（应用数学专业论文）含临界位势和临界指数的拟线性椭圆型方程的多重解.pdf

摘要 拟线性椭圆型方程是偏微分方程理论的一个重要分支，对于这种方程的 解的存在性与非存在性，唯一性与正则性历来是人们研究的主题，特别是对含 有临界指数或临界位势的拟线性椭圆型方程d i r i c h l e t 问题的研究，近年来是 一个热点问题。本文从不同的角度( 如，含i 临界指数，含临界位势或者无穷区 域) 讨论了两种算子方程pl a p l a c e 算子方程和p - 平均曲率算子方程在失 去紧性的情形下的解的存在性问题。 对于含有i 随界指数的p l a p l a c e 算子的d i r i c h l e t 问题的无穷多解的存在 性，国内外还很少有人研究。本文利用集中紧原理，不要求( p s ) 条件的山路 日理， c l a r ki f 箭界点理论和亏格的性质等，讨论了这种问题的无穷多解的存 在性从而在较弱的条件下推广了p = 2 时的某些结果。 由于无界区域上的问题也是失去紧性的问题，因此研究这类问题与研究 临界指数问题一样具有一定的困难本文讨论了一类无界区域上p l a p l a c e 算 子方程的正解的存在性，从而推广了p = 2 时的某些结果。 对于含临界位势的非线性椭圆型方程d i r i c h l e t 问题的研究，目前也是一 个热门课题。但大部分是针对于p = 2 或凸非线陛情形。本文首次探讨了含临 界位势或超临界位势的p - l a p l a c e 算子凹凸非线性椭圆型方程d i r i c h l e t 问题 正解的存在性。由于凹凸非线性比凸非线性更难得到( p s ) 序列的有界性，从 而证明这类问题有一定的难度。本文利用h a r d y 不等式，e k e l a n d 变分原理 及山路引理分别讨论了次临界指数和临界指数情形的这类问题的正解的存在 性。 对于p 一平均曲率算子非线性方程的研究，目前还停留在次临界指数且 p 2 的情形。本文首次讨论了这种算子的含l 陆界指数或临界位势，甚至超临 界位势的d i r i c h l e t 问题。对于只含有临界指数的p 一平均曲率算子( p 兰2 ) 的 研究，本文采用n e h a r i 型对偶性质及定义同伦稳定集簇( ah o m o t o p y s t a b l e f a m i l y ) 的对偶集( d u a ls e t ) 的方法，证明了这种问题的正解的存在性；对于 含有临界位势或超临界位势的p 一平均曲率算子( p 1 ) 的研究，本文仍采用 h a r d y 不等式，e k e l a n d 变分原理及满足( p s ) 条件或不满足( p s ) 条件的山 路引理，证明了这种算子的d i r i c h l e t 问题的正解或无穷多解的存在性。 以上介绍的拟线性椭圆型问题，由于它们大多来源于几何，物理学等问题 中，因此一直受到人们的关注，也很值得进一步研究。 中国科学技术大学博士学位论文 i i 本文第二章讨论了如下形式的非线性方程的无穷多解的存在性 f 一，“= iu = 0 z a q 其中p “= d i v ( v u v 一2 v u ) 是钍的p - l a p l a c e 算子，u 州9 ( n ) ，q 是 r ( 3 ) 中的有界区域， 1 0 ，使得对 v a ( 0 ，a + ) ，上问题有无穷多解从而在较弱的条件下推广了p = 2 时的某些 结果 第三章主要讨论了下列无界区域上非线性方程正解的存在性： z r n 其中a ：r - - + r 是连续非负函数，h ：r _ 冗是某类可积函数2sp n 且p 2s ，l q p ，p 0 ，a ( x ) l 。( 兄) ，x r ” 再假设 ( z ) 满足条件： ( h o ) ：h 0 ，h l q o ，其中q o = 正p * - - q ( 1 ) 幽，( r - p ) 1 j z ( r - p ) 鬻叫刺 篙 ；i 幽f 。十卢l 刺r ； 即，i h l 们 矧f 必p ( r - q ) 1 j 舄m s 哕掣， 其中d 2 灶q ( s m o ) p ，卢2 = 礴1 尹； ( f 。2 ) ：当茁一0 时， ( z ) = o ( x 5 ) ，其中一+ 咄p 5 0 本章证明了：当o ( z ) 满足条件( a o ) ， ( z ) 满足条件( h o ) ，且 ( 1 ) 当1 q p ，p r p ，r = p 4 时，且h ( x ) 满足条件( 2 ) 时，上问题有一个弱正 解 从而推广了p = 2 时的某些结果 第四章讨论了如下形式含有临界位势或超临界位势的凹凸非线性椭圆型 方程正解的存在性： 落静裂 其中。