（概率论与数理统计专业论文）对亚式期权定价的某些研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 准确地为期权定价是金融交易市场的热门，同时也是非常棘手的问题，尤其 对于近年来最为活跃的新型期权一亚式期权来说，它的定价一直受到普遍的关 注。由于一系列对数正态分布变量的几何平均值仍然服从对数正态分布，所以欧 式几何平均亚式期权的定价相对简单，已经得到了它的解析定价公式。而对于算 术平均亚式期权，由于难以确定资产价格算术平均值的概率分布，到目前为止还 没有关于它的定价的解析解。 本文以随机微分方程作为工具，结合市场无套利原理，利用组合技巧和一 对冲原理，在b 肠c k s c h o l e s 公式的基础上，通过对亚式期权的研究，推导出各种 亚式期权的定价所满足的偏微分方程的数学模型，并通过变量代换进一步化简为 一般的c a u c h y 问题，在此基础了我们通过数学方法给出了几何平均亚式期权的 显式解；对于算术平均亚式期权，我们提供了一些近似计算方法；另外，通过数 学模型，还找出了各种亚式期权看涨与看跌之间的平价关系；对于美式亚式期权， 以看涨期权为例，我们给出了期权定价模型。 关键词：亚式期权；算术平均；几何平均；美式亚式期权；看涨一看跌期权平价 关系；未定权益；b l a c k s c h o l e s 公式；l t o 公式；一对冲原理。 第1 i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t i t sn o to n l yah o tt o p i ct op r i c et h eo p t i o n si nt h ef i n a n c i n gm a r k e t ，b u ta l s oi t s ai n t r a c t a b l ej o b ，e s p e c i a l l yt op r i c et h em o s tp o p u l a re x o t i co p t i o n s ，a s i a no p t i o n s ， i th a sa l r e a d yb e e naf o c u so fa t t e n t i o n a st h eg e o m e t r i ca v e r a g eo fas e to f l o g a r i t h mn o r m a ld i s t r i b u t i o nv a r i a b l e s s t i l li sal o g a r i t h mn o r m a ld i s t r i b u t i o n v a r i a b l e ，s ot h a t i ti s e a s yt og e t t h e a n a l y t i c a l s o l u t i o nf o r e u r o p e a n - s t y l e g e o m e t r i c a la v e r a g ea s i a no p t i o n s ，b u tt oa r i t h m e t i cs t y l e ，a sw ec a n n tm a k es u r eo f t h ed i s t r i b u t i o no ft h eu n d e r l y i n ga s s e t s a r i t h m e t i ca v e r a g e ，s ou pt on o w ，w e h a v e n tg o tt h ea n a l y t i c a ls u l u t i o nf o ri t b a s e do nb l a c k s c h o l e sf o r m u l a ，w eu s et h es t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d t h es k i l lo fp o r t f o l i oi nt h ea r b i t r a g e f r e em a r k e tt os e tu pt h em a t h e m a t i cm o d e lf o r a l lk i n d so fa s i a no p t i o n s ，b yc h a n g i n gv a r i a b l e s ，w es i m p l i f yt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n st oc o m m o nc a u e h yp r o b l e m s t h e n ，w eg i v eac l o