（应用数学专业论文）分数阶反常扩散方程及散射函数谱分析.pdf

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l c ( 叫) d r = m = c m 瓯t2 。，( c - e = 2 7 r d s r ( 亨) ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 在l a p l a c e 变换域上定义了尺度变换对称群 i = ”5 ；f = a r ，；= 6 ， 利用尺度变换对称群方法、h 一函数理论及离散逆l a p l a c e 变换的方法给出了用h i t i 数表示的浓度分布的解析解： c ( r ，归面m 幂日麓 熹瞄揣m _ ( 5 ) 证明了所有经典瞬时点源扩散问题的解均可作为本文结果的特例而被包含 在2 5 节中，利用h 一函数的特性对原点处初始时刻浓度分布的奇性做了详细 的分析 鳃出= 黑志日器 去陋耩m 卜肖- + 州t 叫( 6 ) 当d w = 2 时有 i 觋c ( o - t ) t ， ( 7 ) 验证了当d s = l ，2 ，3 时分别与规整欧氏空间瞬时面源、线源和点源正常扩散( g a u s s 分布) 原点处初始时刻浓度分布i t g i f f 性是一致的 在2 6 节中，求出了分数阶反常扩散方程初值问题 。d ；铲巾，o ) 高= 生o x 2 w 。，( 8 ) 的基本解 ( r 归赤础 糕瞄耩m ( 9 ) 从而( 8 ) 的解有公式 “( x ，) = “( x ，o ) + f 男0 ( t x t ，) = “( 己o ) 只苏。( i x f l ，) d ( 1 0 ) 利用基本解和叠加原理，给出第一类和第二类齐次边条件下的半无界分数阶反常扩 散方程初值问题的求解公式作为应用，最后利用所得到的公式，给出了一维半无 界定解问题 俨如t ( z ，t ) a 2 d ” i - 2 ，d 一可f 可面 ( o ，) = 0 ，t 0 = 盟c o x 。1 , x 0 , 0 0 ， c ( o ，t ) = c o ，o ， c ( 。，) = 0 ，逢0 ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 利用分数阶导数理论采用离散逆l a p l a c e 变换技巧及f o x 函数给出了染源浓度分 布分数阶模型的精确解： 如一- 篆憔譬础卜 ( o ，1 ) ；( 譬，d ) ；( 一，一1 ) ( 2 3 ) 同时我们讨论了如下三种特例： ( 1 ) 当。= 1 时，即为均匀介质中一维对流弥散模型，( 2 3 ) 式退化为： 如，归扣 e _ a b e t a ( a 2 - 以2 b t 、+ e a b e r ，以- - 丽+ 2 - 吣) j 1 ( 2 4 ) 该结果与经典对流弥散问题的解是一致的 4 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n ( 2 ) 当v = 0 ，a = 0 时，( 2 3 ) 式退化为： c ( 州) - - - - 1 + 击碟 三一t 一 2 徊：。 ( 1 ，1 ) ；( 1 ，；)i | _( 2 5 ) ( ；) ；( 1 ， ) ；( o ，1 ) j 此即w y s s 用m e l i n 变换所得到的解 ( 3 ) 当n = 1 ，v = 0 ，a = 0 时，( 2 3 ) 式退化为： c ( 州) 2 e r ，c ( 一刍t 一5 ) ( 2 6 ) 此为经典流体力学中的r a y l d g h 时空相似性解由此可见，许多前人所得的经典 结论均可作为本章的特例而出现 在5 4 节中。为了验证了l a p l a c e 数值反演的c r u m p 方法对该问题的有效性。 我们给出了具有分形结构的污染的河水切割含水层浓度分布的l a p l a c e 数值反演 解，并将解析解与数值反演解进行了比较，实例表明两种方法所得结果吻合很好 为解决具有分形结构的复杂环境问题提供了分析方法 关键词：无序分形介质、反常扩散、分数阶微积分、f o x 函数、l a p l a c e 变换、 瞬时点源、基本解、散射函数、地下水污染系统、对流弥散、数值反演、精确解 分数维f o u r i e r 变换 5 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n a n a l y s i so ff r a c t i o n a la n o m a l o u s d i f f u s i o n e q u a t i o na n ds c a t t e r i n gf u n c t i o ns p e c t r a j i a n gx i a o - y u n ( i n s t 。o fa p p l m a t h ，s c h o o lo fm a t h s y s s c i ，s h a n d o n gu n i v ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tp a p e r ，at h e o r e t i c a la n a l y s i so ff r a c t i o n a la n o m a l o u sd i f f u s i o n p r o b l e ma n ds c a t t e r i n gf u n c t i o ns p e c t r ac a u s e db ya ni n s t a n t a n e o u sp o i n ts o u r c ei n d i s o r d e r e df r a c t a lm e d i aa l eg i v e n t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n so fc o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o na n dt h ee x p r e s s i o n so fs c a t t e r i n gf u n c t i o ns p e c t r aa r ed e r i v e d am o d e lo f a n o m a l o u sd i f f u s i o ni ng r o u n d w a t e rp o l l u t i o ns y s t e mi sg d v e n a tt h e8 9 , n l et i m et h e a n a l y t i cs o l u t i o na n dt h en u m e r i c a l i n v e r s i o ns o l u t i o no fl a p l a c et r a n s f o r mo fc o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o ni ng