u = d i v ( i v u l p v u ) ，u w 护( f 2 ) ，q 是r 中具有光滑边界的有界区 域，且o q ，l g p ，n23 ，0 s 0 ，使得对v a ( 0 ，a o ，上面的 问题有两个弱正解； ( 2 ) 临界指数情形时，存在确定的a + 0 ，使得对v a ( 0 ，a ) 一l 二面的问 题有一个弱正解 本章首次讨论了含临界位势的凹凸非线性椭圆型方程正解的存在性，并 能得到确定的a o ，a + 同时，由于等扫一q ) + q p ，从而本文所含的奇性比 p = 2 时相应问题的奇性还要高。 第五章主要考察如下含临界指数的p 一平均曲率算子方程： 三兰譬1 + v 圳勺孚v “= a 妒+ 一1 + 弘让口一1 i l 囊 其中u 埘。( q ) ，n 是r ( p 1 ) 中具有光滑边界a n 的有界区域， 2 p 墨q 0 本章采用n e h a r i 型对偶性质及定义同伦稳定集簇( ah o m o t o p y s t a b l e f a m i l y ) 的对偶集( d u a ls e t ) 的方法，证明了在下列情形之一下： ( 1 ) p p p q ( 。p + - ( 1 q ) 一+ 们p ( ( p p - 一w 1 ) ， ( i i ) p 2 + 0 ：，n 卫2 + ( 虹q - p 业) ( p 堡- 1 ) ( 2 ) p = q 0 ，0 吐地2 则这种问题有一个弱正解，其中n ( 0 ，2 1 特别，假设p = 2 ，g = p ，取。= o ，那么v a o ，芦( o ，2 ) ，n 芝p 2 ，以上 问题至少有一个弱正解这和l a p l a c e 情形时的结论相吻合 但是，当p 2 时，p - 平均曲率项，n ( 1 + l v 札1 2 ) 1 d z 含有低阶项 因此当我们检验( p s ) 条件时，我们要把。凡钍车如与低阶项相比较所以要求 空闫维数的取值要比p - l a p l a c e 时的大 第六章主要研究如下含临界位势或超临界位势的p 一平均曲率算子方程： f d i v ( ( 1 + i v u l 2 ) 譬v “) = a u ”一1 + p 笔寻， 。q ， 汜毒：翕 其中“w 9 ( q ) ，q 是r ( n p 1 ) 中具有光滑边界a n 的有界区域，且 0 q ，0 q p ，0 s 0 本章证明了在次临界指数( r p + ) 和临界指数( r = p + ) 时，得到多解 的存在性，见下表： 表1 s o b o l e v 次临界指数情形 奇性项参数非奇性项空间维数正解 p 2 ，0 0p a 0 ；“ 0p = r p 一k i 1 p 2 0 0 ；芦i ( a ) p 0 2 r 矿 p 0 ；舻 02 = r p p 0 p r ) 、 0 ；“ 0p = r 2 r p 一个 特别地，( 1 ) 如果p 2 ，q - - - + p ，p r p + ，那么瞄( a ) l - t s , v ；如 果p 2 ，q p ，p r 0 ，使得相应泛函满足山路几 何，同时得到( p s ) 序列 u 。) 的有界性因此，我们不能得到山路几何的结 论 本章还得到了含临界位势和临界指数时p 一平均曲率算子的d i r i c h l e t 问 题的结论如下 中国科学技术大学博士学位论文 v 表2 s o b o l e v 临界指数情形 奇性项参数非奇性项空间维数正解 p 2 ，0 0 r2 p + p一个 1 p 2 0 o ；芦料( a ) 芦 o2 r = p 4 p n 番 一卜 无穷多个 特别地，( 1 ) 如果p 2 ，q p ，r = p + ，那么( a ) ，旷4 ( a ) _ 卢 因 此，能量为负的局部极小解的存在性与p - l a p l a c e 情形时的结论一致 ( 2 ) 如果l 0 ，上问题至少有两个弱正解 ( 3 ) 如果o g 1 ) i n v o l v i n gc r i t i c a l p o t e n t i a lo rs u p c r i t i c a lp o t e n t i a l ，t h i sp a p e ro b t a i n st h ee x i s t e n c e so f t h ep o s i t i v es o l u t i o na n dt h ei n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n so fd i r i c h l e tp r o b l e mb yu s i n g h a r d yi n e q u a l i t y ，t h ee k e l a n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n dt h em o u n t a i np a s s t h e o r e mw i t ht h e ( p s lc o n d i t i o no rw i t h