（基础数学专业论文）关于微分方程解的复振荡性质及其相关问题.pdf

关于微分方程解的复振荡性质及其相关问题 摘要 二十世纪二十年代，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 引进亚纯函数的特征函数，并建 立两个基本定联，从面训立了n e v a n l i n n a 值分布理论半个多世纪以来，n e v a n l i n n a 理论不断发震，并在徽分方程囊振荡瑗论和亚纯函数噍一性理论研究簿方面褥翻广 泛应用，微分方程复振荡理论是边缘领域和跨学科研究，它应用复分析的理论和方 法璎究复壤激分方程懿振荡性臻该臻论在上毽纪豁年代奶鑫美露羧学家s b a n k 和芬兰数学家i l a i n e ( 2 ，m 4 ) 进行创始性的工作以詹，才兴趣成为人们研究的热 门瀑题，各匿数学家如g g g u n d e r s e n ，g f r a n k ，s 。h e l l e r s t e i n ，j ，l a n g l e y 等郝对踅 有过密切关注和深刻研究国内高仕安教授和陈宗煊教授也为该理论的介绍和发展 做出贡献并取碍出色研究成果，尤其陈象煊教授( 1 0 1 ) 又首先将该理论用于讨论方程 解静不动点密璇。镦分方程实派荡有蓉广泛实际背景，雨复振荡是对实振荡的深纯 和发展，因此它在理论和实践中是很有意义的亚纯函数唯一性理论研究是近几十 年寒藿际主i 鬻活跃懿研究瀑题涉及公共篷黟委缝霸数难一瞧理论翳竞趁澡予r ， n e v a n l i n n a ( 2 6 ，f 2 7 】) 中的研究工作，他为该理论奠定了瑟础并得到一系列经典结果 后来我睡数学家熊庆来( 3 嗣， 3 6 t ) 靼扬乐( 3 7 1 ) 蛰都对此蠢过滚剡鲍结黎，国乡 谗多 数学家f 。g r o s s g g g u n d e r s e n m o z a w a ，g 。f r a n k ，e m u e s 等也都积对该理论的 研究中取得许多出色成果近二十年来，仪洪勋教授谯难纯函数唯一性理论研宠中 取褥了令人注秘酌研究成果，并对该或论在国内介绍和发震骰嬲重要贡献并起到了 推动作用本文主要介绍作者在仪洪勋教授的精心指导下，所完成的一些关于微分方 程鼹懿振荡往痰及萁应蔫在唯一淫方瑟懿磅究王幸# ( 冕文藏【3 0 b 3 1 1 ， 3 2 1 ；弘3 3 4 1 ) 。全 文共分疆章 第一章，烹要分缨n e v a n l i n n a 基本疆论孛黪常震诡号蠢经典结栗，并毅述踅缝 函数唯一性理论和微分方程复振荡理论的一些基本概念，结果以及与本文研究相关 鲮知识 第二章，我们利用微分方稷复振荡研究中的方法对整函数姆其微分多项式分担 小函数鲍唯一瞧进费了戮究，其中微分多项式彩式鸯 l ( ，) = o k ( g ) ，( 七) + o 女一1 ( z ) ，晴一1 ) + + 靠o ( 名) ，4 - 卢( = ) ，( 七1 )( 1 ，1 ) a j ( z ) ( j = 0 ，1 ，k ) 为多项式且a k ( z ) 孝0 ，卢( = ) 是，的小函数我们推广了g g g u n d e r s e n 积扬遴中教授套关b r f i c k 猿想戆结论，著月铡予说嗳本章妻暴是糖礁露存 在的，从而也是有意义的主要结果为 山东大学博士学位论文 定理1 假设，是级不为l 的非常数有穷级整函数，n ( z ) 为，的小函数如果， 和l ( f ) c m 分担a ( z ) ，其中q u = 0 ，l ，k ) 是常数，则 l ( f ) 一( o ) 了可一 ( 1 2 c 为非零常数 当，是慢增长整函数( 即一( ，) ) 时，我们可将定理1 的条件放宽得到 定理2 假设f 是级a ( ，) j 1 的非常数整函数，o ( z ) 为f 的小函数如果 f n ( 。) = 0 l ( f ) 一。( 。) = 0 ，则 警= q ( z ) ， ( 1 3 ) ，一n ( 。) ” r u 其中q ( z ) 是非零多项式 第三章，我们研究了两类二阶线性微分方程解所生成的微分多项式的不动点， 由此得到其不动点密度和解增长性之间的密切关系，并用几个例子表明本章的结果 最佳，本章结果改进和推广了陈宗煊教授关于方程解不动点的相关结论事实上，我 们所考察的两类微分方程和微分多项式形式分别如下 f + a ( z ) f = f 【z 、 三( ，) = o ，( ) + 女一1 ，( 一1 ) + + 。o ，k 芝1 f l4 ) ( i 5 ) ( 16 ) 其中4 ( 。) 和f ( ；) 0 均为整函数，唧( j = 0 ，1 ，女) 为常数且。