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第6章,刚体力学,1,1）刚体运动的描述(刚体运动学)。2）刚体的质心运动。3）刚体定轴转动的转动定律。4）角动量守恒定律。5）刚体定轴转动的功和能,2,第6章刚体力学,(刚体运动的描述),研究方法:刚体可以被看成由无数质点所组成的一个特殊的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元，因此有关质点系的基本定理也适用于刚体。,6-1刚体的运动,刚体（rigidbody）：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体，称为刚体。是特殊质点系的理想模型。一般的固体可近似地看作刚体。,3,第二节,刚体运动的分类,刚体有两类基本的运动形式-平动和转动，任何复杂的刚体运动为两者的叠加。,1.刚体的平动和转动,转动是物体运动的基本形式,角坐标：位置矢量r与x轴之间的夹角，也称角位置。角位移d：角度的微小变化。,角速度：,方向:右手螺旋方向,单位：弧度/秒（rad/s）,2.刚体的角速度和角加速度,5,角加速度：,单位：rad/s2,匀角加速度运动方程：,类似匀加速直线运动，匀角加速度定轴转动的运动方程可类比得到。,6,刚体内各质点的位置、速度、加速度在转动过程中可能不一样，但在相同的时间内转过的角度、角速度、角加速度都相同。,7,角量与线量的关系：,1）刚体运动的描述(刚体运动学)。2）刚体的质心运动。3）刚体定轴转动的转动定律。角动量守恒定律。5）刚体定轴转动的功和能,2）刚体的质心运动。,8,第6章刚体力学,质心：质点系的质量中心。,质心质量：等于质点系中各质点质量的总和。m=mi,质心位置：质点系内各质点的质量加权平均位置。,设质心位矢为rc，定义,直角坐标系中质心坐标的分量式：,1.质心,6-2刚体的质心运动,9,刚体的质量是连续分布的，可看成由许多质量元dm组成的质点系，刚体的质心矢径定义为：,分量式为：,质量连续分布的物体,10,当质点系中各质点的位置改变时，质心的位置也发生变化，对质心位矢求时间导数得速度,表明：质点系总动量等于质心的动量。,2.质心运动定理,将上式改写为,亦即，,11,质心运动定理：,质心速度：,-作用于物体的外力等于物体质量乘以质心加速度。,【例1】均匀细棒弯成如图所示的直角形，则它的质心位置_，_。(复习题二，二、1),解：,由对称性、均匀性可知，两直角边各自的质心位置在中点。由质心定义,12,解,由质心定义,得,例2试求非均匀棒的质心位置。设棒长为L，棒的单位长度质量与x的函数关系为，式中为常数。,坐标轴如图所示。在棒x处取一线元dx,其质量元为dm,13,例3如图所示，一质量均匀分布的细杆弯成半圆形，其半径为R，求其质心的位置。(练习四-5),解,由质心坐标公式，有,如图取坐标。设细杆的线密度为，取一线元dl，其质量元,14,例4求一半径为R的半圆均匀簿板的质心位置。,解：,取坐标如图所示。,在处取宽为的条状，其质量为,由质心坐标公式，有：,则质量元,15,设薄板面密度为，由于半圆对轴对称，即yC=0，质心位置一定在x轴上，只需求质心的横坐标xC。,1）刚体运动的描述(刚体运动学)。2）刚体的质心运动。3）刚体定轴转动的转动定律。4）角动量守恒定律。5）刚体定轴转动的功和能,3）刚体定轴转动的转动定律。,16,第6章刚体力学,定轴转动：刚体各质点均绕同一固定不动的直线（称为转轴）转动。,特点:刚体上各点都绕固定轴作圆周运动。注意与定点转动的区别！,6-3刚体的定轴转动,刚体定轴转动时，可用正负号来表示力矩的方向。,设力F作用于刚体中的P点，且在转动平面内，,1.对轴的力矩,17,在刚体内任取一质点i，质量为mi，离转轴距离为ri，受到外力Fi和内力fi的作用，设Fi和fi均在转动平面内。,力矩,合外力矩,合内力矩为零,牛顿第二定律,大小,2.刚体定轴转动定律,18,合力矩,合外力矩,合内力矩为零,令,称为转动惯量,转动定律,刚体转动快慢的变化与作用于刚体的外力矩有关；也就是说刚体转动角加速度正比于外力矩M，与刚体转动惯量I成反比。,定律的物理意义：,19,转动定律与牛顿运动定律比较,牛顿运动定律：描述质点运动规律；加速度a与受力F的关系,具有瞬时性、矢量性；F为合外力；线量。,转动定律：描述刚体转动规律；角加速度与力矩M的关系,具有瞬时性、矢量性；M为合外力矩；角量。,描述转动：,描述平动：,20,转动惯量-刚体转动惯性大小的量度,质量-平动中惯性大小的量度,质点系,质量连续分布,3.转动惯量,线分布,面分布,体分布,其中：、分别为质量的线密度、面密度和体密度。