o u tt h e ( p 8 ) c o n d i t i o n a st h ea b o v eq u s i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m sa r ec o m ef r o mt h eg e o m e t r y a n dt h ep h y s i c se c t ，m a n yp e o p l er e s e a r c ht h e ma n di t i sw o r t ho fb e i n g r e s e a r c h e d c h a p t e r2d i s c u s s e st h ee x i s t e n c eo ft h ei n f i n i t e l ym a n y s o l u t i o n sf o rt h e f o l l o w i n gn o n l i n e a re q u a t i o n ： ：全学2 i “f 9 + 一2 乱+ a ，茁， ：i 譬j w h e r ea p = d i v ( 1 v u l p 一2 v u ) i st h ep - l a p l a c eo p e r a t o ro fu ，u 孵9 ( n ) ，n i st h cb o u n d e d d o m a i n 。f r ”( 3 ) ，1 0 ，s u c ht h a tf o rv a ( 0 ， + ) ，t h i sp r o b l e mh a si n f i n i t e l ym a n y s o l u t i o n s s o m er e s u l t sa sp = 2a r eg e n e r a l i z e da tw e a k e rc o n d i t i o n s c h a p t e r3m a i n l yd i s c u s s e st h ee x i s t e n e eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h e 2 0 0 3 年 中国科学技术大学博士学位论文 v i i i f o l l o w i n gn o n l i n e a re q u a t i o ni nt h eu n b o u n d e dd o m a i n ： j - d i v ( i v u l - 2 v u ) + a ( x ) u p 一1 = h ( x ) u q 一1 + 札1 ，茁r l 2 0 ，乱0 ， 厶o ( z ) p d x + 。 w h e r eo ：r - - ri sa n o n n e g a t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o n h ：r 寸r i ss o i n e c l a s so f i n t e g r a b l ef u n c t i o n 2 曼p na n d p 2sn ，1 g p + ，p 0 ，a ( x ) l ”( r ”) ， z r a n dh ( x ) s a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( h s ) ：h 0 ，h 五如， w h e r e 鼋b = - 卫p * _ 二q 1 r1mr1 _ ( 1 ) ：dl 蚓z ( r - p ) r 9 + 卢l 蚓b ( r - p ) r ； i e 绷偿r ( p 刊- q ) f 肆舻s 学， w h e r e 一热q ( s m o ) 2 焉毒笋； rf m o ) ；s 专产 ( h 2 ) ：h ( x ) = o ( 。6 ) ，a sz _ 0 ，w h e r e n 十韭生孑坦曼6 0 i tp r o v e st h a t ：s u p p o s et h a t ( o ) s a t i s f yt h ec o n d i t i o n ( 。