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麟e m a i l n h i l b e r t 分析 在l a g u e r r e 多项式一致渐近展开中的应用 专业：基础数学 姓名：杨泳辉 指导老师：赵育求教授 摘要 1 9 9 2 年，f 0 k ，i t s 和k i t a e v 建立了一般正交多项式系 和r i e i l l a n n h i l b e r t 问题的联系。1 9 9 3 年，d e i “和z h o u 提出了 非交换的最速下降法，用以解决震荡的m e m a n n h i l b e r t 问 题。其后， 1 9 9 9 年，b l e h e r ，i 招及d e i f t 等人，结合正交多项 式系的r i e m a n h i l b e r t 问题刻划非交换的最速下降法，开 创了用r i e m n - h i l b e r t 问题研究正交多项式的一致渐近这一 新途径。通常称这种新的研究方法为r i e m a i l n 幽l b e r t 问题 途径或m e m a n m h i l b e r t 分析。本文采用后一称谓。作为该 方法的应用，本文考虑l a g u e r r e 多项式l ( z ) 当d 0 时的 渐近展开。在运用是速下降法将路径变形时，主要参考 了w 抽g 和w 孤g 的一种简化的方法。在此过程中，m h k a r r a k h m a n a v - s 啦数a 。，风和平衡测度“。起了重要的作用。作 为例子，本文仅在右端点佛处对l a g u e 多项式作渐近近似。 我们得到了l 姆t e r 尬多项式在e i _ ，a 。】用a i r y 函数表示盼一 致渐近展开式，这是本文的主要结论。 关键字： m e m a n n h i l b e r t 分析；l a g u e e 多项式；一致渐近展开； a i r y 函数 a b 8 七r a c t i na1 9 9 2p a p e r ，f o k a s ，i t sa i l dk i t a e v0 b t 8 i n e da 彤e m a n n _ h i l b e r tp r o b i l e mc h a r a c t e r i z a t i o no fo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l s o n ey e a rh t e r ，d e 汛舭l d z h o us o l w j dam a t r i x v 越u e d0 s c i l l a t o i yi 诅e m 踟- h i l b e r tp r o b l e mb yi n t r o - d u c i n zan o n - c o m 哪t a t i v es t e e p e s td e 8 c e n tm e t h o d b 鹋e do nt h ec h a r a c t e r i z a t i o ne s t a b 盥h e da n dt h em e t h o dd e v e l o p e d ，i n1 9 9 9 ，t h e r ea p p e a r e d t h ew d r ko fb 1 e h e ra n di t s 衄dd e 埝e t ，b 1 ，i nw h i c ht h e y i n i t i a t e d8n e w m e t l l o dn a wn 蝴e dm e m a n n - h 姐b e r ta p p r o a c ho r 础e m a n n _ h i l b e r t 跗l 时y 窨i 8 ， t op 1 】r g n e 躺y i n _ p t o n c 娜甲心由n 吼i 雠培0 f 叫t h o g ( 1 a lp 咄”耐c n 证l sv 谵t h en o n - c o 衄u t a t i v e8 t e 印e s td e 8 c e n tm e t