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摘要 本文主要研究了n o v i k o v - p o i s s o n 代数的泛中心扩张及其自同构和导子的提 升。我们首先给出了n o v i k o v p o i s s o n 代数的一些基本概念和性质，在第三章中 详尽地阐述了中心扩张和泛中心扩张的一般结论。我们由任意的n o v i k o v - p o i s s o n 代数彳构造出了n o v i k o v - p o i s s o n 代数删硒，从而得到了n o v i k o v - p o i s s o n 代 数有泛覆盖的充分必要条件是它是完备的。在第四章中，我们首先说明了u c e 函数 是n o v i k o v p o i s s o n 代数范畴上的共变函子。然后，利用h c e 函数给出了关于彳 的自同构群的提升和导子的提升的两个重要定理并加以证明。 关键词：n o v i k o v - p o i s s o n 代数；中心扩张；泛中心扩张；自同构群和导子 t h ep a p e rm a i n l ys t u d i e st h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no fn o v i k o v - p o i s s o n a l g e b r a sa n di t sl i f t i n g o fa u t o m o r p h i s m sa n dd e r i v a t i o n s a tf i r s t , w eg i v es o m e e l e m e n t a r yc o n c e p t i o na n dp r o p e r t i e so fn o v i k o v p o i s s o na l g e b r a s ，w ee l a b o r a t eo nt h e g e n e r a lc o n c l u s i o n sa b o u tc e n t r a le x t e n s i o na n du n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o ni nt h e c h a p t e rt h r e e w ec o n s t r u c tan o v i k o v - p o i s s o na l g e b r au c e ( 翻 f r o ma na r b i t r a r y n o v i k o v - p o i s s o na l g e b r aa ，a n dt h e nan o v i k o v p o i s s o na l g e b r aa d m i t sau n i v e r s a l c o v e r i n gi fa n do n l yi fi ti sp e r f e c t i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ee x p l a i nt h a tt h ef u n c t i o n l i c ei sac o v a r i a n tf u n c t o ri nt h ec a t e g o r yo f n o v i k o v p o i s s o na l g e b r a sa tf i r s t t h e nw e h a v et w oi m p o r t a n tt h e o r e m sa b o u tt h el i f t i n go ft h eg r o u po fa u t o m o r p h i s m sa n dt h e l i f t i n go fd e r i v a t i o n so faa r eg i v e nb yt h ef u n c t i o no fl i c e ，t h e nt op r o v et h e m k e yw o r d s ：n o v i k o v - p o i s s o na l g e b r a ；c e n t r a le x t e n s i o n ；u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n ； t h eg r o u p so fa u t o m o r p h i s m sa n dd e r i v a t i o n s i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均 己在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：氅逛 