r o u n d w a t e rp o l l u t i o ns y s t e ma r ep r o v i d e da n dt h er e l i a b i l i t y o fl a p l a c en u m e r i c a li n v e r s i o nb a s e do nc r u m p a l g o r i t h m f o rt h i sk i n do fp r o b l e m si s v e r i f i e d i th a si m p o r t a n tv a l u eo f t h e o r ya n da p p l i c a t i o n t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff i v ec h a p t e r s ，w h i c ha x ei n d e p e n d e n ta n dc o r r e l a t i v et o o n ea n o t h e r i nc h a p t e rli e p r o l o g u e ，t h ef r a c t i o n a lc a l c u l u sa n di t sh i s t o r y ，c u r r e n t s t a t u sa r ei n t r o d u c e d i t st h eb a s i cm a t ht o o ln e e d e di nt h i sp a p e r i ns e c t i o n 1 i ， t h ed e f i n i t i o n sa n dt h em a i np r o p e r t i e so ft h er i e m a n n l i o u v i l l ef r a c t i o n a li n t e g r a l o p e r a t o ro d ；- p ( o r e 卢 1 ) a n dd i f f e r e n t i a lo p e r a t o ro d ( o 0 ，( 2 ) 6 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 墨恐。( t ) 。o ，t 0 ， ( 3 ) ， r 出一1 c ( r t ) d r = m = c o r z $ t ，t 0 ，= 2 丌出r ( 芸) ) ( 4 ) b ya p p l y i n gt h em e t h o do fs y m m e t r yg r o u po fs c a l i n gt r a n s f o r m a t i o n sa n dt h e p r o p e r t i e so fh - f u n c t i o n ，t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no fc o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o ni so b - r a i n e d c ( 州) = 丽m 日坫2 , 07 【蕊7 2 1 a t 。一2 驯 ( 5 ) i ti s p r o v e dt h a tc l a s s i c a ld i f f u s i o np r q b l e mc a u s e db ya ni n s t a n t a n e o u sp o i n ts o u r c e o fp o i n ts o u r c e ，l i n es o u r c ea n da r e as o u r c ei nr e g u l a re u c l i d e a n s p a c e c a nb er e g a r d e d a sp a r t i c u l a rc a t lo ft h i sp a p e ra n da r ei n c l u d e d ， i ns e c t i o n 2 5 ，b yu s i n gt h e p r o p e r t yo fh f u n c t i o n ，w ed i s c u s st h es i n g u l a r i t i e so f c o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o na ti n i t i a lt i m ei nd e t a i la n dg i v et h ef o l l o w i n ga s y m p t o t i c p r o p e r t y ： 缨c ( r ，t ) = 燮面篝再哦口 去瞄惫皇m 一t - 舞_ + 。o ，( t d )( 6 ) w h e n d w = 2 ，i ti sp r o v e dt h a t ! 鳃c ( o ，t ) ， ( 7 ) a n dw h e nd s = l ，2 ，3 ，i tc o i n c i d e sw i t ht h e s i n g u l a r i t i e so fi n s t a n t a n e o u sa r e a ，l i n ea n d p o i n ts o u r c er e s p e c t i v e l yi nr e g u l a re u c l i d e a ns p a c e ， i ns e c t i o n 2 6 ，t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mo ff r a c t i o n a la n o m a l o u s d i f f u s i o ne q u a t i o n 。d 2 t l a r u 归心 0 ) 高= 象，” 。，( 8 ) i sc o n s i d e r e da n di t sf u n d a r n e n t a ls o l u t i o ni sg i v e na sf o l l o w s ： 幻= 面篝再日翌 鬈l 蒜焘茗】 ( 9 ) t h e r e f o r e ，t h es o l u t i o no fp r o b l e m ( 8 ) i s u ( x ，t ) = u ( x ，。) + ，男o ( i x i ，t ) = f u 幢，。) - 尸男o ( k 一l ，t ) d 0 0 ) f i n a l l y , t h es o l u t i o n so fi n i t i a lv a l u ep r o b l e m so f t h es e m i b o u n d l e s sf r a c t i o n a la n o r n a - l o u sd i f f u s i o ne q u a t i o nu n d e