h o d a s8 nb p p n c 8 t i o no ft h i s8 p p r o a c h ， w ed i 8 c u 鹊i nt h ep r e 8 e n tt h e 8 i st h e 阳y m p t o t i c 8f o rl a g u e r r ep 0 1 y n 0 i n i a l sl ( z ) ，研t hn o i nd e f 0 1 蕊i n gt h ep a t h 8 ，r e l 钌e n o 舡ef r e q u e n t l y m b d et o8s i m p 矗c 8 t i o n0 ft h e 王u e m a n n h 讧b e r t8 p p r 0 8 c hb yw 8 n ga i l d w b g t h em h 8 s k 时m d 出m 髓卅s 时n u 瑚b e r so r na n d 服衄dt h ee q u i l i b - r 沁nm e 8 9 u r e a p 1 8 y 洒p o r t 掘tr o k 8i nt h ep r o o e d 瞰e a 8a ne x 哪p l e ， w ed i 8 c u s so n l yt h ea 宕y m p t o t i cb p p r 0 虹m 砒i o n8 u n dt h em i 瑙n u m b e r 风 t h em a i nr 朗u l ti 8au n i f o r n l 氍卿t o t i c 唧蛐s i o no ft h el 耻即e r r ep 0 1 y n o - m i a l 8i nt e r i n 8o ft h ea i r yf u n c t i o n ，w h i c h 珥d i do i le 【一o o ，a 。】 k e ) 7 w o r d s ：i u e m a n n h i l b e r t 肌a l y 幽；l 曾l e r r ep o 枷o m i 8 1 8 ；u n i f o r m 邺p - t o t i ce x p 瑚1 s i o n ：a i r y c t i o n i i 1引言 1 9 9 2 年，f 0 k 龉，1 t s 和k i t a e v 在1 6 1 j 鬯正交多项式表示为矩阵函数 的砒e m a n n h i l b e r t 问题( r h p ) 的解，由此建立了r u e m a n n - h i l b e r t 问题与 正交多项式的联系。在1 9 9 3 年，d e 溉和z h o u 在【5 提出了非交换的最 速下降法( t h en o n _ c o m m u t a t i v es t e e p e 8 td e 8 c e n tm e t h o d ) ，解决了震荡 的e m u n - h 曲e r t 问题。到了1 9 9 9 年之后，b 1 e h e r ，1 t sf 1 1 及d e i f t 等人f 3 ， 4 1 结合诈交多项式系的m 锄a n n - h i l b e r t 问题刻划非交换的最速下降法， 开创了用m e m b - h i l b e r t 问题研究正交多项式的一致渐近这一新途径。通 常称这种新的研究方法为e m a n n - h i l b 吼问题途径或i u e m a n n - h i l b e r t 分 析【9 b 本文采用后一称谓。近几年陆续出现了m e m a n n 一砌b e r t 分析的更多 应用，如2 ，9 ，1 0 ，8 1 等 m e m 蚰n h i n 分析的基本步骤，就是先将正交多项式渐近展开的问 题转化为相关的m 咖姗- h i l b e r t 问题，通过作变换使问题在无穷远点正规 化，这样通常归结到一个震荡的碰锄n n - h i l b e r t 阎题。然后，对应跳跃矩 阵的分解，将跳跃曲线变形，这样就消去了震荡。通过在端点的局部参数 化，可得到正交多项式在复平面中不回区域如端点邻域内外的一致渐近近 似。