必修四简单的三角恒等变换(附答案).doc

简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用知识点一半角公式及其推导 (1)：sin ；(2)：cos ；(3)：tan (无理形式)(有理形式)思考1试用cos 表示sin 、cos 、tan .答案cos cos2sin212sin2，2sin21cos ，sin2，sin ；cos 2cos21，cos2，cos ；tan2，tan .思考2证明tan .证明tan ，tan ，同理可证tan .tan .知识点二辅助角公式asin xbcos xsin(x)使asin xbcos xsin(x)成立时，cos ，sin ，其中称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用思考1将下列各式化成Asin(x)的形式，其中A0，0，|.(1)sin xcos xsin；(2)sin xcos xsin；(3)sin xcos x2sin；(4)sin xcos x2sin；(5)sin xcos x2sin；(6)sin xcos x2sin.思考2请写出把asin xbcos x化成Asin(x)形式的过程答案asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中sin ，cos )题型一半角公式的应用例1已知cos ，为第四象限角，求sin 、cos 、tan .解sin ，cos ，tan .为第四象限角，为第二、四象限角当为第二象限角时，sin，cos，tan；当为第四象限角时，sin，cos，tan.跟踪训练1已知sin ，且3，求cos 和tan .解sin ，3，cos .由cos 2cos21得cos2.cos .tan 2. 题型二三角恒等式的证明例2(1)求证：12cos2cos 22.(2)求证：.证明(1)左边12cos2cos 212cos 22右边所以原等式成立(2)原式右边所以原等式成立跟踪训练2证明：tan .证明左边tan 右边所以原等式成立题型三与三角函数性质有关的综合问题例3已知函数f(x)cos(x)cos(x)，g(x)sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)(cos xsin x)(cos xsin x)cos2xsin2xcos 2x，f(x)的最小正周期T.(2)h(x)f(x)g(x)cos 2xsin 2xcos(2x)，当2x2k(kZ)时，h(x)有最大值.此时x的取值集合为x|xk，kZ跟踪训练3如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最大？解设AOB，OAB的周长为l，则ABRsin ，OBRcos ，lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )RRsin()R.0，.l的最大值为RR(1)R，此时，即，即当时，OAB的周长最大构建三角函数模型，解决实际问题例4如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值分析解答本题可设PAB并用表示PR、PQ.根据S矩形PQCRPQPR列出关于的函数式，求最大值、最小值解如图连接AP，设PAB(090)，延长RP交AB于M，则AM90cos ，MP90sin .所以PQMB10090cos ，PRMRMP10090sin .所以S矩形PQCRPQPR(10090cos )(10090sin )10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .令tsin cos (1t)，则sin cos .所以S矩形PQCR10 0009 000t8 100(t)2950.故当t时，S矩形PQCR有最小值950 m2；当t时，S矩形PQCR有最大值(14 0509 000) m2.1若cos ，(0，)，则cos 的值为()A. B C D2下列各式与tan 相等的是()A. B.C. D.3函数f(x)2sin sin的最大值等于()A. B. C1 D24已知，化简.5求函数f(x)3sin(x20)5sin(x80)的最大值一、选择题1已知180360，则cos 的值等于()A B. C D. 2使函数f(x)sin(2x)cos(2x)为奇函数的的一个值是()A. B. C. D.3已知cos ，(，2)，则sin 等于()A B. C. D4函数f(x)sin4xcos2x的最小正周期是()A. B. C D25设acos 6sin 6，b2sin 13cos 13，c，则有()Acba BabcCacb Dbca6若cos ，是第三象限的角，则等于()A B. C2 D2二、填空题7函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是_8若8sin 5cos 6,8cos 5sin 10，则sin()_.9已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为_10sin220sin 80sin 40的值为_三、解答题11已知函数f(x)4cos xsin1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值12已知sinsin ，0，cos .2答案D解析tan .3答案A解析f(x)2sin sin xsin2sin xsin xcos xsin.f(x)max.4解原式，cos 0.原式cos .5解3sin(x20)5sin(x80)3sin(x20)5sin(x20)cos 605cos(x20)sin 60sin(x20)cos(x20)sin(x20)7sin其中cos ，sin .所以f(x)max7.课时精练答案一、选择题1答案C2答案D解析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin.当时，f(x)2sin(2x)2sin 2x.3答案B解析由题意知(，)，sin 0，sin .4答案B解析f(x)sin4x1sin2xsin4xsin2x1sin2x(1sin2x)11sin2xcos2x1sin22x1cos 4x，T.5答案C解析asin 30cos 6cos 30sin 6sin(306)sin 24，b2sin 13cos 13sin 26，csin 25，ysin x在0，上是递增的acb.6答案A解析是第三象限角，cos ，sin .二、填空题7答案解析f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.8答案解析(8sin 5cos )2(8cos 5sin )2642580(sin cos cos sin )8980sin()62102136.80sin()47，sin().9答案3解析设该等腰三角形的顶角为，则cos ，底角大小为(180)tan3.10答案解析原式sin220sin(6020)sin(6020)sin220(sin 60cos 20cos 60sin 20)(sin 60cos 20cos 60sin 20)sin220sin260cos220cos260sin220sin220cos220sin220sin220cos220.三、解答题11解(1)因为f(x)4cos xsin14cos x14cos x1sin 2x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin，所以f(x)的最小正周期为.(2)因为x，所以2x.于是，当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x，即x时，f(x)取得最小值1.12解sinsin sin cos cos sin sin sin cos