s e d f o r ms o l u t i o nt o g e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o n st h r o u g hs o m em a t h e m a t i cm e t h o d sa n dw ew o r ko u t s o m ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d st oa r i t h m e t i ca v e r a g ea s i a no p t i o n s b e s i d e s ，b ym e a n s o ft h em o d e l ，t h ec a l l p u tp a r i t i e sf o ra l lk i n d so fa s i a no p t i o n sa r ea l s of o u n do u t t h e nap d e i sg i v e nf o ra m e r i c a n s t y l ea s i a nc a l lo p t i o n s k e yw o r d s ：a s i a no p t i o n ，a r i t h m e t i ca v e r a g e ，g e o m e t r i ca v e r a g e ，a m e r i c a n - s t y l e a s i a no p t i o n s ，c a l l p u tp a r i t y ，c o n t i n g e n tc l a i m ，b l a c k - s e h o l e sf o r m u l a ， i t of o r m u l a ，a h e d g i n g 第1 i i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目：盘垩峦翅拯宝俭盟苤些盈究 学位论文作者签名：盔：红日期：硎多年，月；日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留，使用学位论文的规定本人授权国 防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允 许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题日：殖垩盛翅越俭煎苤些丑究 学位论文作者签名：茎：堑 储特蝴张钟 日期：f 年，月；9 日 甚期：侧每f 羚? 厂马 国防科学技术关学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1引言 期权又称选择权( o p t i o n ) ，是赋予购买期权的交易者在规定的时间内或地 点，拥有以一定的价格购买或出售某种商品的权利。期权的分类有很多种，按照 期权交易标的商品区分，期权可以分为现货期权和期货期权( o p t i o no nf u t u r e s c o n t r a c t s ) ，例如外汇期权、债券期权、股票指数期权和期货期权等等；按照期 权赋予期权购买者的权利区分，可以分为买权期权和卖权期权；按照期权规定执 行时间区分，可以分为美式期权( r m e i c a no p t i o n s ) 和欧式期权( e u r o p e a n o p t i o n s ) ；另外，还可以分为看涨期权( c a l lo p t i o n ) 和看跌期权( p u to p t i o n ) 。 所有的期权都包含两个重要指标：期权的敲定价格或称为执行价格( s t r i k i n g p r i c eo re x e r c i s ep r i c i n g ) 和期权的期权金( p r e m i u m ) 。 期权的概念在古希腊时代就已形成。在西方，大量使用期权形式是1 7 世纪 的荷兰郁金香球茎交易。但是由于当时这种期权交易是没有任何保障机制的，所 以，当郁金香球茎价格暴跌时，卖权的买方向卖权的卖方交割郁金香时，卖权的 卖方拒绝交割，郁金香发生了崩盘事件，这几乎导致了荷兰经济崩溃。在以后相 当长的一段时间内，期权交易一直被人们视为赌博，1 8 世纪在伦敦开始了有组 织的期权交易，但是也曾因几次被禁止而中断。 亚式期权( a s i a no p t i o n s ) 是目前市场上最活跃的一种新型期权( e x o t i c o p t i o n s ) ，它在到期日的收益不仅依赖于标的资产的到期价格，而且依赖于整个 期权有效期内标的资产所经历价格的平均值。最早引入的亚式期权是平均价值期 权，主要是用来防止交易呆滞的市场的操作行为( 尤指对临近到期日价格的操 纵) 。