o ) ，h ( x ) s a r i s f y t h ec o n d i t i o n ( h 0 ) ，a n d ( 1 ) i fl q p ，p r p ，r = p + ，a n d ( z ) s a t i s f yt h ec o n d i t i o n ( h 2 ) ，t h e nt h ea b o v e p r o b l e mh a so n ep o s i t i v es o l u t i o n s o 、s o m er e s u l t sa sp 一2a r eg e n e r a l i z e d c h a p t e r 4d i s c u s s e st h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n g c o n v e x c o n c a v en o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hc r i t i c a lp o t e n t i a lo rs u p c r i t i c a l p o t e n t i a l ： 慌亏，嵴+ u ”1 茁qcr z n ， z 0 q w h e r e p u = d i v ( v u p 一2 v _ l 上) ，t 上叫护( q ) ，qi s t h eb o u n d e dd o m a i nw i t h t h el u b r i c i t yb o u n d e d n e s sa no fr ，a n d0 q ，1 g p ，n 3 ，0ss 0 ， s u c ht h a tf o rv a ( 0 ，a 0 1 t h ea b o v ep r o b l e mh a st w op o s i t i v es o l u t i o n s ； f 2 ) i nt h ec a s eo f c r i t i c a le x p o n e n t ，t h e r ee x i s t ss o n r ed e f i n i t e ” 0 ，s u c h t h a tf o rv 0 ，弦) ，t h ea b o v ep r o b l e mh a so n ep o s i t i v es o l u t i o n + i td i s c u s s e st h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ec o n v e x c o n c a v e n o n l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hc r i t i c a lp o t e n t i a lo rs u p c r i t i c a lp o t e n t i a la t f i r s t i tc a no b t a i nt h ed e f i n i t ec o n s t a n ta 0 ， ”a tt h es a m et i m e ，a s 譬( p 一 曲+ q p ，t h es i n g u l a r i t y i n t h i sp a p e r i sh i g h e r t h a n t h a to f p 一2 c h a p t e r5d i s c u s s e s t h ef o l l o w i n gp m e a nc u r v a t u r eo p e r a t o re q u a t i o n w i t hc r i t i c a le x p o n e n t s ： f d i v ( ( 1 + 1 w l 2 ) 2 v 钍) = 2 u p + 一+ # u q 一1 ， 。q ， u o ， z q ， lu = 0 ， o o f t w h e r e 钍嬲9 ( 竭，qi st h eb o u n d e dd o m a i n w i t ht h el u b r i c i t yb o u n d e d n e s s 盆qo f 霆( 罗 1 j ，2 p 譬 0 b yu s i n gt h em e t h o d so ft h en e h a r i t y p ed u a l i t yp r o p e r t ya n dd e f i n i n g ad u a ls e tt oah o m o t o p y s t a b l ef a m i l y , t h i sp a p e rp r o v e st h a ti no n eo ft h e f o l l o w i n gc a s e s ： ( 1 ) p 茅p q 毫( p 干- 磊1 ) j + p 蔽( p ；- ：e 可) ， ( i i ) p 2 盘，n 卫2 + 蜓( q - - 兰p ) 嫂( p - - 1 ) ( 2 ) p = 譬 0 ，0 0 ，芦0 ，纯) ，n p 2 ，t h ea b o v ep r o b l e mh a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n 。