日期： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东：l l _ ! j f f j 范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东：i l n 范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学 位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全 文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版 发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：噬 f i 期：趁2 21 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：至鉴壅赵 日 期：盈垒2 ：上墨 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 第一章绪论 随着李代数和李超代数的发展，产生了一类与它们联系非常密切的代数。这 类代数是i m g e l f a n d 和i y a d o r f m a n 1 在研究一类特殊性质的算子是否是 哈密顿算子时产生的。数学家o s b o r n 将这类代数命名为n o v i k o v 代数。1 9 8 5 年， b a li n s k ii 和n o v i k o v 2 最先给出n o v i k o v 代数的定义并说明它是与流体动力学 的p o i s s o n 括号相关联的。n o v i k o v 代数的显著特征是它的左乘算子形成一个李代 数，右乘算子是交换的( 参考 3 4 ) 。这是一种比较新的代数结构，在二十多年 的研究中，已经获得了很多结果。 1 9 8 7 年，z e l m a n o v 3 证明了特征零的代数闭域上的有限维单n o v i k o v 代 数是一维的。1 9 9 2 年，j m o s b o r n 5 6 7 完成了特征零域上的具有幂等元的 无限维单n o v i k o v 代数的分类和特征p 域上的具有幂等元的有限维单n o v i k o v 代 数的分类。1 9 9 5 年，徐晓平 8 9 给出了素特征代数闭域上的有限维单n o v i k o v 代数和它们的不可约模的完全分类。为了进一步研究n o v i k o v 代数以及它在物理 学中的应用，白承铭 1 0 1 1 1 2 对低维n o v i k o v 代数进行了分类。史毅茜 1 3 提供了一种利用n o v i k o v 代数上自然的李代数结构来构造李三系的方法。在近几 年，又研究了n o v i k o v 代数的相关性质，比如左弱n o v i k o v 代数，n o v i k o v 代数的 可解幂零性质等。n o v i k o v 代数的模理论也取得了丰富的成果，如上述超代数理论 也有很大的发展，并且在物理学的量子学场论等方面有着广泛的应用。 徐晓平 8 在建立n o v i k o v 代数的张量理论时引入了n o v i k o v p o i s s o n 代数的 概念。他还把一些n o v i k o v - p o i s s o n 代数与哈密顿超算子联系起来，并证明了它 们可诱导出李超代数。这是特殊情况下超v i r a s o r o 代数的自然产生。在 9 中， 他通过n o v i k o v - p o i s s o n 代数建立了一类没有非零幂等元的单n o v i k o v 代数，并 证明了由一族n o v i k o v - p o i s s o n 代数建立了一族新的无限维单李超代数。文献 1 5 研究了n o v i k o v p o i s s o n 代数的对偶结构，讨论了n o v i k o v p o i s s o n 余代数的张 量积以及n o v i k o v - p o is s o n 代数和n o v i k o v p o is s o n 余代数的对偶关系，并介绍 了n o v i k o v - p o i s s o n 双代数的概念。在 1 6 中，指出n o v i k o v p o i s s o n 代数实际 上是其交换结合代数结构和n o v i k o v 代数结构的一个相容形变，研究了有限维 东北师范大学硕士学位论文 n o v i k o v p o i s s o n 代数，讨论了如何将n o v i k o v - p o i s s o n 代数进行分类，并用例子 给出2 维n o v i k o v p o i s s o n 代数的分类。2 0 0 8 年，v n z h e l y a b i n 和a s t i k h o v 1 7 研究的是n o v i k o v 代数不是单的n o v i k o v - p o i s s o i i 代数，它的相应的交换结 合导子代数是微分单的。