张量 和电场强度以及电极化强度之间的关系。压电晶体扭转效应的研究主要考虑扭转引起的 应力应变同电学量之间的关系。因此，求解压电晶体内部在扭转时的应力场是分析扭转 效应的第一步。 本章从弹性力学入手，分析了弹性体在扭转时应力应该满足的弹性力学方程，从各 向同性材料扭转方程推广到各项异性材料的扭转方程。给出了求解该扭转方程的数值解 法，并归纳了求解石英晶体应力场的一些结论。 3 1 弹性体的平衡微分方程及相容条件”3 1 从材料力学可以知道，对于圆形界面柱体的扭转问题，只要假定在扭转时截面保持 为平面，只转动不翘曲，即半径保持为直线，应用材料力学的知识就可以求得精确解； 然而，当截面的边界曲线为非圆形时，由于截面发生翘陷，采用初等理论无法求取精确 解，因此必须应用弹性理论的方法i l 。 研究弹性体内部应力随位置改变时的变化情况，就是研究在弹性体内部任意一点的 应力情况。在平衡状态下，任意一点( 石，y ，z ) 的应力满足平衡微分方程： 其中：盯，盯。，盯：一沿x 、y 、z 方向的拉压应力 ( 3 1 1 ) “一剪切应力，第一个下标表示所在面，第二个下标表示方向 x 、y 、z 一作用在该点的外力沿x 、y 、z 方向的分量。 坐标具有任意性，即此微分平衡方程在弹性体内部处处成立。 应力在物体内部随处变化，而在物体表面，应力必须与表面上的外力平衡。用i 、 l ，、z 代表每一点面力分量的面密度，则表面处的边界条件为： = = = x y z + + 魄i 生如可 + + + 可笠簖眈百堕(毽盟砂堕出 瓣 石英晶体扭转效应的仿真与优化 其中，、m 、h 是物体表面在考察点的外法线的方向余弦。 要确定物体在已知力作用下的应力状态，必须求解方程( 3 1 ，1 ) ，而且必须能满足边 界条件( 3 1 2 ) 。这是一个超静定问题，未知数数目多于独立方程数目。为了求得解答， 还必须考虑物体的弹性形变。在每一点的应变分量和质点位移必须满足下面关系： “、v 、w 质点位移。 根据方程( 3 1 3 ) 有： 成立，进而有： a 2 占。 a 3 “ o y 2e x 0 2 v 2 同理，有下面两个方程成立 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 i 6 ) 鲁3 x + 鲁a z = 盟o z o x ( 3 t )2z、。， 对( 3 ，1 。3 ) 求导有如下结果： 茜oau，孥=一t92v+一02woxdyozb x o z & c o y叙砂 叙 整理得： 4 ( 3 1 8 ) 0 塑砂 加一出 业瑟 丝融乏砂嗉 一一 一 ， 勺 ， 加一出 锄一西 锄一砂 ；交 一一 = 长应 t b 伸剪 一 一 中其 l 钞 旦酽 | | 堕酽 立西堕铆 = 数坳 盟：喜- = 监酽 + 堕妒 监纰 | | 监矿 堕劳 立：l |堕驰 = 丝出塑坳堕弛丝钞 石英晶体扭转效应的仿真与优化 z 瓮= * 誓+ - 力c ”+ 纠 ， 同理可以得到另外两个和( 3 1 9 ) 同型的关系式。 综合上面的关系式，便得到相容条件的微分关系式为： 等+ = 茜，z 簧= * i c o y y ：+ 等+ 誓 ， + 鲁a y = 盟a y & ，z 纂= 旦a y ( 等一丝a y + 誓) ，加， 出2 2 缸a z i 缸出j 、 等+ 等= 篆，z 茜= 昙( 誓+ 誓一誓 3 2 各向同性柱体的扭转应力场求解 对于柱体两端受力偶作用而产生扭转的问题的正确解答是由圣维南解决的”】。 3 2 1 各向同性柱体扭转的弹性理论 设有一个各向同性柱体两端受扭转力矩的作用，取柱体一底面为驯平面，取：轴使 之垂直于叫平面并且指向柱体的顶端。底面中心取为原点。在弹性理论中，圣维南假设 扭转柱体的形变包括截面的转动以及所有截面具有的相同的翘曲。对应于截面转动的位 移是： 甜5 ：缈， ( 3 2 1 ) v = 织 、 其中：目为截面单位长度的扭转角，为距离原点2 处的截面的转角。 