（生物物理学专业论文）随机矩阵理论提取复杂网络谱特征.pdf

摘要 近几年来，大量关于复杂网络的文章发表在s c i e n c e ，n a t u r e ，p r l ，p n a s 等困际一流刊物上，从一个侧面反映了复杂网络已经成为物理界的一个新兴的研 究热点。深入理解网络拓扑结构对于在网络上发生的各种物理过程的影响是研究 复杂网络的最终目标。本文采用随机矩阵理论，分析了复杂网络谱的特征，考查 了复杂网络的混沌性质。 本文首先给出了复杂网络研究的一个综述，包括复杂网络的定义、网络结构 特征的拓扑描述、网络模型、网络构建规则及其网络动力学方面的基本知识和目 前研究水平。然后介绍了能谱统计方法和随机矩阵理论，并将能谱和能级间隔分 布等概念引入复杂网络的研究之中。接着通过模拟计算得到了e r d 3 s - r 6 n y i 网 络，s m a l 卜w o r l d 网络和g r n 网络三类复杂网络的能谱，分析了不同连接几率下 的这三类网络的能级间隔分布规律。结果表明b r o d y 分布能够非常准确的描述 这些网络的能级间隔分布。e r d 6 s r d n y i 网络在连接几率小于等于临界几率时处 于规则状态，在连接几率大于临界几率时，处于混沌状态。s m a l l w o r l d 网络在 连接几率为 0 0 ，0 1 区问时由规则状态迅速变成混沌状态，在连接几率为 0 1 ，1 0 区间时保持混沌状态。g r n 网络在不同的连接几率下则一直处于混沌 状态。文中最后提出了用b r o d y 分布中的两个参数对复杂网络进行分类的方法。 本文的工作有助于寻找统一的特征量来描述复杂网络，同时为复杂网络的分 类提供新的依据，为复杂网络上信号传输特性研究奠定基础。 态 关键词：随机矩阵理论，复杂网络谱，能级间隔分布，b r o d y 分布，混沌状 a 器s t r a c t i n s p i r e db ye m p i r i c a ls t u d i e so fc o m p l e xn e t w o r k ss u c ha st h ei n t e m e t ，s o c i a l n e t w o r k s ，a n db i o l o g i c a ln e t w o r k s ，r e s e a r c h e r sh a v ei nr e c e n ty e a r sd e v e l o p e da v a r i e t yo ft e c h n i q u e sa n dm o d e l st ou n d e r s t a n do rp r e d i c tt h eb e h a v i o ro ft h e s e s y s t e m s h o wt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r e sa f f e c tt h ep r o c e s s e st a k i n gp l a c eo nn e t w o r k s b e c o m e st h ef i n a la i mi nn e t w o r kr e s e a r c h i nt h i sp a p e r , t h er a n d o mm a t r i xt h e o r yi s e m p l o y e dt oo b t a i ns p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i c so f t h r e e k i n d so f c o m p l e xn e t w o r km o d e l s f i r s tw er e v i e wd e v e l o p m e n t si nc o m p l e xn e t w o r k s ，i n c l u d i n gs u c hc o n c e p t sa s d e g r e ed i s t r i b u t i o n s ，c l u s t e r i n g ，n e t w o r kc o r r e l a t i o n s ，s m a l l w o r l dm o d e l s ，a n d m o d e l so fr a n d o mg r o w t h ，d y n a m i c a lp r o c e s st a k i n gp l a c eo nn e t w o r k s ，a n dt h e a p p l i c a t i o nt ot h eb i o l o g i c a lf i e l d s t h e nw ei n t r o d u c es t a t i s t i c a lt h e o r yo ne n e r g y s p e c t r aa n dr a n d o mm a t r i xt h e o r y t h i r dw es t u d yt h en