特别地，还证明了n o v i k o v 代数在特征不为2 的域上是 单的当且仅当它的交换结合导子代数是微分单的。并且还建立了n o v i k o v - p o i s s o n 代数和j o r d a n 超代数之间的关系。 到目前为止，n o v i k o v p o i s s o n 代数还没有一个系统的理论，甚至在低维的情 况下也没有。而对于一个代数系统的研究，主要分为分类、结构和表示三大方面。 n o v i k o v p o i s s o n 代数的理论非常不完善，在研究其结构时，需要构造一些特殊类 型的n o v i k o v p o i s s o n 代数来辅助研究。在代数结构的理论中，中心扩张和泛中 心扩张有着重要的作用。许多学者都对这一课题进行了研究，也有许多关于具体 的代数系统的中心扩张和泛中心扩张的文章，比如李代数、v i r a s o r o 代数、k a c m o o d y 代数、n 一李代数、李超代数、a w b 的中心扩张和泛中心扩张( 见 1 8 2 4 ) ， 盘至 寸0 既然泛中心扩张是一个代数结构的重要性质，那么我们就会想到，对于 n o v i k o v p o i s s o n 代数是否也有泛中心扩张，它的泛中心扩张是什么样的，是否满 足一般代数结构的泛中心扩张的基本结论，还有其他别的什么结论，如何来构造 嬲函数，以及n o v i k o v p o i s s o n 代数有没有自同构和导子的提升，是什么样的， 这样一系列的问题。本文就将要研究这些问题，并给出相应的证明。 本文是利用泛中心扩张来研究n o v i k o v p o i s s o n 代数的结构问题的。n o v i k o v - p o i s s o n 代数与数学、物理学的许多分支都密切相关。因此，对于这类代数的研究 对解决物理学中的数学问题，促进数学和物理学的发展都有明显的理论意义和应 用价值。 东北师范大学硕士学位论文 第二章预备知识 我们约定，在本文中所有的向量空间和代数都是在域，上的。相应地，o 和 h o w 分别是圆，和h o r n r 的意思。本文中的交换结合代数一般是没有单位元的，除 非特殊说明。 本章主要是给出本文所需的定义、引理和性质等，定义了n o v i k o v - p o i s s o n 代数的子代数、理想、中心、完备、表示、同态、导子和半直积。 我们首先介绍n o v i k o v 代数和n o v i k o v - p o is s o n 代数的定义。 定义2 1 向量空间彳上定义了一种运算“o ”，满足： ( x oy 、oz = ( x oz 、o y 0 0 力o z 一t o 抄。力= 抄。力o z y o ( x o 力 其中z ，少，z 彳。则称彳为n o v ik o v 代数( n o vik o va ig e b r a ) ，记为( 4 。) ( 见 文献i s 9 ) 。 定义2 2 向量空间彳上定义两种运算“”和“。 ，使得( 4 ) 成为一个交 换结合代数，( 4 。) 成为一个n o v i k o v 代数，并且满足相容性条件： ( z 力o z = z 杪。力 ( x o 力z - - x o 抄力= 杪。力z - - y o ( z 力 其中z ，少，z 彳。则称彳为n o v i k o v p o i s s o n 代数( n o v i k o v p o i s s o na l g e b r a ) ， 记为( 4 ，。) ( 见文献 8 9 ) 。 下面给出两个n o v i k o v - p o i s s o n 代数的例子，例1 说明了我们可以从交换结 合代数出发来构造n o v i k o v p o i s s o n 代数。 例1 ：设( 4 ) 是一个交换结合代数，d 是它的一个导子。在彳上定义乘法运算 为口木彦= 口d b ，则( 4 ， ) 是n o v i k o v p o i s s o n 代数( 见文献 8 ) 。 由定义的这种乘法运算可以证得( 4 木) 是n o v i k o v 代数，这一n o v i k o v 代数的 东北师范大学硕士学位论文 结构最初是由s g e l f a n d 给出的。关于( 4 ，牛) 是n o v i k o v p o i s s o n 代数的证明， 徐晓平已经给出。 例2 ：设尸是一个域，其特征为零。彳= 研卅是z 的一元多项式的集合，“” 是通常的乘法，定义运算“o 如下： og = 厂冬 其中厂，ge 乱 a 岩 可以验证( z ，。) 构成一个n o v i k o v p o is s o n 代数( 见文献 8 ) 。 设( 4 ，。) 是一个n o v i k o v p o is s o n 代数。是彳的一个，一子空间，并且对于 彳中的运算“”和“o 封闭，也就是说，i c _ i ，i o i c _ ，则称是彳的子 代数( s u b a ig e b r a ) 。