（固体力学专业论文）小波变换在数字散斑相关及位相检测中的应用研究.pdf

摘要 本文从离散小波变换和连续小波变换两个方面出发，研究了小波变换在光测 实验力学中的应用；分析了基于离散小波变换的去噪原理，并且将其应用于数字 斑相关法( d s c m ) 中的预处理和位移场分析的后处理；将连续小波变换应用于位 相检测技术。 具体工作分为以下两个方面 1 分析了基于离散小波变换阈值去噪中，闽值大小和小波基的选定；讨论了数 字散斑相关方法中相关函数的统计特性和噪声处理；将离散小波变换阂值去 噪方法应用在数字散斑相关法中，使得在高放大率下，数字散斑相关法在减 小模板大小的同时得到准确的整像数搜索位置和高相关系数；该方法对位移 场也有很好的平滑作用。 2 提出了基于连续复小波变换的位相检测技术；理论上分析了小波变换解位相 的误差，同时给出了减小误差和提高精度的方法；基于这种方法作了一维模 拟；将这一位相检测技术应用于基于微电子机械系统( m e m s ) 器件的微小尺 度的离面位移及三维形貌测量。 关键词：小波变换，数字散斑相关，位相检测，m e m s 乙卜 铸钞 a b s t r a c t t h e a p p l i c a t i o nt oe x p e r i m e n t a l p h o t o m e c h a n i c su s i n gt h ed i s c r e t ew a v e l e t t r a n s f o r m ( d w t ) a n dc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ( c w t ) m e t h o d si sd i s c u s s e d t h em e t h o do fd e n o i s i n gb yd i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r mi ss t u d i e da n dt h e ni tw a s a p p l i e dt o t h e p r e t r e a t m e n ta n dp o s t - p r o c e s s i n g o ft h ed i s p l a c e m e n ti nt h ed i g i t a l s p e c k l ec o r r e l a t i o nm e t h o d ( d s c m ) a tl a s t ，ap h a s e d e m o d u l a i o n a l g o r i t h mw h i c h u s i n gc o n t i n u o u sw a v e l e t t r a n s f o r mi sa n a l y z e d t h e p r i m a r y w o r kh a db e e nd o n ei nt h et h e s i sc a nh es u m m a r i z e da st h ef o l l o w i n g 1 n l es e l e c t i o n so ft h et h r e s h o l da n dw a v e l e tb a s ei nt h ed i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r l 1 a r ea n a l y z e d t h en o i s ea n a l y s i si nd i g i t a ls p e c k l ec o r r e l a t i o nm e t h o da n dt h e s t a t i s t i cc h a r a c t e r i s t i co f t h ec o r r e l a t i o nf u n c t i o n si sd i s c u s s e d t h er e s u l t si n d i c a t e t h a t ，e v e ni nah i 曲m a g n i f i c a t i o na n das m a l ls e a r c hm o d e l ，t h ed s c m s t i l lc a l l o b t a i nac o r r e c tp i x e ld i s p l a c e m e n ta n dh i g l lc o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n t sw h e nt h e d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r mi sa p p l i e d ，a l s oae f f e c t i v e l ys m o o t ht h ed i s p l a c e m e n t c a nb eo b t a i n e d 2 a