e a r e s tn e i g h b o rl e v e ls p a c i n g d i s t r i b u t i o n so ft h es p e c t r ao fe r d 6 s r d n y in e t w o r k s ，s m a l l w o r l dn e t w o r k sa n d g r o w i n gr a n d o m l yn e t w o r k s t h em a t h e m a t i c a lr e s u l t ss h o wt h a tb r o d yd i s t r i b u t i o n c a nd e s c r i b et h e s ed i s t r i b u t i o n se x a c t l y t h ee r d 巷s r 6 n y in e t w o r k sa r ei nt h es t a t eo f o r d e rw h e nw i r i n gp r o b a b i l i t yi se q u a lo rl e s st h a nac e r t a i nc r i t i c a lp r o b a b i l i t y , w h i l e i nt h es t a t eo fc h a o sw h e nw i r i n gp r o b a b i l i t yi sm o r et h a nt h i sp r o b a b i l i t y f o r s m a l l w o r l dn e t w o r k s ，t h e i rs t a t e se v o l v e sf r o mo r d e rt oc h a o sr a p i d l yi nt h er e g i o n 【0 0 ，0 1 】o f t h er e w i r i n gp r o b a b i l i t y , a n dt h e nk e e p sc h a o t i cu pi nt h er e g i o n 【o 1 ，1 o 】 f o rg r o w i n gr a n d o m l yn e t w o r k s ，t h e ya l w a y sd e v i a t ef r o mt h es t a t eo fo r d e r a tl a s t w eu s et w op a r a m e t e r si nb r o d yd i s t r i b u t i o na n dp u tf o r w a r dam e t h o dt oe l a s s i f y c o m p l e xn e t w o r k s t h ew o r ki nt h i sp a p e rw i l lh e l pt ol o o kf o rn e wp r o p e r t yf o rt h ed e s c r i p t i o no f c o m p l e xn e t w o r k s ，a n dt ol a i dt h eg r o u n d w o r kf o rt h er e s e a r c ho ft r a n s m i s s i o no f s i g n a l so nc o m p l e xn e t w o r k s ， k e yw o r d s ：r a n d o mm a t r i xt h e o r y , s p e c t r ao fc o m p l e xn e t w o r k s ，t h en e a r e s t n e i g h b o r l e v e ls p a c i n gd i s t r i b u t i o n ，b r o d yd i s t r i b u t i o n , c h a o s 南开大学学位论文漂创性声明 本人郑重声明：赝呈交豹学位论文，是本人在导蛹指导下，避行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作豹、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任豳本人承担。 学位论文作者签名：多k 伟 x 。5 辱占鹞害疆 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了鳃南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫撒、数字化或其它手段保存论文；学校有权提彳共酱录检索以及提 蓝 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权梭有关规定向国家有 关郝门或者枧梅送交论文麓复印侔和电子叛；在不以赢稠为麓戆的蔻 提下，学校可以适当复制论文的部分成全部内容用于学术活渤。 