显然，也是n o v i k o v - p o i s s o n 代数。如果是彳的子代数， 并有下列关系成立：i a c _ i ，i o a c _ i ( 相应地，a i ，a o l c ) ，那么， 就叫做彳的左( 右) 理想( l e f t ( rig h t ) id e a1 ) 。如果既是彳的左理想，也 是彳的右理想，即i 彳i ，i 。d c _ i ，彳i c i ，a 。四条都满足，那么 叫做彳的双边理想( 2 一s i d e di d e a l ) 是彳的双边理想，那么商空间钐就是由 彳中的运算诱导出的n o v i k o v - p o i s s o n 代数。 定义2 3 设和都是( z ，。) 的双边理想。和的交换子理想( c o m m u t a t o r id e a i ) o j 是和的双边理想， i o j = 心 ， t ，i o ；，j o i i ej ，je 确 ( 在这里，我们引入了新的记号“o ”) 。 由定义，我们可以很容易的得到o 冬n 。 特别地，当，= j r = 彳时， 定义2 4 我们将彳。彳= ( 口历口。易ia , b 4 ) ，称为( 4 ，。) 的导代数( d e ri v e d a i g e b r a ) 。若彳= 彳。彳，则称彳是完备的( p e r f e c t ) 下面，我们定义n o v i k o v - p o i s s o n 代数的中心。 定义2 5 将旅句= ( 口彳l 口乃= 易口= 0 ，口。易= b oa = 0 ，v 6 4 ) 定义为 n o v i k o v p o i s s o n 代数( 4 ，。) 的中心( c e n t e r ) 。 东北师范大学硕士学位论文 很显然，( 4 ，。) 的中心以句是它的双边理想。如果n o v i k o v p o i s s o n 代数 ( z ，。) 满足条件a 彳= 0 = a 。a ，就称( z ，。) 为交换的( a b e i - a n ) 。那么，一个 n o v i k o v p o i s s o n 代数( 4 ，。) 是交换的当且仅当彳= 以句。 定义2 6 令( z ，。) 是一个n o v i k o v p o i s s o n 代数，( 4 ，。) 上的表示 ( r e p r e s e n t a tio n ) 是彳上的双模带有两个线性映射： 一。一：a 吣mj m昶一。一：m 园a jm 口q m 卜专a omm 固口i - 9m o 口 并且满足下面的等式： ( 口功o b = 口( t o o 功- i - ( 口。功m ( 口功。历= 口( b o 功+ ( a o 功b 其中a , b ea ，历1 1 t 。 因为( 4 ，。) 中的( 4 - ) 是交换结合代数，就有口乃= 易口成立。如果彳是有单位 元1 的代数，对于v 历，有1 所= 所= 所1 ，则称肜是彳上的有单位元的双模 ( u n i t a lb i m o d u l e ) 。 令( 句是由生成元乞，九，p d 以及它们满足的等式关系来定义的交换 代数，其中岛勿g d ea ，并且满足的等式是： 乞。= 乞，名占= 乞，乞= 乞，九。= 丸+ 乞九， p 6 r 4 = r ；pb 七0 。c ，pb i ，= l 。p bj r | 。c o 于是有下面的引理成立： 引理2 1 令( 4 ，。) 是一个n o v i k o v p o i s s o n 代数，那么彳上表示的范畴同构 于左咖( 句一模的范畴。 证明我们只要建立从表示到模的函子即可， 设肜是彳的一个表示，令 乞( 功= 口m ，乞( 功= 朋口，九( 功= a o m ，p 。( 砌= m o ， 于是，很容易证明此函子是范畴间的同构。口 5 东北师范大学硕士学位论文 定义2 7彳是n o v i k o v - p o i s s o n 代数，肜是彳上的一个表示，设从彳到 的尸一线性映射：彳j ，满足对于v a , b a 都有： 放圆= 级力易+ a 以功 ， 敌o 功= 以力o b + a o 以功， 则称为彳到的导子( d e ri v a t i o n ) 。 记b e t ( a , m 是所有从彳到的导子构成的尸一向量空间，即 历以4 = d e 删4 ld ( a a ) = 放力乃+ a d ( b ) ，v a , b e4 。 下面我们给出n o v i k o v p o i s s o n 代数间的同态的定义， 定义2 8 设彳和刀都是域尸上的n o v i k o v - p o i s s o n 代数，从彳到彦的同态 ( h o m o m o p h i s m ) 是线性映射删4 切，满足 以口国= 以力以功 ， ( 口。功= ( 功o ( 功 ，v a , 彦a 。 于是，n o v i k o v - p o i s s o n 代数的范畴就是由域，上的n o v i k o v - p o i s s o n 代数及 其同态构成的，记为n p a 。