m e 8 - h n b e r t 分析在非线性偏微分方程和随机矩阵理论的研究中已 有广泛的应用f l ，2 ，4 ，5 】。 最近，w 缸g 和w b n g 【1 5 】，w b n g 和z h a n gf l7 】等对上述步骤作了较大的 简化。主要是用了全局性的处理来代替局部参数化相应地，所得的渐近 展开是大范围一致的。 本文将运用m e m a n n - h 曲e r t 问题的最速下降法研究l a g u e r r e 多项 式工( o ) 在参数a o 时的渐近展开。我们知道，当口 一1 时，l a g l l e r r e 多项式是l o ，) 上带权仰( z ) = 垆e 1 的正交多项式，它的表达式为 蝴= 耋( 瑚学k = 0 、 7 从上式可以知道，当n 一l 时，它的零点是分布在正实轴上的实数，参 考【1 4 ) 。记 m 、0 ) = ( 一1 ) ”州乎) ( g ) ；z ”+ 则“( 。) 是l a g l l e r r e 多项式中首项系数为1 的n 阶多项式。 f o k ，i t 8 和k i t 船v 给出了关于正交多项式的矩阵函数的瞰e m a l l n - h i l b e r t 问题【6 】，关于l 蟾r r e 多项式的砌 p 可写成： ( k ) y ( z ) 在g 【0 ，o 。) 上解析； ( 酢) = 脚) ( ：”# ) ，吲岫) ； ( y c y 邛+ 0 ( 制：h z o o ； ( my = o ( ：1 ) 一0 ，i t 8 和k i t a e v 并且证明了上述r h p 的唯一解是 y = ( 删裳“小州嚣就啪，) ， 对坛c 、 o ，o 。) 成立( 9 ，6 l 。是竹阶l a g 哪r e 多项式的首项系数，即= ( 一1 ) n 州，而g f 脱函数，( 名) 的c a u c h 嫂换 嘲= 熹f 墨如，硎。硝 在后面研究的过程中需要用到m r s 数( m l l 8 8 k 睢一m - l 吐l m 8 a v _ s a 圩n u i n - b e r ) ( 请参考【1 2 ，1 3 1 和风，它们是由下面的方程决定， 去e 蘸襻蒙与出吨 打厶。”( t ) 蕊工可可= 两“ 7 去e 赢襻景与班一讥 2 ”厶。 ( t ) 、原f 丽虿= 五忑 7 闭区间i ，a 1 的半径和中点分射定义为 风一 ， 风+ a 。 岛2 2 f ，矗2 百一 目前，l a 爵u e r r e 多项式在参数o 一1 时的研究趋于完善，关于它的微 分方程和积分方程的表达式可参考【1 4 j ，且它在茈交区间f o o 。) 上的一致 渐近展开式可参考【埘：本文运用磁e 嫩n n - h i l b e r t 分析研究l a g l l e r r e 多项 式，得到l 孵r r e 多项式在e ( 一，a 。l 的一致渐近展开，它包含了多项式 的所有零点。 本文拟在第二章给出l a g 嘲r e 多项式的r h p ，并作变换把无穷远点 正规化，在第三四章计算出在后面起关键作用的m r s 数，风和平衡测 度如，在第五六章将矩阵分解，运用最速下降法把问题转化为特殊曲线上 的r h p ，然后借助特殊函数把l 婚l e r r e 多项式在复平面上展开。 本文给出了磁e m a n n h 曲e r t 分析这样一个全新而且完整的应用，即 用剐8 n p h i l b e r t 分析得封l a g u e r r e 多项式的一致渐近展开，它对比 c ( ，o 。】一致成立。相对于文献i 1 6 中的渐近展开，这样的结果大大地 进了一步，因而是有意义的。此外，本文也包含了耒完成的工作。比如 当a = n ( 茹) l 。o 。e n 1 一) ，z o ，) ( 玑) u ( 2 ) 2 ( ，+ d ( 南) ) ，z 。o 。； c 吣即( 、：) ，一。 根据文献【7 l ，还可以冷函数；( z ) 满足以下条件 9 + ( 功+ 9 一( z ) 一l n + 三l o g ( 。) = o ，z o h ，风】； ( 6 ) 矗e ( 9 + ( s ) 一口一( s ) ) = o ， s b 。