截面的翘曲可以用如下函数来表示： w = 口缈扛，y ) 因此，由( 3 ，1 3 ) 可以导出应变分量为： s ：= sy 2 ：2 y 9 2 0 ”筹+ 詈= 口( 警一y ) ”o 印w + 瑟a v 卅愕叫 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 石英晶体扭转效应的仿真与优化 j j2 盯y2 盯：2 f w20 铲g 嗄詈一刁 z 聊 铲册愕 其中g 为剪切模量。 可见，在柱体的纵向纤维之i b q 和纵向都没有正应力的作用，在柱体的每一点只有纯 剪的应力分量。将( 3 2 4 ) 代入平衡微分方程，不计体力，可以得到翘曲函数满足的方 程为： 害+ 害= 。 旺z 侧 而边界条件( 3 1 2 ) 变为： r 。，+ f 。m = 0 由于在柱体侧面边界上有，：掣和埘： 船 件就变为： 偿 _ d x 的关系成立，其中s 为弧长，则边界条 出 f 业+ x 鱼：o ( 3 2 5 b ) oly d s 1 于是，在引入翘曲函数后，扭转问题就成为寻求满足方程( 3 2 5 a ) 和边界条件 ( 3 2 5 b ) 的函数少的问题。 由于截面上除了剪应力和r 。( 即扭转应力) 之外，其余的应力分量都等于零，即 盯i2 盯y = 盯= = f w = 0 将上式代入平衡微分方程，有： 堡：o 、笠：o 篮+ 笠：o 良。良0 x o y 根据微分方程的理论，必有一个函数p ，使得： 铲詈，铲一警 石英晶体扭转效应的仿真与优化 此处驴称为应力函数。 可以根据( 3 2 4 ) 来消去翘曲函数矿而导得应力函数所必须满足的微分方程以及相应 的边界条件为： 皂+ 窖：一2 g 口 ( 3 2 6 a ) 叙。却2 挈搴+ 娑享：睾：0 ( 3 2 6 b ) 执d s 瓠d s d s 、 。 上式表明应力函数舻沿着截面韵边界必须是常数，在单连边界的情况f 常数值司任 意选。如果选择应力函数沿着截面边界的值为o ，则柱体的扭转问题中截面上的应力分 布的求解就归结为寻求满足微分方程( 3 2 6 a ) 及边界条件( 3 2 6 b ) 的应力函数妒。 在柱体的两端，由于表面的法线平行于z 轴，因此，= t n = o ，”= 1 ，方程( 3 1 2 ) 此 时成为： i = f x z n , - y = 式中，正号对应于外法线沿z 轴正方向的一端。此式表明两端的剪应力分布与柱体所有 截面上的剪应力分布相同。将应力函数定义中的表达式k = 譬和f ，= 一譬代入上式 咖册 中，并同时取p 在边界上的值为0 ，便有如下的结果： 肛蚴= f f f 。出咖= 聘妫2 肛房砂= o ( 3 - 2 7 a ) 盯弧咖= 胪。出砂= 一罢出咖= 一j 出璧咖= 0 ( 3 2 7 b ) 上式说明分布于柱体两端的剪力的合力为0 。合力偶的矩为： m ，= 限一西皿方= 一j 等出咖一等地咖( 3 2 8 ) 对上式进行积分，并利用边界上p = 0 的条件，可得： m ，= 2 咖d x d y ( 3 2 9 ) 石英晶体扭转效应的仿真与优化 由此可见，根据圣维南对于位移的假设，所得到的应力分布满足平衡微分方程及边 界条件，并且根据柱体两端的边界条件，建立了扭矩m 和应力函数伊之间的关系如式 ( 3 2 9 ) 。方程( 3 - 2 6 a ) 保证了单个位移函数妒的存在，也就说明相容条件得到满足。因 此这种方法得到的解就是扭转问题的精确解。虽然这种半逆方法所得到的解答要求柱体 两端外力按照一定方式分布，但根据圣维南原理，在柱体离两端较远处，应力只与扭矩 的大小有关，而与两端实际的外力分布方式无关。 3 2 2 求解各向同性柱体扭转问题的数值方法 理论上，求解上述的微分方程就可以得到扭转问题的精确解，但是，这是不实际的， 因为只有少数的微分方程能找到精确的解析解。求解扭转问题更有效的方法不是直接求 解微分方程，而是通过数值解法来求取近似解，以满足工程需要。能量法是一种比较常 用的数值方法“。 柱体每单位长度的应变能为： 矿= 菇1 i 。