另外，同态是单射时称为单同态，是满射时称为满同 态，同态既是单的也是满的即成为同构。当线性映射是变换，并且为同构时， 则称为自同构( a u t o m o r p h i s m ) 。我们用彳硝句表示彳的自同构群。 定义2 9 设( 4 ，。) 是一个n o v i k o v p o i s s o n 代数，是彳上的表示，在向 量空间oa 上定义运算“和“o ”： ( 弼，q ) ( ，呸) = ( q 锡+ 搦a 2 ，研呸) ， ( 弼，q ) 。( ，呸) = ( qo + 弼。呸，q 。呸) ， v q ，吃a ，v ，锡肜， 我们将( o4 ，。) = m x 。a 定义为半直积( s e m idir e c tp r o d u c t ) 以下，我们验证( 肜o4 ，。) 是n o v i k o v p o i s s o n 代数。 肜。彳是一个向量空间，两种运算“和“o ”如上述定义。只要证得 ( m ea , ) 是交换结合代数，( 肜o4 。) 是n o v i k o v 代数，并且满足两条相容性条件 即可。 6 东北师范大学硕士学位论文 v 呸，a 2 ，吗彳，v 惕，m 2 ，m 3 ， ( ( 弼，q ) 魄，呸) ) 忆，a 3 ) = ( q 。锡+ 弼呸，q 呸) ( 伤，吗) = ( ( q a 2 ) 伤+ ( q + 仍。呸) 吗，( q 。呸) 码) = ( q a 2 伤+ q 伤q + 惕呸a 3 ，q a 2 色) ( m l ，q ) 。( 慨，吃) ( 伤，a 3 ) ) = ( ，q ) ( a 2 m 3 + m 2 a 3 ，a 2 呸) = ( q ( 呸伤+ 锡弓) + 仍( 呸吗) ，q ( 呸色) ) = ( q a 2 伤+ q 锡弓+ 仍呸吗，q 。呸吗) 即( ( 惕，q ) ，呸) ) ( 伤，a 3 ) = ( 伪，q ) ( ( 锡，a 2 ) ( 伤，吗) ) ， 于是0 彳是结合代数， 下证交换性， ( 惕，q ) 魄，a 2 ) = ( q m 2 + 弼吃，q 吃) ， ( m 2 ，呸) ( 弼，q ) = ( a 2 弼+ m 2 q ，a 2 q ) ， 由于( 4 ) 是交换结合代数，是彳上的表示， 于是( 弼，q ) ( m 2 ，a 2 ) = ( m 2 ，呸) ( 惕，q ) ， 故( 肜oz ) 是交换结合代数。 ( ( 弼，q ) 。( 锡，哆) ) 。( 伤，色) = ( q 。m 2 + 弼。a 2 ，q 。呸) 。( 伤，吗) = ( ( qo 呸) 。m 3 + ( q 。m 2 + 弼。呸) o 色，( qo 呸) o 码) = ( ( qo 呸) om 3 + ( qo ) o 吗+ ( 仍。呸) 。吩，( qo 呸) 。弓) ( ( 弼，q ) o ( m 3 ，色) ) 。( ，呸) = ( qo 伤+ 弼。吗，qo 吗) 。( 锡，呸) = ( ( q 。吗) 。m 2 + ( qo 伤+ 弼。吗) o 呸，( qo 吗) 0 , 8 ) = ( ( q 。吗) 。m 2 + ( q 。惕) 。a 2 + ( 弼。吗) 。呸，( q 。吗) 。呸) 7 东北师范大学硕士学位论文 = ( ( qo 呸) 。伤+ ( q 。伤) 。呸+ ( 仍。呸) o 吗，( qo 呸) 。岛) 由于( z 。) 是n o v i k o v 代数，肜是彳上的表示，则有 ( ( 惕，q ) 。( m 2 ，呸) ) 。( 伤，a 3 ) = ( ( 弼，q ) 。( 伤，吗) ) 。( m 2 ，a 2 ) ， 同理可以证明 ( ( 畅，6 ) o ( m 2 ，呸) ) 。( ，呸) 一( 磁，呸) o ( ( ，a 2 ) 。( 伤，a 3 ) ) = ( ( ，a 2 ) o ( 弼，q ) ) 。( m 3 ，a 3 ) 一( ，a 2 ) o ( ( 嘲，q ) o ( ，色) ) ； 从而( 肜o1 4 , 。) 是n o v i k o v 代数。 同理证得满足相容性条件，因此( o4 ，。) 是n o v i k o v p o i s s o n 代数。 8 东北师范大学硕士学位论文 第三章n o vik o v - p ois s o n 代数的泛中心扩张 为了研究n o v i k o v - p o i s s o n 代数的泛中心扩张，我们首先给出扩张和中心扩 张的定义及其相关的性质和引理。 定义3 1 设彳是n o v i k o v - p o i s s o n 代数，我们将彳的扩张( e x t e n s i o n ) 定 义为一个短正合列 oj 彪r - 专房三专彳一0( 1 ) 其中，肜和刀都是n o v i k o v - p o i s s o n 代数，是单同态，丌是满同态，并且有 反蚴= = i m i = k e r n 。 