（信号与信息处理专业论文）基于小波变换的图像压缩的spiht改进算法.pdf

基于小波变换的图像压缩的s p i h t 改进算法 摘要 随着计算机和网络技术的普及，人们对数字图像在质量、大小和应用等方面提出 了更高的要求，希望能够用有限的空间和带宽资源存储和传递大幅图像，并且根据实 际需要，得到不同分辨率或质地的重构图像。这就要求图像压缩技术不仅有良好的压 缩效率，而且还要能灵活地处理压缩码率。 有些传统的图像压缩算法难以满足上述要求。 小波编码算法因其多分辨分析概念的提出、能量集中特性和小波分解与重构快速 算法的实现，使得其在图像压缩领域得到了广泛的应用。 本文首先介绍了小波分析理论，在小波变换和多分辨率分析的基础上研究了小波 变换的m a l l a t 快速算法。 在图像压缩领域运用小波变换，还需考虑诸多问题：首先就是小波基的选取，基 于图像编码的最优小波基选择很复杂，从平滑性、滤波器长度等设计标准选择来看， 一般选择具有线性相位的双正交小波基：其次，由于图像边界造成图像信息的有限性， 为了无失真抽取信号，必须对图像边界进行处理，一般对边界进行周期延拓；还有， 对小波系数的量化方法较多，利用子带的相关性选择零树量化是较优方法；最后，考 虑有利于编码原则和降低失真度原则两方面，般选择小波分解、重构级数为3 或4 级。 论文在对内嵌编码原理研究的基础上，分析了基于小波变换的图像压缩的z e w 算 法和s p 玎算法，分析了它们各自的特点。通过分析得知：s p 瑁傅法是z e w 算法的 改进算法，基本思路与硼算法相同，主要改进在于构造了两种不同类型的空间零树 d ( i ，j ) 和u i j ) ，从而能更好的利用小波系数的幅值衰减规律，但在提高编码简单性、突 出低高频重要性差异以及提高压缩效率等方面存在不足。 针对s p n - r r 算法以上不足，综合图像压缩特点和人眼视觉特征以及所选滤波器应 用的特点上，本文提出了三点改进方法： 首先，s p 嘴法本身存在冗余，为了降低冗余度，把最后一次小波变换得到的 最低频予带初始化为不重要系数表，同级变换的其它子带作为最低频子带的儿子节 点。这样，空间方向树深度加大，容易产生更多的零树，同时编码也简单； 其次，图像小波分解得到的低频子带能量多，因而重要性高；而高频子带 反映的是细节信息，因而重要性也低。为了突出重要性的差别，可以对高频子 带进行压缩预处理，这样在同样的码数的情况下，可以传输更多的重要信息。 同时人眼对高频信息的敏感度远小于对低频信息的敏感度，从视觉角度来说也提高 了恢复图像的质量； 最后，通过运用( 9 ，7 ) 滤波器对图像进行分解变换，发现低频子带的系数绝 大分为正，且幅值很大，即使有负系数，幅值也很小，这样我们可以在对低频 子带编码的时候，不再输出其符号，而是默认该处符号为正，这样在同样的压缩比 下，因传输更多有用的比特，从而提高了压缩效率。 仿真证明这种改进是有效果的，既有良好的压缩效率，同时也可以根据不 同图像质地要求灵活处理压缩码率。 在仿真程序的具体实现上，还对图像文件的二进制i o 处理和p g m 格式文件处 理散了详细的程序说明。 最后，对提升小波变换和整数小波变换运用于图像压缩做了说明。 关键词：小波变换、图像、压缩、内嵌编码、z e w 、s p i h t i m p r o v e m e n ta l g o r i t h m ，o fs p i h to fi m a g ec o m p r e s s i o n b a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m a b s t r a c t ： w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ec o m p u t e ra n dt h en e t w o r kt e c h n i q u e ，p e o p l e n e e dt h eh i g hq u a l i t y ，a p p r o p r i a t es i z e o ft h ei m a g e w em u s ts t o r ea n d t r a n s m i tt h eb i g i m a g ei nt h el i m i t e ds p a c ea n db a n d w i d t h w ec a ng e tt h e d i f f e r e n ti m a g eb a s e do no u rn e e d i tr e q u e s t st h a tt h ec o m p r e s s i o nt e c h n i q u e o ft h ei m a g eh a sb o t hg o o dc o m p r e s s i o ne f f i c i e n c ya n df l e x i b l ec o m p r e s s i o n c o d er a t i o s o m et r a d i t i o n a