学位论文作者签名：墨是书 姻5 年期2 箩日 经指导教师同意，本学位论文属予保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名；学使论文作者签名： 解镪时闻：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 内郝5 年( 最长5 年，霹少予5 年 秘密1 0 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 第一章绪论 上世纪兴起的复杂性科学及其复杂性研究，在本世纪初已经引起了国内外众 多学港的普遍关注霸重视，强前正以锐不可当之势向若物理科学、生命科学、信 息科举和社会科学等领域遂彳亍交叉和融合。从牛顿力学闷邂以来，还藤论静研究 方法主宰了现代科学相当长时间，该方法把系统分解成多个基本单元，认为各个 基本肇元豹行为及獒穗互干# 周遵从普遍丽麓单的自然法则。虽然该方法已经取得 了巨大的成功，憾建闷时也存在缀大的局限住，因为它仅仅适用子“简单系统”。 大量客观事实和科学论证表明：不能用还原论的方法来处理自然界中大造存在的 “复杂系统”，不能瘸基本攀元豹个钵性质柬预测“复杂系统”的整体簿为。随 着2 0 世纪科学的发展，关于笺杂性科学的研究取得了很大酶避步，识它的奥秘 还远近没有被揭开，如当代鼹富有影n 向力的科学家史蒂芬霍金( s t e p h e n h a w k i n g ) 辑言：2 l 世纪凌是复杂性科学的爨纪 1 。 复杂网络( c o m p l e xn e t w o r k s ) 的理论研究始于2 0 落筑6 0 年代，以蓉名数学 家e r d s s 和r 6 n yj 提出的随机网络模型( e r d 6 s - r 6 n y i 网络模型) 为标志 2 。在 此屡透4 0 年中，该模型一鸯楚谚究复杂穗终的基本模爨。1 9 9 8 年，w a t t s 积 s t r o g a t z 在n a t u r e 杂志，h 提出了小世器阕络模型( s m a l 卜w o r l dn e t w o r k s ) ， 用以描述从规则网络到随机网络的转变 3 ，4 。1 9 9 9 年，a l b e r t 和b a r a b d s i 予 s c i e n c e 上撬出了无栎痰嬲终模型( s e a l e f r e en e t w o r k s ) ，蠲以搓述度分 布其有幂律形式的复杂网络 5 。这两个网络模型可以很好地描述大疑的实际复 杂网络，从而突破了多年来的e r d g sr 6 n y i 网络模型，开创了复杂网络研究的新 纪元。此后熬秘学工 筝者媚继掇爨墨秘各褥鹣溺终模型，并基磷究了这些鼹终静 性质，特别是网络的拓扑结构和动力学方面的性质。但目前复杂网络的研究水平， 如a l b e r t ，b a r a b d s i 所指出：迄今为【e 的研究只是尝到w 一杯冰淇淋的尖端而 已】。 复杂网络之所以复杂，主爱由于下面六个方面的原圜 4 ： ( 1 ) 网络结构引起的复杂性：网络各节点之问的连线可能很复杂。 ( 2 ) 瓣终演曩二辱| 起夔复杂戆：瓣络各节点之阉酶连线爵缝斧夔辩藏交 乞，翻翔 互联网中网页链拔随时产生和消失。 ( 3 ) 网络节点之间连接性质不同引起的复杂性：网络中备节点问的连接可能有 不同的权重、方向。例如神经网络中神经元问的连接有强有弱，有兴奋性有抑制 性的。 ( 4 ) 网络动力学复杂性：网络节点组成的系统可能是非线性系统，其状态会以 复杂的方式随时间改变。 ( 5 ) 网络节点之间性质的不同引起的复杂性：一个网络可能具有各种各样的节 点，彼此之间会有很大的不同。例如哺乳动物体内控制细胞分裂的生化网络就由 大量不同的酶和酶作用物构成。 ( 6 ) 以上五方面共同作用引起的复杂性：上面五种复杂性还可能彼此相互影 响，共同作用。比如电力网的布线会随着时间而变化，这就是网络演化影响了网 络拓扑结构。 最近，复杂网络研究从以往的研究单个图或图中的某些节点和边的性质转移 到研究大规模节点的图的统计性质。首先，随着计算机和通讯技术的发展，在大 规模上收集分析数据成为了现实。以前的研究中，网络的节点数目一般在几十个， 多的也仅在百个的量级上，而现在的研究中，网络的节点数目可以从几万到几亿。 这种规模的变化要求我们在分析方法上必须做出相应的调整。以前小型网络研究 中提出的问题在现在的大型网络研究中不一定有意义。例如，以前的复杂网络研 究者可能会考虑：“哪个节点对网络连接是重要的? ”但这个问题在目前的由百 万个节点组成的网络研究中就变得毫无意义，在大型网络中某一个节点的去除不 会对整个网络产生很大的影响。而“当去除多大比例的节点才能对以特定方式连 接的大型网络产生实质性影响? ”，这个问题在大型网络研究中却有实际意义。 其次，对于以前由几百个节点组成的网络，用点和线来描述该网络的拓扑结构图， 并通过对图形的观察来回答关于网络的问题是一件相对容易的事情，但是对于现 在由上百万个节点组成的网络，这种解决问题的方法几乎行不通。基于上面提到 的两点原因，目前复杂网络的研究已经开始转向统计分析方法。