t t i sc o r r e s p o n dt ot h ec o n c l u s i o n so ft h ec a s eo fl a p l a c eo p e r a t o r b u ti fp 2 ，t h ep - m e a nc u r v a t u r et e r m f n ( 1 十1 w 1 2 ) 一1 d zi n v o l v e s s o m el o w e ro r d e rt e r m s w h e nw ep r o v et h e ( p s ) c o n d i t i o n ，w eh a dt oc o m p a r e 矗u q + d x w i t ht h el o w e ro r d e rt e r m s s ot h ev a l u eo ft h ed i m e n s i o no ft h es p a c e i sl a r g e rt h a nt h a to fp l a p l a c e ， 2 0 0 3 年中国科学技术大学博士学位论文x c h a p t e r6d i s c u s s e st h ef o l l o w i n gp - m e a nc u r v a t u r eo p e r a t o re q u a t i o n w i t hc r i t i c a lp o t e n t i a lo rs u p c r i t i c mp o t e n t i a l ： 三兰、1 + l v 圳刁学v “= a 乱7 1 + p 篙il 虽 w h e r e w j 带( q ) ，qi st h eb o u n d e dd o m a i n w i t ht h el u b r i c i t yb o u n d e d n e s s a no fr ( p 1 ) ，a n d 0 q ，0 q p ，0 s 0 i to b t a i n st h ee x i s t e n c eo fm a n ys o l u t i o n so ft h ea b o v ep r o b l e m i nt h ec a s eo fs u b c r i t i c a le x p o n e n t sa n dc r i t i c a le x p o n e n t s s e et h ef o l l o w i n g t a b l e s ： t a b l e1s o b o l e v s u b c r i t i c a ln o n s i n g u l a rt e r m s i n g u l a rt e r m p a r a m e t e r s n o n s i n g u l a rt e r m d i m e n s i o ns o l u t i o n s p 2 ，0 0p a 0 ；p 0p = r p o i l ep o s i t i v e 1 p 2 ，0 o ；p ；( a ) “ 0 2 r 口+ p 0 ；“ 0 2 = r 矿 p 0 p r a 0 ；口 0 p = r 2a n dr ”0 n ep o s i t i v e e s p e c i a l l y ，( 1 ) i fp 2 ，q p ，p r p + ，t h e n 瞄( a ) 斗帅；i f p 2 ，g _ p ，p r 0 ，s u c ht h a tt h ec o t r e s p o n d i n gf u n c t i o ns a t i s f i e st h em o u n t a i ng e o m e t r y ，a tt h es a m et i m e ，t h e ( p s ) s e q u e n c eo ft h ec o r r e s p o n d i n gf u n c t i o ni sb o u n d e d s o ，i tc a n n to b t a i n t h ec o n c l u s i o no ft h em o u n t a i ng e o m e t r y t h i sp a p e ro b t a i n st h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n sf o rt h ep m e a nc u r v a t u r eo p e r a t o rw i t hc r i t i c a lp o t e n t i a la n dc r i t i c a le x p o n e n ta n dw i t hd i r i c h l e tp r o b l e m t a b l e2 s o b o l e v c r i t i c a ln o n s i n g u l