（基础数学专业论文）算子代数上的映射.pdf

摘要 摘要 算子代数是数学领域近几十年来蓬勃发展的一个重要分支，对于物理学，量子力 学的发展有很大的支撑和带动作用而映射是线性代数中的一个极为重要的工具，对 于研究代数的性质有着非常重要的意义，所以人们对代数上的映射的研究从来没有 间断过本文致力于极限代数上和非自伴算子代数上的映射的讨论全文共分四章， 第二章至第四章是论文的主要内容 第一章是引言 在第二章中，我们首先讨论了a fc + 代数上的局部自同构的线性问题在证明 过程中充分利用了代数的特殊结构一矩阵单位系这个工具其次对特殊的代数a f c + 代数- - u h f 代数，讨论了它上面的2 局部等距的性质充分利用u h f 代数的结构 特点，利用矩阵代数的迹态找到u h f 代数的迹态，从而证明了2 局部等距的线性性 质近几年来，这种由局部性到整体性的问题已得到广泛关注，有关这方面的讨论可 祥见文献吼 6 】， 7 受他们的启发，得到了本章的主要结果 第三章中，主要是对非自伴的a fc + 一代数，讨论了它上面的等距映射m u h l y 等在文献 1 5 中讨论了带有对角的n u c l e a rc + 。代数中的某些三角子代数卜的等距代数 同构和等距反代数问题，本章讨论的第一各方面就是借助于m u h l y 的结论进一步分析 t u h f 代数上等距的具体表达形式第二方面类似于第一章中的第二个结果，讨论了 三角u h f 代数上的2 一局部等距的线性性质，证明方法也是类似的 第四章中刻画了n e s t 代数上的l i e 导子m a r t i n d a l e 1 7 】首先讨论了特征不等 于2 且含非平凡幂等元的本原环上的l i e 导子的表达形式，随后m i e i s 1 8 1 ，m a r l i e u 和 v i l l e n a 1 9 也分别对v n 代数，c + - 代数上的l i e 导子进行了刻画利用n e s t 代数的 特殊结构，借助于文献1 1 7 】中的证明方法，本章把这种讨论推广到了n e s t 代数上 关键词 a fc + 一代数，u h f 代数，t u h f 代数，n e s 1 代数，映射 i i a h s t r a c t a b s t r a c t o p e r a t o ra l g e b r ai s ai m p o r t a n tb u a a e hb o o m i n gq u i c k l yo fm a t h e m a t i c sf i e l di nr e c e n ty e a r s ， w h i c hf a i r l ys u p p o r ta n di n h a n e et h ed e v e l o p m e n to fp h y s i c sa n dp o w e r m a p si sai n p o r t a n tt o o li n l i n e a rm g e b r aa n dp l a yav i t a lr o l ei nt h es t u d yo fc h a r a x ：t e r i z a t i o no fa l g e b r as ot h es t u d yo fm a p s 0 1 1a l g e b r ah a sn e v e rb e e nd r o p e d t h i st h e m ed e v o t e st ot h ed i s c u s so fm a p so i ls o m el i m i ta l g e b r a a n d1 1 0 1 1 一s e l f - a d j o i ta l g e b r at h e r ea r ef o u rc h a p t e r s t h em a i np a r ti sf r o mc h a p t e rt w ot ( ) c h a p t e r f o u r c h a p t e ro n ei si n t r o d u c t i o n i nc h a p t e rt w o ，f i r s t l yid i s c u s st h el i n e a rp r o b l e mo fl o c a la u t o m o r p h i s mo na f c + a l g e b r a t h e p r o o fo fi tm a k e sf u l l u s eo ft h es p a s c i a lf r a m e m a t r i xu n i ts y s t e m s e c o n d l y ，f o rt h es p a s e i a la f c + a l g e b r a - u h fa l g e b r a ，is t u d yt h el i