这种方法，以下 面三个方面作为它研究的基本问题： ( 1 ) 发现新的统计特征量来描述复杂网络，以及提供新的方法来测量这些特征 量。 ( 2 ) 建立网络模型来帮助理解网络特征量的含义，即网络的形成过程及相互作 用规律。 ( 3 ) 基于网络的结构性质预测网络的行为。例如，互联网结构是怎样影响其中 的信息传递。 关于网络特征量和网络模型两个方面目前已经有了很好的开端，关于网络结 构对网络系统的影响仍处于起初阶段，但它是复杂网络研究中最为关键的待发展 的理论。 本文为了寻找新的描述复杂网络的统计特征量，以随机矩阵理论为依据，计 算了e r d 6 s r 6 n y i 网络，s m a l l w o r l d 网络和g r n 网络的能级间隔分布，考查了 复杂网络的混沌行为。本文的工作为复杂网络分类方法和构建规则提供依据，为 复杂网络上信号传输特性的研究奠定基础。 第二章复杂网络 复杂网络可以用来描述自然界和社会中大量存在的复杂系统。复杂网络是一 个把大量个体与个体之间的相互作用直接抽象为节点和边的系统。例如，神经系 统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络 3 ，计算机网络可 以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接 形成的网络 7 。类似的还有电力网络 3 、社会关系网络 3 ，8 ，9 、食物链网络 1 0 等等。下面从复杂网络的拓扑结构描述、理论模型、构建规则、动力学研究 和在生命科学中的应用五个方面来介绍一下关于复杂网络的基本知识。 2 1 复杂网络的结构特征量 复杂网络结构特征描述是复杂网络研究的首要任务。结构特征量 6 ，1 1 是指 给定网络的微观量的统计分布或者宏观统计平均值。拓扑理论中的诸多概念，例 如度分布、聚类系数 1 2 ，最短路径、介数( b e t w e e n n e s s ) 1 3 等，用于对复杂 网络结构特征的描述。这些特征量的定义如下： 度分布：复杂网络中某个节点与其他节点直接相连的边的数目为该节点的 度。复杂网络的节点度的几率分布称为该网络的度分布。度分布表明在网络形成 过程中节点连接的优先性。 聚类系数：通过节点爿相连的所有节点中，彼此也相连，从而由三条边构成 的环形的数目记为n 。节点爿的度记为七。节点爿聚类系数可定义为： c 一2 2 。 。一1 ) 。该特征量反映了网络形成过程中，节点b 、c 通过节点 4 的“介绍”彼此也相互“认识”的倾向。 最短路径：两个节点由几条边相连，这些边定义为两节点之间的路径。其中 包含边的数目最少的路径称为两节点间的最短路径。整个网络上最短路径的平均 值就是整个网络的最短路径。 介数：某节点的介数定义为网络中经过该节点的所有最短路径的数量，它反 映了该节点的在网络中的影响力。 4 2 2 复杂网络模型 2 2 1 规则网络与e r d g s r d n y i 网络 规则网络是指具有平移对称性拓扑结构，任何一个节点的度都相同的网络， 例如一维链、二维正方晶格。e r d s s r d n y i 网络，又称随机网络。其构造方法是， 在由个顶点构成的图中，随机连接m 个节点即可。研究表明 4 ，规则网络具 有大的聚类系数和大的平均距离，e r d g s r 6 n y i 网络具有小的聚类系数a n d , 的平 均距离。这两类网络的度分布区间都很窄，集中在平均度周围。 2 2 2s m a 卜w o r d 网络 一类实际网络，比如电力网络 3 、计算机互联网 7 、科学家合作网络 1 4 和食物链网络 1 5 ，具有较大的聚类系数和较小的平均距离。大的聚类系数和小 的平均距离两个统计特征合在一起称为网络的小世界效应( s m a l l w o r l d e f f e c t ) 3 ，因此具有这种效应的网络被称之为小世界网络( s m a l 卜w o r l d n e t w o r k s ) 。1 9 9 8 年，w a t t s 和s t r o g a t z 通过以某个很小的概率p 切断规则网络 中每个节点的所有边，并重新连接，连接的新的端点从网络中的其他节点罩随机 选择，如果所选的节点已经与此节点相连，则再随机选择别的节点来重新连接， 从而构造出了一种介于规则网络和随机网络之间的网络( w s 网络) 3 。由于 它同时具有大的聚类系数和小的平均距离，所以既不能当作规则网络处理，也不 能被看作是随机网络。随后，n e w m a n 和w a t t s 给出了一种改进的构造方法，在 他们的网络( 形网络) 中，规则网络中原有的边并不被破坏，而是以一个很小 的概率在原来的网络上添加新的边 1 6 。这种模型能够很好地反映复杂网络的小 世界特征，称为s m a l l w o r l d 网络模型。s m a l lw o r d 网络的节点度分布区间非 常狭窄，几乎找不到偏离节点度平均值较大的节点。对于这样的网络，节点的度 平均值就可以看作是衡量网络的个特征标度。 图2 一ls m a l l - w o r l d 网络拓扑结构示意图 左边的网络是规则网络，右边的网络是随机网络。