（运筹学与控制论专业论文）无限维系统线性二次最优控制问题.pdf

内容摘要 小报佟t l t 的研究埘象为厄限维系统，包括确定性的抽象发展系统制砸机系统 j 州为姐j 1 - , j 的复尔系统，垃、1 ；u 拱i 制科0 ：州究的一j ：i ：， 剁舯瞄之 小 h ；i i l l l 山曲个洲分：讹部分建。r 分nj 参数系统的“b j l i = 小删沦 钒。i 分例，r 随机系统线。 玖最优揣；a ，4 i i u 题 一| j u 州分托t r 讨沦从线一儿次最优控制叫题( 阳杨：l q 川邀j 挝的 此教 问阻乔q 埔从慨1 小i 求侧7 t n 刮襞此般+ r l ? 粜，为拎制删沦服务 刈- 而尔们特。邓 川，玖泛蛹的檄值问题，卣次给f | l 厂该川题适定。p j ( 刚 订f j 限 、抖) 的允分必篮祭们，推广f u 发展了f r i e d r i c h s 、m i h l i n 、b u c c i p a n d i l f i 和乍训经1 贫l ：炯敏等人的l 作，从m 刈，j 解十牛 l 】适定件的联系利i x 刖jj 7 l f 脱的认i 。 j 刈j j f i 尤界搬动手u 厄界l 。j 由j _ ! i ! 的线性发展系统，给出厂斛天j - l 川 j 灿内 表达j ( 即相应常数变易公式) ，推广了c u r t a i n p r i t c h a r d 、李洲终j 刘j 隶” 李训纤1j 稚炯敏等人的l ，作。作为卣接的应用，柏j 通常的控制表小为反馈加j 挎删的变换h 抛物型偏微分方科的d i r i c h l e t 、x i e u l n a n n 边界挖制羊 态拧圳挪 r t j 此抽象批架统处州之。 “部分_ _ i 】 究了随机系统t t 藤型方程) 线 q 次最优控制叫题。+ j 确止r i 川题棚【e ，随机线附：次最优控制问题有着新的特点车难，此时小仪r iz 匕, u 丁t 仆 _ ；】控制j 贝加权算r ( 锋5 ) 1 1 t 以取为负定，l 而 1 相应的r i c c a t i 方科t t 现j 禽f 术，= l j 鲥i 阵的奇肄项。 我制建、 ：r 尤限时线h 。次最优控制问题唯+ l j 解性、r i c c a t i _ l = i 程们 i i _ 反馈稳定解平相应频率特征具有一致强制性i 者之i h j 的等价关系；从l m 人人推 和发厂j d o k u c h a e v 、 3 r u s 】i i 、b g r io v s k ii 、m ( ) o r e 和周迅宇等人的j 作。 州“斛仙最优控：l j i j 小定唯的线性i 次最优挎制问题，给h ：j 所“最仇 作弋蛳解忻表赳 其巾类恰可用反馈耙j 、1 改进了m 0 0 r 醐”埘r j 天键l q ：次泛函，极伯m 题，适定性，解析、卜群，随机l 0 问题，r i c c a t i ，jf 频j 簪特缸。 a b s t r a c t t h i sr e s e a ic hi sd e v o t e dt os t u d yo nt h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m w h i c hi n c l u d e s b o t ht h ed e t e r m i n i s t i ca b s t r a c te v o l u t i o ns y s t e ma n ds t o c h a s t i cs y s t e mt h e ya f t b o t h c o m p l e x i t ys y s t e m s a so n eo ft h ek e yp o i n t sa n df o r ef i e l d sf 【) i t h ec o n t r o ls c i e n c e c o m p r i s e do l t w op a r t s ，t h i sr e s e a r c h p a r a m e t e rs y s t e m i nt h ef i r s t p a l l w h p r o b l e m s a r ed i s c u s s e di na n o t h e rp a r ! st oe s t a b i i s hs o m eb a s i cr e s u l t so nd i s h l b u t e d es t o c h a s t i c l i n e a l q u a d r a t i co p l i m a l c o 1 h o l i np a r to n ew es t u d ym a i n l ys o m em a t h e m a t i c a lp r o b l e m sp o s e df r o ml i n e a rq u a d t a l i c o p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m s ( l qp r o b l e m ，f o rs h o l l ) w eh o p et o o b t a i ns o m e g e n e l a l r e s u l t si no r d e rt oa p p l