（基础数学专业论文）sobolev圆盘代数上一类乘法算子的等距性、紧性和相似性.pdf

i夕 青岛科技火学研究生学位论文 i l u l ii1 1 1 1i i i i i i ii i11i i i i i l y 1 7 4 0 3 3 1 s o b o l e v 圆盘代数上一类乘法算子的 等距性、紧性和相似性 摘要 设q 为复平面c 内有界的单连通解析c a u c h y 域，烈表示c 上的平面 l e b e s g u e 测度s o b o l e v 空间2 ，2 ( q ) 是r ( q ，以) 中所有的一阶及二阶广义偏导数 d 8 厂属于r ( q ，d a ) 的函数的集合，其内积定义为 ( 厂，g ) = 乏d 口f d = g d a ，厂，g w 2 , 2 ( q ) l a l z 设尺( q ) 表示全体极点在西外的有理函数在w 2 2 ( q ) 范数下的闭包，当q = d = z c ：i z l l ，称尺( d ) 为s o b o l e v 圆盘代数 本文主要讨论了s o b o l e v 圆盘代数上一类乘法算子的等距性、紧性和相似性 给出了r ( d ) 上一类乘法算子m ，是等距算子和紧算子的充分必要条件，证明了如 果f 、g er ( q ) j ；l f 是保形映射，则尺( q 上乘法算子m ，、m 。相似的充分必要条 件是存在q 到d 上的保形映射缈，以及气d ，i c l = l ，使得 ，= g 。( 伊。屯。力， 这里屯( z ) = c ( z 一) ( 1 一磊z ) 另外，在一定条件下，也给出了r ( d ) 上乘法算子 m r ，m 。相似的充要条件；尺( d ) 上乘法算子m ：相似于m ：+ k 的一个充分条件， 这里k 是尺( d ) 上具有严格下三角矩阵表示的有界算子 关键词：s o b o l e v 圆盘代数乘法算子等距算子紧算子相似 上一类乘法算子的等距性、紧| 生和相似性 青岛科技大学研究生学位论文 t h ei s o m e t r y , c o m p a c t n e s sa n ds i m i l a r i t yo fc e r t a i n m u l t i p l i c a t i o no p e r a t o r o ns o b o l e vd i s k a l g e b r a a b s t r a c t l e tqccb eab o u n d e d s i m p l yc o n n e c t e da n a l y t i cc a u c h yd o m a i n ，d ad e n o t e t h ep l a n a rl e b e s g u em e a s u r ea n dw 2 2 ( q ) = ，l 2 ( a ，d 4 ) ：t h ed i s t r i b u t i o n a lp a r t i a l d e r i v a t i v e so ff i r s ta n ds e c o n do r d e ro f ，b e l o n gt ol 2 ( q ，d a ) b et h es o b o l e vs p a c e l e tt h ei n n e rp r o d u c to nw 2 2 ( q ) b e ( ，g ) - 。乏l d 4 f d g d a ，f , g w 玷( q ) ， p i a n d 尺( 哟b et h ec l o s u r eo fa l lr a t i o n a lf u n c t i o n sw i t hp o l e so u t s i d e 磊i nw 2 2 ( q ) q = d = z c ：纠 1 】，月( 功i ss a i dt ob et h es o b o l e vd i s ka l g e b r a i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ei s o m e t r y , c o m p a c t n e s sa n ds i m i l a r i t yo fc e r t a i n m u l t i p l i c a t i o no p e r a t o ro ns o b o l e vd i s ka l g e b r 钆g i v es o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa b o u tt h a tc e r t a i nm u l t i p l i c a t i o no p e r a t o r m 妒 i st h ei s o m e t r i co p e r a t o ra n d c o m p a c to p e r a t o r , a n ds h o wt h a ti f ，、g 尺( 国a n d ，i sac o n f o r m a lm a p p i n g ， t h e nm u l t i p l i c a t i o no p e r a t o rm | a n dm sa c t i n go nr ( n ) a r es i m i l a ri fa n do n l yi f t h e r ee x i s tac o n _ f o r m a lm a p p i n g 缈：q 专d ，d ，i c l - 1s u c ht h a t ，一g 。( 伊。屯。咖， w h e r e 屯( z ) = c ( z - z o ) ( 1 - - e o z ) i na d d i t i o n ，u n d e rs o m er e s t r i c tc o n d i t i o n s ，w ea l s o g i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o na b o u tt h es i m i l a r i t yo ft h em u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o rm ，m g o n r ( 功，a n das u f f i c i e n t c o n d i t i o na b o u tt h a tm u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o rm ：i ss i m i l a rt om ：+ k ，w h e r eki sab o u n d e do p e r a t o ro nr ( d ) w i t h s t r i c t l yl o w e r - t r i a n g u l a ro p e r a t o rm a t r i xr e p r e s e n t a t i o n k e yw o r d s ：s o b o l e vd i s ka l g e b r a m u l t i p l i c a t i o no p e r a t o r , i s o m e t r i co p e r a t o r , c o m p a c to p e r a t o r , s i m i l a r i t y 盘代数上一类乘法算子的等距性、紧性和相似性 i v 青岛科技大学研究生学位论文 摘要 目录 i i i i 2 预备知识 3 s o b o l c v 圆盘代数上乘法算子的等距性和紧性 3 1s o b o l c v 圆盘代数上乘法算子的等距性9 3 2s o b o l e v 圆盘代数上乘法算子的紧性1 3 4s o b o l c v 圆盘代数上乘法算子的相似性1 9 4 1 s o b o l c v 圆盘代数上乘法算子的相似1 9 4 1 1r ( q ) 上一类乘法算子的相似1 9 4 1 2r ( 功上一类乘法算子的相似2 3 4 2s o b o l c v 圆盘代数上乘法算子的扰动相似2 8 结论 参考文献 致谢 攻读学位期间发表( 完成) 的学术论文目录 声明 v 5 7 1 3 5 3 3 4 4 4 类乘法算子的等距性、紧性和相似性 青岛科技大学研究生学位论文 1 引言 b a n a c h 空间和h i l b e r t 空间上算子的等距、相似分类、扰动相似以及算子生 成代数等性质的研究一直是算子理论中活跃的研究内容许多数学家和算子理论 学家，如pr h a l m o s ( 【1 】) 、c a p o s t a o l ( 【2 】) 、d a h e r r e r o ( 【3 】) 、l gb r o w n ，r g d o u g l a s 和p a f i l l m o r e ( 【4 】) 、l s h i e l d s ( 【5 】) 、r g d o u g l a s ( 【6 】) 、r e c u r t o 和 l a f i a l k o w ( 【7 】) 、g p i s i e r ( 8 1 ) 和c l j i a n g ( 【9 】) 等对算子的等距、相似分类进 行了研究，得到的研究结果不但整齐优美，而且也为粒子物理和量子物理等其他 方面的的研究提供了分析工具( 1 0 1 、【1 1 】) 1 9 3 2 年，s b a n a c h ( f 1 2 1 ) 关于赋范空间上算子理论的著作使得算子性质的研 究成为分析研究中的核心内容，其后，许多学者在空间的拓扑结构和算子的拓扑 性质的研究方面做了大量的工作1 9 8 0 年前，关于b a n a c h 空间理论以及算子理论 研究结果的总结可以见文献 1 3 1 一【1 7 】1 9 8 0 年后，b a n a c h 空间理论以及算子理论 的研究迅速发展，j b c o n w a y ( 【1 8 】) 、y a a b r a m o v i c h 和c d a l i p r a n t i s ( 【1 9 】) 介绍 的研究结果和技巧不仅优美，而且在金融( 2 0 ，c h a p t e r3 1 ) 、经济( 【2 1 】) 以及人e l 动力系统结构( 2 2 1 ) - 1 2 有着重要的应用 2 0 0 0 年，j b c o n w a y ( 1 8 1 ) 介绍了h i l b e r t 空间上算子的正规性、紧性、紧扰 动等其它性质2 0 0 2 年，y a a b r a m o v i c h 和c d a l i p r a n t i s ( 【1 9 】) 介绍了乘法算子、 积分算子等正算子的性质2 0 0 5 年，n j k a l t o n ( 【2 3 】) 介绍了l e b e s g u e 空间厶( 力、 连续函数空间c ( k ) 上算子的弱紧性及绝对可和算子等性质2 0 0 7 年，a p i e t s c h ( 【2 4 】) 对b a n a c h 和h i l b e r t 空间的研究成果作了总结，在其著作“b a n a c h 空间和线 性算子的历史一书中详细介绍了b a n a c h 和h i l b e r t 空间上有界算子研究的相关 结果，并指出了一些有待进一步深入研究而且具有挑战性的问题同时，从文献 【1 2 】和【2 4 】中，我们也看到无论是早期的泛函分析研究，还是现代的b a n a c h 空间 和线性算子理论研究，函数空间及函数空间上算子性质的研究一直是泛函分析和 算子理论讨论的重要课题之一，而且有着广泛的应用背景 设d 是复平面c 内的开单位圆盘。瓢表示所有作用在d 上的函数组成的线性 r 一 s o b o l c v 圆盘代数上一类乘法算子的等距性、紧性和相似性 空间，缈是d 到d 的映射，算子m 矿：觋一弧，m ，厂一缈，瓢，称为吼上的乘 法算子 设缈表示b a n a c h 空间，a 、曰分别是作用在毋上的有界线性算子，如果存在 毋上的有界可逆算子x 使得肛= 船，称a 与曰相似，如果存在磐上的酉算子u 使得a u = u b ，称a 与曰酉等价 当9 j i 是l e b e s g u e 空间工。( ) 、h a r d y 空间h 2 ( 功和h 。( 功及b e r g m a n 空间 e ( 功时，其上的乘法算子研究取得了丰富的研究成果，例如，j b c o n w a y ( 【1 8 】) 介 绍了三，( ) 上乘法算子m 矿的谱及换位子代数等特征；a b e u d i n g ( 【2 5 】) 刻画了 h 2 ( d ) 上乘法算子j l f ：的不变子空间，而且激发了泛函分析学家深入研究日2 ( 功及 日2 ( 功上有界线性算子的各种性质；r gd o u g l a s ( 【2 6 】) 给出了日。( d ) 上t o e p l i t z 算 子谱的性质；k h z h u ( 【2 7 】) 讨论了e ( 功上乘法算子的一系列性质；b b e a u a z a m y ( 【2 8 】) 给出了当m 是一个内函数时，h 2 ( 聊上的乘法算子m 。酉等价于m ：的充要 条件；最近，s h s u n ，d c z h e n g 和c y z h o n g ( 2 9 】) 刻画了e ( d ) 上乘法算子的酉 等价，c l j i a n g 和y c l i ( 【3 0 】) 刻画了e ( 功上解析t 0 印l i t z 算子的相似不变性关 于l e b e s g u e 空间工。