（应用数学专业论文）多维ma（q）模型的估计与预测方法研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文系统的研究了多维宽平稳的滑动平均模型删( g ) 的适时递归预测和 估计，及其相关的统计性质。 首先，讨论了多维平稳时间序列均值向量和协方差阵函数的估计的渐近 性质，它不仅在描述分量时间序列的相依性方面起着重要作用，而且在依靠 这种相依性建模时也起着重要作用。 其次，利用h i l b e r t 空间中正交投影的有关理论，给出了最佳线性预测在 内积定义下的一些性质。这些性质是做适时递归估计和预测的基础。 而后，详细的研究了时间序列的递归预测，将新息递归算法用于多维 m ( q ) 模型，给出其进行一步递归预测和| i l 步递归预测的公式，利用该递归 公式对多维 纠( q ) 过程数据进行预测时，可显著提高运算的效率。 最后，由于对七- 1 , 2 , ，叮，样本新息幺是用z l ，z 2 ，z “预报x i 时的 预报误差，所以不会是理论的新息z 。的近似。随着n 趋于无穷i 用来作为预 报的历史资料互，五，五也增加到无穷，这样就可逐渐减小样本新息与理 论新息之间的误差，从而保证了样本新息2 。，2 。，2 。能够近似理论的新 息z 。，z 。，z 。再结合新息递归算法，得到多维情形下的 “( q ) 过程的 参数估计公式。 关键词：滑动平均，正交，新息，估计，预测。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h em e t h o d so fp r e d i c t i o na n dp a r a m e t e r s e s t i m a t i o n b a s e do ns t a t i o n a r ym u l t i v a r i a t em o v i n ga v e r a g em o d e l s ( 州( g ) ) a r es t u d i e d s y s t e m a t i c a l l y s o m ep r o p e r t i e so ft h e s em e t h o d sa r ef o r m u l i z e d f i r s to fa l l ，t h i sd i s s e r t a t i o nd e a l sw i t ha s y m p t o t i cp r o p e r t i e sa b o u tt h e e s t i m a t i o nf o rt h em e a nv e c t o ra n dc o r r e l a t i o nm a t r i xf u n c t i o no fas t a t i o n a r y m u l t i v a r i a t et i m es e r i e s t h e s ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e sp l a yar o l ci nd e s c r i b i n g i n d e p e n d e n c eo fm u l t i v a r i a t et i m es e r i e sa n db u i l d i n gm o d e l sb yt h e m f u r t h e r m o r e ，w i t hu s i n gs o m eo r t h o g o n a l - p r o j e c t i o nt h e o r i e si nah i l b e r t s p a c e i t i n t r o d u c e ss o m e p r o p e r t i e s o fb e s tl i n e a r p r e d i c t o r d e f i n e di n i n n e r - p r o d u c ts p a c e ，w h i c ha r et h eb a s i sf o rt h en e x tw o r k t h e n ，i tu s e st h ei n n o v a t i o n sa l g o r i t h mi nt h em u l t i v a r i a t e m a ( q ) m o d e l sa n d c o m e su pw i t ht h ef o r m u l a sa b o u to n e - s t e pa n dh - s t e pt i m e l yr e c u r