yt h e mi nc o n t r o lt h e o r y f m 1 2 1 f n i i l l i z i n rp r o b l e m sf o fa u a d r a t i cf u n c t i o n a li nh i l b e r ts p a c e w eo b t a i nn r s t 1 1 c o n en e c e s s a r y s u f f i c i e n tc o n d i t i o ni b rt h ew e l lp o s e do ft h i s1 2 1 i n i m i z i n gp r o b l e m s w h i c h i u s tm e a n st h a tt h eq u a d r a t i cf u n c t i o n a ia d m i t sf i n i t el o w b o u n dt h ec ol i c l u s i o n i m p r o v e sa n dd e v e l o p st h o s er e s u l t so ff r i e d r i c h s m i h l i n b u c c i & p a n d o l f i l l y o n g 、 e t c ，r e s p e c t i v e l y t h u sw eh a v ei n d u c e dv i e wo nt h ec o n n e c t i o na n dd i i r e f e n c eb e t ，e e n t h es o l v a b i i i t ya n dw e l lp o s e do f t h i sm i n i m i z i n g p r o b l e m w ea l s og i v et h er e p r e s e f i t a f i o no f s o 】u t i o nj nt e r m so f t h ef r e et e r m t i l ev i i l j a l j o o f c o n s t a n t sf o r m u l a ，f o rt h ea b s t r a c te v o l u t i o ns y s t e mw i t hu n b o u n d e d p e r t u r b a t i o na n d f r e et e r m 。f h er e s u l t si m p r o v et h o s eo f c u r t a i n & p r i t c h a r d l i & l i u l i y o n g e t ca b a na p p l i c a t i o n ，u n d e rt h eu s u a it r a n s f o r m a t i o n o f t a k i n g t h ec o n t r o la so n ef e e d b a c kp i u s a n o t h e rc o n t r o i ，t h ec o n t r o j i e ds y s t e mo f p a r a b o l i cp a r t i a ld i f i e r e n t i a ie q u a t i o n sw i t h d i r i c h l e t ，n e u m a n nb o u n d a r yc o n t r o l so rp o i n tw i s ec o n t r o l sc ar lb ed i s c u s s e di no n c s a m ea b s t r a c tm o d e j i n g p a r tt w oi so nl i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sf o rs t o c h a s t i c s y s t e m ( i t 6t y p e e q u a t i o n ) c o m p a r e dw i t ht h ed e t e r m i n i s t i cc a s e ，s t o c h a s t i cl i n e a rq u a d r a t i co p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m sh a v en e w c h a r a c t e r i s t i c sa n dd i f f i c u l t 3 , t h ec o n t r o lw e i g h to p e f a t o l ( m a t r i x ) i l lt h eq u a d r a t i cf u n c t i o n a li sa l l o w e dt ob en e g a t i v e ：i na d d i t i o n 、t h e c o r r e s p o n d i n gr i c c a t ie q u a t i o nh a so n es i n g u l a rt e r mo ft h eu n k n