lc o m p r e s s i o na l g o r i t h mo ft h ei m a g ec a n tm e e tt h e r e q u e s t a l g o r i t h i i io fw a v e l e tt r a n s f o r mh a ss o m eg o o dq u a li t y ：e x c e s s i v e d i f f e r e n t i a t e ， f o c u so fe n e r g y ，f a s to p e r a t i o no fd e c o m p o s ea n dc o m p o s e i ti su s e di nm a n yf i e l d so fi m a g ec o m p r e s s i o n t h ep a g ef i r s ti n t r o d u c e sa n a l y z et h e o r yo ft h ew a v e l e t ，t h e ni tb r i n g s u pt h ef a s ta l g o r i t h mo fm a l l a tb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r ma n de x c e s s i v e d i f f e r e n t i a t e w a v e l e tt r a n s f o r mo nt h ef i e l d so fi m a g ec o m p r e s s i o nn e e d ss o l v i n gs o m e q u e s t i o n s t h e f i r s ti st h ec h o i c eo fw a v e l e tb a s e m e n t i ti sv e r y c o m p l i c a t e d ，f r o mt h ed i r e c t i o no f f l a t n e s sa n dt h el e n g t ho ff i l t e rw e u s u a l l yc h o i c e d o u b l ew a v e l e tb a s e m e n t ；t h eb o u n d a r yo f t h ei m a g e i s l i m i t e d ，w em u s te x t e n di tt og e tg o o dm e s s a g e s ；t h em o r e ，m a n yw a y sc a n e s t i m a t ew a v e l e tc o e f f i c i e n t ，w ec h o i c et h ez e r ot r e et og e ti t ： f i n a l l y ， w eu s u a l l yc h o i c et h r e eo rf o u ro ft h ew a v e l e tg r a d e t h ep a g er e s e a r c h e se m b e d d e dc o d i n g o nt h ef o u n d a t i o no fe m b a d d e dc o d i n g w er e s e a r c hz e wa l g o r i t h ma n ds p i h ta l g o r i t h ma n df i n dt h e i rc h a r a c t e r i s t i c w ek n o ws p i h ta l g o r i t h mi st h ei m p r o v e m e n to fz e wa l g o r i t h m s p i h ta l g o r i t h m c o n s t r u c t st w od i f f e r e n tk i n d so f z e r ot r e e s ：d ( i ，j ) 、l ( i j ) s oi tc a nm a k eu s e o ff a l lo f w a v e l e tc o e f f i c i e n t b u ti th a ss o m es h o r t c o m i n g s f o rt h es h o r t c o m i n g so fs p i h ta l g o r i t h m ，t h ec h a r a c t e r i s t i co fi m a g e c o m p r e s s i o n ，v i s i o nc h a r a c t e r i s t i co fo u re y e s ，w ei n t r o d u c et h r e e i m p r o v e m e n tw a y s t h ef