（船舶与海洋结构物设计制造专业论文）船舶型线建模系统研究.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 捅要 型线设计是船舶设计中最基本的问题之一。本文以非均匀有理b 样条 ( n u r b s ) 为基础，通过开发一个船舶型线建模系统，由船舶型值点数据直接生 成船型，来研究一些船舶型线设计软件问题的解决方法。 论文对当前的船舶型线设计和b 样条研究状况进行了综述，集合计算机 应用技术和样条数学的发展，提出了新的型线设计的思路，参考当前流行软 件的功能，确定了论文课题研究的具体方法和步骤。 1 9 9 1 年国际标准组织( i s o ) 颁布了关于工业产品数据交换的s t e p 标准， 把n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。本文将n u r b s 用于船 舶曲线、面的表达与设计，采用蒙面法来拟合了船体三维曲面，使用能量法 束光顺曲线面。在重构模型的基础上，程序开发了曲面网格划分功能，可以 为计算流体动力学c f d 类软件做前处理工作；采用仿似法和设计水线变换法 这两种方法柬变换船型，便于新船型的生成；基于b 样条理论来进行了较高 精度的静水力计算。 本文的软件系统是在w i n d o w sx p 系统平台下，采用软件v c + + 6 0 的m f c 和接口o p e n g l 编制的。界面友好，具有典型的w i n d o w s 风格，使用o p e n g l 做a p i ，图形显示数度快，效果好。 关键词：船舶曲面设计；非均匀有理b 样条( n u r b s ) ：静水力计算；o p e n g l ： v c + + 6 0 的m f c 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t h u l ll i n e sd e s i g ni so n eo f t h eb a s i cp r o b l e m si ns h i pd e s i g n p r o c e s s i no r d e r t os o l v es o m ep r o b l e m se x i s t e di ns h i pd e s i g ns o f t w a r e ，as o f t w a r es y s t e mo f s h i p h u l ll i n e sm o d e l i n gi s d e v e l o p e db a s e do nn o n u n i f o r m r a t i o n a l b s p l i n e ( n u r b s ) i nt h i sp a p e r ，i tc a l lg e n e r a t et h es h i p f o r md i r e c t l yf r o mt h eo f f s e t s t h es t a t u so fc u r r e n th u l ll i n e sd e s i g na n db s p l i n ea r es u m m a r i z e di nt h i s d i s s e r t a t i o n c o n n e c t i n gt h en e w e s td e v e l o p m e n ti nc o m p u t e ra p p l i c a t i o na n d b s p l i n em a t h e m a t i c s ，t h i sd i s s e r t a t i o np u t sf o r w a r dm e t h o d so fh u l ll i n e sd e s i g n t h ed e t a i f 盎e t h o d st os o l v et h ed r o b l e ma r ef o r m e di nt h i sd i s s e r t a t i o nr e f e rt ot h e c u r r e n tp o p u l a rs o f l w a r e i i n t e r n a t i o n a ls t a n d a r do r g a n i z a t i o n ( i s 0 1p r i n t e ds t i e pt h a tt h es t a n d a r d a b o u ti n d u s t r yp r o d u c td a t ae x c h a n g ei n19 9 1 ，w h i c ht o o kn u r b s a st h eo n l y m a t h e m a t i cm e t h o dt od e f i n et h eg e o m e t r i cf o r m so fi n d u s t r y p r o d u c t t h e d i s s e r t a t i o na p p l i e sn u r b st oh u l ll i n e