k 0 令三c ( ，) 表示 l ( ，) 的t 次幂，t 是正整数主要定理有 定理3 对于方程( 1 4 ) 的任意非零解f ，则我们有以下结论成立： ( i ) 如果a 为次数不小于1 的多项式，可知r ( l ( ，) ) = a ( ( 川：。n + ，2 ( i i j 如果a 超越且o ( a ) = 一 + 。，可知r ( 三。( ，) ) = 一( l 。( ，) ) = + o 。和力( ( 埘： 观( ( ，) ) = a 。 定理4 假设f ( = ) 和a ( 。) 都为有穷级，则我们有以下结论成立： ( j ) 如果且和f 均为多项式且满足d e g a = n 三1 和d e g f d e g a 则对( 1 5 ) 的任 意解，均有r 池( ，) ) = 丁n + 2 ，至多只有一个例外解f o ( i i ) 如果_ 超越满足一( 4 ) = 一 2 时，假设qi ou 1 ) 且t ( n n l ) n 晶f t ( r ，) + s ( ，) 如果 ( r ，) t ( r ，g ) + s ( t ，) ，贝u ，= f ： ( i i ) 当。2 时，如果n 2 ；n o ；0 且t ( r , a 0 a 毗，) 十北，) ( o 茎 孰则 关键词：亚纯函数整函数公共值唯性 增长级零点收敛指数 o s g 王l 毛a t l 0 n 王疆s u 薹趸sf o r s o l u 鼍醒o n s0 f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h e i r a p p 毛重g a 篁l o n a b s 零巍a g t i n1 9 2 0 s 、r n e v a n l i n n ai n t r o u d c e dt h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n d g a v et w o f u n d a m e n t a lt h e o r e m s w h i c hc o n s t l a l c tn e v a n l i n n at h e o r y f o ro v e rh a l f ac e n t u r y ，n e v a n l i n n a t h e o r yh a sb e e nw e l ld e v e l o p e da n dw i d e l ya p p l i e di nt h er e s e a r c ho f c o m p l e xd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h eu n i q u e n e s so fn m r o m o r p h i c f u n c t i o n s 。t h ec o m p l e x o s c i l l a t i o nt h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si st h eb o r d e r l i n ef i e l da n di n t e r s e c t e ds u b j e c t r e s e a r c h ，w h i c hs t u d i e sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yt h et h e o r ya n dm e t h o d o f c o m p l e xa n y l i s i s i tb e c m n e p o p u l a r a f t e rs b a n ka n dl l a i n em a d es o i n e o r i g i n a lw o r k i n1 9 8 0 s m a n ym a t h w e m a t i c i a n sh a v es t u d i e dd e e p l ya n dp a i dc l o s ea t t e n t i o nt oi t ，i nw h i c hp r o lg a os h i a a a i dp r o lc h e r tz o n g x u a nm a d ec o n t r i b u t i o n st ot h ei n t r o d u c t i o na n dd e v e l o p m e n to ft h e t h e o r yi nc h i n a e s p e c i a l l