k e 砌a 和v o r s t ( 1 9 9 0 ) 指出，在交易量很小的市场( 如石油市场) ，大户 们可以通过大单交易操纵市场价格，在标准期权的买卖中牟取暴利，而亚式期权 的结算价格是由一段时期内的平均价格决定的，因此很难被操纵。具有固定敲定 价格平均价格看涨期权的收益是m a x ( 0 , s 。一足) ，看跌情形期权的收益是 m a x ( 0 ，k s 。) ，其中& 。是按照一定时期计算的标的资产的平均价格，置是敲 定价格。平均价格期权比常规期权便宜并被认为比常规期权更适合公司财务主管 的某些要求。 另一种类型的亚式期权是平均执行价格期权( a v e r a g es t r i k eo p t i o n s ) 。平 均执行价格看涨期权的报酬为m a x ( 0 ，研一乩) ，看跌情形的报酬为 m a x ( o ，s 一一墨) ，其中r 为期权的到期日。平均执行价格期权可以保证在一段时 问内频繁交易资产所支付的平均购买价格低于最终价格，另外，也能保证在一段 第l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 时间内频繁交易资产所收取的平均销售价格高于最终价格。常见的在预定时期内 的标的资产的平均价值有算术平均和几何平均两种。 1 9 3 4 年，美国的证券法实施后，将期权交易的管理纳入证券管理委员会的 业务范围，但1 9 7 3 年以前，期权交易主要还是柜台交易( o v e r - t h e c o u n t ) ，这 种交易比较分散，成本高，市场流动性差。1 9 7 3 年，芝加哥商品交易所推出了 1 6 种股票的标准化合约的期权交易，才克服了柜台交易的不足，1 9 8 2 年1 0 月1 日，又推出了以美国长期国债券的期货合约为交易对象的期权交易。到1 9 8 9 年， 世界期权交易品种已经达到1 5 0 种，而发展最猛的是期货期权。 研究期权的主要问题是如何对期权进行定价：其次是如何构造投资策略。以 规避风险从而达到保值。从某种角度上讲，期权的价格实际上是人们对相应的期 货合约价格的预期所愿意支付的保险。期权的价格( 即期权金) 包含期权的内涵 价值和时间价值。内涵价值是立即执行期权后可以获取的利润总额，时间价值是 人们在持有期权的时期内，对期货价格向有利于自己交易头寸方向变化预期的支 付。影响期权价格的因素除了期权市场供需因素外，还有很多的因素，主要包括 敲定价格、期货合约价格、距到期日长短、价格风险、市场利率、人们的预期及 红利的支付。 试图对期权或其它的衍生证券进行定价已经有相当一段长的历史，巴黎大学 的l o u i sb a c h e i l e r 为最早在这方面做出努力的学者之一，1 9 0 0 年在他的博士 论文中提出了期权定价公式，只不过他当时假设的股票价格可以取负数和利率为 零与现实不符合，随后，c a s es p r i n k l e ，j a m e sb o n e s t 和p a u ls a m u e l s o n 对 b a c h e i l e r 的公式进行了改进，为避免股票价格取负数，他们假设其价格服从对 数正态分布，并且认为所有的投资者都是风险厌恶者；其次认为利率是非零的常 数，还需要有风险酬金。1 9 6 4 年，b o n e s t 得到了一个和b l a c k s c h o l e s 公式比 较接近的公式，不过其中依赖于一个未知的利率，其中便包括对股票风险所作的 补偿，即风险酬金。期权定价理论出现革命性的进展是在1 9 7 3 年，f i s h e rb l a c k s 和m y r o ns c h o l e s 发表了后来以他们的名字命名的期权定价公式，即著名的 b l a c k s c h o l e s 公式，同年r o b e r tc m e r t o r 在发表的文章中也包含了同样的公 式，并作了相应的扩充，从而在b l a c k s c h o l e s 模型下，期权定价理论取得了一 系列重要的成果，本文的工作也是在b l a c k s c h o l e s 模型下讨论的结果。 1 2 期权研究的背景及现状 研究期权的主要问题是如何对期权进行定价；其次是如何构造投资策略，以 规避风险从而达到保值。从某种角度上讲，期权的价格实际上是人们对相应的期 货合约价格的预期所愿意支付的保险。期权的价格( 即期权金) 包含期权的内涵 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 价值和时间价值。内涵价值是立即执行期权后可以获取的利润总额，时间价值是 人们在持有期权的时期内，对期货价格向有利于自己交易头寸方向变化预期的支 付。影响期权价格的因素除了期权市场供需因素外，还有很多的因素，主要包括 敲定价格、期货合约价格、距到期日长短、价格风险、市场利率、人们的预期及 红利的支付。 