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第7章随机利率模型【考试要求】7.1引言相关概念利率模型的评价标准均衡模型与无套利模型7.2Ho-Lee模型Ho-Lee模型Ho-Lee模型的应用7.3连续时间随机利率模型下零息债券的定价随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程利率风险的市场价格零息债券价格满足的偏微分方程基于鞅方法的零息债券定价公式,7.4Vasicek模型Vasicek模型及模型求解Vasicek模型下的债券的定价7.5CIR模型CIR模型及模型求解CIR模型下债券的定价7.6单因素模型的局限性单因素模型的局限多因素模型简介,【要点详解】7.1引言1相关概念（1）银行账户过程定义为t时刻银行账户过程(的价值)。假设(0)=1，且银行账户满足以下的微分方程：其中是瞬时利率。由上式可以进一步的推出：说明：如果瞬时利率rt是随机的，银行账户过程也是随机的。（2）随机折现因子在t时刻到T时刻的随机折现因子D(t，T)是：随机折现因子的含义假设在0时刻向银行账户存入A单位货币，则在t0时刻银行账户将有单位货币。若希望在T(Tt)时银行账户有1单位货币，即，需在0时刻投入单位的货币，这笔金额在t时刻银行账户的价值为：所以，T时刻的1单位货币，在t时刻的价值为。,（3）连续复利收益率用B(t，T)表示T时刻到期的零息票债券1单位面值在t时刻的价格。连续复利收益率R(t，T)定义为：由这个等式可以推出：R(t，T)是零息债券在t，T上的平均收益率。说明：尽管B(t，T)与D(t，T)二者都是从T到t的贴现因子，但B(t，T)在t时刻是一个数，而D(t，T)则可能是一个随机变量。（4）远期单利和远期复利t时刻的期限为T，S(Tt)时刻的rT的条件分布的密度函数为：其中引理7.1设是一个过程，称为Dynkin算子，则,定理7-4CIR模型下，基于t时刻的短期利率rt，未来T(Tt)时刻rT的条件期望为：条件方差为：特别的，取t=0，可得对任意的t0，有（7.13）（7.14）,证明：仅证式(7.13)和(7.14)，前两个等式的证明是类似的。的证明：对两边取期望，因E(dWt)=0，所以，由引理7.1可得：（7.15）上式的边界条件为E(r0)=r0。设则(7.15)式变为：对上式两边从0到t积分，并将代入可得：其中C为常数。由边界条件可得：C=r0-。,的证明：对rt2用引理，可得：由引理7.1可得：将式代入上式将得到一个关于E(rt2)的一阶常微分方程，解方程可得：结合式和上式即可得到说明：由定理7-4可知，当t时，rt。,2CIR模型下债券的定价CIR模型下风险的市场价格为：其中为正的常数。将和代入下式得到CIR模型下零息债券价格满足的微分方程：该微分方程的求解：假定上式中零息债券价格的形式为：可求出待定函数如下：说明：在CIR下债券的定价是非常复杂的，这在一定程度上限制了实际中对该模型的应用。,【例题7.7】假设当前的短期利率为4，其标准差为每年1。当短期利率增长到8时，CIR模型的标准差的变化情况是（）。A短期利率标准差增加到1.518%B短期利率标准差保持在1%C短期利率标准差下降到0.876%D短期利率标准差增加到1.414%E短期利率标准差增加到2.507%【答案】D【解析】在CIR模型中，短期利率的标准差正比于短期利率的平方根。当短期利率从4%增长到8%时，短期利率的标准差从1%增加到1.414%。,7.6单因素模型的局限性1单因素模型的局限单因素模型的局限性的主要表现：（1）历史数据表明：不同期限的债券价格与单因素模型预测的价格不能很好的对应。实证研究表明：包括三个因素的利率模型能够较好地模拟利率的随机性。（2）实际中可能出现利率较低时的波动率水平高于利率较高时的波动率水平，这一点在单因素模型中很难体现。而在多因素模型中，这一问题得到了较好的解决。（3）单因素模型不能满足对更复杂的利率衍生品定价的需求。需要更复杂的模型来处理这些衍生产品的定价问题。,2多因素模型简介（1）两因素的Vasicek模型涉及两个随机过程，它的形式为：其中，是相互独立的在风险中性概率测度下的标准布朗运动，为参数。说明：两因素的Vasicek模型将单因素Vasicek模型中的长期利率随机化了，因而比单因素模型能更好的描述实际中利率的变动。多因素模型中的这一类是将单因素模型中的某个或某些参数随机化得到的。（2）多因素CIR模型的定义：假设短期利率