，风】 l 罢( 乳( 5 ) 一g 一( 8 ) ) o ，s ( ，风) ； ( 7 ) 外( s ) + g 一( s ) 一f n + i l o g ( 砖 一9 一扛= 1 ， z r f a 。，风】( 9 ) 上面的条件( 5 ) ( 6 ( 7 ) ( 8 和( 9 ) 称为函数9 ( z 瑚相条件( t h ep h 8 c o d i t i o n ) ， 后面本文将进行验证。事实上，只须定义 ， 鲂( z ) = 1 0 9 ( = 一s ) 芦。( s ( 1 0 ) 这里l o g z = l o g 矧+ a r g 。，其中 口g 。 川万i 弧雨 r 叫 6 3 o 竹，风的计算 l a g i l e n ? e 多项式的权函数 ( z ) ：矿e 一，从而竺磐：! 一1 ，代入方 t u i z z 程( 1 9 ) ，并记 k r 而蠢出地”，( 2 0 ) 若令 一一麟( 艮一) + 糕( 一吣 则有 ，= 罴e 促出+ 糕r 赝缸 对上述两个有理积分作变换t ：昙二皇生，再借助于函数 即，6 ) = z 1 r 1 ( 1 叫卜1 出，( 。 啪 0 ) 进行计算，即可得到 n n + 风= 轨+ 2 0 ( 2 1 ) 又令，( z ) = 瓦刁i 与褊，作闭曲线c 如图1 ，其中r c 和n 是 以o 为心，分别以s 和r 扣 风) 为半径的圆，r 是把闭区问【q 。，风】割开 的闭曲线，工- ，l 2 是把负实轴割开后在上沿与下沿的直线。g 的方向是关 于其所围的有界区域d 的币向。于是有，( z ) 如= o 若设当z 风时，( 。) 取正实值的一支，则当。 ( 2 2 ) 可得 、瓦= 、元i 百一瓦、，佤= 、再了i + 、有， ( 2 3 ) 即 a n _ 2 一轨孵，风嘲。n 庶( 2 4 ) 8 4 平衡测度“n 的计算 由( 1 1 ) 和晋来梅公式 洲铂+ 去e 拦妣吲盘栅 上述积分取主值，是一个实值( 参考f 18 】) 。显然有( z ) = r e g + ( z ) ，如 图l ，把( 1 6 ) 化为 g 一迎掣j ( 丽啬，( 2 5 ) r 必须足够大包含= 点，则c 所围有界区域中只有z 一个孤立奇点， ，一；：呈三；：；兰：2 刑1 竺三! j cf 抓f 瓦瓣= 面 一。”z 川再i 露；葡 由于路径二l ，如反向，故 z 。+ b 丽蠢毒一o，。+ b 、愆= i 夏灭丁= 五j 一z 一” 由留数定理并结合( 2 2 ) 可得 ra 一碟 五，刀器菰丽石刨； ，n 一2 7 r t 止刁器菰俪耳2 一了 由以上几个积分可计算g ( z ) g ( o )= 一呼卜赫+ 爿 ：一! 坠型一型至互囹 加z2 竹m 础) = r e g + ( t ) = 熹遵尹艇【q n 矧 由于( t ) 的单值解析分支连续，故可以把芦。( t ) 连续延拓 础) = 嘉近掣川啪舶】i 其极限值为 ( 蟊1 ) + ( 。) = p n ( z ) ，z 【c ，风】； 9 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 瓦) ( z ) = 一脚( z ) ，z ，风i ，=r ： 定义( 2 ) = 一州瓦( r 沙和瓦( z ) = 一丌f k ( r ) 打，则有 j 岛j “ j ) + ( z ) 一州辰( s 胁 l ( 如) 一( z ) = 们辰p n ( s ) 出，：i 缴i ， 井且 ( 五) + ( z ) 一( ) + ( 。 = 一- ( 3 0 ) 由函数如( 。 的定义 ，骨i 如( 。) = l 0 9 0 一s ) ( s ) 幽 ：厂1 0 9 扛一8 舡。( s ) d s + 艮1 0 9 ( z s ) ( s ) d s ， ( 3 1 ) j o b ，j ： 当( a 。，风) 时，函数踟( z ) 在点z 处有弱奇性，且 产，艮 ( g n ) + ( 。) = 1 0 9 扛一s ) p n ( s ) 幽+ n o g ( s z ) + 口i l k ( s ) d s ， ，口nj 广2r p “ ( 鲰) 一( z ) = 1 0 9 知一s ) ( s ) 如+ ，【l o g ( s 一$ ) 一砸】弘。