试图对期权或其它的衍生证券进行定价已经有相当一段长的历史，巴黎大学 的l o u i sb a c h e i l e r 为最早在这方面做出努力的学者之一，1 9 0 0 年在他的博士 论文中提出了期权定价公式，只不过他当时假设的股票价格可以取负数和利率为 零与现实不符合，随后，c a s es p r i n k l e ，j a m e sb o n e s t 和p a u ls a m u e l s o n 对 b a c h e i l e r 的公式进行了改进，为避免股票价格取负数，他们假设其价格服从对 数正态分布，并且认为所有的投资者都是风险厌恶者；其次认为利率是非零的常 数，还需要有风险酬金。1 9 6 4 年，b o n e s t 得到了一个和b l a c k s c h o l e s 公式比 较接近的公式，不过其中依赖于一个未知的利率，其中便包括对股票风险所作的 补偿，即风险酬金。期权定价理论出现革命性的进展是在1 9 7 3 年，f i s h e rb l a c k s 和m y r o ns c h o l e s 发表了后来以他们的名字命名的期权定价公式，即著名的 b l a c k s c h o l e s 公式，同年r o b e r tc m e r t o r 在发表的文章中也包含了同样的公 式，并作了相应的扩充，从而在b l a c k s c h o l e s 模型下，期权定价理论取得了一 系列重要的成果，本文的工作也是在b l a c k s c h o l e s 模型下讨论的结果。 对于几何平均亚式期权来说，若假定标的资产价格服从对数正态分布，因为 一系列对数正态分布的变量的几何平均值仍然服从对数正态分布，可获得欧式平 均价格期权的定价解析公式。更普遍的情况是亚式期权定义为算术平均值，然而 到目前为止还没有得到它的定价解析公式，这是因为一系列对数正态分布的算术 平均值分布没有可解析处理的特性。然而，对算术平均期权的定价我们还是有很 多方法可以得到它的近似解析解的。k e m m 和v e r s t 2 应用m o n t ec a r l o 的减 少方差法计算了算术平均亚式期权，但方差只能估计置信区间内的误差，并不能 给出最大误差。c a r v e r h i l l 和c l e w l o w 3 使用快速傅立叶变换，但也未能给出 最大误差；r o g e r 和s h i 1 1 用有限差分方法给出了亚式期权的数值计算解。 c h a l a s a n i 。j h a 和y a i k o o t y 2 2 使用三叉树法计算了离散的亚式期权， t h o m p s o n 1 8 改进了此方法，使之更精确。另外，国内也有很多关于亚式期权定 价的文献，例如，文献 3 0 中徐承龙、顾恩君给出了具有固定敲定价格的算术平 均亚式期权的定价微分方程和近似计算方法，文献【4 l 】中金春红、陈德燕，对亚 式期权的定价模型也作了一定的研究，另外，文献 1 5 1 给出了算术几何平均亚式 期权的数值计算近似方法。 但对于支付红利的亚式期权的研究，国内外研究的文献现在还不多，我的工 作就是在b l a c k s c h o l e s 公式的基础上，展开对支付连续红利的亚式期权的定价 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 模型的研究。 1 3 本文的主要工作及结构 本文主要总结了欧式亚式期权定价及美式亚式期权的各种数学模型，并给出 了欧式算术平均亚式期权的几种近似方法和欧式几何平均亚式期权的定价解析 公式，在数学模型的基础上，总结出了各种欧式看涨一看跌亚式期权的平价公式， 我的工作主要是： 1 、在支付连续红利的情况下，给出欧式亚式期权的定价模型( 第三章3 1 节) ，导出它满足的偏微分方程及边界条件，并利用组合变量变换，把他们化解 为一般的柯西问题。 2 、给出支付红利的几何平均欧式亚式期权的定价解析公式( 第三章3 3 节) 。 对不能得到解析公式的算术平均情形，在第三章3 2 节中给出了它的两种近似方 法，并得到了它的近似解析定价公式。 3 、在定价模型的基础上，导出了各种支付红利亚式看涨一看跌期权之间的平 价关系( 第三章3 4 节) 。 4 、对应用的文献 4 1 、 4 2 重新进行了研究，并对其中的诸多错误作了大 量的修改( 第三章3 2 节) 。 本文的结构如下：第一章介绍期权定价研究的背景与现状、我的主要工作及 文章结构，第二章介绍期权定价理论中的基本概念及基本理论；第三章是主要章 节，给出了各种支付红利的亚式期权的定价模型，并通过组合变量方法求解出了 一些亚式期权的定价公式及介绍了一些近似方法。 