rt h ef i r s tk i n da n ds e c o n dk i n do fh o m o g e n e o u s b o u n d a r y 了 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n c o n d i t i o n s 玳o b t a i n e db yt h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o na n dt h el i n e a xs u p e r p o s i t i o np n n - c i p l e u s i n gt h ea b o v ef o r m u l a ，t h es o l u t i o no fo n e - d i m e n s i o n a ls e m i - b o u n d l e s sp r o b l e m u n d e rt h ef i r s tk i n do fh o m o g e n e o u s b o u n d a r yc o n d i t i o n sw i t hc o n s t a n ti n i t i a lv a l u e 萨，如t ( ，t ) 融2 “ t - 2 1 d w 一撕可i 可丽 【t ( o ，t ) = 0 ，t 0 i sg i v e ni nt h ef o r m ： = 警p 0 l o 0 b yu s i n gt h ef r a c t i o n a lc a l c u l u sa p p r o a c ha n dt h ed i s c r e t ei n v e r s el a p l a c et r a n s f o r m m e t h o d ，t h ee x a c ts o l u t i o no fc o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o ni sg i v e no u t ： 啦，归删- 邂 ，+ 砉譬娥i , 。i ( 铲俨) ( 一；，o ) ( o ，1 ) ；( 譬，口) ；( 一，一1 ) a tt h es a l m et i m e ，w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gt h r e es p e c i a lc a u s e s ： ( 2 3 ) f 1 ) w h e no = 1 , t h i si sc l a s s i c a lc o n v e c t i o n d i s p e r s i o np r o b l e mo fc o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n 、 ，eo b t a i n 出，归鲁唧等p e r ，t ( 等) 吖”u + 诉2 b t 、i ( 2 4 ) t h i sr e s u l tc o i n c i d e sw i t ht h es o l u t i o no fc l a s s i c a lc o n v e c t i o n d i s p e r s i o np r o b l e m ( 2 ) w h e n v = 0 ，a = 0 ，w eh a v e c ( z ，t ) = 1 + 丽1 h 。2 , 1 zo 丽门 ( 1 ，1 ) ；( 1 ，；) ( i ， ) ；( 1 ， ) ；( 0 ，1 ) ( 2 5 ) t h i si sj u s tt h es o l u t i o no ft h ef r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o no b t a i n e db y w y s s ( 3 ) w h e nq = 1 ，v = 0 ，a = o ，w ea r r i v ea t c ( 叫) 2 e r ，c ( 一南一5 ) ( 2 6 ) t h i si st h ec l a s s i c a l r a y l e i g h 8t i m e - s p a c es i m i l a r i t ys o l u t i o n i t ss h o w nt h a tt h e c l a s s i c a lr e s u l t sa r et h es p e c i a lc a 5 e so ft h i sc h a p t e r i ns e c t i o n 5 4 ，i no r d e rt ov e r i f yt h er e l i a b i l i t yo ft h em e t h o d o fn u m e r i c a li n v e r s i o n o fc r u m p ，t h en u m e r i c a li n v e r s i o ns o l u t i o no fl a p l a c et r a n s f o r mi s g i v e no u t w e 1 0 啡 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n c o m p a r et h er e s u h sg i v e nb yt h ee x a c ta n a l y t i c a ls o l u t i o nw i t ht h o s eg i v e nb yt h e n u m e r i c a li n v e r s i o nm e t h o do fc r u m pu n d e rt h ec o n d i t i o no = 1 0 ，0 8 ，0 6 mf i n d b o t ho ft h er e s u l t sa r ei na g r e e m e n tw i t he a c ho t h e r i tp r o v i d e st h em e t h o df o rs o l v i n g c o m p l e xe n v i r o n m e n t a lp r o b l e m sw i t hf r a c t a ls t r u c t u r e ， k e y w o r d s ：d i s o r d e r e df r a c t a lm e d i a ；a n o m a l o u s d i f f u s i o n ；f r a c t i o n a lc a l c u l u s ； f o xf u n c t i o n ；l a p l a c et r a n s f o r m ；f u n d a m e n t a ls o l u t i o n ；s c a t t e r i n gf u n c t i o n ；g r o u n d - w a t e rp o l l u t i o ns y s t e m ；c o n v e c t i o n - d i s p e r s i o n ；n u m e r i c a li n v e r s i o n ；a n a l y t i c a ls o l u - t i o n ：h a c t a lf o u r i e rt r a n s f o r m s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n o d ? 