定义3 2设彳是一个n o v i k o v - p o i s s o n 代数，如果彳的扩张( 1 ) ，满足 v 刀肜，有4 m ) 攻功= 0 = 反动。4 n ) 成立，则称此扩张为彳的可交换的扩张 ( a b e i j a ne x t e n s i o n ) 。 在这种情况下，存在着彳上唯一的表示肜，使得对于v b e 彦，v m e 肜有 坟兀( 国功= b 4 m ) ，4 m 7 r ( 国) = 式功b ， 攻万( 功o r e ) = b o o m ) ，4 m o b ( b ) ) = 攻功o b 。 定义3 3 设彳是一个n o v i k o v p o i s s o n 代数，彳的扩张 0jm b 与a 0 。 如果互以句，即，肜彦= 0 = 彦肜，。b = o = 曰。肜，那么称此扩张为中心 扩张( c e n t r a le x t e n s i o n ) 。如果还有彦是完备的，即刀= 彦。彦，则称此扩张为 覆盖( c o v e r i n g ) 。 定义3 4 设n o v i k o v - p o is s o n 代数彳的两个扩张分别为 0jm o8 山a jq 昶0j 凇山8 与a j 0 若存在n o v i k o v p o i s s o n 代数的同态占：彦一，使得万= 万分，换句话说就是图表 可交换 9 东北师范大学硕士学位论文 b j 专8 。上 彳 则称占为扩张的同态( h o m 伽o r p h i 鲫) 。 因此，有( 1 ) k e r gc _ 箩一1 ( k e r z7 ) = k e r z 和( 2 ) = 反句十傲珊7 成立。 事实上， ( 1 ) 蜥k e r g b ，有反力= 0 ，万以力) = 万占( 力= 7 r ( 力= 0 ， 于是，z k e r z ，故k e r g c _ 胁， 比成糯，有万( 力= 0 = 万反力= 万( 反力) ， 贝0 反力k e r r ，即，z g - 1 ( k e r z7 ) ，因此，k e r zc _ g - 1 ( k e r z ) ； 地g - 1 ( k e r 兀7 ) ，有反力k e r z 7 ，丌7 ( 双曲) = 0 = 7 c 反力= 巧( 力， 石救豫，因此，矿1 ( k e r z7 ) k e r z ； 所以k e r g c _ 箩q ( k e r z7 ) = 形珊成立。 ( 2 ) 因为7 r7 是满同态，我们有石7 ( ) = 彳= 万( 功= 石反句= 万7 ( 反句) 成立， 万( 一“功) = 0 一反历k e r z ， 从而= 反功+ k e r r 得证。 彳的扩张( 1 ) 称为是可分的( 8 p ii t ) ，如果存在一个n o v i k o v p o i s s o n 代数 的同态乃：彳j 彦，使得z h = 谚，此时称同态h 为可分同态( s p l i t t i n g h o m o m o r p h sim ) 。 对于一个n o v i k o v p o i s s o n 代数( 4 ，。) 和彳一表示m ，按照通常的方法，存在 一个交换扩张0j 肜与肜。彳与彳一0 ； 设仃：彳jm x 。彳：口h ( o ，力使得扩张成为可分的，而且射影映射 矿：肜a 彳寸肜：( 所，力一所包含在d e r ( a , m ) 中，即矿d e r ( a , m ) 。 引理3 1设( 4 ，。) 是一个n o v i k o v p o i s s o n 代数，是彳上的表示，那么 1 0 东北师范大学硕士学位论文 存在着从厶以4 到( 万：m x 。彳j 彳) 的卜l 对应( c o r r e s p o n d e n c e ) 。 证明引理前面的内容已经说明了有一个万就有一个符合条件的 d ed e r ( x , m 与之对应； 下面只要证得d eo e r ( d , m ) 有符合条件的万与之对应即可， v a , b a 。v m , 稳m ， d ( a 功= 级力易+ a 以功，a ( a o 功= 以力o b + a o 敞功， 设万( 功= a ，利用定义2 9 ，有 万( ( 钐力( 印) = 7 r p 刀+ 所勿口功= a b e 彳， 万( ( 力o ( 殇易) ) = z ( a o n + m o b , a o 功= a o b 彳， 从而，有这样的万与之对应。口 以下三个引理是一般代数都会具有的经典结论， 引理3 2 设0o 肜o 刀与彳j0 是彳的一个中心扩张， 如果万( 力= 万( 曲，刀( 力= 万( ) ，那么z 少= ，z 。少= 。； 如果占和都是从某个n o v i k o v p o i s s o n 代数f 到彦的同态，使得 z g = 万，那么，占l c o c = i c * c o 证明 0 一肜o 彦山彳j0 是中心扩张，有肜级甸， 即彦= 0 = 彦，m o 曰= 0 = b o ， v x , y , x 7 ，m c _ 级印互b ，万( 力= 万( ，万( 力= 巧( 力， 则万( z 一) = 0j z 一k e r z ，3 zk e r z ，使得z = + z ， 同理，3 z k e r z ，使得少= + 7 ， z 少= ( + 力c + 7 ) = + 7 + z + z 7 = ， z 。