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章期权定价的一般理论 2 1 金融市场与投资组合 在股票市场里，股票价格总是随着时间的变化而变化，把时间看成是离散的 取值n = 0 ，l 。2 ，n 是合理的。我们首先介绍有限离散时间金融市场，然后再推 广到连续时间情形，很多情形下他们是相似的。一般的有限离散时间金融市场由 下列要素组成： 1 ) 带滤的完备概率空间( g f ，( e ) 。删，p ) ，其中：磊= ( q 妒) ； 2 ) d + 1 种资产的价格过程；s = ( 瓯) 。，最= ( 霹，砩，霹) ； 其中：瓯为常量，霹= l ；s o = ( 1 + ) 踮， o ，( ) 为可料过程； 碟= 站( 1 + ) ，n l ， - 1 ，( ) 为适应过程霹为可料增过程，表示 它为无风险的债券价格，而为严格正的适应过程，它有风险，也即舞 如果市场由一种银行债券和一种股票所构成，我们称为( 曰，回模型，称市场 为b - $ 市场。若玩= ( 1 + r ) ，风= 1 ， 0 ，瓯= 艮1 0 + 岛) ，s o 0 ，岛 只取口，b 两个值，一1 口 r b ，具有这样结构的市场我们称它为二叉树模型。 记见= ( 口+ 6 ) 2 + ( 6 一口) 毛2 ，则毛= l 营岛= ：。在- - x 树模型中，我们可 设q = l 一1 ，并可假定存在一个概率测度p ，使得p = ( 岛) 独立同分布，且 q = p ( 岛= 口) ，p = p ( 岛= 6 ) = 1 一g ，0 o ，声胄，这里( 形) 为b r o w n 动。 令e 口= 盯( 呒，“d ，( q f ，( e ) m ，p ) 称w i n n e r 空间。我们知道，b r o w n 运动( 形) 。是连续局部鞅，且【l = ， 定理乏4 设肘为零初值连续过程，矿为连续增过程，则：1 ) m 为局部鞅，且 2 【m 】- y 铮2 ) v a r ，彳口e x p a m 。一睾k 为局部鞅 二 一2 由定理2 3 知互口唧 口彤一f 是一个指数形式的鞅，且由s 的定义式， 二 可知；墨= 互品，从而对任意的， j ，e k ) = g 州”墨，称为期望回报率 ( e x p e c t e dr e t u r nr a t e ) ，为标的股票价格波动率( v o l a t i l i t y ) 。 在p 测度下，价格过程s 一般不是鞅。定义折现价格过程墨= 墨，骂，它将 在下面的某等价鞅测度下为鞅。考虑测度变换，令： 互( 国) ：e x p 一坐= 形( ) 三( 壁二与2 f ) ( 2 7 ) d二 o r 则互( 功 o ，p 一甜，且e 虿= l 。因此由g i r s a n o v 定理，d p * ( c o ) = 互( r o ) d p ( r o ) 定 第6 页 国防科学技术大学研冤生院学位论文 3 i t ( q 只) 上的概率测度，而且形= 形+ 丝2 f 关于概率测度p 是标准的 b r o w n 运动，即w i n n e r 过程，称p + 为等价鞅测度。 定理2 5 设r o 。p 一口j 成立， f 防虹 o ) o ， 尸一口矗。若市场无套利，则称为可行市场。 定理2 1 0 市场有套利营存在口s i r ，使得： ( 力玉0 ，巧( 印 - - 0 ，p 巧妒) o o ，p 一口 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 设g f 为口代数，艺( g ) ，砖( g ) ，置( g ) ，巧( g ) 表示任意维可测的、可 积的，平方可积的，有界的随机变量全体。 定理2 1 1 市场有套利曹9 1 册n ，以及口蜀( e 一。) ，使得 ，峨) o ，p ，峨) o ) o ( 2 1 0 ) 定理2 1 2 令x = 心，龌) ：口日( ) ，i = l ，) ， f 耐 蜀= ，鸸) ：a e 艺( ) ，扛1 ，) ； t - 1 ( 岛) o v g 立，那么对于任意糟e 【o 明，必 有k ) 屹 ) - 证明：若不然，存在以e o ，明，使0 ( 日) k ( 岛) 成立，记： e = ( 岛) 一0 ) o 令投资组合矿= b 一岛+ 脚吃，其中b 是无风险债券，骂= ( 1 + r t ) b o 易见， 0 ) = 0 ) k ) + 啦易= o 而时刻，由于： ( 矿) = 珞 ) 一( 岛) + e b s 砟 = ( q ) 一( 岛) + e 【1 + r ( 一矿) 】 由假设( 0 1 ) ( 岛) ，p ( q ) ( 岛) ) o 及e = 0 ( 岛) 一 ) o ，易知： ( 矿) 皿l + ，( 一矿) 】o ，且：， ( 矿) o ) p ) 珞( 岛) 0 ，由有套 利市场的定义可知，市场是有套利的，矛盾。因此结论成立。 