y ，p r o f , c h e nz o n g x u a n f i r s to b t a i n e dp r e c i s er e s u l t sa b o u tf i x e d p o i n tb yt h ec o m p l e xo s c i l l a t i o nt h e o r y t h er e s e a r c ho nt h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o - m o r p h i cf l m c t i o n si sav e r ya c t i v ei n t e r n a t i o n a ls u b j e c ti nr e c e n td e c a d e s 。t h er e s e a r c ho n t h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i m x sd e a l i n gw i t hs h a r e dv a l u e s o r i g i n a t e sf r o m s o l n ew o r k so fr n e w u f i i n a a ，w h i c hl a yt h ef m m d a t i o no fu n i q u e n e s st h e o r y a f t e rt h a t ，a l o to fe l e g a n tr e s u l t sw e r eg i v e nb ym a n ym a t h e m a t i c i a n s ，f o rt w or e c e n td e c a d e s ，p r o f - y i h o n 嚣 u n h a v em a a l e l o to fr e m a r k a b l ew o r k sa n dc o n t r i b u t i o n st ot h ed e v e l o p m e n to ft h e u n i q u e n e s st h e o r y i nt h i st h e s i s ，w eg i v es o l n er e s e a r c h e so no s c i l l a t i o nr e s u l t sf o rs o l u t i o n s o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o ni nt h eu n i q u e n e s st h e o r yu n d e rt h e g u i d a n c e o fp r o f e s s o ry ih o n g x u n ( s e e a 0 ) ，【3 1 】， a 2 1 ， 3 3 1 ， 3 4 1 ) i nc h a p t e rl ，w ew i l lg i v es o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t sa n d s a m p l e si nn e r a n l i r m at h e o r y , a n da l s os i m p l yi n t r o d u c ew i m a n - v a l i r o n t h e o r y , i nc h a p t e r2 w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e na ne n t i r ef u n c t i o na n di t st i n e a v d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a lw h e nt h e ys h a r eo n es m a l if u n c t i o n ，w h i c hg e n e r a l i z e dt h es t u d y o fg 。g u n d e r s o na n dp r o f l z 。y a n go nb r f i c kc o n j e c t u r e 。t h ed i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l w t f i c hw e i n v e s t i g a t e ，i s l u ) = 娃盘 ， 8 3 + 瑶垂一l 岩奄一2 十t 。