s i v ep r e d i c t i o n o fm u l t i v a r i a t e m a ( q j m o d e l s ，a f t e ri tp a r t i c u l a r l ys t u d i e st h er e c u r s i v ep r e d i c t i o n o ft i m es e r i e s t h e s ef o r m u l a sw o u l db ea b l et oe n h a n c eo b v i o u s l yt h ee f f i c i e n c y o fp r e d i c t i o n f i n a l l y , s a m p l e i n n o v a t i o n s z ii s as e r i e so fe r r o r ，w h e n z l ，z 2 ，x i - l a r eu s e dt op r e d i c t x i nc o n t r a s tw i t h z ，t h et h e o r e t i c a l i n n o v a t i o n sz ti sm a d e ，w h i l eo n eu t i l i z e sa l lt h eh i s t o r i c a ld a t a t op r e d i c t o f t e n ，s a m p l ei n n o v a t i o n sc o u l dn o tp r o p e r l ya p p r o x i m a t et h e t h c o r e t i c a lo n e ( e s p e c i a l l yf o r k l 2 ，q ) t h en u m b e ro ft h eh i s t o r i c a l d a t a 五，x 2 ，五s h o u l db c i n c r e a s e d g r a d u a l l y , u n t i l t h ed i f f e r e n c e b e t w e e nz la n d z i ( k 一1 ，2 ，n ) c o u l d b ei g n o r e d w h e n s a m p l e i n n o v a t i o n s p r o p e r l y c l o s et ot h e o r e t i c a lo n e ，t h ei n n o v a t i o n s r e c u r s i v e a l g o r i t h mi su s e dt oe s t i m a t e t h e p a r a m e t e r so fm u l t i v a r i a t e a l 4 ( q ) p r o c e s sa n dt h ee s t i m a t i o nf o r m u l ai si n t r o d u c e d k e y w o r d s ：m o v i n ga v e r a g e ，o r t h o g o n a l ，i n n o v a t i o n s ，e s t i m a t i o n ，p r e d i c t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 时间序列的发展背景 时间序列分析是分析社会经济资料的一种重要的方法，它对于信号处 理、交通运输系统工程、工程控制技术等许多领域都有深刻的影响。纵观时 间序列分析方法的发展历史可将时间序列分析方法分为频域分析方法和时域 分析方法两类。其中时域分析方法由于其具有扎实的理论基础、规范的操作 步骤和分析结果易于解释等优点，被广泛应用于自然科学和社会科学的各个 领域，成为时间序列分析的主流方法。 时域方法的产生最早可追溯到上个世纪二十年代，英国统计学家 g u y u l e f l 在1 9 2 5 1 9 3 0 年间引进了自回归和序列相关等重要概念，奠定了这 个分支现代发展的基础。g t w a l k e r 2 于1 9 3 1 使用了滑动平均模型和自回归 滑动平均模型进行了印度大气规律的分析。此后，统计学家们逐步研究并发 展了自回归滑动平均模型和求和自回归滑动平均模型，在各个领域得到了广 泛的应用。1 9 7 0 年，统计学家b o x ，g e p 和g m j e n k i n s j 联合发表专著 t i m e s e r i e s a n a l y s i s ：f o r e c a s t i n ga n d c o n t r o d ，书中详细的阐述了求和自回归滑动 平均模型的识别、估计、检验和预测等问题。