n e a rd l a r a c t e r i z a t i o no f2 - l o c a li s o m e t r yo ni t ：m a k eu s eo f t h ef r a n l ea t t r i b u t e ，f i n dt h et r a c es t a t eo fu h fa l g e b r aa c c o r d i n gt ot h eo n eo fm a t r i xa l g e b r aa n d v e r i f ， t h e2 - l o c a li s o m e t r yi sl i n e a rr e c e n t l y ，m o r ea n dm o r ep e o p l ep a ya t t e n t i o nt ot h ep r o b l e m f r o mt h ep a r tt ot h ew h o l eo ft h i sk i n d ，w h i c hw ec a ns e ei i lt h er e f e r e n c e 【5 】， 6 】， 7 i n s t r u c t e db y t h e l u ig e tt h ec o n c l u t i o n so ft h i sc h a p e r i l l c h a p t e rt h r e e ，is t u d yt h ei s o n l e t r i cm a p so dl i o n s e l f a d j o i t a fc + a l g e b r ai nr e f e r e n c e f 1 5 ，m u h l yd i s c r i b et h ei s o m e t r i ca l g e b r a li s o n m r p h i s m a n di s o m e t r i cr e f l i x i v ea l g e b r ai s o m o r p h i s m o ns o l l l et r i a n g l es u b a l g e b r ao gn e n c l e a ra l g e b r aw i t hd i a g o n e n tt h ef i r s tp 1o b l e mo ft h i sc h a p t e r i s a n a l y z i n gf u r t h e r l y t h ec o n c r e t ef o r mo ft h ei s o m e t r yo nt u h fa l g e b r a s i m i l a rt ot h es e c o n d c o n c l u t i o no fc h a p t e rt w o ，ia l s os t u d yt h el i n e a rc h a r a c t e r i z a t i o no f2 - l o c a li s o m e t i yo nt u h f a l g e b r a t h ew a yo fp r o o fi ss a m e i l l c h a p t e rf o u r ，id i s e r i b et h el i ed e r h , a t i o no nn e s ta l g e h t am a t h i e u 1 7 】d i s c r i b et h ef o r m o fl i ed e r i v a t i o u so np r i m i t i v er i n gw h o s ec h a r a t e ri sn o t , 2a n dw h i c hh a sn on o n t r i v i a li d e m p o t e n t a f t e rt h a t 、m i e r s 1 8 】，m a t h i e ua n dv i l l e n a 1 9 】a l s os t u d yl i ed e r i v a t i o n s0 1 1 w o nn e l l r n a n na l g e b r a a n da l g e b r a ，m a k i n gu s eo ft h es p e t c i a lf r a l n e ，ie x t e n dt h ed i s c u s st ot i mn e s ta l g e b r aw i t ht h e h e l po fr e f e r e n e e l l 7 k e y w o r d s a f a l g e b r a ；u h fa l g e b r a ；t u h fa l g e b r a ；n e s ta l g e b r a ；m a p 第一章引言 第一章引言 算子代数是数学领域近几十年来蓬勃发展的一个重要分支，对于物理学，量子力 学的发展有很大的支撑和带动作用 在算子代数中，人们长期考虑下面问题：一些线性映射的性质在什么情况下能 用它们的局部性质来确定称一个线性映射是局部导子( 局部自同构，局部等距等) 如果它在每一个点的作用等于一个与该点有关的导予( 自同构，等距等) 在该点的作 用有关局部性的问题，这方面有大量的文献，如 1 4 及其中的参考文献 最早从事这方面研究的是k a d i s o n 和l a r s o n 1 9 9 0 年，k a d i s o n 1 】在他的文章中提 出了v o nn e u m a n n 代数上的局部导子的概念 定义2 1 设【，为v o n n e u m a n n 代数，x 为u 一双膜，连续映射t ：u x 称为局 部导子，如果任给a u 存在连续导子d 。：u x ，使得d 。( o ) = r ( o ) 并证明了v o nn e u n l a n n 代数上的每个局部导子都是导子 类似的，我们也有局部自同构及局部等距的概念 同年，l a r s o n 和s o u r o u r 3 证明了在日( x ) 僻是b a n a c h 空间) 上也有相同的结论， 并且证明了当x 是无限维b a n a c h 空间时，口) 上的每个局部自同构是自同构 在什么情况下局部导子( 局部自同构，局部等距等) 是导子( 自同构，等距等) 这 个问题与算子代数的自反性及一阶同调群的计算等问题有关系 定义2 2 设x 是b a n a c h 空间，称为代数( 拓扑) 自反的，若t 且噬) ，t x z x ( v z x ) ，有t 成立( 若t b 僻) ，t x 丽( v z x ) ，有t 成立) 由自反性及局部等距( 局部自同构) 的概念可知，x 上的满等距集( 自同构集) 是 代数自反的，当且仅当x 上的每一个局部满等距( 局部自同构) 是等距( 自同构) 这 样，很多学者把研究目光转移到自反性上，通过研究代数( 拓扑) 自反性来得到局部 导子( 局部满等距，局部自同构) 与导子( 等距，自同构) 的关系， 通过这种方法，m o l n a r 与bz a l a r 分别证明了b ( x ) 上的局部满等距都是等距并 在1 9 9 9 年，二者联合发表了r e f l i x i v i t yo ft h eg r o u po fs u r j e c t i v ei s o m e t r i c e so fs o m eb a n a c h s p a c e s 一文，就某些特殊的b a n a c h 空间的代数自反性进行了研究，主要是证明了 h 上的紧算子的v o nn e u m a n n s c h a t t e np - c l a s sq ) ( 是复的无限维的h i l b e r t 空间， 1 p o 。) 是代数自反的而空间又可看作q 旧) 的c o m m u t a t i v ea n a l o g u e ，应用前面 的结论，m o l n a r 和z a l a r 又证明了f ，空间的代数自反性在非自伴算子代数中也有许 多类似的结果，这里不一一列举 上面的结果都是假设映射是线性的，然后证明它具有其它性质近几年来人们考 虑相反的问题，即映射的线性是否可由它的局部性质推出 2青岛大学硕士学位论文 m o n l a r 5 】在h i l b e r t 空间日上的有界线性算子全体日( 口) 上讨论了相反的问题即 设曲：b ( 珂) - - - + b ( h ) 是可乘( 即保持乘法) 映射，如果任给n b ( h ) ，存在b ( h ) 上的自 同构序列。( 依赖于。) 使得( n ) = l i r a 。“( n ) ，则是自同构其证明依赖于口( h ) 上的自同构咖都具有表示女( o ) = u m 广，其中u 是日上的酉算子， 本文第二章证明了a fc + 代数中也有类似结果我们采用的方法是利用a fg + 代数中有一个矩阵单位系 定理2 1 设a = 百：石是含单位元的a fc + 代数，：a a 是连续可乘的 满射( 没假设线性) ，且满足任给o a ，存在a 上的一个自同构序列 如】使得( 。) = l i r a 。