p h a s ed e m o d u l a t i o n m e t h o db a s e do nc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r mi sp r o p o s e d t h ee r r o ri nt h em e t h o da n dt h et e c h n i q u e so fe r r o rr e d u c i n gi sa n a l y z e d a m e t h o do f i n c r e a s i n g m e a s u r e m e n t p r e c i s i o n i s p r e s e n t e d o n e d i m e n s i o n a l s i m u l a t i o no ft h em e t h o d ，w h i c hh a db e e na p p l i e dt ot h em e a s u r e m e n to f l o n g i t u d i n a ld i s p l a c e m e n ta n d3 dp r o f i l eo f m e m sd e v i c ei nam i c r o s c a l ea r e p r o p o s e d k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m , d i g i t a ls p e c k l ec o r r e l a t i o n ，p h a s ed e m o d u l a t i o n ， m e m s 中国科学技术大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 光力学1 1 - 2 】( p h o t o m e c h a n i c s ) 是用光学的方法和技术进行力学测量的一门 实验科学。经典的光力学可以从1 8 1 6 年d b r e w s t e r 发现应力双折射现象开始。 光弹性方法是光力学中最早发展和广泛应用的一个分支，云纹( m o i r e ) 的应用 也比较早。十九世纪六十年代激光的出现，大大丰富了光力学的研究和应用范围， 全息干涉1 。2 1 、全息光弹性，激光散光光弹性，散斑干涉1 卅等方法在这之后都相 继发展起来，激光的广泛应用是现代光力学的一个重要标志。 随着现代计算机的发展光力学又有新的发展。1 9 7 1 年，b u t t e r s 和 l e e n d e r t z 5 j 提出的电子散斑干涉( e l e c t r o n i cs p e c k l ep a t t e r si n t e r f e r o m e t r y e s p i ) 首次采用了光电子器件代替全息干版，并用电子处理的方法在图像监视器 上得到散斑干涉条纹，进入上世纪八十年代，可以将电视图像转换成数字图像， 然后用计算机对其进行数字图像处理，于是又出现了数字散斑干涉术【6 】( d i g i t a l s p e c k l ep a t t e r ni n t e r f e r o m e t r y ) ( d s p i ) ；特别是伍小平空间散斑的运动规律 的提出【3 4 】，为散斑干涉计量提供了可靠的依据。 数字图像处理技术的不断发展和广泛应用，为光测实验力学提供了许多新 的技术和方法。特别是当今计算机的快速发展和硬件技术的提高，光测力学正向 新技术、高精度方向发展。 1 2 小波分析发展的历史回顾 小波分析方法的提出，可以追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的小“波”规范正交基 及1 9 3 8 年l i t t l e w o o d - - p a l e y 对f o u r i e r 级数建立的l p 理论，即按二进制频 率成分分组f o u r i e r 变换的相位变化本质上不影响函数的形状及大小，其后， c a l d e r o n 于1 9 7 5 年用其早年发现的再生公式给出抛物型空间上h 1 的原子分解， 这个公式后来成了许多函数分解的出发点，它的离散形式己接近小波展开。只是 还无法得到组成正交系的理论。1 9 8 1 年s t o m b e r g 对h a a r 系进行了改进，证明 中国科学技术大学硕士学位论文 了小波函数的存在性。 1 9 8 4 年，法国地质物理学家m o r l e t 在分析地震波的局部性质时，发现传统的 f o u r i e r 变换已经很难达到要求，他对f o u r i e r 变换与加窗f o u r i e r 变换的异同、 特点及函数构造作了创造性研究，首次提出了“小波分析”( w a v e l e ta n a l y s i s ) 概念，建立了以他的名字命名的m o r l e t 小波，并成功运用于地质数据处理中，随 后，理论物理学家g r o s s m a n i 数学家y m e y e r 对m o r l e t 方法进行了系统性的、高 屋建瓴的研究。 