o w nm a t r i x f o rt h ei n f i n i t eh o r i z o ns t o c h a s t i cl i n e a rq u a d r a t i c o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ，w e e s t a b l i s ht h ee q u i v a l e n c ea m o n gt h eu n i q u es o l v a b i l i t yo f t h i sp r o b l e m ，t h eu n i q u e e x i s t e n c eo ff e e d b a c ks t a b i l i z i n gs o l u t i o nf o rr i c c a t ie q u a t i o na n dt h eu n i f o r m p o s i t i v e d e f i n i t eo f t h ef r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i ct h e s ec o n c l u s i o n sd e v e l o pt h o s eo f d o k u c h a e v b r u s i n u g r i o v s k i i ，m o o r ea n dz h o u e t c i nt h ec a s ew i t hs o l v a b i l i t yb u tn o tu n i q u el b rt h i ss t o c h a s t i cp r o b l e m ，v v ef i n do u la o p t i m a lc o n t r o l sa n d 0 1 1 ea m o n gt h e mi s j u s ts t a t ef e e d b a c ko p t i m a lc o n tr o l g h i sr e s u l t i m p r o v e st h o s e o i m o o r ea n dz h o u k e ) 7 w o r d s ：q u a d r a t i cf u n c t i o n a l m i n i m i z i n gp r o b l e m w e l ip o s e d a n a l y t i cs e l l l i g l o u p s t o c h a s t i cl 0 p t o n e m ，r i c c a f ie q u a t i o n ，f r e q u e n qc h i n a c l e l i s t i c 致谢 ic ) 9 8 年10 j ，n ：复i j 入学数学研究所获得博l j 学位“，我t l 常装、也能剑湖 人学l 岛等数学研究所跟酾、叔平教授从事博卜后研究i 。作。 瞬m ，两年时间很快即将过去，并将剑新的l 作岗位去j 干1 ，内心t 分留恋 f 【：浙i l ：夫学的 | i 夜夜和老帅们、朋友们，在此我要衷心感谢陈叔、f 教授，没f j 他 的鼎、7 相助，我不n j 能有机会到浙江大学来从事博 + 后研究l 作。，住浙人期间他给 j 我学、l kf 的指导和各疗面的帮助关心，我将终身难忘。 确：此我还要感谢刘康，e 教授，给卜我的帮助和关心。 在博士后期间，我f 一分荣幸地访问了香港中文大学，和周迅。j 教授进j jj 个 月的合作研究，使我顺利地展开，在随机控制理论的研究j 作，在此我爱感谢刷迅 产教授的邀请和合作。 m 博i j 期i h j ，我的博士生导师复咀人学的李训经教授和雍州敏教授，始终给 我人j 支持和帮助，存此我要感谢他们俩的一贯的关心。 我还得到许多老帅和朋友的帮助，在此说声谢谢 绪沦 厄限维系统( 包括确定性的发展系统删随机系统) 足典刈的复j j 系统，它仃j 越 前控制科学研究的重点利前沿之 。 1 9 9 8 印10 月，在完成复目人学的博l 7 系是数学学科傅 后流动站从事博 后驯究 也博t 后阶段的初期，我利陈叔、f 教授讨沦制订厂博“i 阶段的f i j 7 洲划继 续博 ：阶段的科研工作。当时计划在博 论史旗础j ，展扦对多种类世偏微分，j 刷 ( 特别是双曲型方程) 带边界控制或点态控制的线性次最优控制问题的研究i ， 怍。在第一个半年时间内，我丰要是按计划对分布参数系统进 丁研究。爿：完成了 篇丈章，其中篇己被( ( p r o g r e s s i n n a t u r es c i e n c e s ) ) 录用，另篇已投 j o u r n a l o f a u s t r a l i a m a t h e m a r l c a ls o c i e t y ) ) ( s e r i e sb ) 并完成修改稿。舀：这阶段中还彳】 项重要工作是完成中报并获得了国家自然科学基金( 青年基金) ，j 日 私杨；为 厄限维系统最优控制的解析设计，项编号为1 q 9 0 1 0 3 0 。我们r l 二研究过w m t 发现有不少例了显示确定性不定号指标线性次最优控制问题彳j 蕾新的特，- ? 、，今c ， 我要化大力气来完成这些方面的研究【作，希望能得剑有较大意义的进展。 