i r s t ，s p i h ta l g o r i t h mh a si t so w ns h o r t c o m i n g s ，w ec a n u s et h el o w e s t f r e q u e n c yb a n dt oi n i t i a l i z en o n s i g n i f i c a n tc o e f f i c i e n tl i s t s ot h ed e p t h b e c o m e sl o n g e ri ns p a c et r e e s i tc a ng e tm o r ez e r ot r e e sa n dd e a ls i m p l e ， t h es e c o n d ，w a v e l e td e c o m p o s eo ft h ei m a g ec a ng e tt h el o wf r e q u e n c yb a n d o fm o r ee n e r g y ，i ti si m p o r t a n t ：t h eh i g hf r e q u e n c yb a n di su n i m p o r t a n t t og i v ep r o m i n e n c et ot h ei m p o r t a n c ew ec a nd e a lw it ht h eh i g hf r e q u e n c yb a n d f i r s t l y s oi tc a nt r a n s f e rm o r ei m p o r t a n tm e s s a g e s o nt h eo t h e rw a y ，o u r e y e sa r es e n s i t i v et ot h el o wf r e q u e n c yb a n d ，i tc a ne n h a n c ei m a g eq u a li t y t h ef i n a l l y ，w eu s e ( 9 ，7 ) f itt e rt od e c o m p o s et h ei m a g e ，w ec a nf i n dt h a t t h ec o e f f i c i e n to ft h el o wf r e q u e n c yb a n di sm o s t l yp o s i t i v ea n db i g t h e n e g a t i v ei ss m a l i s ow ed o n ? tt r a n s f e rt h es i g no ft h ec o e f f i c i e n ti nt h e l o wf r e q u e n c y w et h i n kt h e ya r ep o s i t i v e s ow ec a nt r a n s f e rm o r eb i ti nt h e s a i l l ei n s t a n c e ，t h ec o m p r e s s i o ne f f i c i e n c yb e c o m e sh i g h t h ee x p e r i m e n tt e s t st h a tt h ei m p r o v e m e n th a si t so w ne f f e c t i th a sg o o d c o m p r e s s i o ne f f i c i e n c y ，o nt h es a m et i m ew ec a nd e a lw i t hc o d eb i t sf l e x i b l e o nt h er e a lr e a l i z eo ft h ep r o g r a mw ee x p l a i nt h ep r o g r a mt h a td e a l sw i t h b i n a r yi oo ft h ei m a g ef i l e sa n dp g l ff i l e s t h ef i n a l l y ，w ee x p l a i nt h a tt h e1 i f t i n gw a v e l e ta n di n t e g e rw a v e l e t t r a n s f o r mc a nc o m p r e s st h ei m a g e k e yw o r d ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，i m a g e ，c o m p r e s s ，e m b e d d e dc o d i n g ，z e w ， s p i h t 图表清单 图2 1 一次离散小波变换后的频率分布 图2 2 三次小波变换后的频率分布 图2 3 小波图像分解步骤 图2 4 固定区域量化器 图3 1 小波变化用于图像压缩和重建 图3 2 按幅度排序信息的二进制 图3 3 ( a ) z 是型扫描，( b ) 是光栅扫描 图3 4z e w 系数编码流程图 图3 5 小波系数的多级树状图 图3 6s p i h t 算法中的空间定位数结构 图3 7s p h i t 算法流程图 图4 13 次小波变换后的频率分布 图4 。