sa n ds u r f a c ee x p r e s s i o na n dd e s i g n n t 8 t h r e e d i m e n s i o n a lh u l ls u r f a c ew i t l ls k i n n i n gm e t h o d o nt h eb a s i so ft h em o d e l r e f o r m ，t h ep r o g r a mp r o c e s s e dt h es u r f a c eg r i d d i n gp l o tt om a k et h ep r e p r o c e s s o ft h ec o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c ss o f t w a r e t w om e t h o d s ，i m i t a t i o n t r a n s f o r m a t i o na n ds h i p f o r mt r a n s f o r m a t i o nf o rd e s i g n i n gw a t e r l i n e ，a r ea d o p t e dt o g e m e r a t en e ws h i p f o r m ，a n dm a d eah i g hp r e c i s i o nc a l c u l a t i o n o fh y d r o s t a t i c b a s e do nb s p l i n et h e o r y t h es o f t w a r es y s t e mo ft h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v e l o p e db a s e do nw i n d o w sx p , m f co fv c + + 6 0a n dt h ea p p l i c a t i o np r o g r a m m i n gi n t e r f a c eo p e n g l s oi th a s f r i e n d l yi n t e r f a c ea n dc l a s s i cw i n d o w ss t y l e i th a sh i 曲s p e e da n d f i n ee f f e c to f g r a p hd i s p l a yb yu s i n go p e n g l a si t sa p i k e y w o r d s ：h u l ls u r f a c ed e s i g n ，n u r b s ，c a l c u l a t i o no fh y d r o s t a t i c ，o p e n g l ， m f co f v c 十+ 6 0 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 之j 百墙 垄j 当塑 日期：2 0 0 4 年0 2 月2 5 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 立题的科学依据 船舶制图类似于机械制图的三视图，过去船舶型线设计方法属于二维设 计方法。机械制图在表达简单零件时还比较适合，但在复杂零件和装配图上 就显得尉为壮观了，这就需要很高的读图能力。而船舶型线向以复杂而著称， 没有一定的专业基础和经验，很难从型线图上看出船舶的外形特性来。计算 机的使用减轻了船舶手工制图的劳动强度，提离了制图的精度。但是开始时 很多企事业单位使用的多是通用二维软件，只是将传统的图纸缩小放到了屏 幕上丽已，二维的设计方法并没有改变。近年来国内外的大型三维设计软件 发展得很快，以三维方式设计船型，显示效果直接可靠，将二维的型线图转 化为空间的曲面描述从而可以快速方便的提取需要的剖面和特征。为了实现 船型的数学描述，以样条理论及其广泛的成功应用和研究为基础，可以运用 n u r b s 表达曲线曲面的原理和方法来表达船型。船舶型线的设计是在经验积 累的基础上，不断的类比和实验得到的。在进行类比时不免在型值上反复改 动，这样需要取大量的曲线来完成工作，而这些曲线并不是有规律的，即便 是由较简单的多项式曲线构成的数学船型通过计算机计算也很复杂，而b 样 条的局部支撑特性很好的解决了这一问题，这就大大提高了工作效率。由b 样条曲面描绘的全船可以很方便的得到全船任何方向上的剖面曲线。目前 c f d 软件的前处理模块的使用都很不简单，利用n u r b s 表达曲线、面的基础 e 划分曲面，可以很好的作c f d 软件的前处理工作。总之，上述研究方法在 船舶型线上的应用，使船舶型线设计方法有了本质的飞跃，而且为船舶性能 计算提供了帮助，将产生明显的社会效益和经济效益。 现在国内外各种大小软件还在不断发展之中，某些情况下也使用现有的 通用软件二次开发出适合于某一方面的软件，从而利用其良好的开发平台大 大缩短开发时间，在船舶这方面也是如此。