在浙江大学数学系，陈舣平教授领导组织了数学金融研讨班。吲此我肝始。、z 爿 随机控制弹论，并在1 9 9 9 q j9 月1 日至l9 9 9 年，j3 0 日，应周迅字教授的邀请 到香港中文大学访问，进行合作研究，囡此博t 后阶段的大部分时间我的科技l _ 作 是在随机控制领域内展开，目前已完成论文耐篇，一篇已投稿至( ( s i a mj o u r n a l0 1 1 c o n t r o l & o p t i m i z a t i o n s ) ) ，另一篇已投稿至( ( s y s t e ma n dc o n t r o ll e t t e l s 。仝今， 我还继续在这领域内进行着不断的努力和探索。 在博士后阶段，除完成上述四篇文章之外，我还发表了二篇文誊，利录用“篇 文章。篇发表在( ( s c i e n c ei nc h i n a ) ) ( s e r i e se ) ，篇发表在( ( c h i n e s es c i e u c e b u l l e t i n ) ) ，还一篇发表在 a n n a l so f d i f f e r e n t i a le q u a l i o n s ) ) ；被美围 d i f f e r e n t i a l i n t e g r a le q u a t i o n s ) ) 录用篇。 哺f f j 时间的博士后工作，给我提供了相二j 多的学爿时间和条俐，九这 阶段 我做了r 定的工作，也车富了自己的知识商。仙有止匕l ：作还来小及完成，) jf 还未展开。今后我将继续努力，争取在科研l 作 i 更 ：一层楼。 匕 第一部分 第一章希尔伯特窄问中二次泛函的极值问题 希尔伯特空间- 1 ：次泛函的极值题足 个肌史悠久的数学问题，它j 椭圆j | l l j 偏微分厅程解的存在性有着密切的联系 据我所知，最早系统研究过这 m 题的。、z 若是f r i e d r i c h sk ( 请参址 f i ) ，他十l 9 3 4 吓就提出引入新的空间和内积的心、 想，得剑了r 该极值问题可解的充耍条件。1 9 5 2 旬。，m i h l i nsg 出版了擘并【m 1 t 总结年发展了这思想。这世| ：作是结合偏微分方程解的存m 肚艘开的、 线惟一次最优控制问题也i j 以转化为个希尔们特空间中次泛函的极值问 题。l i o l l s j l ( 清参见 l i ) 就是用这种变分思想来研究偏微分方程解的线h ： 次最优控制问题。 。 线性二次最优控制问题的适定性，m ：次泛函在容许控制类中有有限卜界，j 其它数学问题如绝对稳定性等等有着密切联系，因此很有必要对希尔伯特夺问中 次泛函的极值问题的适定性能得到某些本质性的刻划。 在此之前，b u c c if p a n d o f il ( 请参见f b p 】) ，李圳经和雍炯敏( l 肯参 见f l y ) 等得到过一些必要条件。 设为希尔伯特空间，其o , j 积记为c ，。 r ，g 为给定。考察以fi 次泛函 厂( ) 三( 中厅，h + + ， 我们可以提出如f ：次泛函( 11 ) 的极值问题 令中：d ( 中) hf h 为i j 只轭算 v h d ( 中j m q 问题：在d ( 中) 中找元使二二次泛函( 1 1 ) 在d ( 中) 上达到最小。 定义若 则称m q 问题适定。 睢i n f 1 ，( ) 一o 。 定义若存在h d ( 中) 使得 ，( ) = v 一m 则称m q 问题在h 处司解。 3 ( 12 ) 这似个 ! 【念址小等= f 介n 1 ，m o 刚越j 俐i j ! l j 它必辽止：眨z 小然，i i ，爪例j 7i 1 r 参w 。 总t 。+ 1 | m m l i f 1 ，j 以f 碍剑 命题m q4 0 逊垃川州的，“1i i 仪“1 ( d10 ，引r ( o ) _ 1 l l i 、j 取hr ，) ( c 1 ) ) 他f j 口= 【dh ，则m o 叫题仃h 处r , j 俐 i b p l 【l y 】i l l ! l j ，拈m qn u 题适定，b t i j t d ! 我们r l f w 川得剑了以r 囱天适定。r 的绵论 定理m q 叫题足适定的，“1 仪“j 中10 ，譬r ( 0 1 ) 。 1 此，得剑 推论“h 为南。 艇2 住。n _ | j i t 、f ，适定。降j j 自￥r i 址“0 f 介f n 迂定r ：足厄限维兮m t ip i j if j 的概念 i 阿，我们还术刈i ”l 朗j 集合t 次泛函板伯问题的遁定胜进仃研究 例集合i i 一l 泛函极值问题的适定性也更f j 待腱n 参考文献 b i 。】