a rt e r m 中国科学技术大学博士学位论文 s i n g u l a rt e r m p a r a m e t e r s n o n s i n g u l a rt e r m d i m e n s i o ns o l u t i o n s p 2 ，0 0r = p +n p o n e p o s i t i v e 1 p 2 0 o ；p + 4 ( a ) 卢 o2 r = p 4p n 恶 o f i ep o s i t i v e i n f i n i t e e s p e c i a l l y ，( 1 ) i fp 2 ，口斗p ，r = p 4 ，t h e n 卢+ ( a ) ，肛”( a ) 。m s ot h e r e s u l to ft h ee x i s t e n c eo ft h el o c a lm i n i m u ms o l u t i o nw i t hn e g a t i v ee n e r g yi s s i m i l a rt ot h a to ft h ec a s ep - l a p l a c eo p e r a t o r ( 2 ) i f1 0 ，t h ea b o v ep r o b l e mh a st w ow e a k p o s i t i v es o l u t i o n sa tl e a s t ( 3 ) i f0 q p ，t h e n t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nw i t hp o s i t i v ee n e r g y f o rt h i sp r o b l e mw i t hc r i t i c a le x p o n e n ti sw o r t hb e i n gr e s e a r c h e di nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：c o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ；c r i t i c a le x p o n e n t s ；c r i t i c a lp o t e n t i a l ；h a r d yi n e q u a l i t y ；q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ；c r i t i c a l t h e o r y ；g e n u s ；ah o m o t o p y s t a b l ef a m i l y ；t h ee k e l a n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e 致谢 在兰年多的寒窗酱漠中，我在恩师沈尧天教授的悉心指肆下，进入偏微 分方程领蛾探讨了含峨界位势和临器指数的拟线性榄圆型方程d i r i c h l e t 阉题 戆多重繁麓存在往阉繇淀尧天教授融会贯通弱溅德懿识，治擘的严谨，为人 的谦逊和宽容等都令我难以忘怀，受益非浅自从我进入华工攻读硕士学位以 来，不管鼹在工作、学习还是生活上，导师都给了我极大的帮助和无微不至的 关怀，特别是当我在学妲上磁到困难时，导师总怒给予我莫大的鼓殿程教诲。 惩不仅赞授绘我大量懿专盈鳃豫，墩教会我送行学零褥兖懿方浚本文正怒在 他的悉心指导下完成的从论文的选题到定稿，都凝聚着恩师大量的心血在 此，我落向恩师沈尧天教授致以崇高的敬意和衷心的感谢! 我还溪感谢秘大数学系敢陈祖城教授。在我半年的辞大学习生活中，陈教 援不仅京学盟主帮凌貔，丽丑在垒滔上给予我缀大的繇颓。辕教授秘濑薄翡懿 识，兢兢业业的敬业精神，治学的严谨、优秀的教学风格及他的风趣幽默都令 我佩服。在此，我谨向陈祖墀教授敲以崇高的敬崽和衷心的感谢i 我爨要感谢我的礤士导辉王避鼹教授。他不仅传授绘我大爨的泛函分携 领城懿籁识，迨教会我遴行学零研究醵方法，溺辩跫教绘我缀多秧天戆遭毽。 王教授的渊博知识，严谨治学精神以及对我孜孜不倦的教诲令哉终生难忘。腰 要感谢王救授在我工作之后仍对我的教导和关怀，在此，我谨向恩师王进儒教 授致以崇巍的敬意和裳心的感谢! 在三年多懿攻读褥士学篷葜蔺，我得弱了辩大数学系懿领鼯，系办公塞及 系资料室的各位老师的诸多帮助，特别是数学所的黄稚新老师。在此，我一并 向他们表示衷心的感谢i 在恩耀沆尧天教授主持下的华工数学系的偏微讨论班是个充满生枕秘 智慧翡鬃簿。在讨论爨上，我是帮冤霸簿弟妹弱譬弱不少黧识，毪得虱毽稿鹣 许多帮助。他们是：博士生：姚仰新剐教授，陈意辉老师，熊辉老师；杨俊辔 师，王晓肇博士，付一平博士，王剑侠老师；硕士生：曲军恒等。