+ 在母旱) f 箩( 。j ，转l l ，i w l l e r eq ( z ) ( j 一0 ：1 ，a ) & r ep o l y n o m i a l sa n d8 女扛) 喾0 ，厣= i sas m a l lf u n c t i o no f ， 山东大学博士学位论文 s o m e e x a m p l e ss h o wt h a to u rr e s u l ti s b e s ta n dr e a l l ye x i s t s t h e o r e m1l e tfb ean o n - c o n s t a a te n t i r ef u n c t i o no ff i n i t eo r d e ra n d 口( ，) t ， a n dl e ta ( z ) b ean o n z e r os m a l lf u n c t i o n so f ，i f ，a n dl ( f ) s h a r eo ( z ) c m ，a n d a j ( j = 0 ，l ，- 一，) a r ec o n s t a n t s + t h e n w h e r eei san o n - z e r oc o n s t a n t 三( ，) 一n ( z ) 1 = 雨广。g ( 1 2 ) w h e nfi sa i le n t i r ef u n c t i o no fs m a l lg r o w t h ( w h o s eo r d e ri s l e s s t h a n ) w ec a l l i m p r o v et h e o r e m1a s t h e o r e m2 l e t ，b eal i o n ”c o n s t a a te n t i r ef u n c t i o no fo r d e r # ( ，) a n do ( 。) b e a s i n t h e o r m n l ，i f ，一。) = 0 _ l ( f ) a ( z ；= 0 ，t h e n 觜刊z ) ，一8 ( z ) ”“ w h e r eq ( z ) i san o n - z e r op o l y n o m i a l ( 1 3 ) i nc h a p t e r3 ，w ed e a lw i t ht h ep r o b l e m o nf i x e dp o i n t so f s o m ed i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s g e n e r a t e db ys o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w ei m p o v e dt i l ew o r k sa b o u tf i x e dp o i n t o fp r o f c b e nz o n g x u a na n dg a v es o m ee x a m p l et os h o wt h a to u rr e s u l t i s s h a r p 。t 1 l e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h ed i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a la b o v e a r er e s p e c t i v e l y ： ，“+ a ( z ) f = 0 + a ( z ) f = f 。 五f ，) = f 酶( ；) ，砷十8 一l 。) ，。一2 十，+ 蜘( 嚣) ，矗l f l + ( 15 ) ( 1 6 ) w h e r e 4 ( 2 ) a n df ( # 1 0 a r ee n t i r ef u n c t i o n s a j ( j = 0 ，t ，v ，女) a r ec o n s t a n t s w i t h “0 l e tl t ( ，) # i ) d e , r o t et h et t h p o w e ro f 五( n t h e o r e m3f o re v e r yn o n - t r i v i a ls o l u t i o n ，o f ( 1 4 ) ，w eh a v et h ef o l l o w i n gc o n c l u i ( i ) i fa b ea p o l y n 。