b u c c i ，f ，p a n d o l f i ，l ，t h ev a l u ef u n c t i o no t t h es i n g u l a rq u a d r a t i cr e g u l a t o rp l o b l e mw i t h d i s t r i b u t e dc o n t r o la c t i o ns i a mjc o n t r o la n do p t i m i z a t i o n s i9 9 8 3 6l15 一i3 6 f 】f r l e d r i c h s k ，s p e k t r a l t h e o i i eh a l b b e s c h r a n k t e ro p e l a t o r e nu n da n w e n d u n ga u fd i e s p e k t i a l z e r l e g u n gv o nd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r e n m a t ha n n1 9 3 4 ，1 0 94 6 5 ”4 8 7 y 1i i ，x ，y o n g ，j 、o p t i m a lc o n l l o lt h e o r 5f o l i t l i n l l c1 ) i m e n s i o n a ls y s t e msb o s t o n b a s e r e r l l n ：b l r k h ；a u s e rl9 9 5 m im i h l i n sg t h ep i o b l e mo f t h em i n i n l t l mo lt h eq n a t h a t l cf u n c t i o n a lm o s c o 、一ie n i n g r a d ( j o si z d a tt e c h n r e o rl 。l ti9 5 2 w 1w u 、i i m i n i m i z i n gp r o b l e n lf o lq u a d r a t i cf u n c t m n a l si nh i l b e i ts p a c e ( t oa p p e a lo i lp r o g r e s s 1 1 1n a t u r es c i e n c e l 第二章线性抽象发展方程的常数变易公式 范这章巾，我们将考察具有无界扰动和无界自“ 项的非齐次线。r i ：发展力程。 役x u 都为希尔伯特空间，e 一4 为xi 二解析半群，且分数幂算r a 7 划彦i h - 的y r 部有定义，m l ( 爿) ，甲e l ( u ，) ，“( ) 跣。( o ，。；u ) 为局部b o c h n e r ”1 积n 取值丁u 守1 、日j 的函数全体。 考虑以f 线性发腱力崔 y ( ，) ：p x + 髓爿c t e - a ( h 卿( s ) 出+ 巧爿c - a ( t - s ) 。p “( s ) 西， ( 21 ) 其l ，口f 0 ，1 ) 取定。特别指出，当a = o 时，这罩的e “i i 必要求为解析半群，h 要 求为。半群即可。在( 2 1 ) 式右端的第二项，我们称之为扰动项，第三项称之为自 “ 项。当口 0 时，此时的扰动项和自由项由于爿。的出现，而分别称之为无界扰动 平 ：界自由项。 众所周知( 参见 l a l l y 】) ，对于定义在有界光滑区域q c r “上的二阶抛物 ，理偏微分方程，其控制模型可以用下式来统一描述： y ( ，) ：e “7 x + 5 爿a e - a ( t 一5 ) b y o ) d s ， ( 22 ) 其，l z b l ( u ，) 。具体的情形为：当控制作用为d i r i c h l e t 边界控制时，取 。y ：三2 ( q ) ，u ：l 2 ( a q ) ，则( 2 2 ) 式中口可取为口= + s ，而s o q - 取为任何小 的1 f 数；当控制作用为n e u m a n n 边界控制时，取x = l 2 ( q ) ，u = l 2 ( a q ) ，则 ( 2 2 ) 式中a 可取为口：三+ g ，而 o 可取为任何小的正数；当控制作用为点态控 4 制时，取x ：上z ( q ) ，u ：h 一( q ) ，且取旱 0 使得 q “( ) ，“( ) ) 葩铲) 酽出，v u ( ) 层( r 脚) ( 3l2 ( i v ) 存在某常数盯 0 使得：对任意的v 。r ， e o ( ) 卸+ 去d 翟。小 ) 7 1 。g ( a ) d a d + b t g ( 一2 ) t o g ( , t ) 口 以一2 ) t s t + 2 1 c 7 1 盛0 。艄) 7 1 。g ( 五) 伽】 ( 31 3 ) + f s + 1d 。立。g ( 一五) 。o g ( 2 ) d a v g ( a ) b c r l ， 注1 由( 3 1 3 ) 式中得到的面( w ) 称为l q 问题的频率特征 注2 若r i c c a t i 方程( 3 j 0 ) 有解p 满足( 3 1 1 ) ：则l q 问题的最优控制综合为 厅( ，) 2 一( r + d7 p d ) ( s + b r p + d 7 p c ) x ( t ) ， f 0 ( 31 4 ) 裴：，粤 皇煮曼璺望笔甭凰于这里的l q 问题首先，在【d 】中，d = 0 ：其次，更重要 黎急型塞塑塑题中，控制类取为确定性函数，因此，最镜矗制秀难用袄基i 亮矗赢孟 程) 来反馈表示 。 