故人们常称a r m a 模型为 b o x - j e n k i n s 模型。这一成果也标志着经典时间序列分析方法的诞生。随着人 们对各个领域时间序列的深入研究，发现b o x j e n k i n s 模型在理论和应用上 还存在着许多局限性，所以近2 0 年来，统计学家们把研究方向转移到一些新 的方向，并取得了突破性的成果。在异方差研究方面，1 9 8 2 年，美国计量经 济学家e n g l e ，r f mj 提出了自回归条件异方差( a r c h ) 模型。1 9 8 6 年， 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 b o l l e r s l o v 2 3 , 刮提出了广义自回归条件异方差( g a r c h ) 模型，进一步放宽 了a r c h 模型的约束条件。随后n e l s o n 等人【舡刎又提出了指数广义自回归 条件异方差模型( e g a r c h ) 、方差无穷广义自回归条件异方差模型 ( i g a r c h ) 等限制条件更加宽松的异方差模型。这些模型都是对经典的 a r m a 模型很好的补充。在非线性时间序列分析方面，1 9 8 0 年，汤家豪驯等 人提出了利用分段线性化构造的门限自回归模型成为目前分析非线性时间序 列的经典模型。2 0 0 6 年，f a n ，j i a n q i n g 和y a o ，q i w e i j 联合发表专著 n o n l i n e a rt i m es e r i e s ：n o n p a r a m e t f i ca n dp a r a m e t r i cm e t h o d s ) ，书中总结了 范剑青教授独创性的非参数建模方法，标志着非线性时间序列研究的重大突 破。 在多维时间序列的研究方面，从上个世纪七十年代开始，逐渐开始繁荣 起来。1 9 7 0 年h a n n a n ，e j 7 - 1 0 j 发表著作( m u l t i p l et i m es e d e s ) 。促进了多 维时间序列的迅速发展。1 9 7 0 年左右，b o x 和t i a o j 讨论过带干扰变量的时 间序列。这些研究把随机事件的横向研究和纵向研究有机地融合在一起，提 高了对随机事件分析和预测的精度。随后，p h a d k e ，m s 和c e a n s l e y 等人陋叫 先后在多维时间序列的似然函数的研究中得出一些成果。进入八十年代， c o o p e r ，d m 和r s t s a y 等人b 姐7 j 在多维时序模型的识别上取得进展。1 9 8 7 年，e n g e l ，r e 与c w j g r a n g e r 3 j 共同提出了协整理论，这一理论放宽了 变量必须是平稳的要求，极大的促进了多维时间序列分析的发展。 1 2 问题的提出及研究意义 时间序列分析是统计领域里一个非常活跃的分支。它因被广泛的应用于 社会科学和自然科学的各个领域而倍受关注。但随着人们对各个领域时间序 列分析的深入研究，发现以往的成果在理论和应用上都存在很大的局限性， 这无疑要求时序分析的研究者做出更多的努力，将时序分析理论爱展和充实。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 在近二十年里，对多维时序模型的研究主要集中在门限回归模型和状态 空间模型等上面，而其中很多理论都是基于删( q ) 模型理论，并且任一因果 删( 玑口) 过程可表示为此4 扣) 过程，故在多维情况下对 纠( q ) 模型进行研 究分析具有基础性的作用和重要的意义。所以，本文将对多维删( g ) 模型的 参数估计和预测方法的部分内容做出详尽的研究。 从h i l b e r t 空间理论出发，利用s i m m o n s 在1 9 6 3 年提出的g r a m s c h m i d t 正交化方法的思想，对多维此4 i 口) 模型的适时递归预报方法进行系统的研究， 以期在预报的同时给出多维心g ) 模型的系数矩阵递归式。 1 3 本文的主要结构和内容 鉴于国内、外发展的现状和存在的问题，本论文主要包含以下内容： 在第2 章中，由于本文是基于平稳时间序列进行研究分析，所以系统的 介绍了多维时间序列的二阶性质，给出时间序列的平稳性条件。 在第3 章中，主要讨论了多维平稳时间序列均值和协方差函数的估计。 它不仅在描述分量时问序列的相依性方面起着重要作用，而且对这种相依性 建模时也起着重要作用。本章的讨论将作为下面的章节的理论依据。 