1 9 8 6 年，y m e y e r 偶然构造出一个真正的小波基，在世界范围内掀起了小波 热潮，继m e y e r 提出小波变换之后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立的给出了具有指 数衰减的小波函数。 1 9 8 9 年，s m a l l a t 发现了下面三者的紧密关系： 1 c r o s s i e r 、e s t e b a n 和g a l a n d 对于数字电话发明的正交镜像滤波器； 2 在数字图像处理方面使用的b u r t 与a d e l s o n 金子塔算法： 3 s t r o m b e r g 与他的合作者发现了正交小波基。 m a l l a t 巧妙的将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波函数的构 造以及信号的小波分解与重构中，在y m e y e r 的帮助下，总结出l 2 ( r ) 上的多分辨 分析，从而成功的统一了在此之前f h s t r o m b e r g ，m e y e r 、l e m a r l e 和b a t t l e 提出 的具体的小波函数的构造方法，并创造性的利用两个q f m ( 正交镜像滤波器) 给 出了用于信号分解和重构的快速算法。比利时裔女数学家d a u b e c h i e s 在对m a l l a t 的思想充分研究后，凭借自己在数学、物理和计算机等方面的知识，用迭代方法 构造出了具有紧支集的正交小波基。至此，小波分析理论才真正得以建立并开始 蓬勃发展起来。 小波分析的应用性研究与小波分析的理论研究紧密的结合在一起，小波分析 作为一种包含丰富内容的数学工具，已经得到了广泛的应用。目前，小波变换已 2 中国科学技术大学硕士学位论文 经在信号分析、语音合成、图像识别、图像消噪、计算机视觉、数据压缩、c t 成像、地震勘探、大气与海洋波的分析、分形力学，流体力学以及天体力学等 方面取得了具有科学意义和应用价值的重要成果。 1 3 传统的傅里叶分析的分析i s 傅里叶变换的定义： 函数f ( t ) 俾) 的连续傅里叶变换定义为： f ( w ) = e e x p ( 一j w t ) f ( t ) d t ( 1 1 ) f ( w ) 的傅里叶逆变换定义为 ，( f ) = 去e x p u 嬲沙( w ) 却( 1 - 2 ) 傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换实 质是把( ，) 这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。从傅里叶交换中可 以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化 的。 傅里叶变换的性质： ( 1 ) 线性性质 设只( w ) 和e ( w ) 分别为工( f ) 和五( f ) 的傅里叶变换，口和为常数，则有 a a ( t ) + p a ( t ) 付口曩( w ) + e ( w ) ( 1 3 ) ( 2 ) 平移特性 设f ( w ) 为函数，( r ) 的傅里叶变换，则有： f ( t + - t o ) e x p ( j w t o ) f ( w ) ( 1 - - 4 ) ( 3 ) 尺度变换特性 设f ( w ) 为函数f ( t ) 的傅里叶变换，则有： f c t f ( t ) ) = a f ( w )( 1 5 ) 中国科学技术大学硕上学位论文 彤( 叫) = 高，( ( 4 ) 共轭性 ( 1 6 ) 设f ( w ) 为函数f ( t ) 的傅里叶变换，f ( 一w ) 为，( 一，) 傅里叶变换的共轭函 数则有 f ( w ) = f ( 一曲( 1 7 ) ( 5 ) 能量保持定理 设f ( w ) 为函数f ( t ) 的傅里叶变换，则有 ，( f ) 】2 d t = 击i f ( 们1 2dw(1-8) ( 6 ) 相关定理 设，( f ) 和g ( f ) 为两个一维时域函数，则可以定义相关运算。 厂( f ) 。g p ) = e f ( a ) g ( t + c e ) d c e ( 1 - - 9 ) ( 7 ) 卷积定理 设( r ) 和g ( r ) 为两个一维时域函数则可以定义卷积运算+ 厂( f ) g ( r ) = e f ( a ) g ( t c t ) d c t ( 1 一l o ) 这些性质可以推广到二维形式。 以上这些性质对小波变换的性质的推导也有着相当大的作用。 由于傅里叶变换只是在频域里面的局域化，而不能反映其时域信息。为了克 服傅里叶变换在刻画局部时域信息的缺陷，d g a b o r 在1 9 4 6 年提出了短时傅里叶 变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ) ( s t f t ) ，又称窗口傅里叶变换( w i n d o w f o u r i e rt r a n s f o r m ，w f t ) 。