少= ( ，+ z ) o + 力= 。+ j 。z + z o + z o z = g o ； 东北师范大学硕士学位论文 少c ，由己知丌占= 万，有： 7 r 占( 力= 万( 箩( 力) = 丌( 力= 万( ( 力) ，万占= j r ( g c v ) ) = 万= 万) ， 由的结论，有反力占= ( 力，反力。甙力= ( 力。， 占和是n o v i k o v p o i s s o n 代数的同态，于是， g ( x 力= ( z 力，烈z o 力= d ( x o 力； 由于五少f 的任意性，因此有g l c o c 一- - - l o o c 。口 特别地，有下面的引理： 引理3 3 设0 一肜与方与彳j 0 是么的一个覆盖，如果存在一个 n o v i k o v p o i s s o n 代数的同态：彦一c ，使得0 - - ) m o d 一彳兮o 成为一个 中心扩张，且f = 万，那么是唯一的。 证明假设还有一满足条件的同态，使得f = 万， 由引理3 2 有2 1 加口= fi 口。占成立，而已知0 肜o 彦与彳jo 是彳的 覆盖，有彦完备，彦= b 。彦，所以i 彦= i 曰，即= ，故唯一。口 引理3 4 设0 一肜o 彦与彳_ o 是完备n o v i k o v - p o i s s o n 代数彳的一 个中心扩张，则有： ( a ) b = b o 修+ k e r 万； ( b ) 0 专膨二。刀o 伊j 彳0 0 是一个覆盖； 级句= 万。1 ( 以句) 和万( 级句) = 级句。 证明 ( a ) 万( 仞= 彳= 彳。彳= 巧( 句。z r ( 句= 尼( 彦。句，因此彦= b 。b + k e # 。 ( b ) 由( a ) 有万( 彦。功= 7 r ( 仞= 彳，v x em _ c 以切，b 。彦是彦的理想， 即b o 曰b ， v y z , y o z 刀o b ，其中y , z eb ， 东北师范大学硕士学位论文 z 杪。力= ( z 力。z = 0 ，则z 功= 0 = ( b 功z ， z 。力= ( z 力。z = 0 ，则z ( 彦。句= 0 = ( b 。句z ， 于是z ( 曰。句= o = ( 刀o 句- z ； 下面往证x o ( b 。功= 0 = ( b 。句。z 。 由( x o 力z - - x o 杪力= 沙。力z - - y o o 力， 有z 。力= 。力z 一抄。力z + y op 力= 0 ， 同理，沙力。z = 0 ， 故z 。( b 仞= 0 = ( b 仞。z 。 由( x o 力o z - - x 。涉。- 7 ) = 涉。曲o z - y 。( z 。力， 有z o ( 少。力= ( z 。力oz 一抄。力oz + y o ( z 。力= 0 ， 同理，杪。力oz = 0 ， 故z o ( 彦。句= 0 = ( 刀。句。z ； 因此j 及b o s ) ，从而以b o 功。 所以，此扩张为中心扩张。 最后，我们证明b o b 是完备的。 利用( a ) 的结论曰= b o 刀+ k e r x ， b o b = ( 刀o b + k e r 兀) o ( b o b + k e r x ) = ( b o 句o ( s o 句+ ( 方o 句o 屉啊+ k e r 7 r ( b 。功 = ( 刀o 功o ( s o 功； 综上，此扩张为覆盖。 刀是满射，只要证出级仞= 丌- 1 ( 以句) ，两边作用万即可证得 万( 反仞) = 盈句。于是，我们先证明： 对于比层z 万一1 棚) z o 刀屉啊，b o xc k e r 7 r ； 1 3 东北师范大学硕士学位论文 事实上， “j 协刀- 1 ( 级句) 有7 r ( 力及句，即7 r ( 力。彳= 彳o 万( 力= 0 ； 由已知，万( 句= 彳，则 万( 力o 万( 句= 巧( 历o 须力= 板z o 句= 积彦o x ) = o ， 于是z o b c _ k e r m ，b o x c _ k e r m 。 “仁z 。b c _ k e r r 有丌( z 。句= 0 = 万( 力0 7 r ( 功= 7 r ( 力o 彳， 锣。z k e r r 有7 r ( 刀。力= 0 = 万( 句。7 r ( 力= 彳。万( 力， 于是万( 力以句，即r e 万一( 级句) 。 有了上面的结论，我们来证明级功= 万- 1 ( 级句) ， 协么句，有z 。刀= b 。x - - - - 0 ，则万( z 。功= 万( 彦。力= 0 ， 故z 。彦丘瓤，b o ：c k e r r ，由上面的结论有：z 石_ 1 ( 反勘 即级句兀- 1 ( 以句) ； 下证万。1 ( 以句) 么功。 