在第4 章中，引入了多维情形下的m a 和a r m a 过程模型，并给出了模型 的因果性准则和可逆性准则。 在第5 章中，以h i l b e r t 空间的基本理论和方法为基础，详细讨论了二 阶矩随机向量的最佳线性预测，给出并证明了一些相关的定理。对最佳预测 和最佳线性预测做了比较分析，讨论了二者的等价条件。 在第6 章中，从h i l b e r t 空间理论出发，利用s i m m o n s 在1 9 6 3 年提出的 g r a m - s c h a i d t 正交化方法的思想，系统的分析和研究了时间序列的递归预 测，将新息递归算法用于多维 “( 碍) 过程，分别对其进行一步递归预测和h 步 递归预测的方法研究。得到并证明了删( g ) 模型的新息递推公式。 在第7 章中，主要以新息递归算法为基础，从一维情形入手，讨论删( 鼋) 过程的参数估计问题，并将其推广到多维情形下的删( q ) 过程。得到多维 心 q ) 模型的新息递推估计公式。最后讨论多维砌( q ) 过程的可辨识性，并 给出一条模型的定阶准则。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 第2 章多维时间序列的二阶矩的性质 首先讨论多维平稳蒯f 模型 考虑州个时间序列忸d ，t o ，1 2 ，x f - l 2 ，肼，满足对一切t 和i 有 e z ：t * 。如果随机变量序列忸。) 的一切有限维联合分布是多元正态分布， 则忸。) 的有限维分布由其均值函数 心二e x d ( 2 1 ) 和协方差函数 y # o + _ i l ，f ) 二e u z ，+ 一。x z d 一卢口) j ( 2 2 ) 所确定。即使观测讧。) 不是联合正态分布，鲰和( f + ，f ) 仍确定了其二阶 矩性质，而协方差函数则提供了考察同一序列的观测值之间或不同序列的观 测值之间的相依性的一种度量方法。 定义2 1 ( g a u s s 时间序列) 随机过程伍， 的有限维分布函数族是多元正态 分布函数，则随机过程忸， 是g a u s s 时间序列( 由均值和协方差阵唯一确 定) 如果杠，f z 是平稳g a u s s 时间序列，则讧0 必是严平稳g a u s s 时间序 列，事实上，由于对一切弹礼2 ， 和一切矗，t l ，屯，z ，随机变量 k ，x kj r 与k + ，z f 。尸有相同的均值和协方差阵，故有相同的分布a 注：此处所说联合分布是针对不同的时间滞后( 以后简称时滞) 。 为了方便起见，考察m 个相关序列，用向量记号定义 x 。二伍n ，x 。) t ，f o ，1 ，2 ， 多维时间序列忸， 的二阶矩统计性质由其均值向量 卢，二e r ，一( 以，p 。) t 和协方差阵列 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 r ( f + h ，r ) 二e k 。一肛。叫) t j i k ( f + h ，r 溉。 ( 2 5 ) 所决定。 与一维场合相同，多维平稳时间序列在多维时间序列中起着基础性作用， 定义如下： 定义2 2 ( 多维平稳时间序列) 设多维时间序列忸。) 的均值向量, u t 和协方 差阵列r ( f + ，f x i i ，o 1 ，分别为式( 2 4 ) 和式( 2 5 ) 所定义，如果肛和 r e + j i l ，f x j i 一0 , - 1 , 与f 无关，则称饿 为多维平稳时间序列。 对于平稳序列，分别用记号 和 p 二e y ，一( 一，p 2 ，p 。) t ( 2 6 ) r ( ) 二e r p 托一p ) r j i k 似) 1 ：_ 。 ( 2 7 ) 表示其均值向量和在时滞 处的协方差阵。注意，如果 x ，) 是协方差阵函数 为r ( ) 的多维平稳序列，则对每一f ，忸。 是协方差函数为心( ) 的平稳序列。 而函数埒n f - 门尔为两个序列忸。 和讧d 的互协方差函数。应注意一般情况 下，( ) - y j x f - ，。定义相关阵函数r ) 为 r 协) 二6 ，。h ) r 。( 0 矛l 。h ) l ：_ ，。 ( 2 8 ) 函数r ( ) 是标准化后序列( 即由x ，减去z 并除以每个分量的标准方差) 的协 方差函数。 平稳时间序列 x ， 的协方差阵函数r ) 一k 痃具有如下性质： ( 1 ) r 恤) 一f r ( 一h ) ( 2 ) l 均协1 s p 。( o h 。( o 彤，i ，j l ，m ( 3 ) 托( ) 是自协方差函数，i - 1 ，埘 ( 4 ) 对一切_ 扣胁一引，奢n j r ( ，一七k2 0 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 性质( 1 ) 由定义即可得证，由c a u c h y s c h w a r z 不等式可证明性质( 2 ) ，性 质( 3 ) 的证明只要注意到y 。) 