其基本思想就是引入一个窗口函数g ( t 一6 ) ，它在 有限区域外恒等于零或很快趋于零，其中参数b 用于平移窗以便覆盖整个时域， 将信号5 ( f ) 与g ( t b ) 相乘就相当于在t = 6 附近开了一个“窗口”，再对其进行傅 里叶变换。表达式为 g f ( w ，b ) = ls ( t ) g ( t - b ) e x p ( - i w t ) d t ( 卜1 1 ) 中国科学技术大学硕士学位论文 1 4 小波变换的定义并与傅里叶变换的比较 小波变换的定义 对于任意函数f ( t ) er ( r ) 的连续小波变换为： 町( 口，6 ) = l ；c ，( f ) 小波母函数 。 伸缩平移后的小波函数 口 尺度因子 b 平移因 连续小波变换的性质： 1 线性性质：记矸么+ ， ( 口，6 ) = w a f l ( t ) + f l f 2 ( t ) ，则有 睨 + p s 2 ( 口，6 ) = 口( q 6 ) + ( 以6 ) 2 尺度变换：记正( f ) = f ( a t ) ，则有 = - 击w i ( 2 a , 2 b ) ( 五 。) ( 1 1 2 ) ( 1 一1 3 ) ( 1 一1 4 ) 3 平移性质：记五( r ) = f ( t t o ) ，则有 ( 口，6 ) 。( 疗，b t o ) ( 1 1 5 ) 4 内积定理： n ：( 口，6 ) ( 口，6 ) 亨如= q ( 1 一1 6 ) 其中q = 等咖，( w ) 为帅傅里叶变换 小波系数阡，( 口，6 ) 给出了信号，( f ) 在时刻b + a t 附近，频率约为w a 的分量 信息。因此小波变换具有时频局部化的特点，能够将信号的时域信息和频域信息 结合在一起。小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶的时频窗口不一样。其窗i ；3 形状为两个矩形【6 一a a g t ，b + a a g t x ( + w o a 函s ) f a ，( + w o + 多) 口】，窗口中心为 中国科学技术大学硕士学位论文 ( 6 ，+ w o 口) ，时窗宽和时窗宽分别为2 d 和2 a _ i u a 。b 仅仅影响窗口在相平面 时间轴上的位置，而a 不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。小 波变换的时频窗口的面积为2 i a i 2 a g t a 等于4 a g t a 。窗口面积保持不变， 在分析检测高频成份时( w o a 较大，即a 较小) ，时频窗口自动变窄，频率窗口 则相应变宽：分析检测低频信号成分时( w o a 较小，即口较小) ，时间窗口自动 变宽，频率窗口则相应变窄。这种时频窗口的自适应变化是小波变换的优点，也 是短时傅里叶变换不能达到的，因为短时傅里叶变换的时频窗口大小总是不变 的。而且从滤波器的观点来看，在不同尺度下作小波变换大致相当于用一组带通 滤波器对信号进行处理，这些滤波器的品质因子 g = 訾5 丽w o a2 面w o ( 1 1 7 ) 是常数，这也是傅里叶变换所不能达到的。因此，小波变换具有数学显微镜特点 的比喻。 上面提到的g a b o r 变换也有窗口，但是窗口大小是固定的。对非平稳信号则 与固定时窗是矛盾的，所以s t f t 在处理这一类问题时是无能为力的，而且在进行 数值计算时，将基函数离散化时，都不能构成正交基。而小波变换却能克服窗口 傅里叶变换的不足，因此得到广法的应用。 两种方法的时频窗如图l 所示。 图1 1 小波变换与g a b o r 变换的时频窗示意图 中国科学技术大学硕士学位论文 1 5 小波变换与傅里叶变换分析 小波变换不同于傅里叶变换在于小波变换具有时频局部化功能。 一个简单的例子，两组信号的比较： 第一组：y ( x ) = 6 0 c o s ( 8 z x ) + 3 5 c o s ( 2 n ) + 4 0 c o s ( 4 z x ) 对其离散化采样点 1 0 2 4 ，采样间隔为0 0 1 。如图1 2 所示 y 魁 相 x 采样点数 图1 2 第一组离散信号 x 采样点数 图1 3 信号的傅里叶频谱 信号的小波域分解：为方便计算本文选择q m o r l e t d 、波对此信号进行了连续 小波变换。小波尺度范围从i 至u 1 0 0 ，尺度的步长选择为o 2 。如图1 4 所示 巨 中国科学技术大学硕士学位论文 图1 4 信号分解的小波系数绝对值 第二组信号把第一组信号分三段采样1 - - 3 0 0 为6 0 e o s ( 8 7 r x 】，3 0 0 - - 6 0 0 为 3 5 c o s ( 2 ；r ) ，6 0 0 一1 0 2 4 为4 0 e o s ( 4 ，r x ) 如图1 5 所示 y 划 黼 图1 5 第二组曲线图 x 离散点数 图1 6 信号的傅里叶谱 畦 中国科学技术大学硕士学位论文 信号的小波域分解：同样选择了m o r l e t 小波对其进行了连续小波变换。 