注4 文 r z m 】得到了定理中的( i j ) j ( i ) 而f d 】本质上得到了( i v ) j ( i ) 在 w z l o e ，我们得取了| 二面定理，其主要结论可总结如下： 若( 3 9 ) 有解，则( i v ) j ( i ) j ( i v ) o l d ； ( i ) ( i i ) ； ( i j i ) j ( i ) ； cp dpdd 激加朋肋 一彬 参考文献 c 【z c h e n ，s ，xl i ，x z h o u ，x ，s t o c h a s t i c i in e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o r sw i t h i n d e f i n i t ec o b t r 0 1w e i g h tc o s t s ，s i a b lj c o n lr o io p t i m ，1 9 9 8 ，3 6 ：1 6 8 5 1 7 0 2 d d o k u c h a e v ，ng ，af te q u e n c yc r i t e r i o nf o r t h ee x is t e n c eo fa no p t i m a c o n t r 0 1f or i t 6e q u a i o n v e s t n i kh e n i n g r a du n ivm a t h ，1 9 8 4 ，1 6 ：4 14 7 r z m r a m i ，ma ，z h o u ，x ，n o o r e ，jw e l l 一p o s e d n e s sa n da t t a i n a b i l i t yo t i n d e f i n i t es t o c h a s t i 【1 i n e a rq u a d r a t i cc o nl r n l ini n f i n i t et i m eh m l iz o n p r e p r i n t 。 w z w u ，h ，z h o u ，x ，s t o c h a s t i cf r e q u e n c yc h a r a c l e r is t i c ，( t oa p p e a r ) w u g r i n o v s k ii ，va s t o c h a s t i ca n a l o go ff r e q u e n c y t h e o r e m ，lz v v y s s h u c h e b nz a v e dn a t ，1 9 8 7 ，1 0 ：3 74 3 x y a k u b o v ic h ，va ， m a t h e m a t i c a lj o u r n a 】 1 h e f r e q u e n c y t h e o r e m 1 9 7 31 4 ：2 6 5 2 8 9 y z y o n gj ，z h o u ，x ，s t o c h a s t icc o n t r o l s e q u a t i o n s ，n e wy o r k ：s p r i n g e r v e r l a g 1 2 l t a m i1 1 0 n i a ns y s t e m sa n di t j b 1 9 9 9 s i h e r i a n 第四章随机l q 问题的可解性 在诱卷中，我们对随机线性次最优控制问题的唯可解性， 唯反馈稳定解，频率特征具。致强制性三者之间建立了等价关系。 n ：实际问题l ，随机线性二次最优控制问题有时可解但4 i定唯 这种情彤，人们期望能给出反馈最优控制。 r i c c a t i 方程有 对于随机控制系统( 31 ) ，在性能指标( 3 2 ) f 的最优控制问题，f r z m 得剑了最 优控制的必要条件，即满足某一解析表达式：但反之，由解析表达式得到的小 定是最优控制，同时反馈控制也没有得到。 在 w z ；中，我们得到了，只要对任何初始状态处，随机l 0 问题都宵最优 控制，则所有的最优控制部满足一解析表达式，反之这解析表达式给h j 的仟意过 稗必为最优控制；且其中类恰恰可表示为反馈形式。 参考文献 l r z m r a m i ，m a ，z h o u ，x ，m o o r e ，jw e l 卜p o s e d n e s sa n da t t a i n a b i i i t yo f i n d e f in i t es t o c h a s t i c1 i n e a rq u a d r a t i cc o n t r 0 1i ni n f i n i tel i m eh o tiz o n p r e p r i n t 。 【w z 】w u ，h z h o u x ，o nt h es o l v a b i l i t yo f s t o c h a s t i cl i n e a rq u a d r a t i cc o n l r o lp r o b l e m 附录 在博士后阶段中 完成( 包括录用) 的文章 1 】m i n i m i z i n gp r o b l e m f o rq u a d r a t i cf u n c t i o n a li nh i l b e r ts p a c e s ( 已被( ( p r o g r e s si n n a t u r es c i e n c e 录用) 2 】av a r i a t i o n o f - c o n s t a n t sf o r m u l a f o ral i n e a ra b s t r a c te