m i a lo fd e g r e en 1 ，t h e nr ( 五。( ，) ) 一口( 。( ，) ) = 雩量 ( i i ) i fa i st r a n s c e n d e n t a la n d s a t i s f y i n ge t a ) = 拶 + o c ，t h e n ，( 2 ( ，) j = 萨f 三。f ，) ) = + 。ca n dv 2 ( l 2 ( ，) ) = a 2 ( l 。( ，) ) = 口 t h e o r e m4s u p p o s et h a tf 渤a n d 蠢f 2 ) h a v ef i n i t eo r d e r 。f o re v e r ys o l u t i 。n ，。f ( 1 ，5 ) ，w eh a v et h ef o l l o w i n gc o n c h l s i o n s ： ( i ) i fa 粕l df a r 8p o l y n o m i a i ss a t i s f y i n gd e g a = 虹1a n t i d e g fs 矗盼a ，t h e 毽叠l s o l u t i o n s ，o f ( i 5 ) s a t i s f yr ( ( ，) ) = n + r 2e x c e p ta tm o s to n es o l u t i o nf 0 v i 山东大学博士学位论文 ( i i ) i f ai st r a n s c e n d e n t a lw i t h 盯( 4 ) = o - 2 ，w e a s s u m et h a ta j 三0 ( j 1 ) a n dt ( r a 1 ) 茎雨辛酽t ( n ，) + s ( r ，) i f r ( r ，) t ( r g ) + s ( r ，) ，t h e nf = 9 ； ，j gp = j ， 町 。_ 豆 = 山东大学博士学位论文 i g ( i i ) w h e n 丸= 2 i f0 2 三“。三0a n dt ( _ a 1 ) a t ( r ，) + s ( n ，) ( o5 ；) t h e n l k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf i m c t i o n s ：e n t i r ef u n c t i o n s ； s h a r i n gv a l u e s ；u n i q u e h e s s ；g r o w t ho r d e r ；t h ee 。p o n e n to fc o n v e r g e n c eo ft h ez e r os e q u e n c e 蓑畜 徽分方程复振荡理论燕滤缘领域帮踌学祷鞭巍，它应孀复分褥瓣蘧论帮方法爵 究复域徽分方程的振荡性质。徽域微分方程的掇稿问题实质上是研究方稷解在复平面 中的零点娥临界点( 即一阶烨数的零点) 的分布该理论以前不曾引勰人们的关注， 壹到土墩纪8 0 年代初虫美慰数学家s ，b a n k 和搭兰数学家i 。l a i u e ( 2 1 ，潮，【4 】) 进行创 嫠蓥酌工露戳瑟，孝兴莛或海入葵j 蘩蠢蠢舞羹涤鼷。各墨黎霉 家g g 。g u n d e r s e n ，g 。 f r m l k , s 。h e l l e 麟e i n ，j 。l a n g l e y 簿舔薅筵骞遵密麓焚注程深裁蘩囊，羚簧g 簧匿羲掌家 g g c u a d e r s e n ( 1 5 ) 给出酌疆缒函数与其导菡数宅黼增长比较定理，嘲内陈宗渲教授 ( 9 】) 所榭溅函数超级与其中心指标之间的关系忒榔椴大促进了微分方程复振荡理论 的发展，断谓函数的惟一性骥论主要是探讨在干1 “幺情况下只存在一个黼数满足给定 豹条 牛擞嚣l 趣遘，多项式除了常数毽子虫萁零点嶷嚣定组是对予缀数扩窝e ， 筵鑫暴露赫瓣蘩篷圭l ，0 及静蠡囊。姿蒸这襻瓣爨手逐毒黎多；鬟默翅爱蓬一穗 定显鳃蔽羧魏十努毒趣秘整祭德单，n e w n | i m m 辫链；证臻了餐一# 鬻效噩缝函羧 可由篡5 个值的点集确定( 即5 i m 值定理) 1 2 l 及掰个亚纯函数分抠4 c m 公共值时冥 有分式绒性变换( 即4 c m 怒勰) 自此之后，人们一童在寻求减少条件求具体确定函 数之间的激系( 见【7 】，f 1 4 】，【l6 】1 f 23 i 4 1 j 等) 限于篇懈，下面我们将简群介绍一些与本文 穗关弱鹚餐 一，美予蓝蓬委鼗歹毒菠譬鼗，磷箕膏登黪霞露戆噬一赣阕繇，瀵悫舞e 毒 镊雾礤黎工作，僵其结暴。