口d - 5 b ，口( z ) p 日一1 e r ( x ) e r f c ( x ) s t f ( t ) ，u ) 只 ，( t ) ，) 乃 ，( t ) ，u ) m 【，( t ) ，8 】 g ( z ，t ) g ；节( z ) 月品“( ；) c c c 1 d w d s d ， k k l c t ，( t ) ，s w ( 一。；n p ) k 1 9 r ( z ) p 皿口( z ) n 0t _ i t i o ni n d e x r i e m a n n - l i o u v i l l ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r r i e m a n n - l i o u v i l l ef r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r g e n e r a l i z e dm i t t a g - l e f f i e rf u n c t i o n g e n e r a l i z e ds u p e r g e o m e t r yf u n c t i o n e r r o rf u n c t i o m c o m 【p l e m e n t a r ye r r o rf u n c t i o m f o u r i e rt r a n s f o r m f o u r i e rs i n et r a n s f o r m f r a c t a lf o u r i e rt r a n s f o r m m e l f i nt r a n s f o r m f r a c t i o n a lg r e e n sf u n c t i o n m e i j e rg f u n c t i o n i - i - f o xf u n c t i o n c o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o n i m a g e f u n c t i o no fc o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o n s c a t t e r i n gf u n c t i o no fc o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o n a n o m a l o u sd i f f u s i o ne x p o n e n t s p e c t r a ld i m e n s i o n h a u s d o f fd i m e n s i o n m o d i f i e db e s s e lf u n c t i o n s i n t e g r a lc o n t o u r l a p l a c e t r a n s f c l r m w r i g h tf u n c t i o n g r o u n d w a t e rp o r ev e l o c i t y h y d r o d y n a m i c a ld i s p e r s i o nc o e f f i c i e n t g a r o m af u n c t i o n m a i t l a n te n e r a l i z e ds u p e r g e o m e t r yf u n c t i o n c h a p t e r1e l e m e n t a r yk n o w l e d g e 1 1s y n o p s i so ff r a c t i o n a lc a l c u l u s ( f c ) n u m e r o u so b j e c t sf o u n di nn a t u r es u c ha sr o u g hs u r f a c e s ，c o a s t l i n e s ，m o u n t a i n s ， r i v e r s ，l a k e sa n di s l a n d s ，a r ed i s o r d e r e da n di r r e g u l a r ，a n dt h e yd on o tf o l l o wt h ee u - c l i d e a nd e s c r i p t i o n ”t h e s eo b j e c t sa r ec a l l e df r a c t a l s f r a c t a l sw e r ef i r s td i s c u s s e db y m a n d e l b r o ti nt h e1 9 7 0 s b e f o r e1 9 7 5m a t h e m a t i c i a nh a df o u n da l r e a d ys o m ef r a c t a l s ， f o re x a m p l e s ，t h ec a n t e rt e r n a r ya n dp e a n oc u r v e s m a n d e l b r o t sw o r k s f o r m ，c h a n c e a n dd i m e n s i o n ，w a sp u b l i c h e di n1 9 7 7 2 t h ef r a c t a lt h e o r yw a se s t a b l i s h e df o rt h ef i r s t t i m e a sd y n a m i cb a s i so ff r a c t a lg e o m e t r ya n df r a c t a ld i m e n s i o n ，t h ef r a c t i o n a lc a l c u - l u sa n di t st h e o r ya n dr e s e a r c h e so fa p p l i c a t i o na r ec a t c h i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n r e c e n t l y t h e h i s t o r yo fr e s e a