2s p i h t 算法中的空间定位数结构 图5 1 提升过程的示意图 表4 i 低频区域正系数占全部低频区域中系数的百分比 表4 2 图像分辨率、图像深度与图像数据量的关系 表4 3 改进算法与原算法的峰值信噪比( p s n r ) 的比较 表5 1b l a l l a t 算法和提升算法的运算量统计 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得盒a b 工业盔堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字： 签字日期：力衫年r 月l 夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金a l 王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权盒目b 王些盔 ! l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：z 年街 导师签名 签字日期步耐年争月刁日 ， 学位论文作者毕业后去向： 上作单位： 通讯地址： 签字日期：爿年4 月z 7 目 电话： 邮编： 二 第一章序言 随着多媒体技术的不断发展，图像存储和传输越来越频繁。为了有效防止图像信 息在存储和传输过程中的畸变，一般都经数字化转化成数字匿像，然后再进行储存， 传输和接受重建。但这些数字化图像数据量极大，尽管存储技术、处理器的速度以及 数字通信系统的性能的迅猛发展，但对图像数据存储的能力和数据传输的需求仍然超 出了现有技术的能力所及。所以对图像进行压缩编码，减少所占存储单元，成了迫切 需要解决的问题。 1 1 图像压缩概述 图像数据一般的都存在各种信息的兀余，如空间冗余、信息熵冗余、视觉冗余和 结构冗余等。想办法去掉各种冗余，保留真正有用的信息，就是图像压缩。把信号进 行压缩的过程常称为图像编码，恢复原图像的过程常称为解码。“3 图像压缩就其本质来说，就是用尽量少的比特表征图像，同时尽量保持图像失真 不严重。图像数据压缩的目的是节省图像存储空间、减少传输信道的容量、缩短图像 加工处理时间。针对不同应用目的可以使用不同压缩方法。在图像压缩领域常用的编 码有： 1 信息保持编码：这类编码技术主要应用于图像数字存储方面。要求能尽量大限 度的压缩图像大小，解码后能无失真恢复图像信息，也称无失真编码。 2 保真度编码：这类编码方法主要应用于数字电视技术和静止图像通信方面。这 些图像受传输信道容量限制，接收者往往是人眼，由于人限的视觉冗余现象，因此可 以在编码过程中丢失一些无用或意义不大的信息，即在保证保真度的条件下允许一定 的失真。 3 特征提取：在一些图像识别和分析技术中，只要求对需要的特征信息进行编 码，就可以压缩图像数据，这类编码方法也是失真编码。 f o u r i e r 变换是信号处理领域中研究最早、应用最广的分析工具。图像和视频压 缩中最常使用的工具是一种简化了的f o u r i e r 变换一d c t 变换。基于分块d c t 变换的压 缩编码技术是已有图像和视频压缩标准的核心技术，这主要来自两个方面的原因：( 1 ) d c t 具有趣好的去相关性和能量压缩特性：( 2 ) d c t 变换存在快速实现算法。但是随着 应用和研究的不断深入，分块d c r 变换编码的缺点也逐步暴露出来，尤其在低比特率 环境下，压缩图像不可避免地出现了方块效应和飞蚊噪声。这是因为一般情况下，图 像信号是高度非平稳的，很难用c a u s s 过程来刻画，并且图像中的一些突变结构，例 如边缘信息远比图像平稳性重要，用余弦基作图像信号的非线性逼近其效果不是最优 的。2 3 信号压缩就是要用尽可能少的比特数表示一个信号，因此要提高信号的压缩效率 首先要给出信号的稀疏表达式。数学界和工程界在共同研究数据表示技术的过程中所 发展起来的小波分析技术和多分辨分析理论，摈弃了传统f o u r ie r 分析所必须的前提 假设一平稳性，成为分析非平稳信号的有力工具。它的出现导致了我们从新的视角去 研究信号压缩等问题：一方面，由于小波基的紧支性和小波分解的多尺度结构，非线 性小波逼近实质上等价于一个自适应的网格逼近，网格的分辨率在信号奇异点的邻域 内被适当加细了另一方面，由于小波基的无条件基特性，使它成为一大类信号的非 线性通近的最优基，许多信号在小波基的表示下，都可以获得稀疏的表示式。可以说， 把小波变换运用于图像数据的压缩，是一个重大突破。 1 2 本文研究主要内容 本文首先介绍了小波分析理论，在小波变换和多分辨率分析的基础上研究了小波 变换的m a l l a t 快速算法。 