是平稳序列忸。，f o ，1 ，一 的自协方差函数， 性质c a ，是由e ( 蠢a j 伍一卢) ) 2 。得证。 ( 5 ) 矶( o ) 一1 相关系数如( o ) 描述x 。和x 口的相关性，一般如果f 一，则岛( 0 ) 一1 。如果 i j ，则有可能| r f ( h l ，| y ( 0 l 最简单的多维时间序列是多维白噪声 定义2 3 ( 多维白噪声)称m 维序列 z ，t 。o ，土1 2 ，j 为均值为0 ，协方差 阵为兰的白噪声，如果仁，) 是平稳序列，均值向量为0 ，协方差阵函数为 r ) - 需, 肥h - 0 ( 2 9 ) 记为 z ， 一脚( o ，若) ( 2 1 0 ) 用记号 7 z 。) 一皿d ( o ，暑) ( 2 1 1 ) 表示独立同分布随机向量序列z ，t o 1 ，其均值为0 ，协方差阵为若。 多维白噪声 z ，) 是构造大量多维时间序列的基础a 对线性过程 z ，c t z “， z ，卜删( 0 ，兰) ( 2 1 2 ) 其中 ! c j 是其元素绝对可和的矩阵序列。由( 2 1 2 ) 定义的线性过程忸， 是 平稳过程，其均值为0 ，协方差阵函数 r ( h ) - e c m 暑c ；，h o ，1 ( 2 1 3 ) 一j ， 形如定义( 2 2 ) 所定义的过程，如果满足当j to 时，c ，一0 ，则称 x ， 为 捌扣) 过程。伍) 为删b ) 过程的充分必要条件是；存在白噪声序列仁， ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 使得 置。磊c 几 其中仁j j 是其元素绝对可和的矩阵列。 定义2 4 ( m 维删白) 序列) 设 z ，) 是肌维w n ( 0 ，暑) 如果马，口：，b q 是 t n x t n 实矩阵，满足d e t ( i + o i z + o ：z2 + + o ，z e ) 一o , l z l t l ，就称 x ，- z ，+ e l z ，- 1 + 0 2 z f - 2 + + e q z ，- 叮，t e z 为一个研维删( q ) 序列。 若进一步要求d e t 0 。+ e 。z + e ：z 2 + + e 。z - ) 一0 ，l z i 1 ，就称 z - z ，+ e 。z ，- 1 + e 2 z 。+ + e 。z 。，f z 为一个可逆辨维删0 ) 序列。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 第3 章多维平稳时间序列均值和协方差函数的估计 多维平稳时间序列的均值向量和互相关( 系数) 函数不仅在描述分量时 间序列的相依性方面起着重要作用，而且对这种相依性建模时也起着重要作 用。因为只有当估计满足渐近性质，才能将其用于时序分析建模中。 设k 。，x 。) t ，一* f 0 ，使对一切行，有 妊伍。) 一g ( x l ，s ，陋l s k ，l x 。l t k z 。一x l ，y 0 ) j 因此 p 0 9 ( x ) 一g 伍】，s ) p 0 z 。一x i ，y “) ) + p 0 石卜k ) + p 0 x i ，k ) 础石一x l y 0 ) ) + 剐z i ，k ) + p 0 x i ，纠2 ) + p 0 以- x i ，k 2 ) 对v 6 ，o ，可取k 使第二项和系三项分别小于鲁，由l x 。一x l 二o ，当n 充分大， 第一项和第四项分别小于鱼。所以 g 伍。) 二g 伍) 证毕。 时间序列的观测是不能重复的，于是人们总是遇到要用时间序列 x ， 的 一次实现毛，z ：，推断忉， 的统计性质这个问题。要做到这点，必须对时间 序列有所要求。遍历性的要求就是其中一种。我们不去关心遍历性的数学定 义，但是需要知道如果严平稳序列是遍历的，那么从它的一次实现毛，工：，就 可以推断出这个严平稳序列的有限维分布： f 扛l ，石2 ，工。j - p 伍l ，x 2s 工2 ，x 舸s x 。 小+ 3 2 r ( h 1 的估计 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 为简单起见，本节以下假设胁一2 与一维情况相同，协方差阵 r 协) - e k 。肛x z “一) t j 的估计是 鳓) 一 n 。1 鬈伍，“一豆k 。一五) t ， 圹。圭9 一丘一冠) r ， 0 h 拜一1 一万+ 1 h 0 即p 伪) - 玎1 薯伍，“一五) ( 置一只) t ， 。 