如( n ) ，则是自同构， 如果映射在每一对点的作用等于该对点有关的自同构( 导子，等距等) 在该对点 的作用，那么即使去掉线性条件，也能得到许多有趣的结果s e m r l 首先在l o c a l a u t o m o r p h i s m s a n dd e r i v a t i o n so n 口( h ) 6 】中提出了2 局部的概念； 定义2 3 设j 4 是一个代数映射o ：a a 称为2 局部自同构( 2 局部导子) ，如果 任给n ，b a ，存在一个自同构( 导子) 目：a 4 ( 与n ，b 有关) ，使得，o a , b ( n ) = 口( o ) ，o a , b ( 6 ) = 伊( 并且证明了无限维h i l b e r t 空间h 上的有界线性算子全体b ( 日) 上的2 一局部导子 ( 2 一局部自同构) 是导子( 自同构) ；随后，g y o r y 在文章2 - l o o m i s o m e t l i e so f 岛) 7 1 中描述了局部紧的h a u s d o r f f 空间x 上的2 局部( 满线性) 等距证明了当x 是第一 可数的一紧h a u s d o r f f 空间时，岛) 上的2 一局部( 满线性) 等距是等距 m o r t l a r 【8 证明了口( 日) 上的2 局部等距是满线性等距在证明这个结论时，首先 对包含单位元及紧算子全体的b ( 日) 的c + 子代数上的2 一局部等距进行了讨论，再由 代数自反性把2 一局部等距与等距联系起来具体地有下列几步： ( 1 ) 设a c b ( h ) 为c + 子代数，且j a ，g ( c ( g ( 盯) 是h 上的紧算予全体) ，若 ：a + a 为2 局部等距，则是线性的进一步确定的形式为( r ) = u t v ，其中 7 1 a ，u ，v 日旧) ，u ，v 为酉元； ( 2 ) 若a 是代数自反的，则 上的2 一局部等距是等距； ( 3 ) b ( 口) 是代数自反的，故口( 日) 上的2 一局部等距是等距 每个代数+ 同构都是一个等距，所以又可以得到有关2 局部+ 同构的类似结 论而对于特殊的c + 一代数一u h f 代数和t u h f 代数，它上面的2 一局部等距与等距的 关系还没有得到讨论 受此启发，证明了某些极限代数上也有类似的的结果 定理2 2 设x 是u h f 代数，：x - - - - 4x 是2 一局部等距，则是线性的 那么对于三角的u h f 代数，这个结论也是成立的我们把它放到了第三章中专 门讨论三角u h f 代数的等距这一部分中来处理 第一章引言 3 对于等距映射的分解的讨论，早在5 0 年代，k a d i s o n 1 首先证明v o nn e u m m m 代 数上的等距分解为+ 同构与+ 一反同构的直和如文献【2 ，3 ，4 其中m u h l y 等在文献 【3 】中对带有对角的n u c l e a rc + 代数a 中的某些三角子代数进行了讨论 由于u h f 代数是一种特殊的带有对角的n u c l e a rc + 一代数，从而对u h f 代数a 中 的t u h f 代数t 也有上述结论成立，借助于这个结论又可以分析它上面的等距的具 体表达形式 目前，对于l i e 导子的讨论已经有了丰富的结果，i v l a r t i n d a l e 1 1 首先证明了特征 不等于2 且含非平凡幂等元的本原环上的l i e 导子的表达形式定理r 是特征非2 的本原环，没有非平凡的幂等元，l ：r ，r 是r 上的l i e 导子则存在r 上的结合 导子d ：r r ，线性映射a ：r 孙，l = d + a 其中孙是r 的中心，z ( 限h i ) = 0 在泛函分析领域，人们也开始考虑这方面的问题 m i e r s 2 1 对v n 代数，c 一代数上的l i e 导子的表达形式进行了详细的表述 定理3 设l ：m _ - - - + m 是y o nn e u m a n n 代数m 上的l i e 导子，则工) = a ，x 】+ a ( x ) ，a m 其中，a ：m - - - + z m 是线性映射， ( 阻，肘 ) = 0 m a t h i e u 和v i n e n a 3 】讨论了c + 代数上的l i e 导子也有类似的表达形式。 而他们研究的对象都是自伴的算子代数，由此我把目光转向非自伴的情形，研究 n e s t 代数上的l i e 导子 定理4 1 设l 是n e s t 代数r ( ) 上的l i e 导子，则上形如d + r ，其中d 是t ( f ) 上 的结合导子，r 是t ( z ) 到其中心z 上的线性映射且在换位子上取零 4 青岛大学硕士学位论文 第二章 a f e + 一代数上的映射 第一节引言与预备知识 在算子代数中，人们长期考虑下面问题：一些线性映射的性质在什么情况下能用 它们的局部性质来确定局部性的概念是由k a d i s o n 给出的 定义2 1 设u 为v o n n e u m a n n 代数，x 为u 一双膜，连续映射tu x 称为局 部导子，如果任给。u 存在连续导子d 。：u 。x ，使得d 。( n ) = t ( n ) 类似的，我们也可以得到局部自同构，局部等距等的概念这个问题与算子代数 的自反性及一阶同调群的计算等问题有关系在这方面有大量的文献，如【1 4 】及其中 的参考文献 k a d i s o n 证明了v o nn e u m a n n 代数上的每个局部导子都是导予 l a r s o n 和s o u r o u r 3 】证明了在日) 伍是b a n a c h 空间) 上也有相同的结论，并且证 明了当x 是无限维b a n a c h 空间时，b ( x ) 上的每个局部自同构是自同构 上面的结果都是假设浃射是线性的，然后证明它具有其它性质。