在图像压缩领域运用小波变换，还需考虑诸多问题：首先就是小波基的选取，基 于图像编码的最优小波基选择很复杂，从平滑性、滤波器长度等设计标准选择来看， 一般选择具有线性相位的双正交小波基；其次，由于图像边界造成图像信息的有限性， 为了无失真抽取信号，必须对图像边界进行处理，一般对边界进行周期延拓；还有， 对小波系数的量化方法较多，利用子带的相关性选择零树量化是较优方法；最后，考 虑有利于编码原则和降低失真度原则两方面，一般选择小波分解、重构级数为3 或4 级。 论文在对内嵌编码原理研究的基础上，分析了基于小波变换的图像压缩的丑w 算 法和s p 玎算法，分析了它们各自的特点。通过分析得知：s p 珊r 算法是珏獭博法的 改进算法，基本思路与z e w 算法相同，主要改进在于构造了两种不同类型的空间零树 d ( i , j ) f g l ( i , j ) ，从而能更好的利用小波系数的幅值衰减规律，但在提高算法实现简单性、 突出低高频重要性差异等方面存在不足。 针对s p 算法以上不足，综合图像压缩特点和人眼视觉特征以及所选滤波器应 用的特点上，本文提出了三点改进方法： 首先，s 砌日1 算法本身存在冗余，为了降低冗余度，把最后一次小波变换得到的 最低频子带初始化为不重要系数表，同级变换的其它子带作为最低频子带的儿子节 点。这样，空间方向树深度加大，容易产生更多的零树，同时编码也简单； 其次，图像小波分解得到的低频子带能量多，因而重要性高；而高频子带 反映的是细节信息，因而重要性也低。为了突出重要性的差别，可以对高频子 带进行压缩预处理，这样在同样的码数的情况下，可以传输更多的重要信息。 同时，人眼对高频信息的敏感度远小于对低频信息的敏感度，从视觉角度来说也提高 了恢复图像的质量； 最后，通过运用( 9 ，7 ) 滤波器对图像进行分解变换，发现低频子带的系数绝 大分为正，且幅值很大，即使有负系数，幅值也很小，这样我们可以在对低频 子带编码的时候，不再输出其符号，而是默认该处符号为正，这样在同样的压缩比 下，因传输更多有用的比特，从而提高了压缩效率。 仿真证明这种改进是有效果的，既有良好的压缩效率，同时也可以根据不 同图像质地要求灵活处理压缩码率。 在仿真程序的具体实现上，还对图像文件的二进制加处理和p g m 格式文件处 理做了详细的程序说明。 最后，对提升小波变换和整数小波变换运用于图像压缩做了说明。 第二章小波分析理论 小波变换是现代谱分析工具，它既能考察局部时域过程的振域特征，又能考察局 部频域过程的时域特征，因此即使对于非平稳过程，它也是强有力的工具。近年来离 散小波变换在包括压缩在内的图像处理与图像分析的各个领域中得到了广泛的应用。 这主要因为小波的时频局域化使它在信号分析中有着优良的性质，而且由于它对于高 频成分采用由粗到精渐进的时空域上的取样间隔，从而能像物理上自动聚焦看清远近 不同景物一样放大任意细节。因此，小波分析被誉为数学上的显微镜，是构造图像多 分辨分析表示的有力工具。它的多分辨分析和快速算法提供了渐进式压缩的基础。 小波分析在进行图像压缩编码时，针对图像处理，需要考虑几个闻题。 2 1 ，j 、波理论 2 1 1 小波变换 凡是满足如下允许条件。卅 q j ：。掣虮+ m 仁妒( t 矽0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 的函数妒( t ) 称为一个母4 、波( m o t h e rw a v e l e tf u n c t i o n ) 。 ( 2 2 ) 式说明1 ；f t ( t ) 具有一 定的振荡性，即它包含某种频率特性。对满足( 2 1 ) 式或( 2 2 ) 式的母小波函数作伸缩、 平移得到 妒，( t ) d 口i i 妒f 二垒) ( 2 3 ) 妒。( t ) d 口i2 妒( = ) ( ) 式中b c r ，a e r 一 o ，饥。o ) 称为小波函数，简称小波。 式( 2 3 ) 的变量a 反映函数的尺度( 或宽度) ，变量b 检测沿t 轴的平移位置。一般情 况下，母小波函数妒( t ) 的能量集中在原点，小波函数妒。( t ) 能量集中在b 点。母小波 函数有以下三条性质： ( 1 ) 妒“( o ) 。0 一广2 妒( t ) 出一0 ，表明母小波具有零直流分量； ( 2 ) 母小波函数及其形成的小波函数均为带通信号； ( 3 ) 母小波函数及其形成的小波函数随t 的延伸而快速衰减。 定义2 】设信号f ( t ) e l 2 ( r ) ，妒( t ) 为母小波函数， ( t ) i i 口一妒( 争, b e r , a e r 一研，o ) 则f ( t ) 的连续小波变换为 坼( 口) tc l e f ( , , ，6 ) - i f ( t ) 舭。( f ) ) - 仁，( f ) 讲咖粤 ( 2 4 ) 若妒( t ) 为实值函数，则( 2 4 ) 成为 彤( 口 6 ) 一c w r ( a ，6 ) - ( ，。) ，妒。