改进的差分进化算法在电力经济调度中的应用.pdf

自动化仪表第 37 卷第 11 期 2016 年 11 月 修改稿收到日期:2016 -05 -05。 第一作者李荣雨(1977),男,2007 年毕业于浙江大学控制科学与 工程专业,获博士学位,副教授;主要从事工业过程优化与监控方向的 研究。 改进的差分进化算法在电力经济调度中的应用 Application of the Improved Differential Evolution Algorithm in Power Economic Dispatch 李荣雨 陈菲尔 (南京工业大学计算机科学与技术学院,江苏 南京 211816) 摘 要: 以优化发电系统中的发电总费用为目标,结合实际运行中机组的约束条件和阀点效应,建立了电力经济调度(ED)模型,并 提出了求解该模型的改进的差分进化算法(ADE)。 针对标准差分进化算法存在的种群多样性和收敛性能之间的矛盾,在度量种群多 样性的基础上,引入了基于排序的可行解选取递减策略改进变异策略 current - to - best。 此外,提出一种新颖的等式约束修复机制,确 保求解的可行性。 最后,利用 13 个机组的测试系统进行仿真试验,结果证明了 ADE 算法求解 ED 模型的有效性。 关键词: 发电机组 差分进化 电力经济调度 阀点效应 种群多样性 粒子群算法 变异策略 修复机制 中图分类号: TH86;TP18 文献标志码: A DOI:10.16086/ j. cnki. issn 1000 -0380.201611012 Abstract: For the purpose of optimizing the total cost of power generation for power generating system,the power economic dispatch (ED) model is built by combining the constraints of the unit in practical operation and the valve - point effect,and an improved differential evolution (ADE) algorithm is proposed to solve the model. Aiming at the contradiction between population diversity and convergence performance which is existing in standard traditional differential evolution algorithm,on the basis of measuring population diversity,a diminishing feasible solution selection mechanism based on sequencing is introduced to improve the mutation strategy current - to - best. In addition,the novel equality constraints repair mechanism is put forward to guarantee the feasibility of the solutions. Finally,test system with 13 units is used for simulation experiment; the results prove the effectiveness of ADE for solving ED model. Keywords: Generator unit Differential evolution Power economic dispatch Valve - point effect Population diversity Particle swarm optimization(PSD) Mutation strategy Repair mechanism 0 引言 电力经济调度(economic dispatch,ED) 问题是现 代电力系统控制和操作中至关重要的部分1。 当考虑 系统实际运行中由于调节阀出现拔丝现象引起的阀点 效应时,ED 问题将变得更加复杂,因此寻找最优调度 结果是一个巨大的挑战2 -3。 近年来,出现了很多求 解 ED 问题的算法,其中遗传算法4、模拟退火算 法5、粒子群算法6、差分进化算法7等启发式算法 凭借其没有非凸等特征限制的优势,已经成功应用到 求解 ED 问题中,并取得了一定成效。 