2 + 2 胁= 西1j 小i o p 2 + 考) 卜( 3 2 1 0 ) 如果给应力函数妒一个微小的变分巧痧，而在边界上却为0 ，则应变能的交分为 髫1 球分卜 慨z 而扭矩的变分为： 可以断定 即有： 或： 因此，使积分 3 m , = 2 j 和出妙 o 7 = 8 r y m , ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) 去万m 警 2 + ( 考 2 卜= z 占舾c 。z a ， d t l l 7 l t i 一；2 俐卜蚴。z u = 1 1 7 l t i j 2 + 鳓- 2 g 印蛔( 3 2 1 6 ) 石英晶体扭转效应的仿真与优化 的变分为0 的应力函数妒就是真正的应力函数。 针对具体问题求得应力函数舻后，就可以根据下面的关系式求得应力分量 k ：娑 ，：一娑 ( 3 2 1 7 )k 2 苗，一一言 u - - 在扭转问题的近似解答中，上述的变分问题可以化为寻求函数极小值的简单问题。 如果取应力函数为级数形式： 妒= 4 0 妒o + a l c p l + 口2 妒2 + ， ( 3 2 1 8 ) 其中，吼，妒：，是满足边界条件( 在边界上妒为0 ) 的函数。上述级数中的待定系 数口0 、口，、口2 、由积分式( 3 2 1 6 ) 的极小条件来确定。具体方法是，将级数( 3 2 1 8 ) 代入积分式( 3 2 1 6 ) ，积分以后，便得到嘞、q 、d 2 、的二次函数，这个二次函数 的极小条件为： 型：0 ，型：0 ，型：0 ， ( 3 2 1 9 ) 加。抛l加2 并由此得到一组、a 。、口2 、的一次方程，求解之，便得到待定系数、口、日：、 的解。通过增加级数( 3 2 1 8 ) 的项数，可以增加近似解答的精度。如果采用无穷级数， 可以得至0 柱体扭转问题的精确解。 3 3 石英晶体扭转应力场求解 由于石英晶体是各向异性的，因此石英柱体扭转问题的求解需采用各向异性柱体扭 转的理论。 3 3 1 各向异性柱体的扭转方程 各向异性是指材料的弹性虽然使各项异性的，但是各点的弹性性质一致，也就是说， 材料是均匀的。 选取与上一节相同的坐标系，假定有一跟柱体母线垂直的弹性对称面存在，且六个 应力分量都与坐标z 无关，则有下面的结果： 盯，= 盯，= 仃：= f 。= 0( 3 3 1 ) 因此剩下的不恒等于0 的应力分量只有r 。和f 。，并且它们都只与x 、y 有关。而 平衡方程 石英晶体扭转效应的仿真与优化 堡+ 笠：o 舐 咖 表明有一个应力函数存在，使得： ( 3 3 2 ) ：娑 ：一譬 ( 3 3 3 ) 2 苗一言 0 3 _ v 3 这个应力函数和剪应力的关系和各向同性柱体扭转问题中的关系完全相同，因此口 所适合的边界条件，以及扭矩m ，和妒的关系也和各向同性柱体扭转问题完全相同，即 式( 3 2 9 ) 依然成立。 各向异性柱体的广义虎克定律为： s x = s l l o x + s 1 2 0 v + s i 3 0 ：+ s 1 4 _ z y z + s 1 5 f t z + s 1 6 t l v 6 v = $ 2 1 0 j - i - $ 2 2 0 v - i $ 2 3 0 = + 5 2 4 r w + $ 2 5 t x z + s 2 6 z x y 占= 屯l 仃j + s 3 2 盯y5 3 3 0 z + s 3 4 + j 3 5 + 蚶掣 ( 3 3 4 ) 7 雌= $ 4 1 0 l - t - $ 4 2 0 y + $ 4 3 0 z 七s t f + s 4 s f e + 8 4 6 2 印 ，廿= 矗5 i 盯j + s s 2 盯r + 8 5 3 0 ：+ j 5 4 r k + j 5 5 2 0 + 占s 6 0 v ，叫= $ 6 1 0 x + s 6 2 盯v + $ 6 3 0 ：+ s 6 4 f 怔+ j 6 5z 0 + 占6 6 0 p 联立( 3 3 1 ) 有： 乱加跏锄西一 良卸瑟却敲 。 芸+ 娑：譬旭5 挈(33-$54 3 5 )_