( f ) ) 一仁，o ) 一i 妒( 学妙 ( 2 5 ) 假定妒( t ) ，妒( 的窗函数的中心与半径分别为( f ，) ，( w ，) ，则妒( t - 口b ) 及其 傅立叶变换的函数的中心与半径分别为( 6 + 讲+ ，4 ) 和( w a ，口) ，于是连续小波变 换( 2 4 ) ，( 2 5 ) 就形成了时间t 和频率能同时局部化的时间顿率窗 p + n f + 一4 ，6 + n f + 。】【立l 一，立+ l 一，】 ( 2 6 ) 。 口口a口 这就是著名的连续小波变换的时间频率窗。 由式( 2 4 ) ( 2 5 ) 得出信号f ( t ) 的变化位置( 用b + a t 表示) ，变化速度( 用a 表示) 以及信号f 的量值( a ，b ) ( 用坼( a ，b ) 的值度量) ，同时具有伸缩能力。此信息在时频 分析的许多领域具有的极高的应用价值对应于( 2 5 ) 式，我们有如下的重构公式，即 f ( t ) 的逆连续小波变换公式 f ( 0 = 知【蛙_ ，6 ) 川- ；甲、了t - b - 7 d a ( 2 7 ) 式中常数g 由( 2 1 ) 确定。 假设信号函数，( f ) l 2 ( r ) ，则它的二维连续小波变挟( 2 一dc w t ) 定义为： ( 4 ，b x ，妙- e 仁f ( x ，y ) 妒岫( 工，y ) d x d y ( 2 - 8 ) 其中坟，虬表示在两个维度上的平移。 二维连续小波变换的逆变换为： m 川- 去。仁e 哆( n ，色，屯咄 g ，y ) d b d b , ( 2 9 ) 奠中 4 膨小打( 孚，孚) c z 而妒( x ，y ) 是一个二维基本母小波函数。 定义2 2 设信号f ( t ) 取离散值f ( k ) ，七z ，f ( k ) e t 2 ( z ) 即芝i ， ) 1 2t + m ，妒( f ) 为母小波，。( f ) 一22 妒( 2 卅f 一万) 妒，。p ) 的离散形： 妒。 ) 一22 妒( 扩七一n ) m ，彪，七z ，f ( k ) 的离散小波变换为： d 啊t d w t ( m , n ) 一2 亍芝，僻渺( 矿七一恕) ( 2 1 1 ) 同样，对应( 2 8 ) 式的重构公式即逆离散小波变换为： f ( t ) - d w r ( m ，捍渺僻) ( 2 1 2 ) 假设信号函数f ( x ，y ) l z ( r 2 ) ，t o ( x ，y ) 为二维母小波函数，其构造可由一维母小 波的张量积构成。则二维离散小波变换为： d 耵( j ，毛，七z ) - 2 善善，“，。z ( 2 7 一墨，2 。f 2 一：) ( 2 1 3 ) 对应的重构公式为： ，0 ，) ，) ( ，0 ，) ) ，妒j ：砌腩j ：一( ，g ，y ) ，妒j , k l , k2 l f r j ! ( 2 1 4 ) 式中j 表示小波函数的尺度，七1 ，七表示函数在水平和垂直方向上的平移量。 2 1 2 多分辨分析 定义2 3 空间中l 2 ( r ) 的一列闭子空间 l 旧，：称为r 僻) 的一个多分辨分析 ( m r a ) ，如果 k ，满足下列条件 1 单调性：c k 。c c _ 。c v j z ； 2 完备性：n 一= o ) ，u = r 僻) ； 皿4j e z 3 伸缩性：，0 ) 一，( 纽) _ 。z ； 4 平移不变性：f ( x ) e 矿o f ( x k ) e v o ，v e z ； 5 r i e s z 基存在性：存在g e v , ，使倌 - k ) l k e z 构成k 的r i e s z 基。且存在 r ) 的一个函数妒( 对，使 虬( 磅：再刁一个k 的r i e s z 基，这对称妒( 力事尺度函数， 协。( 功：n z 也是k 的一个r i e s z 基a 所以也称函数妒g ) 生成一个多分辨分析 k ) 。 定义2 3 所定义豹 t p , a 与人类的视觉有着琼人鲍相似。例如人在观察某一目标时， 不妨假设他所处的尺度为j ( 或2 ) 。观察目标所获得的信息为，当他走近目标时，尺 度增加到j 十( 2 m ) ，他观察目标所获得的信息k + 1 ，应该比尺度j 下获得的信息丰富地 多，即巧巧。，尺度越大，距离越近，信息越丰富。反之，当他远离目标时，即尺 度减少到j 一1 ( 或2 1 ，) ，他观察目标所获得的信息k 一，应该比尺度j 下获得的信息更 为减少尺度减少，距离越远，信息越稀少。 下面给出关于1 d - g w , a 的三个定理。 定理2 1 如果 形 。j 是r ) 的一个躲a ，则存在唯一的一个函数爹g ) 矿僻) ， ， ， 称为尺度函数，妒，g ) - 2 2 庐( 2 7 一 ) ，打z ，使得 咖，o ) i ，l z 为巧的一个规范正交 基。 定理2 2 若妒( r ) 是由腿a k ) ，。