s 甩一， l于( 一h ) 一f 亿) 记凡似) 为于协) 的第( f ，j ) 元素，则互相关( 系数) 函数的估计为 p ，协) 一乃伪) ( 以( o 驴。( 0 ) 严 如果f - ，则戌伪) 是第f 个序列的样本自相关( 系数) 函数。我们首先证明 对于有限阶滑动平均，估计量力似) 的弱相合性( 同样a 0 ) 的弱相合性) ，然 后考虑在某些重要特殊场合下，岛伪) 和岛仁) 的渐近分布。 引理3 2 1 设忸，) 是二维时间序列 墨一g z ，。，f z ， z ，一( z 。z 。：) t j i i d ( o ，兰) ， 其中b - b ( f ，崦，。 是满足妻k ( f ，l t * 的矩阵列，f ，。1 , 2 则对每一固 定 o 和f ，j - 1 ，2 ，当n 一时，有 舀以) 二o ) 和岛( h ) l p 。瓴) 。 证明：首先证明f ( ) 二r 伪) ，这里随机矩阵依概率收敛是指随机矩阵的所有 元素依概率收敛。由于伪) 的定义，当0 s h s 尢一1 时，有 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 f 似) - n 。1 荟x ，“z ，一一4 只善z ，一玎4 荟z m 霹+ o j l h 1 元霹 3 2 1 ) 因为e r - o ， 由引理3 i i 有z - ( 1 ) ， 万。1 z ，一d ，( 1 ) 露4 艺五“一o ，( 1 ) 所以有 f ( ) - r o ) + o ，( 1 ) ， ( 3 2 2 ) 其中 r 协) i n - i x m x ， 叫4 荟；薹寥 z 二，q 。罩r 砉z 卜 注意到当f j 时，时间序列仁，。j z t - j , 2t 一0 ，t 1 是白噪声，易知 厅1 z ，一j z 一，2 二o 。对z 。z 卜。的其它三个元素用同样的证明，有 厅4 芝z ，。z 州二。训f - j ， 。 其中0 ：。：表示2 x 2 零矩阵。因此，对固定的m ，有 咖，釜睢椒矿；二o 对任一矩阵彳，定义陋l 和b 哇分别表示矩阵a 的元素取绝对值和取期望 所得的矩阵，则 e i g ：恤) 一g ：( h l - ( 弗4 羹z t - ；z t - i ) c ； 协 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 贡、 。磊。m e p 舭 归 j i 蕃l c m 申刀l 莩蚓) + ( ；| c m i 申，z ；i ) i 烈c 列 j l 4、 j ，、，i j i ” 而上式最后的界与 无关且当m 一* 收敛于零，因此 h m ! i r a s u pe i g c h ) 一伪】- 0 ， 由引理3 1 5 知 g ：似) 一po 。： 而 r ( ) g ：( ) + 罩q “rz , j l ) c 7 ( ) + 罩c “p 羹z 刀) c ；r + 军c j “咖一p ， 其中吼。丕z z 7 一善z r z ? ，当h 一时，玑是圳个随机矩阵之和，当h 弹 时，u 。是知个随机矩阵之和。因此 e | 罩e + g 勺。b 卜知。1 磊l z f i c l 。i i 芝口l + 知1 磊j q + 一例口| o 又由于矩阵列 c 的元素绝对可和，当玎一* 时不等式右端趋于零，故 r 恤) 。罩c r + 一( 。1 喜z ，一z 二c 7 + 。，( 1 ) 对z ，z j 的元素用弱大数定律，有 p 弹4 z t z ? _ 暑， 从而 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 r 协) 二c j + 。丢口- r 协) 由式( 3 2 2 ) ，有 坼) 二r 似) ( 3 2 3 ) 由引理3 1 6 和式( 3 2 3 ) 即可得岛协) 二n 协) 证毕。 定理3 2 1 m ( 控制收敛定理) 如果随机变量序列慨) 满足慨l s 晶4 j 和 e | 磊i t0 0 ，则当一亭4j 时，e f 纠c * 并且e 一e 亭。 证明：见 4 。 定理3 2 2 ( 中心极限定理) 设忸) i d d ，盯2 ) ，z 伍。+ + z 。) 撑， 则z 是川仁，o r 2 厶) 。 证明：见 4 定理3 2 3 m ( 严平稳小步相依序列中心极限定理) 设留， 是严平稳小步 相依随机变量序列，其均值为零、自协方差函数为y ( ) ，如果 v 一- 巾) + 2 善y ( 加o 则 ( 1 ) 物一肠r 眩) 一v 。； ( 2 ) 丘是删( 0 ，v n ) 证明：见 4 。 一般来说，即使对于多维滑动平均过程，推证样本互相关函数的渐近分 布也是相当复杂的。