由 Storn 和 Price 提出的差分进化算法(differential evolution,DE) 8更是 被许多专家证明为简单、有效的进化算法,在实际优化 中得到了许多成功的应用9 -11。 本文首先对实际问题建立数学模型,然后设计基 于排序的可行解选取递减策略,改进现有变异算子,提 出基于度量种群多样性的改进差分进化算法(adaptive differential evolution,ADE ),并处理各约束条件。 最终 将 ADE 算法用于求解 ED 模型,结果表明本文提出的 算法获得了更好的优化效果。 1 电力经济调度的数学模型 1. 1 目标函数 电力经济调度是指在整个调度周期内,在满足系 统负载需求和机组运行约束条件下,优化各机组的负 荷分配,使系统发电总成本达到最小。 该非线性优化 的目标函数如下: minF = n i =1 FiPi () (1) 式中:Fi(Pi)为第 i 个机组的成本特性函数;Pi为第 i 个发电机组的输出功率。 在系统实际运行中,为了保证调度结果的可靠性, 考虑机组的阀点效应,因此在原先二次方程式的基础 上,叠加正弦函数用于模拟能耗亏损。 实际的机组能 耗特性可表示为: FiPi ()= ai+ biPi+ c2 i Pi+eisinhi Pi,min- Pi () 34 改进的差分进化算法在电力经济调度中的应用 李荣雨,等 PROCESS AUTOMATION INSTRUMENTATION Vol 37 No 11 November 2016 式中:ai、bi、ci为机组 i 的成本系数;ei、hi为机组 i 的阀 点效应系数;Pi,min为第 i 台发电机的最小输出功率。 1.2 约束条件 当考虑实际工况中的阀点效应时,目标函数受到 如下三个等式及不等式的约束。 电力平衡约束: n i =1 Pi= PD+ PL(2) 式中:PD为系统总负荷;PL为系统总损耗。 机组出力约束: Pi,min Pi Pi,max i = 1,2,N(3) 式中:Pi,min,Pi,max分别为第 i 个发电机组的有功功率的 上下限。 机组爬坡约束: max(Pi,min,Po i - DRi) Pi min(Pi,max,Po i + URi) 式中:URi、DRi分别为第 i 个发电机组爬坡速率的最大 值和最小值;Po i 为第 i 台发电机在前一段时间的有功 功率。 2 改进的差分进化算法 2.1 标准差分进化算法 差分进化算法是一种基于种群的启发式随机搜索 技术,对于解决连续性优化问题具有较强的鲁棒性。 DE 算法具有收敛性能好、结构简单、控制参数少等优 点。 和其他启发式的智能优化算法类似, 差分进化算 法主要通过变异、交叉、选择这三个步骤,模拟自然进 化过程。 通过种群内个体间的相互合作和相互竞争, 实现从初始种群到最优种群的演化,引导搜索过程向 最优解逼近。 变异操作和交叉操作为丰富种群多样性 创造了条件,而选择操作有助于在搜索区域内开发更 好的可行解。 标准差分进化算法的具体操作流程如下。 变异。 在这一阶段,父代种群中的个体 xG i 通过变异策略 产生变异个体 VG i ,变异操作是差分进化算法中最重要 的步骤。 最基本的实现方法是任意选取当前种群中两 个不同的个体,然后对其运算后的差分向量进行缩放, 最后和待变异的个体作合成操作: vi,G+1= xr 1,G + F xr 2,G - xr 3,G () (4) 交叉。 在第二阶段,通过将变异个体与父代个体进行交 叉操作,从而产生新个体。 交叉操作如下: uG+1 j,i = VG+1 j,i if rand(0,1) CR or j = rnbr (i) xG j,i 其他 选择。 DE 算法采用达尔文的“适者生存”思想进行择优 保留,采用“贪婪”的选择方式来确定适应度好的个体 作为进化子代。 xG+1 i = uG+1 i if f(uG+1 i ) f(xG i) xG i 其他 (5) 式中:f(x)为待优化的最小化问题。 2. 2 改进的差分进化算法 在传统 DE 算法中,从种群中随机选取个体进行 变异操作不仅会减慢收敛速度,而且在处理复杂的多 峰问题时全局搜索能力不佳。 此外,随着迭代次数的 增加,种群个体间的差异会慢慢减小。 不断缩小的个 体差异就会导致种群多样性降低,从而过早地导致算 法收敛到局部极值点周围,形成早熟收敛现象。 针对 以上问题,本文提出一种基于度量种群多样性的改进 变异策略的差分进化算法。 2. 2.1 基于排序的可行解选取递减策略 变异操作是 DE 算法的核心。 算法迭代过程中, 种群的进化方向由选取的变异策略决定,然而现有的 变异算子或全局搜索能力强,或局部挖掘能力强,不具 有普遍的适用性。 以下三个是目前使用广泛、典型的 变异算子。 