同时，我逐 要感谢我谯辩大的同班同学；欧宣爨，周扣华，缪蔗，赵欢喜等，趣们都给予 我稷太粒帮蘩。在藏，我一并淘毯 j 表示衷心黪感谢l 我述黉感谢华南理工大学应用数学系的领导，对于他们多年来对我工作、 学习、生活上的支持和帮助表示深深的谢意! 最后，我要特别感淤我的家人，正是由于他镌多年来对我蟾全力支持帮效 藏，方镶我髭够安心学习并颓零浣浅学遂， 符号说骧 r 。表示实数域上的n 维空间。q 是r ( 3 ) 中的有界区域 峨9 q ) 怒集合g 铲( 筑) 在莛数| 程g 一( 囊l 审“尹如) ；意义下懿笼备毙空闻 d 印是集合c 铲( 冗) 农范数1 1 钍i j 一( ，r w1 w , i ”d x ) ；意义下的完备化空间 l 一) 中的范数定义为i u l ，= ( 矗”d x ) i p 4 = 氅是s o b o l e v 临界攒数， s 蓬最德s o b o l e v 敷入稽数，霹 s = i n r 瓦f r 丽i v a n l p d x ，u d i p , u # o i ( 矗。坤+ 如) 争 产烈i f n i v u p d x 蚝时_ 啦芦到 再定义k = 细，。， 注意：幽8 = 0 时，p o ，q 记为地；当s = 0 ，q p + 时，g o ，矿= s ； 当s = 0 ，q = p 时，弘o ，p = 脚= b 魑最佳p o i n c m 常数 墨s = 弘g = p 对，脚，p = ( 学j 9 怒簸佳h a r d y 常数静餐数 。乱= d i v ( v u p q v “) 是u 的p - l a p l a c e 算子 d i v ( ( 1 + i v u l 2 ) 学v ) 为p - 平均曲举算子，p = 2 时为l a p l a c e 算子，p = 1 时为平均曲率算子。 记鞑+ 兰i i l a x 越， ，髓一三钍一锃斗， x l l 第一章绪论 拟线性椭圆型方程是偏微分方程理论的一个重要分支，对于这种方程的 解的存在性与非存在性，唯一性与正则性历来是人们研究的主题，对于一般 的拟线性椭圆型方程的d i r i c h l e t 问题的研究，自二十世纪六十年代以来，人 们用拓扑不动点的方法( 例如l e r a y s c h a u d e r 不动点) 得到一定条件下弱解的 存在性( 见g i l b e r ga n dt r i d i n g e r 1 】和陈亚渐，吴兰成【2 ) 但是直到1 9 7 3 年前，我们还不知道下面的半线性椭圆型方程的d i r i c h l e t 问题是否有非平凡 解： l - - a u = f ( x ，u ) ， z qcr 川， ，1n1 、 1u ( z ) = o ， z a q 。上u 1 其中，0 ) = 0 ，a e ，x q ，且q cr “( n 1 ) 是有界区域，非线性项 ，：q r r 是一个具有次临界增长的c a r a t h 6 0 d o r y 函数 显然u = 0 是上问题的一个解，称为平凡解为了研究其非平凡解的存 在性，a m b r o s e t t ia n dr a b i n o w i t z 3 提出著名的山路引理并利用它证明了非 平凡解的存在性，且当，( z ，让) 关于u 是奇函数时，证明了同一问题的无穷多 解的存在性于是变分法，特别是近代变分法( 又称大范围变分法) ，在近二十 年来得到了重大发展，并在解决拟线性椭圆型方程边值问题中取得了许多有 重要意义的新结果( 也可参见陆文端 4 1 张恭庆【5 1 ，沈尧天 6 ) 但是最初的讨论都要求非线性项低于临界指数，一直到8 0 年代初才开始 讨论如下形式的含临界指数的椭圆型方程： j 一u = i 札j 2 * - - 2 + a ，( z ，“) ， z qc r ， ，1nm 、“( z ) = o ， z a q ， 。1 u 。 其中2 + = j 避为s o b o l e v 嵌入指数( 见 7 】) 由于嵌入9 ( q ) l l 矿( n ) 不 再是紧的，只能得到( p s ) 。序列的有界性，很难再得到其强收敛性，从而不 再满足( p s ) 条件，于是不能用标准变分法的方法寻找临界点 直到1 9 8 3 年，b r 6 z i sa n dn i r e n b e r g 8 】研究了当f ( x ，) = “时，问题 ( 1 0 2 ) 的弱正解的存在性这一重要论文及l i o n s 9 ，1 0 的集中紧原理对于研 究含临界指数的椭圆型方程提供了重要的方法从此对含有临界指数的非线 性l a p l a c e 椭圆型方程d i r i c h l e t 问题非平凡解的存在性的研究成了一个热门 课题( 参见文献【1 1 】_ 【1 7 】) ，有些已经推广到含临界指数的p - l a p l a c e 方程( 见 文献【1 8 一 2 2 】) 以上文献大多研究的是非平凡解的存在