r c ho nf r a c t i o n a lc a l c u l u si sa l m o s ta sl o n ga st h a to fi n t e g e r o r d e rc a l c u l u s e a r l yi n1 6 9 5 ，l h o s p i t a le v e rw r o t et ol e i b n i t zd i s c u s s i n gap r o b l e m o ff r a c t i o n a ld e r i v a t i v eo faf u n c t i o n h o w e v e ro n l ya f t e r1 2 4y e a r sl a t e r ，i e i ny e a r o f1 8 1 9 l a c r o i xf i r s t p u tf o r w a r dar e s u l to ft h em o s ts i m p l ef r a c t i o n a lc a l c u l u s 【3 】： 翁= 去以- n t h e a t e rc e n t u 峨m a 州m 舢e m 删a n s 蹦e r ，m e n h ， l i o u v i l l e ，w e y l ，e r d e l y i ，k o b e rh a v eb e e ne n g a g e di nr e s e a r c hf o rf r a c t i o n a lc a l c u l u s b e c a u s eo fl a c k i n gf o rb o o s to fa c t u a la p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d ，i td ；v e l o p e dv e r ys l o w t i l li n1 9 8 2 ，b ，b m a n d e l b r o tf i r s ti n d i c a t e dt h a tt h e r ea r em u c hf r a c t i o n a ld i m e n s i o n i nn a t u r ea n dm a n yt e c h n o l o g i e s 【l l ta n ds e l f - s i m i l a r i t yi ni n t e g e ra n ds e g m e n t a f - t e rt h a tf r a c t i o n a lc a l c u l u sa st h eb a s i co ff r a c t a lg e o m e t r ya n df r a c t i o n a ld i m e n s i o n s l 一【1 1 】，g a i n e d f a s td e v e l o p m e n t s 【1 2 】：a n da p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d s ，s u c ha sr e l a x - a t i o n1 1 3 一【1 引o s c i l l a t i o n r a n d o md i f f u s i o na n dt r a n s m i t t i n go fw a v e 1 叫一 2 0 ia n d b i o m a t e r i a l 归l 卜 2 4 1 c h a i n d e f o r m a t i o no fm a c r o m o l e c u l e1 2 1 1 1 2 5 c h a o sa n dt u r b u l e n c e 【2 6 1 髓1 ，m o l e c u l a rs p e c t r u m ，r a n d o mt r a v e l ( 糟】一f 3 l 】，v i s c o e l a s t i cd y n a m i c s 陋】【3 2 】【3 3 1 ，e t c a n dt h er e s e a r c h e so ft h e s ea p p l i c a t i o n sa c c e l e r a t e dt h ed e v e l o p m e n to ft h e o r e t i c sa n d r e s e a r c h e so ff r a c t i o n a lc a l c u l u s t h et h e o r yo ff c ，t o g e t h e rw i t hc h a o sa n dd i s s i p a t i o n c o n s t r u c t i o nh a sb e e nt h ep r i m a r y s i g no fc u r r e n tn o n l i n e a rs c i e n c e t h i sc a nb ef o u n d s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n o u ti n ”t o p i c so nf r a c t a l si nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ”i n ”c h a l l e n g e sf o rt h e2 1 s t c e n t u r y - f u n d a m e n t a ls c i e n c e s ：m a t h e m a t i c sa n dt h e o r e t i c a lp h y s i c s w r i t t e nb y b b m a n d e l b r o t a 4 1 ，t h ef o u n d e ro ff r a c t a lt h e o r y a tp r e s e n t t h e r ea r em a n yd e f i n i t i o n so ft h ef r a c t i o n a lc a l c u l u s 【5 1 ，口q ，【3 6 1 i nt h i s p a p e r ，w ei n t r o d u c et h es oc a l l e dr i e m a n n - l i o u v i l l e ( r - l ) f ct h e o r y f o ra r b i t r a r y c o m p l e xn u m b e r 芦，2 e ( z ) 0 ，1 8o r d e ri n t e g r a lo ff u n c t i o n ，( t ) 话d e f i n e da sf o l l o w s ： 拟铆扣可d - 4 f ( t ) ：= f 错附 ( 1 “) h e r er ( ) i sg a m m a f u n c t i o n ，d e f