中间的网络是 在规则网络上加上一点随机的因素而形成的s m a l - w o r l d 网络，它同 时具有大的聚类系数和小的平均距离。 2 2 3s c a l e f r e e 网络 另一类普遍存在的实际网络的节点度分布服从幂律分布 7 ，9 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，就 是说具有某个特定度的节点数目与这个特定的度之间的关系可以用一个幂函数 近似地表示。这个幂函数曲线是一条下降相对缓慢的曲线，这使得我们不仅能在 网络中发现大量的度很小的节点，还能找到一些度很大的节点。由于这类网络缺 乏一个描述问题的特征尺度而被称为无标度网络( s c a l e f r e en e t w o r k s ) ，并称 这种节点度的幂律分布为网络的无标度特性( s c a l e f r e ep r o p e r t y ) 2 0 。1 9 9 9 年，a l b e r t 和b a r a b d s i 提出了一种构造这类网络的方法 5 ：初始取m 。个节点 完全连接形成网络，然后每一一步在原网络的基础上加上一个新的节点，该节点按 照几率p ( m ) o c 尼( m ) 7 与原网络中的节点m 进行连接( 其中k ( m ) 为节点m 的度) ， 反复重复第二步骤，最后构造出来的网络称为随机生长网络( g i n 网络)。当 y = 1 时g r n 网络退化为s c a l e f r e e 网络。 图2 2s c a l e f r e e 网络的拓扑结构示意图 本图展示了由1 3 0 个节点组成的s c a l e f r e e 网络，其节点度服 从幂指数为一3 的幂律分布。图中5 个红色的节点是网络中度最大的 节点。 2 3 复杂网络的构建规则 尽管复杂网络理论及其应用取得了很大的成果，仍然有许多基本的问题需要 深入研究。实际网络的结构特征量遵从一定的规律，这些规律是网络构建遵从的 规则。s m a l l w o r l d 网络模型和s c a l ef r e e 网络模型的建立，以及在此基础上 的对权重网络、定向网络和动态网络等模型的研究，是人们基于对客观存在的复 杂系统形成过程中的小世界性和连接的倾向性等的一些基本认识。而大量实际网 络的构建规则需要进行深入的探索。在该方向的研究，近期主要的成果如下。 2 3 1 复杂网络的自相似结构 描述复杂网络的静态结构主要是基于拓扑理论，主要反映复杂网络的几何性 质，这些特征量都是唯象地被引入的。为了得到大量实际网络的静态特征量遵从 的网络构建规则，文献中 2 1 考查了在不同窗口尺度下复杂网络统计量和窗口尺 度的关系。结果表明在大量存在的实际网络中，如w w w 网络 2 2 、社会网络、蛋 白质折叠网络 2 3 等，普遍存在着自相似结构，也就是复杂网络统计量与窗口尺 度呈幂律分布。自相似结构的发现，使统一地描述复杂网络的构建规则，建立统 一的网络模型成为可能。 2 3 2 复杂网络谱的长程关联 复杂网络可以看作是一个巨大的分子，节点和边看作是原子以及原子间的化 学键。该分子谱结构的不变量反映了分子结构的对称性。采用序列分析方法对谱 结构中的长程关联进行分析 2 4 ，2 5 。结果表明：e r d s s r 6 n y i 网络在连接几率 小于临界几率时谱没有长程关联性质，大于临界几率时出现明显的长程关联特 征；s m a 卜w o r l d 网络谱存在长程关联。长程关联系数，作为网络结构决定的不 变量，可以作为描述复杂网络的一个特征量。 2 3 3 复杂网络的粗粒化规则 复杂网络中度分布存在“胖尾巴”的现象。自组织机制是诸多复杂系统具有 “胖尾巴”的根源 2 6 。借助该机制，形成了粗粒化的网络构建规则，即节点融 合方式。通过节点的融合，节点对它们的连接进行累积，从而产生具有更高度值 的节点，度分布出现“胖尾巴”现象。这种机制也是与现实存在的很多网络形成 过程一致，如在经济关系网络中企业的合并与拆分、社会关系网络中节点的拆分 和融合等过程。大量的复杂网络如人脑中的神经元网络的节点数目远远超出我们 能考查的范围，从统计物理角度来讲，这种复杂系统的定性集体特征也不一定需 要对每个节点的细节都进行考虑。在实际的研究中只对特定小体积( 包含的神经 元有1 0 5 个之多) 内的连接进行研究，得到复杂网络结构。文献 2 7 作者为了考查 这种粗粒化过程是否能反映原有的网络特征，对二维空间内不同尺度窗口内的节 点进行融合，得到不同尺度下的网络结构。 2 3 4 复杂网络的n e t w o r km o t i f 规则 不同类型的网络具有不同的连接方式 2 8 ，2 9 ，3 0 ，某些特定的连接方式在网 络构造中反复出现，并且在不同的网络中这些连接方式出现的频率是不一样的。 这些特定的连接方式称为”n e t w o r km o t j f ”，是构造网络的基本模块。在m o t i f 的基础上，复杂网络又出现另外一个构造特点，即若干个m o t i f 形成具有明显空 间结构和功能特征的“分子”。网络的构成遵循着由下自上的原则，首先形成网 络的m o t i f ，在此基础上形成较高级的结构“分予”，最后形成完整的网络。 