( 0 、h a r d y 空间h 2 ( d ) 和h 。( d ) 、b e r g m a n 空间e ( d ) 等经典 函数空间上算子理论的结果也可参考文献 3 1 1 和 3 2 1 当瓢是s o b o l e v 空间时，1 9 7 0 年，j d i x m i e r 和c f o i a s ( 【3 3 】) 建立了基于 s o b o l e v 空间的有界线性算子模型并利用其研究了算子点谱的有关问题；1 9 8 8 年， d a h e r r e r o ，t j t a y l o r 和z y w a n g ( 【3 4 】) 利用s o b o l e v 空间上的乘法算子研究了 算子紧扰动下点谱的变化；1 9 9 2 年，z y w a n g ( 【3 5 】) 研究了s o b o l e v 空间上的乘法 算子m ：对一些子空间的限制与压缩；1 9 9 7 年，c l j i a n g ，s h s u n 和z y w a n g ( 【3 6 】) 将s o b o l e v 空间上的乘法算子m ：应用于算子强不可约性的研究2 0 0 4 年，王 宗尧等人提出了s o b o l e v 圆盘代数r ( 功的概念，即r ( d ) 是极点在i 6 5 外的有理函数 集合在s o b o l e v 空间2 ，2 ( d ) 中的范数闭包，并且刘义强和王宗尧( 【3 7 】、【3 8 】、【3 9 】) 讨论了s o b o l e v 圆盘代数r ( d ) 以及r ( d ) 上乘法算子的换位子集合、不变子空间等 一些性质；2 0 0 8 年，赵瑞芳和靳勇飞( 【4 0 】) 研究了s o b o l e v 圆盘代数r ( 功上乘法算 子m ，在任何不变子空间上的限制等性质；2 0 0 9 年，z y w a n g 、r ez h a o 和y f j i l l ( 【4 1 】) 研究了s o b o l e v 圆盘代数尺( d ) 上乘法算子m ；相似于m ，的条件以及m ，的约 2 青岛科技人学研究生学位论文 化子空间，其他关于s o b o l e v 圆盘代数r ( d ) 上乘法算子的性质见文献 4 2 1 和 4 3 1 尽管s o b o l e v 空间理论以及s o b o l e v 空间理论在偏微分方程、力学、电磁学、 工程技术等学科中有着广泛的应用( 【4 5 】、【4 6 1 ) ，但是，由于s o b o l e v 空间上内积的 特殊定义增加了许多与有界线性算子有关问题讨论的复杂性和难度，例如，目前 仍没有给出s o b o l e v 空间上乘法算子的共轭算子表示，所以相比于l e b e s g u e 空间 l ，( ) 、h a r d y 空间h 2 ( 功和日。( d ) 、b e r g m a n 空间e ( 功上算子理论丰富的研究成 果，有必要对s o b o l e v 空间上有界线性算子的性质进行深入的研究 注意到文献 3 7 1 一【4 3 】中的结果和提出的有待研究的问题，本文将在c l j i a n g 、z yw a n g 、yq i j u 、r ez h a o 和ye 血等作者的工作基础上，讨论 s o b o l e v 圆盘代数尺( d ) 上乘法算子是等距算子的条件，乘法算子的紧性、相似以及 扰动相似等性质 本文分四章，各章的主要内容是： 第1 章是引言，介绍了函数空间上乘法算子的研究现状，s o b o l e v 圆盘代数 尺( d ) 上的有关结果以及本文拟讨论的内容； 第2 章是预备知识。介绍了与本文有关的s o b o l e v 空间理论、s o b o l e v 圆盘代 数r ( d ) 上的性质，并列出后面各章节将要用到的一些r ( 功上乘法算子的性质； 第3 章是r ( d ) 上乘法算子的等距性和紧性，首先介绍了尺( 功上乘法算子的 等距性和紧性的背景，然后依据r ( d ) 上乘法算子m 口是等距算子和紧算子时， m 矿的谱仃似p ) 的性质以及解析函数的性质，在一定条件下，i , , - j - 沦tm 矿是等距算 子和紧算子时，缈满足的条件； 第4 章是尺( d ) 上乘法算子的相似性，首先介绍了有关函数空间上乘法算子 相似及酉等价的结果，对比已有的r ( 功上乘法算子相似的结果，找出有待进一步 讨论的问题，然后给出了r ( q ) 上乘法算子与r ( 功上乘法算子的联系，这里q 为 单连通的解析c a u c h y 域，r ( q ) 是极点在西外的有理函数集合在s o b o l e v 空间 w 2 2 ( q ) 中的范数闭包，进而讨论了尺( 功上一类乘法算子的相似及扰动相似 3 上一类乘法算子的等距性、紧性和相似性 4 青岛科技大学研究生学位论文 2 预备知识 在这一章，我们给出一些后面各章节要用到的符号和相关的概念，同时，也 将后面各章节用到的已知结果以引理的形式列出 设日表示复的可分的无穷维h i l b e r t 空间，记l 哗) 表示作用在h 上的所有有 界线性算子集合，x c t ( h ) ，记c r ( t ) 、仃p 口) 以及巳叮) 分别表示j f l 的谱、点谱 以及本性谱，殷一，仃) 和辟仃) 分别表示z 的半f r e d h o l m 域和f r e d h o l m 域如果 旯展一f 仃) ，贝j jt - m 的f r e d h o l m 指标定义为 i n d 仃一以) = n u l 叮一舡) 一i “叮一甜) ， 这里n u l 口一甜) = d i m k e r f - m ) 关于算子的谱、f r e d h o l m 域以及f r e d h o l m 指 标等详细的性质见文献【4 6 】 设q 为复平面c 内的解析c a u c h y 域，烈表示平面l e b e s g u e 测度 r ( q ，烈) 2 厂：厂在q 上可测且满足正i 厂i 以 0 ，使得 l i s l l f 。磊，- - mh ：工。q ， 下面的两个性质见文献【4 7 】 引理2 2 h 刀如果厂2 ”( c o ，则，的广义偏导数d 。f 存在( 1a l - 2 ) 引理2 3 h 刀如果厂r ( q ) 且f 的广义偏导数d 。f 存在，i 口i 2 ，则 厂彬2 2 ( q ) 设厂w 2 ，2 ( q ) ，定义2 ，2 ( q ) 上的乘法算子m ，为 m ，g = f g ，g w 2 2 ( q ) 设尺( 9 表示全体极点在西外的有理函数在i | i b ：工( q ) 下的闭包，贝i jr ( f 1 ) 2 ，2 ( q ) 的闭子空间在文献 3 7 ，z yw a n g 和y0 l i u 证明了下面结果 引理2 4 口刀如果q 为单连通的的解析c a u c h y 域，则所有多项式构成的集合 在尺( 回中稠密 引理2 5 p 刀 设m ：( q ) 。m ：l r ( q ) ，则 a ( m ：( q ) ) 一磊，吒似：( q ) ) - a q ， n u l m ：( q ) 一甜) - 0 ，i n da m ：( q ) 一盯) 一- 1 , 五q 文献 3 7 中也引入了s o b o l e v 圆盘代数的概念 定义2 1 p 7 1 当q = d = p c ：i z i 廿，称尺( d ) 为s o b o l e v 圆盘代数 关于s o b o l e v 圆盘代数尺( 功，z yw a n g 和yq l i u 给出了下面的性质 引理2 6 s r j h i l b e r t 空间r ( d ) 有一组规范正交基概矗o ，满足 一孱z “，孱= 乏五- = ，刀= 。，l 2 ， 6 青岛科技人学研究生学位论文 引理2 7 p 刀 ( 1 ) 设厂是d 内的解析函数，则厂r ( d ) 当且仅当 ，e h 2 ( 功，。r ( d ) ( 2 ) 设厂：y 伸。“是d 内的解析函数，则厂尺( d ) 的充要条件是 o r - - n a h z n - 0 、 e 二l a h 1 2 t l - - 1 ，使得厂( z ) = 2 z 注意到 i 忆觞b 。聊= i i x , i i 。，= l l f x , i i 俨。，； 训k 。) 一l z , a a ( z ) = i i 厂帖( 聊 = 工h 2 d a ( z ) + 巯) 1 2 以( 力+ 3 f o ( 旯z ) ”1 2 烈( z ) z - r e a ，由h ；1 ，则 工川2 a a ( z ) + 砺) 1 2 d a ( z ) + 3 f o l ( a z ) ”1 2 d a ( z ) 2 f ol z l 2 d a ( z ) + 砺1 以( z ) 2 f i r 2 r d r d o + 2 万 = 5 2 由于 u z o l l ：。( 。) - 工以( 力一万， 1 1 r 一 l i i s o b o l e v 圆盘代数上一类乘法算子的等距性、紧性和相似性 这与 i i z o l l 矿：。，- - i i z 皿l l 矽z 。