,质量密度与dm的选取,21,例1求一质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量。(1)轴通过棒的中心并与棒垂直。(2)轴通过棒的一端并与棒垂直。,解：,取坐标，如图所示。在x处取一质量元dm，写出其绕转轴的转动惯量表式，然后积分。,22,一些常见刚体的转动惯量,23,平行轴定理,例1利用平行轴定理计算细杆转动惯量,IC：刚体绕过质心转轴转动的转动惯量,h：两平行轴间距,3.刚体转动惯量的二条定理,24,解：,例2求证垂直轴定理(薄板)：,证明：,所以,证毕。,因为，,25,例3利用平行轴定理、垂直轴定理计算薄板圆盘沿不同转轴的转动惯量。,转轴(过圆心、垂直盘面),转轴(与盘面相切、垂直盘面),转轴(盘直径、与盘面共面),转轴(与盘面相切、且与盘面共面):,26,解：,例4一细杆长L=5米，其质量线密度=2x(kgm-1)，可绕水平光滑轴O在竖直平面内转动。如图所示，求：(1)该细杆的质量m；(2)质心的位置xC；(3)细杆对轴O的转动惯量IO。(练习四、3),解：,(1)求质量,取坐标，如图所示。在x处取一质量元dm,(2)求质心位置,27,(3)求对转轴O的转动惯量,先写出质量元dm的转动惯量表式,细杆的转动惯量：,28,转动惯量,另：求T型系统的质心位置：,两细棒的质心位置在各自捧的中间位置,再由该两位置求T型系统的质心坐标yc，为：,解:,例5两细棒质量均为m,长度均为l,制成T型，且可绕O轴自由转动，如图所示，求该T型系统对O轴的转动惯量。(习题四,5),利用转动惯量的可加性,29,例6一复摆由一根质量为m，长为l的均匀细杆和一质量为m，半径为R=l/4的均匀圆盘组成，O为转轴，则该摆的转动惯量I=？,该系统的质心位置=？,先计算细杆的质心(杆的中点)和园盘的质心(盘心)，然后再求两者组成的系统质心位置。,解：,利用转动惯量可迭加性,30,例7如图，四个质点安装在质量忽略不计的轻质圆形框架上，求：（1）此系统对通过圆心并垂直纸面轴的转动惯量；（2）绕通过此系统质心并垂直纸面轴的转动惯量。(练习四、4),解：,质心位置：对称性知水平方向的两质点的质心在O点，只需确定竖直方向两质点的质心位置。,(即距0点上方0.25R),(1)利用转动惯量定义,(2)先求系统质心位置,再求转动惯量,31,求绕此系统质心并垂直纸面轴的转动惯量,由平行轴定理有：,解,（1）由质心定义,得,（2）利用转动惯量定义,得,例8四个质点用质量不计的刚性细轩连接起来，构成一质点系统。如图建立坐标系，坐标原点位于长方形中心。若该质点系绕过O点且与xy平面垂直的z轴以角速度6.0rad/s转动，求：该系统（1）质心位置坐标和；(2)绕z轴的转动惯量；(3)绕z轴的转动动能。(习题三,8),（3）转动动能,32,（1）确定研究对象，进行受力分析，画出隔离体受力图；（2）建立坐标系，假设a、的正方向，并尽可能使两者在运动方向保持一致；（3）对刚体的平动用牛顿第二定律，对刚体的转动用转动定律，列联立方程；（4）由物体之间的连接关系及角量与线量的对应关系，列出补充方程；（5）求解方程，并分析结果的合理性与物理意义。,【解题步骤】,4.转动定律及其应用,33,例1一转动惯量为I的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为0，设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M=k（k为正的常数），则圆盘的角速度从0变为0/2时所需的时间。(练习五1),解,或由将要学的角动量定理微分形式Mdt=J直接求解,34,例2一轻绳缠绕在定滑轮上，绳的一端系有质量为m1的重物；滑轮是一个半径为R的均匀圆盘，质量为m2。开始时，重物离地面高度为h，然后由静止开始下落。设绳与滑轮之间无相对滑动，绳不可伸长，不计轴上摩擦，求重物刚到达地面时的速率。,解I：,分别对重物m1、滑轮m2作受力分析，对重物应用牛顿运动定律，对圆盘应用转动定律.,解以上方程，得,35,又，,由机械能守恒定律求解,把重物、滑轮、地球看为一系统，系统不受外力，内力中无耗散力，故系统机械能守恒。设地面为重力势能为零参考点。,解以上三个联立方程，得,36,解II：,例3如图，A、B两物块和滑轮C的质量分别为mA、mB和mC，滑轮半径为R，对轴的转动惯量为。设桌面和转轴光滑，绳不可伸长且质量不计，绳在滑轮上不打滑，求物块A的加速度aA。(练习三、13),解,分别对物体A、B、滑轮C作受力分析，对A、B应用牛顿运动定律，对滑轮应用转动定律,又，,37,例4如图所示，一个组合轮由两个匀质的圆盘固接而成，大盘质量M1=6kg，半径R=0.10m，小盘的质量M2=4kg，半径r=0.05m。两盘边缘上分别绕有细绳，细绳的下端各悬挂质量为m1=m2=2kg的物体，求：两物体m1、m2的加速度大小；两绳子中的张力。