小波尺度范围从i 到1 0 0 ，尺度的步长选择为0 2 。如图1 7 所示 图1 7 信号分解的小波系数绝对值 如图l t3 和图1 6 两组信号得到相同的傅里叶谱，因此利用傅里叶变换不能 区分这两组信号。两组信号在小波域却得到不同的系数分布，如图1 4 和图1 7 所示。可见小波变换通过不同的尺度把信号区分开来。 小结：目前短时傅里叶变换在许多领域获得了广泛的应用。但由于s t f t ( 或 w f t ) 的窗口函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持不变，这对于分析时 变信号来说是不利的。小波变换不但继承和发展了s t f t 的局部化思想，而且克服 了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基的缺点，是一种比较理想的信号处理 方法。 中国科学技术大学硕士学位论文 】。5 本文的主要工作 本文从小波变换的理论和应用出发，结合光测实验中目前常用的数字散斑相 关方法和条纹图位相检测方法，具体做了以下两方面工作： 1 针对离散小波变换在光测实验中的应用，分析了基于离散小波变换阈值 去噪的原理。并且将其应用于数字散斑相关法1 4 7 。4 9 3 ( d s c m ) 中的前处理 与后处理，提高了散斑图像的相关性，得到了准确的整像素搜索位置， 以及应用于位移场平滑的后续处理。同时也应用于红外热成像的噪声平 滑处理。 2 基于条纹图像的位相的分析，实现了利用连续复小波变换提取单幅条纹 图位相信息方法，并且将其应用到m 叫s 器件的离面位移和三维形貌的测 量，并对误差做了具体分析，提出了改进措施。 1 0 中国科学技术大学硕士学位论文 第二章：算法综述 2 1 小波变换的原理 2 1 1 小波变换的定义【7 】【1 1 】【1 2 】 小波变换的定义是把某一被称为基本小波( 也叫母小波m o t h e rw a v e l e t ) 的函数g t ( t ) ，做平移b 后，再在不同尺度a 下与待分析的信号f ( t ) 做内积 ( 口，6 ) ： rf ( t ) v 掣) a t ， 0 ( 2 一1 ) 。 口“ a 等效的频域表示为： 呐，6 ) ：尝f ( w ) 孑( a w ) e x p ( j w 呐( 2 - - 2 ) 式中f ( w ) 和( w ) 分别是厂( f ) 和y ( f ) 的傅里叶变换。 2 1 2 连续小波变换的原理与实现 定义：设妒( r ) l 2 ( r ) ，其傅里叶变换为孑( w ) ，当( 忉满足允许条件( 完全 重构条件或恒等分辨条件) ： q = 牛 o ，州，z 一般取= 2 ，b o = l ，则离散小波基定义为 一苎 。( r ) = e l o2 c ，( 口i ”t n b o ) ( 2 1 2 ) 对于，( f ) l 2 ( r ) ，相应的离散小波变换( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，d w t ) 巧( m ，以) = 厂( ) 石劢 ( 2 一1 3 ) 1 9 8 8 年s m a l l a t 【7 】【1 0 j 从计算机视觉的角度提出了多分辨率分析 ( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) ( 简称m r ) 的概念。多分辨率分析为正交小波 中国科学技术大学硕士学位论文 基的构造提供了一个统一的框架。 空间r ( r ) 中一列闭予空间( 巧) 脚称为r ( 尺) 的一个多分辨率分析( m r a ) 如果该序列满足下列条件： ( 1 ) 单调性：_ 一- 巧+ w z ； ( 2 ) 逼近性：n 一= o ) ，u = r ( r ) ； ，e zj e ( 3 ) 伸缩性：，( x ) 一f ( 2 x ) 一十1 ，z ； ( 4 ) 一，= 巧o ，z ( 5 ) 平移不变性：f ( x ) v o ；f ( x k ) ，v j z ； ( 6 ) r i e s z 基存在性：存在g k 使 g ( x - ) i k z ) 构成v o 的r i s e z 基。 其中_ ，常分别称为尺度空间和小波空间，为_ 在l 一中的正交补，o 表 示直和，并且嘭上f j ，上巧，l 可表示为： _ 一o + 2o + t r ( 月) 2 星。噬。驴。 相应地，对任意函数f ( x ) p ( 月) 存在唯一的一种分解： f ( x ) = - + g - i ( x ) + g o ( x ) + 9 1 ( x ) + ( 2 - - 1 4 ) 其中毋( x ) 利用多分辨率分析不仅可以构成正交小波基，而且可以得到离散小波变换的 速算法。 中国科学技术大学硕士学位论文 m a l l a t 算法的基本思想可以归纳如下： 设日，f 为能量有限信号厂r ( r ) 在分辨率2 下的近似，则h j 厂可以进一步 分解为厂在分辨率2 川下的近似h j 一，f ( 通过低通滤波器得到) ，以及位于分辨率 2 1 和2 s 之间的细节q 一、f ( 通过高通滤波器得到) 之和，其分解过程如图2 1 所示，其重构过程如图2 2 所示。 