DE/ rand/1: vi,g= xr 0,g + F xr 1,g - xr 2,g () (6) DE/ best/1: vi,g= xbest+ F xr 1,g - xr 2,g () (7) DE/ current - to - best/1: Vi,g= xi,g+ F xbest,g- xi,g ()+ F xr 1,g - xr 2,g ()(8) 式(6)是第一个被提出的,目前应用广泛的变异 策略。 该算子中所有参与变异的向量均以随机的方式 被选出,因此能够较好地维持种群多样性和全局搜索 性能。 但由于缺少最优解信息,使得其收敛效果不稳 定,特别在处理多峰函数时收敛速度会比较慢。 与之 相比,式(7)、式(8)采用半贪婪策略,利用获取到的上 一代适应度最好的个体信息,搜索范围能够逐渐缩小 至寻找到的最优解附近,因此具有突出的局部挖掘能 力,算法的收敛速度也得到了提高。 式(7)类似于在 最优个体周围进行局部搜索的操作,然而迭代过程中 算法很容易陷入局部极值点,引起早熟收敛。 通过研 究式(8)的变异特性发现,虽然其同样采取半贪婪变 异机制,但是比式(7)具有更好的种群多样性,因此可 以逃离局部最小值;并且与式(6)相比,能够更快地定 位到全局最优处。 为了提高算法的收敛性能,以期能 44 改进的差分进化算法在电力经济调度中的应用 李荣雨,等 自动化仪表第 37 卷第 11 期 2016 年 11 月 在加速收敛的同时改善种群多样性,改进式(8)中的 current - to - best 策略。 将最优个体引导机制改为基 于排序的可行解选取递减策略引导机制(diminishing feasible solution selection mechanism based on ranking, BFS - best)。 改进后的变异算子如下: vi,g= xi,g+ F (xBFS best,g - xi,g) + F xr 1,g - xr 2,g () (9) xBFS best,g的选取遵从基于适应度值排序的可行解选 取机制。 首先在每一次迭代开始之前,计算适应度值 对当前种群进行排序,种群中的个体都将获得一个排 序号,给适应度值小的个体分配较小的排序号,适应度 值大的个体分配较大的排序号。 在算法迭代初期,为 了避免种群多样性的快速减少,将算法的搜索范围扩 大,使算法尽量在全局范围内寻找最优解。 而在迭代 后期逐步将搜索范围缩小至若干最优解附近,挖掘可 行解周围的区域,以期加快收敛速度。 经过以上分析, 可知 xBFS best,g的产生范围服从基于进化代数的递减策略, 如式(10)所示。 rankG ()= NP - (NP - 1) G Gm (10) xBFS best,g是从1,rank(G)区间内随机选择的 BFS - best 个体,因此不仅具有随机性,也保证了算法在前期 进行全局搜索、后期进行局部挖掘的性能。 改进后的 变异算子不仅充分利用了最优个体信息,而且也利用 了其他可行解的信息,在保留了半贪婪机制的基础上, 一定程度改善了种群多样性,避免了种群多样性过早 丧失。 2.2. 2 基于度量种群多样性的自适应缩放因子 为了进一步提高算法的可靠性和全局收敛能力, 同时面对实际问题参数设置困难等问题,本文设计了 基于度量种群多样性的自适应缩放因子。 根据式(4) 可知,缩放因子的取值控制了差分向量对基向量造成 的扰动作用,因此缩放因子是维持种群多样性的一个 关键因素。 F(g) = 1 - div(g) ln 1 c () (11) divg ()= 1 NP NP i =1 (fi-favg)2 div(1) (12) 式中:div(1)为 g = 1 时的种群多样度,即初始种群多 样度;div(g)为第 g 代种群的多样度;c 为0. 05,2区 间内随机产生的自适应因子;fi为第 i 个个体的适应 度;favg为当前种群的平均适应度。 从理论上说,div(g) 的值越大,表明当前种群有丰富的多样性。 当算法的 种群多样性开始减小时,应增大 F 以期扩大种群多样 性,所以构造了基于种群多样性递减的缩放因子自适 应函数。 该改进能从一定程度上丰富种群多样性,避 免种群中个体过早集中。 2. 2.3 ADE 算法步骤 综合以上分析,基于度量种群多样性改进的差分 进化算法的实现步骤如下。 将以下参数初始化:种群规模 NP、维数 D、自适 应因子 c、变异最大进化代数Gm,令 G = 1 并初始化 种群。 计 算 当 前 种 群 适 应 度 和 当 前 种 群 多 样 度 div(g),将个体按照适应度从优至劣排序并分配排序 号。 根据式(10)确定式(9)中基向量的选取范围。 按式(11)产生当前种群进行变异操作时的缩 放因子值 F(g),对种群中的个体根据式(9) 进行变 异,然后交叉,选择。 