,解,分别对大小圆盘、物体作受力分析，对物体应用牛顿运动定律，对圆盘应用转动定律,38,39,例5如图所示，将一根质量为m、长为l的均匀细杆悬挂于通过其一端的光滑水平轴o上。今在悬点下方距离x处施以水平冲力F，使杆开始摆动，要使在悬点处杆与轴之间不产生水平方向的作用力，则施力F的位置x应等于多少。,由质心运动定理,解：,以细杆为对象，其受重力mg、轴处支持力、水平方向受支持力分量、冲力。,40,即,令Ny=0，解得,作业练习四1、2、7、8、9练习五3、4、5,41,1）刚体运动的描述(刚体运动学)。2）刚体的质心运动。3）刚体定轴转动的转动定律。4）角动量守恒定律。5）刚体定轴转动的功和能,4）角动量守恒定律。,42,第6章刚体力学,第四节,定轴转动刚体的角动量,定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加,1刚体的角动量,2刚体的角动量定理,44,3刚体的角动量守恒定律,45,解：,子弹射入棒与穿出捧的过程，子弹和棒组成的系统角动量守恒；棒从竖直位置摆至水平位置，此过程以棒和地球组成的系统机械能守恒。,解得：,而,46,解：剪断瞬间，A端可认为静止点。,例2一长为l质量为m的均匀细棒，其两端用绳子自天花板竖直吊住，棒处于水平。若一端突然剪断，求此时另一端绳的张力T。,47,例3如图所示，有一质量为M、长为l的均匀细杆静止在光滑的水平桌面上，可绕通过细杆一端的竖直光滑钢钉转动。有一质量为m的小球以垂直于杆的水平速度v0与杆的另一端碰撞，碰撞后小球以速度v反向弹回。设碰撞时间很短，求碰撞后细杆转动的角速度？,问：碰撞过程中，由小球和杆构成的系统的动量是否守恒？,不守恒！,48,解：,由于质点与有转轴的细杆碰撞时，轴对杆有冲力，故动量不守恒；但该冲力对于O点的力矩为零，因此对O点的角动量守恒.,L=,49,花样滑冰,L=,50,【例1】恒星晚期在一定条件下，会发生超新星爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周，它的内核半径R0约为2107m，坍缩成半径R仅为6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后的星体内核均看作是匀质圆球。,解：在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因此恒星的角动量应该守恒，则其内核在坍缩前后的角动量I00和I应相等。因,代入I00=I中，整理后得,51,1）刚体运动的描述(刚体运动学)。2）刚体的质心运动。3）刚体定轴转动的转动定律。4）角动量守恒定律。5）刚体定轴转动的功和能,5）刚体定轴转动的功和能,52,第6章刚体力学,6-5刚体定轴转动的功和能,1、力矩的功,设力F在转动平面内，作用在刚体中p点上，dt时间内，位移dr，dr=rd，力F在dr上的投影为切向力F=Fsin，则F所作的元功,53,刚体的转动动能是刚体所有质点的动能之和。,类似,转动定律,分离变量Md=Id,积分,合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量,刚体转动的动能定理,（2）刚体的转动动能,54,包括刚体转动动能和平动动能在内的系统功能原理同样适用。,同样，若W外+W内非=0，只有保守内力作功，则包含刚体转动的系统的机械能守恒。,说明,55,直线运动与定轴转动规律对照,56,例1如图，已知滑轮的质量为M，半径为R，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为，物体与斜面间光滑，物体从静止释放，释放时弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑x米时的速度为多大？（滑轮视作薄圆盘）,解：选取m，M，k和地球为系统，重力和弹性力均为系统保守内力，外力和非保守内力均不做功，系统机械能守恒。,57,设m未释放时为初态，此时重力势能为零。当m下滑x后为终态。,初态能量：,终态能量：,由机械能守恒得,由角量和线量的关系得,联立式(1)、(2)、(3)得,58,例2如图所示，一根长，为质量为3m的均匀细棒，顶端悬挂在O点的水平轴上。今有质量为m的子弹以水平速度V0射入棒的下端里面。然后，棒上摆至下端高度h处的位置。求（1）子弹和棒刚开始转动时的角速度。（2）棒下端达到的高度h？,子弹、棒为系统，子弹射入棒过程中，系统所受的外力对O轴不产生力矩，故系统对O轴角动量守恒。,解：(1),59,棒、子弹、地球为系统，上摆过程中只有重力做功，系统机械能守恒。,（2）,将代入上式,60,