凡警奄是在两个或两个戳上公共值斡条件下获褥的对于 函数与煎释函数分担一个c m 公共值的情况，1 9 9 5 年r b r f i c k 提出猜想( 【7 】) ：假设 ，是非常数整函数，其超级槲努且不为正整数如果，和，以有嬲越数n 为c m 公共值。粼每暑= e 其中c 拇菲零鬻数 也本人程润篇文章中证嬲对于n = o 或 魏e ，f 一s 瓤嚣嚣翡瑟猿慧魏实纛立。蘧多艮簸还绘塞夏蘩囊爨琴麟憨氍f 嚣歹， 努藿s 鼹爨数渡爱对于增长鞭趣鞭裁是必要懿、镬鼗之后，遵遘藏窝对尸零点酶聚裁 及允许，为豫纯，张庆黪改溅了他的结果( 淬磷) 1 9 9 8 年，g g g u n d e r s e n 和杨连中 教授首沌揩】出：研究函数，与摸导数，( ) 具有个公共值的唯一性问髓与研究一类 线性微分方程的解的性质有潜密切关系设，怒非常数整函数，k 是碱艇数及n 为非 零鬻数。毅黎歹与罗鳓c m 分掇辑，粥擐据噩皂d 蝴籼建鞭子羚鼹定理霹期罐：毋翰， 荬孛蛩 # ；怒筵基鼗。运f 一妻一1 ，藤f 滤足下爨缓睦豢舅方疆f 馨e q ) f ：1 ， 运蘧；b r i c k 猜想实霞主蕊旗懑予猜溪主述蠢黎贰冒瑟翼畜蘧霰蠢辩鼹不为歪整鼗 的整函熬解他们运用这个辑想栩复振荡中的方汝在文 1 6 】中部分解搬了该猜想， 他们证明丁，为有穷级的情揽随后，杨连中激授叉将其推广到自阶搏数( f 4 0 1 ) 人 们自然对能静 等上述结果推广划c m 分担小函数擞感兴趣但是我们发现对于这个 山东大举博士学位论文 问题，【1 6 和【4 0 中的方法已经不褥适用在本文第二镦，我们采用新方法将g g g u n d e r s e n 和扬逑中教授的结果推广到有穷级整函数与其徽分多项式c m 分搬小函 数戆绩援。劳鼹熳增长整函数级小予；) 在更弱懿条转繁餐出一些穗美缝慕+ 二，复动力系统的研究始于对黼数在不动点尊城两部性质的接述。掰瞅溉纯函 数的不动点问蹶向倍受关注但是以往人们考虑的多是一般亚纯函数及熟迭代函 数的不动点，丽鼠已就此取得大撼结果例如，次数不低于2 的多项式至少有一个 级为n 的不动点。至多有一个例外n 值；超越整函数，舆有无穷多个级为n 的不动 点，至多有一个铡外n 蓬( i 1 8 】) 。然聪，关于微分方程解的不动点剜鲜有人研究，甚至 是形式较饕攀懿二羚线莛簸分方程广+ a ( z ) f = 0 饔f “十a ( z ) f = f ( z ) 其审蠢z ) 蠢 f ( z ) 0 为有穷缀整函数直到2 0 0 0 年，陈宗煊教授( 【l o 】) 首先指出这类方程解的 不动点密度和解增长性之间的密切必系事实上他证明：对于上述齐次方程的任意 非零解，我们有r ( ，) = o ( f ) 和强( ，) = 一：( ，) ：o ；对于上述非齐次方程的f 聱意解， 如果f ( z ) z a ，上面的结果仍然成立至多有一个例外解，o 关于1 一( ，) 和弛( ，) 的定 义可见第三章簿节。我弱知道微分方程碴畲织与其务除导数之间的关系，灏她蠢 释产皇懿缓瞧微分多项式一定其表装璺特殊静毪蒺鄂么人髓毫熬要蠢；怒尝霹蕤 对上面的两类二阶方程的解生成微分多项式的t 次幂静不动点密度给出估计? 在本 文第三章，我们阐答了上述问题，并对解生成微分多项戏的t 次幂的不动点密度给出 精确估计另外，我们就简单高阶方程推广了陈宗煊教授的结果 三，1 9 8 9 年，g b r o s c h f 6 | ) 穰其博士毕业论文申簿 究了一类特殊的微分方程 ( ，垆= ea j f j q ( z ，) ，其中n 为燕整数，f j = 0 ，1 ，2 n ) 为f 懿，j 、溺数置 ，= 0 。2 。0 他证嚼了：假设两非常数贩纯函数，和gc m 分趱判别勺( ，= 1 ，2 ，3 ) ，置， 满足上述方程如果q ( z ，c ，) o ( j = 1 ，2 ，3 ) ，则f ( z ) = g ( z ) 但是从那以后，菠于微分 方程解的唯一性一直鲜有人研究我们知道微分方程略禽解与其各阶导数的关系， 所以它的解较一般亚纯函数而言通常具有较好的性质，g b r o s c h 曾在文【6 中指出 缝爨研究方程鹣勰，满是n ( r ，f 卜? 纸f ) + s 沁f ) 移积击) = t ( r , f ) + s ( n 珐英 中。为毒穷爱数蠢滚是q ( z ，n ) 0 驻然，也毒禳多箕熊方程翡辩滤霆上述羧爨叁 然人们感兴趣地是能否将g b r o s c h 的结果推广到这些方程另外，我们考察线性微 分方程，( ) + ，( 。