本论文通过开发一个基础的船舶 型线建模软件，希望能得出一些船舶型线设计专用软件的开发经验，从而对 这方面的工作研究能有些帮助启示。目前，由于在数学船型生成这一方面的 研究还不成熟，很多方法只适合于某一类型船舶，在实际设计中使用的很少， 所以本论文将侧重于对母型船进行数学模型重构。 1 2 国内外b 样条研究动态 1 9 6 3 年以前，曲线的描述一直是采用显式的标量函数y = y ( x ) 或隐方程 f ( x ，y ) = o 的形式，曲面相应采用z = z ( x ，y ) 或f ( x ，y ，z ) = o 的形式。由 于军事的需要和科技的发展，美国开发了世界上第一台数控铣床。像螺旋桨 这样的复杂零件，其自由曲线曲面因很难由简单表达式和画法几何表达清楚， 这成为摆在工程师面前急需解决的问题。1 9 6 3 年，美国波音公司的弗格森首 先提出了将曲线曲面表示为参数的矢函数方法。他最早引入参数三次曲线， 构造了组合曲线和由四角点的位置矢量及两个方向的切矢定义的弗格森双三 次曲面片。这些曲线描述方法由f m i l l 系统实现，可以生成数控纸带控制数 控机床。弗格森所采用的曲线曲面的参数形式从此成为形状数学描述的标准 形式。 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( m i t ) 的孔斯发表了一个具有一般性的曲面 描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一块曲面片。1 9 6 7 年，孔 斯进一步推广了他的这一思想，在c a g d 实践中广泛应用了它的特殊形式 孔斯双三次曲面片，它与弗格森双三次曲面片的区别，在于将角点扭矢由零 矢量改取为非零矢量，两者都存在形状控制与连接问题。 1 9 6 4 年，舍恩伯格提出的样条函数解决了曲线面间的连接问题，该样条 方法使用参数形式来进行形状描述，即参数样条的曲线、曲面。样条方法用 于解决插值问题，在构造整体达到某阶参数连续( 指可微性) 的插值曲线、曲 面是很方便的，但不存在局部形状调整的自由度，样条曲线和曲面的形状难 以预测。 1 9 7 1 年，法国雷诺汽车公司的贝齐尔发表了一种由控制多边形定义曲线 的方法。设计员只要移动控制顶点就可方便地修改曲线的形状，而且形状的 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 变化完全在预料之中，贝齐尔方法简单易用，又漂亮地解决了整体形状控制 问题，是雷诺公司u n i s u r fc a d 系统的数学基础。贝齐尔方法在c a g d 学科中 占有重要的地位，广为人们接受，为c a g d 的进一步发展奠定了坚实基础。贝 齐尔方法仍存在连接问题和局部修改问题。稍早于贝齐尔，在法国雪铁龙汽 车公司的德卡斯特里奥也曾独立地研究发展了同样的方法，但结果从未公开 发表。 1 9 7 2 年，德布尔给出了关于b 样条的一套标准算法。1 9 7 4 年，美国通用 汽车公司的戈登和里森费尔德将b 样条理论应用于形状描述，提出了b 样条 曲线曲面。它几乎继承了贝齐尔方法的一切优点，克服了贝齐尔方法存在的 缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解 决了连接问题。1 9 8 0 年，分别由伯姆和科恩等人给出的与控制多边形与节点 相联系的节点插入技术，和1 9 7 2 年福里斯特与1 9 8 4 年普劳茨等人的样条升 阶技术，都是b 样条方法中重要的配套技术，给b 样条实际应用带来了很大 的方便。 上述各种方法尤其是b 样条方法较成功地解决了自由型曲线曲面形状的 描述问题，但应用于圆锥截线及初等解析曲面却是不成功的，都只能给出近 似表示，不能适应大多数机械产品的要求。代数几何里的隐方程形式可以满 足这一要求，在参数表示范围里，1 9 6 8 年福里斯特首先给出了表达为有理贝 齐尔形式的圆锥截线，波尔( 1 9 7 4 ，1 9 7 5 ，1 9 7 7 ) 在他的c o n s u r f 系统中提出 的有理方法在英国飞机公司得到普遍的使用，然而，欲在几何设计系统中引 入这些与前述自由型曲线曲面描述不相容的方法，将会使得系统变得十分庞 杂。唐荣锡教授曾提到，工业界感到最不满意的是系统中需要并存两种模型， 这违背了产品几何定义唯一性原则，容易造成生产管理混乱。人们希望找到 一种统一的数学方法。 1 9 7 5 年美国锡拉丘兹大学的弗斯普里尔在他的博士论文中首先提出了 有理b 样条方法，以后，通过皮格尔和蒂勒等人的工作，至8 0 年代后期、非 均匀有理b 样条( 英文缩写n u r b s ) 方法成为用于曲线曲面描述的最广为流行 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的技术。非有理与有理贝齐尔和非有理b 样条曲线曲面部被统一在n u r b s 标 准形式之中，因而可以采用统一的数据库。国际标准组织a s o ) 继美国的i g e s 标准之后，于1 9 9 1 年颁布了关于工业产品数据交换的s t e p 标准，把n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。