推论2 1 6 若在【o 】内市场无套利，投资组合b 与岛有珞( q ) = ( 岛) ，那么 对任意时刻拧【0 ，n 】，必有k ) = k ( 岛) 。 定义2 1 7 设测度9 ，若使得最最为9 鞅，则称9 为等价鞅测度。记为 等价鞅测度全体。 定理2 1 8 若存在f 上的概率测度q p ，使得在q 下，蜃为鞅，则市场无套利。 定理2 1 9 设市场无套利，则存在等价鞅测度q ，且黑e r 。 “f 定理2 2 0 ( 资产定价基本定理) 对于有限离散时间金融市场，市场无套利营存 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 在等价鞅测度。 2 2 2 连续时间情形下的无套利原理及资产定价基本定理 定义2 2 1 策略口s f 称为在【o ，即上是有套利的，是指它满足： ( d s 0 ，( 0 ，p 一触j l p 匕( d o ) 0 定理2 2 2 设善f + ，f 善 o ：o 似，加= 仍分另n 为 欧式期权和美式期权的价值。 注：对于连续时间情形，以上除定理2 2 1 以外，只要把和玎分别改成r 和t 即 可。对于定理2 2 1 的连续情形，有：x 3 ，= x o + f 猫= x o + f 如鸯讲口，其 中，虿= 耐，砰，) 为，时刻投资于d 种风险资产( 辞，牟，掣) 的份额。当市 场为b s 市场时，牙= 研。 定理2 2 8 当市场完备且未定权益是自然权益( 即五= 卿( s ) ) 与无关，例 如风险中性市场) 时，欧式期权的价格( 力= f p 卅五( 国) 】，其中，f 是等价 鞅测度对应的期望，美式期权的价格( 回= s u p e e - ”z ( 训，其中， t t ， ，= p ：f 为停时，f 研。 众所周知，在b s 市场中，如果存在唯一的等价鞅测度，则市场是完备的。 而对于等价鞅测度不唯一时，则对于给定的欧式期权g ，相应看涨期权和看跌期 权的价格为； = 掣护( g ( 品) e ”) ，= 筘俨( g ( 品弦卅) ( 2 1 4 ) a e 尸 y 尉 对于美式期权f 则有： k 2 霉嚣萨e ”) ，。磐茹俨8 ”) 2 1 5 。f|ro | f t iv 。7 第l o 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 2 4 欧式期权定价与b l a c k s c h o l e s 方程 假设市场无套利，标的资产股票的价格演化遵循几何b r o w n 运动： d s , = g s t d t + 仃s t d w , ，其中，为期望收益率，仃为波动率，彤为标准b r o w b 动，无风险利率r 是常数，标的资产不支付股息，不支付交易费用( t r a n s a c t i o n ) 和税收( t a x ) 。我们以欧式看涨期权为例建立它的b l a c k s c h o l e s 方程。 期权的价格v = v ( s ，r ) ，它在到期日f = t 时，矿岱，d = ( s 一鬈) + ，k 为敲定 价，s 为股票当前价格。利用一对冲技巧，形成投资组合：= v a s ，a 是 原生资产即股票的份额。我们选取适当的，使得在( ，f + 出) 时段内，是无风 险的，则该时段内，投资组合的回报率是无风险利率，即： d r , - a d s , = r h ，d t = ，( k 一墨) 毋 ( 2 1 6 ) 由于巧= y ( 墨，r ) 及随机过程a s , = ( g d t + a d w t ) d r ，由肋公式，我们得到： 彤= 譬弓拥2 豢+ s 等毋+ 甜詈识 c z j ，) 结合( 2 1 5 ) 得到： 学+ 丢积2 窘+ 筇詈一a s ) d t + ( 甜等一榔职- - r ( 矿一a s ) a t ( 2 1 8 ) 因为等式右边是无风险的，因此等式左边随机项必须为0 ，即= 豢，代入 上式得： 竺+ 三盯：s 2 坚+ r s 竺一，v ：0( 2 1 9 ) a2 舔瓠 这就是刻画期权价格变化的偏微分方程一b l a c k s c h o l e j 方程 为确定在合约有效期【o t 】内期权的价值，就要在区域： 0 s 如，0 s t s d 上求解定解问题： j _ ：等甲12 s 2 窘+ 心詈卅= 。( 劲。2 2 0 ，a2a 舔 、 ( ) i 口：v l w = 岱一k ) + 是一个变系数反抛物型方程，而定解问题( 2 2 0 ) 是一个倒向问题，即在终 止时阆已知“终值条件”曰，在0 f s r 时段内求解矿= v ( s ，0 ，使它适合方程 和终值条件口。 