2 4 复杂网络的动力学研究 复杂网络研究的最终目标是理解网络拓扑结构如何影响发生在其中的物理 过程。在以前的研究中，往往忽略网络的拓扑性质，在讨论逾渗、传播、同步等 物理过程时，选择了最容易模拟和分析的规则网络或者随机网络，而没有仔细思 考和研究这秘选撵篷不是应该的，不同的选强会不会对物理过程产生不可忽略的 影响。实际上复杂瓣络上的物邂过程与疑刘黼络上的耱璜过程捐昆，确实存在根 本上的不同。下面简略地介绍了网络拓扑性质对某些典型物理过程的影响。 2 。4 。l 疾病传攒动力学 疾病传播的动力学模型 3 l ，3 2 是复杂网络研究中一个重要的课蹶。与规则 网络相比，s m a l l - w o r l d 网络能够显著提高痰病传播速度，泼速度与s m a l l - w o r l d 弱终，l 、懿最短路径长发特篷一致。援烈网络中兹疾藏簧攘存在一令溺壤，只有大 于该值时疾病才能在网络上大规模传播。s m a l l w o r l d 网络上的闽值远小于规则 网络上的阈值，而s c a l ef r e e 网络上的闽值为零 3 3 ，3 4 。这些研究结果表明复 杂溺络结构对传攒动力学豹要簿影蛹，我翻弯毖要对传统瓣传染癌扩教动力学理 论重新进行考查。 图2 _ 3 网络中疾病平均波及范围与传染强度关系的泳意图 彼予右铡兹实线表示疾病在援蚓蹲绣中黄援豹 擎撼，位于左测 的实线表示疾病在s m a l l - w o r l d 网络中傣播的情况，虚线表示疾病在 s c a l e f r e e 网络中传播的情况。 2 4 2 混沌同步 近斗余年来，混沌动力系统在网络上的同步性能吸引了大量科学家的关注。 旱蘩秘磅究主要怒铮露臣最远邻骂惩为我表蕊麓囊羁终，疆究表臻对予给定戆j 零耦台强度，当节点数目很大时网络无法实现同步 3 5 。最近几年的研究却表明， 尽管s m a l 卜w o r l d 网络只是在规则网络进行一个非常小的修正的结果 1 6 ，但其 实瑗滋涟嗣步夔憝力帮远运好予疆楚疆络 3 8 j 。魏瑾学家还考查了s c a l e - f r e e 网络，研究表明其混沌同步的能力与星形网络几乎是一样的，这可能怒因为它与 9 星彤阙络都其有缓不均匀的节点度分匆 3 6 3 。 2 4 3 沙堆模型与自组织临界性 网络拓扑结构是否会影响沙堆模型中的自组织临界现蒙，一直以来就是该领 域争论蕊焦点 3 7 ，3 8 ，3 9 】。最逅鏊子复杂翳络上沙难穰蘩熬磺究表甓，沙堙旗墼 中的潜崩动力学性质对网络拓扑结构非常敏感，相比规则网络，s c a l e f r e ef 嘲 络上大雪崩发生聪为频繁，最大雪崩的规模也大得多 4 0 。 鹫2 _ 4 雪崩髋模分布图 红色和黑色的曲线分别代表在二维欧几虽德规则格网和 s c a l e f r e e 疆终上雪穗骥摸戆分毒，其中p ( s ) 表示在1 0 0 万次徽拨 中规模为s 的雪崩出现的次数。试验中，欧几里德格网和s c a l e f r e e 网络的“似点数均为4 9 0 0 ，平均度均为4 。在s c a l e f r e e 网络中，最 大的雪壤蕊模为8 8 2 9 ，纛在敬凡里德穆阉孛掘瘦戆德霞为1 7 9 9 。 实际复杂网络的动力学过程还表现在其自身结构的变化，包括节点和边的 竣交。这静改变可以崮有选撂经翁攻击帮陵撬注载攻蠢实疆，霹隘霸攘攻老往窝 容锚能力来描述 8 。在网络中各节点或微观结构在动力学过程中的嫩位和作用 是不同的，存在关键节点和微观结构。s m a 卜w o r l df 列络是在规则网络基础上重 囊连接产生麓，其中抟长程连缓滗其动力学行为有蠢予援翊嚣络动力学行为匏来 源。因此，这些长程连接是关键的边，由此产生的是基于长程连接及相应节点的 攻击策略的研究。但是就实际网络或其他模型剐络而言，长程连接及相应的节点 懿零找，并不是一个篱荸静润熬，文藏中 4 1 ，4 2 1 采薄边黪分数来寻我关键节点 和边。由于分属不同集团的两个节点之间的最短路径必须通过连接这两个集团的 0 边，潮此集毯翊熟边将有狠走滟奔数，这毒申边在稠络连接孛超核心 筝瘸。奁网络 终椽稳定淫秀蘸 4 3 ，s 端 i - w o r l d 鼹辫具畜疆巍鹣敏感毪，焉s c a l e f r e e 网络肖很好的容罐性和很脆弱的抗攻击能力。 2 。5 复杂鬻络在生命科学孛戆瘟震 游原论为传斌生物学研究提供了关于细胞组成和功姥的大量知识。照然它正 衮怒嚣太藜袋囊，慧可戳逮慕越潼蹩滚虢识裂令竞熬懿裳耱学珐裁不仅瘗装立 的分子所提供。大多数的生物学特征寝现为细胞内的嚣自质、核酸、水等各种 分予乏滴翡鞠互捧弱，姨孺豢糯兔不鞫尺藏上酌生穆辆缮c 4 5 7 。下鬣夯鲳矗释常 冕的生秘霜终及葵黪疆。 2 5 + l 基因调控网络 缀蕤逶道黢淹鳖毽遂孛熬专门鏊嚣寒蘧废努募环壤鳆燮纯。一个纂嚣转交的 效率国各辩鬻楚鬣自，如转秉澈活子裙帮麟予等，私鏊闵痿秘予上静专门序熊之 闷静栩互作蹋采涤意。参与调控躯蛋囱及确关基因被定义两蒸困调羧掰缮。一些 磷巍者已开菇绘穗l 控越整令嚣缎魁基疆表达熬调控潮络f ：4 6 3 ，弼如；控翻 噬 菌傣瀚溶漂，裂解灏谖莳谖褡黼络静数学校溅已羟稳建疆l 涞。