( s ) d s ，a nj0 把以上两式相减，可得到 ( 如) + 和) 一( 如) 一( z ) = 一2 矾p 。( s ) 幽= 2 ( 如) + 扛) ( 3 2 ) ，$ j a 同理， ( 目h ) + ( z ) 一( 9 h ) 一( z = o ，z k ，+ ) ，( 3 3 ) ( 口h ) + ( $ ) 一( 9 h ) 一( 。 = 2 州， 。i o ，口。】( 3 4 ) 由( 6 ) 和( 3 2 ) 可以得到 一n j n + l o g ( z ) + 2 n 【( 9 n ) + ( z ) 一( “) + ( z ) j = o ，。【a 。，风l ， 即 轨( 如) + ( 。) = 一n k + i d g ( 。) + 2 n ) + ( z ) ，z ，风】( 3 5 ) 由于如( z ) ，“( z ) 连续，可以延拓至岫 风时，结合( 3 3 ) 一竹k + l o g 协0 ) + n f ( g n ) + 0 ) + ( 如) 一扛) 1 = 2 n 如( z ) ，( 3 6 ) 而当0 o a 。时，结合( 3 4 ) 则有 一札f 。+ l o g t i ( z ) + n f ( 9 n ) + ( z ) + ( 鲰) 一0 ) 】= 2 n 瓦( z ) ( 3 7 ) 这样，我们就验证了函数甄( 2 ) 的相条件( 7 ) 、( 8 ) 和( 9 ) 。把z = 阮代 入( 6 ) 式计算k ： b 2 e l o g ( 风叫州如+ 扣佛一鲁， ( 3 8 )2 。= 2 k 憾( 风一s ) ( s ) 如+ ；1 0 9 佛一警，( 3 8 ) 4 口- t 口， 从而c 的跳跃矩阵可简化为 u + ( 。) = n ( z i o印( ) + ( 。) j ， 茹 风 7 1 。2 。孔 弭( 。) = n ( 。) lj 1) ，o 膏在c 、【口竹，晟解析； ( 晚 矾【加元( z ) ( 1 1 ：) ，。印。； ( 惩) 膏( 。 = j + g 击i 。一矗 丽翰= 。( ；：) ，。一尻 ( 兢 徘) - 0 ( ：) ，一 1 4 而齑的解则化为 齑t 。，= n c 。t = ，= ；( ! 。二：) ( 8 1 吉2 ) ) 。：。，) ( 二。 则膏一s 。又由( 4 0 ) 可知，s 一矿，从而一u 。由此可得到 e 一( “k ，2 ) 田y ( 二) = c ，( ：) e 一“n 2 ) 们e “蚰( 4 ) 船 = 西( z ) e 一( 再n 2 h t 。) “( 4 4 ) 当z 【，反l 时，由函数加( 2 ) 的定义和( 3 2 ) 【( 如) + ( z ) 一( 九) + ( 】一f ( 如) 一( z ) 一( 加) 一扣) 】= 0 ， 把上式代入( 6 ) ( 如) + ( 。) 一( “) + ( 。) = ( 如) 一( z ) 一( 加) 一( z ) = 从而可知鼎( z ) 一如( z ) 在陋。，风】连续。把( 4 5 e 一( n k ，2 ) “y c ：，= ；( ：；二：) ( 。1 苫z ；( k 一：吣，) ) 代入( “) 得 在这里借助于a j r y 函数，当la r g 。i 7 r 且一o 。时， 雠) 去z 4 4 - 塾”艄加一去4 e q 州。 当i ”g z 眦d ) ( 搿嚣箫葛) ( ： ) 砌一。，a i 协矗) b m 厶) o厂 p 叫 由于d 。( h ( 。) ) 在叭【一m ，a 。) 解析，a r y 函数又是整函数，容易计算得 尸i c z ，= p l e z ，( ：) ，z t a k ，。， c 5 t ， 1 6 i 4 n 哦 m 0 忙 ， h 一、 “l；i 7矿的r i e m a n n - h i l b e r t 问题 令 矿c 名，= p c z ，( 1 乞z ) 一，0 2 。z ，) ， 二c 、c 一。，n n ， c 5 2 ， ( e ) 护( 2 ) 在c r 解析； ( 雨露( z ) = 丑( 。) ( ：”，) ，z k ，o o ) ； 或缸，= m c 。