近几年来人们考 虑相反的问题，即映射的线性是否可由它的局部性质推出 m o n l a r 5 1 在h i l b e r t 空间日上的有界线性算子全体b ( h ) 上讨论了相反的问题，即 设：b ( h ) - - - - 4b ( h ) 是可乘( 即保持乘法运算) 映射，如果任给a 且( 日) ，存在b ( h ) 上 的一个臼同构序列 。) ( 依赖于n ) 使得( n ) = l i m 。( n ) ，则是自同构其证明 依赖于b ( h ) 上的自同构都具有表示( o ) = u 。u ，其中“是h 上的酉算子 本章第一部分证明了a fc 代数中也有类似结果我们采用的方法是利用a f 代 数中有一个矩阵单位系 如果映射在每一对点的作用等于该对点有关的自同构( 导子，等距等) 在该对点 的作用，那么即使去掉线性条件，也能得到许多有趣的结果，这就是2 ，局部性的概 念 这个概念首先是由s e m r l 6 】提出的 定义2 3 设a 是一个代数映射o ：a a 称为2 一局部自同构( 2 一局部导子) ，如果 任给。，b a ，存在一个自同构( 导子) 目。a + a ( 与o ，b 有关) ，使得o a , b ( o ) = 日( n ) ，o a , b 伯) = 曰f 叭 并且证明了无限维h i l b e r t 空间h 上的有界线性算子全体b ( h ) 上的2 局部导子 ( 2 一局部自同构) 是导子洎同构) ；g y o r y l 7 】证明了当x 是第一可数的a 紧h a u s d o r t t 空间时，c o ( x ) 上的2 局部满线性等距是等距m o n l a r 8 证明了z ( h ) 上的2 一局部 等距是满线性等距 在本章第二部分，我们研究u h f 代数上的2 局部满线性等距，证明了u h f 代数 第二章 a fc 。代数上的映射 上的2 局部等距是线性等距 首先我们给出a fc 4 代数的有关知识： 定义2 4 一个g + 一代数a 称为a fc + 一代数，指a 中存在一个递增的有限维c + 一 子代数列 a 。) 使得u ，。a 。稠于a ，即a = u ：瓦 当a 含单位元时，可取得每个且，。都含有a 的单位元 当每个a 。都* 同构于一的矩阵代数时，刚称a 是u h f 代数 且的典型m a s a d 指a 的极大交换的自伴子代数，满足d 。= a 。n d ，d 。是a 。的 n l a s a ，并且d = 百了i 任给n ， 。是有限维的c 代数，我们可以取a 。的关于d 。的矩阵单位 e 3 ：i ，j ) ， 他们是a 。得生成元，那么 e 3 ：t ，j ，n ) 就构成了a 的关于d 矩阵单位系 帆= f u ：”是a 。中的部分等距，并且满足v d 。u + c d 。，”+ d 。”c d 。) 称为a 。关于 d ，。的正规化子 帆：a 。+ 厶是正规嵌入，即讥是等距代数同态且咖。( 。) c 心十l 诱导系统 _ 。，以= 1 ，2 ，) 的诱导极限a = l i r a ，。 a 。，妒。) 称为a fc 代数d = l i m ，。 d 。，“) 是a 的1 t i a s a 如果 e i ：i ，j ，n ) 是a 的关于d 的矩阵单位系那么我们可以做到使取得的每一 个矩阵单位e i 都可以表示成 e 铲1 ：f ，j ，n ) 中某些元素的和 根据 6 中2 ，局部导予的定义，我们可以类似给出2 局部等距的定义 定义2 5 设x 是b a n a c h 空间，x 上的等距是指x 上的一个满线性保持范数的 映射 x 上的一个映射：x x ( 没有假设线性) 称为2 局部等距，如果任给a ，be x ， 存在x 上的一个等距。，6 ( 依赖与n ，b ) 使得札，6 ( o ) = ( n ) ，札，6 ( 6 ) = ( 6 ) 关于a fc 8 代数的系统知识见【9 ，第1 2 鞫和 1 0 6 青岛大学硕士学位论文 第二节定理的叙述与证明 21a fc + 一代数上保持乘法的局部自同构 定理2 1 1 设a = 百：瓦是含单位元的a fc 一代数，：a a 是连续可乘的满 射( 没假设线性) ，且满足任给a a ，存在a 上的一个自同构序列 “) 使得( 。) = l i r a ，。( o ) ，则是自同构 证明设a = 百：石是含单位元的a fc + 一代数，其中 a 。) 是a 中一个递增的有限 维c 一子代数列 d 是a 的典型m a s a ( 极大交换的自伴子代数) 即d 是a 中的i 1 2 a s a ，任给n ，口。= d n 是a 。