两个分量时间序列是相互独立的滑动平均过程时，这是 一类重要特例。下面的定理3 2 4 给出这类过程的a ：伪) 的渐近分布。 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 定理3 2 4 【】 和 设置t 。口j z 卜。， z 矿艺p ，z 州，2 j o z 小i i d ( o ，砰) z ，：) ，肋( 0 ，仃；) 其中序列 z 。) 和 z ，：) 相互独立，p ，l to o ，l 声_ ( * ，如果矗z 0 ，则 jj 础) 是删p 影l l ( 舰) 如果h k 0 且h k ，则( p 。伪l p 。亿) ) t 渐近于均值为0 ，方差为 挥4 p ，t ( ，鼬) 且协方差为n 1 渺- ( ，鼬m 稠二元正态分布。 证明：由式( 3 2 1 ) 和引理3 1 1 ，有 允弘) - r 二( ) + d ，( 1 ) ( 3 2 4 ) 其中r 二恤) - 露1 t 善x t + h a x n - n - t 荟罩军口m 卢，z “- z 州，： 注意到e y 二积) - 0 ，于是有 雄玩r d 二协) ) - 万4 羹羹罩萃；罩口“ 卢j 口一反e 【z ，一声叫，2 z t t a z “。】 ( s z s ) 由独立性，有 机乙坩z 以都 i 常一扣卜鸵k g s - 卜卜l 因此 露p 缸，d 二似) ) l 4 薹羹( 萃口t “口，+ t “) 盯；( ；卢，成，+ ，) 盯； 。i 荟i 绒似h n 似) 又由定理3 2 1 ，当n m 时，有 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 捍肠r d 五亿) ) 一妻( ，h 。( ，) ( 3 2 6 ) 现在证明y 二似) 渐近于正态分布。对于固定的m ，考虑( 2 小+ j 1 ) 步相依严平稳 时间序列。 盔髻舭以吐嘶u ， 由定理3 2 3 和利用证明式( 3 2 6 ) 的计算过程，有 一荟l 著l 争解一z 叫，：是删妒) ， 其帆。l 毅 驴砷l h 薹嗍垆 当册一m 时，一如( j h j ( ，) 上面的计算过程又可用来证明 11 2 一l i r a l i r a 唧甩节”一醌澎解州而：| i o 由引理3 1 5 知 y 三伪) 是a fo ，弹4 罗r 。忙h 。伍) 1 ( 3 2 7 ) if 怂 因为：1 1 ( o ) - - r 。( 0 ) ，如( 0 ) 二y 。( 0 ) ，又由于式( 3 2 4 ) 、式( 3 2 7 ) 和定理 3 1 3 ，所以有 咖舶x 拍鼬膨是州p 参m 以纠 同样可以证明 n c 咖p 二o l y 三2 ) ) 一y 。( ，h 。( j + 七一j 1 ) ， 进而应用c r a m e r w o l d 方法，可以证明定理的第二个结论成立。 定理3 2 5 【4 】( 单调收敛定理)如果非负随机变量序列单调不减， 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 0 s 岛邑，则当邑一亭口j 时，有e 宇- l i m e 。 由于单调不减序列必有极限( 极限可以是正无穷) ，所以上述定理中的随机变 量亭一定存在，但是可能会有p 皓- * ) 0 ，这时骘一* 。可以取值m 的随 机变量通常被称为广义随机变量。 对于任何时间序列杷 ，利用单调收敛定理得到 ro1r 1 o e i 刚= 烛e l 圳- 酬。 i f - oll l - i f - o 定理3 2 6 【4 j ( s c h w a r z 不等式) 对任何方差有限的随机变量z 和y ，有 i e ( x v l e r 2 e l ，2 。 证明：见 4 。 自协方差函数满足以下三条基本性质： ( 1 ) 对称性：九- y - k 对所有k e z 成立； ( 2 ) 非负定性：对任何n e ，玎阶自协方差矩阵 l h l 川- y 1 - ： y _ - 1 r l r o ： “- 2 是非负定阵 ( 3 ) 有界性：k i h x 寸所有k e z 成立 任何满足上述性质( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 的实数列都被称为非负定序列，所以平 稳序列的自协方差函数是非负定序列。 取k x 。一p 时，性质( 3 ) 由s c h w a r z 不等式得到： i y 。i - 1 e 慨+ 。k 】5 e 瑶。e 巧2 一r 。 