h 。f 合成 h | l d i _ 、f 图2 1 小波分解示意图 h f d f 图2 2 小波重构示意图 。卜卜 翠。 晾。 对于二维图像( t ”，在哆中的分量4 厂( 五y ) 可以分解为 其中 而 4 f = a i l 七e 4 七域 + 哦、 + 4 一，厂= q 一。( 鸭n ) c ( m ，片) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) q - = 彰一。( m ，h 杉一l ( 聊，玎) ，i = 1 ，2 ，3 ( 2 1 7 ) 1 6 z 吖 吖 中国科学技术人学硕士学位论文 a j 一，( 肌，胛) = 如，砒。q ( ，七) 叫i 一( 研，疗) = i 一记。a ( 1 ，】 ) ( 脚，胛) = 否。瓦一“q u ，七) 嘭一。，托) = 云一：。夏。q ( f ，七) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 令e 和e 分别表示对a ，) 的行与列作低通滤波运算，g r ，q 分别表示 对q ( ，七) 的行与列作高通滤波运算，则二维m a l l a t 算法之信号分解的矩阵表示 可以描述为： 4 t = c , c 0 4 ，叫一。= c g 。4 ， 礞】= g ，c 0 4 ，巧_ = g r g 。4 ，= j ，j 一1 ，1 ，0( 2 2 2 ) 相应地，其二维m a l l a t 重构算法地矩阵表示为： a j 一- = c c 4 一。+ 嘭谚一。+ c 礞，+ g ：巧一。，= o ，i ， 1 一，j 一1 ，j ( 2 2 3 ) 离散小波变换的实现 g i r d 、波变换的实现实际上离散信号与滤波器的卷积来实现的。 滤波器即为式( 2 1 8 ) 到式( 2 2 1 ) 中的 伽】，g 【疗】。 滤波由分解时的低通和高通滤波器组以及重构时的低通和重构滤波器组。 滤波器的关系为： 1 7 中国科学技术大学硕士学位论文 h n 分解低通滤波器 烈n 】 分解高通滤波器 j ； n 】 重构低通滤波器 前门 重构低通滤波器 正交小波的双尺度方程和函数分解序列可以用序列仇) 表示。在双正交小波 基中由两个序列 吃 和 i 。) 生成。关系如下 正交小波符合以下关系： 岛= ( 一1 ) ”1 吃 h n = 见“ g h2g - l = 压五。 离散小波变换实现演示 水平概貌水平细节 图2 3图像的离散小波分解示意图 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 概貌部分水 - 鞘l t t 节 垂直| 啼对角细节 设 中国科学技术大学硕士学位论文 图像的小波分解示意图 换分解 l e n a 图2 5 6 x 2 5 6 层小波变换分解二层小波变换分解三层小波变 图2 4 l e n ad b 4 小波分解示意图 图2 5 自光散斑图像( 金属试件的表明细节图像) 图2 6 小波变换的一层分解图2 7 小波变换的二层分解 中国科学技术大学硕士学位论文 图2 4 是经典l e n a 图像的小波分解。 图2 6 和图2 7 是白光散斑图像( 图2 5 ) 的h a a r 小波分解图。 可见图像经过一层小波变换后形成了四个区域概貌部分，水平细节和垂直细 节及对角细节四个部分。图2 4 、图2 6 、图2 7 显示了小波变换的特点。细节 部分显示了图像的边缘特性等高频信息。以上离散小波变换的是经过抽样的小波 变换，这样产生了最小的冗余。 小波包分解和离散平稳小波变换 卜图像的小波包分解 图2 8 示例图像图2 9 示例图像的二层小波包分解 图像的小波包分析实际上是在细节部分再进行小波变换的分析方法。 图像离散平稳小波变换( s t a t i o n a r yw a v e l e tt r a n s f o r ms w t ) 图2 1 0 离散平稳小波变换( s w t ) 分解示意图。 2 0 中国科学技术丈学硕士学位论文 散斑图像经过分解以后形成四个子图像( s u b i m a g e ) ，且每个予图像的大小 均与原图像大小相同。 低频概貌水平细节垂直细节对角细节 图2 1 1w o m a n 图像的一次离散平稳小波变换变换。 不同于离散小波变换( d w t ) ，离散平稳小波变换( s w t ) 对原始图像不进行 抽样，因此变换后的数据产生了一定的冗余。但是不管是概貌部分还是细节部分 信息量都比d w t 多。 2 1 4 小波函数的特点 在离散小波变换中，小波基主要是由小波滤波器实现的，分为正交小波基和 双正交滤波器。正交小波基只有h a a r 小波是对称的小波，其余的正交小波基是 不对称的或者近似对称，而双正交小波基则是对称的，小波的对称性对小波分解 最大的影响就是相移的产生，这对小波重构是不利的；而双正交小波基则克服了 这样的缺点。小波基的平滑性与小波滤波的长度有一定的关系，小波滤波器越长， 一般来说光滑性越好，但是滤波器越长其局部效应越不明显，相应的计算量和边 界效应也会突出。