G = G + 1,返回步骤,直到满足最大迭代次 数Gm。 3 基于改进差分进化算法的经济调度求解 将 ADE 算法应用于求解 ED 问题时,关键在于如 何处理其需满足的等式及不等式约束条件。 由于受 DE 算法中随机初始化操作及变异、交叉作用的影响, 使得算法寻优过程中产生的解很难满足等式约束条 件。 为了有效获取算法的可行解,在此将阐述 ADE 算 法对各约束条件的处理。 3. 1 种群初始化 首先,在各机组可行的出力范围内,根据式(13) 随机产生初始个体。 Pi= Pi,min+ (Pi,max- Pi,min) rand(0,1)(13) 因此,初始后的个体必然满足机组出力约束条件。 3. 2 机组输出功率的限制处理 将 ADE 算法用于解决 ED 问题时,算法进行变异 操作后产生的新个体可能会违反约束条件。 当这种情 况发生时,采用式(14)的处理方法对越界的个体进行 修正: Pi = Pi,min if Pi Pi,max (14) 3. 3 基于修复机制的等式约束处理 对于如何处理约束条件,近年来,学者们提出了多 种处理方案,具体可分为四类: 基于保护可行解的方法; 基于罚函数的处理; 54 改进的差分进化算法在电力经济调度中的应用 李荣雨,等 PROCESS AUTOMATION INSTRUMENTATION Vol 37 No 11 November 2016 明确区分可行解和不可行解的策略; 杂交技术。 利用罚函数处理约束条件是广泛使用的一种方法, 然而罚函数法也存在不少缺陷。 例如:惩罚因子的不合 理选取,以及某些特定情况下表现效果不佳等。 本文采 用一种新的修复机制处理等式电力平衡约束,通过在各 机组的输出功率能力范围内不断调整其实际输出功率, 来满足目标函数的等式约束。 通过计算 n i =1 Pi- PD- PL的差值,尝试在所有发电机组中将所求差值平均分 配。 这样的调整操作不仅能够使 PL达到最小,同时也 能将输出功率变动带来的影响降到最低。 此外,经过 迭代处理的平均分配机制有助于实现等式约束,使其 控制在一定的阀值范围内。 该机制的实现步骤如下: 初始化发电机数 N、最大迭代次数 t,计数器初 始值 count = 1,计算发电机组输出总功率 n i =1 Pi及 n i =1 Pi-PD- PL的差值 PowDiff; 若差值 PowDiff 大于既定阀值d,转到步骤, 否则跳转到步骤; 计 算 违 反 系 统 平 衡 约 束 的 均 值 PavgDiff = PowDiff/ N; 根据式(15),调整所有发电机的输出功率为: Pi= Pi+ PavgDiff(15) 判断重新生成的输出功率是否违反机组出力约 束,若不违反该约束则进行下一步,否则按照式(14) 进行修正后再进行下一步; 根据新的 Pi值,重新计算差值 PowDiff,若小于 既定阀值d,进行步骤,否则进行下一步; 设置 count = count + 1,判断是否满足 count t, 若满足则回到步骤,否则进行下一步; 随机选取一个发电机组 r,调整其输出功率Pr= Pr+ PowDiff 后,判断重新生成的输出功率是否违反机 组出力约束,若不违反该约束则进行下一步,否则按照 式(17)进行修正后进行步骤; 迭代终止。 3.4 构造适应度函数 为了评价 ADE 算法的有效性,构造如下适应度 函数: f = n i =1 FiPi ()+ w n i =1 Ri (16) 式中:w 为机组爬坡约束的惩罚因子;Ri为违反机组爬 坡约束的指标。 根据违反约束的数量,惩罚因子 w 相 应地对机组成本函数进行惩罚。 如果系统中不涉及机 组爬坡约束,则 w 取值为 0。 4 算例分析 本文以 13 个机组的测试系统为例,将本文提出的 ADE 算法与 DE、JADE 算法进行对比试验,以验证 ADE 算法的有效性。 在把 ADE 算法应用到求解 ED 问题前,通过两个标准测试函数上对 ADE 进行算法仿 真测试。 测试函数列表如表 1 所示。 表 1 测试函数列表 Tab. 1 Test functions 测试函数维数搜索区间最优解 f1(x) = D i =1 x2i30 -100,1000 f2(x) = D i =1 - xisin(| xi| )30 -500,500-12 569.5 表 1 中: f1(x) 为高维的单峰函数; f2(x) 为存在 多个局部最小值的复杂多峰函数,且局部最小值的数 量随着问题的维数呈指数增加,因此在搜索过程中很 容易进入到造成局部收敛的区域中。 各参数设置如下:函数维数 D = 30,种群规模 NP =100,算法迭代最大终止次数 Gm = 9 000。 原始 DE 算法中,变异因子取值 0. 