比石q ( 级句) b ，由上面的结论有：z o b c _ k e r r ，b o x c _ k e r r ， 又由( a ) 有： x o b = x o ( b - o b + k e r # ) = x o ( b - o b 、七x o k e r 万= x - q 、b o 砼， z 刀= z ( 刀o 句= ( 工句o b = 0 ， 同理，x o 刀= x o ( 彦句= ( x o 句刀一( 刀。力刀+ b o ( z 功= 0 ， t o 彦= x o ( b o 历= 0 ， 于是z 。彦= 0 = b 。z ，即z 承功，故巧- 1 ( 以力) 以国。 综上，级句= 7 r 一( 及句) 。口 推论3 - 5 设( 4 ，。) 是任意一个n 。v i k o v - p 。i s s 。n 代数，如果乡幺句是完备 的，则以殇句) = o 。 东北师范大学硕士学位论文 证明令。一汕彳_ 殇句jo 是勉句的中心扩张，并且已知 殇句是完备的，由引理3 4 ，有巧( 级句) = 以殇句) ； 要证以勉4 ) = o ，即证万( 级句) = o ，且p k e r g = 级句， 蜥丘瓤，有丌( 力= 西= z + 以4jz 识句， 于是k e r x 以句； 比识句，有z + 承力= 石= 万( 力jz t c e r 兀， 于是级句膨历。口 特别地，对于完备的n 。v i k 。v p 。i s s 。n 代数( 4 ，。) ，乡幺句是最小的中心商 ( c e n t r a lq u o tie n t ) 。 性质3 6 设彦和e 都是域尸上的n o v i k o v - p o is s o n 代数，在c xb 上有两种 运算“，。”，满足：v 乞c ，v 匆b ，= 1 ，2 ， ( q ，磊) ( 乞，龟) = ( q 乞，刍么) ( q ，白) 。( 乞，之) = ( q 。乞，4 。之) 使得( c x 层，。) 成为一个n o v i k o v p o i s s o n 代数。 引理3 7 拉回引理( p u i i b a c kl e m m a ) 设：f j 彳是一个n o v i k o v p o i s s o n 代数的同态，假设 是一个中心扩张，那么， 0jm - b 与a j0 尸= 心功c x b i ( 力= 万( 功 是一个n o v i k o v p o i s s o n 代数( 即是直积 叙刀的子代数) ，并且彤：尸专f ：( g 功hf 是一个中心扩张； 扩张彤：尸jf 唯一可分当且仅当存在唯一一个n o v i k o v p o i s s o n 代数的 同态乃：f 寸刀使得z h = f 。 证明 要证尸是n o v i k o v - p o i s s o n 代数，即证尸是c xb 的子代数。 1 5 东北师范大学硕士学位论文 由性质3 6 有c x b 是n o v i k o v - p o i s s o n 代数，尸c x b 显然， 下面验证运算封闭： v ( 岛彩，( ，) 尸，由定义，( 0 = 刀( 功，( 力= 丌( ) ， 又心功( ，) = ( f ，b ) ，以f ) = 以力- 以力= 7 r ( 国7 r ( 力= 万( 彦约， 故( c c 7 ，b b ) 尸，同理( c o ，b o b 7 ) 尸； 要证彤：尸一f 是中心扩张，只要硝( 乃= c 及k e r ( p 巧) 互及乃。 由于硝：尸一f 是投影，即为满同态； 下证k e r ( p r l ) 以乃， v ( g 功k e r ( p r l ) 尸，有研( g 国= c = o ， 由( 岛国尸有以力= 万( 功= i ( o ) = 0 ，即b ek e r z 互级句， 对于v ( d ，) 尸，( ) = r c ( b ) ，有 ( 0 ，功( ，) = ( 0 ，b ) = ( o ，0 ) ， ( 0 ，功。( ，) = ( 0 。，b 。) = ( o ，0 ) ， 则( o ，国么乃，即z e r ( p r l ) 互以乃。 “仁 要证肼：尸一f 是唯一可分的，即证存在同态j ：f j 尸，使得 ， p r o s 2 搬c 令：c 。尸满足v c c ，文功= ( g 钗力) 尸， 首先验证j 定义的合理性：八0 = 兀( 履力) = 兀反刁= 以0 ，于是合理； 下证j 是n o v i k o v - p o i s s o n 代数的同态， j 崩坝e 乃，并且 s ( c ) = ( c ，版f ) ) = ( c ，玖力以) ) = ( 岛履0 ) ( ，履) ) = “力文) ， 同理s ( c o ) = “力o4 d ) ； 对于v cc ，有- p r , s ( c ) = 硝( “0 ) = 肼( g 履0 ) = f = 磁( 0 ，因此彤= 磁。 “j ”令乃：f b ，h = p r 2 s ，显然乃是同态， 16 东北师范大学硕士学位论文 设“0 = ( 惕功尸，有( 所) = 万( 功， 心以力) = 心腭“力) = ( 岛胱( 惕功) = ( g 刀) ，于是履0