中的m a s a 并且d = 西：面i 可取得a 关于 厶) 和d 的矩阵单位系 e 3 ：，j ，”) 满足，任给n ， e j ：i ，) 是a ，； 矩阵单位系，生成， e ：i ) cd 。，并且每个e j 是 e 矿1 ：i ，j ) 中某些元素的和参见 【1 0 卜 下面分成5 步证明： ( 1 ) 如果p 是a 的投影，显然( p ) 是a 的投影 ( 2 ) 设f 是4 的单位元，则任给复数a ，( ，) = 事实上，对 ，存在且上的一个自同构序列 如) 使得 ( a ，) = l i r a 一。乒。( a ，) = l i r a 。( j ) = a f ( 3 ) 任给n a ，任给复数 ，则( a n ) = w ( n ) 这是因为是可乘的及( 2 ) 咖( n ) = 面( a n ) = ( a j ) ( n ) = a 曲( ) ( 4 ) 设p ，q 是4 中的正交投影，则扣) ，( 口) 是a 中的正交投影，并且( p + 口) 咖( p ) + 曲( q ) 因为是可乘的，所以c p ) ( g ) = 咖) = 0 ，即) ，州g ) 是a 中的正交投影， 因为 庐( p ) = ( p ( p + g ) ) = 曲( p + g ) 咖) 曲( p + q ) ， 所以( p ) 毋( p + q ) 同理，0 ) 十( p + q ) 所以( p ) + ( q ) 墨( p + g ) 下证( p + q ) = ( p ) + 庐( g ) 由于是满射，设s a 使得( s ) = ( p + 口) 一( ( p ) + ( g ) ) ，则 ( p s ) = ( p ) ( s ) = ( p ) ( ( p + q ) 一) 一( q ) ) = 0 第二章 a fc + 代数上的映射7 同理，( q s ) = 0 由的性质知是等距，所以p s = 0 ，q s = 0 从而( p + q ) s = o 又因为 0 ) = o ( p + q ) 一( p ) 一班( g ) = + q ) ( + q ) 一( p ) 一( q ) ) = ( s ) 砂( p + q ) = ( s + a ) ) = 0 ， 所以( p + q ) = ( p ) + ( q ) 所以任给n ，= 庐( ，) = t ( e ：) ( 5 ) ( a ) 给定n ，任给o a 。，设o = 。蝎e ：) ， 则 ( 。) = 曲( 码e 嚣) = ( e 2 t ) 十( 竭e 舀) ( e ：。) = 峭咖( e 0 ) ， i j k 蚶 m u 第二个等号用到( 4 ) ，最后一个等号用到是可乘的和( 3 ) ( b ) 任给o ，b a 。，由( a ) 知+ b ) 矗( n ) + ( 6 ) ( c ) 任给n ，b a ，设 n 。：o 。a 。，n = 1 ，2 ，) ， b 。：b 。a 。，n = 1 ，2 ，) ，使得 l i n l _ 。n 。= a l i mo 。b 。= b ，由于毋是连续的，所以 ( o + 6 ) 5 ( ，! 粤坠( 。n 十b n ) ) 2 占( 。r 。+ 6 n ) 2 熙妒( n n ) + 熙( 6 n ) 2 ( o ) + ( 6 ) 第三个等号用到( b ) 总之是线性的显然保持+ 运算所以庐是+ 一同构 2 2u h f 代数上的等距与2 一局部等距 本部分证明u h f 代数上的2 一局部等距是线性等距下面首先给出u h f 代数的有关知 识 设x = 百吾o o 瓦是u h f 代数，其中x 。同构于m m 矩阵代数。，并且m h 记 p l = r 。i + i v i 令也：。 。是定义为妣( 。) = n 圆，的+ 一同构，其中n 蛆。是珥。的 单位元则x 满+ 一同构与于定向系统 ，也：i = 1 ，2 ，) 的归纳极限 即任给i ，存在从帆，到x 的+ 一同构也，满足础= 哦，u 罄，九( 如。) 稠于x ，并且 具有下面泛性质： 任给c 8 代数b 及“同态0 t ： b ，满足0 。= 0 i + 1 帆( v i ) ，则存在唯一的从x 到口的+ 同态0 ：x - - + b 满足0 。= 口扎 8 青岛大学硕士学位论文 令t r 。是鸠。上的典型迹态，即任给n = ( ) 尬。t r 。( n ) = 爵1 篓。 令t r 是协 ：i = l ，2 ，) 的归纳极限，则任给i ，t r 。= 虮口。，并且打是x 上的忠实 迹态 关于归纳极限的系统内容可参见【l3 】 下面首先证明x 上存在一个类似矩阵转置的满等距反+ 一同构t ，并且满足打( t ( o ) ) = 打( ) ，v a x 定理2 2 1 任给i ，设置是尬。上的转位置映射，则x 上存在一个满等距反+ 同构 t ，满足任给i ，也孔= t 也，并且t z = f ，其中f 是x 上的恒等算子，进一步，y a x ， t r ( t ( a ) ) = 打( n ) t 的存在唯一性的证明类似如归纳极限泛性的证明 证明任给i ，由于丑是尬。