关于两个平稳时间序列独立性检验 由定理3 2 4 知a ：是删【o 咒1f p - l ( j 加z ( j ) ) 即a ：伪) 渐近分布依赖于 ； 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 p l , ) 和p 。( ) ，因此关于两个分量序列独立性检验就不能仅根据p 1 2 ( h ) 伪- 0 1 ，) ，而不考虑两个分量序列的性质。 计算互相关( 系数) 函数a ：( _ i l ) 之前，关键的问题是“预白化”两个序 列，即用合适的滤波器将两个序列转化为白噪声，设忸，。 和忸，：) 是可逆 a r 纠( p ，日) 过程，则可用如下形式的变换达到“预白化”。 z 。一蛩 其中善石 z - 扩( z ) 口o ( z ) ，1 2 i s l ，妒和8 0 是第i 个序列的自回归多项式 和滑动平均多项式，i 一1 , 2 。 由于在实际问题中真模型几乎总是未知的并且当，s o 时，数据工未知， 所以为方便起见，可用拟合模型残差慨，f - i , ，”j ( 即用式( 3 2 8 ) ) 代替 序列 z 。，i 一1 ，2 ，这是因为如果所拟合的刎珏纠( p ，q ) 模型是真模型，则残差 序列慨，f 一1 ，n ；i 1 2 应是白噪声序列。 当对于已给数据列拟合删0 ，口) 模型时，则需要首先求出参数妒，0 和 盯2 的极大似然估计 ；，占和6 2 。其次由拟合模型，求出x ，基于z 。，z 。的预 报雪，够，占) 。最后定义残差 膨伍，一置侈，占t 一。g ，百胪，t 1 ， ( 3 2 8 ) 地。嘎掣。 如果极大似然刎鼬纠( p ，q ) 模型是产生忸， 的真过程，则 慨j 一矸斜( 0 ，盯2 ) 。可是为检验对于所给数据删p ，目) 模型是否适宜，仅应 假设z i , - - , x 。是由参数妒，口和o r 2 未知的一r 删b ，g ) 模型产生，其中参数妒，0 和盯2 的极大似然估计分别为乒，否和d 2 ，这样慨 是白噪声的结论不成立。但 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 值得注意的是：碗，t - 1 , ，弹应与由下式定义的白噪声序列彤，t - 1 ，开有同 样性质。 形协，一) 伍，一萱，如，口彤以，0 ，口) ，t 1 ，订。 进而，因为当玎充分大时，e ，口) 一z ，) 2 很小，因此，残差慨j 应反映隐含 删0 ，g ) 过程产生的白噪声序列仁，) 的性质，特别，彬j 应具备以下渐近 性质： ( f ) 如果仁，) 一聊( 0 ，盯2 ) ，则协j 渐近独立； 缸) 如果 z ， l i d ( 0 , g 2 ) ，则慨 渐近不相关： ( i i i ) 如果扛， 一( 0 ，o r 2 ) ，则慨 渐近正态分布。 为检验假设h 。：随机序列忸。 和忸。： 是相互独立，应注意到在假设h 。成立 条件下，相应的两个“预白化”序列 z 。 和 z 。： 也应是独立的。由定理3 2 4 知，仁。) 和仁，：) 的样本自相关( 系数) 函数p 。( h m p 。忙) ，h k 是渐近于 均值为0 ，方差为行- 1 的正态分布。因此，由比较l a ：似l 的值和1 9 6 n - 兄的差异 可做独立性的近似检验。 定理3 2 7 m 设伍。 是平稳过程 z 。一p - 妒，z 叫， z ， ，1 1 1 ) ( 0 ，盯2 ) ， 其中p ，ic * ，e z 7 c m ，则对每一h e l 2 , ) ，有 j 一o p 伪) 是删c p 似l n - 1 w ) ， 其中 p 协厂一盼( 1 x p ( 2 l ，p 亿) ， p ( h f 一瞄( 1 l p ( 2 1 ，p 似) 】， 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 矽是协方差阵，其第( f ，j ) 元素由b a r t l e t t 公式给出 - p 忙+ f 加伍+ ，) + p ( k f 加妊+ + 2 p ( i ) p ( j ) p 2 伍) 一2 p ( i ) p ( k ) p ( k + ，) 一2 p ( ，加仁) p 任+ f ) 其中由代数运算可以证明 - p 伍+ f ) + p ( k f ) 一2 p 0 1 p 忙) ) x p 忙+ ，) + p ( k j ) 一2 p ( ，加) 。 如果仅把两个原始序列中一个“预白化”，不妨设仁。 “预白化”，则 在假设日。成立的条件下，由定理3 2 4 知， z 。 和仁。：) 的样本自相关( 系 数) 函数声。伪) 和p 。( 七) ，h k 是渐近于均值为0 ，方差为n - 1 和协方差为 n - l p 。忙一_ 1 1 ) 的正态分布，其中p 。) 是缸： 的自相关( 系数) 函数。因此， 对固定h ，在假设h