5,交叉概率取值 0. 9。 JADE 中,各参数设置参考文献12。 对 3 个算法分 别连续独立运行 20 次得到的函数收敛曲线如图 1 所示。 图 1 平均适应度变化曲线 Fig. 1 Changing curve of average adaption 64 改进的差分进化算法在电力经济调度中的应用 李荣雨,等 自动化仪表第 37 卷第 11 期 2016 年 11 月 图 1(a)所示为截取 1 500 代前 Sphere 函数的仿 真结果。 虽然在搜索前期,ADE 收敛速度与 JADE 几 乎接近,然而在搜索后期,DE 算法和 JADE 算法因为 种群多样度减少,在寻找最优解的过程中陷入了局部 最优,而 ADE 算法通过不断调整种群多样度很快地收 敛至全局最优解。 从图 1(a)可以看出,两个对比算法 最后可能收敛到全局最优处,但是收敛时间明显比 ADE 耗时更多,且精度不如 ADE 算法。 由图 1(b)可知,在处理多峰函数时,ADE 算法无 论是从收敛速度,还是从全局寻优能力上都明显优于 另外两个算法,在很短时间之内搜索到了全局最优解, 有效避免了算法进入局部收敛和算法早熟等问题,同 时也提高了种群的收敛速度,搜索性能更为稳定。 为了进一步验证 ADE 算法的有效性,将以上三个 算法同时应用到解决 ED 问题的实际情况中。 测试系 统总负荷 1. 8 GW,等式约束修复机制中惩罚因子 w = 107,阀值d=50,最大迭代次数 t = 5,各机组的参数设 置参照文献13。 经过 30 次的反复试验后,本算例 的各机组负荷分配优化结果如表 2 所示,系统发电费 用比较如表 3 所示。 表 2 13 个机组负荷分配优化结果 Tab. 2 Optimized result of 13 -unit load dispatchMW 算法PG1PG2PG3PG4PG5PG6PG7PG8PG9PG10PG11PG12PG13 DE472. 18230.38268.04109. 96109.8560.84110.40109. 53109.8742. 6555.1593.2055.49 JADE458. 39215.53250.55107. 34110.35109.12109.83108. 98109.9340. 6840.4454.9990.20 ADE628. 32149.59222.74109. 87109.87109.87109.87109. 9260.0240. 0040.7755.5753.95 表 3 系统发电总费用及总出力比较 Tab. 3 Comparison of total costof power generation and total output 算法 最优发电费用 / (S|/ h) 平均发电费用 / (S|/ h) 总出力/ MW DE18 054.022 418 174.241 41 827. 54 JADE17 975.731 718 046.381 21 816. 33 ADE17 960.366 117 964.480 61 800. 36 由表 2 及表 3 可知,ADE 算法在求解带阀点效应 的 ED 问题时具有明显的优势,所求得的系统总出力、 系统最优发电费用及系统平均发电费用均优于 DE 算 法和 JADE 算法所求结果,表明本文提出的 ADE 算法 全局搜索能力更强、适应性更好。 5 结束语 实际优化问题往往具有未知性、复杂性、高维度等 特性,标准差分进化算法不能有效实现其建模过程。 本文在 DE 算法的基础上,引入 BFS - best 机制改进变 异算子;考虑到算法进化过程中逐渐丧失的种群多样 性,提出基于度量种群多样性的缩放因子自适应方法, 从而提高了算法的全局收敛性能和搜索效率,避免了 算法陷入局部最优。 此外,对于重点讨论的 ED 问题,本文提出了一种 解决系统等式约束的修复机制,在满足约束条件和优 化目标的前提下,将 ADE 算法成功运用到带约束的最 优化问题中。 试验结果表明,基于 ADE 算法实现的电 力经济调度问题优化方法能在较短的时间内实现负荷 的最优经济分配,在提高解的可行性和精度方面起了 较好的作用。 参考文献: 1 WOOD A J,WOLLENBERG B. Power generation,operation and control J. Journel of Mathematical Physis,2013,37(3):195. 2 HE D,GANG D,WANG F,et al. Optimization of dynamic economic dispatch with valve - point effect using chaotic sequence based differential