上的满等距反t 一同构，所以掣= 也7 j 町1 是从咖( 。) 到丸( 。) 上的满等距反+ 同构因为任给i ，哦a = 正+ t 哦，所以任给n 弘。 1 0 1 ( 也( ) ) = 九+ l 正+ l 晶( 也( o ) ) = l 孔+ 1 i + 1 1 ( 也+ l ( 母，( n ) ) ) = 。+ l 丑+ 1 ( 妒。( o ) ) = 庐”l 妒。丑( ) = ，正口i 1 ( 咖( n ) ) = ( 也( o ) ) 从而。是掣的扩张 因此可定义一个从u 罢，也( 尬。) 到u 罄。a ( 螈。) 上的满等距反+ 一同构蜀，使得任给 i ，i 。( 坻。) = 掣 由于u 瞿。也( 蛆。) 稠于x ，通过连续扩张可得x 上的满等距反+ 一同构t 通过r 的定义可得任给i ，。丑= t 庐。，并且t 2 = 由于u 器。也( m 。) 稠于x ，从而满足条件。正= t 。，v i 的满等距反+ 一同构t 是 唯一的 任给i ，a m 。，因为机丑= t 。，所以 t 7 ( r ( 九( 凸) ) ) = t r ( d t i ( n ) ) ) = t 7 1 ；( 正( ) ) = t r i ( a ) = t 7 ( 也( n ) 由于t r ，t 是线性连续的，并且u 墨1 机( 。) 稠于x ，所以任给n x ，( r ( n ) ) = 打( n ) 引理2 2 2 设x 是u t i f 代数，：x _ x 是满的j o r d a n + 同构( 即满足： ( 曲+ b a ) = ( n ) ( 6 ) + 庐( 6 ) ( 。) ，( n + ) = ( n ) + ，n ，b x ) ，则要么是+ 同构，要么是+ 。反 同构 证明由【1 3 可设x = 墨。屿( 其中 是m m 矩阵代数) ，设p l 1 令x ，一固罂2 a 如，则x = a 靠。国x 由【1 2 ，是同态和反同态的直和，即x = ) 是两个子环x - ，托的直和，使得 也- x + x ，为同态，：x + x 。为反同态，并且作为线性映射4 = 九+ 2 第二章a f 一代数上的映射 9 由于x 没有直和项，所以，要么机是零，要么：是零 定理2 2 3 【1 0 设x 是u h f 代数，：x _ + x 是满+ 一同构，则x 中存在酉元序列 “。) 使得任给a x ，( n ) = l i m 。u 。n u ： 推论2 24 设x 是u t t f 代数，：x x 是满等距，则矿具有下列形式之一： ( i ) x 中存在酉元序列 u 。) 和 ) 使得任给。x ，( 。) = l i m 。+ 。“棚h ( i i ) x 中存在酉元序列 ) 和 u 。) 使得任给n x ，( n ) = l i r a 。一o 。t ( n ) 证明令”= ( n - = 加+ ，由【1 1 】推论2 1 0 知是j o r d a n + 一同构 由引理2 22 知。要么是满+ 同构，要么是满+ 一反同构 如果，是满，同构，由定理2 2 3 ，x 存在酉元列 ”。) 使得任给。x 都有 。( n ) = l i m 。u 。n “：令”。= n ：”+ ，则具有第一种形式 若。是满+ 一反同构，令。( 。) = ，( t ( n ) ) ，v a x ，则咖。是满+ 同构再由定理 2 2 3 ，具有第二种形式 定理2 2 5 设爿是u h f 代数，：x x 是2 一局部等距，则是线性的 证明任给n ，b x ，存在x 上的一个等距九，6 使得九，6 ( 。) = ( n ) ，九b ( b ) = 口( 6 ) 由推论2 24 ，x 中存在酉元列 u 。) 和 ”。) 使得 ( o ) 2 ( n ) i ，里盟u a v ( 6 ) 。( 6 卜，墨忍嘶t ； 或 ( n ) 2 ( 。) 20 骢u n t ( 。) ( 6 ) 2 ( b ) 2 0 骢“n t ( 。 由于打是连续的，从而有 押( ( n ) 删+ ) 2 打( ( 3 u a - d t ) ( j 骢u , , b v n ) + ) = 1 l m 打( ( i t 。) ( b y ) + ) = t r ( a b + ) n _ + 。 或由定理2 2 l 中t 的性质有 打( ( n ) ( 。打( ( 县恐u n t ( 。) ) ( 0 骢u n t ( 帆t ) + ) = h m 打( 扣，。t ( a ) v 。) ( u 。t ( b ) v ，。) 2 ) = t r ( t ( a ) t ( b + ) ) = 州t ( 矿n ) ) = 州矿a ) = t r ( a b + ) 由于打是线性的，所以任给n a7 ，n x 都有 打( ( 咖( o + 87 ) 一( o ) 一曲( n ) ) ( 6 ) + ) = 打( ( ( n + o7 ) 一n n ，) 6 聿) = 0 于是有 t r ( ( ( 。+ a ) 一咖( 。) 