，产生的一个尺度函数，h 是具有脉冲响应 0 ) t ( 2 ( 2 一k ) ，妒o n ) ) ，记日( w ) 为h ( n ) 的离散傅立叶变换既 有：日( w ) 一| i l o 弦“” 则h ( w ) 满足下列两条性质： ( 1 ) h ( o ) = 1 ，h ( n ) = o ( 2 ) ( 2 ) i h ( w ) 1 2 + l h ( w + 1 ) 1 2 t 1 反之，如果h ( w 1 满足了上述两点，且 i h ( w ) l 0v w e o ，2 】 则尺度函数妒仁) 的傅立叶变换为： “咖) 2 i ：【日( 2 曲 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 式( 2 1 7 ) 称为精确重构条件，满足此条件的n ( w ) 称为共轭波器，一般。i g i ；g t ，要求 6 妒( x ) 满足条件： 妒i - o ( x 4 ) ，l 妒( x ) i - o ( x 4 ) ( 2 2 0 ) 定理2 - 3 若 _ ) 皿是一个m r a ，妒o ) 是由 匕 胆产生的尺度函数，日( w ) 是相应的 共扼滤波器。记函数妒o ) ，其傅立叶变换为： 妒“ ) 一g 拦“肖 ( 2 2 1 ) 其中g ( 曲一e - w h ( w + r ) ( 2 2 2 ) 令妒0 ) - 2 池妒( 2 膏一n ) ( 2 2 3 ) 则伽j 。( x ) l ， z ) 是形的规范正交基，缈j ，o ) i ，再z ) ) 是r 俾) 的一个规范正交 基，孵o _ - b 。即是k 和巧。的正交补空间。 定理2 1 定理2 3 说明，r 僻) 的个螈a 形 旧事实上刻画了两个函数：尺度函数 妒0 ) 和小波函数妒( x ) 以及两个空间彬和k 。从系统学的原理来理解，可将m r a 看作由 四个元素组成的系统，记作m r a s ( m u l i t r e s o l u t i o na n a l y s i ss y s t e m ) ，也就是 m i t 4 s 静0 ，妒扛) ；昕) 同，o 巧) 属 ( 2 2 4 ) 式( 2 2 4 ) 不仅刻画了r 俾) ，而且刻画t ) l 乎所有常用空间：不仅分析了有限元剖 分方法的实质，而且与人类视觉、计算机视觉有一种天然的联系。如果将式( 2 2 4 ) 的 每一个元素看作一维空间，则m r a s 构成了丰富多彩的四维空间。 二维多分辨分析( 2 一dm r a ) 是由维多分辨分析( i dm r a ) 的有关张量积形成的， 注意到式( 2 2 4 ) ，多分辨分析系统( m p a s ) 是有四个元素组成，只要构造了这四个元素， 则就完成了m r a s 的构造。 假设 1 - d m r a s = 伽 ) ，妒0 ) ；孵) 胆，( ) 皿) ( 2 2 5 ) 2 - d m r a s = a p ( x ) ，v o ) ；2 ，) 屈，( w 2 j ) 馏) 则有 巧2 _ 垂 ，y ) 一庐( 土) ( y ) ( 2 2 6 ) v 中- 2 “：2 j ：是挈：嚣：y 2 - 2 k ：犯葛j k ! ) 2 e 一z ! 。 是y 2 ，的一组规范正交基。因为i 庐( 2 j 一足，) 妒( 2 ：) ( 岛，： 2 i 。 p 2 m - v j + 1 一“ 一孵o ) 固够o ) - 孵 巧) o 形o ) o ( 形 匕) o 孵 ) - k 2 0 【( ( 固彤) o 弼 ) o ( 彬) 】 哆。哆2 ( 2 2 9 ) 其中 w 2 以 ) o ( 巧) o ( 彤) ( 2 3 0 ) 式( 3 3 0 ) 说明 眇1 0 ，) ，) - 妒( x ) l f ，( y ) 妒2 ( 茸，j ) 妒o ，渺( z ) i 妒3 扛，y ) t 妒( x 砌( y ) 掣o ，y ) 伽 ，y ) l e 一1 , 2 ，3 ) ( 2 3 1 ) 而 妒，。 e - l 2 ，3 ； ，m ) e z 2 ) 是2 的一组规范止交基， 仰肚，。l e 一1 ，2 ，3 ；( ，k ，m ) e z 3 ) 是p c r 2 ) 的一组规范正交基。 式( 2 2 7 2 3 1 ) 完成了对式( 2 2 6 ) 即2 - dm r a s 的构造。 2 1 3m a i i a t 算法 圪+ 。是r 僻) 的低通逼近，任何信号f ( x ) 都可以近似为 ，o ) = c 。山丸帅o ) ( 2 - 3 2 ) 大体可以把g 。看成f ( x ) 按周期2 一- 的采样值。则将k + 。分解成屹和k 的过 程便可以描述为以下等式： ， ) 一c 。+ ，丸咖o ) ；芝c ：，丸，。 ) + d 。，妒。， ( 2 3 3 ) 其中，丸，。 ) 和。( r ) 是小波函数。 下面绘出离散小波变换的快速算法一m a l l a t 算法： l “a l l a t 算法是s m a l l a t 在m r a 理论基础上，提出了用子带结构实现离散小波交 换的计算，信号的小波分解和重构均可通过子带滤波的形式实现。设 屹。，是r 僻) 的 多分辨分析，令k 。；匕+ k 。则f v m ) 构成的r ) m r a ，m a l l a t 算法是针对模拟信号 的( f ( x ) e l 2 俾) ) ，在数字信号处理中，可以考虑对数字信号( ，o ) - r ) 的d i r l 计算a 从l 2 空间出发，选择他的一个多分辨分析( 离散嗽a ) ，由此来推导出 f ( x ) ) 的d f r 计 算方法。