n u r b s 技术仍在发展中，一些 问题如生成曲面时怎样确定合适的参数化与权因子等有待进一步研究。 1 3 国内外船舶设计软件发展概况 船体曲面几何表示方法通常可以分为两类： ( 1 ) 曲线方法是由一组按某种规律变化的平行的平面曲线构成船体曲面， 由曲线方程表示。平面曲线( 如横剖线、水线) 所采用的函数常有多项式、多 项式链、三角函数和其他超越函数。由于曲线方法是用某些函数来表达型线， 和用样条来表达型线相比，其在控制线条上的拐点数、拐点位置、曲率均匀 变化和u v 度变化等方面易于控制。近几年仍有一些学者用这种方法对船体 曲面进行表达研究。 ( 2 ) 曲面方法直接用曲面方程来描述船体曲面。需要根据所采用的数学曲 面造型工具，确定船体曲面的分片。例如利用b e z i e r 曲面，则需要将船体曲 面分成几块曲面片，然后按照位置连续、切平面连续条件拼接而得到船体曲 面。 1 9 7 7 年r o g e r s 开始用b 样条曲线曲面进行船体设计，直到9 0 年代初船 体曲面仍然主要用b 样条曲面设计。郭成吉较早论述了用数学方法确定船体 曲面的重要意义，对传统的线型设计方法作了深入考察并指出其固有缺点， 在此基础上提出了船体曲面的设计准则和计算机方法的基本要求。1 9 8 1 年周 超俊和刘鼎元开始用b e z i e r 曲面构造船体曲面，1 9 8 5 年他们又首次运用b 样 条曲面法于船体曲面中，船体曲面片间的光顺拼接是由三次b 样条基函数的 c 2 连续得到保证的，所以说，双三次b 样条曲面相当简单地解决了曲面片之 间的拼合问题。林焰与纪卓尚等对船体曲面造型进行研究，给出了船体曲面 几何造型的b 样条曲面控制网格生成思想与方法，以及从几何角度给出曲面 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 边界条件处理方法。由于n u r b s 所具有的优良特性，随着研究的深入，在 2 0 世纪9 0 年代中期，n u r b s 方法开始被应用于船体曲面造型中。 国外一些著名的船舶c a d c a m c a e 软件系统实现了船体的三维建 模以及面向船舶整个生命周期的过程集成。如瑞典k c s 公司的t r i b o n 系 统，其功能包括曲面造型、船体型线自动光顺、水动力学计算、船体舾装 生产准备等，而且该系统也在不断完善改进其功能，并增加许多新的程序 模块。其他著名的船舶c a d c a m c a e 软件如美国的a u t o s h i p7 、法国的 c a r l ac a d a m s h i p b u i l d i n gs o l u t i o n 软件、西班牙的f o r a n 系统、澳大利亚的 m a x s u r f 和h y d r o m a x7 0 等等，均为软件模块众多、功能强大的集成软件 包，这些软件包能很快给出详细的结果，并将这些信息传达给许多人。 国内也有一些船舶c a d c a m c a e 集成系统软件，但集成的程度及 内容与发达国家的软件系统相比，差距还比较大。 综合来看，船舶系统软件总的发展趋势是将设计、建造、工程管理集成 于一体( c a d c a m c a e ) ，给设计者、计划者和其他工作组成员提供设计， 制造，工程的一体化服务，而曲面建模技术是这些软件系统开发过程中不可 逾越的基础研究课题。 1 4 论文的主要工作 本论文的主要研究工作，着重于船舶型线设计各种基本功能的实现，编制 一个基础的船舶型线建模软件系统。内容涉及计算机图形学，0 p e n g l 在m f c 下的嵌入应用，b 样条蓝线曲面表达，船舶型线设计和静水力计算。具体工 作思想和主要内容如下： 1 以5 7 0 0 m 3 l p g 母型船为对象，通过建立船舶型线的数学模型，应用b 样条 理论，生成一个符合要求的船型，详尽的展示了从传统的二维型线图表 示向三维立体表示的转化过程，可以通过三向主视图与型线图的对照验 证模型，又可以以任意视角观察曲线的变化， 2 在曲线模型的基础上，由曲线到曲面生成了b 样条曲面模型，生成真正 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的三维曲面模型。 3 利用生成b 样条曲面来进行网格划分，生成能够进行多种控制的曲面网 格，能够为c f d 类软件的提供前处理功能。 4 利用o p e n g l 在m f c 下的嵌入应用，实现计算机图形学中的部分场景功能， 通过曲面的构造真正实现与实船对应的模型三维曲面显示，通过光照直 观的检查曲面的连续光顺程度。 5 研发的系统可以实现船型变换、型线编辑、静水力计算等基本设计功能 和缩放、旋转、平移等基本视角变换功能。 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章n u r b s 基本原理与算法 2 1 n u r b s 方法的提出及优缺点 在产品的外形设计中，即使是处理形状极为复杂的自由型曲线曲面的表 示、造型问题，b 样条方法都可以很好地解决问题，显示了强大的威力。然 而在表示与设计由二次曲线面和平面构成的初等曲面时却遇到了麻烦，不能 精确的表示除抛物线外的二次曲线弧，因此，通过扩充其对二次曲线弧的统 一表示能力，提出了有理b 样条方法。