， 相矛盾因此，( z ) 在d 内是常函数 因为 m a x i 厂( z ) i ：z d ) = n 姒 i 厂( z ) i ：z a d ) 一l ， 从而推出厂是模为1 的常函数 充分性的证明是明显的，这里省略 1 注3 1 5由文献( 4 9 ) 知，函数空间弧上的线性等距算子t ：弧寸弧多表 示为巧( 功= g ( 功厂( | i l ( 砌设 哗，f x x ) - g ，( 砷，眠f x x ) = ，( ( 砌， 则r m 。g 对r ( d ) 而言，当庇是d 到d 的平移和旋转，即当 j i l ( z ) = z + b ， ( z ) = a z ，i a i _ 1 时，( g f x x ) - ，( 矗( 砌也是r ( 功到r ( d ) 线性等距算子 如果q 是有界单连通解析c a u c h y 域，h r ( q ) ，m i i ：r ( q ) 专r ( f 2 ) 是有界乘 法算子由引理2 1 、2 4 、【5 1 ，t h e o r e m1 0 2 8 】、引理2 5 及谱映射定理( 【4 6 ， t h e o r e m4 1 0 ，p 2 0 4 ) 我们有下面的结果 引理3 1 6 只( 国= w 2 , 2 ( q ) n 日( q ) ，盯( ) = 厂( 磊) 在一定条件下，下面命题给出了m 。是j 5 c ( q ) 上的线性等距算子的条件 命题3 1 7 设m 。是r ( g - - - r ( f 2 ) 的满射，则m 是线性等距的充要条件是i i 是模为1 的常函数 证明条件的充分性是显然成立的 注意到m 。是线性等距的满射，因此m 是可逆算子，h ( f i ) c a d 因为 h 尺( 锄，q 是有界单连通集，所以h c ( f i ) ，则h ( h ) 是连通集，j l ( t a ) c a d 因为 n 掀跏( z ) l ：z q = t x 戤 i ( z ) l ：z 讹 ， 所以h 是一常函数简单计算可得h 的模为i 必要性成立 _ 青岛科技大学研究生学位论文 3 2s o b o l e v 圆盘代数上乘法算子的紧性 无限维b a n a c h 空间上的紧算子的性质类似于有限维空间中的矩阵，它在积 分方程以及许多数学物理问题中有着广泛的应用，更多关于紧算子的信息见文献 1 8 1 和 1 9 1 注意到文献【5 2 】中给出的h a r d y 空间、加权h a r d y 空间、加权b e r g m a n 空间等上的复合算子是紧算子的条件，这一节将主要讨论s o b o l e v 圆盘代数上乘 法算子的紧性，即讨论下面的问题 问题 设厂尺( 功，乘法算子m ，：尺( d ) jr ( d ) 是紧算子的条件是什么? 并 且利用尺( d ) 上乘法算子是紧算子的条件，初步地讨论了尺( 功上加权复合算子的 紧性 为讨论上面的问题，我门先给出下面熟知的结果作为引理3 2 1 z j l 理3 2 1 t t s 如果d i m h = o o ，t e l ( h ) ，且r 是紧算子，则下面情形仅有一种 成立 ( a ) 仃( r ) = 田 ( b ) 盯口) = o ，五，五) ，这里以o ，五是r 的特征值，且d i m k e r 一以) ， 1 k 刀 ( c ) 盯( 丁) = o ，五，这里以o ，五是r 的特征值，d i m k e r ( t 一以) ， l i r a 五一0 ，k 1 下面的命题3 2 2 对上面的问题给以了回答 命题3 2 2 设f 尺( 功，乘法算子m ，：尺( d ) 专r ( d ) 是紧算子的充要条件是 ，( 力= 0 ，z 面 证明 由引理2 1 ，厂c ( 面) ，i c 9 是连通集，所以厂( 面) 是连通集注意到m ， 是紧算子，所以( 面) 是单点集由引理3 2 1 可得，( z ) = 0 ，z i 6 5 充分性是明显的 - 由引理2 1 3 知，尺( 功上的乘法算子关于正交基乜矗。具有下三角矩阵表示， 1 4 明了 的具 从而 青岛科技大学研究生学位论文 ( i ( 矽) 1 2 d a ( z ) ) = ( li s ( z ) 1 2 d a ( z ) ) - l l s l ：w ( 工聊。1 2 d a ( z ) ) - - ( 1 , 1 s 1 2 幽( z ”- l l s l ：却) ， 所以，存在常数工使得 l i v s l l z 。，- li i s l l 旷。