由于蒸斑筑溺窿耨 基臌缌表达的王爨蛉发展，我们绘制囊核蒸因调控网络瀚鼹力大大增暇。啤溅酵 母燕露一个溅定萋斑懿彦裂瓣粪菝塞甥，磅巍其基毽调控网终薅臻究蕊蘩毽缀功 # 嘏有藜瑟。最近，d n a 微薄磷技术融被爆予赞究转添颡予蠢其穗d 激缝合溪皇 在撼豳组中的缩合位点的分郝阐。 2 + 5 ，2 蛋鑫壤蛋岛覆终鼷瓣终 在蛋自鹱鲻甄作鼹霹终黥磁究中，节点表示单个溪良媛，连线教幂鼍经鸯实 验证安两种鬣白质是i j _ 以结合在一起的。对龄母的蛋白殿网络研究裁嘲其度分布 为妒磅。c 馨丰戋) 一r - # 母墙溉+ ，荬孛= i ，繇= 避尹一2 4 。蕊鏊它静度势寒繇虿 是幂德分布，也不是搬数型分耀，两是一秘具肖指数截躐烈的幂律分稚 4 7 。这 种熟络襄觋出广义随辍窭静褥授。 2 。5 3 钱落网辫 。；e o n g 等人研懿了3 4 种缌织构成的新嫌代谢网络 4 8 。在这些网络构造中， 节点裁示隽基矮( 如a i p ，a d p ，i 。o 等) ，连线表示基溪参与了某静诧学反应。研 究表喇鼹终中避入与出去瀚逡线辩度分京都照扶梁镎分奄，其攘数菠凝在 2 0 2 。4 ，因丽它们都具有s c a l e f r e e 网络的特征。此外还发现网络的平均蹄径 长度在溪畜爨织孛见乎稷同。对e s c b e r i e b i ac a t i 缨蘩藩熊量帮生梅会残我滏 网络耕究 4 9 ，发现冀度分布服从幂棒分布，勰时有小的平均最短路径釉大的聚 类系数，扶蔼谥鹊这种溺络不仅宥s c a l e f r e e 特征瞧其有s m a l l - w o r l d 往臻。 最近，肯人已经开始讨论这种礴络土的整体劫力学行为，并嬲辑褥结聚米说鞠有 关煎生命现象。 1 2 第三章能谱统计理论 3 1 能谱的统计描述 1 9 7 3 年，波希瓦( p e r c i v a l ) 5 0 在研究量子系统的半缀典极限性质时，提 篷将n 鑫舀浚保守系统翡量子麓谱分解藏麓粥谱弱不蕊巅港两部分。翦者反映 系统在经典相空间中的规则运动，后者反映系统在经典相空间中的混沌运动。规 刚谱的每个鬣子态都可以通过e b k 激子纯规则一对一鲍与桐空间规刚区中菜个 n 维r a m 环藤相联系，因而熊用n 个量子数辩= ，珂：，壤) 来标记。丽不缎则 谱的墩子态则与相空间中的2 n 一1 维混沌区相联系，由于这些量子态不具有除能 量以矫静其戆可瓣认特征，它稻不筏疆令量子数来遘芎亍标记。不蕊弱谱麓能 级分布无明最规律，所以必须采用统计方法米描述这种能谱的分布。 有界保守量子系统的能谱可以用能级密度函数p 陋) = ，j ( 冽作完全描 述 5 1 】。不潮系统懿戆级分彝趣霉各不稳霜，瞧显示有一些饕速的统诗特筵，其 中的某些特征与系统是否有混沌有密切关系。能级的平均密度，既能征确的描述 能级分布翡塞溪变纯，又不驻示麓级密度静弼部往涨落，是个缀有鞠静统计潼。 波希格斯( b o h i g a s ) 等在研究二维耦台非线性振子系统的量予能谱时提出了一种 计算平均能级密度表式的普遍方法，即按a 幂次的形式展开能级密度表达式，取 震舞式中蓠甏几项黪秘就是平均能缀密度黪表达式。引入级密度妒f 两泌缎普 拉斯变换 z ( ) = f e x p - f l e p ( e ) d e = e x p - p 群， ( 3 1 ) j 然后采用相空问分布表示，将z ( p 1 写成 那脚e x p _ 蔺i 。由脚 - f l h w ( q ，p 硒 ( 3 2 ) 式中【e x p _ 肛，跏0 ，p ) 怒由外尔筐子化映射给出的对应于算符e x p 蔺 的 耀空阙分毒濑数。然蜃麸绘定蠡冬啥密撅函数嚣白，尹) 算密x p 露， 磁，p ) 按蠡幂 次的展开式。应用外尔量子化映射可将下面的算符公式 专( e x p - f l t t ) = 一三陋e x p - f l t e x p - f l t h ) ( 3 。3 ) 变换成相应的相空间分布公式 刍晒 - p h 4 q 渊= 一s 匿( 毒一亲一瓦0 毒 限。， - h ( q 。，p 。) 【e x p - f l h w ( q 。，p 。抽。= q 。= g ，p 。= p 。= p 建 子b x p - 群， 如国，p ) 应满足方程( 3 4 ) ，因此可以设 e x p - f l h w ( q 纠= e x p ( - p h ( q ，p 嚷( 爿訾( 3 s ) 著将3 5 ) 饯入( 3 4 ) ，逐一舞出焉纽，p ，) 。当蠡= o 瓣应褥至g 经典结果，鼓 显然有a = 1 。4 0 ，p ，) 的表式最早由w i g n e r 导出，它可以写成 叠国，热爹) ：兰 声z v ：矿q ) 一鲁k l v 矿国1 2 ( p - v 罗扩国i 1 ( 3 ) 辫lj 掰。j 一旦算得【e x p 卜f l h w ( q ，p ) 对壳展开式中的前几项后，就可将该式对相空间 积分，蓐捧反控藩越囊交按，簸终寝褥蘩掰求靛平均键缀密度万积) 。对于 矿0 ) = g + b q 4 + 2 细。