n u r b s 方法是与描述自由型曲线曲面 的b 样条方法相统一的又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。 1 9 9 1 年国际标准化组织正式颁布了工业产品几何定义的s t e p 标准作为产品 数据交换的国际标准，要求自由型曲线曲面唯一的用n u r b s 表示。 n u r b s 方法在工程上得到越来越广泛的应用，它是在非有理贝齐尔法和 非有理b 样条方法的基础上建立起来的，具有下述优点： 1 既为标准解析形状也为自由型曲面的精确表示与设计提供了一个统 一的数学形式。 2 通过操纵控制顶点和权因子为各种形状设计提供了更多的控制灵活 性。 3 计算稳定且速度相当地快。 4 有明显的几何解释，强有力的几何配套技术。 5 在比例、旋转、平移、剪切以及平行和透视投影变换下有较好的几 何不变性。 当然，n u r b s 还存在一些缺点： 1 需要较多的存储单元以定义传统的曲线和曲面。 2 权因子的不合适应用可能导致很坏的参数化。 3 某些技术用传统b 样条方法比用n u r b s 做得更好。 4 某些基本算法例如反求曲线曲面上点的参数值，存在数值不稳定问 题。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 2n u r b s 曲线的定义与性质 2 2 1 定义 n u r b s 曲线为一分段的矢值有理多项式函数，其表达式为 n “( u ) d i w p ( u ) = 等一 z n 。( u ) w 。 i = 0 式中d 为控制顶点，w 。为权因子，n i k ( u ) 为k 次样条基函数。 基函数由递推公式定义： ( 2 1 ) m 旷q 巍如 n u ) 2 嚣n i , k - i ( u iu ) + 毒u i1 等u i1 “( u ) k 1 _ 2 u i + k 一 + k + 一+ = 0 式中k 为幂次；u i ( i _ 0 , 1 ，m ) 为节点，由其形成节点矢量u ： u = u o ，u l ，u m 】 ( 2 3 ) 当节点数为( m + 1 ) ，幂次为k ，控制顶点数为( n + 1 ) 时，m ，k 和r l 三者之间的 关系为m = n + k + 1 ，对于非周期的b 样条，节点矢量为 厂 u = = i ! 蚶u t + ，u 。一t 一- ，掣l ( 2 - 4 ) l k + lk + ij 亦即节点矢量两端各有k + 1 个相同的节点，以便使曲线通过控制多边形首、 末端点并与首、末两边相切。 2 2 2 有理基函数的。睦质 n t r b s 曲线方程可改写为 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 p ( u ) = 2 d 。r 。( u ) r i , k ( 。) ：型坠( 2 - 5 ) w nk ( u ) 式中k 为b 样条的幂次，r 。( u ) 称为有理基函数，r 。( u ) 具有如下重要性 质。 1 局部性质k 次n u r b s 曲线上参数为u u 。u 。 c u 。u 。 的一点p ( u ) 至多与k + 1 个控制顶点d 。及相联系的权因子w ，j = 卜k ， i k + l ，j 有关，与其它顶点及权因子无关；另一方面，若移动k 次n u r b s 曲线的一个控制顶点d 或改变所联系的权因子w ；将仅仅影响定义在区间 u 。，u 。+ 1 c u 。u 。 上那部分曲线的形状，对n u r b s 曲线的其他部分不发生 影响。 2 变差减少性质任意平面与曲线的交点个数不会超过它与控 制多边形的交点数，但包含整个控制多边形的平面除外。 3 强的凸包性质定义在非零节点区间 u 。，u + 。 u 。u 。 上那 一曲线段位于定义它的k + 1 个控制顶点d 。，d m 。，d 。的凸包内。整条 n u r b s 曲线位于所有定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集内。所有权因子 大于零保证凸包性质成立。 4 在仿射与透视变换下的不变性。 5 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性，或称为参数连续 性。 6 如果某个权因子w 等于零，那么相应那个控制顶点d ，对曲线根 本没有影响。 9 。；i ； ；一。墅鎏兰堡i 耋蛋圭耋堡篁圣；一。一；一； - 若w i j 佃，则山，= 艨黯一i + k “1i p t u 凡共馏 2 3 n u r b s 曲线的基本算法 2 3 1 n u r b s 曲线的求值 对于n u r b s 商线的求值问题，可利用表达式( 2i ) 和基函数的递推公 式( 2 - 2 ) ，求取与参数u 相对应的曲线上的点，这种直接由定义式求值的算 法稳定、可靠。 2 3 2n u r b s 曲线的求导 对式( 2 - 1 ) 求导，有 p7 ( u ) = w ，d nk ( u ) ! ! 一 w n 。