、 作自变数代换工= i n $ ，f = t t ，定解闯题( 2 2 0 ) 转化为常系数抛物型方程 的c a u c h y 问题( 初值问题) ： 第l l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 jc 瓦o v i 1c r 2 警一( ，一j 1c r 2 ) i o v + 厂陆似“则q 蚪( 2 2 1 ) l d ：矿i ，。= 0 一固+ 由偏微分方程理论知，定解问题( 2 2 0 ) 即原定解问题( 2 1 9 ) 是适定的。求解 l l 咖问题( 2 2 0 ) ，作函数变化矿= w 肛，能过适当选取口，口，事实上， 取口= 一，一刍c r 一争2 ，主专， 磊o u 一了0 2 丽o e u = oa r2a 相应的初值为： 使得( 2 2 0 ) 中方程c 化为热传导方程： ( 2 2 2 ) “i 棚= e - p x v i = 矿肛( 矿- k ) + ( 2 2 3 ) 求解热传导方程( 2 2 2 ) ，我们得到欧式看涨期权的定价公式，即著名的 b l a c k 一& ：h o l e s 公式： 岱，t ) = s n ( a o - k e 廿4 ( 嗄) ( 2 2 4 ) 其中，嘎：l n ( s k ) + ( r 霄+ 。r 2 2 ) ( 一t - t ) ，吐：嘎一盯甭， 表示标准正态分仃、l t 布函数。 定理2 2 9 欧式看涨一看跌期权的平价公式( c a l l - p u tp a r i t y ) 为； c ：+ k e - , ( 7 。) = 霉+ 墨 ( 2 2 5 ) 证明：设c ，尸为欧式看涨与看跌期权，在，= 0 时刻构造两个投资组合 西l = c + k e ，呜= p + s ，考虑它们在时刻，= t 的价值： 巧( 中1 ) = 巧0 c ) + 譬= ( s 一足) + + 置= m a x k ，品， 巧( 吐) = 巧( p ) + 巧( $ = ( k s ) + + 母= m a x 墨品 故( q ) = 巧 ：) v ，由推论2 1 1 ，得巧( q ) = k ( m ：) ，即( 2 2 2 ) 式成立。 证毕。 由定理2 2 9 ，我们可以得到欧式看跌期权的定价公式为： 圪。( 毋，) = k e l ( t - t n ( 一如) 一鄹，( 匾) ( 2 2 6 ) b l a c k s e h o l e s 公式的显著特征是公式中不含，也即对于自然的未定权 益，其期权价值不依赖于漂移系数芦，这个事实首先被m e r t o n 在1 9 7 3 年发现， 从经济学的观点来看，这表明风险中性，事实上，是期望收益率，是无风险 利率，一，度量了风险的程度，由于公式中不含，因此，假定标的资产的价 格过程满足：驾= s t ( r d t + 耐形) 并不影响欧式期权的定价，这就是所谓的风险 中性定价。 第1 2 页 附注； 1 肋公式 称x = ( 五，f a t f 为连续半鞅，是指它有分解： 置= x o + t + k ( 2 2 7 ) 其中m 为连续局部鞅，矿为连续零初值有限变差过程。 称五= 口o ，彩) 凼+ f 6 咄州形为t o 过程，它是一个连续半鞅其中 a 仅奶，6 ( s ，国) 分别为可测的适应过程，且：r i 口o ，国) i 凼 ，f b 2 ( s ，c o ) d s 。 定理2 3 0 ：( 1 t o 公式) 假设连续半鞅x 有分解式( 2 2 7 ) ，f = f ( x , y ，力为眉上 函数，关于x 二次，关于y 一次连续可微，关于z 为b o r e l 可测，令： z = f ( m t ，k ，x o ) ，啦，则】，= ( z ) 为连续半鞅，且v f 墨，有： f ( m t 以五m ( o ，0 ，孙f 缸+ f 弘+ 丢f 挚】， ( 2 2 8 ) 其中积分项中都是对厂( t ，巧，x o ) 求偏导。 2 g i r s a n o v 定理 定理2 3 l ：( g i r s a n o v 定理) 设w = ( 彤) ，0 t s t 为b r o w n 运动，h a 2 ( s ，阡，) ， 令： z t ( h ) oe x p f h d w , 一丢f 研鳓 ( 2 2 9 ) 假定砀( = 1 ，对任意的彳蜀，令鲋) 口乙( b ) 拶及： 彬口彬一f l 凼，o s r r ( 2 3 0 ) 则q 为与p 等价的概率测度，矿为关于测度q 下的b r o w n 运动。其中，s 表示 适应可测过程，形表示b r 口w h 运动，a 2 ( s ，形) = 日s ：v f f ，j 目觑t ， 哪 3 平方可积鞅表示定理 定理2 3 2 ：( 平方可积鞅表示定理) 设w = ( ，w 2 , - - - , w 。) 为刀维b r o q r t 动， 墨，e 8 ) 聊，则存在唯一的竹维可测的适应过程( g o ，c o ) ，e 8 ) ，其每个分量满 足e fg ；o ，) d t o o ，使得： 墨= 五+ f g q ，回观 ( 2 。