，丑c z ，( ：” ) ，z e o 。，a 。， 脚) 。j + 妻掣，吲嘲叫， ( 5 3 ) 这里1 1 m 。( z 】l l 可以被一1 所控制( o ，( 5 6 ) m 2 ，：佗一 ( 二 a 一伽“) 日i ，( _ ) 一n 一 ( 二 直 ，川i “) a t ，机 ( 一) ， 他2 ：一 d a t ，如( + 矾国；( _ ) 一5 c 5 占3 “m i ；o ) 通过计算 ”( = 。( 一，a 。) ( 5 7 ) 这里i l 厩( z ) s 高，z ( 。，a 。) 。把上式代入( 5 5 即可得到( 5 3 ) 。 1 8 、，一 p 鼠1 随 ， | i 、 n 娩 m m 8y 的渐近展开 设 r 0 ) = e 一_ h 2 ) 叼y ( z ) 矿一1 ( 名) ， ( 5 8 ) 注意到y ( z ) 和矿( z ) 在( 口。，o 。) 有相同的跳跃，因此见h ( 茁) = 兄一( z ) ， 。 ( q 。，o o ) ，并且r ( z ) 可以解析延拓到g ( 一c o ，q 。】。容易证明r ( z ) 是以 下r h p 的解 ( 咒) r ( 。) 在g ( 一o 。，a 。l 解析； ( 风) 风( = r 一0 ) f j + ) 】，z ( 一o 。，a 。】； 其中 ，+ ( z ) ：m o ) 。，+ 妻垒铲，n 。o 。 ( 5 9 ) b 1 ( 皿) 兄( 2 ) = ，+ d ( 击) ，z 一 可以看到，r 的砒e m n - h 娃b 吼问题在无穷远点已经正规化，并且当z ( 一。o ，口。l 时，其跳跃矩阵也接近于单位矩阵，因此可以对y ( 2 ) 进行展 开，由( 5 8 ) 得 y ( z ) = e ( ”k ，2 ) 。冗0 ) 矿( 。) 一脚吲叫”。巍，) 我 订把r ( ：) = ( 22 ) 代入上式，并计算出p ( z ) 的第一列 ( 三撼东端黧x 竺爱 篆! 霪鬈臻是，) c e ，一讥 口口“( k ( ：) ) a i 厶) + 口( h ( z m 一 1 a 矿( n ) 可得到y 0 ) 的第一行第一列元素为 ”。( = ) = e ( n k ，2 ) ”一 ( z ) f n a ( n ；厶) a ( z ，n ) 一n j a ，( n 矗) b ( 2 ，n ) ， 、 。( 6 2 ) 其中 a 0 ，n ) = 臼d - 1 ( a 。( z ) ) 【兄1 l i r l 2 j ， b ( 。，n ) = 茁1 口( a 。( z ) ) r 1 1 一 月1 2 ( 6 3 ) 注意到函数a ( 。，n ) 和b ( 互竹) 都是在g ( 一，n 。】解析，同理，m ；矗) 和a m c n ) 也都在c ( 一o 。，q 。】解析。从而就褥到l 昭u e r r e 多项式在 g ( 一o 。，口。l 的一致渐近展开式。我们把以上结果写成一个定理。 1 9 定理 设，靠，z 。， ( z ) ，租厶( z ) 如文章中定义，财 ( 。 = e ( n h 2 胁w 一 ( z ) 协；血印厶m ( 。， ) 一n 一 血；矗归( 。，n ) ) ，( 6 4 ) 其中a ( 2 ，n ) tb ( z ，n ) 是g ( 一o o ，a 。 自懈析函数。并且 伽州n _ l ( 硼 t + 耋掣 t 跏) 纠。( 删f ，+ 妻警| 在g ( 一，a 。卜致成立。 最后，作为本文的结柬，文章留下几个值得思考的河题：第一，当a 4 7 ( 抑8 4 ) ，1 5 5 - 1 9 3 【1 4 lg s z e 9 0 ，o r t h o g o n 8 lp 0 t y i i a m 诅b4 t he d ，c o u o q m t l mp u b k a t i o n 8 ， v i 止2 3 ，a m 盯m 疆如s o c ，p r o v i d e c e ，r j ，1 9 7 5 1 5 iz w a g r w o i l g ，u l l i f o r m 嘲，h l p t o t i c s 缸0 r