( u ) 其关键是对基函数( 2 2 ) 求导，即 n ：o ( u ) = 0 k k ( u ) = 上一n 咄一，( u ) + 兰二l 一i ( u ) u i + k u ju ) + k u 1 一一n 。 i i i + k “一u i “ ( 2 6 ) 一- u n kk - l ( u ) ( 2 7 ) u i + 1 式( 2 - 7 ) 表明，基函数的导数也是出递推方式定义。由此我们可以计算n u r b s 曲线的一阶导矢，同理，亦可用以计算其二阶导矢。 2 3 ，3n u r b s 曲线的节点插入算法 节点插入算法是n u r b s 曲线的核心算法之一。在曲线分段的构造和局部 修改以及将n u r b s 曲线转化为b e z i e r 曲线的操作中，都要用到节点插入算法。 现阐述用以处理非均匀b 样条的一般情况的b o e h m 算法，之后将其扩展到 n u r b s 的处理。 设已给条k 次b 样条曲线 p ( u ) = d 。n j , k ( u ) ( 2 8 ) j = 0 其中，b 样条基由节点矢量 u = i n o ，u l ，u 。+ 】 完全决定。现在要在曲线定义域某个节点区间内插入一个节点u u 。，u 。 c u bu 。 ，于是得到新的节点矢量 u = 【u o ，u i ，一，u ，u ，u ，u 。十k + 1 重新编号后成为 u = 【_ 。，西。，西。，西，西j + ：，- 西。+ k + ：】 现在的问题是如何根据新的节点矢量u 计算新的控制顶点d ，其算法 如下： d ( 1 - a j ) d j 一1 + f f j d j ( 2 9 ) 口j = 1 j = 0 , 1 ，一，i k ! 二! ! ，j ：一+ 1 一k + 2 ，一，一 ( 210)ikik2ir 2 - 1 0 三一一，= 一+ l ，一十，一，一 ( u j + 。0 - - u j ，j , = i r + 1 ，i r + 2 ，- ，n + l 式中r 为所插入节点的重复度，若原节点序列中不存在u 这个节点，则r = o ： 若u 已在原节点序列中出现m 次，则r ：m 。这个算法实质上就是德布尔算法 求k 次b 样条曲线上一点p ( u ) ，u u ，u ；+ 。 c 【u 。，u 。+ l 】的第一级递推。 对于n u r b s 曲线，插入节点u ( u 。 u u 。) 后，新的控制顶点d + 与原控 制顶点d 的关系在四维空间内仍满足式( 2 - 9 ) 和式( 2 - i 0 ) ，将其映射到三 维空间，得到 哈尔滨工程大学硕士学位论文 d ：坚二竺! ! 坐! ：立竺! ! ! ! i ( 2 - 1 1 ) u= 。 ( 1 一口j ) w j l + o j w j 插入节点前后权因子的关系为 w ：= ( 1 一口j ) w j l + 口j w j ( 2 1 2 ) 式( 2 一t o ) 至式( 2 1 2 ) 为在节点区问 u ，u 】内插入节点u 一次后，计算 n u r b s 曲线新控制顶点和权因子的公式。 2 3 4n u r b s 曲线的升阶 在实用中，对n u r b s 曲线的升阶主要用于构造组合曲线。当组合曲线由 直线段、圆弧和自由曲线组成时，为了用统一的表达式表示该组合曲线，就 需要对直线段和圆弧升阶，使其与自由曲线的幂次相同。另一方面，用升阶 方法还可达到以更多的控制顶点表示同一曲线而增加设计的灵活性，但计算 量也随之增大。因此，若仅为提高曲线设计的灵活性而增加控制顶点，则以 插入节点的方法更为理想。本论文使用的是n u r b s 曲线的特例，即有理b e z i e r 曲线的丹阶。其计算公式为 w ：= “。w ，一l + ( 1 一o f 。) w 。 d b 竺! ! 生蔓骂兰业巫 ( 2 1 3 ) w j 1 雹2 高，b 0 ，1 ，n “ 式中d ；和分别为升阶后的控制顶点，w i 和w ：为升阶前后的权因子。 2 3 5n u r b s 曲线的组合 将两条或多条单独表示又顺序相接的b 样条曲线用一个统一的b 样条曲 线方程表示之后，可以当作一整条b 样条曲线来处理，这就是b 样条曲线的 组合。实现这种组合需分析组合前各b 样条曲线的情况，它们各有定义i i i ! i 一一。一；塑丝堡圭鲨鲨圣；一；一。一； 的控制顶点与节点矢量，隐含在节点矢量中的曲线次数可能各不相同。假设 有m 条顺序相接的k 1 ( 1 = 1 ，2 ，m ) 次b 样条曲线p l ( t ) ( i = 1 ，2 ，m ) ， 分别由控制顶点d i ，( f = o ，1 ，n i ) 与节点矢量r 。= k ，f j ，：i + k l + lj 定义， 它们有各自的定义域f 比，f ：+ 、j = 【0 ，l 】。因它们依次顺序相接，就有 p ：。) = p l + l 联+ j ) 。欲实现组合，使它们成为一整条k 次b 样条曲线，由控 制顶点d ，( 净0 , 1 ，”) 与节点矢量u = k ，虬。】定义，于是有首端点 p 呶) = p 0 ；，) ，末端点p ( u 。) = p ”0 乏。) 。通常取定义域“- t ，”一j _ o ，1 】。 可按如下步骤实现b 样条曲线的组合 1 使组合前各b 样条曲线的节点矢量t 1 中两端节点都具有重复度i ( 1 十1 。 