1 ) + + n 2 ，一0 1 ，+ o o = 冗( ；，) ，( 2 ) ，其中a 3 ( j = 0 ，1 ，) 为亚纯函数且n l 喾0 或。o 0 虽然像的解一般并不具备g b r o s c h 所研究方程解的 性质，但是它逐怒比较特殊的方程，所以我们会问：对予这棒的方程满足一怒条件后 糍够褥到侍么缭聚? 在本文第四章，我艇试蚕霉答上述瓣淹蘧，鼓嚣褥裂了系襄 结莱 x 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 沧文作者签名： 曼罐 日期：旦主：i ! 世 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定1 论文作者签名：曼乌应导师签名：彳基f ：蕴丕砻日期： d ；堵 第一肇预备r n i r 与符号说明 篮分毒理论匏发震中，r n e w n l i n n a 毒蓍墓大贾瑟。基簌1 9 2 5 憩筒立了蕊- l i n n a 疆沦以来，僵分布理论不断发展帮完善，著在复徽分方程摄荡褒论饔照纯函数唯 一性理论中得到广泛应用率鬻我们将给出r n e v a n l i a z - a 基本理论中的常用记号， 、 并叙述殷微分方程振荡理论和派纯函数唯一性璁论中的基本概念，结果以及需要用 到的有哭舞识( 参阅文献 1 7 m 乱犯7 ，【3 8 ，1 1 3 3 ，f 4 2 | ，i r a ) 1 1 n e v a n l i n n a 蘧矜糍瀵谂糍要 在率文中，如果没有特别说吼所提到的亚瓣黼数均是指开平面g = 。： o 。 中的亚她涵数，用虿= ( z ：引) u 。 表示扩充复平面 对于芝0 ，定义。的正对数为 t 耐善一 逡i ：忿，； 定义1 i 1 设，( z ) ( 。) 为皿纯函数，对0 r 。规定 似n ，) 一磊1 上1 。矿t f ( r e i o d o ， 卜，塑尘攀邋勰+ 婚，f ) l o g t ( ，：， 。坠譬壁边蹴十瓤。f ) i 。g n t ( r ，) = ( f ) + n ( r ，f ) ， 其中的“，) 表示f ( z ) 谯j 圳竖t 上的极点个数，且重级极点按黎数计算，n ( 0 ，f ) 表示，( = ) 在鞭点处疆点豹薰数，嚣( ，于) 表示重级搬意疑萤一次对，在溷s 上的 爱点个数( 当f ( o ) 。露，n ( o f = 5 ( o ，f ) = o ：当f ( o = 。对，豫吼f ) = i ) 我瞧 称n t 汛f ) 为，( 。) 的均值函数，劳分舞记f ，j f ) 释( ，j ，) 为，( = ) 极点的订数函数裙 精简计数鲻数t ( r 7f ) 记为，( # ) 的n e v a n l i n n a 特征函数，简称，( g ) 的特征函数 定瑚1 ，1 1 ( n e v a n l i n n a 端基本定理) 设f ( z ) 予 p ( + o c ) 内贬纯若。为 任一有穷复数，两且，( = ) “涮对于0 r 热有 f 瞳忐) = t 0 j ) + l o g c a l 涵咚； f 圭，1 j j 其中为南在原点的l a , i r e n e , 展开式( 按升幂排刿) 中第一个非零系数，而且有 s ( n f ) ist o g + 川十1 0 9 2 山东大学博士学位沦文 我们通常将( 1 1 _ 1 ) 简写为 t ( n 寿) = t ( 删+ 。( 1 ) 定义1 1 2 设f ( z ) ( o 。) 为亚纯函数，则 a ( ，) = 1 1 ，m 。s 。u p 警肛( ，) = 1 i ，m 。i n f 警l o g r _ i o g r r 一。r 分别称为，的级与下级，而f ( z ) 的超级定义为 口2 ( ，) ：l i m s u p l o g + i l o g + t 一( r , f ) r _ 。c l o g 定理1 12 ( b o r e l 引理) 设t ( t ) 为r 0 r + o 。上连续非减的函数，且t ( r ，) ) 1 则至多除去r 的一个集合岛后恒有 t ( 4 - 斋) 2 t ( r ) ， 且蜀的线性测度不超过2 定理1 1 3 ( 对数导数引理) 设，( 。) 为非常数亚纯函数，且，( o ) 0 。，则对于 0 r r + ，有 注：当，( o ) = o 或者，( o ) = 。时，适当改变上式右端最后两个常数项及其余各 项的系数后结论仍成立 定理1 1 4 ( n e v a n l i n n a 第二基本定理) 设，( 。) 为非常数亚纯函数，a j ( j = 1 ，q ) 为虿中q ( q 3 ) 个判别复数，则 c 阢脉妾m ，上f - a j m 小m ， 其中