3 1 ) 其中聊表示【o ，即上的平方可积鞅。 第1 3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章亚式期权定价的研究 亚式期权又可以分为欧式亚式期权和美式亚式期权，欧式亚式期权在到期日 执行，美式亚式期权在有效期内任意时刻都可以执行，下面我们先来介绍欧式亚 式期权，简称为亚式期权：接着再简单地介绍美式亚式期权。 3 1亚式期权定价的模型和简化 如前面的假定，标的资产殷票的价格置服从对数正态分布，假定z 是路径 变量，它表示从起绐时刻0 到时刻r 的股票价格的平均值，那么对于离散情形， 算术平均为以2 i 1 善n & ，几何平均为以= = i ) 1 “2 e x p 嗉善i n 瓯 ，对于连续 情形，算术平均为正= t l f 瓯幽，几何平均为以= e x p h s d a ，与之相对应 的亚式期权也有算术平均亚式期权( a r i t h m e t i ca v e r a g ea s i a no p t i o n s ) 和几 何平均亚式期权( g e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o n s ) 两类。 由于人们对算术平均比几何平均更容易理解，因此在金融市场中采用算术平 均亚式期权比几何平均亚式期权要更普遍，但从我们的定价模型看，由于人们普 遍采用几何b r o w n 运动来刻画原生资产的价格变化，因此从使用b l a c k s c h o l e s 框架计权利金的角度看，几何平均亚式期权要比算术平均亚式期权简单得多。假 定市场无风险利率为r ，股票支付连续红利，红利率为g ，股票价格波动率为口。， 此时，股票价格满足：d s = ( r q ) s j t + o s , 拥r , 。现在我们来建立亚式期权的数 学模型。 假设亚式期权定价为：y = 矿 ，以，t ) 。构造投资组合： l i = y ，j ，f ) 一s ( 3 1 ) 选取适当的a ，使得在( f ，t + d t ) 时段内是无风险的，由于股票支付连续红利， 组合有资金流出，所以不再是自筹资策略，要求投资组合是无风险的，即满足f d h - q a s d t = r f l d t = r ( v - a s ) d t ( 3 2 ) 对( 3 1 ) 应用肋公式，得： 其中： ( 3 3 ) 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 以= 由( 3 4 ) 式，可知：以= 妃，一= o ，如、= o ，另外，取= 詈，结合( 3 2 ) 及( 3 3 ) 得到： 警+ 罟詈+ 三盯咯2 窘+ 妒一彩s 等一= 。 c 3 脚 将( 3 。4 ) 代入( 3 5 ) ，即可得到带红利亚式期权的定价模型，当q 为 零时，为不带红利的亚式期权的定价模型。 3 2 算术平均亚式期权的定价 对于算术平均亚式期权，由于难以确定资产价格算术平均值的概率分布( 目 前还没有一个确定该分布的有效途径) ，因而很难得到它的准确的定价公式。人 们多着眼于该期权定价的近似估价途径。1 9 7 9 年c o x ，r o s s 和r u b i n s t e i n 1 提 出的二叉树模型被广泛的应用到作为连续时间的几何b r o w n 运动的离散近似，而 且一般的标准欧式期权在此模型下都能褥到较好的近似价格。 对于欧式算术平均亚式期权的数值算法已有一些研究成果，对于这些算法一 般来说，总体可分为三大类：( 1 ) m o n t ec a r l o 模拟和f o u r i e r 变换，如k e m n a 和v o r s t 2 以及c a r v e r h i l l 和c l e w w l o w 3 ；( 2 ) 用已知的分布去近似算术平均 的分布，l e v y 4 ， 5 ，l e v y 和t u r n b u l i 6 ，r u t t i e n s 7 ，t u r n b u l i 和 w a k e m a n 8 ；( 3 ) 利用l a p l a c e 变换去求得推导亚式期权定价的公式，如y o r 9 ， g e m a n ，y o r 1 0 ，但是这种方法因为到现在还没有l a p l a c e 逆变换的数值结果， 甚至连简单的l a p l a c e 逆变换的解析解还没有得到，因此实用性不大。现在随着 计算方法的发展，些新的方法也引发了对亚式期权定价的研究，如刘云中和宣 辉芋 1 5 采用遗传算法对亚式期权的定价进行了研究。在此，我们先建立它的数 学模型，再介绍一些近似方法。 3 2 1 算术平均亚式期权的定价模型 由( 3 4 ) 及( 3 5 ) ，我们得到支付红利的算术平均亚式期权的定价模型： 在区域