如果不是这样，则可通过插入节点使定义域首末节点具有重复度k j 十i ，而 删除以外的那些老节点，重新从零起编号。同时使插值于曲线首末端点的两 顶点分别成为控制顶点中的首末顶点，删除不在这首末顶点之间的那些老顶 点。我们仍采用原来的那些记号，于是有= d ；“a 2 确定组合后b 样条曲线的次数k 是= m a x ( c 1 ，k 2 ，k 。) 3 把所有次数低于k 的各b 样条曲线都升阶到k 次，得到相应的新控制顶 点d ：( j ：o ，1 ，。，) ，其中d j ：d ：+ 1 及新节点矢量r 。= ：，f ：，一，f ：，。j 。这里 均延用原来记号实际各量都已发生了相应变化。 4 确定组合后b 样条曲线的控制顶点d ，( f = 0 3 ，z ) 其中 = ”，可 f - 1 哈尔滨工程大学硕士学位论文 按公式( 2 1 4 ) 确定： d = d 1 1 ，i = 0 , 1 ，h d o i = 1 ，+ 1 ，n ； ( 2 一t 4 ) 卜1f l - i 若啤 f 怫，则，= f ；j = i - 珥 r = lr = lr = l 5 视各b 样条曲线在空间的实际分布，按控制多边形积累边长或 按积累弦长或按真实弧长之比，分划各b 样条曲线在组合后的整条样条曲线 定义域k ，+ 。】_ o ，1 】中占有的相应区间。然后，作相应的域参数变换， 使各别的局部参数域变换到整条样条曲线的整体参数域的相应区间上。于是， 我们得至u 各别样条曲线在整体参数下的节点矢量 u 。= b ：，“：，“：。，k = 1 , 2 ，研) 。组合后的整条b 样条曲线现在已经有了 良好的参数化。 6 确定组合后的节点矢量u = ，“l ，一，“m + ，j 0 ，i = 0 , 1 ，一，k u ? ，i = k + 1 ，k + 2 ，碣+ k ：，i = 疗f + 七+ 1 ，仃f + 七+ 2 ，一，九； 若篁珥 f 一_ i f 则f _ ，；_ ，：f ，= 1，= l 1 ，f = r 十1 ， + 2 ，仃十k 十1 2 3 6 各种圆弧的二次n u r b s 表示 ( 2 1 5 ) 在工程中，常要求用n u r b s 曲线表示已知圆弧，亦即根据已知圆弧确定 n u r b s 曲线的控制顶点及其权因子。在一般情况下，使n u r b s 圆弧适合工程 实践必须具备的要求为：1 少的控制顶点；2 紧凑的凸包；3 良好的参数化； 4 所含每一弧段圆心角不超过9 0 。：5 一致性。 哈尔滨工程犬学硕士学位论文 这些要求应同时得到满足。若按要求1 ，应采用二次n u r b s 表示。然而 在二次的限制下，会遇到要求1 与要求2 、3 相互矛盾与制约的情况。要求4 则针对这种矛盾的情况给予了合适的折衷。它意味着l o j 9 0 。的圆弧可作单 段处理，用作为n u r b s 特例的有理二次b e z i e r 曲线表示，就完全符合上述各 项要求。它又意味着，大于9 0 。的圆弧应作分段处理，采用一般的二次n u r b s 表示，当9 0 。 1 0 l 1 8 0 0 时，分为两段；1 8 0 。 1 0 l 2 7 0 。时，分三段； 2 7 0 。 吲3 6 0 。分四段。于是，整圆的控制多边形成为外切正方形，它不仅 保留了圆的对称性，更有最佳的凸包性质。要求5 说明这种表示是统一协调 的，不应引入特殊情况如半圆与整圆的特殊处理。 2 4 反算n u r b s 曲线的控制顶点 上面2 3 1 节利用控制顶点计算插值曲线各点称为曲线的样条正算过程， 类似用曲线上有限的原始离散坐标点计算控制定点的过程称为样条曲线的反 算过程。 2 4 1 曲线反算的一般过程 在船舶型线设计等工程实际中，通常给出有限的离散坐标点，要求以此 构造出曲线。通过给定位于曲线上的一些点，反算出b 样条曲线的控制顶点， 作为曲线设计的初始控制顶点，要比直接给出一般不位于曲线上的控制顶点， 更适合设计员的直观思路。因为，在设计员头脑里直接考虑的是曲线的大致 形状，而非控制多边形的大致形状。有了血线原离散点与初始控制顶点后， 设计员就可以根据需要，对已有曲线形状不满意之处，通过调整初始控制顶 点，进行形状修改，以最后获得满意的结果，并把调整后的控制顶点等信息 存储下来。有时也把反算插值曲线的b 样条控制顶点称为b 样条曲线的逆过 程或逆问题。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 4 2 三次b 样条擂值曲线节点矢量的确定 给定n 十1 个数据点p i ，i = 0 ，1 ，n ，在构造三次b 样条插值曲线 时通常地把首末数据点分别作为样条瞌线的首末端点，把内数据点依次作为 样条曲线的分段连接点。因此，样条曲线将包含n 段。我们将b 样条曲线的 控制顶点的下标取成从零开始，于是所求三次b 样条插值曲线应有n 十3 个 控制顶点d i ，i = 0 ，i ，n + 2 。节点矢量应为u = u o ，u l ，u n + 6 】。如果 首末数据点p o 与p n 不相重合或虽相重合，但封闭的插值曲线并不要求在该 点处c 2 连续，则都作为开曲线处理，将首末节点都取重复度r = 4 。如果首末 数据点重合p o = p n ，要求构造周期三次b 样条闭曲线，那么定义域正好是 一个周期，定义域外的节点可按周期性确定。