因此利用小波变换处理图像时小波基的选择是非常重要的。 连续小波变换的基函数主要有两种基函数，一种是对称的基函数，一种是 反对称的基函数，对分解也有重大影响。 中国科学技术大学硕士学位论文 表2 1 连续小波变换和离散小波变换的比较 项目连续小波变换( c w t )离散小波变换( d w t ) 1 尺度 任何尺度 二迸尺度 2 变换任意点整数点 3 ，小波基 符合的任意函数正交和双正交基 4 ， 计算量冗余度大，计算时间长计算速度快，最小冗余 5 应用范围 模式识别运用于数据压缩，去噪， 特征检测，位相检测传送特征提取 在以下两章主要分析离散小波变换和连续小波变换在光力学实验中的具体 应用。主要分为： 1 离散小波变换在散斑图像去噪及其在数字散斑相关中的应用。 2 连续小波变换在单幅条纹图位相提取的分析和应用 中国科学技术大学硕士学位论文 2 2 数字散斑相关法( d s c m ) 的基本原理 数字散斑相关法处理的是物体变形前后的两个数字化了的散斑场一一数字 散斑，它是由一个二维分布的灰度数组组成： 变形前：f ( i ，j ) 变形后：厂( f ，) ( f = 1 ，2 ，m ，_ ，= 1 ，2 ，n ) ( i = l ，2 ，m = l ，2 ，) 其中散斑场取样大小为m x n 像素。 图2 1 2 ( a ) 给出了物体变形的两个状态i i i 。其中变形前点( x o ，y o ) 蝴r 蝴l j ( x i ，y 。) ，位移；在x ，y 轴上分量为( u ，v ) 。设点( x ，y ) 附近矩形小面元 的灰度分布为f ( x ，y ) 。物体变形后，矩形小面元也发生了相应的变形，其上的 灰度分布为厂( 墨y ) 1 1 i i ( a ) 一般变形 图2 1 2 物体变形 ( b )刚体平动 当物体仅发生了刚体平移，v o ) 时( 如图2 1 2 ( b ) 所示) ，面元上的灰度分 布基本上不发生变化。在( 薯，y ，) 与( x ：，y ：) 上，f ( x ，y ) 与f ( x ，y ) 相比仅仅发生位 最的移动，其图像很相似。 中国科学技术大学硕士学位论文 厂0 + “，y + v ) = f ( x ，y ) 选取一个合适的相似度度量函数( 称之为相关函数) ： c ( u ，y ) = c f ( x ，y ) ，f ( x + u , y + v ) 】 n c 将在( ，) 处取极值，即 c ( u ，v ) 。= c ( u ，v ) i ( ，) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 对小面元而言：1 0 = x 2 - - x 1 ，v o = y 2 - - y 1 。由此可见，为测量( ，m ) 附近面元 的刚体位移( ，v o ) ，只需在变形后的物体上找到使c 取最大值的面元位置即可。 为此，可在位移后的物体上任意选定与原面元等大小的面元 ：y ，假定其 与平动前面元相对应，则面元的虚拟位移为”= x t - - x l ，v = y - y l ，计算其相关函 数值c 。改变位移后面元的位置，使其在物体上漫游，我们将得到许多c 值，依 据式( 2 2 9 ) ，其中最大c 值对应的面元即移动后的真实面元，相应的位移即为 真实位移。 对一般变形而言，同样考虑小面元的情况，并假设变形前后对应点的灰度。 由于面元的面积足够小，我们可以假定其内的变形是均匀的。即它的位移场完全 可以由面元中心位移( “，v ) 及其导数( 掣，掣，娑，当描述。面元内任一点的位 珊洲o x0 3 移( h ，v ) 为： 中国科学技术大学硕士学位论文 。( w ) ：u + 掣。x + 掣。y 佛 o y 心一争+ 詈a y 式中a x ，a y 为该点相对面元中心点的坐标偏移。 此时，有 + ( p ，y + ) = f ( x ，y ) p = x + u + 型x 十型a y 嬲卵 产y + 矿+ 娑o x a x + 婴o y a y ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) c ( u ，矿) ：c f ( x , y ) ，+ ( x + u + 掣。x + o uy , y + v + 婴。x + 掣。朋 僦 o y o x o y ( 2 - - 3 2 ) 式( 2 3 2 ) 中，由于包含了( 掣，掣，罢，当项，需引进迭代算法，因此，采用 甜o y 戚o y 这种相关函数的相关算法也叫相关迭代法。 分析( 2 3 1 ) 式，这一仿射变换是由( u ，v ) 及其导数确定，而每一组( u ，v ) 均对应一个变形面元，变形前后面元对与仿射变换成一一对应关系。因此，从数 学的角度看，数字散斑相关法测量的实质就是针对变形前的某面元，寻找一个 仿射变换( 等价于相应的变形面元) ，使变形后的面元与变形前的面元间的相关 函数取得最大值。这就是文献n 3 1 中描述的变分思想。在仿射变换中包含的( u ，v ) ， 就是欲测量的位移场。 