二维 a l l a t 算法采用了可分离的滤波器设计，实质上相当于分别对图像数 据的行和列作一维小波变换。如图2 1 所示的是一次离散小波变换的频率分布情况， 图像数据通过相互独立的滤波器后被划分为4 个子频段。 l l lh l l l h l删l 圈2 1 一次离散小渡变抉后的频率分布 如图2 2 所示为3 次小波变换后的情况，每层基频频段都被重新划分为4 个子带 频段。3 级小波分解后删相当于d ：3 一f f ，相当于d 2 2 - h ，i l l j 相当于d z i 一扩。 l l 3n 3 h l 2 l h 3唧3 h l l u i 2h h 2 l m删l 巨2 23 此小波变换后的频率分布 小波图像的频谱划分信号的小波变换将信号频谱按倍频程分割，小波变换的结果 是原始信号在一系列倍频程划分的频带上的多个高频带数据删，m ，l h ，和一个低 频带数掘l 以( 3 级小波分解) 。其中h l 频带是通过先将上级底片图像数据在水平方向 低通滤波后在垂直方向高通滤波面得到的，因此舰j 频带中包含了更多竖直方向的信 息：相应的，在聃频带中则主要是原图像水平方向的高频成分，而皿h j 频带是图像 中对角线方向高频信息的体现。对一幅图像来说，其高频信息主要集中在边缘、轮廓 和某些纹理的法线方向上，代表图像的细节变化。 先引入小波滤波器： g t 。2 1 2 ，妒( 缸一七厕 ( 2 3 4 ) = 2 b ，妒( 缸一七历融 ( 2 3 5 ) 其中：k = o 时为分析低通滤波器，g o 为综合低通滤波器， k o 时魄为分析高通滤波器，吼为综合高通滤波器。 首先考虑分解算法，在( 2 ，3 3 ) 两端乘以i i 而或者石丽，再做积分，就能得 到右边各系数的表达式： c 卅一c 卅椰，( 九椰，丸，) t c + 抽邑也 ( 2 3 6 ) d 。；q 。，( 九山，) = q 扎。k ， ( 2 3 7 ) 恢复算法： c m 吐，一巳，。瓦。一以。石 ( 2 3 8 ) 以上就是m a 3 a t 算法的数学描述。 j 层小波分解算法： 输入： c 卅。l ：一； f o ri = lt oj f o rj = 一t o + 对于一维小波的m a l l a t 算法可以用下面算法实现。 ” 。m 十1 ，j 。2 ：c m + i - l , i j 趾2 d m 扎一吐。吃叫 e n d e n d j 层小波恢复算法 输入： c 。 j ：一。： d 。t 一。：其中i = l ，2 ，j f m ，i - 卜lt o0 f o r j 2 一t o + “，一蟊一。+ d ，珏 e n d e n d 上述过程是一个塔形结构。 对于图像压缩，可以用矢量积的方式把一维小波变换推广一到二维空间，就是把 不同空间方向的对象联合起来。r 僻2 ) 的多尺度空间就是屹。 屹。此时r e k ) 的空 间关系匕+ 。= 圪o 冁。z 5 l 2 僻，) 的空间关系圪。- v 7 0 呢7 可以推广为： 吒+ ，1 0 k + 。7 一( 屹。 圪7 ) $ ( 圪。 呢) 0 蹶 圪) o ( 既。 ) ( 2 3 9 ) 其中 的意思是， g f ( x ) g ( x ) ，o 可理解为通常的加法。就是说，每个二维低通空 a j + l f - a j ，+ d j 3 ，+ q 2 ，+ d 1 f ( 2 4 0 ) 黔莲一广互嘲如 ( 2 4 1 ) p ，3 盖。一枷，3 、。 量：似。h 搠，i e - l 2 ，3 ；( ，k ，r n ) e z 3 ) 是r 僻2 ) 的一组规范正交基。 爿川厂2 c j g n , n u 茗) “y ) + d 1 。，。仁渺，( y ) “, r f m z“”8 f 2 4 2 ) + 互d 2 删+ 互d 3 肿妒，一。弦灿( y ) 、 c j 。n m 2 。菱c + 一k 一啊m d ：，。善。，+ l ，女，“t 一2 m g 一2 ” 。， d 2 ”。毛c i 1 k 1 扩一“。毛c j * i i 。1 肌， 其中h 、g 分别是分解滤波器的低通滤波系数和高通滤波系数。 引入无穷矩阵珥一帆。) ，风- 慨。) ，g r 一眠，) ，皿- ( g j ，) ，其中 月i 。 一h ，q - g k h 下标r ，c 分别表示对矩阵的行操作和列操作，则可以得到( 2 4 3 ) 式的简化形式 为： c | 一hr hc c i n d j 日r g c q ， ( 2 4 4 ) d 1 it g 一 c i + 、 d 3 6 c o c ，+ 1 对应的重构算法为： c j + 1 。珥皿c ，+ 日，g c d l j + g r h 。d 2 + q e d 3 j ( 2 4 5 ) 其中：h 和g 分别是h 和g 的对偶算子。 算法实现与一维类似，过程如下： 输入：住， 输出： c m 。 ， d ”。) ，埘”。) ，p 圆。，) 步骤： 分解 ，一三c k j h k m