因此，不论哪种情况，所要决 定的都是定义域内的那些节点值。定义域内的节点与数据点依次一一对应， 这些节点值的确定也就是对数据点实行参数化的过程，对数据点的参数化方 法采用规范积累弦长参数化法。即 ”o = 0 1 峨= 睢。+ l p 。j ，i = 1 , 2 ，n 其中，巩为向前差分矢量，印。= p 一p 。即弦线矢量。这种参数化法如实 反映了数据点按弦长的分布情况，一直被认为是最佳参数化法。 2 4 3 反算三次b 样条插值曲线的控制顶点 用于插值m + 1 个数据点g 。( f = o ，1 ，m ) 的三次b 样条插值曲线方程为式 ( 2 - 1 6 ) 所示： p ( 甜) ：宝d ， ) ：窆d ，” ) ，“- ，“。】cb ，“。】 ( 2 一1 6 ) ，；0j ：，一3 将曲线定义域“k 。，“。】cb ，”。】内的节点值依次代入方程，应满足插值 条件 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ， p ( u 。) = d j n j ，3 ( 址) = q i - 3 , i = 3 ，4 ，w j 一3 p ( u 。+ 1 ) = d j n j ，3 ( “。+ 3 ) = q 。 j * 3 上式共含有m + 1 = n 一1 个方程。对于c 2 连续的三次b 样条闭合曲线，因首末 数据点重合，不计重复，方程数减少一个，剩下m = 1 1 2 个。对于控制顶点由 于首末3 个控制顶点依次相重合，未知控制顶点数减少3 个，也剩下n - 2 个。 因此，就可从m = n 2 个方程构成的线性方程组求解出n 一2 个未知控制顶点。 上述线性方程组可改写成如下式( 2 1 7 ) ( 21 7 ) 其中，系数矩阵中的元素均为b 样条基函数的值，只与节点值有关，采用式 ( 2 1 8 ) 矩阵方程求解。 其中 b l 口2 c l 6 2 口n 一3 c 2 b 。一3 口”一2 一 ( a 。) 2 a2 二二二1 。一 ，+ 。+ l + a f + 2 6 ：垒! 生! 垒! 垒出2 + ，+ 川l 十2 ( 川) 2 + l + ，+ 2 + 。+ 3 p 。= ( f + l + 。+ 2 ) q i _ i 解之，即可求出全部未知控制顶点。 p l p 2 ： e h 一3 e n 一2 垒出! 垒生2 垒! i 2 j + l + ，+ 2 + j + 3 ( 2 一1 8 ) 研畋民办 ijioi址 d 帆 如 部哪 虬虬 ) l 州 柚拈 池旭 ， k 鸭 曲 m m 虬 幽以；“ =iiiiiioii且 3 2 q 味 。 ； ；。氅釜i 呈三垒尘兰堡圭耋竺鲨：l 一； ；一；一； 对于三次b 样条开曲线以及不要求在重合的首末数据点处c 2 连续的 三次b 样条闭曲线，方程组中n 1 个方程不足以决定其中包含的n + 1 个未知 控制顶点，还必须增加两个通常由边界条件给定的附加方程。这时求解三次 b 样条插值曲线未知控制顶点的线性方程组可写成式( 2 一1 9 ) c l c 2 _ a n 一2b 。一2 a 。一lb 。1 p i p 2 ： p 一2 g h 一1 ( 2 - 1 9 ) 其中，系数矩阵中首行非零元素a l 、b j 、cj 与右端列阵中矢量e j 表示了首端 点边界条件，系数矩阵中末行非零元素a n - l 、b 。小c 。1 与右端列阵中矢量e n 1 表示了末端点边界条件，其余各行元素与上述b 样条曲线闭曲线情况相同。 常用边界条件有如下几种类型： ( 1 1 切矢条件端点切矢方向易给，模长难定。切矢条件在力学上相当于 梁的端部固支的情况，而具有固定的切线方向。模长与所取参数有关，并非 曲线的不变量，在弧长参数化下，切矢具有单位模长。因此，作为弧长参数 化- - ：f e e 近似的积累弦长参数化法，通常给出单位切矢，有利于样条曲线在端 部的光顺性。对于非积累弦长参数化法，通常可取成与积累弦长参数化法下 的单位切矢相当的切矢，即将模长取为： i p o i = 掣朴i p o 掣 。：i ，6 l ：c i ：0 ，巳：q o + ! 口。 a n - i ：瓦一l ：0 ，。：1 以一l ：g 。一等口。 ( 2 ) 自由端点条件又称自然端点条件。相当于力学上的铰支梁，在端点 不受力矩作用，具有零曲率。物理样条就属此种情况。自由端点条件由端点 哈尔滨工程大学硕士学位论文 二阶导矢取零矢量保证，即芦。= 芦= 0 。这时，在首末端点分别给出附加方程 玩= 去一志， ( ，) 2 q 5 瓦i 顶i 五了甭 ( 。) 2 。1 一五了瓦晤j 五j 巧 k 。= 若苌景一若絮 ( 3 ) 抛物线条件又称为贝塞尔条件。它使首末段为抛物线，即各 具有常矢量的二阶导矢。相应地分别有附加方程 p o + 多= 2 a p 。o 一 驴2 等 即 ，a 3 4 q 刮一瓦五f 1 9 揣 哈尔滨工程大学硕士学位论文 铲去c 去一志， ( ，) 2 ，1 = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 1 ( 3 + 4 ) ( 3 + a 4 + 5 ) q ：昙( + 2 9 ，) -