文献【1 4 】经过分析指出，以上做法存在以下两个问题： a )在有较大的刚体位移时，仿射交换中含位移导数项的至多只能是位 中国科学技术大学硕士学位论文 移的一阶小量。对于这样个调制在高阶量中的慢变小量要实现高 精度的直接测量是不现实的。而且，位移导数对仿射变换的影响并 不显著“，所以应变分量对位移测量也并不是必须的。 b )相关迭代的过程相当复杂。迭代变量多大六个，计算量相当大。其 相关函数是一个七维空间的超曲面，迭代的理论分析变得很困难。 文献1 4 1 针对以上的问题，在相关迭代中忽略位移导数项，仅考虑位移本身 于是仿射变换重新写为： f x = x + u 1 _ y = y + y 并称采用这中仿射变换格式的方法称为相关搜索法。 2 2 2 数字散斑相关法的整像数搜索 采用文献1 1 4 1 的方法，取模板运用相关搜索的方法进行整像数搜索。 变形前后的散斑场用灰度数组量化如下： 五( x ，y ) 1 2 ( x ，y ) 0 = l ，2 ，m ；y = 1 2 ) = l ，2 ，m ；y = 1 2 。) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 在变形前后的散斑场中，抽取出我们感兴趣的一块矩形区域，并称这块区 域为模板窗口，表示如下： 彬 ，y ) = + ，_ y + 乩)0 = 1 ，2 ，m ；y = l 2 埘) ( 2 3 5 ) 其中( ，) 是模板窗口左上角在原散斑场中的位置，一般+ 州s m ，y o + n n 中国科学技术大学硕士学位论文 在变形后的散斑场中，我们也定义一系列的目标窗口 ( x ，y ) = 1 2 ( x + x o ，y + y o ) 0 = l 2 m ；y = l ，2 ，疗) ( 2 3 6 ) 窗口左上角坐标在原图中的位置是( + “，y o + v ) ，当z , v 变化时，我们得 到一系列的目标窗口组成的一个样本集。如图2 1 3 所示：变形后的窗口样本集 就是相对于变形前窗口的样本相关位置的样本集合。 变，l 前散斑弱n 变形后的散斑场】己 图2 1 3模板窗口和样本窗口示意图 围 公式( 2 - - 3 2 ) 定义了相关函数c ( u ，v ) 。c ( u ，v ) 是关于u 和v 的一个连续 的二维函数。在选取一定的规则计算c ( u ，v ) 后，求出c ( u ，v ) 峰值所在的位置 ( ，v o ) 是面元的整像数位移。在实际过程中需要选择适合的相关函数并对其进行 离散化。 相关系数的选择： 中国科学技术大学硕士学位论文 相关系数分析“： g ( “，v ) = ( 2 - - 3 7 ) c 2 ( “，v ) = | ( 量，y ) 一( x ，y ) p ( 2 - - 3 8 ) e m ，。) ：j 三竖! 兰丝：丝! 兰塑三( 2 3 9 ) e ( 。，。) ：1 三! 竖! 兰兰! 三三兰! 兰丝塑：! 曼! 兰兰2 三三丝! 兰堕型兰 ( 2 4 0 ) 其中 为二维平均运算符，对数字图像的二维数据： = y y m h 篙备 ( 2 3 7 ) 和( 2 3 8 ) 采用距离的形式。( 2 3 9 ) 和( 2 4 0 ) 为互相关的 形式。( 2 3 7 ) 和( 2 3 8 ) 的量纲为灰度平方和灰度。其中( 2 3 7 ) 又称最小 二乘相关法。以相关函数最小值点为目标的定位点。( 2 3 9 ) 和( 2 4 0 ) 进行 了归一化处理，无量纲，它表征了两个模板的相似性，( 2 3 9 ) 为标准化相关法， ( 2 4 0 ) 为标准化协方差相关。其相似性对于( 2 3 9 ) 在 0 ，1 之间( 2 4 0 ) 为 一1 ，1 之间c 3 和c 4 的不同之处在于考虑了平均光强的影响，但是计算量也增 加了。由于归一化相关法是标准化的协方差函数，因此具有对灰度线性变换的不 变性 1 5 。 对于目标和模板图像之间存在线性畸变的情况，方差归一化相关法仍然能较 好地评价它们之间地相似程度。这种相关法能起到突出特征变化的效果，使得相 关系数矩阵呈现明显的单峰分布，并且峰顶形式更尖锐。而且同协方差相关法一 样具有抗灰度反转能力。因此这种相关法在实际中应用较多，本文就是采用这种 相关系数进行相关运算和数据分析的。 数字散斑相关法是现代光电子技术、图像处理技术和计算机技术相结合的产 物，是现代光测力学的发展方向之一。目前相关运算方法存在两个问题： 一：由于实验设备和环境在采集图像中引起的随机误差，影响计算准确度。 二：相关运算方法的选择。 中国科学技术大学硕士学位论文 基于数字散斑相关位移场搜索依赖于散斑场本身的相关性、模板的大小、相 关系数的选择等。相关位移场反映的是相应模板相对参考散斑场的平均位移。数 字散斑相关法中模板大小的选择直接反映了数据统计性质。本文第三章就是研究 这样一种统计性质，在噪生影响下的稳定性。并讨论了基于小波变换的去噪平滑 分析。 图2 1 4 数字散斑相关法整像数搜索流程图 中国科学技术大学硕士学位论文 2 3 位相测量方法综述 光学干涉计量技术，包括经典干涉、全息干涉、散斑干涉和云纹 干涉1 9 1 等，已经成为测量变形，形状和折射率变化等物理量的一种手段