， c 3 ，y 是具有权序列| 石表石) 的紧的加权单侧移位算子 由引理2 6 知 川以尾= 高 是r ( d ) 的一组规范正交基，简单计算可得 眠) ( z ) = e 嘶矽善= 盼d 孝= 鲁 = 立n + l 去讹) = 赢讹) 尾+ 1 ”、( 力+ 1 ) 成“”。 因此，y 是一个具有权序列 石 。的加权单侧移位算子 因为 n i - m - ，e o 盘1 ) f t ：舰型譬掣 f 盟 嘉 ( 行+ + 1”+ 。l 3 n 4 一, 2 + 2 n + 1 j l n + 2 j 疗+ 1 = l x l x o = 0 ， 所以y 是紧算子 注意到加权复合算子是乘法算子与复合算子的乘积，而且我们知道尺( d ) 上 不存在非零的乘法算子是紧算子，下面对r ( 功上加权复合算子的紧性进行初步 地讨论 设缈：dj1 0 9 的解析函数，c 口( 厂) ( z ) - 厂( 缈( z ”，v 厂r ( d ) ，q 称为尺( 功上的 复合算子设办r ( 功，m 。是r ( 功上的乘法算子，毛。9 - m 。q 称为尺( d ) 上的加 以 紧 射， 界 到 青岛科技大学研究生学位论文 蚶- 丽i n 面+ l ， 从而：。i 厦r 收敛记= ( ：= 。i 展i - ) 1 2 ，则 ， l i s ：l l z 。( d ) p l i t i i ：。( d ) ， b l 而s 是r ( d ) 专r ( d ) 的有界算子 t e n 。；s p a n 1 , q d ，p 2 ，矿 ，则日。是有限维的，因此s 。是有限秩算子注意 到i 尾j 1 ，我们可以得到 k 一最) 砘：钠= i i x ；。吼矿k 聊 s 2 。钉i + kl l l 妒i i ： ( ：。+ 。la k1 2 ) 1 7 2 ( ：。+ 。8 缈l 臣工。，) 1 7 2 ( ：。+ ，l 口。1 2 i 9 l1 2 ) 1 7 2 ( ：。+ 。i i 妒i 盛工。，) 1 7 2 o r 满足o ，万 1 ， 缈( - z ) = ( r i m 驰，i i ) 反( z ) 则缈( z ) 尺( d ) ，而且由【4 1 ，l e m m a1 】知，缈满足命题3 2 5 的条件 _ 由引理3 2 5 知下面结论成立 命题3 2 7 设缈满足命题3 2 5 的条件，h r ( 功，则加权复合算子瓦，矿是紧 1 7 数上一类乘法算子的等距性、紧性和相似性 1 8 青岛科技大学研究生学位论文 4s o b o l e v 圆盘代数上乘法算子的相似性 设a ，b l ( h ) ，如果存在可逆算子xel ( h ) ，使得a i ix b x 一，称a 与b 相 似的为了区别a 与b 相似的定义，对于a ，如果存在非零算子k l ( h ) ，使得 a + k 相似于a ，我们称这种情形为a 扰动相似于自身事实上，算子的扰动相 似也是算子的相似关于h i l b e r t 空间及有关函数空间上算子的相似与扰动相似的 结果和参考文献见文献 3 1 n 5 3 这一章，我们将分别讨论s o b o l e v 圆盘代数上乘法算子的相似及扰动相似 4 1s o b o l e v 圆盘代数上乘法算子的相似 最近几年，王宗尧、刘义强、赵瑞芳和靳勇飞等作者分别对s o b o l e v 圆盘代 数尺( d ) 上乘法算子的换位子代数、不变子空间、相似不变性作了研究( 见文献 【3 7 1 _ 【4 3 】) 关于尺( d ) 上乘法算子的相似，2 0 0 6 年，刘义强和王宗尧( 【3 8 】) 证明了 如果缈尺( d ) ，m 。相似于m ：的充要条件是缈是1 - b l a s c h k e 乘积；2 0 0 8 年，赵瑞芳 ( 【4 3 】) 证明了如果厂，g r ( d ) ，且厂是单叶函数，m ，相似于m ；的充要条件是存在 仇( z ) = c ( z - 2 0 ) 0 - = - z o z ) ， 这里d ，i c l = l ，使得，一g 。饯；2 0 0 9 年，王宗尧、赵瑞芳和靳勇飞( 【4 1 】) 证明 了m 。相似于m 一当且仅当伊是刀一b l a s c h k e 乘积 这一小节，我们将对文献【3 8 】、【4 1 】和【4 3 】中所得到的尺( d ) 上乘法算子相似的 结果作进一步的推广 4 1 1 r ( q ) 上一类乘法算子的相似 本小节总假定q 是有界单连通解析c a u a h y 域，缈是q 到d 上的保形映射，由 缈引出尺( d ) 专尺( 回上的复合算子为 ( q ，) ( 叻a ，( 伊( 呦 1 9 j 型型竺望堕塑鲨型三二兰叟堂丝筻堕