一( n ) ) ( ( n + a ) 一( n ) 一( o ) ) + ) = 0 1 0 青岛大学硕士学位论文 由于打是忠实的，从而任给n ，一x 都有( n + 。) = 4 ( n ) + 4 ( n ) 同理可证在x 上是齐次的 所以在x 上是线性映射 第三章t u h f 代数上的等距和2 局部等距 1 1 第三章t u h f 代数上的等距和2 局部等距 第一节引言与预备知识 设4 是一个赋范代数，$ 是从a 到a 上的线性双射，如果任给n a ，i i ( a ) l l = l l a l j ， 则称# 为等距 进步，如果任给n ，b a ，( n b ) = ( o ) ( b ) ( ( n b ) = 吼b ) 口( ) ，则称为等距代数同 构( 等距反代数同构) 更进一步，如果a 上有* 运算，并且任给a ea ，( n + ) = ( 。) 4 ，称为+ 同构( * 反同构) 5 0 年代，k a d i s o n ( 1 1 首先证明v o rn e u m a n n 代数上的等距分解为+ 一同构与+ 一反同 构的直和后来有许多这方面的工作，如文献( 1 1 ，1 4 ，1 5 1 其中m u h i y 等在( 1 5 】定理1 1 证明了带有对角的n u c l e a rc + 代数a 中的某些三角子代数t 上的等距代数同构和等 距反代数同构可以扩张成a 上的+ 同构与+ 反同构；定理1 2 证明了t 上的等距分 解为等距代数同构与等距反代数同构的直和 由于u h f 代数是一种特殊的带有对角的n u c l e a rc + 一代数，从而对u h f 代数4 中 的t u h f 代数丁上述结论是成立的 本文第二部分我们进一步分析t u h f 代数t 上的等距的具体表达形式 下面介绍u h f 代数和t u h f 代数的一些概念，关于它们的系统知识可参见【9 , 1 0 ，1 6 一个c + 一代数a 称为u h f 代数，指4 含单位元，且中存在个递增的有限维c 4 ， 子代数列1 a 。ca 2c ca 。c 使得u ，。a 。稠于a ，即a = 丽：，其中每个a 。都+ ， 同构于一个的矩阵代数 任给m 设4 一一间构于p 。p ，：矩阵代数蝎。则称a 为 p n ) 型u h f 代数 任给m 令i 。：a 。 a “，是嵌入映射，妮：a 。 珥。是+ 一同构，令妒t l 屿。 如。+ ，为曲。= 妒矗。i 。妒。则a + 一同构与定向系统 a 。，妒。n = 1 ，2 ，) 的归纳极限 即任给n ，存在从n 如。到a 的单+ 一同态札满足如= 。 t 妒。，u 忍。“( 鸠，。) 稠于4 ， 并且具有下面泛性质： 任给c + 一代数b 及+ 一同态0 。：m 。_ b ，满足0 ，。= 0 n + l 妒。( v n ) ，则存在唯一的从a 到b 的+ 一同态0 ：a b 满足0 。= 口“ 令。是p 。p 。上三角矩阵代数，d 。是 0 。的对角矩阵代数 n = ”：”是耳。中的部分等距，并且满足v d p 。”+ cd ，。，”+ d ，。”cd ，。) 是关于 d ，。的正规化子 ：耳。- 咒。，是正规嵌入，即饥是等距代数同态且“( 0c 扎十1 从而饥可 扩张成从嗨。到a f p 。的单的* 同态，仍记为砷。诱导系统 耳。，：n = 1 ，2 ， ) 的诱 1 2 青岛大学硕士学位论文 导极限t = l i m 。 。，中，。) 成为a 的t u t l f 代数 t u h f 代数与u h f 代数不同，它不仅与 p ，。) 有关，还与 饥) 有密切关系显然 ，1 + t + 稠于a ，这里t 4 = ( 矿：a r ) 第三章t u h f 代数上的等距和2 局部等距 1 3 第二节定理的叙述与证明 31t u h f 代数上的等距同构，等距反同构和等距 我们要用到 8 j 中的一个关于u h f 代数的+ 一同构重要结果 定理3 1 1 【8 】设a 是u h f 代数，：a a 是+ 同构，则a 中存在酉元序列 u 。) 使得任给a a ，( n ) = l i m 。+ 。u 。o u ： 现在考虑关于u h f 代数的+ ，反同构 令t r 。是a 如。上的典型迹态，即任给n = ( n u ) 嗨。，t r 。( n ) = 去翟。a l i 令打是 t r 。：n = 1 ，2 ，) 的归纳极限，则任给n ，t = 虮如，并且打是a 上的忠 实迹态 下面首先证明4 上存在一个类似矩阵转置的+ 反同构j ，并且满足打( j ( n ) ) = 打( n ) ， y a a 定理3 1 2 任给n ，设 是屿。上的转位置映射，则a 上存在一个+ 反同构j ，满 足任给n ，“ = j ，并且j 2 = i ，其中，是4 上的恒等算子 进一步，v a a ，打( j ( o ) ) = 打( o ) 证明任给n ，由于 是n 如。上的+ 一反同构，所以靠= 。 蛎- 是从“( 屿。) 到 “(