2 9 ：2 的耦合四次振子，波希格斯等算得的前两项结果为 噼一2 m a e 一紫小e 嘿) 淑z ， 式中伍) = f 爿露迹是能级的积累密度，其中 爿= f f t 一半s t n 2 护) d 口 岱展开式串懿蓄顼麓正确逮箍述离熊区涎平均箍级密凄，暖) 表达式中 高阶颂进一步改善了公式在低能区的适用密度。平均能级密度与系统的混沌行为 之间并不存在明鼹的联系，为了揭示混沌与能谱特征间的联系，需要讨论能谱相 对予其平萄密度懿激落交伍。 1 4 望重型主誊垡垒圭堕恐篷生垩继墨墨蠡旦釜叠垃垄 对相邻能级e j 希n e 川，设能级间距嚣川- e j 的值落在区问0 ，s + d s ) 内的几率为 p o ) d s ，委尹( s ) 藏是赣缀藩距分布丞数。它满足翔一纯条件j - p 0 泌一1 。考虑至l 舞区段内的熊级闯距与万( e ) 躲大小青直接关系，如暴按上述定义计黪姥级阕距 分布，则所得结果将随着所研究能区的变化而变化，这不利于能谱统计性质的研 究。为了消除菽互) 变化的影响，通常对原来的能量坐标作标度交换f ：耐e ) ， 使用# 坐标蜃，任何熊谱蟾平均密度都魍戏常数，这个过程在能落统计中称传 “展平”。展平以后的能级平均密度芦0 ) = 1 能级间距分布p ( s ) 将满足条件 r s p 0 泌= 1 ( 3 8 ) 戆缀瓣鼹分毒p ( s ) 夔具体形式取决予魏谱上捆邻能级溺懿稳关特薤。令 ，o 胁表示在能级譬，右边长度为s 的区间内没谢能级的条件下，在区间 b + 岛s ，+ s + 幽) 内有一个能级的条件几率，肌。按着条件几率定义，有 p o = j1 一f p o 碜| ，如 ( 3 _ 9 ) 由此撼愿 掣= 品掣川帕 c 。 尸o ) = d o ) e x 痞f ，g ，胁 ( 3 i l ) 对于无麓能谱，其能级排列是完全随机的，刚s 轴上各相邻能级间并无关联， 困两，b ) 是与s 无关的嚣数，凌条 牛( 3 8 ) 及p ) 的归条件，容易翼褥 p 6 ) = 。x p _ s ( 3 1 2 ) 即无舰能谱的能级间距分布p “) 是p o i s s o n 分布。 对于复杂核麓谱，裰铝麓缀蠢存在菜耱“箨斥”效应，冀缱级淘隔分布邈数 不是p o i s s o n 分布。为了描述能级问的“排斥”现象，可以简单的假定，g ) * s v 这罩g 是一个一参数。将这个，0 ) 代入( 3 i i ) 式，由此可以得到复杂核系统的能 级阔黼分布 p ( s ) = 0 + q ) f l s ”e x p 扣黟 ( 3 。1 3 ) 郴= r 离”黼蝴删v 虢 3 2 隧桃矩阵理论 髓机矩阵理论是w i g n e r 脚d y s o n 为了分析复杂投的能谱，于上世纪6 0 年代 裙建立簸一套量予缝诸瑾蘧5 2 。该瑗论逶蕊子硬变县有各释冒2 摇要佟耀豁系 统。w i g n e r 假定所讨论的量予黎统的哈密顿娥用n xn 黪厄沐矩阵摩波示。为 了臻遴蔷嵇可耱豹穗搏爱，强恕雪粒n 2 令篷箨元蛰捧怒涟魏变量。豫扶魏辍 矩阵疗的凡率分布p 汹谤的裘达式中得到了所研究系统鹪能谱的统计描述。 在髓糗楚簿理论中，系缘密疫努南巍宣l 麓澎式莛稷撂下羲甄个霰浚磷定熬： ( 1 ) p 治 蛉形式号基的造撵无关； ( 2 ) 疗的各个艇阵元作为隧机变量是相互独立的。 从这两点假设，w i g n e r 导渤了系绦密度分布p 陋瀹 一般表达式。涛了简荤超 冕，以n = 2 瓣熔黪为剿，然螽接广裂弦任懑瓣溥形。 褒鬟有时瀚爱浚不变往靛系缓中，蜃可以表示成蠹= ( 蓉：i ： 滚照缓谖 ( 2 ) ，累练密度分布能写成 p 汹) = 蜀，闼，玻：嘏：溺：溉：) ( 3 。1 4 ) 它满是魑条搏 p 蛔；d t t ：d h , ：= ( 3 。1 国 为了使p 沁) 的形式与基的选择无关，对基作无穷小正交变换，逮付寸矩阵元 豹交化为 抒i = h l + 2 c h l 2 ， 攒；2 一h ：，一2 蕺甄2 ， 3 1 6 ) 厶= 汀，：一s ，一马：) ， 1 6 童重茎耋垒些笙圭堕垫丝生堡垒茎竖盏生塑竺叠芷垒 故根据假设( 1 ) ，有 p 陋) ：p 7 ) 尸：巩雠一等m 训等 ( 3 1 7 ) 1 d i n p - 2 上f 塑咀一d l n p v 2 _ o ( 3 1 8 ) h 1 2d h l 2 h l l h 2 2ld h l ld h 2 2j 。 一 h 。、h 1 ：、h 。： 是相互独立的变量，( 3 1 8 ) 的解为 啪) = a 1 e x p k c 既) ， 啪) = a 2 e x p 愕 出 ， 嘶) = a 3 e x p 愕c2 ， 由此得到的系综分布称为高斯正交系综( g o e ) p 陋) = 爿e x p 一等j + z h 三+ 日刍) + b ( h 。+ 日：) ( 。- 。) 式中常数a 由归一条件( 3 1 5 ) 确定，常数b 可以通过能量零点的选择使之等 于零，常数c 由能量的标度确定。 在不具有时间反演不变性的系统中， 疗是一般的厄米矩阵，有h 。、h ：、 r e h ，：、i m h ：四个独立随机变量。从p 旧) 对酉变换的不变性可推得 p ( t ) = a e x p k + z 刚2 + 日杰) 邶(